Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00283 020173 17743566 na godz. na dobę w sumie
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami - ebook/pdf
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami - ebook/pdf
Autor: , Liczba stron: 129
Wydawca: C. H. Beck Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-255-1123-4 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> inne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Jakiekolwiek zastosowania matematyki w dowolnej dyscyplinie naukowej, w szczególności zaś w ekonometrii, wymagają znajomości działań na macierzach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez liczbę, mnożenie Cauchy’ego). Obliczanie wartości wyznacznika, podanie macierzy odwrotnej do danej macierzy, a także rozwiązywanie układów równań liniowych – o tych zagadnieniach traktuje niniejsza publikacja. Zastosowanie macierzy brzegowych do wspomnianych zagadnień zapewnia jednolite podejście do problematyki. Wymaga ono wykonania elementarnych przekształceń na wyjściowej macierzy brzegowej, czyli prostych działań, które może wykonać każdy, kto zna działania na ułamkach. Z reguły wszelkiego rodzaju działania matematyczne wywołują niechęć do ich stosowania: macierzami brzegowymi może posługiwać się każdy, pod warunkiem, że chce to robić. Wysiłek intelektualny jest minimalny, zaś korzyść naprawdę duża!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Algebra_macierzy_cov 11/26/09 11:17 AM Page 1 Jakiekolwiek zastosowania matematyki w dowolnej dyscyplinie naukowej, w szczególnoÊci zaÊ w ekonometrii, wymagajà znajomoÊci dzia∏aƒ na macierzach (dodawanie, odejmowanie, mno˝enie przez liczb´, mno˝enie Cauchy’ego). Obliczanie wartoÊci wyznacznika, podanie macierzy odwrotnej do danej macierzy, a tak˝e rozwiàzywanie uk∏adów równaƒ liniowych – o tych zagadnieniach traktuje niniejsza publikacja. Zastosowanie macierzy brzegowych do wspomnianych zagadnieƒ zapewnia jednolite podejÊcie do problematyki. Wymaga ono wykonania elementarnych przekszta∏ceƒ na wyjÊciowej macierzy brzegowej, czyli prostych dzia∏aƒ, które mo˝e wykonaç ka˝dy, kto zna dzia∏ania na u∏amkach. Z regu∏y wszelkiego rodzaju dzia∏ania matematyczne wywo∏ujà niech´ç do ich stosowania: macierzami brzegowymi mo˝e pos∏ugiwaç si´ ka˝dy, pod warunkiem, ˝e chce to robiç. Wysi∏ek intelektualny jest minimalny, zaÊ korzyÊç naprawd´ du˝a! Prof. zw. dr hab. Micha∏ Kolupa jest kierownikiem Katedry Badaƒ Operacyjnych i Ekonometrii na Wydziale Ekonomicznym Politechniki Radomskiej. Dr Zbigniew Âleszyƒski jest adiunktem w tej Katedrze. www.sklep.beck.pl e-mail: dz.handlowy@beck.pl http://www.beck.pl tel.: 022 31 12 222 fax: 022 33 77 601 Cena 43 z∏ A A l l g g e e b b r r a a m m a a c c i i e e r r z z y y b b r r z z e e g g o o w w y y c c h h M i c h a ∏ K o l u p a Z b i g n i e w  l e s z y ƒ s k i Algebra Algebra macierzy macierzy brzegowych brzegowych z zastosowaniami Micha∏ Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra_macierzy_str 11/26/09 11:40 AM Page 1 Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra_macierzy_str 11/26/09 11:40 AM Page 2 Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha∏ Kolupa Zbigniew Âleszyƒski WYDAWNICTWO C.H. BECK WARSZAWA 2010 Wydawca: Dorota Ostrowska-Furmanek Redakcja merytoryczna: Urszula Cielniak Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska Ilustracja na okładce: c(cid:13) Mark Evans/iStockphoto.com Seria: Metody ilościowe Złożono programem TEX c(cid:13) Wydawnictwo C.H. Beck 2010 Wydawnictwo C.H. Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, 00-203 Warszawa Skład i łamanie: Wydawnictwo C.H. Beck Druk i oprawa: Elpil, Siedlce ISBN 978-83-255-1123-4 Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Podstawy teoretyczne . 1.2. Zadania . 1.3. Odpowiedzi i wskazówki Wstęp . . . . . . . . Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności . . . . . . . 7 9 9 16 18 Rozdział 2. Działania na macierzach z wykorzystaniem macierzy brzegowych 20 20 26 28 31 31 39 42 . . . . . . Rozdział 3. Zastosowanie macierzy brzegowych do obliczania wyznacznika . . . . . . . 3.1. Podstawy teoretyczne . 3.2. Zadania . 3.3. Odpowiedzi i wskazówki 2.1. Podstawy teoretyczne . 2.2. Zadania . 2.3. Odpowiedzi i wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 54 56 równań liniowych . . 5.1. Podstawy teoretyczne . 5.2. Zadania . 5.3. Odpowiedzi i wskazówki odwrotnej do macierzy danej . . 4.1. Podstawy teoretyczne . 4.2. Zadania . . 4.3. Odpowiedzi i wskazówki . . . Rozdział 4. Zastosowanie macierzy brzegowej do wyznaczania macierzy . . . . . . . . . . . . Rozdział 5. Zastosowanie macierzy brzegowych do rozwiązywania układów . . . . . . . . Rozdział 6. Zastosowanie macierzy brzegowych do wyznaczania rozwiązań 78 . . . 78 . . . 87 . . . 88 . . . Dodatek A. Elementy teorii jednorównaniowych modeli ekonometrycznych . 91 91 . . . . 99 . 102 . bazowych . . . . 6.1. Podstawy teoretyczne . 6.2. Zadania . 6.3. Odpowiedzi i wskazówki A.1. Podstawy teoretyczne . A.2. Zadania . A.3. Odpowiedzi i wskazówki 58 58 71 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 . 106 . . 118 . 122 . 127 Spis treści Dodatek B. Elementy teorii par korelacyjnych . . . . . . . . . B.1. Podstawy teoretyczne . B.2. Zadania . B.3. Odpowiedzi i wskazówki . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Wstęp Niniejsza praca składa się z sześciu rozdziałów poświęconych teorii i aplikacjom macierzy brzegowych oraz dwóch dodatków oznaczonych literami A i B. Scha- rakteryzujemy teraz krótko treść rozdziałów i dodatków. W rozdziale pierwszym przedstawiamy definicję macierzy brzegowej będą- cej szczególnym przypadkiem macierzy blokowej oraz podajemy podstawowe twierdzenie dotyczące macierzy brzegowych. Rozdział drugi zawiera informacje na temat działań wykonywanych na ma- cierzach z wykorzystaniem macierzy brzegowych. Mówimy tu o dodawaniu i odejmowaniu macierzy, przedstawiamy iloczyn Cauchy’ego dwóch macierzy oraz iloczyn liczby przez macierz (macierzy przez liczbę). Rozdział trzeci jest poświęcony omówieniu zastosowań macierzy brzegowych do obliczania wartości wyznacznika, natomiast w rozdziałach dalszych zaprezen- towano zastosowania macierzy brzegowych do wyznaczania macierzy odwrotnej (rozdz. 4), rozwiązywania układów równań liniowych (rozdz. 5) oraz wyznacza- nia rozwiązań bazowych (rozdz. 6). Z przedstawionych informacji wynika, że w naszej książce są omawiane podstawowe zagadnienia mieszczące się w programie algebry liniowej wykładanej na różnego rodzaju studiach ekonomicznych w Polsce. Proponowane ujęcie zapewnia a priori jednolite podejście do tematu, a tym samym ułatwia zaprogramowanie metod na komputer. Nadto powoduje, że wykład algebry nie ma cech „książki kucharskiej”, tak charakterystycznych w przypadku ujęcia tradycyjnego. Posługiwanie się macierzami brzegowymi wymaga umiejętności konstruowa- nia odpowiedniej macierzy brzegowej. Mając taką macierz, należy w każdym przypadku wykonać te same, co z mocą podkreślamy, działania elementarne na wierszach macierzy brzegowej. Pod pojęciem działań elementarnych rozumiemy: 1. Mnożenie wierszy macierzy przez dowolną liczbę różną od zera (oznacza to, że każdy element danego wiersza mnożymy przez tę liczbę, np. jeśli wiersz ma postać [2 3 5 7], a daną liczbą jest 2, to pomnożenie tego wiersza przez 2 powoduje, że mamy nowy wiersz postaci [4 6 10 14]. 7 Wstęp 2. Mnożenie wiersza przez dowolną liczbę różną od zera, a następnie doda- nie tak otrzymanego wiersza do innego wiersza (poprzednio pomnożony wiersz [4 6 10 14] dodamy do innego wiersza, np. [6 2 8 −1], i otrzymamy [10 8 18 13]). 3. Zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy. Każdy z wymienionych rozdziałów ma jednakową strukturę. Najpierw oma- wiamy podstawowe fakty tematycznie związane z zagadnieniem wymienionym w tytule rozdziału, następnie ilustrujemy je na przykładach, po czym, w kolej- nym podrozdziale, przedstawiamy zadania do samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika. Na koniec podajemy odpowiedzi do zadań przeznaczonych do samo- dzielnego rozwiązania wraz ze wskazówkami. Na wstępie informowaliśmy, że oprócz wspomnianych sześciu rozdziałów, które można nazwać algebraicznymi, praca zawiera jeszcze dwa dodatki oznaczone literami A i B. One również mają taką samą strukturę, co wymienione rozdziały. Dodatek A jest poświęcony elementom teorii jednorównaniowych modeli ekonometrycznych. Dodatek B dotyczy elementów teorii par korelacyjnych. Powyższe informacje wskazują, że tematyka zamieszczona w dodatkach odpowiada wykładom z ekonometrii realizowanym na kierunku ekonomia. Dodajmy jeszcze, że w dodatkach A i B podajemy wykorzystanie macierzy brzegowych zarówno w teorii jednorównaniowych modeli ekonometrycznych, jak i w teorii par korelacyjnych. Niniejsze opracowanie może być więc uznane za podręcznik z zakresu algebry liniowej oraz aplikacji w ekonometrii, przeznaczony głównie, ale nie jedynie, dla słuchaczy studiów ekonomicznych w ramach kierunku ekonomia. 8 Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności 1.1. Podstawy teoretyczne Daną macierz A = [aij] o wymiarach m × n dzielimy na bloki Aij przy użyciu p− 1 linii poziomych i q − 1 linii pionowych. Blok Aij jest macierzą o wymiarach mi × nj, gdzie: m1 + m2 + ··· + mp = m n1 + n2 + ··· + nq = n.  =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn A11 A12 . . . A1q A21 A22 . . . A2q . . . . . . Ap1 Ap2 . . . Apq . . . . . . oraz Mamy zatem: A =  (1.1) (1.2)  . Macierz A daną wzorem (1.2) nazywamy macierzą blokową. Jej szczególnym przypadkiem jest macierz brzegowa. Jest to bowiem macierz blokowa, w której: 1) blok A11 jest macierzą nieosobliwą stopnia S, 2) bloki A12, . . ., A1q są S-wymiarowymi wektorami kolumnowymi, 3) bloki A21, . . ., Ap1 są S-wymiarowymi wektorami wierszowymi, 4) bloki Aij(i = 2, 3, . . . , p, j = 2, 3, . . . , q) są liczbami, czyli macierzami o wymiarach 1 × 1. Macierz blokową zapisaną w postaci macierzy, której bloki spełniają warunki od 1 do 4, nazywamy wielokrotną macierzą brzegową. Odnotujmy jeszcze, że każda macierz brzegowa jest macierzą blokową, ale nie każda macierz blokowa jest macierzą brzegową. Aby nią być, musi spełniać warunki od 1 do 4. 9 Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności Przykład 1.1. Macierz: zapisana w postaci: A = A = 4 1 6 2 1 3 5 7  3 2 5 7  3 2 5 7  3 2 5 7 4 1 6 2 1 3 5 7 4 1 6 2 1 3 5 7    5 6 # i h (1.3) (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) nie jest macierzą brzegową, bo nie jest spełniony postulat 1. Ta sama macierz A zapisana w postaci: A = # 3 2 4 1 # 7 2 jest macierzą brzegową, bo są spełnione wszystkie postulaty od 1 do 4. Istotnie, blok A11 = jest macierzą kwadratową, wektory A12 = oraz A13 = są wektorami kolumnowymi dwuwymiarowymi, blok A21 = 1 3 jest dwuwymiarowym wektorem wierszowym, pozostałe zaś bloki A22 = [5] oraz A23 = [7] są macierzami o wymiarach 1 × 1, czyli liczbami. Zakładamy, że macierz wyjściowa jest macierzą kwadratową stopnia n, np.:    .  3 2 4 5 6 0 1 5 4 3 8 2 1 4 3 3 3 2 4 5 6 0 1 5 4 3 8 2 1 4 3 3 A = A = Wówczas macierz postaci: 10 jest pojedynczą macierzą brzegową (użyliśmy jednej linii poziomej i jednej linii pionowej). Tę samą macierz możemy zapisać w postaci: 1.1. Podstawy teoretyczne  3 2 4 5 6 0 1 5 4 3 8 2 1 4 3 3  . A = (1.8) (1.9) Tym razem użyliśmy dwóch linii poziomych i tyluż pionowych. Jest to zatem podwójna macierz brzegowa. Wynika z tego, że macierz kwadratowa stopnia n może być zapisana w postaci co najwyżej (n − 1)-krotnej macierzy brzegowej. Innymi słowy, macierz kwadratową stopnia n możemy przedstawić w postaci k-krotnej macierzy brzegowej (k n). Dla dalszych rozważań wygodniej będzie posługiwać się następującym zapi- sem wielokrotnej macierzy brzegowej: A1 f1 g1 . . . g r A =   . . . . fk Qrk d W formule (1.9) rolę macierzy A11 (zob. zapis (1.2)) odgrywa macierz A1, rolę bloków A1j dla j = 2, 3, . . . , q odgrywają wektory ft (t = 1, 2, . . . , k), natomiast rolę bloków Ai1 dla i = 2, 3, . . . , p (zob. (1.2)) odgrywają wektory g (d = 1, 2, . . . , r). Na koniec zauważmy, że bloki Aij (i = 2, 3, . . . , p, j = 2, 3, . . . , q) tworzą obecnie macierz Qrk o wymiarach r × k i elementach qzv (z = 1, 2, . . . , r, v = 1, 2, . . . , k). Dodajmy jeszcze, że macierz A1 podaną w zapisie (1.9) nazywamy macierzą wewnętrzną macierzy brzegowej A. W pracy Kolupy i Szczepańskiej-Gruźlewskiej [1991] udowodniono następu- jące Twierdzenie 1.1. Na macierzy brzegowej A danej wzorem (1.9) wykonujemy przekształcenie elementarne (zob. wstęp) takie, że: α – wewnętrzna macierz A1 przechodzi w górną macierz trójkątną (zera poniżej β – wektory g Drk = [dzv] również o wymiarach r × k, przy czym A−1 1 fv. Odwołamy się do ilustracji twierdzenia 1.1. głównej przekątnej) z jednostkową główną przekątną, Wówczas macierz Qrk = [qzv] o wymiarach r × k przechodzi w macierz k, k = 1, 2, . . . , r, przechodzą w wektory zerowe. dzv = qzv − g (1.10) z 11 Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności Przykład 1.2. Dana jest macierz A postaci: Zapiszmy ją jako podwójną macierz brzegową: Na tej macierzy wykonamy przekształcenia α i β. Mamy zatem kolejno: A = A = A ∼ 1 2 5 2 3 4 1 2 5 2 3 4  3 2 1  3 2 1  1 2 2 5 4 3 0 4 3 0 5 3 3 4 1 3 14 3 10 3 14 3 10 3 3 5 3  .  .  . # # . (1.11) (1.12) (1.13) W wyniku tych operacji macierz [3] została przekształcona w macierz górną trójkątną z jednostkową przekątną (jest to macierz zdegenerowana), natomiast macierz: została przekształcona w macierz: Q22 = D22 = Sprawdzimy poprawność dokonanych obliczeń, stosując wzór (1.10). Mamy zatem: d11 = q11 − g1A−1 d12 = q12 − g1A−1 d21 = q21 − g2A−1 d22 = q22 − g2A−1 1 f1 = 2 − 1 · 1 3 1 f2 = 5 − 1 · 1 3 1 f1 = 3 − 2 · 1 3 1 f2 = 4 − 2 · 1 3 · 2 = 2 − 2 · 1 = 5 − 1 · 2 = 3 − 4 · 1 = 4 − 2 3 = 3 = 3 = 3 = 4 3 , 14 3 , 5 3 , 10 3 . (1.14) Niech dana będzie macierz A = [aij] o wymiarach m × n. Symbolem AT oznaczamy macierz transponowaną, powstałą przez zapisanie wierszy macierzy A w kolumnach, czyli AT = [aji]n×m. 12 Rozpatrzymy teraz macierz kwadratową A stopnia n + 1. Ma ona postać: 1.1. Podstawy teoretyczne  A =  . a11 a21 . . . an1 . . . . . . a1n a2n . . . . . . . . . an,n a1,n+1 a2,n+1 . . . an,n+1 an+1,1 . . . an+1,n an+1,n+1  A1 f g z  , A = Zapiszemy ją w postaci macierzy brzegowej: (1.15) (1.16) gdzie A1 = [aij] jest macierzą kwadratową stopnia n. Jest to macierz wewnętrzna macierzy brzegowej A danej wzorem (1.16). Z kolei: dla gi = an+1,i, i = 1, 2, . . . , n, dla fj = aj,n+1, j = 1, 2, . . . , n, (1.17) g = [g1 g2 . . . gn] fT = [f1 f2 . . . fn] z = an+1,n+1. Przykład 1.3. Macierz A =  A1  2 5 1 2 4 3 0 1 2 5 3 2 1 2 0 4  =  , g = h f g z zapiszemy w postaci (1.16). Mamy zatem: 2 5 1 2 4 3 0 1 2 5 3 2 1 2 0 4 A =  czyli A1 =  2 5 1 4 3 0 2 5 3  ,  2 1 2 f = (1.18) (1.19) # , i 1 2 0 , z = 4. (1.20) W pracy Kolupy [1982] podane jest następujące Twierdzenie 1.2. Jeśli Aij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu aij macierzy wewnętrznej A1, to: det A = z det A1 − nX nX i=1 j=1 Aijgifj, (1.21) 13 Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności gdzie symbole det A1 oraz det A oznaczają wyznaczniki macierzy odpowied- nio A1 oraz A (zob. wzór (1.16)). nX Aijgifj = g(cid:16)AD Zauważmy, że: (cid:17)T f, nX (1.22) 1 gdzie AD 1 oznacza macierz dołączoną, czyli macierz o elementach Aij stano- wiących dopełnienia algebraiczne elementów aij macierzy wewnętrznej A1, natomiast symbol T w indeksie górnym oznacza macierz transponowaną. Na pod- stawie (1.19) dostajemy: det A = z det A1 − g(cid:16)AD (cid:17)T f. 1 (1.23) Zależność tę zilustrujemy przykładem. Przykład 1.4. Posłużmy się macierzą A daną wzorem (1.18) i zapisaną w postaci (1.19) jako macierz brzegowa. i=1 j=1 Obliczamy: 5 3 3 0 # 5 1 5 1 5 3 3 0 # # A1 11 = det = 9, 12 = − det A1 21 = − det A1 = −10, A1 22 = det 31 = − det A1 = −3, A1 32 = − det Wówczas: skąd: (cid:0)AD 1 (cid:1)T = AD 1 =  9 −10 −3 −12 4 14 4 0 −14 2 5 2 3 2 3 2 3 # = 4, 13 = det = −12, A1 23 = − det A1 4 5 # 2 5 # 4 5 4 0 2 1 # 2 1 #  9 −12 14  (transponowana macierz dołączona). −10 4 −3 0 4 −14  , 33 = det = 4, 4 0 4 3 A1 = 14, # = 0, = −14. Ponieważ det A1 = 18 + 20 − 6 − 60 = −28, przeto Mamy zatem: g(cid:0)AD 1 (cid:1)T f = h 1 2 0 z det A1 = 4 · (−28) = −112. i 9 −10 −3 4 4 0 −14 −12 14   2 1 2  = h −15 −2 5  = −22. i 2 1 2 Ostatecznie: 14 det A = −112 − (−22) = −90. Z twierdzenia 1.2 wynika kolejne 1.1. Podstawy teoretyczne = z − gA−1 1 f. Twierdzenie 1.3. Jeśli macierz wewnętrzna A1 macierzy brzegowej A jest nieosobliwa, to: det A det A1 1 f = z − det A gA−1 det A1 (1.24) Ze wzoru (1.24) widać, że wartość gA−1f można obliczyć za pomocą wzoru: (1.25) Na podstawie wzoru (1.25) można wysnuć wniosek, że chcąc obliczyć war- tość gA−1 1 f, należy obliczyć wyznaczniki stojące po prawej stronie tego wzoru. Jest to sugestia całe szczęście fałszywa, bowiem obliczenie jednego wyznacznika jest kłopotliwym zabiegiem numerycznym, natomiast obliczenie dwóch wyznacz- ników jest już bardzo pracochłonne. Poniżej podamy postępowanie, według którego możemy obliczyć iloraz det A przez det A1 bez osobnego obliczania każdego z wymienionych wyznaczników. Dla macierzy A1 danej wzorem (1.20) obliczyliśmy det A1 = −28 oraz det A = −90, wobec czego: . Jednocześnie na podstawie twierdzenia 1.1 mamy: Wynik ten prosimy porównać z rezultatem (1.26). Na zakończenie przeglądu własności macierzy brzegowej podamy jeszcze następujące Twierdzenie 1.4. Jeśli macierze A, B, C i D są macierzami o wymiarach odpowiednio n × n, n × p, p × n, p × p, to wyznacznik macierzy F postaci (1.27) przy założeniu nieosobliwości macierzy A (przy założeniu nieosobliwości macie- rzy D) jest odpowiednio równy C D , F = A B # 15   A ∼ ∼  ∼ 2 5 1 2 4 3 0 1 2 5 3 2 1 2 0 4 1 1 5 2 2 2 0 1 7 0 0 2 0 0 − 5 14 1 3 7 0 45 14 det A det A1 = 45 14 .   ∼ 1 2 1 5 1 2 0 −7 −2 3 2 0 0 0 0 − 1 2 − 1 2 3 1 1 5 2 1 2 3 0 1 2 7 7 0 0 1 0 0 0 0 45 14   ∼  . (1.26)  1 5 2 0 1 0 0 0 − 1 1 1 2 3 2 7 7 2 0 2 − 1 2 3  ∼ Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności det F = det A det det F = det D det (cid:16)D − CA−1B(cid:17) (cid:16)A − BD−1C(cid:17) , (1.28) (1.29) Dowód twierdzenia 1.4 podany jest w pracy Kolupy i Szczepańskiej-Gruź- Dodajmy jeszcze, że macierz M postaci . lewskiej [1991]. oraz macierz N dana wzorem M = D − CA−1B N = A − BD−1C noszą nazwę dopełnień Schura. 1.2. Zadania 1.1. Dane są następujące macierze: Zapisać każdą z nich w przynajmniej dwóch różnych postaciach macierzy brzegowych. 1.2. Na podanych macierzach brzegowych: a) A = b) B = c) C = 4 5 7 2 5 4 1 2 5 4 3 2 5 7  ,  3 2 1  ,  6 3 8 0  6 3  .  3 2 1  1 2 4  ,  , 4 5 7 2 3 1 1 4 2 5 5 7 2 3 0 1 a) A = b) B = 16  1 0 2 0 1 5 7 4 3  , c) C = 1.2. Zadania wykonać przekształcenia α i β. 1.3. Dana jest macierz brzegowa postaci:  3 2 4 5 0 1 2 4 3 2 1 5 1 0 1 2  . A = Wykonać przekształcenia α i β. 1.4. Dla macierzy brzegowych postaci:  , 1 5 4 0 1 1  3 2 3  3 2 1 2 4 3 1 3 0 0 1 5 4 3 6 1  , a) A = b) A = wyznaczyć iloraz det A przez det A1: I) bezpośrednio obliczając det A1, a następnie det A, II) wykonując przekształcenia α i β. 1.5. Czy w wyniku wykonania przekształceń α i β na macierzy brzegowej postaci:  6 3 1 2 5 4 8 2 0  A = na miejscu zera otrzymamy 4? 1.6. Dana jest macierz brzegowa: A =   d1 0 0 a1 0 d2 0 a2 0 0 d3 a3 b1 b2 b3 z 17 Rozdział 1. Macierz brzegowa i jej podstawowe własności oraz macierz A1 = Sprawdzić, że jeśli di 6= 0, to:  d1 0 0 det A = det (A1) · 0 d2 0 0 0 d3  . z − 3X aibi di i=1 ! . 1.3. Odpowiedzi i wskazówki 1.1. a) Na przykład · 5 3 + 1 3 = −26 7 , ,  3 2 1  lub A =  6  lub B = 4 5 7 2 5 4 8 0 5 4 5 7 1 3 , 3 8 0 2 5 4 2 5 7 3 1 3 0 1 17 7 0 0 ∗ 1 3 17 3 1 3 .  ∼  1 2  1 2  ∼  1 0 2  ∼ 0 1 5 0 4 −11 4 0 −3 −18 0 −6 −11 7  ∗ = −17  ,  1 2 4  ∼  .  1 0 2  ∼ 0 1 6 0 0 25 0 1 5 0 0 −31 3 4 5 1 2 3 2 4 5 7 2 5 4  3 2 1  6 3  6  1 2  1 2 4  1 0 2 5 7 2 3 0 1 3 0 7 3 0 5 3 0 1 5 7 4 3 1 2 A = b) np. B = c) tylko C = 1.2. a) A = b) B = c) C = 18 1.3. Odpowiedzi i wskazówki  1 2 4 5 3 3 3 0 1 2 4 0 0 −3 0 3 − 1 0 − 2 1 3 3 1.3. A ∼ 1.4. aI) det A1 = 13, det A = 4, aII) A ∼ 3 1 0 13 3 3 0 1 1  1 2  . , 4 3 1 2 5 3 3 0 1 2 4 0 0 −3 0 0 0 1 3 3 1 0 1 9 13 0 0 4 13   ∼  ∼  1 2   ∼  ∼  1 3 bII) A = 3 2 1 2 4 3 1 3 0 0 1 5 4 3 6 1 bI) det A1 = 1, det A = −27, 1 2 3 0 1 0 0 0 1 3 1 2 2 1 3 3 3 0 1 −1 1 0 0 1 5 0 0 0 −27 1 2 2 3 3 0 1 −1 1 0 0 1 5 0 0 5 −2 2 3 3 − 1 1 3 3 1 5 3 − 5 14  ∼  . ∼ 1 3 3 2 5 4 8 2 0   6 3 1   1.5. Nie, mamy bowiem:  ∼ 3 1 6 6 11 0 4 3 0 −2 − 4 3  1  ∼  d1 0 0 a1 0 d2 0 a2 0 0 d3 a3 b1 b2 b3 z A = A = 1.6. Stosując przekształcenia α i β, otrzymujemy:  ∼  1 3 1 6 0 1 11 12 0 0 1 3 6 .  ∼ a1 d1 a2 a3 1 0 0 0 d2 0 0 0 d3 0 b2 b3 z − a1b1 d1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 z − a1b1  ∼  d1 − a2b2 d2 ∼ 1 0 0 a1 d1 0 1 0 a2 d2 0 0 d3 a3 0 0 b3 z − a1b1 d1 a1 d1 a2 d2 a3 d3 − a2b2 d2  . − a3b3 d3 19 Rozdział 2. Działania na macierzach z wykorzystaniem macierzy brzegowych 2.1. Podstawy teoretyczne W tym rozdziale omówimy kolejno dodawanie macierzy, odejmowanie i mnożenie macierzy w sensie Cauchy’ego oraz mnożenie macierzy przez liczbę (liczby przez macierz). Rozpatrzmy dwie macierze A = [aij] oraz B = [bij] o tych samych wymiarach m × n. Podkreślamy, iż tylko wówczas możemy obliczyć ich sumę C = A + B, która również jest macierzą o wymiarach m × n. Do jej wyznaczenia korzystamy z macierzy brzegowej postaci:  Im A −Im B  . D = (2.1) Na macierzy D wykonujemy przekształcenia β (przekształceń α nie trzeba wykonywać, gdyż macierz Im jest górną macierzą trójkątną z jednostkową główną przekątną). Po ich wykonaniu na miejscu macierzy B podanej w macierzy D (zob. wzór (2.1)) wystąpi szukana suma C = A + B. Odwołajmy się do przykładów. Przykład 2.1. Dodajmy macierz A = o wymiarach 2 × 3 do macierzy 6 3 1 # 2 5 6 B = Macierz D ma postać: 0 2 5 o takich samych wymiarach 2 × 3. 3 2 1 #  0 1 3 2 1 0 2 5 0 1 −1 0 6 3 1 0 −1 2 5 6  . D = 20
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: