Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00546 008661 10441459 na godz. na dobę w sumie
Algorytmy numeryczne w Delphi. Księga eksperta - książka
Algorytmy numeryczne w Delphi. Księga eksperta - książka
Autor: , , Liczba stron: 544
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 83-7361-951-8 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> programowanie >> delphi - programowanie
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Metody numeryczne są to sposoby rozwiązywania złożonych problemów matematycznych za pomocą narzędzi obliczeniowych udostępnianych przez popularne języki programowania. Jeden z najpopularniejszych języków -- Pascal, będący podstawą języka ObjectPascal wykorzystywanego w Delphi, pozwala na bardzo łatwą implementację mechanizmów obliczeń numerycznych. Specyfika projektowania aplikacji w środowisku Delphi pozwala na utworzenie komponentów realizujących algorytmy numeryczne i stosowanie ich w wielu aplikacjach.

Książka 'Algorytmy numeryczne w Delphi. Księga eksperta' przedstawia najczęściej wykorzystywane metody numeryczne wraz z przykładami ich implementacji w języku ObjectPascal. Każde zagadnienie jest omówione zarówno od strony teoretycznej, jak i praktycznej, co ułatwia jego zrozumienie i pozwala na modyfikacje zamieszczonych w książce kodów źródłowych.

Niemal każdy problem obliczeniowy można rozwiązać za pomocą metod numerycznych. Nie musisz więc wymyślać ponownie koła -- wystarczy, że poznasz opisane w tej książce algorytmy.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Algorytmy numeryczne w Delphi. Ksiêga eksperta Autorzy: Bernard Baron, Artur Pasierbek, Marcin Maci¹¿ek ISBN: 83-7361-951-8 Format: B5, stron: 544 Metody numeryczne s¹ to sposoby rozwi¹zywania z³o¿onych problemów matematycznych za pomoc¹ narzêdzi obliczeniowych udostêpnianych przez popularne jêzyki programowania. Jeden z najpopularniejszych jêzyków — Pascal, bêd¹cy podstaw¹ jêzyka ObjectPascal wykorzystywanego w Delphi, pozwala na bardzo ³atw¹ implementacjê mechanizmów obliczeñ numerycznych. Specyfika projektowania aplikacji w œrodowisku Delphi pozwala na utworzenie komponentów realizuj¹cych algorytmy numeryczne i stosowanie ich w wielu aplikacjach. Ksi¹¿ka „Algorytmy numeryczne w Delphi. Ksiêga eksperta” przedstawia najczêœciej wykorzystywane metody numeryczne wraz z przyk³adami ich implementacji w jêzyku ObjectPascal. Ka¿de zagadnienie jest omówione zarówno od strony teoretycznej, jak i praktycznej, co u³atwia jego zrozumienie i pozwala na modyfikacje zamieszczonych w ksi¹¿ce kodów Ÿród³owych. (cid:129) Typy, funkcje, klasy i procedury wykorzystywane w algorytmach numerycznych (cid:129) Algebra macierzy i równania liniowe (cid:129) Badanie funkcji (cid:129) Rozwi¹zywanie równañ nieliniowych i wyznaczanie wartoœci w³asnych macierzy (cid:129) Uk³ady równañ ró¿niczkowych liniowych i nieliniowych (cid:129) Przekszta³cenia Fouriera i Laplace’a Niemal ka¿dy problem obliczeniowy mo¿na rozwi¹zaæ za pomoc¹ metod numerycznych. Nie musisz wiêc wymyœlaæ ponownie ko³a — wystarczy, ¿e poznasz opisane w tej ksi¹¿ce algorytmy. IDZ DO IDZ DO PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ SPIS TREŒCI SPIS TREŒCI KATALOG KSI¥¯EK KATALOG KSI¥¯EK KATALOG ONLINE KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK TWÓJ KOSZYK DODAJ DO KOSZYKA DODAJ DO KOSZYKA CENNIK I INFORMACJE CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWOŒCIACH O NOWOŒCIACH ZAMÓW CENNIK ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA CZYTELNIA FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE Wydawnictwo Helion ul. Chopina 6 44-100 Gliwice tel. (32)230-98-63 e-mail: helion@helion.pl Spis treści Zmiany w stosunku do poprzedniego wydania .........................................9 Przedmowa ...................................................................................................11 Rozdział 1. Definicje typów, procedur, funkcji i klas dla zagadnień numerycznych ..........................13 1.1. Organizacja biblioteki obliczeń numerycznych .........................................................................14 1.2. Typ wariantowy .........................................................................................................................14 1.3. Predefiniowany typ liczb zespolonych ......................................................................................16 1.4. Definicja typu liczb zespolonych ...............................................................................................17 1.5. Funkcje konwersji liczb rzeczywistych zespolonych na łańcuch i odwrotnie ............................18 1.6. Wektor .......................................................................................................................................20 1.7. Macierz ......................................................................................................................................21 1.8. Reprezentacja wektorów i macierzy za pomocą tablic ...............................................................21 1.8.1. Przydzielanie i zwalnianie pamięci dla tablic jednowymiarowych ..................................23 1.8.2. Przydzielanie i zwalnianie pamięci dla tablic dwuwymiarowych ....................................24 1.9. Zapis i odczyt wektorów oraz macierzy w komponencie TStringGrid ......................................25 1.10. Wzorcowe funkcje zapisu i odczytu plików macierzy ...............................................................26 Rozdział 2. Algebra macierzy i równania liniowe ....................................27 2.1. Metoda bezpośredniego rozwiązywania układu równań macierzowych metodą eliminacji Gaussa ......28 2.1.1. Skalowanie układu równań liniowych .............................................................................32 2.2. Rozwiązywanie układu równań liniowych według algorytmu Crouta .......................................34 2.3. Obliczanie macierzy odwrotnej metodą eliminacji Gaussa ........................................................39 2.4. Obliczanie macierzy odwrotnej metodą Crouta .........................................................................43 2.5. Obliczanie wyznacznika macierzy kwadratowej .......................................................................48 2.6. Wskaźnik uwarunkowania macierzy .........................................................................................50 2.7. Obliczanie wartości własnej macierzy kwadratowej A o największym module ...........................52 2.8. Obliczanie wartości własnej macierzy 1–αA o największym module .......................................53 2.9. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą iteracji Jacobiego oraz Richardsona ...........55 2.10. Rozwiązywanie układu równań metodą Gaussa-Seidela oraz metodą nadrelaksacji .................58 2.11. Pseudorozwiązanie układu nadokreślonego ...............................................................................60 2.12. Metoda najmniejszych kwadratów ............................................................................................66 2.13. Algorytm Crouta rozwiązywania rzadkich układów równań liniowych .......................................68 2.14. Algorytmy iteracyjne Richardsona oraz Gaussa-Seidela dla macierzy rzadkich .......................78 Przykłady ............................................................................................................................................85 Komponenty ..............................................................................................................................85 Właściwości ..............................................................................................................................85 4 Algorytmy numeryczne w Delphi Zdarzenia ...................................................................................................................................86 Przykład 2.1. Obliczanie macierzy odwrotnej ...........................................................................88 Przykład 2.2. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych ...............................................95 Przykład 2.3. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych rzadkich ............................... 102 Rozdział 3. Praktyka badania funkcji ......................................................109 3.1. Całkowanie i różniczkowanie numeryczne .............................................................................. 109 3.1.1. Ekstrapolacja iterowana Richardsona i Aitkena ............................................................ 109 3.1.2. Całkowanie numeryczne ................................................................................................ 116 3.1.3. Różniczkowanie numeryczne ........................................................................................ 125 3.1.4. Gradient funkcji wielu zmiennych ................................................................................. 135 3.1.5. Jakobian funkcji wektorowej wielu zmiennych ............................................................. 136 3.1.6. Hesjan funkcji wielu zmiennych .................................................................................... 137 3.2. Wybrane metody aproksymacji i interpolacji liniowej funkcji jednej zmiennej ...................... 138 3.2.1. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów ......................................................... 139 3.2.2. Aproksymacja funkcji dyskretnej wielomianem ............................................................ 141 3.2.3. Aproksymacja układami funkcji ortogonalnych ............................................................ 141 3.2.4. Aproksymacja wielomianami ortogonalnymi ................................................................ 142 3.2.5. Implementacja metod aproksymacji .............................................................................. 144 3.2.6. Interpolacja funkcji dyskretnej krzywą łamaną ............................................................. 159 3.2.7. Interpolacja wielomianem potęgowym Lagrange’a ....................................................... 160 3.2.8. Interpolacja funkcjami sklejanymi ................................................................................. 160 3.2.9. Interpolacja funkcjami i wielomianami ortogonalnymi ................................................. 162 3.2.10. Metody interpolacji w ramach klasy TInterpolation .................................................... 165 3.3. Wybrane metody poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych metodami bezgradientowymi ................................................................................................... 180 3.3.1. Wyznaczenie minimum funkcji wielu zmiennych bezgradientową metodą poszukiwań prostych Hooke’a-Jeevesa ................................................................................... 181 3.3.2. Bezgradientowa metoda „złotego podziału” poszukiwania minimum ........................... 184 3.3.3. Bezgradientowa metoda Powella poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych .... 192 3.4. Wybrane metody poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych metodami gradientowymi ........................................................................................................ 196 3.4.1. Metoda ekspansji i kontrakcji geometrycznej z jednym testem badania współczynnika kroku przy poszukiwaniu minimum w kierunku ................................... 197 3.4.2. Metoda aproksymacji parabolicznej z jednym testem badania współczynnika kroku przy poszukiwaniu minimum w kierunku ..................... 201 3.4.3. Algorytm największego spadku ..................................................................................... 206 3.4.4. Zmodyfikowany algorytm Newtona .............................................................................. 210 Przykłady ........................................................................................................................................ 215 Komponenty ............................................................................................................................ 215 Przykład 3.1. Testowanie metod całkowania ........................................................................... 216 Przykład 3.2. Testowanie procedur różniczkowania numerycznego ....................................... 221 Przykład 3.3. Testowanie funkcji do wyznaczania macierzy Jacobiego funkcji wektorowej .... 225 Przykład 3.4. Testowanie funkcji do wyznaczania macierzy Hessego funkcji wielu zmiennych .. 229 Przykład 3.5. Testowanie metod klasy TApproximation ......................................................... 231 Przykład 3.6. Testowanie metod klasy TInterpolation ............................................................. 239 Przykład 3.7. Testowanie metod wyznaczania minimum funkcji ............................................ 244 Spis treści 5 Rozdział 4. Równania nieliniowe, zera wielomianów, wartości własne macierzy ....................251 4.1. Algorytmy rozwiązywania układów równań nieliniowych ...................................................... 252 4.1.1. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych metodą Newtona ................................. 253 4.1.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych metodą gradientową ........................... 256 4.1.3. Rozwiązywanie układu równań nieliniowych zmodyfikowaną metodą Newtona ......... 260 4.1.4. Rozwiązywanie układów nieliniowych metodą iteracyjną ............................................ 264 4.1.5. Pseudorozwiązania nieliniowego układu nadokreślonego metodą Hooke’a-Jeevesa .... 267 4.2. Wyznaczanie zer wielomianów metodami Bairstowa i Laguerre’a ......................................... 270 4.2.1. Dzielenie wielomianów o współczynnikach rzeczywistych przez czynnik liniowy według algorytmu Hornera ....................................................... 270 4.2.2. Dzielenie wielomianu przez czynnik kwadratowy ........................................................ 272 4.2.3. Wyznaczanie dzielników wielomianu stopnia N 2 w postaci trójmianu kwadratowego metodą Bairstowa ................................................. 273 4.2.4. Wyznaczanie zer wielomianów o współczynnikach rzeczywistych .............................. 277 4.2.5. Wyznaczanie zer wielomianu metodą Laguerre’a ......................................................... 280 4.2.6. Wyznaczanie zer wielomianu metodą Laguerre’a ......................................................... 282 4.3. Wyznaczanie wartości własnych macierzy metodami Bairstowa i Laguerre’a ........................ 284 4.3.1. Wyznaczanie współczynników wielomianu charakterystycznego macierzy kwadratowej metodą Kryłowa ....................................................................... 285 4.3.2. Wyznaczanie wartości własnych macierzy metodą Bairstowa ...................................... 287 4.3.3. Wyznaczanie wartości własnych macierzy metodą Laguerre’a ..................................... 290 4.4. Wyznaczanie zer funkcji jednej zmiennej metodą połowienia przedziału ............................... 291 Przykłady ........................................................................................................................................ 293 Komponenty ............................................................................................................................ 293 Przykład 4.1. Testowanie metod rozwiązywania układu równań nieliniowych ....................... 294 Przykład 4.2. Testowanie metod rozwiązywania układu równań nieliniowych — cd. ............ 295 Przykład 4.3. Wyznaczanie zer wielomianów o współczynnikach rzeczywistych zadanych z klawiatury za pomocą metod Laguerre’a oraz Bairstowa ............................... 300 Przykład 4.4. Wyznaczanie wartości własnej macierzy zadanej z klawiatury lub pliku .......... 302 Przykład 4.5. Wyznaczanie zer i ekstremum funkcji Bessela rzędu N .................................... 305 Rozdział 5. Układy zwyczajnych równań różniczkowych nieliniowych .................................................309 5.1. Układ równań różniczkowych jako klasa programowania obiektowego ................................. 310 5.1.1. Definicje typów do zadawania układu równań różniczkowych nieliniowych ............... 311 5.1.2. Definicja klasy prototypowej dla klas implementujących rozwiązywanie układu równań różniczkowych ............................................................. 312 5.1.3. Definicja klasy prototypowej dla klas potomnych dotyczących rozwiązywania układu równań różniczkowych nieliniowych ....................................... 318 5.1.4. Aproksymacja dyskretnych wartości wektorów stanu ................................................... 319 5.1.5. Funkcje pomocnicze do działania na wektorach stanu .................................................. 322 5.2. Metody Rungego-Kutty ........................................................................................................... 323 5.3. Rozwiązywanie układu równań różniczkowych zwyczajnych metodą Rungego-Kutty z automatycznym doborem kroku całkowania ........................................................................ 327 5.4. Metody Fehlberga .................................................................................................................... 332 6 Algorytmy numeryczne w Delphi 5.5. Rozwiązanie układu równań różniczkowych nieliniowych zwyczajnych metodą Fehlberga z automatycznym doborem kroku całkowania ........................................................ 340 5.6. Rozwiązanie układu równań różniczkowych nieliniowych zwyczajnych metodą Dormanda-Prince’a z automatycznym doborem kroku całkowania ........................................ 344 5.7. Wielokrokowa metoda rozwiązywania układu równań różniczkowych nieliniowych z członem przewidywania Adamsa-Bashfortha oraz członem korekcyjnym Adamsa-Multona z automatycznym doborem kroku i rzędu ................................................... 349 5.7.1. Algorytm Adamsa-Bashfortha ....................................................................................... 349 5.7.2. Algorytm Adamsa-Multona ........................................................................................... 351 5.7.3. Algorytmy przewidywania i korekcji wyrażone przez macierz Nordsiecka .................. 354 5.7.4. Faza wstępna obliczeń ................................................................................................... 363 5.7.5. Metody klasy TAdamsMultonAbstract i TAdamsMulton, realizujące algorytm Adamsa-Multona ......................................................................... 368 5.8. Rozwiązywanie układu równań nieliniowych metodą sztywno stabilnych algorytmów Geara ....374 5.9. Metoda Gragga z ekstrapolacją Bulirscha-Stoera .................................................................... 386 Przykłady ........................................................................................................................................ 394 Komponenty ............................................................................................................................ 394 Przykład 5.1. Rozwiązywanie układów równań różniczkowych drugiego rzędu .................... 395 Przykład 5.2. Zastosowanie klasy TRoRoNl do rozwiązywania układów równań różniczkowych nieliniowych w ramach pewnej klasy ........... 402 Przykład 5.3. Wahadło matematyczne ..................................................................................... 408 Rozdział 6. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach ...................................................413 6.1. Równania różnicowe dla różnych aproksymacji funkcji wymuszających .................................... 418 6.1.1. Wymuszenie aproksymowane funkcjami przedziałami stałymi .................................... 418 6.1.2. Wymuszenie aproksymowane funkcjami przedziałami liniowymi ................................ 420 6.1.3. Wymuszenie aproksymowane wielomianem stopnia drugiego ..................................... 422 6.1.4. Dobór kroku całkowania T ze względu na dobór górnej granicy błędu obliczania macierzy eAT oraz ze względu na numeryczną stabilność rozwiązania ......................... 425 6.2. Definicja typów dla liniowych równań różniczkowych ........................................................... 427 6.3. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach dla aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami stałymi ..... 429 6.4. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach dla aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami liniowymi ............................................ 431 6.5. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach dla aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami kwadratowymi ..................................... 433 Przykłady ........................................................................................................................................ 435 Komponenty ............................................................................................................................ 435 Przykład 6.1. Testowanie metod rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych .. 435 Przykład 6.2. Testowanie metod rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych zdefiniowanych wewnątrz pewnej klasy ........................................................... 440 Rozdział 7. Praktyka przekształceń Fouriera ...........................................449 7.1. Dyskretna transformacja Fouriera według algorytmu Hornera ................................................ 455 7.2. Szybkie przekształcenie Fouriera według algorytmu Cooleya-Tukeya ................................... 457 7.3. Szybkie przekształcenie Fouriera według algorytmu Sande’a-Tukeya .................................... 466 7.4. Wyznaczanie współczynników zespolonego szeregu Fouriera dla dowolnej funkcji okresowej .. 470 7.5. Obliczanie odwrotnej transformacji Fouriera dla dowolnej transformaty ................................ 471 Spis treści 7 Przykłady ........................................................................................................................................ 474 Komponenty ............................................................................................................................ 474 Przykład 7.1. Obliczanie zespolonych współczynników szeregu Fouriera .............................. 475 Przykład 7.2. Obliczanie odwrotnej transformacji Fouriera .................................................... 479 Przykład 7.3. Obliczanie zespolonych współczynników szeregu Fouriera w ramach pewnej klasy ..................................................................................... 483 Rozdział 8. Praktyka przekształceń Laplace’a .......................................487 8.1. Numeryczne obliczanie transformacji odwrotnej Laplace’a w wybranej chwili czasowej z zastosowaniem szeregów Fouriera .......................................... 488 8.2. Numeryczne obliczanie transformacji odwrotnej Laplace’a w wybranej chwili czasowej z zastosowaniem szeregów Laguerre’a ...................................... 494 8.3. Numeryczne obliczanie transformacji odwrotnej Laplace’a w wybranej chwili czasowej według algorytmu Valsa ............................................................ 498 8.4. Obliczanie transformacji odwrotnej Laplace’a funkcji wymiernej na podstawie jej pozostałości w biegunach ............................................... 502 8.4.1. Definicja klasy do obliczania odwrotnej transformacji Laplace’a funkcji wymiernej na podstawie jej pozostałości w biegunach ..................................... 505 Przykłady ........................................................................................................................................ 510 Komponenty ............................................................................................................................ 510 Przykład 8.1. Wyznaczanie odwrotnej transformacji Laplace’a funkcji operatorowych zgodnie ze wzorcami funkcji ........................................ 511 Przykład 8.2. Zastosowanie transformacji odwrotnej Laplace’a dla funkcji wymiernych ....... 516 Bibliografia ..................................................................................................523 Skorowidz ...................................................................................................525 Rozdział 6. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Zadany jest układ N równań różniczkowych liniowych niejednorodnych: i t dx )( dt = N ∑ j 1 = txa )( ij j + W ∑ j 1 = tub )( ij j (i = 1, 2, ..., N), (6.1) gdzie współczynniki aij oraz bij są rzeczywiste. Układ ten można zapisać w postaci macie- rzowej: x td )( dt (6.2) Bu Ax t )( t )( + = , gdzie: x t )( = x td )( dt = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 1 tx )( tx )( . . . t )( N x ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 2 1 t dx )( dt dx t )( dt . . . N t )( dx dt (6.2a) (6.2b) ; ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ; 414 Algorytmy numeryczne w Delphi A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 11 12 21 22 aa K aa K .. . K aa K N N 1 2 a a 1 N 2 N a NN B = W 1 2 W 22 12 11 21 bb ⎡ ⎢ bb ⎢ ⎢ .. ⎢ bb ⎣ N N 1 b K b K . K K b 2 NW ; ; ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ u t )( = (6.2c) (6.2d) . ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 2 tu )( ⎡ ⎢ tu )( ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ tu )( ⎢ ⎣ w Na człony niejednorodne układu (6.1) składa się W wymuszeń uj(t) (j = 1, 2, ..., W) wy- stępujących ze współczynnikami bij macierzy prostokątnej B. W teorii równania (6.2) centralną rolę odgrywa funkcja wykładnicza eAt macierzy kwadratowej A przemnożonej przez zmienną niezależną t, zdefiniowaną szeregiem macierzowym [7]: A t e += A1 t + 1 !2 ( A t ) 2 + + K 1 k ! ( A t ) k + = K ∑∞ k = 0 k ( A t ) k ! . (6.3) Szereg macierzowy (6.3) jest równoważny N2 zwykłym skalarnym szeregom potęgowym: Aδ t + ( ij ) ij + { ( 1 !2 A t ) 2 } ij + K + { ( 1 k ! A t ) k } K + ij , (i, j = 1, 2, ..., N). Do zrozumienia konstrukcji całki ogólnej równania (6.2) niezbędne będą następujące własności funkcji wykładniczej eAt: 1. Jeżeli t = 0, to zgodnie z definicją (6.3) eA0 = 1 (macierz jednostkowa N⋅N-wymiarowa). 2. Jeżeli macierz A komutuje z macierzą B, a więc AB = BA, to: eAt⋅eBt = e(A+B)t. (6.4) (6.5) 3. Ponieważ na mocy własności (6.5) eAt e–At = e(A–A)t = 1, więc macierz odwrotna macierzy eAt ma postać: [ e A t ] − =1 − A t e . (6.6) 4. Różniczkując obie strony równania macierzowego (6.3) ze względu na t oraz wyłączając wspólny czynnik A z wyrazów szeregu nieskończonego, otrzymuje się: d dt A t e = A t A e A t = e A . (6.7) 5. Mnożąc lewostronnie lub prawostronnie równanie macierzowe (6.7) przez A–1 (macierz odwrotna macierzy A), a następnie całkując tak otrzymywane równania ze względu na t od t1 do t2, otrzymuje się: Rozdział 6. (cid:139) Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 415 A t e dt = A 1 − ( e A t 2 − e A t 1 ) = ( e A t 2 − e A t 1 ) A 1 − . (6.8) t 2 ∫ t 1 Do rozwiązania układu równań różniczkowych liniowych (6.2) można zastosować me- todę uzmiennienia stałych. W tym celu najpierw rozpatruje się przypadek, gdy u(t) ≡ 0, co oznacza, że równanie (6.2) jest jednorodne x td )( dt = Ax t )( . Łatwo wykazać, że całka ogólna równania jednorodnego (6.9) ma postać: x(t) = eAt y, gdzie y jest wektorem N-wymiarowym o składowych stałych. Istotnie z własności (6.7) wynika tdx )( dt = d dt ( tye A t ) A)( = ye A t A= )t(x . (6.9) (6.10) (6.11) Zgodnie z metodą uzmiennienia stałych przyjmuje się dalej, że wektor y jest funkcją zmiennej t, co daje: x(t) = eAt y(t), (6.12) a następnie podstawia się wyrażenie (6.12) do równania niejednorodnego (6.2), uwzględ- niając własność (6.7) y tde )( dt (6.13) Bu+yA )t( )t( yA e )t( = + e A t A t . A t Upraszczając równanie (6.13) o człon AeAty(t) oraz mnożąc je lewostronnie przez ma- cierz eAt, otrzymuje się na mocy własności (6.6) y td )( dt A−= e tBu )t( . Całkując równanie (6.14) ze względu na t od t0 do t, otrzymuje się: y t )( = y t ( 0 ) + A t ττBu . d)( t e ∫ − t 0 (6.14) (6.15) Jeżeli zadany jest wektor wartości początkowych x(t0), to odpowiadający mu wektor y(t0) można wyznaczyć z równania (6.12), stosując własność (6.6): y(t0) = e–At x(t0). (6.16) Uwzględniając równanie (6.15) wraz z podstawieniem (6.16) w równaniu (6.12), otrzymuje się następujące rozwiązanie równania (6.2): 416 Algorytmy numeryczne w Delphi x t )( = e A ( t − t )0 x t ( 0 ) + e A t t e ∫ − t 0 A τττBu d)( . (6.17) Równanie (6.17) nie nadaje się do bezpośredniego obliczenia numerycznego. Rozwią- zanie dokładne (6.17) równania (6.2) można jednak wykorzystać w metodzie krokowej, zastępując to równanie równaniem różnicowym, przyjmując t0 = kT i t = (k+1)T: [ x ( k + T )1 ] A T = e x ( kT ) + e A ( k )1 + T ( k − A τττBu d)( . (6.18) T e )1 + ∫ kT W obliczaniu całek (6.18) mogą wystąpić trudności związane z występowaniem ujem- nych i dużych co do modułu wartości własnych macierzy A. Ze względu na możliwość takiego przypadku należy aproksymować funkcję wektorową wymuszającą u(t), nie zmie- niając jądra eAt w całce równania (6.18). Niech zachodzi przypadek ogólny, dla którego macierz A ma dzielniki elementarne: ( λ−λ 1 ) p 1 ( , λ−λ 2 p 2 ) , ( λ−λ , s ) sp , K gdzie wśród wartości własnych λ1, λ2, ..., λs macierzy A będących, zgodnie z definicją, zerami wielomianu charakterystycznego macierzy A det ( − I A λ ) 0 = , mogą być liczby jednakowe; w takim przypadku istnieje taka macierz nieosobliwa S, że pn ≤ ≤1 N , przy czym p1+p2+...+ps = M. Dowodzi się, że A = S–1 CS, (6.19) gdzie macierz C jest macierzą quasi-diagonalną, zwaną kanoniczną macierzą Jordana [30]. C = I p 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ) ( λ 1 0 . . . 0 I p 2 ) 0 ( λ 2 . . . 0 I pi ( λ i ) = λ ⎡ i ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 λ i 1 0 0 0 0 λ i 1 0 K K K K K K K K K K K ; ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . 0 . . . . ( s λ s ) 0 0 0 0 λ i ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ I p 0 0 0 λ i 1 (6.20) Rozdział 6. (cid:139) Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 417 Stosując transformację (6.19), funkcję wykładniczą eAt można przekształcić następująco: (6.21) 1 − CS SC ) (1 − 1 − C t A t S S ) ( t t e = e = e = S e S . Ponieważ macierz C jest quasi-diagonalna, to: C t e = t I e ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ )1( λ 1p 0 . 0 I e t 0 )2(2 λ p . 0 0 0 . ( sp ts ) λ . ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ I e (6.22) Zgodnie z definicją macierzowej funkcji wykładniczej oraz macierzy (6.20) zachodzi [30]: (6.23) (λiI pe i ) =t 2 ti λ ti λ ti λ K 0 0 0 e ti λ e te et !2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ e t p t p 0 0 t p )!2 )!3 )!1 K K K te 0 − − − e e ip 1 − ip − 3 ip − 2 e e ti λ ti λ ti λ ti λ ( i ( i ( i ti λ ti λ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Wzory (6.17), (6.21) i (6.22) określają strukturę rozwiązania równania różniczkowego (6.2), a w szczególności jego związek z wartościami własnymi λi występującymi w kombi- tieλ przemnożonych przez wielomiany Pi(t) stopnia nie większego niż nacjach funkcji pi–1, gdzie pi jest stopniem dzielnika elementarnego odpowiadającego wartości własnej . Załóżmy w ogólnym przypadku, że wartości własne λi macierzy A są ze- λi, tj. i spolone = jβαλ (i = 1, 2, ..., N). etP λ)( ti (6.24) + i i i { } i αλ = i 0 Re , to odpowiednie składniki rozwiązania Pi(t) wzrastają wykładni- Jeżeli czo z członem wielomianowym Pi(t), gdy czas t wzrasta. Jeżeli αi 0, to odpowiednie składniki rozwiązania maleją, gdy czas t wzrasta. etP λ)( ti i Im W każdym przypadku, jeśli , to — jak wiadomo — λi tworzy zespoloną parę sprzężoną z odpowiednią wartością własną ∗λi , co odpowiada składnikowi roz- wiązania sinusoidalnemu z wagą wykładniczą tieλ i wielomianową Pi(t): ≠ 0 { } i βλ = i etP )( i t βα sin ti i . (6.25) 418 Algorytmy numeryczne w Delphi 6.1. Równania różnicowe dla różnych aproksymacji funkcji wymuszających Do numerycznego rozwiązania układu równań różniczkowych liniowych (6.2) można wykorzystać równanie różnicowe (6.18), przyjmując różną aproksymację funkcji wy- muszającej u(t). W niniejszym opracowaniu podane będą konstrukcje tych algorytmów dla trzech przypadków, a mianowicie dla aproksymacji funkcji wymuszającej w postaci funkcji przedziałami stałej, liniowej i kwadratowej. 6.1.1. Wymuszenie aproksymowane funkcjami przedziałami stałymi Niech wymuszenie wektorowe u(t) jest dane w postaci funkcji przedziałami stałej takiej, że: u(t) = u(kT) dla kT ≤ t ≤ (k+1)T, k = 0, 1, 2, ... (6.26) W takim przypadku, wykonując całkowanie w równaniu różnicowym (6.18) z uwzględ- nieniem wzoru (6.8), otrzymuje się [7]: ( k )1 + T − A τ Bu d)( ττ -= e − A τ 1 − BuA ( k )1 + T e ∫ kT ( −= kT e − A ( k )1 + T + )kT( = ) BuA Tk 1 − A − e (6.27) )kT( Po umieszczeniu powyższego wyniku całkowania w równaniu (6.18) otrzymuje się: [ x ( k + T )1 ] A T = = e e A ( k )1 + T x x ( ( kT kT ) ) + + e ( e − gdzie: 1 — macierz jednostkowa. A T A T ( k − A e ( − ) BuA1 1 − )1 + T + kT ( − A kT ) BuA 1 − ( kT ) = e ) (6.28) W równaniu różnicowym (6.28) celowym jest, ze względu na minimum operacji nume- rycznych, obliczać macierz (eAT–1)A–1, nie wykonując pomocniczych obliczeń macierzy eAT oraz A–1, lecz wykorzystując równość: n AT − ( e − = 1 ) A 1 A T ( ) )!+n( 1 wynikającą z definicji (6.3). ∑∞ T = n 0 Zatem po uwzględnieniu równania (6.29) oraz oznaczenia macierzy: F = e A t = T ∑∞ n = 0 n ) ( A T !n G 0 ⎡ = ∑∞ ⎢ ⎣ =0 n n A T ( ) n ! )1 ( + ⎤ ⎥ ⎦ B T (6.29) (6.30) (6.31) Rozdział 6. (cid:139) Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 419 i wektorów x(k) = x(kT); u(k) = u(kT) formuła rekurencyjna (6.28) przyjmie postać: x(k+1) = Fx(k) + G0u(k). (6.32) (6.33) Nie istnieje więc potrzeba obliczania macierzy odwrotnej A–1, jak by to wynikało z równa- nia (6.28). Mając na uwadze dalszą minimalizację operacji numerycznych, należy za- uważyć, że formowanie macierzy F i G0 (wzory (6.30) i (6.31)) należy prowadzić rów- nolegle ze względu na wspólne elementy (AT) występujące w szeregach. Równanie różnicowe (6.33) daje więc formułę rekurencyjną, którą można łatwo zaprogramować na komputerze, co pokazane będzie w dalszych punktach. Stosując wzór rekurencyjny (6.33) do rozwiązania numerycznego równania różniczko- wego (6.2), odpowiadający aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami stałymi, należy w pierwszej kolejności wygenerować macierze F i G0, określone wzorami (6.30) i (6.31). Blok funkcyjny generujący te macierze może mieć postać: function FmTemp1(var A, B, F, G1: TMatrixF; T, eps, EpsR: TFloat; N, W: Integer): Integer; // Formowanie macierzy pomocniczych F, G1: // A, B — macierze układu równań różniczkowych // dX/dt = A*X+B*U, // N — rząd macierzy A, // W — liczba kolumn macierzy B, // T — wybrany krok całkowania, // eps — górna granica błędu przybliżenia macierzy F i G1, // EpsR — błąd wyznaczenia największej co do modułu wartości // własnej macierzy F var K, Error: Integer; S, S1, NormAT, teta, MWA: TFloat; AX, AY, at, BX, BT: TMatrixF; begin Result := 0; SetLength(at, N + 1,N + 1); SetLength(AX, N + 1,N + 1); SetLength(BX, N + 1,N + 1); SetLength(AY, N + 1,N + 1); SetLength(BT, N + 1,W + 1); try mMulR(at, A, T); mOne(AX); NormAT := mNorm(at); K := 0; S := 1; S1 := 1; teta := NormAT / (1 - NormAT); mClone(F, AX); mClone(BX, AX); repeat Inc(K); mMul(AY, AX, at); S := S / K; mMulr(AX, AY, S); 420 Algorytmy numeryczne w Delphi mAdd(F, F, AX); S1 := S1 / (K + 1); mMulr(AX, AY, S1); mAdd(BX, BX, AX); mClone(AX, AY); teta := teta * NormAT / (K + 1) until teta eps; Error := mEigenValue(MWA, F, EpsR, 1000); if MWA = 1.05 then Result := 16; if Error 0 then Result := 17; mMulr(BT, B, T); mMul(G1, BX, BT); finally at := nil; BT := nil; AX := nil; BX := nil; AY := nil; end end{FmTemp1 }; 6.1.2. Wymuszenie aproksymowane funkcjami przedziałami liniowymi Zakładamy, że wymuszenie u(t) jest funkcją ciągłą przedziałami liniową taką, że: u )( τ = u ( kT ) + 1 T [ u ( ( k + T )1 ) − ] )kT( ( − τ u kT ) += f 1 f τ 2 (6.34) dla kT ≤ τ (k+1)T, gdzie: k = 0, 1, 2, ... u=f 1 ( kT ) − [ u ( ( k k + T )1 ) − ])kT( u ; =f 2 1 T [ u ( ( k T + )1 ) − ])kT( u . (6.34a) Wykonując w takim przypadku całkowanie przez części w równaniu różnicowym (6.18) z uwzględnieniem wzoru (6.8), otrzymuje się: T )1 + k ( e A τ Bu )( ττ d −= A 1 − e A- τ ( fB + f 1 ) τ 2 ( k )1 + T ∫ kT ( k )1 + T + kT ∫ kT A 1 − e A- τ Bf d τ = 2 = A 1 − e A- kT ⎧ ⎨ ⎩ ⎡ ⎢⎣ AB + 1 − ( e A- kT ) B1 − 1 T ⎤ ⎥⎦ u ( kT ) + A- T AB − 1 − ( e A- T ) B1 − + e ⎡ ⎢⎣ 1 T ⎤ ⎥⎦ u ( k + T )1 . ⎫ ⎬ ⎭ Rozdział 6. (cid:139) Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 421 Po uwzględnieniu powyższego wyniku całkowania oraz oznaczenia (6.32) równanie różnicowe (6.18) przyjmie postać: x ( k + )1 = e A T x k )( + A + A 1 − ( e ⎡ ⎢⎣ A T ) A1 − 1 − 1 T 1 − e ⎡ ⎢⎣ ⎤ 1 − ⎥⎦ A T ( e − A T ) A1 − 1 − 1 T ⎤ ⎥⎦ Bu k )( + (6.35) Bu ( k + .)1 Uwzględniając wzory (6.30) i (6.29), równanie rekurencyjne (6.35) można przekształcić do postaci: x(k+1) = Fx(k)+G1u(k)+Hu(k+1), gdzie: A=G 1 1 − ⎡ ⎢⎣ A T e − ( e A T ) A1 −− 1 − 1 T ⎤ ⎥⎦ =B ⎡ ⎢ ⎣ ∑∞ =n 0 A T ) ( nn (! + n )2 ⎤ ⎥ ⎦ ( BT ) ; A=H − 1 [ ( e A T ) A1 − − 1 − ] =B1 ⎡ ⎢ ⎣ ∑∞ n= 0 n A T ( ) n )!2 ( + ⎤ ⎥ ⎦ ( BT ) , (6.36) (6.37) (6.38) natomiast macierz F wyraża się wzorem (6.30). Równanie rekurencyjne (6.36) daje więc algorytm wyznaczania rozwiązania równania różniczkowego w postaci (6.2). W obliczeniach komputerowych należy zauważyć, że wyznaczanie macierzy F, G1 i H zgodnie ze wzorami (6.30), (6.37) i (6.38) należy pro- wadzić równolegle ze względu na wspólne elementy (AT)n występujące w szeregach macierzowych tych wzorów, co minimalizuje liczbę operacji numerycznych. W przy- padku stosowania wzoru rekurencyjnego (6.36) niezbędne jest wygenerowanie macierzy F, G1 i H (wzory (6.30), (6.37) i (6.38)), co można zrealizować w następującym bloku funkcyjnym: function FmTemp2(var A, B, F, G2, H: TMatrixF; T, eps, EpsR: TFloat; N, W: Integer): Integer; // Formowanie macierzy pomocniczych F, G2, H: // A, B — macierze układu równań różniczkowych dX/dt = A*X+B*U, // N — rząd macierzy A i F, // W — liczba kolumn macierzy B, G2, H, // T — wybrany krok całkowania, // eps — górna granica błędu przybliżenia macierzy F, G2, H, // EpsR — błąd wyznaczenia największej co do modułu wartości // własnej macierzy F var K, Error: Integer; SS, S1, S2, NormAT, teta, MWA: TFloat; AX, AY, at, AG, AH, BT: TMatrixF; begin Result := 0; SetLength(at, N + 1,N + 1); SetLength(AX, N + 1,N + 1); SetLength(AY, N + 1,N + 1); SetLength(AH, N + 1,N + 1); SetLength(AG, N + 1,N + 1); SetLength(BT, N + 1,W + 1); 422 Algorytmy numeryczne w Delphi try mMulR(at, A, T); mOne(AX); NormAT := mNorm(at); K := 0; SS := 1; S1 := 0.5; S2 := 0.5; teta := NormAT / (1 - NormAT); mOne(F); mMulr(AG, AX, 0.5); mClone(AH, AG); repeat Inc(K); mMul(AY, AX, at); SS := SS / K; mMulr(AX, AY, SS); mAdd(F, F, AX); S1 := S1 * (K + 1) / ((K + 2) * K); mMulr(AX, AY, S1); mAdd(AG, AG, AX); S2 := S2 / (K + 2); mMulr(AX, AY, S2); mAdd(AH, AH, AX); mClone(AX, AY); teta := teta * NormAT / (K + 1) until teta eps; Error := mEigenValue(MWA, F, EpsR, 1000); if MWA = 1.05 then Result := 16; if Error 0 then Result := 17; mMulr(BT, B, T); mMul(G2, AG, BT); mMul(H, AH, BT); finally at := nil; BT := nil; AX := nil; AY := nil; AG := nil; AH := nil; end end{FmTemp2 };
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Algorytmy numeryczne w Delphi. Księga eksperta
Autor:
, ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: