Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00062 005562 13610009 na godz. na dobę w sumie
Analiza matematyczna dla ekonomicznych kierunków studiów - ebook/pdf
Analiza matematyczna dla ekonomicznych kierunków studiów - ebook/pdf
Autor: , Liczba stron: 366
Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-7969-326-9 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> podręczniki
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Podręcznik akademicki zawiera rozważania teoretyczne, przykłady o charakterze matematycznym i ekonomicznym oraz zadania do samodzielnego rozwiązania. Przeznaczony jest dla studentów z różnych kierunków ekonomicznych i o różnym stopniu zaawansowania wymagań matematycznych.

Zagadnienia wstępne zawierają elementy logiki, teorii mnogości i topologii. Przedstawione są tu także zbiory liczb rzeczywistych i zespolonych oraz relacje. W kolejnych rozdziałach zaprezentowane są ciągi liczb rzeczywistych i punktów z wielowymiarowych przestrzeni rzeczywistych, rzeczywiste funkcje jednej i wielu zmiennych oraz rachunek różniczkowy w tym zakresie, ciągi funkcji rzeczywistych, szeregi liczb rzeczywistych i funkcji rzeczywistych oraz rachunek całkowy rzeczywistych funkcji jednej i wielu zmiennych. W podręczniku zaprezentowane są również równania różniczkowe zwyczajne i metody ich rozwiązywania oraz elementy równań różnicowych.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska – Katedra Metod Statystycznych Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet Łódzki 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r. nr 41/43 RECENZENT Grażyna Trzpiot SKŁAD I ŁAMANIE Barbara Lebioda PROJEKT OKŁADKI Barbara Grzejszczak © Copyright by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2013 Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie II. W.06022.13.1.S ISBN (wersja drukowana) 978-83-7525-968-1 ISBN (ebook) 978-83-7969-326-9 Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl tel. (42) 665 58 63, faks (42) 665 58 62 Spis treści Przedmowa .......................................................................................................................5 1. Zagadnienia wstępne (Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska)................................7 1.1. Elementy logiki....................................................................................................7 1.2. Elementy teorii mnogości ..................................................................................11 1.3. Relacje ...............................................................................................................16 1.4. Liczby rzeczywiste ............................................................................................18 1.5. Liczby zespolone ............................................................................................22 1.6. Przestrzenie metryczne ......................................................................................31 1.7. Własności zbiorów w euklidesowych przestrzeniach metrycznych...................35 1.8. Zadania ..............................................................................................................43 1.9. Odpowiedzi do zadań ........................................................................................47 2. Ciągi punktów w przestrzeniach euklidesowych (Dorota Pekasiewicz) .............57 2.1. Ciąg liczbowy i jego własności..........................................................................57 2.2. Liczba e..............................................................................................................65 2.3. Podciągi ciągów liczbowych..............................................................................68 2.4. Ciągi punktów w wielowymiarowych przestrzeniach euklidesowych...............70 2.5. Zadania ..............................................................................................................74 2.6. Odpowiedzi do zadań.........................................................................................76 3. Funkcja jednej zmiennej i jej własności (Krystyna Pruska).................................77 3.1. Pojęcie i podstawowe własności funkcji jednej zmiennej ................................77 3.2. Funkcje elementarne..........................................................................................82 3.3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej ........................................................89 3.4. Asymptoty funkcji ...........................................................................................101 3.5. Ciągi funkcyjne i rodzaje ich zbieżności .........................................................103 3.6. Zadania ............................................................................................................108 3.7. Odpowiedzi do zadań.......................................................................................111 4. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (Dorota Pekasiewicz) ...........114 4.1. Pochodna funkcji i jej własności......................................................................114 4.2. Symbole nieoznaczone i reguła de L’Hospitala...............................................127 4.3. Ekstrema lokalne, wartość najmniejsza i największa funkcji ..........................130 4.4. Wklęsłość i wypukłość funkcji oraz jej punkty przegięcia ..............................137 4.5. Badanie przebiegu zmienności funkcji ............................................................143 4.6. Zastosowanie ekonomiczne rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej ...147 4.7. Zadania ............................................................................................................151 4.8. Odpowiedzi do zadań ......................................................................................155 5. Szeregi liczbowe i funkcyjne (Dorota Pekasiewicz)............................................169 5.1. Ogólna charakterystyka szeregów liczbowych ................................................169 5.2. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych.......................................................175 5.3. Szeregi funkcyjne i ogólna charakterystyka ich zbieżności.............................180 3 Spis treści 5.4. Szeregi potęgowe.............................................................................................183 5.5. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina i Taylora .........................................185 5.6. Zadania ............................................................................................................187 5.7. Odpowiedzi do zadań.......................................................................................190 6. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej (Krystyna Pruska) .........................192 6.1. Całka nieoznaczona i jej własności..................................................................192 6.2. Podstawowe metody całkowania .....................................................................194 6.3. Całka oznaczona Riemanna i jej własności ....................................................206 6.4. Całki niewłaściwe............................................................................................218 6.5. Funkcja beta i funkcja gamma .........................................................................222 6.6. Zastosowania rachunku całkowego w ekonomii..............................................224 6.7. Zadania ............................................................................................................226 6.8. Odpowiedzi do zadań ......................................................................................229 7. Funkcje wielu zmiennych (Dorota Pekasiewicz).................................................232 7.1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych.....................................................................232 7.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych ....................................................237 7.3. Pochodne cząstkowe i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych................242 7.4. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych .....................................................254 7.5. Wklęsłość i wypukłość funkcji wielu zmiennych............................................257 7.6. Funkcja uwikłana.............................................................................................259 7.7. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych ..............................................263 7.8. Najmniejsza i największa wartość funkcji.......................................................267 7.9. Zastosowanie ekonomiczne funkcji wielu zmiennych.....................................270 7.10. Zadania ..........................................................................................................273 7.11. Odpowiedzi do zadań.....................................................................................277 8. Całki funkcji wielu zmiennych (Krystyna Pruska)...............................................284 8.1. Pojęcie całki podwójnej i jej własności ...........................................................284 8.2. Zamiana całki podwójnej na iterowaną ...........................................................290 8.3. Zamiana zmiennych w całce podwójnej ..........................................................294 8.4. Niewłaściwe całki podwójne .........................................................................298 8.5. Całki wielokrotne.............................................................................................308 8.6. Zadania ............................................................................................................313 8.7. Odpowiedzi do zadań.......................................................................................315 9. Równania różniczkowe i różnicowe (Krystyna Pruska).......................................317 9.1. Pojęcie równania różniczkowego ...................................................................317 9.2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu.......................................................319 9.3. Równania różniczkowe drugiego rzędu...........................................................332 9.4. Zastosowanie równań różniczkowych w zagadnieniach ekonomicznych........340 9.4. Równania różnicowe........................................................................................341 9.5. Zadania ............................................................................................................347 9.6. Odpowiedzi do zadań.......................................................................................348 Literatura .....................................................................................................................350 Wykaz oznaczeń...........................................................................................................351 Skorowidz nazw ...........................................................................................................355 4 Przedmowa Niniejszy podręcznik powstał na podstawie wykładów i ćwiczeń z analizy matematycznej i matematyki prowadzonych przez autorki na Wydziale Ekono- miczno-Socjologicznym Uniwersytetu Łódzkiego. Elementy analizy matematycznej występują w programach studiów wszyst- kich kierunków ekonomicznych, ale w różnym zakresie i na ogół w ramach przedmiotu matematyka. Na niektórych kierunkach prowadzony jest przedmiot o nazwie analiza matematyczna. W podręczniku tym podjęto próbę opracowania takiego zakresu analizy ma- tematycznej, aby mogli z niego korzystać studenci z różnych kierunków ekono- micznych i o różnym stopniu zaawansowania wymagań matematycznych. Czy- telnik sam powinien dokonać wyboru odpowiednich fragmentów tekstu zgodnie ze swoimi oczekiwaniami. Zagadnienia wstępne zawierają elementy logiki, teorii mnogości i topologii. Przedstawione są tu także zbiory liczb rzeczywistych i zespolonych oraz relacje. W kolejnych rozdziałach zaprezentowane są ciągi liczb rzeczywistych i punktów z wielowymiarowych przestrzeni rzeczywistych, rzeczywiste funkcje jednej i wielu zmiennych oraz rachunek różniczkowy w tym zakresie, ciągi funkcji rzeczywistych, szeregi liczb rzeczywistych i funkcji rzeczywistych oraz rachunek całkowy rzeczywistych funkcji jednej i wielu zmiennych. W podręcz- niku zaprezentowane są również równania różniczkowe zwyczajne i metody ich rozwiązywania oraz elementy równań różnicowych. Książka zawiera rozważania teoretyczne, przykłady o charakterze matema- tycznym i ekonomicznym oraz zadania do samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika, do których podane są odpowiedzi. Mamy nadzieję, że podręcznik ten spotka się z zainteresowaniem środowisk akademickich. Autorki 5 6 1. Zagadnienia wstępne 1. Zagadnienia wstępne 1.1. Elementy logiki Logika matematyczna jest działem matematyki, którego przedmiotem jest analiza zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem metod i narzędzi matematycznych. Podstawowymi pojęciami są: zdanie, forma zdaniowa, funkcja zdaniowa i kwantyfikatory. Definicja 1.1.1. Zdaniem nazywamy każde wyrażenie, któremu można przypisać jedną z ocen: prawdę lub fałsz. Prawda i fałsz to wartości logiczne zdania. Zdania oznaczamy zwykle małymi literami, np. p, q, zaś wartość logiczną zdania – symbolem „1”, gdy jest ono prawdziwe oraz symbolem „0”, gdy jest fałszywe. Wśród zdań wyróżniamy zdania proste i złożone. Zdania złożone składają się ze zdań prostych połączonych funktorami zdaniotwórczymi (spójnikami zdaniowymi). Do najczęściej stosowanych funktorów zdaniotwórczych należą: negacja (), alter- natywa (), koniunkcja (), implikacja ( ) i równoważność (). Przykłady 1.1.1. Przykładami zdań są następujące wyrażenia:  Liczba 3 jest niewymierna.  Romb jest kwadratem.  Liczba 126 jest podzielna przez sześć i liczba 360 jest podzielna przez sześć. Pierwsze i drugie wyrażenie to zdania proste, przy czym pierwsze jest prawdziwe, a drugie – fałszywe. Trzecie wyrażenie jest przykładem zdania złożonego, prawdziwego. Definicja 1.1.2. Zdanie zawsze prawdziwe nazywamy tautologią. 7 Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska (prawo podwójnego przeczenia), (prawo de Morgana), (prawo de Morgana), (prawo transpozycji), (prawo implikacji), Przykładami tautologii są zdania: 1) p   ( p ) 2)  (p  q )  ( p   q) 3)  (p  q )  ( p   q) 4) (p  q)  (q   p) 5) (p  q)  ( p  q) 6) [ (p  q)]  [p  ( q)], 7) (p  q)  [(p  q )  (q  p)]. Istotnym zagadnieniem rachunku zdań jest sprawdzanie, czy dane zdanie jest tautologią. W tym celu rozważa się różne układy wartości logicznych zdań prostych, wchodzących w skład rozpatrywanego zdania i wyznacza się wartość logiczną tego zdania. Podstawowe zasady określania wartości logicznej zdań złożonych są przed- stawione w tabl. 1.1.1. Tablica 1.1.1. Wartości logiczne negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i równoważności zdań p i q p 1 1 0 0 q 1 0 1 0  p 0 0 1 1 q p  q p  p  q p  q 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 Źródło: opracowanie własne. p Przykłady 1.1.2.  Zdanie p jest tautologią. Sprawdzenie wartości logicznej tego ~ zdania związane jest z rozważeniem możliwych wariantów wartości logicznej zdania p, co przedstawione jest w tabl. 1.1.2. Tablica 1.1.2. Wartości logiczne zdania ~ p p p 0 1 ~ p 1 0 p p ~ 1 1 Źródło: opracowanie własne. 8 1. Zagadnienia wstępne Zdanie p ~ p jest prawdziwe bez względu na wartość logiczną zdania p, czyli jest tautologią.  Prawdziwość zdania [ (p  q)] [p  ( q)] sprawdzamy analogicz- nie. Wyniki zaprezentowane są w tabl. 1.1.3. Tablica 1.1.3. Wartości logiczne zdania [ (p  q )]  [p   q)] p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p  q  (p  q ) ~q p   q [(p  q )] [p  (q)] 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 Źródło: opracowanie własne. Ostatnia kolumna tabl. 1.1.3. świadczy o prawdziwości rozważanego zda- nia bez względu na wartości logiczne zdań p i q, zatem jest ono tautologią. Definicja 1.1.3. Wyrażenie, któremu nie można przypisać wartości logicz- nej, nazywamy formą zdaniową. Definicja 1.1.4. Funkcją zdaniową określoną na zbiorze X nazywamy wyra- żenie zawierające zmienne, które staje się zdaniem, jeśli za zmienne podstawimy konkretne wielkości. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji zdaniowej. Funkcja zdaniowa jest formą zdaniową. Przykłady 1.1.3.  Wyrażenie ,312 x gdzie dziną jest zbiór liczb rzeczywistych R. Dla giczną 1, a dla  2,2x ,312 x – wartość logiczną 0. gdzie  Wyrażenie dziną jest zbiór liczb naturalnych N. Dla a dla – wartość logiczną 0.  2\Nx  ,Rx  jest funkcją zdaniową, której dzie- ma ono wartość lo- 2,2x  ,Nx  jest funkcją zdaniową, której dzie- ma ono wartość logiczną 1, 2x 9 Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska 2 2 x  Wyrażenie  y gdzie ,0  na zbiorze R. Dla    0,0 yx ,   yx , – wartość logiczną 0.  0,0 Ryx , to funkcja zdaniowa określona ma ono wartość logiczną 1, natomiast dla torami. W zapisie funkcji zdaniowych wykorzystuje się symbole zwane kwantyfika- Wyróżniamy:  kwantyfikator ogólny (duży):  – „ dla każdego…”,  kwantyfikator szczegółowy (mały):  – „istnieje…”. Kwantyfikatory umożliwiają skrócenie zapisu funkcji zdaniowych. Przykłady 1.1.4.  Funkcję zdaniową „liczba naturalna x jest liczbą parzystą” można zapisać w postaci: y ).2 x  (  Ny   Funkcję zdaniową „liczba rzeczywista x jest liczbą pierwszą” można za- pisać w postaci: zy  ). x (  Rzy ,  xzxy ,   Rachunek kwantyfikatorów charakteryzuje się następującymi własnościami: (prawo de Morgana), (prawo de Morgana),   xp   xp   xp   xp   xp ~ ~   ~  Xx   Xx   Xx       xp     Xx Xx        xp ~   Xx Xx         xp xq   Xx        xp xq  Xx        xq xp  Xx         xp xq   Xx Xx          xq xp   Xx    yxu ,   XxYy YyXx      yxu ,   YyXx XxYy      ,  xq ,  xq ,  xq  x  Xx   Xx    xp   ,   xq ,xq    Xx    xp  Xx   yxu ,  yxu ,  Xx  , , 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10 1. Zagadnienia wstępne 10)  YyXx    yxu ,   XxYy   yxu , , gdzie p i q są funkcjami zdaniowymi zmiennej x o zakresie zmienności X  oraz u jest funkcją zdaniową zmiennych x i y o wartościach ze zbioru odpowied- nio X  i Y . Kwantyfikatory znajdują zastosowanie w wielu zapisach matematycznych. Korzysta się z nich przy formułowaniu definicji i twierdzeń. 1.2. Elementy teorii mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się badaniem ogól- nych własności zbiorów, niezależnie od elementów, z których zbiory te są utwo- rzone. 2 , , CBA Zbiór jest pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym. Zbiory oznaczamy du- ) lub przedstawiamy, wypisując ich elementy albo podając funkcję zdaniową, którą muszą spełniać ich ele- . Elementy należące do zbiorów zwykle ozna- żymi literami (np. ,   8,6,4,2 np.   01 xRx menty   czamy małymi literami: a, b, …   np. Na zbiorach można wykonywać różne operacje matematyczne. Poniżej przedstawione są podstawowe definicje z nimi związane, przy czym zakładamy, że wszystkie rozpatrywane zbiory są podzbiorami pewnego ustalonego zbioru zwanego przestrzenią i oznaczonego symbolem X. : my A Ax  Definicja 1.2.1. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, co zapisuje- ,BA  jeśli dla każdego elementu x zachodzi warunek: Znak „  ” nazywamy znakiem inkluzji (zawierania). Definicja 1.2.2. Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni X nazywamy zbiór  . AxXx  Definicja 1.2.3. Sumą zbiorów A  i B nazywamy zbiór postaci tzn. zbiór elementów należących przynajmniej .Bx  :  AxXx , BA Bx do jednego ze zbiorów A i B.  : 11 Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska Definicja 1.2.4. Iloczynem (mnogościowym) zbiorów A i B nazywamy tzn. zbiór elementów, które nale- , Bx zbiór postaci  żą zarówno do zbioru A, jak i do zbioru B.  AxXx  BA : Definicja 1.2.5. Różnicą zbiorów A \ ,  BxAxXx BA  i nienależących do zbioru B.  : i B nazywamy zbiór postaci tzn. zbiór elementów należących do zbioru A Różnicę zbiorów A i B możemy zapisywać również jako A – B. Definicja 1.2.6. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór postaci BA  ( BA \ )  ( AB ). \ 2 : x   2 ,  2:   10  x 6,4,2 BA . Wów- 8,7,5,3,1 , 10,6,4,2B ,  BA \ 8,7,6,5,4,3,2,1A i 10,8,7,6,5,4,3,2,1 BA Przykłady 1.2.1.  Niech dane będą zbiory  czas .10,8,7,5,3,1 BA AB , \ 09  31   Niech będą dane zbiory xRx B A Rx x , i 2:     3  2  xRx B xRx x A czyli , . Wówczas mamy : 3 :     2  ,3  RxRBA A x Rx xRx B , : 3 {\ },3 :        ,3 Rx BA BA x xRx (ponieważ { : : },3 3       Rx BA x xRx AB oraz : 3 \ \    Niech A, B, C, D będą zbiorami zawartymi w tej samej przestrzeni X . Działania na zbiorach charakteryzują się następującymi własnościami: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ,BAA B   BBA ,A  AC BA CB ( ( )  ,A BA ,BBA   ,ABBA  AC BA (  A ( ) ( )  A ( ) ( )  BA \ CB ), CA ( CA ( ) CB CB A  , BA BA ,BA 2 3 ), ), ). ),  ( : 12 1. Zagadnienia wstępne \ \ ( ) ( ),  CB DA  BA DC ) ( ) (    BA BA )    BA BA )   10) ()11 ()12 Definicja 1.2.7. Sumą uogólnioną zbiorów prawa Morgana. de rodziną (zbiorem) indeksów, nazywamy zbiór postaci Definicja 1.2.8. Iloczynem uogólnionym zbiorów pewną  A t  Tt  rodziną :  Tt  Ax t  x . (zbiorem) indeksów, , , TtAt  gdzie T jest pewną  x :  Tt  Ax t .  A t  Tt  , nazywamy TtAt  gdzie T jest postaci , zbiór Symbolem R będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a symbolem N – zbiór liczb naturalnych. 1   x 1 1 n    dla ,Nn  czyli : x A 1 An A 2  Rx Rx  Przykłady 1.2.2.  Niech              1: 2 1: 3 1: 4 n  ,1   1  ,  2  1  ,  3  ……………………….. Sumą  At Rx  uogólnioną ,1 0:   Rx Rx    A 3 x x x Nt  zbiorów ,Nn  zaś iloczynem uogólnionym jest zbiór gdzie ,nA  Rx    : 1  1 2 t  x t 2   1   dla Rt  tzn. At  Rx    1: 2  x  ,2    Niech  ,1 A 1 0 A A  1 jest A t Nt  zbiór Ø.  13 Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska  ,5   A 2    Rx  A  2 1: 5 ………………………. Sumą uogólnioną zbiorów x  ,tA gdzie zaś iloczynem uogólnionym jest zbiór Rt  , jest zbiór  1 . A t Rt   xRx  :  ,0 At Rt  Poza iloczynem mnogościowym zbiorów określony jest iloczyn (produkt) kartezjański zbiorów. Definicja 1.2.9. Iloczynem kartezjańskim niepustych zbiorów A i B nazy- wamy zbiór postaci BA  yx ,{( :) Ax  By }.  ,ABBA  Iloczyn kartezjański nie jest działaniem przemiennym, tzn. .BA  gdy Przykłady 1.2.3.  Niech postaci: ,1,3,1,3,1,2,1,2,1,1,1,1           BA      3,1,2,1,1,1,3,1        .  AB ,2,1 ,1,1    Interpretacja geometryczna tych zbiorów przedstawiona jest na rys. 1.2.1. . Iloczyny kartezjańskie 3,2,1A 1,1B AB  są     BA i     i   i 1.2.2. Rysunek 1.2.1. Interpretacja geometryczna zbioru , 321 ,    11 , Źródło: opracowanie własne. 14 1. Zagadnienia wstępne Rysunek 1.2.2. Interpretacja geometryczna zbioru   1,1    3,2,1 Źródło: opracowanie własne.  Ry { 3:  y }5 . Iloczyny karte- x x y },5  y }.4  AB  przedstawione są od- BA i x }4 1:   Niech A B Rx i {  BA i AB  mają postaci: yx RR ,{( )  yx RR ,{( )  zjańskie BA 3 4 AB 15 Interpretacje geometryczne zbiorów   1: 3: powiednio na rys. 1.2.3 oraz 1.2.4. Rysunek 1.2.3. Interpretacja geometryczna zbioru { Rx  1:  x {}4  Ry 3:  y  }5 Źródło: opracowanie własne. 15 Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska Rysunek 1.2.4. Interpretacja geometryczna zbioru { Rx  3:  x {}5  Ry 1:  y  }4 Źródło: opracowanie własne. 1.3. Relacje Podzbiór A ustalonej przestrzeni X można utożsamiać z własnością, którą posiada każdy element tego podzbioru i której nie posiada żaden element prze- strzeni X nienależący do zbioru A. Wówczas zamiast pisać ,Ax  gdzie ,XA  i mówimy, że „x ma własność A”. piszemy )(xA Na przykład, jeśli X jest zbiorem liczb całkowitych, a symbol A oznacza Ax  ” możemy powiedzieć zbiór liczb podzielnych przez pięć, to zamiast „ „x jest liczbą podzielną przez pięć”. Własność, jaką posiada każdy element wyróżnionego zbioru, identyfikujemy z tym zbiorem. Definicja 1.3.1. Relacjami jednoczłonowymi (jednoargumentowymi) w prze- strzeni X nazywamy podzbiory tej przestrzeni. 16 1. Zagadnienia wstępne Definicja 1.3.2. Relacjami dwuczłonowymi (dwuargumentowymi) w ilo- gdzie X i Y są pewnymi przestrzeniami, nazywamy ,YX  czynie kartezjańskim podzbiory tego iloczynu kartezjańskiego. Niech  będzie relacją dwuczłonową w iloczynie kartezjańskim ) Jeżeli yx i odczytujemy jako „x jest to zapisujemy to w postaci .YX  yx ,( , w relacji  z y”. Definicja 1.3.3. Parę  , ,By  nazywamy parą uporząd- kowaną, jeśli istotna jest kolejność jej elementów. Pierwszy element (x) nazy- wamy poprzednikiem, a drugi element (y) nazywamy następnikiem. gdzie ,Ax  , yx Definicja 1.3.4. Zbiór poprzedników par uporządkowanych  yx, należą- cych do relacji  nazywamy dziedziną tej relacji. Definicja ta oznacza, że dziedziną relacji  jest zbiór takich elementów x zbioru X, dla których istnieje Yy  taki, że .yx Definicja 1.3.5. Przeciwdziedziną relacji stępników par uporządkowanych należących do YX  . nazywamy zbiór na- Oznacza to, że element Yy  należy do przeciwdziedziny relacji YX  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje Xx  takie, że .yx Przykłady 1.3.1.  Relacją dwuczłonową w iloczynie kartezjańskim = yx ,(  Relacją dwuczłonową w iloczynie kartezjańskim tzn. punkt yNN  , 3x  ) : R )  rzeczywistych dodatnich, liczb 4 y x .  gdzie  yx ,(   Uogólnienie pojęcia relacji dwuczłonowej prowadzi do definicji relacji wie- zbiór   :0 to RR   NN  jest zbiór 3x . ,0   zbiór  RR jest Nx  jest w relacji  z punktem loczłonowej (wieloargumentowej). 17
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Analiza matematyczna dla ekonomicznych kierunków studiów
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: