Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00052 007481 12440699 na godz. na dobę w sumie
Ciekawe zadania z matematyki z kompletnymi rozwiązaniami i dodatkiem teoretycznym - ebook/pdf
Ciekawe zadania z matematyki z kompletnymi rozwiązaniami i dodatkiem teoretycznym - ebook/pdf
Autor: Liczba stron:
Wydawca: Wydawnictwo i Biuro Tłumaczeń Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-947155-0-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> popularnonaukowe
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Zbiór zadań, który prezentujemy czytelnikowi nie jest typowym zbiorem dla

konkretnej klasy w liceum. Jest to książka przeznaczona dla dociekliwego ucznia bez

względu, do której klasy uczęszcza. Po książkę powinien sięgnąć również nauczyciel

matematyki, któremu zależy na tym, aby lekcje nie były monotonne a przedmiot

wciągnął słuchacza.

Do rozwiązania większości zadań nie trzeba perfekcyjnego opanowania teorii,

zresztą nie teorię zadania mają sprawdzić. Potrzebny jest tu pewien spryt, otwarty

umysł i coś, co na późniejszym etapie nauki nazywa się „kulturą matematyczną”. Niezbędna

teoria, której nie ma w programie nauczania, zostanie wyłożona przy okazji.

Do rozwiązań proponujemy zajrzeć dopiero po zakończonych sukcesem lub nie, próbach

własnych. Oczywiście wszystkie zadania są w zbiorze rozwiązane. Zadania posiadają

różny stopień trudności. Są tu zadania zupełnie proste, jak również całkiem

skomplikowane, poziomu olimpiad matematycznych czy egzaminów. Zrezygnowano

z oznaczania zadań trudniejszych gwiazdkami i celowo przemieszano je z zadaniami

łatwiejszymi. Wychodzimy z założenia, że wszystko co ułoży człowiek, inny człowiek

potrafi rozwiązać i w świetle tej prawdy wszystkie zadania wydają się łatwe.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty © Copyright by M. Kawecki 2017 1 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Spis treści Wstęp 1. Logika w praktyce 2. Liczby i działania 3. Równania i układy równań 4. Własności funkcji 5. Pełne rozwiązania zadań: 5.1 Logika w praktyce 5.2 Liczby i działania 5.3 Równania i układy równań 5.4 Własności funkcji 6. Dodatek teoretyczny: 6.1 Trójmian kwadratowy 6.2 Indukcja matematyczna 6.3 Obliczanie sum 6.4 Kongruencje 6.5 Równania diofantyczne 6.6 Małe twierdzenie Fermata 6.7 Twierdzenie Bézouta 3 5 10 16 23 28 40 61 95 115 121 127 128 131 135 137 2 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Wstęp Zbiór zadań, który prezentujemy czytelnikowi nie jest typowym zbiorem dla konkretnej klasy w liceum. Jest to książka przeznaczona dla dociekliwego ucznia bez względu, do której klasy uczęszcza. Po książkę powinien sięgnąć również nauczyciel matematyki, któremu zależy na tym, aby lekcje nie były monotonne a przedmiot wciągnął słuchacza. Do rozwiązania większości zadań nie trzeba perfekcyjnego opanowania teorii, zresztą nie teorię zadania mają sprawdzić. Potrzebny jest tu pewien spryt, otwarty umysł i coś, co na późniejszym etapie nauki nazywa się „kulturą matematyczną”. Nie- zbędna teoria, której nie ma w programie nauczania, zostanie wyłożona przy okazji. Do rozwiązań proponujemy zajrzeć dopiero po zakończonych sukcesem lub nie, pró- bach własnych. Oczywiście wszystkie zadania są w zbiorze rozwiązane. Zadania po- siadają różny stopień trudności. Są tu zadania zupełnie proste, jak również całkiem skomplikowane, poziomu olimpiad matematycznych czy egzaminów. Zrezygnowano z oznaczania zadań trudniejszych gwiazdkami i celowo przemieszano je z zadaniami łatwiejszymi. Wychodzimy z założenia, że wszystko co ułoży człowiek, inny człowiek potrafi rozwiązać i w świetle tej prawdy wszystkie zadania wydają się łatwe. Autor dołożył wszelkich starań, żeby pokazać rozwiązania kompletne i w miarę proste. Jeżeli czytelnik odnajdzie inny sposób, być może bardziej elegancki i zechce się nim podzielić z autorem, zyska ogromną wdzięczność korzystających z kolejnych wydań tej książki. Do takiego współzawodnictwa bardzo zachęcamy, wszelkie uwagi prosimy kierować na adres: ksiazki2017@gmail.com Mariusz Kawecki 3 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty 4. Własności funkcji. Zadanie 130 Rozwiązać równanie: 2 x    1 x Rozwiązanie Ustalmy dziedzinę równania (*), 4 x nania (*) przez y, mamy wtedy: 4 x 5 1   2 (*)      . Oznaczmy prawą stronę rów- 5 0 x 5 4 y  4 x 5 1   2  (2 y 2  1)  4 x    5 x 2 y 1   y Jeżeli teraz potraktujemy lewą stronę równania (*) jak funkcję strona będzie funkcją odwrotną do niej wykresy funkcjo staną się symetryczne15 względem prostej y tną to w tych samych punktach, w których prosta y sów. Równanie (*) jest więc równoważne równaniu: , to prawa . Przy zamianie zmiennych y na x x , czyli jeżeli się prze- x przecina każdy z tych wykre- y 1( )  x f f x ( ) y 2 x    lub 1 x x x  4 x 5 1   2 (**) y 15 Należy pamiętać, że funkcja kres.  f x ( ) i funkcja do niej odwrotna x y 1( ) f mają ten sam wy- 95 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Wybieramy do rozwiązania prostsze: 2 x 1            1 0 1 1 x x x x x 2 1x  spełnia równanie (*). To, że bardziej Obie liczby należą do dziedziny, ale tylko skomplikowane równanie da się zastąpić prostszym, równoważnym widoczny jest po sporządzeniu wykresów funkcji. Widać też dlaczego zawsze sprawdzamy rozwiązanie. Zadanie 131 Rozwiązać równanie: Rozwiązanie Wyznaczamy dziedzinę 4 x przez y: 2 x    1 x 4 x 3 1   2 (*)     . Oznaczamy prawą stronę równanie (*) 3 0 x 3 4 4 x y  3 1   2  (2 y 2  1)  4 x    3 x 2 y 1   y Po obu stronach równania mamy funkcje wzajemnie odwrotne. W miejsce prawej strony (*) podstawiamy x: x         1 0 1 x x x x 2 2 Brak rozwiązania staje się widoczny po sporządzeniu rysunku: Zadanie 132 Dla a  10, 4 rozwiązać równanie: 2 x  2 ax  1 16    a 2 a   x 1 16 (*) 96 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Rozwiązanie Oznaczmy prawą stronę równania (*) przez y: y    a 2 a     y a ( x 1 16 2 )  2 a     x x 1 16 2 y  2 ay  1 16 Co oznacza, że prawa strona równania (*) jest funkcją odwrotną do funkcji będącej po lewej stronie równania. Samo równanie jest postaci gdzie: x ( ) f x ( ) f 1 f x ( )  2 x  2 ax  1 16 Jest to funkcja kwadratowa, jednoznaczna od wierzchołka paraboli czyli od punktu A a  . Szukamy punktów wspólnych z prostą y x .  a 2    1, 16    2 x  2 ax  1 16    x x 2 (2 a  1) x  1 16 0    (2 a 2  1)   1 4    2 a  3 2    2 a  ,     0 a    1 4  3 4 ,     Zbiór, w którym zawarty jest parametr zawiera się w zbiorze dla którego istnieją roz- wiązania. 1 2    (2 a 1)      x 1   2 a  2 3 2    2 a  1 2    x , 2   (2 a 1)      3 2    2 a  1 2    2 a  2 Należy dokonać sprawdzenia ale bezpośrednie podstawienie wyliczonych wartości do f x jest para- ( ) równania (*) byłoby kłopotliwe. Zauważmy, że wykres naszej funkcji x bolą z ramionami skierowanymi do góry. Funkcja ( ) 1( ) przetną się w dwóch punktach, jeżeli wierzchołek paraboli będzie powyżej lub na prostej y x . Dla punktu wierzchołkowego ma więc być spełniona nierówność: y x . Podstawiając współrzędne wierzchołka A otrzymujemy: f x i funkcja odwrotna f 1 16  2 a      a a a 2 0  1 16     1 1 4 5 4 , a 1   1 2 5 4 , a 2   1 2 5 4 , a  1 2  5 1 4 2 ,  5 4 Ponieważ, jak łatwo sprawdzić  1 2 0, 1 4  5 1 4 2 ,  5 4 obie wartości są poprawne. Zadanie 133 Rozłożyć wielomian na czynniki: W x ( )  x 10  5 x 1  97 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Rozwiązanie Zauważmy, że: x 15 W x ( )  x 10  5 x 1   ( x   1)( ( x x 2 x 1)(   x 1)( 4   x 12 x 3 5  ) 5 3 x 1 (   x 1 15  x 1  x x 9   x x 2    x ( 1 3   x ( 1 ) 3 5  x 1 5  x 1) 3   1) 6 5  1)(  x ( 3 x ( x 2 (  5 x x 1) 10   x x 1)( 9 12   x x 1)( 3   x x 1)( 12   x x ( 4  4 3 6 3 x  x 2  x 9  x 2  x 1)   x 1)   x x 6   x 1)   3   1) 8 9 8 3 3 6 3 4 3 2 9 8 7 5 x x x x x x x 1      1)    Bezpośrednio dzieląc obliczamy: x x x x ( 1) : ( 12     x x x x x 9 10 11 12 8       x x x x x 11 10 6       x x x x x 11 10 7      x x x x 1 6 7 9    x x x x x 6 9 8 7 5      x x x 1    x x x x x 8 4     x x x x 1 3   x x x x x 4 6 7 5 3     x 1   x x x 5    x x 1 4   x x 1 4    Ostatecznie:       x x 2 x x x 3 x         4 3 3 2 2 6 8 5 3 4 7 6 5 7 5 W x ( )  2 ( x   x 1)( x 8  7  5 x  4 x 4 x  3 x   x 1  3 x 1)   x x Zadanie 134 Rozłożyć na czynniki wielomian trzech zmiennych: Q x y z , ) ( ,  ( x  y ) 3  ( y  z ) 3  ( z  3 x ) Rozwiązanie Zauważmy, że wielomian przyjmuje wartość 0 dla x wielomian trami dzieli się przez każdą z różnic: czyn: ( . Mamy więc: x co oznacza, że Q x y z traktowany jako wielomian jednej zmiennej z dwoma parame-  zatem dzieli się przez ich ilo- y , y z , z y y )( y y , z z , , ) ( , )(      x x x x z z ) Q x y z , ) ( ,  ( x  3 y )  ( y  3 z )  ( z  3 x )  (  x  y y )(  z )( z  x ) Podnosząc do trzecich potęg po stronie lewej i wymnażając po stronie prawej, po- rządkując i porównując współczynniki ustalamy, że 3 , stad: 98 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Q x y z , ) ( ,  ( x  3 y )  ( y  3 z )  ( z  3 x )  3( x  y y )(  z )( z  x ) Zadanie 135 Udowodnić, że iloczyn czterech kolejnych liczb zwiększony o 1 jest pełnym kwadra- tem. Rozwiązanie Mamy wykazać, że:  który będzie spełniał warunek: . Spróbujemy znaleźć wielomian 3) 1   n n ( 2)( 1)(   n n k 2 ( )Q x , x x (  1)( x  2)(  Q x 2 ( ) 1    x  3) 1 Q x  2 x x (  1)( x  2)( x  3)  ( ) 2 ( ) Q x Q x Q x ( ) ( ) 2     ale x x (  1)( x  2)( x  3)   x x (  3)  ( 1)( x  2)   2 ( x  x x 3 )( 2  3 x  2) x   2 ( x  x x 3 )( 2  3 x  2)  W takim razie: Q x Q x ( )  ( ) 2   Q x ( )  2 x  3 x n n (  1)( n  2)( n   2 n  n 3  2 1   3) 1 Zadanie 136 Udowodnić, że wielomian o współczynnikach całkowitych: W x ( )  n a x n  a x n 1  n 1  ...   a x a 1 0  1x  wartości nieparzyste, nie ma pierwiastków całkowitych. 0 x  i Przyjmujący dla Rozwiązanie Zgodnie z warunkami zadania mamy: W (0)  a 0  2 m 1  , W (1)  a n  a n 1    ... a 1  a 0  2 k 1  Jeżeli x l 2 , to wartość: W l (2 )  a n n l (2 )  a n 1  n 1  l (2 )   ... a 1 l (2 )  a 0  2 A a 0  ze względu na 0a jest nieparzysta. Jeżeli W (2 1)   a n l (2 n  1)  a n 1  l (2  1) n 1  ...   x l 2 a 1 l (2 1  , to: 1)   a 0  2 B  ( a n  a n 1    ... a 1  a 0 ) ze względu na wartość wielomianu jest nieparzysta, co jest sprzeczne z warunkami zadania. jest również nieparzysta. Dla każdego argumentu a  n 1 ...   a n a 0 a 1  99 Ciekawe zadania z matematyki - zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty Zadanie 137 Ile rozwiązań ma równanie: sin x  Rozwiązanie Szukamy tu punktów wspólnych krzywej x 50 (*) nek poniżej przedstawia fragment wykresu obu linii. f x ( )  sin x oraz prostej g x ( )  1 50 x . Rysu-  (2 n 0x  . prosta 2) ,2 n  ( )g x w dwóch punktach f x przy czym nastąpi to w pierwszej części rozważanego odcin- ( ) Ze względu na nieparzystość obu funkcji, to jest symetrię ich wykresów względem początku układu współrzędnych, po stronie dodatniej osi OX będzie tyle samo roz- wiązań równania co po stronie ujemnej. Do tych rozwiązań należy dodać trywialne rozwiązanie dla Zauważmy, że na każdym odcinku przetnie sinusoidę ka, tam gdzie sinusoida jest powyżej osi OX. Zauważmy ponadto, że powyżej punktów o rzędnych 1 nie może być punktów wspól- ( )g x przechodzi przez punkt o rzędnej 1 dla odciętej 50. nych z sinusoidą. Prosta Wynika stąd, że punkt (50,1) jest ostatnim punktem, który mógłby być wspólny dla sinusoidy i rozpatrywanej prostej. Dzieląc [50 : 2 ] 1 8    ustalimy ile górnych części sinusoidy mieści się w odcinku 0,50 . W każdej części są dwa punkty wspólne, co x  . Do tego należy dodać 16 daje 16 punktów wraz z rozwiązaniem trywialnym dla rozwiązań po ujemnej stronie osi. Wszystkich rozwiązań równania jest 31. Zadanie 138 Dla jakiej całkowitej liczby a wyrażenie ( rażenia ( Rozwiązanie Pytamy dla jakich liczb Obliczając wartość wielomianu dla x  da się zapisać w postaci wy- z całkowitymi współczynnikami , b c . Znaleźć te współczynniki. x a x )(  P x ( ) 10) 1 (   c  wyznaczymy a. a b c  wielomian , , b  lub x x b x c   x a x )(  x b x )(  10) 1 . )(  c )    0 ( ) P c (     c a ( ) )( c   10) 1 ( c b     )( c     c a c )( ( ) c  10) 1   100
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Ciekawe zadania z matematyki z kompletnymi rozwiązaniami i dodatkiem teoretycznym
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: