Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00048 006813 12235304 na godz. na dobę w sumie
Domowe lekcje matematyki - książka
Domowe lekcje matematyki - książka
Autor: Liczba stron: 208
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-283-1544-0 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> książki okołoszkolne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Matematyka jest królową nauk... Tylko jak przekonać o tym dzieci?

Matematyka w szkole podstawowej bywa dla uczniów przyjemnością albo udręką — w zależności od tego, jak dużo z niej rozumieją i na ile przydaje im się w codziennym życiu. Jej podstawy muszą poznać wszyscy, nie tylko młodzi miłośnicy abstrakcji, liczb i łamigłówek. Zdecydowana większość z nich będzie kiedyś zdawać ją na maturze, warto więc zawczasu zadbać o to, by dzieci zrozumiały fundamentalne prawa matematyki, polubiły ją i zaczęły samodzielnie kombinować, jak rozwiązać zadania, a nie jedynie wyuczyć się schematów.

Domowe lekcje matematyki to kontynuacja znakomitej książki Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dla rodziców. Autorka zamieściła tu scenariusze zajęć, propozycje ćwiczeń i zadań dla uczniów klas IV–VI. Rodzice i nauczyciele znajdą w tej publikacji podstawową wiedzę matematyczną wraz ze szczegółowymi wskazówkami metodycznymi, które ułatwią im wyposażenie dzieci w umiejętność wykonywania działań, badania własności figur czy brył, rozwiązywania zadań tekstowych bez narzucania jedynie słusznej drogi dochodzenia do właściwego wyniku. To wspaniała pozycja dla wszystkich, którzy chcą przekonać swoje latorośle, że matematyka da się rozumieć!
 
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce. Redaktor prowadzący: Michał Mrowiec Projekt okładki: ULABUKA Fotografia na okładce została wykorzystana za zgodą Shutterstock.com Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: helion@helion.pl WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek) Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie/dolema Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję. ISBN: 978-83-283-1544-0 Copyright © Helion 2016 Printed in Poland. • Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis tre(cid:264)ci Wst(cid:246)p .............................................................................................. 7 Rozdzia(cid:228) 1. Liczby 0, 1, 2, … ........................................................................... 11 1.1. Dodajemy i odejmujemy .......................................................................................... 11 Lekcja 1. Przypominamy dziesi(cid:261)tkowy system pozycyjny ..................................... 11 Lekcja 2. Wprowadzamy system rzymski ............................................................... 13 Lekcja 3. Rysujemy o(cid:286) liczbow(cid:261) ............................................................................. 15 Lekcja 4. Korzystamy z w(cid:225)asno(cid:286)ci dodawania ........................................................ 16 Lekcja 5. Korzystamy z w(cid:225)asno(cid:286)ci odejmowania .................................................... 18 Lekcja 6. (cid:251)wiczymy dodawanie i odejmowanie w pami(cid:266)ci .................................... 20 Lekcja 7. Dodajemy pisemnie ................................................................................. 21 Lekcja 8. Odejmujemy pisemnie ............................................................................. 23 Lekcja 9. Rozwi(cid:261)zujemy zadania tekstowe ............................................................. 24 1.2. Mno(cid:298)ymy ................................................................................................................. 26 Lekcja 10. Uzasadniamy przemienno(cid:286)(cid:252) mno(cid:298)enia .................................................. 26 Lekcja 11. Mno(cid:298)ymy, dodajemy i u(cid:298)ywamy nawiasów .......................................... 27 Lekcja 12. Rozdzielamy mno(cid:298)enie wzgl(cid:266)dem dodawania ...................................... 29 Lekcja 13. (cid:251)wiczymy mno(cid:298)enie w pami(cid:266)ci ............................................................ 30 Lekcja 14. Mno(cid:298)ymy wielokrotnie ......................................................................... 31 Lekcja 15. Mno(cid:298)ymy przez 10 ................................................................................ 33 Lekcja 16. Mno(cid:298)ymy pisemnie ............................................................................... 34 1.3. Dzielimy .................................................................................................................. 36 Lekcja 17. Poznajemy dwie interpretacje dzielenia ................................................ 36 Lekcja 18. (cid:251)wiczymy dzielenie w pami(cid:266)ci ............................................................. 39 Lekcja 19. Dzielimy pisemnie ................................................................................. 40 Lekcja 20. Badamy podzielno(cid:286)(cid:252) liczby przez liczb(cid:266) ............................................... 42 Lekcja 21. Odkrywamy cechy podzielno(cid:286)ci przez 10, 5, 2 ..................................... 44 Lekcja 22. Odkrywamy cechy podzielno(cid:286)ci przez 25, 4 ......................................... 45 Lekcja 23. Odkrywamy cechy podzielno(cid:286)ci przez 3, 9 ........................................... 46 1.4. Liczby naturalne w zadaniach .................................................................................. 47 Lekcja 24 i nast(cid:266)pne. Rozwi(cid:261)zujemy zadania tekstowe .......................................... 47 Poleć książkęKup książkę 4 Domowe lekcje matematyki Rozdzia(cid:228) 2. D(cid:228)ugo(cid:264)(cid:232) i k(cid:241)ty ................................................................................ 51 2.1. Odcinki, d(cid:225)ugo(cid:286)(cid:252) odcinka, obwód ............................................................................ 51 Lekcja 1. Odcinki i proste ....................................................................................... 51 Lekcja 2. Mierzymy d(cid:225)ugo(cid:286)(cid:252) ................................................................................... 53 Lekcja 3. Poznajemy podstawowe jednostki d(cid:225)ugo(cid:286)ci ............................................. 55 Lekcja 4. Mierzymy obwód .................................................................................... 58 Lekcja 5. Poznajemy w(cid:225)asno(cid:286)ci okr(cid:266)gu i ko(cid:225)a ......................................................... 59 2.2. K(cid:261)ty, mierzenie k(cid:261)tów ............................................................................................. 60 Lekcja 6. K(cid:261)ty i ich rodzaje .................................................................................... 60 Lekcja 7. Mierzymy k(cid:261)ty ........................................................................................ 62 Lekcja 8. K(cid:261)ty przy prostych równoleg(cid:225)ych przeci(cid:266)tych prost(cid:261) .............................. 65 Lekcja 9. Dzielimy ko(cid:225)o na równe cz(cid:266)(cid:286)ci ................................................................ 67 2.3. Prostok(cid:261)t .................................................................................................................. 68 Lekcja 10. Prostok(cid:261)t i kwadrat ................................................................................ 68 Lekcja 11. Obliczamy obwód prostok(cid:261)ta ................................................................ 70 Rozdzia(cid:228) 3. U(cid:228)amki zwyk(cid:228)e ................................................................................ 73 3.1. Kszta(cid:225)tujemy poj(cid:266)cie u(cid:225)amka ................................................................................... 73 Lekcja 1. Sporz(cid:261)dzamy modele u(cid:225)amków ............................................................... 73 Lekcja 2. Wst(cid:266)pne (cid:252)wiczenia z u(cid:225)amkami ............................................................... 74 Lekcja 3. Dalsze (cid:252)wiczenia z u(cid:225)amkami .................................................................. 76 Lekcja 4. U(cid:225)amki ró(cid:298)nych ca(cid:225)o(cid:286)ci ........................................................................... 78 Lekcja 5. U(cid:225)amki na osi liczbowej .......................................................................... 80 Lekcja 6. Porównujemy u(cid:225)amki .............................................................................. 82 Lekcja 7. Dodajemy i odejmujemy u(cid:225)amki o tym samym mianowniku .................. 84 Lekcja 8. Mno(cid:298)ymy i dzielimy u(cid:225)amki przez liczb(cid:266) naturaln(cid:261) ................................ 86 3.2. U(cid:225)amek jako iloraz ................................................................................................... 89 Lekcja 9. U(cid:225)amek jako wynik dzielenia .................................................................. 89 Lekcja 10. Skracamy i rozszerzamy u(cid:225)amki ............................................................ 91 3.3. Dodajemy i odejmujemy u(cid:225)amki .............................................................................. 94 Lekcja 11. Sprowadzamy u(cid:225)amki do wspólnego mianownika ................................. 94 Lekcja 12. Dodajemy u(cid:225)amki .................................................................................. 96 Lekcja 13. Odejmujemy u(cid:225)amki .............................................................................. 97 Lekcja 14. (cid:251)wiczenia w dodawaniu i odejmowaniu u(cid:225)amków ................................ 99 3.4. Mno(cid:298)ymy i dzielimy u(cid:225)amki .................................................................................. 100 Lekcja 15. Poznajemy maszyn(cid:266) do mno(cid:298)enia u(cid:225)amków ....................................... 100 Lekcja 16. Mno(cid:298)ymy u(cid:225)amki ................................................................................ 103 Lekcja 17. Skracamy u(cid:225)amki przy mno(cid:298)eniu ........................................................ 104 Lekcja 18. (cid:251)wiczymy mno(cid:298)enie u(cid:225)amków ............................................................ 106 Lekcja 19. Obliczamy pole prostok(cid:261)ta o wymiarach u(cid:225)amkowych ....................... 108 Lekcja 20. Dzielimy przez u(cid:225)amek ........................................................................ 110 Lekcja 21. (cid:251)wiczymy dzielenie u(cid:225)amków ............................................................. 114 Lekcja 22. Cztery dzia(cid:225)ania na u(cid:225)amkach .............................................................. 115 3.5. U(cid:225)amek liczby, procent .......................................................................................... 116 Lekcja 23. U(cid:225)amek liczby ..................................................................................... 116 Lekcja 24. Co to jest procent ................................................................................. 118 Lekcja 25. Przeprowadzamy proste obliczenia procentowe .................................. 120 Rozdzia(cid:228) 4. U(cid:228)amki dziesi(cid:246)tne ......................................................................... 123 4.1. Poznajemy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne ................................................................................. 123 Lekcja 1. Co to s(cid:261) u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne ..................................................................... 123 Lekcja 2. Posta(cid:252) dziesi(cid:266)tna u(cid:225)amka ....................................................................... 125 Lekcja 3. Porównujemy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne ............................................................ 128 Lekcja 4. Mno(cid:298)ymy i dzielimy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne przez 10, 100, 1000 itd. .......... 130 Poleć książkęKup książkę Spis tre(cid:264)ci 5 4.2. Dodajemy i odejmujemy ........................................................................................ 132 Lekcja 5. Dodajemy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne ................................................................. 132 Lekcja 6. Odejmujemy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne ............................................................. 134 4.3. Mno(cid:298)ymy ............................................................................................................... 135 Lekcja 7. Mno(cid:298)ymy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne przez liczby naturalne .............................. 135 Lekcja 8. Mno(cid:298)ymy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne .................................................................. 137 4.4. Dzielimy ................................................................................................................ 139 Lekcja 9. Dzielimy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne przez liczby naturalne ............................... 139 Lekcja 10. Dzielimy u(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne ................................................................. 142 4.5. U(cid:225)amki dziesi(cid:266)tne w zadaniach .............................................................................. 143 Lekcja 11 i nast(cid:266)pne. Rozwi(cid:261)zujemy zadania tekstowe ........................................ 143 Rozdzia(cid:228) 5. Trójk(cid:241)ty i czworok(cid:241)ty ................................................................... 145 5.1. Poznajemy w(cid:225)asno(cid:286)ci trójk(cid:261)tów ............................................................................. 145 Lekcja 1. Konstrukcja trójk(cid:261)ta z trzech odcinków ................................................ 145 Lekcja 2. Suma k(cid:261)tów trójk(cid:261)ta .............................................................................. 147 Lekcja 3. Suma k(cid:261)tów wielok(cid:261)ta ........................................................................... 149 Lekcja 4. Trójk(cid:261)ty równoboczne i trójk(cid:261)ty równoramienne .................................. 151 Lekcja 5. Wysoko(cid:286)(cid:252) trójk(cid:261)ta ................................................................................. 153 5.2. Poznajemy w(cid:225)asno(cid:286)ci równoleg(cid:225)oboku i rombu .................................................... 155 Lekcja 6. Rodzaje czworok(cid:261)tów ........................................................................... 155 Lekcja 7. Przek(cid:261)tne równoleg(cid:225)oboku i rombu ....................................................... 157 Rozdzia(cid:228) 6. Pole wielok(cid:241)ta ............................................................................. 161 6.1. Obliczamy pole prostok(cid:261)ta .................................................................................... 161 Lekcja 1. Co to jest pole prostok(cid:261)ta ...................................................................... 161 Lekcja 2. Poznajemy standardowe jednostki pola ................................................. 163 Lekcja 3. Obliczamy pole prostok(cid:261)ta .................................................................... 165 6.2. Obliczamy pola innych wielok(cid:261)tów ....................................................................... 167 Lekcja 4. Obliczamy pole równoleg(cid:225)oboku ........................................................... 167 Lekcja 5. Obliczamy pole trójk(cid:261)ta ........................................................................ 169 Lekcja 6. Obliczamy pole dowolnego wielok(cid:261)ta, w tym pole trapezu .................. 170 Rozdzia(cid:228) 7. Bry(cid:228)y ............................................................................................ 173 7.1. Prostopad(cid:225)o(cid:286)cian .................................................................................................... 173 Lekcja 1. Poznajemy prostopad(cid:225)o(cid:286)cian ................................................................. 173 Lekcja 2. Sporz(cid:261)dzamy siatk(cid:266) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu ................................................. 175 Lekcja 3. Obliczamy pole powierzchni prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu ................................... 176 Lekcja 4. Obliczamy obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu ................................................. 178 Lekcja 5. Poznajemy standardowe jednostki obj(cid:266)to(cid:286)ci ......................................... 180 7.2. Przyk(cid:225)ady innych bry(cid:225) ............................................................................................ 181 Lekcja 6. Poznajemy graniastos(cid:225)upy ..................................................................... 181 Lekcja 7. Poznajemy ostros(cid:225)upy ............................................................................ 183 Lekcja 8. Poznajemy bry(cid:225)y obrotowe .................................................................... 184 Rozdzia(cid:228) 8. Liczby dodatnie i ujemne .............................................................. 185 Lekcja 1. Liczby ze znakami ................................................................................. 185 Lekcja 2. Dodajemy .............................................................................................. 187 Lekcja 3. Odejmujemy .......................................................................................... 189 Lekcja 4. Mno(cid:298)ymy i dzielimy ............................................................................. 191 Lekcja 5. (cid:251)wiczenia rachunkowe .......................................................................... 192 Poleć książkęKup książkę 6 Domowe lekcje matematyki Rozdzia(cid:228) 9. Elementy algebry ......................................................................... 195 Lekcja 1. Pos(cid:225)ugujemy si(cid:266) literami ....................................................................... 195 Lekcja 2. (cid:251)wiczenia z wyra(cid:298)eniami algebraicznymi ............................................. 197 Lekcja 3. Uk(cid:225)adamy wyra(cid:298)enia algebraiczne do tekstu ......................................... 198 Lekcja 4. Poznajemy równania ............................................................................. 200 Lekcja 5. Rozwi(cid:261)zujemy równania ....................................................................... 203 Lekcja 6. Stosujemy równania do rozwi(cid:261)zywania zada(cid:276) tekstowych ................... 205 Poleć książkęKup książkę Rozdzia(cid:228) 7. Bry(cid:228)y 7.1. Prostopad(cid:228)o(cid:264)cian Lekcja 1. Poznajemy prostopad(cid:228)o(cid:264)cian Celem lekcji jest zaznajomienie ucznia z prostopad(cid:225)o(cid:286)cianem. Chcemy, aby potrafi(cid:225) wyró(cid:298)ni(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cian w(cid:286)ród wielo(cid:286)cianów i umia(cid:225) go scharakteryzowa(cid:252). Na lek- cji niezb(cid:266)dne s(cid:261) modele prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu (w tym model sze(cid:286)cianu), a dobrze by(cid:225)oby te(cid:298) mie(cid:252) modele kilku innych wielo(cid:286)cianów (ostros(cid:225)upów i graniastos(cid:225)upów). Jako mo- dele prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu mog(cid:261) s(cid:225)u(cid:298)y(cid:252) rozmaite pude(cid:225)ka1. Nieco trudniej o modele innych wielo(cid:286)cianów, ale na pewno co(cid:286) znajdziemy. Lekcj(cid:266) zacznijmy od rozmowy na temat bry(cid:225). Ucze(cid:276) rozumie ju(cid:298) intuicyjnie to poj(cid:266)cie. Jest to dobra okazja, aby powiedzie(cid:252) o obiektach p(cid:225)askich i przestrzennych. Wielok(cid:261)ty i ko(cid:225)a s(cid:261) p(cid:225)askie, natomiast bry(cid:225)y s(cid:261) przestrzenne. Modelem kawa(cid:225)ka p(cid:225)aszczyzny jest kartka papieru, a modelem przestrzeni geometrycznej — przestrze(cid:276), w której (cid:298)yjemy. My, tak jak bry(cid:225)y, te(cid:298) jeste(cid:286)my „przestrzenni”. Lekcj(cid:266) zacznijmy od pokazania przygotowanych modeli. Poinformujmy ucznia, (cid:298)e bry(cid:225)y te nazywamy wielo(cid:286)cianami2, w odró(cid:298)nieniu np. od kuli czy walca. Wybierzmy prosto- pad(cid:225)o(cid:286)ciany i zapytajmy, jakie s(cid:261) ich cechy charakterystyczne, tzn. cechy wyró(cid:298)niaj(cid:261)ce je z pozosta(cid:225)ych wielo(cid:286)cianów. W razie potrzeby skierujmy uwag(cid:266) ucznia na wielok(cid:261)ty, które s(cid:261) (cid:286)cianami bry(cid:225). Chodzi o zauwa(cid:298)enie, (cid:298)e wszystkie (cid:286)ciany prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu s(cid:261) prostok(cid:261)tami. Niech ucze(cid:276) pos(cid:225)u(cid:298)y si(cid:266) modelem i opisze po(cid:225)o(cid:298)enie (cid:286)cian prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. My(cid:286)l(cid:266), (cid:298)e nie b(cid:266)dzie mia(cid:225) problemu z przeniesieniem poj(cid:266)cia równoleg(cid:225)o(cid:286)ci i prostopad(cid:225)o(cid:286)ci z prostych na p(cid:225)aszczyzny; bez k(cid:225)opotu wska(cid:298)e pary (cid:286)cian równoleg(cid:225)ych i pary (cid:286)cian prostopad(cid:225)ych. 1 Formalnie modelami s(cid:261) pude(cid:225)ka razem z wn(cid:266)trzem, ale nie ma to znaczenia dla dalszych rozwa(cid:298)a(cid:276). 2 Analogicznie do wieloboków. Poleć książkęKup książkę 174 Domowe lekcje matematyki Warto policzy(cid:252) wierzcho(cid:225)ki i kraw(cid:266)dzie prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, przy czym mo(cid:298)na zach(cid:266)- ci(cid:252) ucznia, aby spróbowa(cid:225) to zrobi(cid:252) bez patrzenia na model. Przy okazji wskazywania kraw(cid:266)dzi równoleg(cid:225)ych i prostopad(cid:225)ych zwró(cid:252)my uwag(cid:266) na kraw(cid:266)dzie niele(cid:298)(cid:261)ce w jednej p(cid:225)aszczy(cid:296)nie: Aby si(cid:266) przekona(cid:252), (cid:298)e nie ma p(cid:225)aszczyzny zawieraj(cid:261)cej kraw(cid:266)dzie k i l, potrzeba tro- ch(cid:266) wyobra(cid:296)ni. Niech ucze(cid:276) wyobrazi sobie dowoln(cid:261) p(cid:225)aszczyzn(cid:266) (kartk(cid:266) papieru) przechodz(cid:261)c(cid:261) przez kraw(cid:266)d(cid:296) k i zmienia jej po(cid:225)o(cid:298)enie (obraca kartk(cid:266)), nie rezygnuj(cid:261)c z zawierania k. Wida(cid:252), (cid:298)e nie potrafimy nada(cid:252) p(cid:225)aszczy(cid:296)nie takiego po(cid:225)o(cid:298)enia, aby znalaz(cid:225)a si(cid:266) na niej tak(cid:298)e kraw(cid:266)d(cid:296) l. Poinformujmy ucznia, (cid:298)e proste niele(cid:298)(cid:261)ce w jednej p(cid:225)aszczy(cid:296)nie nazywamy sko(cid:286)nymi3. Porozmawiajmy o tym, (cid:298)e niekiedy wygodnie jest wyró(cid:298)ni(cid:252) w prostopad(cid:225)o(cid:286)cianie pod- stawy i (cid:286)ciany boczne. Jest to naturalne dopiero po postawieniu prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, np. na stole lub d(cid:225)oni. Oczywi(cid:286)cie wszystkie (cid:286)ciany s(cid:261) równouprawnione — ka(cid:298)da mo(cid:298)e by(cid:252) podstaw(cid:261) i ka(cid:298)da (cid:286)cian(cid:261) boczn(cid:261). Poj(cid:266)cia te wskazuj(cid:261) na po(cid:225)o(cid:298)enie prostopad(cid:225)o(cid:286)cia- nu, a nie s(cid:261) zwi(cid:261)zane z sam(cid:261) bry(cid:225)(cid:261). Niech ucze(cid:276) znajdzie w(cid:286)ród modeli taki prostopad(cid:225)o(cid:286)cian, którego wszystkie (cid:286)ciany s(cid:261) kwadratami. Poinformujmy, (cid:298)e takie prostopad(cid:225)o(cid:286)ciany nazywamy sze(cid:286)cianami. Zapytajmy o sze(cid:286)ciany w (cid:298)yciu codziennym — klasycznym przyk(cid:225)adem jest kostka do gry (o ile nie ma zaokr(cid:261)gle(cid:276) przy wierzcho(cid:225)kach). Jak wiadomo, nazwa „sze(cid:286)cian” nie jest zbyt trafna, mówi tylko o liczbie (cid:286)cian, a nie o tym, jakie one s(cid:261). Ucze(cid:276) stykaj(cid:261)cy si(cid:266) z t(cid:261) nazw(cid:261) po raz pierwszy mo(cid:298)e si(cid:266) zdziwi(cid:252), (cid:298)e nie ka(cid:298)dy prostopad(cid:225)o(cid:286)cian jest sze(cid:286)cianem: „Jak to? Przecie(cid:298) ma sze(cid:286)(cid:252) (cid:286)cian!”. Póki pos(cid:225)ugujemy si(cid:266) modelami prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, lekcja przebiega na ogó(cid:225) g(cid:225)adko. Trudno(cid:286)ci mog(cid:261) si(cid:266) pojawi(cid:252) wtedy, kiedy modele zast(cid:261)pimy rysunkami. Dwa pierwsze (cid:252)wiczenia s(cid:225)u(cid:298)(cid:261) sprawdzeniu, czy ucze(cid:276) potrafi odczyta(cid:252) rysunek. (cid:251)wiczenie 1. Ile (cid:286)cian wida(cid:252) na rysunku prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu? Ile (cid:286)cian jest niewidocznych? Okre(cid:286)l ich po(cid:225)o(cid:298)enie. Ilu kraw(cid:266)dzi nie wida(cid:252)? A ile wierzcho(cid:225)ków jest niewidocznych? 3 Potoczne znaczenie tej nazwy jest inne, oznacza ona nachylenie pod k(cid:261)tem ostrym. Poleć książkęKup książkę Rozdzia(cid:228) 7. (cid:105) Bry(cid:228)y 175 Poinformujmy, (cid:298)e kraw(cid:266)dzie niewidoczne rysujemy na ogó(cid:225) liniami przerywanymi. (cid:251)wiczenie 2. Pos(cid:225)uguj(cid:261)c si(cid:266) literami: a) wybierz jedn(cid:261) z kraw(cid:266)dzi prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu i wypisz kraw(cid:266)dzie do niej równoleg(cid:225)e, b) wybierz jedn(cid:261) ze (cid:286)cian prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu i wypisz (cid:286)ciany do niej prostopad(cid:225)e. Niektórzy uczniowie maj(cid:261) trudno(cid:286)ci z rysowaniem, dajmy im wi(cid:266)c czas na samodzielne próby. Nie narzucajmy sposobu rysowania, ograniczmy si(cid:266) do wskazywania ewentu- alnych b(cid:225)(cid:266)dów i niezr(cid:266)czno(cid:286)ci, a tak(cid:298)e nieco podpowiadajmy. Niech ucze(cid:276) korzysta z modeli prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, ustawiaj(cid:261)c je tak, aby by(cid:225)o wida(cid:252) jak najwi(cid:266)cej (cid:286)cian. W razie problemów mo(cid:298)na poradzi(cid:252), aby zaczyna(cid:252) od dwóch (cid:286)cian równoleg(cid:225)ych — przedniej i tylnej: Potem pozostaje tylko po(cid:225)(cid:261)czy(cid:252) odpowiednie wierzcho(cid:225)ki. To bardzo sprytny sposób, podpatrzy(cid:225)am go u nauczycieli. Lekcja 2. Sporz(cid:241)dzamy siatk(cid:246) prostopad(cid:228)o(cid:264)cianu Oprócz rysowania prostopad(cid:225)o(cid:286)cianów uczymy tak(cid:298)e sporz(cid:261)dza(cid:252) ich siatki. Sporz(cid:261)- dzanie siatek kszta(cid:225)ci wyobra(cid:296)ni(cid:266) geometryczn(cid:261) i dlatego jest wa(cid:298)ne z matematycznego punktu widzenia. Wp(cid:225)ywa te(cid:298) korzystnie na rozwój sprawno(cid:286)ci manualnych. Trzeba uczniowi dok(cid:225)adnie wyt(cid:225)umaczy(cid:252), o co chodzi przy sporz(cid:261)dzaniu siatki. Mo(cid:298)na zacz(cid:261)(cid:252) od zadania sporz(cid:261)dzania modelu prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu z kartki papieru, co spro- wadza si(cid:266) do narysowania i wyci(cid:266)cia prostok(cid:261)tów, które b(cid:266)d(cid:261) (cid:286)cianami prostopad(cid:225)o- (cid:286)cianu. Je(cid:298)eli prostok(cid:261)ty te narysujemy tak, aby by(cid:225)y „w jednym kawa(cid:225)ku”, to utwo- rzon(cid:261) przez nie figur(cid:266) nazywamy siatk(cid:261). Poleć książkęKup książkę 176 Domowe lekcje matematyki Tak postawione zadanie mo(cid:298)e si(cid:266) okaza(cid:252) zbyt trudne. (cid:224)atwiej przej(cid:286)(cid:252) od modelu do jego siatki. W tym celu warto przeznaczy(cid:252) do ewentualnego rozci(cid:266)cia i sp(cid:225)aszczenia jakie(cid:286) tekturowe pude(cid:225)ko, przy czym rozcina(cid:252) b(cid:266)dziemy wzd(cid:225)u(cid:298) kraw(cid:266)dzi. Zapytajmy, jak to robi(cid:252), aby tektura pozosta(cid:225)a w jednym kawa(cid:225)ku. Lepiej wzi(cid:261)(cid:252) pude(cid:225)ko bez pokrywki, bo wtedy (cid:225)atwiej mo(cid:298)na sobie wyobrazi(cid:252) jego rozcinanie i sp(cid:225)aszczanie. Mo(cid:298)e si(cid:266) to skojarzy(cid:252) z rozwijaniem si(cid:266) p(cid:225)atków korony kwiatu. Ucze(cid:276) dostrze(cid:298)e, (cid:298)e wystarczy rozci(cid:261)(cid:252) wzd(cid:225)u(cid:298) pionowych kraw(cid:266)dzi i roz(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) (cid:286)ciany boczne. B(cid:266)dzie to siatka prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu bez jednej (cid:286)ciany, któr(cid:261) trzeba potem dorysowa(cid:252). Z siatki mo(cid:298)na z(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cian, u(cid:298)ywaj(cid:261)c np. ta(cid:286)my klej(cid:261)cej. Kiedy(cid:286) robi(cid:225)o si(cid:266) tzw. wypustki, ale by(cid:225)y to raczej zaj(cid:266)cia praktyczne, a nie lekcja matematyki. Do celów matematyki (cid:225)(cid:261)czenie (cid:286)cian najcz(cid:266)(cid:286)ciej jest niepotrzebne — wystarczy tylko po- zagina(cid:252) kraw(cid:266)dzie. Jak wiadomo, siatk(cid:266) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu mo(cid:298)na sporz(cid:261)dzi(cid:252) na wiele sposobów. Niech ucze(cid:276) robi tak, jak mu wygodnie. Zadania 1. Rysunek przedstawia sze(cid:286)cian i jego siatk(cid:266): Podaj, jakie litery s(cid:261) przyporz(cid:261)dkowane niewidocznym (cid:286)cianom sze(cid:286)cianu. W razie trudno(cid:286)ci niech ucze(cid:276) rysuje, wycina i sk(cid:225)ada. 2. Narysuj kilka ró(cid:298)nych siatek sze(cid:286)cianu. Jest co najwy(cid:298)ej 11 mo(cid:298)liwo(cid:286)ci. 3. Pomy(cid:225)ek rozumuje: prostopad(cid:225)o(cid:286)cian ma 8 wierzcho(cid:225)ków, z ka(cid:298)dego wychodz(cid:261) 3 kraw(cid:266)dzie, wi(cid:266)c razem s(cid:261) 24 kraw(cid:266)dzie. Czy rzeczywi(cid:286)cie? Pomy(cid:225)ek liczy ka(cid:298)d(cid:261) kraw(cid:266)d(cid:296) podwójnie. Lekcja 3. Obliczamy pole powierzchni prostopad(cid:228)o(cid:264)cianu Na lekcji warto po(cid:286)wi(cid:266)ci(cid:252) par(cid:266) s(cid:225)ów na wyja(cid:286)nienie terminologii, która nie jest jedno- znaczna. Termin „powierzchnia” nie zawsze oznacza pewien obszar. Bywa u(cid:298)ywany tak(cid:298)e w znaczeniu pola tego obszaru, a wi(cid:266)c czasem oznacza liczb(cid:266). Tak z regu(cid:225)y jest w (cid:298)yciu codziennym. Nie prowadzi to jednak do nieporozumie(cid:276), gdy(cid:298) zawsze jest jasne, o jakie znaczenie chodzi. Poleć książkęKup książkę Rozdzia(cid:228) 7. (cid:105) Bry(cid:228)y 177 Poka(cid:298)my na modelu, co si(cid:266) rozumie przez powierzchni(cid:266) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Przy okazji warto uogólni(cid:252) poj(cid:266)cie powierzchni na dowolny wielo(cid:286)cian, te(cid:298) przy u(cid:298)yciu modeli. Ucze(cid:276) widzi, (cid:298)e na powierzchni(cid:266) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu sk(cid:225)ada si(cid:266) sze(cid:286)(cid:252) prostok(cid:261)tów b(cid:266)- d(cid:261)cych jego (cid:286)cianami. Pole powierzchni jest wi(cid:266)c sum(cid:261) pól poszczególnych (cid:286)cian. Do takiego wniosku mo(cid:298)na doj(cid:286)(cid:252) równie(cid:298) na podstawie siatki prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Nie formu(cid:225)ujmy (cid:298)adnych ogólnych wzorów. S(cid:261) one niepotrzebne, a czasami wr(cid:266)cz szkodliwe. Niech ucze(cid:276) szuka najprostszych sposobów obliczania pola powierzchni. Sprawd(cid:296)my, czy dostrze(cid:298)e, (cid:298)e pole ka(cid:298)dej (cid:286)ciany wyst(cid:266)puje co najmniej dwa razy, co warto wykorzysta(cid:252) w obliczeniach. Przed przyst(cid:261)pieniem do oblicze(cid:276) trzeba przypomnie(cid:252), (cid:298)e pole wyra(cid:298)amy w jednostkach kwadratowych. (cid:251)wiczenie 1. We(cid:296) do r(cid:266)ki model prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu i zastanów si(cid:266), jak obliczysz jego pole powierzchni. Które odcinki zmierzysz? Jak b(cid:266)dziesz oblicza(cid:252), aby u(cid:225)atwi(cid:252) sobie prac(cid:266)? A jak b(cid:266)dziesz oblicza(cid:252), je(cid:298)eli prostopad(cid:225)o(cid:286)cian jest sze(cid:286)cianem? W (cid:252)wiczeniu 1 zapewne pojawi(cid:261) si(cid:266) dwa sposoby obliczania. Niektórzy mog(cid:261) chcie(cid:252) obliczy(cid:252) sum(cid:266) podwojonych pól trzech (cid:286)cian. Sprytniejsi zauwa(cid:298)(cid:261), (cid:298)e wykonamy mniej dzia(cid:225)a(cid:276), je(cid:298)eli najpierw dodamy pola trzech (cid:286)cian, a potem podwoimy wynik. Kolejne dwa (cid:252)wiczenia s(cid:261) praktycznymi zastosowaniami obserwacji poczynionych w (cid:252)wiczeniu 1. (cid:251)wiczenie 2. Oblicz pole powierzchni prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, którego trzy (cid:286)ciany maj(cid:261) pola: 13 cm2, 26 cm2, 8 cm2. (cid:251)wiczenie 3. Oblicz pole powierzchni: a) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu o kraw(cid:266)dziach 4 cm, 5 cm i 7 cm, b) sze(cid:286)cianu o kraw(cid:266)dzi 3 cm. W dotychczasowych zadaniach by(cid:225)a mowa o polu powierzchni ca(cid:225)kowitej prostopa- d(cid:225)o(cid:286)cianu. Teraz b(cid:266)dziemy oblicza(cid:252) pole powierzchni cz(cid:266)(cid:286)ciowej, co bywa potrzebne w (cid:298)yciu codziennym. Kiedy obliczamy ilo(cid:286)(cid:252) farby potrzebnej na pomalowanie czterech (cid:286)cian pokoju, bierzemy pod uwag(cid:266) tylko powierzchni(cid:266) boczn(cid:261). Warto podyskutowa(cid:252) o sposobach jej obliczania. Standardowy sposób polega na dodaniu pól (cid:286)cian bocz- nych. Wykonujemy wtedy dwa mno(cid:298)enia (pola dwóch ró(cid:298)nych (cid:286)cian), jedno dodawanie i jedno mno(cid:298)enie przez 2. Zapytajmy, czy mo(cid:298)na zmniejszy(cid:252) liczb(cid:266) dzia(cid:225)a(cid:276). Chodzi o to, aby ucze(cid:276) wyobrazi(cid:225) sobie (cid:286)ciany boczne ustawione jedna obok drugiej, tak aby tworzy(cid:225)y prostok(cid:261)t. Wtedy wystarczy obliczy(cid:252) pole tego prostok(cid:261)ta, co sprowadza si(cid:266) do obliczenia obwodu pod(cid:225)ogi i pomno(cid:298)enia go przez wysoko(cid:286)(cid:252) pokoju. Okazj(cid:266) do takich rozwa(cid:298)a(cid:276) mamy w ostatnim (cid:252)wiczeniu. (cid:251)wiczenie 4. (cid:224)azienka ma kszta(cid:225)t prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu o wysoko(cid:286)ci 3 m i wymiarach podstawy 4 m na 2 m. Drzwi do (cid:225)azienki maj(cid:261) szeroko(cid:286)(cid:252) 1 m i wysoko(cid:286)(cid:252) 2 m. Ile metrów kwadratowych kafli potrzeba na pokrycie (cid:286)cian tej (cid:225)azienki? Poleć książkęKup książkę 178 Zadania Domowe lekcje matematyki 1. Oblicz, ile szk(cid:225)a jest w akwarium, którego wysoko(cid:286)(cid:252) wynosi 30 cm, a dno ma wymiary 30 cm na 40 cm. 2. Oblicz pole powierzchni sze(cid:286)cianu o kraw(cid:266)dzi 5 cm. 3. Oblicz sum(cid:266) kraw(cid:266)dzi sze(cid:286)cianu, którego pole powierzchni jest równe 96 cm2. W razie problemów zapytajmy o pole jednej (cid:286)ciany. 4. Sze(cid:286)cian, którego pole powierzchni jest równe 90 cm2, rozci(cid:266)to na dwa jednakowe prostopad(cid:225)o(cid:286)ciany. Oblicz pole powierzchni jednego prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Aby zapobiec b(cid:225)(cid:266)dnemu wnioskowi, (cid:298)e pole szukane jest dwa razy mniejsze od pola danego, dorad(cid:296)my obejrzenie sytuacji na rysunku. 5. D(cid:225)ugo(cid:286)(cid:252) pokoju jest równa 4 m, szeroko(cid:286)(cid:252) 5 m, a wysoko(cid:286)(cid:252) 3 m. W pokoju s(cid:261) dwa okna, ka(cid:298)de o wymiarach 1 m na 1 m oraz drzwi o szeroko(cid:286)ci 1 m i wysoko(cid:286)ci 2 m. Lokator chce pomalowa(cid:252) sufit i (cid:286)ciany. Jaka powierzchnia jest do pomalowania? Lekcja 4. Obliczamy obj(cid:246)to(cid:264)(cid:232) prostopad(cid:228)o(cid:264)cianu Jest to pierwsza lekcja, na której pojawia si(cid:266) termin „obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252)”. Wprowadzaj(cid:261)c go, warto nawi(cid:261)za(cid:252) do do(cid:286)wiadczenia ucznia zwi(cid:261)zanego z pojemno(cid:286)ci(cid:261) wyst(cid:266)puj(cid:261)c(cid:261) w (cid:298)y- ciu codziennym. Przy okazji obj(cid:266)to(cid:286)ci sze(cid:286)cianu wprowad(cid:296)my poj(cid:266)cie sze(cid:286)cianu liczby. Ucze(cid:276) kojarzy pojemno(cid:286)(cid:252) z ilo(cid:286)ci(cid:261) materia(cid:225)u, najcz(cid:266)(cid:286)ciej p(cid:225)ynu, któr(cid:261) mo(cid:298)na zmie(cid:286)ci(cid:252) w naczyniu (pojemniku) wype(cid:225)nionym po brzegi. Dobrze b(cid:266)dzie zapyta(cid:252) o kilka przy- k(cid:225)adów pos(cid:225)ugiwania si(cid:266) pojemno(cid:286)ci(cid:261), zwracaj(cid:261)c uwag(cid:266), (cid:298)e zwykle okre(cid:286)la si(cid:266) j(cid:261) w litrach. Zauwa(cid:298)my, (cid:298)e pojemno(cid:286)(cid:252) jest w istocie synonimem obj(cid:266)to(cid:286)ci, przy czym pojemno(cid:286)(cid:252) jest atrybutem pojemnika, a obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) zwykle dotyczy tego, co w nim jest, np. wody czy powietrza. Dobrze obrazuje to przyk(cid:225)ad wzi(cid:266)ty z medycyny, w którym okre(cid:286)la si(cid:266) pojemno(cid:286)(cid:252) p(cid:225)uc jako obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) powietrza w nich zawartego. Poinformujmy ucznia, (cid:298)e w matematyce u(cid:298)ywamy wy(cid:225)(cid:261)cznie terminu „obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252)” i odno- simy j(cid:261) do bry(cid:225). Wspólnie z uczniem zastanówmy si(cid:266), jak mo(cid:298)na zmierzy(cid:252) obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cia- nu. Do problemu podejd(cid:296)my czynno(cid:286)ciowo. Wymaga to troch(cid:266) zachodu, ale na pew- no si(cid:266) op(cid:225)aci. Postarajmy si(cid:266) o model prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, pusty wewn(cid:261)trz, z otwieran(cid:261) (cid:286)cian(cid:261) lub nawet bez jednej (cid:286)ciany, oraz jednakowe kostki sze(cid:286)cienne o kraw(cid:266)dzi tak dobranej, aby mie(cid:286)ci(cid:225)a si(cid:266) ca(cid:225)kowit(cid:261) liczb(cid:266) razy w ka(cid:298)dej kraw(cid:266)dzi prostopad(cid:225)o(cid:286)cia- nu. Chodzi o to, aby na pocz(cid:261)tkowym etapie kszta(cid:225)towania poj(cid:266)cia obj(cid:266)to(cid:286)ci unikn(cid:261)(cid:252) u(cid:225)amków. Pozwólmy rozpocz(cid:261)(cid:252) wype(cid:225)nianie sze(cid:286)cianu kostkami i postawmy zadanie obliczenia, ile kostek do tego potrzeba. Niektórzy uczniowie potrafi(cid:261) sobie wyobrazi(cid:252) Poleć książkęKup książkę Rozdzia(cid:228) 7. (cid:105) Bry(cid:228)y 179 uk(cid:225)adanie kostek w prostopad(cid:225)o(cid:286)cianie, inni potrzebuj(cid:261) rzeczywi(cid:286)cie je uk(cid:225)ada(cid:252), przy- najmniej cz(cid:266)(cid:286)ciowo. Naturalne jest uk(cid:225)adanie kostek warstwami (poziomymi). Podczas wype(cid:225)niania dolnej warstwy rz(cid:266)dami kostek zapytajmy, ile kostek zmie(cid:286)ci si(cid:266) w jednej warstwie. Ucze(cid:276) zapewne b(cid:266)dzie wiedzia(cid:225), (cid:298)e trzeba pomno(cid:298)y(cid:252) liczb(cid:266) rz(cid:266)dów przez liczb(cid:266) kostek w rz(cid:266)dzie. Nast(cid:266)pnie zapytajmy, jak obliczy(cid:252) liczb(cid:266) kostek potrzebnych do wype(cid:225)nienia ca(cid:225)ego prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Spodziewamy si(cid:266) odpowiedzi, (cid:298)e trzeba pomno(cid:298)y(cid:252) liczb(cid:266) kostek w jednej warstwie przez liczb(cid:266) warstw. A jak sprawdzi(cid:252), ile b(cid:266)dzie warstw? Wyobra(cid:298)aj(cid:261)c sobie uk(cid:225)adanie kolejnych warstw, ucze(cid:276) spostrze(cid:298)e, (cid:298)e jest ich tyle, ile kostek mie(cid:286)ci si(cid:266) pionowo, jedna na drugiej. Nast(cid:266)pne zadanie b(cid:266)dzie trudniejsze. Tym razem zapytamy, jak obliczy(cid:252) liczb(cid:266) kostek sze(cid:286)ciennych potrzebnych do wype(cid:225)nienia ustalonego prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, wykorzystuj(cid:261)c d(cid:225)ugo(cid:286)(cid:252) kraw(cid:266)dzi kostki. Narysujmy odcinek, który b(cid:266)dzie reprezentowa(cid:225) kraw(cid:266)d(cid:296) sze(cid:286)cianu. Przygotujmy cienki sznurek i zasugerujmy pos(cid:225)u(cid:298)enie si(cid:266) nim. Analogiczne (cid:252)wiczenia by(cid:225)y robione podczas obliczania pola prostok(cid:261)ta (zob. 6.1, lekcja 1). Ucze(cid:276) zapewne zauwa(cid:298)y, (cid:298)e do obliczenia liczby sze(cid:286)cianów potrzebnych do wype(cid:225)- nienia pojedynczej warstwy trzeba zbada(cid:252), ile razy kraw(cid:266)d(cid:296) sze(cid:286)cianu mie(cid:286)ci si(cid:266) w kra- w(cid:266)dziach podstawy prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Odmierzy na sznurku d(cid:225)ugo(cid:286)(cid:252) kraw(cid:266)dzi sze(cid:286)cia- nu i tak przygotowan(cid:261) jednostk(cid:261) wymierzy kraw(cid:266)dzie podstawy prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Aby znale(cid:296)(cid:252) liczb(cid:266) warstw, wymierzy t(cid:261) sam(cid:261) jednostk(cid:261) trzeci(cid:261) kraw(cid:266)d(cid:296) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. St(cid:261)d ju(cid:298) tylko krok do zauwa(cid:298)enia, (cid:298)e liczba sze(cid:286)cianów w prostopad(cid:225)o(cid:286)cianie jest iloczynem d(cid:225)ugo(cid:286)ci jego kraw(cid:266)dzi, mierzonych kraw(cid:266)dzi(cid:261) sze(cid:286)cianu. Poinformujmy, (cid:298)e ta liczba to w(cid:225)a(cid:286)nie obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu wyra(cid:298)ona w danej jednostce sze(cid:286)ciennej. Istotne jest, aby ucze(cid:276) rozumia(cid:225) zwi(cid:261)zek mi(cid:266)dzy jednostk(cid:261) obj(cid:266)to(cid:286)ci a jednostk(cid:261) d(cid:225)u- go(cid:286)ci, któr(cid:261) mierzymy kraw(cid:266)dzie prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Na pocz(cid:261)tku lepiej nie u(cid:298)ywa(cid:252) jednostek standardowych. Niech to b(cid:266)dzie dowolnie ustalona jednostka d(cid:225)ugo(cid:286)ci i od- powiadaj(cid:261)ca jej jednostka sze(cid:286)cienna: Po (cid:252)wiczeniach manipulacyjnych przyst(cid:266)pujemy do oblicze(cid:276), nie formu(cid:225)uj(cid:261)c przy tym ogólnego wzoru na obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Na pocz(cid:261)tku ograniczmy si(cid:266) do pro- stopad(cid:225)o(cid:286)cianów o wymiarach ca(cid:225)kowitych. W (cid:252)wiczeniach 1 i 3 zadbajmy, aby ucze(cid:276) nie zapomnia(cid:225) okre(cid:286)li(cid:252) obj(cid:266)to(cid:286)ci w jed- nostkach sze(cid:286)ciennych. (cid:251)wiczenie 1. Oblicz obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu o kraw(cid:266)dziach 4, 6, 8 jednostek. Poleć książkęKup książkę 180 Domowe lekcje matematyki (cid:251)wiczenie 2. Oblicz, ile sze(cid:286)cianów o kraw(cid:266)dzi 2 cm zmie(cid:286)ci si(cid:266) w prostopad(cid:225)o(cid:286)cianie o kraw(cid:266)dziach 8 cm, 12 cm, 14 cm. (cid:251)wiczenie 3. Oblicz obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) sze(cid:286)cianu o kraw(cid:266)dzi 5 jednostek. Przy okazji obliczania obj(cid:266)to(cid:286)ci sze(cid:286)cianu warto przypomnie(cid:252) o trzeciej pot(cid:266)dze liczby i wprowadzi(cid:252) termin „podnoszenie do sze(cid:286)cianu”. W (cid:252)wiczeniu 3 pojawi si(cid:266) iloczyn 5 · 5 · 5. Zapytajmy, jak mo(cid:298)na go krócej zapisa(cid:252). Chodzi o to, aby ucze(cid:276) zauwa(cid:298)y(cid:225), (cid:298)e przy obliczaniu obj(cid:266)to(cid:286)ci sze(cid:286)cianu wyst(cid:266)puje trzecia pot(cid:266)ga. Powiedzmy, (cid:298)e z tego powodu liczb(cid:266) 53 odczytujemy najcz(cid:266)(cid:286)ciej jako „pi(cid:266)(cid:252) do sze(cid:286)cianu”. Lekcja 5. Poznajemy standardowe jednostki obj(cid:246)to(cid:264)ci Kiedy ucze(cid:276) zrozumie poj(cid:266)cie obj(cid:266)to(cid:286)ci i przyswoi sobie sposób jej obliczania, przejd(cid:296)my do jednostek standardowych, co jest wa(cid:298)ne z praktycznego punktu widzenia. Pami(cid:266)- tajmy, (cid:298)e jednostki obj(cid:266)to(cid:286)ci s(cid:261) trudniejsze od jednostek kwadratowych. Trzeba wi(cid:266)cej czasu, aby ucze(cid:276) nabra(cid:225) orientacji w jednostkach sze(cid:286)ciennych. Na pocz(cid:261)tku poinformujmy, (cid:298)e symbole jednostek sze(cid:286)ciennych nawi(cid:261)zuj(cid:261) do trzeciej pot(cid:266)gi liczby: cm3, m3 itp. Podkre(cid:286)lmy, (cid:298)e jest to jednak tylko symbol, a nie podno- szenie do pot(cid:266)gi. W matematyce nie ma dzia(cid:225)ania cm · cm · cm ani m · m · m. Starajmy si(cid:266) kszta(cid:225)ci(cid:252) orientacj(cid:266) w wielko(cid:286)ciach i wzajemnych relacjach ró(cid:298)nych jed- nostek sze(cid:286)ciennych. Niech ucze(cid:276) sporz(cid:261)dzi model decymetra sze(cid:286)ciennego (poin- formujmy, (cid:298)e to jest w(cid:225)a(cid:286)nie 1 litr) i centymetra sze(cid:286)ciennego, niech wyobrazi sobie metr sze(cid:286)cienny. Pomo(cid:298)e to w zamianie jednych jednostek obj(cid:266)to(cid:286)ci na inne. Zamiana ta jest trudna, (cid:252)wiczy si(cid:266) j(cid:261) na pó(cid:296)niejszych etapach edukacji, ale zacz(cid:261)(cid:252) mo(cid:298)emy ju(cid:298) teraz. (cid:251)wiczenie 1. Pos(cid:225)uguj(cid:261)c si(cid:266) modelami decymetra sze(cid:286)ciennego i centymetra sze(cid:286)cien- nego, zastanów si(cid:266), jak(cid:261) liczb(cid:266) wpisa(cid:252) w miejsce wielokropka: 1 dm3 = ... cm3. (cid:251)wiczenie 2. Podstawa prostopad(cid:225)o(cid:286)ciennego akwarium ma wymiary 40 cm i 50 cm, a jego wysoko(cid:286)(cid:252) jest równa 40 cm. Czy woda wype(cid:225)niaj(cid:261)ca to akwarium do po(cid:225)owy wysoko(cid:286)ci zmie(cid:286)ci si(cid:266) w 25-litrowym wiadrze? (cid:251)wiczenie 3. Suma kraw(cid:266)dzi sze(cid:286)cianu jest równa 96 cm. Oblicz jego obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252). (cid:251)wiczenie 4. Oblicz pole powierzchni sze(cid:286)cianu, którego obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) jest równa 81 cm3. Zadania 1. Pole powierzchni sze(cid:286)cianu jest równe 150 cm2. Oblicz obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) tego sze(cid:286)cianu. 2. Obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu wynosi 462 cm3, a dwie jego kraw(cid:266)dzie maj(cid:261) d(cid:225)ugo(cid:286)ci 7 cm i 11 cm. Oblicz d(cid:225)ugo(cid:286)(cid:252) trzeciej kraw(cid:266)dzi. Poleć książkęKup książkę Rozdzia(cid:228) 7. (cid:105) Bry(cid:228)y 181 3. Dwa jednakowe sze(cid:286)ciany o kraw(cid:266)dzi 2 cm sklejono (cid:286)cianami. Oblicz obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) i pole powierzchni powsta(cid:225)ej bry(cid:225)y. 4. Najd(cid:225)u(cid:298)sza kraw(cid:266)d(cid:296) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu jest o 5 cm d(cid:225)u(cid:298)sza od najkrótszej, a (cid:286)rednia kraw(cid:266)d(cid:296) jest o 2 cm d(cid:225)u(cid:298)sza od najkrótszej. Suma trzech ró(cid:298)nych kraw(cid:266)dzi jest równa 52 cm. Oblicz obj(cid:266)to(cid:286)(cid:252) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Trzeba zauwa(cid:298)y(cid:252), (cid:298)e gdyby skróci(cid:252) (cid:286)redni(cid:261) kraw(cid:266)d(cid:296) o 2 cm, a najd(cid:225)u(cid:298)sz(cid:261) o 5 cm, to kraw(cid:266)dzie by(cid:225)yby równe, a ich suma wynios(cid:225)aby (52 – 2 – 5) cm i by(cid:225)oby to potrojenie najkrótszej kraw(cid:266)dzi. 5. Czy 2 litry p(cid:225)ynu zmieszcz(cid:261) si(cid:266) w prostopad(cid:225)o(cid:286)ciennym pojemniku o wymiarach 8 cm, 10 cm i 24 cm? 6. Mosi(cid:266)(cid:298)na sztabka o wymiarach 5 cm, 5 cm, 20 cm wa(cid:298)y 4 kg 250 g. Ile wa(cid:298)y 1 cm3 mosi(cid:261)dzu? 7.2. Przyk(cid:228)ady innych bry(cid:228) Lekcja 6. Poznajemy graniastos(cid:228)upy Uogólnimy poj(cid:266)cie prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu na graniastos(cid:225)up. Zaznajomimy ucznia z siatkami graniastos(cid:225)upów. B(cid:266)dziemy znajdowa(cid:252) zwi(cid:261)zki mi(cid:266)dzy liczb(cid:261) (cid:286)cian, kraw(cid:266)dzi i wierz- cho(cid:225)ków danego graniastos(cid:225)upa, co rozwija wyobra(cid:296)ni(cid:266) geometryczn(cid:261) i uczy my(cid:286)lenia. W trakcie lekcji dobrze by(cid:225)oby zaprezentowa(cid:252) modele ró(cid:298)nych graniastos(cid:225)upów. To nie tylko u(cid:225)atwia mówienie o tych bry(cid:225)ach, ale tak(cid:298)e umo(cid:298)liwia uczniowi bezpo(cid:286)rednie dostrzeganie ich w(cid:225)asno(cid:286)ci. Modelami graniastos(cid:225)upa mog(cid:261) by(cid:252) m.in. bardziej wymy(cid:286)lne pude(cid:225)ka, plaster miodu lub ostrok(cid:261)tny, niezatemperowany o(cid:225)ówek. Zacznijmy od przypomnienia, jak wygl(cid:261)da prostopad(cid:225)o(cid:286)cian. We(cid:296)my do r(cid:266)ki jego model. Poniewa(cid:298) wszystkie (cid:286)ciany s(cid:261) „równouprawnione”, nie ma sensu mówi(cid:252) o (cid:286)cianach bocznych czy podstawach, dopóki prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu nie postawimy. Postawmy go na stole. Niech ucze(cid:276) opisze prostopad(cid:225)o(cid:286)cian, scharakteryzuje jego podstawy (górn(cid:261) i doln(cid:261)) i (cid:286)ciany boczne. Nast(cid:266)pnie powiedzmy, aby wyobrazi(cid:225) sobie bry(cid:225)(cid:266), która jako podstaw(cid:266) (górn(cid:261) i doln(cid:261)) mo(cid:298)e mie(cid:252) dowolny wielok(cid:261)t, niekoniecznie prostok(cid:261)t. Pod- staw(cid:261) mo(cid:298)e by(cid:252) dowolny trójk(cid:261)t, czworok(cid:261)t, pi(cid:266)ciok(cid:261)t itd., a (cid:286)ciany boczne s(cid:261) nadal prostok(cid:261)tami. Ograniczymy si(cid:266) do przypadku, kiedy (cid:286)ciany boczne s(cid:261) prostopad(cid:225)e do podstaw4. Powiedzmy, (cid:298)e takie bry(cid:225)y nazywamy graniastos(cid:225)upami. Dobrze b(cid:266)dzie w tym momencie pokaza(cid:252) model graniastos(cid:225)upa, który nie jest prostopad(cid:225)o(cid:286)cianem. Ucze(cid:276) zauwa(cid:298)y, (cid:298)e graniastos(cid:225)up, który nie jest prostopad(cid:225)o(cid:286)cianem, ma w sposób natu- ralny wyró(cid:298)nione dwie (cid:286)ciany: wielok(cid:261)ty, które nie s(cid:261) prostok(cid:261)tami. Tradycyjnie na- zywamy je podstawami graniastos(cid:225)upa. (cid:285)ciany boczne takiego graniastos(cid:225)upa s(cid:261) wy- znaczone jednoznacznie, niezale(cid:298)nie od jego po(cid:225)o(cid:298)enia w przestrzeni. Spytajmy, ile jest (cid:286)cian bocznych, je(cid:286)li podstaw(cid:261) graniastos(cid:225)upa jest trójk(cid:261)t, czworok(cid:261)t, pi(cid:266)ciok(cid:261)t itd. A ile jest wtedy wszystkich (cid:286)cian? 4 Tylko takie graniastos(cid:225)upy, tzw. graniastos(cid:225)upy proste, s(cid:261) w programie szko(cid:225)y podstawowej. Poleć książkęKup książkę 182 Domowe lekcje matematyki Teraz b(cid:266)dziemy oblicza(cid:252) liczb(cid:266) (cid:286)cian, kraw(cid:266)dzi i wierzcho(cid:225)ków ró(cid:298)nych graniasto- s(cid:225)upów. Zacznijmy od ma(cid:225)ych liczb, które ucze(cid:276) mo(cid:298)e odczytywa(cid:252) z modeli, a potem przejd(cid:296)my do takich graniastos(cid:225)upów, które musi sobie wyobrazi(cid:252). Tego rodzaju (cid:252)wi- czenia nie tylko rozwijaj(cid:261) widzenie przestrzenne, ale tak(cid:298)e stwarzaj(cid:261) okazj(cid:266) do prze- konywania i uzasadniania. Nie (cid:298)a(cid:225)ujmy na nie czasu. (cid:251)wiczenie 1. Ile (cid:286)cian, kraw(cid:266)dzi i wierzcho(cid:225)ków ma graniastos(cid:225)up, którego podstaw(cid:261) jest: a) trójk(cid:261)t, b) pi(cid:266)ciok(cid:261)t? (cid:251)wiczenie 2. Wyobra(cid:296) sobie graniastos(cid:225)up, którego podstaw(cid:261) jest o(cid:286)miok(cid:261)t. Ile (cid:286)cian ma ten graniastos(cid:225)up? Ile ma kraw(cid:266)dzi? A ile wierzcho(cid:225)ków? (cid:251)wiczenie 3. Jaki wielok(cid:261)t jest podstaw(cid:261) graniastos(cid:225)upa o 12 (cid:286)cianach? Ile kraw(cid:266)dzi bocznych ma ten graniastos(cid:225)up? A ile wierzcho(cid:225)ków? (cid:251)wiczenie 4. Ile wierzcho(cid:225)ków ma graniastos(cid:225)up, którego podstaw(cid:261) jest stuk(cid:261)t? Je(cid:286)li ucze(cid:276) g(cid:225)adko radzi sobie z (cid:252)wiczeniami, niech spróbuje w sposób ogólny poda(cid:252) zwi(cid:261)zki mi(cid:266)dzy liczb(cid:261) boków wielok(cid:261)ta, który jest podstaw(cid:261) graniastos(cid:225)upa, a liczb(cid:261) (cid:286)cian, kraw(cid:266)dzi i wierzcho(cid:225)ków. W drugiej cz(cid:266)(cid:286)ci lekcji zajmijmy si(cid:266) siatkami graniastos(cid:225)upów. Podobnie jak w przy- padku siatki prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu, uczniowi b(cid:266)dzie (cid:225)atwiej wyobrazi(cid:252) sobie siatk(cid:266) gra- niastos(cid:225)upa bez górnej podstawy. Je(cid:286)li mamy odpowiednie pude(cid:225)ko o podstawie, która jest trójk(cid:261)tem, pi(cid:266)ciok(cid:261)tem lub sze(cid:286)ciok(cid:261)tem, mo(cid:298)emy je rozci(cid:261)(cid:252) wzd(cid:225)u(cid:298) kraw(cid:266)dzi bocznych i roz(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) na p(cid:225)asko. My(cid:286)l(cid:266) jednak, (cid:298)e nie jest to konieczne, je(cid:286)li ucze(cid:276) pa- mi(cid:266)ta, jak robi(cid:225) siatk(cid:266) prostopad(cid:225)o(cid:286)cianu. Wtedy zast(cid:261)pi podstaw(cid:266) danym wielok(cid:261)tem i dorysuje tyle jednakowych prostok(cid:261)tów, ile boków ma ten wielok(cid:261)t. Na ko(cid:276)cu pozo- stanie doczepienie górnej podstawy do jednego z prostok(cid:261)tów. Sprawd(cid:296)my, czy ucze(cid:276) poradzi sobie sam z narysowaniem siatki graniastos(cid:225)upa. (cid:251)wiczenie 5. Narysuj siatk(cid:266) graniastos(cid:225)upa, którego podstawa jest trójk(cid:261)tem. Zadania 1. Ile wierzcho(cid:225)ków ma graniastos(cid:225)up, którego podstaw(cid:261) jest dwudziestok(cid:261)t? Ile ma (cid:286)cian i ile kraw(cid:266)dzi? 2. Jaka jest najmniejsza mo(cid:298)liwa liczba wierzcho(cid:225)ków graniastos(cid:225)upa? Ile (cid:286)cian, a ile kraw(cid:266)dzi ma taki graniastos(cid:225)up? 3. Jaki wielok(cid:261)t jest podstaw(cid:261) graniastos(cid:225)upa o 12 wierzcho(cid:225)kach? 4. Ile kraw(cid:266)dzi ma graniastos(cid:225)up o 101 (cid:286)cianach? Poleć książkęKup książkę Rozdzia(cid:228) 7. (cid:105) Bry(cid:228)y 183 Lekcja 7. Poznajemy ostros(cid:228)upy Na lekcji opowiemy o ostros(cid:225)upach. Jak wiadomo, najlepszymi modelami ostros(cid:225)upa s(cid:261) piramidy egipskie. Dobrze by(cid:225)oby mie(cid:252) modele ostros(cid:225)upów o ró(cid:298)nych podstawach, w tym model czworo(cid:286)cianu. Zaznajomimy ucznia z siatkami ostros(cid:225)upów. B(cid:266)dziemy znajdowa(cid:252) zwi(cid:261)zki mi(cid:266)dzy liczb(cid:261) (cid:286)cian i kraw(cid:266)dzi ostros(cid:225)upa a liczb(cid:261) boków wielo- k(cid:261)ta, który jest jego podstaw(cid:261). Ucze(cid:276) zapewne wie, jak wygl(cid:261)daj(cid:261) piramidy egipskie — mo(cid:298)e spróbuje je opisa(cid:252)? S(cid:261) w(cid:286)ród nich wi(cid:266)ksze i mniejsze, ale wszystkie maj(cid:261) ten sam kszta(cid:225)t. Podstawa pirami- dy jest kwadratem, a (cid:286)ciany boczne s(cid:261) trójk(cid:261)tami. Po tym wst(cid:266)pie z piramidami niech ucze(cid:276) wyobrazi sobie bry(cid:225)(cid:266), której (cid:286)ciany boczne te(cid:298) s(cid:261) trójk(cid:261)tami, ale podstawa nie- koniecznie jest kwadratem — mo(cid:298)e by(cid:252) dowolnym wielok(cid:261)tem. Powiedzmy, (cid:298)e tak(cid:261) bry(cid:225)(cid:266) nazywamy ostros(cid:225)upem. Poka(cid:298)my modele, je(cid:286)li mamy. (cid:251)wiczenie 1. Wyobra(cid:296) sobie ostros(cid:225)up, którego podstaw(cid:261) jest siedemnastok(cid:261)t. Ile wszystkich (cid:286)cian ma ten ostros(cid:225)up? Ile ma wszystkich kraw(cid:266)dzi? O wierzcho(cid:225)kach ostros(cid:225)upa raczej nie mówimy. Wyró(cid:298)niamy tylko jeden wierzcho- (cid:225)ek, ten naprzeciwko podstawy. (cid:251)wiczenie 2. Ostros(cid:225)up ma 25 wszystkich (cid:286)cian. Ile ma kraw(cid:266)dzi bocznych? Jakim wielok(cid:261)tem jest podstawa ostros(cid:225)upa? Nast(cid:266)pnie mo(cid:298)emy przyst(cid:261)pi(cid:252) do omawiania siatki ostros(cid:225)upa. Jest ona (cid:225)atwiejsza do wyobra(cid:298)enia ni(cid:298) siatka graniastos(cid:225)upa. Ucze(cid:276) zdaje sobie spraw(cid:266), (cid:298)e jak rozetniemy ostros(cid:225)up wzd(cid:225)u(cid:298) kraw(cid:266)dzi bocznych i sp(cid:225)aszczymy, to otrzymamy figur(cid:266) podobn(cid:261) do gwiazdy. (cid:251)wiczenie 3. Narysuj siatk(cid:266) ostros(cid:225)upa, którego podstaw(cid:261) jest kwadrat, a (cid:286)ciany boczne s(cid:261) trójk(cid:261)tami równoramiennymi. Podstaw(cid:261) ostros(cid:225)upa mo(cid:298)e by(cid:252) te(cid:298) trójk(cid:261)t. Zapytajmy, ile (cid:286)cian ma ten ostros(cid:225)up, a po uzyskaniu odpowiedzi powiedzmy, (cid:298)e nazywamy go czworo(cid:286)cianem. Zwró(cid:252)my uwa- g(cid:266), (cid:298)e (cid:298)adna ze (cid:286)cian czworo(cid:286)cianu nie jest wyró(cid:298)niona, ka(cid:298)da mo(cid:298)e by(cid:252) podstaw(cid:261). Dobrze by(cid:225)oby pokaza(cid:252) model. Zadania 1. Ostros(cid:225)up ma 200 wszystkich kraw(cid:266)dzi. Jakim wielok(cid:261)tem jest podstawa tego ostros(cid:225)upa? 2. Ile kraw(cid:266)dzi ma ostros(cid:225)up o 101 (cid:286)cianach? 3. Narysuj siatk(cid:266) ostros(cid:225)upa, którego podstawa jest kwadratem o boku 4 cm, a (cid:286)ciany boczne s(cid:261) trójk(cid:261)tami równoramiennymi o wysoko(cid:286)ci 5 cm. Poleć książkęKup książkę 184 Domowe lekcje matematyki Lekcja 8. Poznajemy bry(cid:228)y obrotowe Zajmiemy si(cid:266) powszechnie znanymi przyk(cid:225)adami bry(cid:225) obrotowych: walcem, sto(cid:298)kiem i kul(cid:261). Poka(cid:298)emy, jak mo(cid:298)na je otrzyma(cid:252) w wyniku obrotu figur p(cid:225)askich. Zwró(cid:252)my uwag(cid:266), (cid:298)e do tej pory zajmowali(cid:286)my si(cid:266) bry(cid:225)ami, których wszystkie (cid:286)ciany by(cid:225)y wielok(cid:261)tami. Teraz b(cid:266)dzie przeciwnie, b(cid:266)dziemy mówi(cid:252) o bry(cid:225)ach, których (cid:298)ad- na (cid:286)ciana nie jest wielok(cid:261)tem. Do takich bry(cid:225) nale(cid:298)(cid:261) m.in. walec, sto(cid:298)ek i kula. Kszta(cid:225)ty te s(cid:261) uczniowi znane; odpowiednie modele znajdziemy w (cid:298)yciu codziennym. Niech ucze(cid:276) spróbuje ich poszuka(cid:252). Mo(cid:298)emy spróbowa(cid:252) sporz(cid:261)dzi(cid:252) modele walca i sto(cid:298)ka. Z walcem jest (cid:225)atwo — ucze(cid:276) zapewne zwinie papier w rur(cid:266) i do(cid:225)(cid:261)czy do niej dwa ko(cid:225)a. Zdaje sobie spraw(cid:266), (cid:298)e (cid:286)ciana boczna walca po rozci(cid:266)ciu i sp(cid:225)aszczeniu jest prostok(cid:261)tem. Znacznie trudniej jest sporz(cid:261)dzi(cid:252) model sto(cid:298)ka, bo nie od razu wida(cid:252), z jakiej figury p(cid:225)askiej tworzy si(cid:266) jego powierzchni(cid:266) boczn(cid:261). Niektórzy my(cid:286)l(cid:261), (cid:298)e z trójk(cid:261)ta. Tymczasem tak nie jest, bo punkty obwodu podstawy sto(cid:298)ka s(cid:261) równo oddalone od wierzcho(cid:225)ka sto(cid:298)ka: A w jakiej figurze p(cid:225)askiej mo(cid:298)na zrealizowa(cid:252) t(cid:266) w(cid:225)asno(cid:286)(cid:252)? Jaki kszta(cid:225)t musi mie(cid:252) linia, z której zrobimy obwód podstawy, skoro wszystkie jej punkty maj(cid:261) by(cid:252) oddalone od jednego punktu? Pomó(cid:298)my zauwa(cid:298)y(cid:252), (cid:298)e musi to by(cid:252) cz(cid:266)(cid:286)(cid:252) okr(cid:266)gu, wi(cid:266)c (cid:286)ciana boczna sto(cid:298)ka po rozwini(cid:266)ciu jest wycinkiem ko(cid:225)a. Trzecia bry(cid:225)a, kula, jest dobrze znana uczniom. Wiele przedmiotów ma kszta(cid:225)t kuli. Poinformujmy, (cid:298)e kula, w odró(cid:298)nieniu od dwóch poprzednich bry(cid:225), nie daje si(cid:266) z(cid:225)o(cid:298)y(cid:252) z figur p(cid:225)askich. Poka(cid:298)my, (cid:298)e wszystkie trzy bry(cid:225)y mo(cid:298)na otrzyma(cid:252) w wyniku obrotu figur p(cid:225)askich. W tym celu wytnijmy z kartonu prostok(cid:261)t, trójk(cid:261)t prostok(cid:261)tny oraz pó(cid:225)kole i zademon- strujmy obroty: prostok(cid:261)ta wokó(cid:225) boku, trójk(cid:261)ta prostok(cid:261)tnego wokó(cid:225) przyprostok(cid:261)tnej oraz pó(cid:225)kola wokó(cid:225) (cid:286)rednicy5. W ten sposób uzasadnimy nazw(cid:266) bry(cid:225)y obrotowe. 5 Mo(cid:298)na tak(cid:298)e obraca(cid:252) prostok(cid:261)t, trójk(cid:261)t równoramienny i ko(cid:225)o wokó(cid:225) ich osi symetrii. Poleć książkęKup książkę
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Domowe lekcje matematyki
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: