Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
02199 045539 15675837 na godz. na dobę w sumie
Elektryczność - ebook/pdf
Elektryczność - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 142
Wydawca: Self Publishing Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-272-3361-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> słowniki
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Prezentowany podręcznik przeznaczony jest dla studentów wszystkich uczelni, na których wykładana jest fizyka. Może być przydatny dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Cechą charakterystyczną tej książki jest brak numeracji wzorów. Wymusiło to swoisty sposób realizacji wykładanego materiału.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Zbigniew Osiak ELEKTRYCZNOŚĆ 2 Zbigniew Osiak ELEKTRYCZҭOŚĆ STAŁE POLE ELEKTRYCZҭE W PRÓŻҭI KOҭDEҭSATOR PŁASKI DIELEKTRYKI PRĄD ELEKTRYCZҭY STAŁY W METALACH OBWODY PRĄDU STAŁEGO Madzi, mojej córce poświęcam 3 © Copyright by Zbigniew Osiak Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji zabronione bez pisemnej zgody autora. Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej Rafał Pudło Wydawnictwo: Self Publishing ISBN: 978-83-272-3361-5 e-mail: zbigniew.osiak@live.com 4 SPIS TREŚCI STAŁE POLE ELEKTRYCZҭE W PRÓŻҭI 1. Istotne cechy pola elektrycznego 11 2. Wektor natężenia pola elektrycznego E 11 • Natężenie pola elektrycznego E 11 • Siła działająca na ładunek w polu elektrycznym 11 • Stałe pole elektryczne 12 • Jednorodne pole elektryczne 12 3. Wektor indukcji elektrycznej D 12 • Zjawisko indukcji elektrostatycznej 12 • Wektor indukcji elektrycznej D 12 • Relacja między wektorami E i D 12 4. Prawo Gaussa 13 • Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię 13 • Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 14 • Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 14 5. Potencjalność stałego pola wektora E 14 • Związek między natężeniem a potencjałem 15 6. Równania Poissona i Laplace’a 16 7. Prawo Coulomba 16 • Prawo Coulomba 16 • Zapis prawa Coulomba w postaci wektorowej 17 8. Linie wektorów E i D. Powierzchnie ekwipotencjalne 17 • Linie pola wektorowego 17 • Powierzchnie ekwipotencjalne 17 9. Pole ładunku punktowego 18 • Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego 18 • Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q w polu ładunku źródło- wego Q z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18 • Potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego. 18 10. Pole układu ładunków punktowych. Zasada superpozycji 18 • Zasada superpozycji natężeń 18 • Zasada superpozycji potencjałów 19 11. Pole dipola 19 • Dipol 19 • Moment elektryczny dipola 19 • Natężenie i potencjał w punktach płaszczyzny prostoppadłej do osi dipola przechodzą- cej przez jego środek 19 • Potencjał w dowolnym punkcie dipola daleko od środka dipola 19 • Natężenie w dowolnym punkcie daleko od środka dipola 21 12. Dipol w zewnętrznym polu elektrycznym 22 • Dipol w jednorodnym polu elektrycznym 22 • Energia potencjalna Wp dipola w zewnętrznym polu elektrycznym 22 • Dipol w niejednorodnym polu elektrycznym 23 5 13. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola elektrycznego układu ładunków punktowych 24 • Multipole 24 • Rozwinięcie multipolowe potencjału 24 14. Multipole liniowe 27 • Multipol liniowy 27 • Natężenie pola multipola liniowego na jego osi 29 • Potencjał multipola liniowego w płaszczyźnie prostopadłej do osi multipola przecho- dzącej przez jego środek 30 15. Siły wzajemnego oddziaływania między multipolami 30 • Dipol w polu ładunku punktowego 30 • Ładunek punktowy w polu dipola 30 • Dipol w polu dipola 31 • Monopol w polu multipola n-tego rzędu 31 • Dipol w polu multipola 31 • Siły wzajemnego oddziaływania multipoli liniowych leżących na wspólnej osi 31 16. Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 32 • Człon dipolowy 32 • Moment dipolowy układu ładunków 32 • Moment dipolowy jako niezmiennik 33 17. Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 33 • Człon kwadrupolowy 33 • Tensor momentu kwadrupolowego układu ładunków 34 18. Człon oktupolowy w rozwinięciu potencjału 39 • Człon oktupolowy 39 • Tensor momentu oktupolowego układu ładunków 39 19. Kierunki własne (osie główne) i wartości własne oraz niezmienniki tensora momentu kwadrupolowego 43 • Osie główne (kierunki własne) 43 20. Multipolowe rozwinięcie potencjału pola ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczo- nych ze stałą gęstością objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych, który stanowią osie elipsoidy 47 • Elipsoida 47 • Przejście od dyskretnego (nieciągłego) do ciągłego rozkładu ładunków 47 • Moment dipolowy ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 48 • Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 49 • Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału pola ciągłego rozkładu ładunków rozmieszczonych w obszarze elipsoidy ze stałą gęstością objętościową 52 • Przykład: Elektryczny moment kwadrupolowy jądra atomowego 52 • Przykład: Potencjał elektryczny jądra atomowego 54 21. Pola różnych naładowanych przewodników i rozkładów ładunków 54 • Pole elektryczne nieskończonej płaszczyzny naładowanej ze stałą gęstością powierz- chniową ładunku 54 • Pole elektryczne dwóch nieskończonych płaszczyzn równoległych naładowanych róż- noimiennymi ładunkami o stałych gęstościach powierzchniowych 55 • Pole elektryczne powierzchni cylindrycznej (walcowej) naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową ładunku 56 • Pole elektryczne walca naładowanego ze stałą gęstością objętościową ładunku 57 6 • Pole elektryczne powierzchni kulistej (sferycznej) naładowanej ze stałą gęstością po- wierzchniową ładunku 59 • Pole elektryczne kuli naładowanej ze stałą gęstością objętościową ładunku 60 22. Przewodnik w polu elektrycznym 62 • Naładowany przewodnik we własnym polu elektrycznym 62 • Przykład: Wiaderko (puszka) Faraday’a 63 • Przykład: Ostrza 63 • Nienaładowany przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym 64 • Przykład: Elektrofor 64 • Przykład: Ekran elektrostatyczny (osłona elektrostatyczna) 64 • Pojemność elektryczna odosobnionego przewodnika 65 23. Energia potencjalna układu ładunków w zewnętrznym polu elektrycznym 66 • Energia potencjalna ładunku w zewnętrznym polu elektrycznym 66 • Energia potencjalna dipola w zewnętrznym polu elektrycznym 66 • Energia potencjalna układu ładunków punktowych w zewnętrznym polu elektrycz- nym 67 • Przykład: Energia potencjalna jądra atomowego w zewnętrznym polu elektrycznym 69 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z dipolem 69 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania monopola z kwadrupolem 69 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z dipolem 70 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dipola z kwadrupolem 71 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem 72 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania kwadrupola z kwadrupolem – wzór szczegółowy 73 24. Energia potencjalna wzajemnych oddziaływań między punktowymi ładunkami elek- trycznymi 76 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych 76 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu ładunków punkto- wych 77 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania ciągłego rozkładu ładunków 77 25. Energia pola elektrycznego 78 • Energia pola elektrycznego ciągłego rozkładu ładunków 78 • Energia pola elektrycznego odosobnionego naładowanego przewodnika 79 • Energia własna ładunku punktowego 79 26. Ruch ładunków w polu elektrycznym 80 • Przyspieszenie, energia kinetyczna, prędkość i pęd ładunku w jednorodnym stałym po- lu elektrycznym 80 • Równoległe i antyrównoległe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 80 • Prostopadłe wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 81 • Skośne wejście ładunku w jednorodne stałe pole elektryczne 81 • Atom wodoru (model Bohra) 82 KOҭDEҭSATOR PŁASKI 1. Kondensator płaski i jego pojemność 85 • Kondensator płaski 85 • Pojemność kondensatora 85 2. Połączenia kondensatorów 87 • Połączenie równoległe kondensatorów 87 • Połączenie szeregowe kondensatorów 87 7 • Połączenia mieszane kondensatorów szeregowo-równoległe 88 • Połączenia mostkowe kondensatorów 88 • Zwarty kondensator 89 • Kondensator z płytką metalową między okładkami 90 3. Pojemność płaskiego kondensatora z warstwami różnych dielektryków 90 • Opis powierzchni Gaussa 90 • Obliczanie strumienia natężenia pola elektrycznego 90 • Pojemność kondensatora z dwoma szeregowymi warstwami różnych dielektryków 91 • Pojemność kondensatora z wieloma szeregowymi warstwami różnych dielektryków 91 • Pojemność kondensatora z płytką dielektryczną o grubości x w środku 91 • Pojemność kondensatora z dwoma równoległymi warstwami różnych dielektryków 92 4. Energia pola elektrycznego w kondensatorze 92 • Energia pola elektrycznego w kondensatorze 92 • Różne postacie wzoru na energię pola elektrycznego w kondensatorze 93 • Jak energia pola elektrycznego w danym kondensatorze zależy od jego pojemności? 93 5. Gęstość objętościowa energii pola elektrycznego 94 6. Siła wzajemnego przyciągania się okładek kondensatora 94 7. Dwa stany naładowanego kondensatora: ze źródłem (U=const) i bez źródła (Q=const) 95 8. Bilans energii pola elektrycznego w kondensatorze 96 DIELEKTRYKI 1. Polaryzacja dielektryków 101 2. Zależność stałej dielektrycznej od temperatury i innych parametrów 102 • Dielektryki niepolarne i polarne 102 • Wektor polaryzacji 102 • Stała dielektryczna niepolarnych gazów rozrzedzonych 103 • Stała dielektryczna niepolarnych gazów, cieczy i kryształów 103 • Stała dielektryczna polarnych gazów rozrzedzonych gdy, µE kT 104 • Stała dielektryczna polarnych gazów gdy, µE kT 104 3. Warunki brzegowe 105 • Granica dielektryka z dielektrykiem 105 • Granica dielektryka z przewodnikiem 105 4. Dielektryki o różnych kształtach w jednorodnym stałym polu elektrycznym 106 5. Ferroelektryki 107 • Ferroelektryki 107 • Histereza dielektryczna 107 • Temperatura Curie 107 PRĄD ELEKTRYCZҭY STAŁY W METALACH 1. Prąd elektryczny przewodnictwa 109 • Prąd elektryczny przewodnictwa 109 • Natężenie prądu elektrycznego 109 • Prąd stały 109 • Kierunek przepływu prądu elektrycznego 109 • Gęstość prądu elektrycznego 110 8 2. Prawo Ohma 110 • Prawo Ohma 110 • Zależność oporu od długości, przekroju i rodzaju przewodnika metalowego 111 • Prawo Ohma w postaci lokalnej 111 3. Zależność oporu właściwego od temperatury 111 • Zależność oporu właściwego metali od temperatury 111 • Współczynnik temperaturowy oporu 112 • Nadprzewodnictwo 112 • Prawo Wiedemanna-Franza-Lorentza 112 4. Prawo Joule’a-Lenza 113 • Prawo Joule’a-Lenza 113 • Moc ciepła wydzielonego w przewodniku 113 • Prawo Joule’a-Lenza w postaci lokalnej 113 • Jak moc ciepła wydzielonego w danym przewodniku zależy od jego oporu? 114 5. Sukcesy i porażki klasycznej elektronowej teorii przewodnictwa elektrycznego w metalach 114 • Prędkość unoszenia 114 • Związek gęstości prądu z prędkością unoszenia 115 • Prędkość maksymalna i prędkość unoszenia 115 • Mikroskopowa interpretacja prawa Ohma 116 • Mikroskopowa interpretacja prawa Joule’a-Lenza. 116 • Mikroskopowa interpretacja prawa Wiedemanna-Franza-Lorentza 116 • Zależność przewodnictwa elektrycznego właściwego od temperatury 117 • Prawo Dulonga-Petita 117 • Porównanie relacji empirycznych z teoretycznymi 117 OBWODY PRĄDU STAŁEGO 1. Elementy obwodów elektrycznych 119 • Podstawowe elementy obwodów elektrycznych 119 • Symbole niektórych elementów obwodów elektrycznych 119 • Węzeł, gałąź, oczko 119 2. ΟΟΟΟbwód jednooczkowy bez źródła 120 3. Obwód jednooczkowy z jednym źródłem 121 • Prawa Kirchhoffa, Ohma i Joule’a-Lenza 121 • Wzajemne relacje między I, U i Rz 121 • Różne relacje dla Pz , Pw, Pc i η 122 • Wykresy Pz , Pw i Pc od Rz 123 • Charakterystyczne stany pracy źródła 123 4. Wykres zmienności potencjałów w oczku 124 5. Prawa Kirchhoffa 125 • Pierwsze prawo Kirchhoffa 125 • Drugie prawo Kirchhoffa 125 • Praktyczne wskazówki dotyczące układania równań Kirchhoffa dla danego obwodu 126 • Obliczanie różnicy potencjałów 126 • Uziemienie 126 6. Połączenia oporników 127 • Połączenie szeregowe oporników 127 • Połączenie równoległe oporników 127 9 • Połączenie mieszane oporników szeregowo-równoległe 128 • Zwarty opornik 128 • Transformacja trójkąta w gwiazdę i vice versa 129 • Symetryczne połączenia oporników 130 7. Mostek Wheatstone’a 131 • Stan równowagi mostka Wheatstone’a 131 • Przekątna pomiarowa i przekątna zasilania 131 • Zastosowanie 132 • Zero na skali galwanometru 132 • Opór zabezpieczający 132 • Minimalny błąd pomiaru 132 • Przykład 133 8. Pomiar oporu metodą techniczną 134 9. Połączenia źródeł napięcia 134 • Połączenie szeregowe źródeł napięcia 134 • Połączenie równoległe dwóch różnych źródeł napięcia 135 • Połączenia mieszane źródeł 136 10. Potencjometr 136 • Nieobciążony potencjometr-rozważania jakościowe 136 • Obciążony potencjometr-rozważania ilościowe 137 11. Amperomierz i woltomierz 138 • Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza 138 • Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza 138 • Jak z amperomierza zrobić woltomierz i vice versa? 139 12. Kompensacyjna metoda pomiaru siły elektromotorycznej źródła 139 10 STAŁE POLE ELEKTRYCZҭE W PRÓŻҭI 1 ISTOTҭE CECHY POLA ELEKTRYCZҭEGO • Pole elektryczne między innymi: 1. Działa siłami na spoczywające i poruszające się ładunki elektryczne. 2. Indukuje ładunki elektryczne na powierzchniach nienaładowanych metali (wywołuje indukcję elektrostatyczną). 3. Indukuje ładunki elektryczne na powierzchniach nienaładowanych dielektryków (wywołuje polaryzację dielektryków). Z opisem tych zjawisk związane są odpowiednio wektor natężenia pola elektrycznego E, wektor indukcji elektrycznej D, zwanej też przesunięciem elektrycznym, oraz wektor polary- zacji P, którym zajmiemy się w innym rozdziale. 2 WEKTOR ҭATĘŻEҭIA POLA ELEKTRYCZҭEGO E • ҭatężeniem pola elektrycznego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F , działa- jącej ze strony pola na umieszczony w tym punkcie ładunek próbny qo , do wartości tego ładunku. E = F oq Ładunek próbny z założenia jest dodatni i odpowiednio mały, aby jego pole nie zaburzało badanego pola. Natężenie pola elektrycznego jest wektorem. [ ] E V N . = 1 = 1 C m • Siła działająca na ładunek w polu elektrycznym Znajomość wektorów natężenia pola w każdym punkcie pola elektrycznego pozwala na obliczenie siły działającej na znajdujący się w polu ładunek elektryczny. F ⋅= q E Na dodatni ładunek działa w polu elektrycznym siła o kierunku i zwrocie natężenia pola elektrycznego. Na ujemny ładunek działa w polu elektrycznym siła o kierunku natężenia pola, ale mająca zwrot przeciwny niż natężenie. q q 0 ⇒ ⇒ 0 F F ↑↑ ↓↑ E E 11 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE • Stałym polem elektrycznym nazywamy takie pole elektryczne, którego wektory natężeń są stałe w czasie. Dalej zajmować się będziemy stałym polem elektrycznym, którego źródłem są spoczywające ładunki elektryczne. • Jednorodnym polem elektrycznym nazywamy takie pole elektryczne, którego wektory natężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym punkcie pola. Jednorodne pole elektryczne jest szczególnie proste do opisu. 3 WEKTOR IҭDUKCJI ELEKTRYCZҭEJ D • Zjawisko indukcji elektrostatycznej 1. Stykamy ze sobą dwie nienaładowane kulki lub płytki metalowe umieszczone na izolujących podstawach. 2. Przybliżamy do nich dodatni (lub ujemny) ładunek indukujący. 3. Przy obecności ładunku indukującego, odsuwamy od siebie obie kulki. 4. Usuwamy ładunek indukujący. • Wektor indukcji elektrycznej Wartością indukcji elektrycznej D w danym punkcie pola elektrycznego nazywamy sto- sunek maksymalnego ładunku q, indukowanego na powierzchni jednej z dwóch zetkniętych ze sobą bardzo małych metalowych płytek próbnych umieszczonych w danym punkcie, do pola powierzchni (jednostronnej) S tej płytki. =D q S Indukcja D jest wektorem o kierunku prostopadłym do płytek próbnych i skierowanym od płytki, na której indukuje się ujemny ładunek elektryczny, do płytki, na której indukuje się dodatni ładunek elektryczny. Indukcja elektryczna nazywana była dawniej przesunięciem elektrycznym. [ D 1= . ] C 2 m • Relacja między wektorami E i D Z doświadczenia wiadomo, że w jednorodnych izotropowych ośrodkach dielektrycznych wektory E i D są równoległe względem siebie, a ich wartości są proporcjonalne do siebie w każdym punkcie ośrodka. D roεε= E UWAGA Własność ta nie dotyczy ośrodków anizotropowych oraz ferroelektryków. 12 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE εο = przenikalność elektryczna próżni εο = 8,85 · 10-12C/Vm εr = względna przenikalność dielektryczna ośrodka lub stała dielektryczna, czyli liczba informująca ile razy natężenie pola elektrycznego w danym ośrodku jest mniejsze od na- tężenia pola elektrycznego w próżni tylko dla próżni 1≥ε r 1=ε r rε 1 dla wszystkich dielektryków rε = 1,00059 dla powietrza UWAGA Indukcja elektryczna D nie zależy od stałej dielektrycznej ośrodka. 4 PRAWO GAUSSA • Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię Podamy definicję strumienia indukcji ΦD w prostym przypadku, kiedy w każdym punkcie płaskiej powierzchni indukcja ma taką samą stałą wartość, ustalony kierunek i zwrot, inaczej mówiąc, gdy pole jest jednorodne a powierzchnia jest fragmentem płaszczyzny. =Φ D SD ⋅ lub εε=Φ D o SE ⋅ r S = pole płaskiej powierzchni S = wektor o wartości równej polu płaskiej powierzchni S, prostopadły do tej powierz- chni, o zwrocie na zewnątrz obszaru ograniczonego między innymi przez rozważaną powierzchnię D ] . C [ 1=Φ Aby wyznaczyć strumień wektora indukcji, w przypadku gdy pole jest niejednorodne a powierzchnia nie jest płaska, należy powierzchnię podzielić na kawałki płaskie tak małe, aby we wszystkich punktach pole było jednorodne. Następnie należy obliczyć strumień dla każdego kawałka =Φ d D SD d ⋅ i wszystkie takie elementarne strumienie zsumować. Inaczej mówiąc, w ogólnym przypadku strumień wektora indukcji D przez powierzchnię S dany jest jako =Φ D Dla powierzchni zamkniętej =Φ D SD d ⋅ . dSD ⋅ . ∫∫ S ∫∫ S 13 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE • Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnię zamkniętą jest równy algebraicznej sumie ładunków swobodnych otoczonych przez tę powierzchnię. Φ = D ∫∫ S SD d ⋅ = ∑ i q i Powierzchnia zamknięta, którą otaczamy ładunki, nazywana jest powierzchnią Gaussa. Cała sztuka stosowania prawa Gaussa polega na skonstruowaniu odpowiedniej powierzchni Gaussa, co jest stosunkowo proste w przypadku pól symetrycznych. UWAGA Strumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest dodatni, gdy wektor ma różną od zera składową skierowaną na zewnątrz powierzchni Gaussa, prostopadłą do danego elementu powierzchni. Strumień wektora przez dany element powierzchni jest ujemny, gdy wektor ma różną od zera składową skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłą do danego elementu powierzchni. • Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) Prawo Gaussa SD d ⋅ ∫∫ S = ∑ i q i Twierdzeni e Gaussa ⇒ divD dV = ∫∫∫ V ρ dV ∫∫∫ V ⇒ ρ=Ddiv = q i ∫∫∫ V dV ρ ρ = gęstość objętościowa ładunku SD d ⋅ div D dV = ∫∫∫ V S ∫∫ ∑ i 5 POTEҭCJALҭOŚĆ STAŁEGO POLA WEKTORA E • Przypomnijmy, zajmujemy się stałym polem elektrycznym, którego źródłem są spo- czywające ładunki elektryczne. Stałe pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lub potencjalnym, czyli polem w którym praca wykonana przez siły pola przy przesuwaniu ła- dunku wzdłuż krzywej zamkniętej jest równa zeru. Inaczej mówiąc, praca wykonywana przez siły pola przy przesuwaniu ładunku z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położenia tych punktów, a nie zależy od toru, po którym przesuwany był ładunek. To, że stałe pole wek- tora natężenia E jest potencjalne, oznacza również, że można go opisać skalarem zwanym potencjałem elektrycznym. Różnica potencjałów elektrycznych między punktami A i B jest równa stosunkowi pracy WA→B, którą wykonują siły pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q z punktu A do punktu B, do wartości tego ładunku. =ϕ−ϕ A B W → BA q [ ] =ϕ 1 J = C V1 14 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE Potencjałem elektrycznym ϕA w danym punkcie A pola elektrycznego nazywamy stosunek pracy jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczanu ładunku q z danego punktu A do punktu B, w którym z założenia potencjał jest równy zeru, do wartości przemieszczanego ładunku. =ϕ−ϕ A B W → BA q , =ϕ B 0 UWAGA Potencjał w danym punkcie zdefiniowaliśmy jako różnicę potencjałów w tym punkcie oraz w punkcie, gdzie z założenia przyjęliśmy potencjał równy zeru. Najczęściej przyjmuje się ϕ = 0 w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica potencjałów. • Związek między natężeniem a potencjałem Z potencjalności stałego pola wektora E wynika związek między natężeniem a potencja- łem, który podamy dla najprostszego przypadku, czyli dla stałego pola jednorodnego wzdłuż linii wektora E. x 0 xA xB ⇒ −=ϕ−ϕ ( x E A B − x )B A q ϕ−ϕ= B = − x ( A ( x F B ) ) A W stałym jednorodnym polu wektora E bezwzględna wartość różnicy potencjałów między punktami A i B, leżącymi na linii wektora E, jest równa iloczynowi war- tości wektora E i odległości d między tymi punktami qE E=ϕ−ϕ d A B W BA → BA → W = F ) B ⇒ lF d ⋅ = 0 ∫ l W ogólnym przypadku: W BA → ϕ−ϕ= q A ( lF d ⋅ B ∫ A W BA → = F = E q Twierdzenie Stokesa ∫ SE lE d ∫∫ rot = d ⋅ ⋅ l S ⇓ lE d ⋅ = 0 ∫ l rot E = 0 Dla stałego potencjalnego pola elektryczne- go cyrkulacja wektora E wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej oraz rotacja wektora E w każdym punkcie są równe zeru. rot =E rot grad 0 =ϕ ⇒ −=E gradϕ 0 UWAGA Znak minus oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznego E jest skierowany od większego do mniejszego potencjału. 15 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE 6 RÓWҭAҭIA POISSOҭA I LAPLACE’A E ϕ div D E ρ= D εε= −= o r r grad =ε grad 0 α=α A β=αβ grad div div grad grad α β grad div + AA α+α ϕ∆=ϕ∇=ϕ grad 2 ⇒ o div εε εε εε o o r r r εε o r div div ρ= E + EE ρ= E grad ρ=εε o r div grad ρ−=ϕ =ϕ∆ ρ− oεε r Równanie Poissona 2 ∂ ∂ x + 2 2 ∂ ∂ y + 2 2 ∂ ∂ z 2 ρ = 0 operator Laplace ,a =∆ =∆ laplasjan 0=ϕ∆ Równanie Laplace’a 7 PRAWO COULOMBA • Prawo Coulomba Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się ładunek punktowy Q, mamy π= 2r4S ∫∫ ⋅ SD d ∫∫ SD d ⋅ S S D F = roεε= qE = π r4D 2 = Q E D = E = Q 2r ⋅ 4 ⋅ 1 π 1 πε 4 o Q ε r r 2 F = 1 πε 4 o ⋅ Qq ε 2 r r Dwa punktowe ładunki elektryczne oddziałują na siebie wzajemnie siłą, której wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich wartości oraz odwrotnie proporcjonalna do iloczynu kwa- dratu odległości między nimi i stałej dielektrycz- nej ośrodka, w którym się znajdują. Siła ta jest skierowana wzdłuż prostej łączącej oba oddzia- łujące ładunki. Dwa ładunki jednoimienne odpy- chają się, a dwa różnoimienne przyciągają się. -1 εo = przenikalność elektryczna próżni εo = 8,85 · 10-12m-2N 1/4πεo = k = 9 · 10 9m2NC-2 εr = względna przenikalność dielektryczna lub stała dielektryczna, czyli liczba informu- jąca ile razy siła działająca między dwoma ładunkami elektrycznymi w danym ośrodku jest mniejsza od siły działającej między tymi ładunkami w próżni C2 tylko dla próżni 1≥ε r 1=εr rε 1 dla wszystkich dielektryków rε = 1,00059 dla powietrza 16 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE PRZYKŁAD Obliczmy ile razy wartość siły Fe odpychania elektrycznego dwóch elektronów jest większa od wartości siły Fg przyciągania grawitacyjnego tych dwóch elektronów. = F e F g = 2 ke 2 r 2 e Gm 2 r ⋅ ⇒ 1⋅ ≅ 04 42 F e F g kg − 1 9 e = ,9m 1 e 1 C06, 1 = = ⋅ 10 ⋅ 0 1 − 3 1 − 11 67,6G Nm 2 kg − 2 • Zapis prawa Coulomba w postaci wektorowej F 1 2 = 1 πε 4 o ⋅ 1 qq 2 ε 2 1 2 r r ⋅ r r 1 2 1 2 1 2 21 12 r r r r = r , −= r12 = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2 r12 = odległość między punktami 1 i 2 − r r12 = − r21 1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowied- nio do punktu 1 i 2 F12 = siła z jaką ładunek q1 działa na ładunek q2 F12 = − F21 1 2 8 LIҭIE WEKTORÓW E I D. POWIERZCHҭIE EKWIPOTEҭCJALҭE • Linie pola wektorowego są liniami, do których styczne w każdym punkcie pokrywają się z kierunkiem wektora w tym punkcie. • Pole elektryczne można charakteryzować, kreśląc linie wektorów E i D. Linie wektora E nazywa się niekiedy liniami sił pola elektrycznego. W próżni linie wektorów E i D pokrywa- ją się. Linie wektorów E i D zaczynają się na dodatnich ładunkach i kończą się na ujemnych, lub jeden z ich końców znajduje się w nieskończoności, przy czym linie wektora D zaczynają się i kończą tylko na ładunkach swobodnych. Linie wektorów E i D nie mogą być zamknięte, ponieważ cyrkulacja wektora E wzdłuż dowolnej zamkniętej linii sił byłaby dodatnia. Linie wektorów E i D nie przecinają się. Linie wektorów E i D, w przypadku pola jednorodnego, są równoległe. Gęstość linii danego wektora jest wprost proporcjonalna do wartości tego wek- tora. Pojęcie linii sił pola elektrycznego wprowadził Faraday. Początkowo linie sił wiązano z naprężeniami eteru. • Powierzchnie ekwipotencjalne, to powierzchnie stałego potencjału. Linie sił są prostopa- dłe do powierzchni ekwipotencjalnej. Gęstość powierzchni ekwipotencjalnych jest miarą war- tości gradientu potencjału, czyli miarą wartości natężenia pola elektrycznego. 17 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE 9 POLE ŁADUҭKU PUҭKTOWEGO • ҭatężenie pola elektrycznego ładunku punktowego E = F q o F = =ε = r Q Qq ε r r 1 πε 4 o ⋅ 1 źródłowy ładunek o 2 r r ⇒ E = 1 πε 4 o ⋅ Q 2 r r r Q 0 Q 0 E E • Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku q w polu ładunku źródło- wego Q z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił W BA → = r B ∫ r A rF d ⋅ ⇒ W =→ BA kQq ⋅    1 r A − 1 r B    Qq ε 2 r r rF d ⋅ = 1 πε 4 o k = 1 πε 4 o =ε r 1 ∫ 1 2 r dr −= 1 r dr rA = odległość punktu A od ładunku źródłowego Q rB = odległość punktu B od ładunku źródłowego Q r = promień wodzący zaczepiony w źródle • Potencjał pola elektrycznego ładunku punktowego =ϕ A W → BA q ⇒ A =ϕ kQ r A =ϕ kQ r r B =ϕ∞= , B W BA → = kQq ⋅ 0    1 r A − 1 r B    Q = ładunek źródłowy r = odległość od źródła , 0Q , 0Q ϕ ϕ r , 0Q , 0Q ϕ ϕ ~ ~ 1+ 1 r ~ ~ 1− 1 r r 10 POLE UKŁADU ŁADUҭKÓW PUҭKTOWYCH. ZASADA SUPERPOZYCJI • Zasada superpozycji natężeń Wektor natężenia E pola elektrycznego, wytworzonego przez układ ładunków {Qi} , równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczególnych ładunków. E = N ∑ = 1 i E i = 1 πε 4 Q i 2 r i ⋅ i r r i ⋅ N ∑ = 1 o i 18 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE • Zasada superpozycji potencjałów Potencjał ϕ pola elektrycznego, wytworzonego przez układ ładunków {Qi} , równy jest sumie potencjałów ϕi pochodzących od poszczególnych ładunków. =ϕ N ∑ = 1 =ϕ i 1 πε 4 ⋅ N ∑ = 1 o i Q i r i i 11 POLE DIPOLA • Dipol Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch różnoimiennych ładunków punktowych q 0 i –q o identycznych wartościach bezwzględnych, znajdujących się w stałej odległości od siebie. Osią dipola nazywamy prostą, na której znajdują się oba ładunki dipola. Środkiem di- pola nazywamy punkt leżący na osi dipola w równej odległości od obu ładunków dipola. Ra- mieniem dipola nazywamy wektor leżący na osi dipola, o początku w ładunku ujemnym, a końcu w ładunku dodatnim, o wartości równej odległości l między ładunkami dipola. • Momentem elektrycznym µµµµ dipola lub elektrycznym momentem dipolowym nazywa- my wektor l⋅= qµµµµ . Podamy też inną równoważną definicję momentu dipolowego, nadającą się do uogólnień. µµµµ = q r 11 + q r 22 = µµµµ µ+µ+µ= j i y x z q r s s n ∑ = 1 k s =µ x xq 11 + xq 2 2 = =µ y yq 11 + yq 2 2 = =µ z zq 11 + zq 2 2 = n ∑ = 1 s n ∑ = 1 s xq s s yq s s zq s s x n ∑ = 1 s z q1 r1 r2 y • ҭatężenie i potencjał w punktach płaszczyzny prostopadłej do osi dipola przecho- dzącej przez jego środek E+ E E E+ α E2 E2 1 1 cos cos =α =α l l 1 1 2 2 r r + + r+ r- r r+ -q l q 0 cos cos =α =α E E 1 1 2 2 E E + + 1 1 l2 l2 α 19 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE E = 1 πε 4 o ⋅ µ 3 r + w środku dipola r: =+ l E = 1 2 µ 2 πε ol 3 ⇓ r ≈⇒ l r + E ≈ 1 πε o 4 ⋅ µ r 3 ⇒ 0=ϕ r E ϕ = 0 µ E2E = + cos α ⇒ E + = 1 πε 4 o ⋅ q 2 r + l 1 2 r + cos =α =µ ql =ϕ 1 πε 4 o ⋅    q r + − q r −    r + = r − r = promień wodzący poprowadzony ze środka dipola W każdym punkcie płaszczyzny prostopadłej do osi dipola, przechodzącej przez jego środek, 1. wektor natężenia pola elektrycznego jest równoległy do osi dipola i skierowany od ładunku dodatniego do ładunku ujemnego, 2. potencjał elektryczny jest równy zeru. • Potencjał w dowolnym punkcie daleko od środka dipola 1 =ϕ o 4ππ ( ∠= rl, α    ) q q −   r r  + − )rµ, ( ∠= l − ≈ r + ≈⋅ 2r r + l r r − r − cos α x z z r+ r r- α µ α r β y x y ⇒ =ϕ 1 πε o 4 µ ⋅ cos α 2r ⇒ =ϕ 1 πε o 4 ⋅ µµµµ r⋅ 3r µrcosα = µ ql =⋅ rµ ( = x r cosα = z r 2 + 2 y + 2 z 1 2 ) ⇓ =ϕ 1 πε o 4 ⋅ ( x µ z 2 + 2 y + 2 z 3 )2 UWAGA µcosα jest rzutem wektora momentu dipolowego µµµµ na promień wodzący poprowadzony ze środka dipola do punktu obserwacji. 20 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE • ҭatężenie w dowolnym punkcie daleko od środka dipola ⇒ E −= grad 1 πε ⋅ ⋅ 3 µµµµ r 0 ⋅ r ) grad 4     ( µµµµ   ⋅ r    1 3 r −= 1 πε 4 o ⋅ grad r µµµµ  ⋅   r 3    = + 1 3 r grad µµµµ ⋅ r    j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z −= 1 πε 4 o ⋅ ⋅ rµ r 3 1 =ϕ E −= grad ε 4π o ϕ grad ∂ ∂ x i = + grad r n = nr − 1n ⋅ r r r r grad 1 3 −= 3 4 ⋅ µrcosα =⋅ r r µrµ grad =⋅ rµ ( =α cos + = x y z r 2 2 r 1 2 ) 2 z + =ϕ 1 πε 4 o ⋅ ( x µ z 2 + 2 y + 2 z 3 2 ) ϕ∂ ∂ x ϕ∂ ∂ y ϕ∂ ∂ z E x −= E y −= E z E = −= ( E 2 x + E 2 y + E 2 z 1 )2 =ϕ 1 π ε4 o ⋅ µcosα 2 r E r −= E , α 1 ⋅= r ϕ∂ ∂ α ϕ∂ ∂ r 1 ⋅ ϕ∂ ∂ β 1 2 ) 2 α E β E r E = α rsinα ⊥ E ( + E E −= 1α 2 r = 2 sin cos 2 α E = 1 πε 4 o ⋅ ( µµµµ 3 r    ⋅ r ) 4 r −⋅ r µµµµ r 3    E = 1 πε 4 o ⋅    µ 3 cos α 3 r r −⋅ r µµµµ r 3    E x = 1 πε 4 o E y = 1 πε 4 o ⋅ ⋅ µ xz 3 ( x 2 + 2 y + 2 z µ yz 3 ( x 2 + 2 y + 2 z 5 )2 5 )2 E z = 1 πε 4 o ⋅ ( µ ( x z2 2 − 2 y 2 − x 2 + 2 y + 2 z 5 )2 ) E r = 1 πε 4 o ⋅ µ 2 cos α 3 r E =α 1 πε 4 o α µ ⋅ sin 3 r E =β 0 ⇓ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Ex = składowa E wzdłuż osi x Ey = składowa E wzdłuż osi y Ez = składowa E wzdłuż osi z Er = składowa radialna E Eα = składowa południkowa E Eβ = składowa równoleżnikowa E ⇒ E = µ πε o 4 3 r ( +⋅ 1 3 cos 2 α 1 )2 21 STAŁE POLE ELEKTRYCZNE 12 DIPOL W ZEWҭĘTRZҭYM POLU ELEKTRYCZҭYM • Dipol w jednorodnym polu elektrycznym F - = -q E -q l α q 0 F E = q W jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E suma sił działających na dipol jest równa zeru, ponieważ na dodatni ładunek dipola działa siła +qE, a na ujemny –qE. Siły +qE i –qE stanowią parę sił o momencie M. FlM F µµµµ lFM ×= = E q = l q = = F =µ qE ql sin ⇒ ⇒ M ×= µµµµ E sinEM µ= α α Para sił powoduje obrót dipola do położenia, w którym wektory µµµµ i E są równoległe (α=0). UWAGA Wprawdzie M=0 dla kątów α=0 i α=π , ale są to jakościowo różne stany. 1. α=0, M=0, µµµµ↑↑E, to stan stabilny. Małe odchylenie od stanu α=0 powoduje oscylacyjny ruch dipola wokół tego stanu. 2. α=π, M=0, µµµµ↓↑E, to stan niestabilny. Małe odchylenie od stanu α=π powoduje bezpowrotne wyjście z tego stanu. • Energia potencjalna Wp dipola w zewnętrznym polu elektrycznym Podczas obrotu dipola siły pola elektrycznego wykonują pracę równą ujemnemu przyrostowi energii potencjalnej dipola. • ⇒ ⇒ WWW P 1 − ∆ ∆ P W P = −= el sił W el sił −= Md α 2P W α 2 ∫ α 1 µ= = sinEM ,WW 2P P 2 α α=α π 2 α cos 1 0W =α⇔= 1 P ∫ sin −=αα d WP ∫ µ= sinE αα d α π 2 ⇓ WP µ−= cosE α ⇓ PW E⋅−= µµµµ 22
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Elektryczność
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: