Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00187 005992 13874741 na godz. na dobę w sumie
Elementy logiki matematycznej i metodologii nauk ścisłych (skrypt z wykładów) - ebook/pdf
Elementy logiki matematycznej i metodologii nauk ścisłych (skrypt z wykładów) - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 134
Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-8142-300-7 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-19%), audiobook).

Prezentowany tom stanowi reedycję skryptu wykładów z logiki matematycznej i metodologii nauk ścisłych autorstwa Stanisława Jaśkowskiego (1906-1965), wybitnego polskiego logika i matematyka, reprezentanta Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, twórcy m.in. systemów dedukcji naturalnej i logik parakonsystentnych. Skrypt został wydany w 1947 roku na potrzeby studentów matematyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, z którym Jaśkowski był związany zawodowo przez ostatnie dwadzieścia lat życia. Książka jest oryginalnym, autorskim, niezwykle nowoczesnym ujęciem przedmiotu, w znaczący sposób różniącym się od innych podręczników. To pierwsza praca, w której logika prezentowana jest konsekwentnie w postaci systemu dedukcji naturalnej, co stało się później standardem w dydaktyce logiki. Biorąc pod uwagę, że Jaśkowski w latach trzydziestych XX wieku skonstruował pierwsze systemy tego typu, mamy do czynienia z niezwykle ważnym historycznym świadectwem ich pierwszego wykorzystania w nauczaniu. Wybitne walory dydaktyczne skryptu sprawiają, że jest interesujący dla specjalistów i może być nadal przydatny jako podręcznik logiki, pomimo ponad siedemdziesięciu lat, które upłynęły od jego pierwszego wydania.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Andrzej Indrzejczak – Uniwersytet Łódzki, Wydział Filozoficzno-Historyczny Katedra Logiki i Metodologii Nauk, 90-131 Łódź, ul. Lindleya 3/5 RECENZENT Andrzej Pietruszczak REDAKTOR INICJUJĄCY Magdalena Skoneczna KOREKTA Anna Sońta SKŁAD I ŁAMANIE Michał Zawidzki PROJEKT OKŁADKI Katarzyna Turkowska Wydrukowano z gotowych materiałów dostarczonych do Wydawnictwa UŁ © Copyright by Anna Dziembowska, Kazimierz Jaśkowski, Łódź 2018 © Copyright by Andrzej Indrzejczak, Łódź 2018 © Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2018 Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie I. W.08718.18.0.M Ark. druk. 8,375 ISBN 978-83-8142-299-4 e-ISBN 978-83-8142-300-7 Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl tel. (42) 665 58 63 Spis treści Wprowadzenie ix x I Sylwetka Stanisława Jaśkowskiego . . . . . . . . . . . . . . . xii II Praca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Dedukcja Naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi IV Zawartość i konstrukcja skryptu . . . . . . . . . . . . . . . . xviii V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii Zasady redakcji Stanisław Jaśkowski Elementy logiki matematycznej i metodologii nauk ścisłych (skrypt z wykładów) Rozdział 1. Wst ˛ep 1.1. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Co rozumieć b ˛edziemy przez metodologi ˛e . . . . . . . . . . . 1.3. Logika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Antynomie spowodowane pomieszaniem j ˛ezyków . . . . . . 1.5. Uwagi historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 2. Rachunek zdań 2.1. Wyrażenia sensowne rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Poj ˛ecie sensowności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Znakowanie beznawiasowe Łukasiewicza . . . . . . . . 2.1.3. Reguły sensowności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Przykłady wyrażeń sensownych . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Rozpoznawanie wyrażeń sensownych . . . . . . . . . . 2.1.6. Jednoznaczność znakowania beznawiasowego . . . . . 1 3 3 4 5 6 6 9 9 9 11 12 13 14 17 v vi Spis treści 2.3. Rachunek zdań z kwantyfikatorami 2.2. Reguły wnioskowania i twierdzenia rachunku zdań bez kwan- tyfikatorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Praktyka dowodów matematycznych . . . . . . . . . . 2.2.2. Znakowanie założeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Reguły przyjmowania założeń . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Reguły implikacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Reguły koniunkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6. Reguły alternatywy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7. Reguły równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Reguły negacyjne (sprzeczności) . . . . . . . . . . . . . 2.2.9. Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Uwagi wst ˛epne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Podstawienie prawidłowe za zmienn ˛a zdaniow ˛a . . . . 2.3.3. Reguły operowania kwantyfikatorem ogólnym . . . . . 2.3.4. Reguły operowania kwantyfikatorem szczegółowym . . 2.3.5. Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Zupełność rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Reguła wtórna podstawiania . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Wyrażenia rozstrzygalne . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Macierz implikacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Macierze innych funktorów . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Rozstrzygalność wyrażeń z kwantyfikatorem ogólnym . 2.4.6. Rozstrzygalność wyrażeń z kwantyfikatorem szczegóło- wym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. Zupełność rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8. Obliczanie wartości wyrażeń . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Niesprzeczność rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Dalsze twierdzenia rachunku zdań. Zastosowanie twierdzeń rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Uwagi historyczne i porównawcze . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Logika zdań w starożytności i w średniowieczu . . . . . 2.7.2. Matematyczna logika zdań . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 3. Rachunek Predykatów 3.1. Wyrażenia sensowne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Nawi ˛azanie do j ˛ezyka potocznego . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Reguły sensowności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 19 20 21 21 22 22 23 23 30 30 32 33 33 34 36 36 37 38 41 45 47 49 49 52 54 56 56 56 59 59 59 61 Spis treści 3.2. Reguły wnioskowania i twierdzenia dla predykatów jednoar- gumentowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Reguły wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Podstawienie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Prawa identyczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Poj ˛ecie ilości 3.3. Reguły i twierdzenia dotycz ˛ace stosunków . . . . . . . . . . . 3.3.1. Reguły wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Pewne własności szczególne stosunków . . . . . . . . . 3.4. Metodologia rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Wtórne reguły wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Zagadnienie rozstrzygalności . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Interpretacja w przestrzeniach skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Uwagi historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Zdanie ogólne i szczegółowe, twierdz ˛ace i przecz ˛ace . . 3.5.3. Prawa kwadratu logicznego . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Rachunek nazw (sylogistyka) Rozdział 4. Zastosowania Logiki Matematycznej vii 62 62 62 69 71 72 73 73 74 75 77 77 78 78 82 82 83 84 89 89 4.1. Systemy dedukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Ogólne własności systemu dedukcyjnego sformalizowa- nego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Typy logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Antynomia Russella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Aksjomaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Arytmetyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 91 92 95 98 99 4.2. Zastosowanie do metodologii nauk empirycznych . . . . . . 101 4.2.1. Uwagi ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.2. Zdania sprawozdawcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.3. Obserwacja i eksperyment . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.4. Potwierdzanie i wypróbowanie . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.5. Definicje operacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.6. Opis i hipoteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2.7. Zagadnienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Summary 107 Wprowadzenie Prezentowany tom zawiera reedycj ˛e skryptu wykładów z logiki matematycz- nej i metodologii nauk ścisłych autorstwa Stanisława Jaśkowskiego, wybit- nego polskiego logika i matematyka, reprezentanta Szkoły Lwowsko-War- szawskiej, ucznia Stanisława Leśniewskiego i Jana Łukasiewicza. Sylwetka autora skryptu i Jego dokonania zostan ˛a szerzej przedstawione w nast ˛ep- nym paragrafie. Zaczniemy natomiast od udzielenia odpowiedzi na pytanie, dlaczego warto wznowić t ˛e publikacj ˛e? Skrypt został wydany w 1947 r. na potrzeby studentów matematyki Uni- wersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, min ˛eła zatem 70. rocznica jego powstania. Logika w ci ˛agu tylu lat, podobnie jak inne dyscypliny naukowe, uległa gruntownym zmianom, a lista podr ˛eczników logiki dost ˛epnych obec- nie na polskim rynku jest niemała i nie brakuje wśród nich pozycji wy- bitnych, prezentuj ˛acych nowoczesne uj ˛ecie przedmiotu. Jest jednak kilka ważnych powodów, aby t ˛e właśnie pozycj ˛e, po 70-ciu latach zapomnienia, polecić uwadze wszystkich zainteresowanych logik ˛a i jej histori ˛a. Zacz ˛ać należy od tego, że wydanie skryptu Jaśkowskiego jest jednym z możliwych sposobów uratowania tego podr ˛ecznika od fizycznego znisz- czenia. Skrypt został wydany na prawach r ˛ekopisu, w niewielkiej liczbie eg- zemplarzy (nie udało si ˛e ustalić w jakiej) nakładem Akademickiej Ksi ˛egarni Spółdzielni „SKRYPT”. Zawiera 105 stron maszynopisu, z r ˛ecznymi dopi- skami. Redakcja dokonana została na podstawie egzemplarza znajduj ˛acego si ˛e w posiadaniu Biblioteki Instytutu Matematyki UMK, który jest w bar- dzo złym stanie i prawdopodobnie za 10–20 lat wi ˛ekszość stron b ˛edzie tak wyblakła, że ich odczytanie stanie si ˛e niemożliwe – przynajmniej bez użycia specjalistycznego sprz ˛etu. Wiadomo o istnieniu jeszcze dwóch innych eg- zemplarzy tej pracy w Polsce i – jak można podejrzewać – ich stan nie jest lepszy. Dlatego wydaje si ˛e, że to ostatni moment na „reanimacj ˛e” skryptu Jaśkowskiego. ix x Wprowadzenie Jednak obawa przed fizycznym unicestwieniem ksi ˛ażki sama w sobie nie stanowi racji do podj ˛ecia wysiłku jej reedycji. Takiej racji dostarcza wy- soka wartość ratowanej pracy. Skrypt Jaśkowskiego jest oryginalnym, au- torskim, niezwykle nowoczesnym – jak na czas powstania – uj ˛eciem przed- miotu, w znacz ˛acy sposób różni ˛acym si ˛e od innych podr ˛eczników logiki dost ˛epnych zarówno w chwili jego ukazania, jak i później. T ˛e oryginalność, o której wi ˛ecej informacji znajdzie si ˛e w paragrafie poświ ˛econym dedukcji naturalnej, z pewności ˛a doceni ˛a logicy i historycy logiki. Na koniec. Nie od rzeczy jest też fakt, że skrypt Jaśkowskiego ma wy- bitne walory dydaktyczne i również dzisiaj w pełni nadaje si ˛e do wykorzysta- nia jako pozycja dydaktyczna. Dlatego publikacja ta może zainteresować nie tylko specjalistów, ale być nadal przydatna jako podr ˛ecznik logiki, pomimo siedemdziesi ˛eciu lat, które upłyn ˛eły od jej wydania. I Sylwetka Stanisława Jaśkowskiego Stanisław Jaśkowski urodził si ˛e 22 kwietnia 1906 r. w Warszawie jako syn ziemianina Feliksa Jaśkowskiego i Kazimiery Dzierżbickiej. Wycho- wał si ˛e w rodzinie, która reprezentowała wysokie standardy wykształcenia humanistycznego. W szczególności, jego dziadek – Jan Nepomucen Jaś- kowski – był poet ˛a i pisarzem, a ojciec muzykiem. Rodzina oczekiwała, że Stanisław b ˛edzie kontynuował te humanistyczne tradycje, ale on zdecydo- wał si ˛e w 1924 r. na studia na wydziale matematycznym w Uniwersytecie Warszawskim. Nauczycielami Jaśkowskiego byli m.in. Stanisław Leśniew- ski, Alfred Tarski i Jan Łukasiewicz, który wywarł na niego najwi ˛ekszy wpływ. To Łukasiewicz w 1925 r. postawił na swoim seminarium problem sformułowania formalnego uj ˛ecia metod dowodzenia stosowanego w prak- tyce matematycznej. Rok później Jaśkowski zaprezentował na seminarium swoje rozwi ˛azanie tego problemu, a nast ˛epnie przedstawił je w 1927 r. na Pierwszym Polskim Kongresie Matematycznym we Lwowie. Była to pierw- sza w świecie wersja systemu dedukcji naturalnej opracowana w rozpra- wie doktorskiej przygotowanej pod opiek ˛a Łukasiewicza. Niestety, poważne problemy zdrowotne doprowadziły do znacz ˛acej przerwy w jego edukacji oraz opóźnienia publikacji wyników. W latach 1929–1930 Jaśkowski leczył płuca w Davos w Szwajcarii. Dopiero w 1932 r. obronił prac ˛e doktorsk ˛a, która została opublikowana w 1934 r. w [13]. To opóźnienie nie wyszło Jaś- kowskiemu na dobre, gdyż w tym samym roku Gerhard Gentzen niezależnie opublikował pierwsz ˛a cz ˛eść swojego doktoratu [8] zawieraj ˛acego m.in. inn ˛a I Sylwetka Stanisława Jaśkowskiego xi wersj ˛e dedukcji naturalnej. Praca Gentzena była szerzej znana i do dziś jest on cz ˛esto wzmiankowany jako jedyny twórca dedukcji naturalnej, pomimo faktycznego pierwszeństwa Jaśkowskiego w tej dziedzinie. Po powrocie do zdrowia Jaśkowski uczestniczył w Drugim Polskim Kon- gresie Matematycznym w Wilnie w 1931 r., podczas którego zaprezentował pierwsz ˛a aksjomatyzacj ˛e geometrii brył. Jest to godny odnotowania fakt, który wskazuje na pocz ˛atek innej pasji naukowej Jaśkowskiego – badań nad podstawami matematyki, a w szczególności nad alternatywnymi uj ˛eciami geometrii, które nie opieraj ˛a si ˛e na pierwotnych poj ˛eciach punktu i prostej. Podobne badania prowadził w tym czasie również Alfred Tarski. W 1935 r. Jaśkowski uczestniczył w Mi ˛edzynarodowym Kongresie Filozofii Naukowej w Paryżu. Zaprezentował tam ważne rezultaty dotycz ˛ace matryc dla logiki intuicjonistycznej. Kolejne jego badania dotyczyły m.in. funkcji modalnych i systemów logicznych opartych na poj ˛eciu zmiennej zależnej. Ważne zmiany zaszły również w życiu prywatnym młodego uczonego. W 1937 r. Jaśkowski poślubił Aniel ˛e Holewińsk ˛a (1905–1976), studentk ˛e matematyki w Uniwersytecie Warszawskim. Po dwóch latach na świat przy- szła córka Anna. Wybuch II wojny światowej przerwał prac ˛e Jaśkowskiego nad habilitacj ˛a. Ze wzgl ˛edu na problemy zdrowotne nie został powołany do wojska, ale słu- żył jako ochotnik w obronie Warszawy i oddał swój samochód do dyspo- zycji 151 Kolumny Zmotoryzowanej. Podczas okupacji mieszkał w swoim maj ˛atku w Wólce koło Rawy Mazowieckiej i w Warszawie, gdzie pracował jako ksi ˛egarz. W 1942 r. przez kilka tygodni przebywał w areszcie. Prawie wszystkie jego prace naukowe z tego okresu spłon ˛eły podczas Powstania Warszawskiego. Po wojnie Jaśkowski przez pół roku pracował jako wykładowca w nowo założonym Uniwersytecie Łódzkim. Nast ˛epnie przeniósł si ˛e do Torunia, w któ- rym żył i pracował od 1 października 1945 r. aż do swej przedwczesnej śmierci w 1965 r. Nawet kiedy proponowano mu, aby przeniósł si ˛e do Kra- kowa i obj ˛ał kierownictwo Zakładu Logiki w Uniwersytecie Jagiellońskim, po śmierci profesora Zawirskiego w 1949 r., zdecydował si ˛e pozostać w To- runiu. Przez ostatnie 20 lat życia pełnił bardzo ważn ˛a rol ˛e w rozwoju Uni- wersytetu Mikołaja Kopernika. Mi ˛edzy innymi: organizował Katedr ˛e Logiki Matematycznej i był jej pierwszym kierownikiem, w latach 1952–1953 or- ganizował Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii i był jego pierwszym dzieka- nem w latach 1953–1954. W latach 1956–1959 był Prorektorem do spraw nauki, a w latach 1959–1962 Rektorem Uniwersytetu Toruńskiego. Był xii Wprowadzenie także współtwórc ˛a i pierwszym przewodnicz ˛acym Toruńskego oddziału Pol- skiego Towarzystwa Matematycznego, a od 1950 r. członkiem Narodowego Instytutu Matematycznego Polskiej Akademii Nauk. Był bardzo aktywny jako nauczyciel. Uniwersytet Toruński, w pierw- szych latach swej działalności cierpiał na dotkliwe braki kadrowe. W re- zultacie Jaśkowski prowadził liczne kursy z rozmaitych działów matema- tyki, m.in. z logiki matematycznej, analizy, teorii mnogości, teorii prawdo- podobieństwa. Na potrzeby kursu z logiki i z analizy przygotował autorskie skrypty dla studentów; pierwszy z nich prezentujemy niżej. W ostatnich la- tach swojej działalności był Jaśkowski mocno zaangażowany w organizacj ˛e pracowni komputerowej, a jego ostatnie seminarium dotyczyło badań nad automatycznym dowodzeniem twierdzeń. Warto wspomnieć również o jego pracy nad przygotowaniem nowoczesnego programu nauczania matematyki w szkołach średnich, który został wprowadzony w latach 60. Liczne obowi ˛azki o charakterze edukacyjnym i organizacyjnym nie prze- szkodziły Jaśkowskiemu w kontynuacji jego pracy naukowej. Główne w ˛atki badawcze i najważniejsze osi ˛agni ˛ecia scharakteryzujemy w nast ˛epnym pa- ragrafie, tutaj odnotowuj ˛ac kolejne, najważniejsze etapy kariery akademic- kiej. Jeszcze w latach 40. Jaśkowski pod opiek ˛a Zygmunta Zawirskiego ukończył habilitacj ˛e dotycz ˛ac ˛a liczb rzeczywistych. Obrona odbyła si ˛e 7 kwietnia 1946 r., a zatwierdzona została 24 lipca 1946 r. W 1957 r. otrzymał nominacj ˛e profesorsk ˛a. Zły stan zdrowia przerwał jego aktywność w 1962 roku. Umarł przed- wcześnie 16 listopada 1965 r. w wyniku powikłań po przebytej żółtaczce. II Praca Dorobek naukowy Stanisława Jaśkowskiego obejmuje 48 pozycji z zakresu logiki i matematyki. Ta stosunkowo niewielka liczba publikacji zawiera duż ˛a ilość nowatorskich wyników, które spotkały si ˛e w późniejszych latach (nie- stety cz ˛esto dopiero po śmierci autora) z dużym zainteresowaniem na świe- cie. Poniżej scharakteryzujemy krótko najważniejsze wyniki uzyskane na obu polach. Dokładniejsz ˛a prezentacj ˛e jego wyników można znaleźć w [36] i [38], a pełna bibliografia podana jest w [5]. Wynalezienie systemów dedukcji naturalnej, zaprezentowane w [13], jest cz ˛esto uważane za najważniejsze osi ˛agni ˛ecie Jaśkowskiego i poświ ˛ecimy mu nast ˛epnie wi ˛ecej uwagi ze wzgl ˛edu na bezpośredni zwi ˛azek z prezen- towanym skryptem. Jeżeli chodzi o inne wyniki, to na szczególn ˛a uwag ˛e II Praca xiii zasługuj ˛a jego rezultaty w zakresie badań nad logikami nieklasycznymi. Jaśkowski nie tylko uzyskał poważne wyniki w badaniach nad znanymi logikami, takimi jak logiki modalne czy logika intuicjonistyczna, ale jest również twórc ˛a wielu nowych i ważnych systemów. W szczególności: W swojej pracy o dedukcji naturalnej [13] przedstawił system reguł dla kwantyfikatorów pierwszego rz ˛edu, który jest w istotny sposób słabszy od systemu Gentzena charakteryzuj ˛acego logik ˛e klasyczn ˛a. Fakt, że zapro- ponowany przez niego system reguł nie jest formalizacj ˛a logiki klasycznej przejawia si ˛e w ten sposób, że pewne tezy logiki klasycznej, które s ˛a uniwer- salnie prawdziwe tylko w modelach z niepust ˛a dziedzin ˛a, nie daj ˛a si ˛e w jego systemie udowodnić. W ten sposób Jaśkowski zbudował pierwszy system tzw. logiki inkluzywnej. Jest to logika pierwszego rz ˛edu słabsza od klasycz- nej, która w uj ˛eciu semantycznym dopuszcza modele z pust ˛a dziedzin ˛a. Jaśkowski scharakteryzował t ˛e logik ˛e tylko syntaktycznie, w postaci sys- temu dedukcji naturalnej, ale jego rozwi ˛azanie było świadome, oparte na przekonaniu, że logika nie powinna przes ˛adzać o istnieniu jakichkolwiek obiektów. Obecnie logiki, które s ˛a inkluzywne i wolne (od założeń egzysten- cjalnych), w tym sensie, że dopuszczaj ˛a wyrażenia nazwowe nieposiadaj ˛ace desygnatów, s ˛a nazywane uniwersalnie wolnymi (Bencivenga [1]). Takie lo- giki s ˛a cz ˛esto traktowane jako filozoficznie bardziej neutralne od logiki kla- sycznej i ch ˛etnie wykorzystywane jako podstawa do budowy modalnych lo- gik 1-rz ˛edu (zob. np. Garson [7]). Warto podkreślić, że pierwsze systemy lo- giki uniwersalnie wolnej zostały zaproponowane dopiero w latach 50. XX w. przez Andrzeja Mostowskiego, Huguesa Leblanca, Jaakko Hintikk ˛e i in- nych. Fakt, że Jaśkowski skonstruował pierwszy system logiki inkluzyw- nej, a jak podkreśla Bencivenga [2], w zasadzie również logiki wolnej, był niezauważony przez długie lata. W badaniach nad logik ˛a intuicjonistyczn ˛a Jaśkowski nie tylko zapro- ponował system dedukcji naturalnej dla logiki zdaniowej, ale również ade- kwatn ˛a charakterystyk ˛e semantyczn ˛a w terminach matryc nieskończonych. Wcześniej Gödel wykazał, że nie ma adekwatnej skończonej matrycy dla lo- giki intuicjonistycznej. Jaśkowski [14] poszerzył ten rezultat, pokazuj ˛ac, w jaki sposób skonstruować adekwatn ˛a matryc ˛e jako nieskończony ci ˛ag matryc skończonych. W [17] oraz [25] Jaśkowski dostarczył filozoficznego uzasadnienia i for- malnej konstrukcji dla tzw. logiki dyskusyjnej, która była pierwszym sys- temem należ ˛acym do obszernej i ważnej klasy logik parakonsystentnych. W systemach tego typu, w przeciwieństwie do logiki klasycznej, ze zdań xiv Wprowadzenie sprzecznych nie wynika dowolne zdanie, zatem sprzeczność nie prowadzi do trywializacji systemu. Wkrótce po pracach Jaśkowskiego, pogł ˛ebione ba- dania nad takimi logikami zostały podj ˛ete przez zespół logików z Ameryki Płd., w szczególności przez Newtona da Costa w Brazylii i Florentio Asenjo w Argentynie. Nieco później, w latach 60-tych podobne badania rozpocz ˛eły si ˛e w USA i w Australii (Michael Dunn, Rober Meyer, Richard Routley (Sylvan), Graham Priest i inni), w ścisłym poł ˛aczeniu z badaniami nad lo- gikami implikacji relewantnej. Obecnie logiki parakonsystentne stanowi ˛a jedn ˛a z najlepiej rozpoznawalnych klas logik nieklasycznych, o szerokich zastosowaniach. To tylko niektóre osi ˛agni ˛ecia Jaśkowskiego na gruncie logiki, te miano- wicie, które obecnie s ˛a najbardziej znane w świecie. Z mniej znanych, choć równie interesuj ˛acych, można wspomnieć o jego pracach nad implikacj ˛a kauzaln ˛a [18], [28], [29], logik ˛a klasyczn ˛a [19], [34], [35] czy sylogistyk ˛a Arystotelesa [27]. Jako matematyk Jaśkowski był zainteresowany przede wszystkim ba- daniami nad podstawami matematyki i zastosowaniami w niej narz ˛edzi lo- gicznych. W szczególności pracował nad poj ˛eciem liczby, podstawami geo- metrii i problemami rozstrzygalności, gdzie otrzymał szereg rezultatów za- równo pozytywnych, jak i negatywnych. Te ostatnie badania można zreszt ˛a zakwalifikować jako przynależne do prac logicznych, aczkolwiek w wielu przypadkach dotycz ˛ace teorii matematycznych. W szczególności, w [26] do- wiódł rozstrzygalności elementarnej teorii pierścieni Boolowskich. [34], [35] zawieraj ˛a wyniki dotycz ˛ace rozstrzygalności fragmentów logiki klasycznej, a [17] modalnej logiki S5. Jeżeli chodzi o wyniki negatywne na tym polu, to w [21] dowiódł, że pewne klasy formuł teorii grup i topologii s ˛a nierozstrzy- galne. W [32] wykazał nierozstrzygalność teorii wolnych grupoidów, a w [26] pewnej klasy równości algebr Boolowskich. Interesuj ˛ace rezultaty o nieroz- strzygalności pewnych problemów egzystencjalnych w systemach równań różniczkowych zawiera [31]. Badania nad poj ˛eciem liczby były podstaw ˛a habilitacji Jaśkowskiego i zostały podsumowane w [20]. Wykazał on, że liczby całkowite i rzeczywiste można zdefiniować w terminach pewnych operacji na klasach zbiorów. Jaśkowski był również zaangażowany w badania nad geometri ˛a brył, w której unika si ˛e obiektów abstrakcyjnych, takich jak punkty czy pro- ste. Był przekonany, że takie podejście lepiej sprawdza si ˛e w zastosowa- niach, np. w fizyce kwantowej. W [23], [24] Jaśkowski zmodyfikował po- dejście Tarskiego do geometrii brył oraz wprowadził aksjomatyk ˛e opart ˛a na II Praca xv poj ˛eciu „semiprzestrzeni” jako terminie pierwotnym w [16], [22]. Przygoto- wywał ksi ˛ażk ˛e o podstawach geometrii, ale przedwczesna śmierć przerwała t ˛e prac ˛e. Jaśkowski opublikował również dwie popularne ksi ˛ażki o geometrii ornamentu [30], [33], które stanowi ˛a doskonałe świadectwo jego wielkiego talentu dydaktycznego. W sposób niewymagaj ˛acy od czytelnika żadnej za- awansowanej wiedzy matematycznej zaprezentował w nich rozmaite zagad- nienia geometryczne ilustrowane przykładami zaczerpni ˛etymi z nauki, hi- storii i sztuki. Pokazał w nich m.in., jak można zastosować abstrakcyjn ˛a algebraiczn ˛a teori ˛e grup do konkretnego problemu klasyfikacji ornamen- tów. Wspomnieliśmy wyżej, że oprócz prezentowanego tu skryptu z logiki przygotował też skrypt z analizy matematycznej (zawieraj ˛acy właściwie ro- dzaj wst ˛epu do matematyki), który również pokazuje jego talent dydak- tyczny. Szereg prac i komunikatów dotycz ˛acych reformy nauczania mate- matyki w Polsce, zwi ˛azanych z jego pracami nad przygotowaniem nowego programu, dopełnia obrazu Jaśkowskiego jako nauczyciela, zaangażowa- nego w upowszechnianie wiedzy z pomoc ˛a nowoczesnych środków. Ten pobieżny przegl ˛ad pokazuje, że mimo przedwczesnej śmierci, Jaś- kowski zostawił po sobie poważny dorobek naukowy. Miał znacz ˛ace osi ˛a- gni ˛ecia w logice, matematyce, edukacji i organizacji nauki. Warto zwrócić uwag ˛e na niefortunn ˛a okoliczność zwi ˛azan ˛a z upowszechnianiem jego wy- ników. Prawie wszystkie oryginalne pomysły i rezultaty zostały upowszech- nione i rozpoznane w świecie długo po ich wynalezieniu, w wi ˛ekszości po jego śmierci. Pierwszeństwo Jaśkowskiego w wynalezieniu dedukcji natu- ralnej zostało pierwotnie niedocenione ze wzgl ˛edu na fatalne opóźnienie publikacji wyniku jego autorstwa. Ale nawet dziś wielu autorów, pisz ˛ac o dedukcji naturalnej, wspomina jedynie o Gentzenie jako jedynym twórcy tego typu systemów. Podobnie, jego wynalazek logiki inkluzywnej został od- notowany wiele lat po tym, jak rozwin ˛eły si ˛e poważne badania nad tymi systemami. Prace nad logikami parakonsystentnymi również rozwin ˛eły si ˛e bez znajomości pionierskich prac Jaśkowskiego; jego wkład odnotowano później. Ten przykry stan rzeczy wi ˛azał si ˛e w dużej mierze z faktem, że wiele jego prac, choć napisanych po angielsku lub francusku, ukazało si ˛e w czasopismach o lokalnym charakterze i nie miało szans dotrzeć do szer- szej publiczności. xvi Wprowadzenie III Dedukcja Naturalna Jak już wyżej zaznaczyliśmy jednym z najważniejszych osi ˛agni ˛eć Jaśkow- skiego było skonstruowanie oryginalnego systemu dowodzenia, zwanego obecnie zazwyczaj dedukcj ˛a naturaln ˛a1. Standardowym sposobem prezen- tacji systemów logicznych i teorii formalnych były, i nadal s ˛a, systemy ak- sjomatyczne. Ich starożytny rodowód („Elementy” Euklidesa III w. p.n.e.) i prosta teoretyczna konstrukcja (w szczególności definicja dowodu) to nie- w ˛atpliwie zalety. Jednak w praktyce dowody w sformalizowanych syste- mach aksjomatycznych s ˛a zazwyczaj trudne do skonstruowania i nadmier- nie długie. Matematycy w praktyce dowodzenia nie tylko odwołuj ˛a si ˛e do aksjomatów i wcześniej dowiedzionych twierdzeń, ale nagminnie stosuj ˛a de- dukcje oparte na dodatkowych założeniach, które w trakcie dowodu zostaj ˛a wyeliminowane. Właśnie próba formalnego uj ˛ecia tych praktycznych sposo- bów wnioskowania i uzasadnienia ich poprawności doprowadziła Jaśkow- skiego i – niezależnie – Gentzena, do skonstruowania systemów dedukcji naturalnej w latach 30-tych XX w. Praktyczna wygoda ich stosowania do- prowadziła wkrótce potem do powstania wielu wariantów tych systemów i upowszechnienia ich w podr ˛ecznikach logiki, zwłaszcza w krajach an- glosaskich. Ponieważ rozmaite wersje dedukcji naturalnej cz ˛esto (pozornie) bardzo si ˛e od siebie różni ˛a, wi ˛ec warto pokrótce opisać zasadnicze cechy ta- kich systemów, które od konstrukcji Jaśkowskiego si ˛e wywodz ˛a2. Systemy dedukcji naturalnej opieraj ˛a si ˛e przede wszystkim na użyciu dużej liczby reguł zamiast aksjomatów. Reguły te s ˛a różnego typu i rozmaicie formuło- wane, jednak w każdym systemie dedukcji naturalnej mamy reguły, które pozwalaj ˛a: 1) dedukować nowe formuły (wnioski) na podstawie wcześniej wprowa- dzonych (przesłanek); 2) wprowadzać do dowodu nowe (tymczasowe) założenia; 3) eliminować z dowodu wykorzystane założenia. Zazwyczaj zadanie 1) realizuj ˛a proste reguły inferencji, natomiast 2) i 3) reguły konstrukcji dowodu, o nieco bardziej złożonym charakterze. Reguły inferencji pozwalaj ˛a z kilku (czasem jednej) przesłanek wydeduko- wać wniosek. Rozmaite systemy dedukcji naturalnej zazwyczaj nie różni ˛a 1 Sam Jaśkowski pierwotnie używał nazwy „systemy założeniowe”. 2 Dokładniejsz ˛a charakterystyk ˛e można znaleźć m.in. w pracach Hazena i Pelletiera [9] lub Indrzejczaka [10], [11]. III Dedukcja Naturalna xvii si ˛e bardzo w doborze pierwotnych reguł inferencji w systemie; chodzi o to, by były proste i łatwe w stosowaniu. Cz ˛esto d ˛aży si ˛e też (w ślad za Gentze- nem), żeby dla każdej stałej logicznej (spójnika, kwantyfikatora) mieć przy- najmniej par ˛e takich reguł; jedna pozwala wykorzystać formuł ˛e z dan ˛a stał ˛a jako przesłank ˛e (reguły eliminacji, odł ˛aczania), a druga wprowadzić j ˛a jako wniosek (reguły doł ˛aczania). Reguły konstrukcji dowodu maj ˛a bardziej kompleksowy charakter. Za- zwyczaj wprowadzenie założenia jest zaznaczane za pomoc ˛a jakiegoś środka graficznego lub dodatkowej numeracji, żeby zaznaczyć, że ma ono charak- ter tymczasowy i wszelkie formuły wydedukowane z tego założenia też maj ˛a taki charakter. Osobn ˛a kwesti ˛a jest eliminacja takich założeń i wydeduko- wanych z nich formuł, oparta na tradycyjnie stosowanych technikach ta- kich jak dowód nie wprost czy dowód warunkowy. W pierwszym przypadku para formuł sprzecznych wydedukowana z dodatkowego założenia upoważ- nia do eliminacji z dowodu tegoż założenia i wprowadzenia do dowodu jego zaprzeczenia. W drugim możemy doł ˛aczyć do dowodu implikacj ˛e, jeżeli wy- dedukowaliśmy nast ˛epnik z założenia dodatkowego, którym był poprzednik tejże implikacji. Te, przykładowo podane, techniki pokazuj ˛a, że w przy- padku reguł konstrukcji dowodu dedukujemy nowe formuły nie na pod- stawie przesłanek (jak w przypadku reguł inferencji), ale dodatkowych do- wodów zacz ˛etych dodatkowym założeniem. Toteż dowód w systemach tego typu nie jest prostym ci ˛agiem formuł (jak w systemie aksjomatycznym), ale raczej struktur ˛a, w której kolejno można zanurzać poddowody oparte o dodatkowe założenia. Poddowód taki kończy si ˛e z chwil ˛a, gdy zastosu- jemy odpowiedni ˛a technik ˛e, np. w przypadku dowodu nie wprost uzyska- nie sprzeczności zamyka poddowód, a negacja założenia jest już elemen- tem dowodu pierwotnego, który budowaliśmy zanim doł ˛aczyliśmy założe- nie dodatkowe. Jak widać reguły konstrukcji dowodu narzucaj ˛a też pewn ˛a heurystyk ˛e niedost ˛epn ˛a w systemach aksjomatycznych3. Jeżeli chcemy do- wieść pewn ˛a formuł ˛e – wprowadźmy jej negacj ˛e jako założenie dodatkowe; jeżeli potrzebujemy implikacji – wprowadźmy jej poprzednik jako założenie. Każdy system dedukcji naturalnej posiada takie reguły konstrukcji dowodu – cz ˛esto jeszcze inne. Na tym kończ ˛a si ˛e podobieństwa mi ˛edzy różnymi systemami dedukcji naturalnej. Zwłaszcza definicja i kształt dowodu dopuszcza wiele urozma- 3 Dopóki nie udowodni si ˛e w ich ramach odpowiednich twierdzeń o dedukcji, stanowi ˛acych formalne odpowiedniki scharakteryzowanych wyżej technik. Wykorzystanie takich dodat- kowych technik pozwala zbliżyć praktyk ˛e dowodzenia w systemach aksjomatycznych do dedukcji naturalnej. xviii Wprowadzenie iceń. Z praktycznego punktu widzenia istotne jest wyraźne zaznaczenie, gdzie kończy si ˛e poddowód oparty o dodatkowe założenie, aby unikn ˛ać dal- szego korzystania z formuł w nim zawartych, gdyż to prowadzi do bł ˛edów. Jaśkowski pocz ˛atkowo zastosował technik ˛e prostok ˛atów otaczaj ˛acych każ- dy zakończony poddowód, ale w ostatecznej wersji swojej pracy [13] zast ˛apił prostok ˛aty wprowadzaniem dodatkowej numeracji dla każdego poddowodu. W skrypcie zastosował jeszcze inn ˛a technik ˛e graficzn ˛a separacji poddowo- dów – poziome klamrowe nawiasy4. W każdym z tych rozwi ˛azań ryzyko bł ˛ednych dedukcji jest wyeliminowane poprzez zakaz korzystania z tych formuł, które graficznie s ˛a zaznaczone jako należ ˛ace do zakończonego pod- dowodu. Gentzen unikn ˛ał tego typu problemów w inny sposób. W jego systemie dowód nie jest linearny, lecz jest struktur ˛a o postaci drzewa, którego korzeń stanowi dowodzona formuła, a liście to założenia. Bez wchodzenia w detale zaznaczmy, że takie rozwi ˛azanie również pozwala na unikni ˛ecie ryzyka wy- korzystywania w dalszym dowodzie założeń, które zostały wcześniej wyeli- minowane (i wydedukowanych z nich formuł). Rozwi ˛azanie Gentzena bar- dzo dobrze pokazuje konstrukcj ˛e gotowego dowodu, ale nie jest przydatne w praktyce poszukiwania dowodu tak jak rozwi ˛azania Jaśkowskiego. Nic dziwnego, że dedukcja naturalna w stylu Gentzena, tzn. z dowodami w for- mie drzew, jest wykorzystywana przede wszystkim w pracach teoretycznych z zakresu teorii dowodu. Natomiast dowody linearne w stylu Jaśkowskiego doczekały si ˛e ogromnej ilości wariantów w literaturze podr ˛ecznikowej, gdzie wykorzystuje si ˛e dedukcj ˛e naturaln ˛a jako praktyczne narz ˛edzie konstruk- cji dowodów. Dziwi natomiast fakt, że zazwyczaj autorzy tych podr ˛eczników o Jaśkowskim nie wspominaj ˛a5. IV Zawartość i konstrukcja skryptu Wspomnieliśmy na pocz ˛atku, że skrypt Jaśkowskiego zasługuje na przy- pomnienie m.in. ze wzgl ˛edu na oryginalność wykładu. Najważniejszym wy- znacznikiem jego oryginalności jest szerokie wykorzystanie własnego sys- 4 Jeszcze inne, pokrewne rozwi ˛azania w postaci pionowych linii, nawiasów itp., zostały po- tem wprowadzone przez autorów popularnych podr ˛eczników logiki jak Fitch [6] czy Copi [4]. 5 Wspomnieć można, że istniej ˛a też wersje dedukcji naturalnej, wywodz ˛ace si ˛e od Gentzena, w których podział na reguły inferencji i konstrukcji dowodu oraz potrzeba stosowania graficznych środków dla wyodr ˛ebniania poddowodów nie s ˛a potrzebne, gdyż reguły de- finiowane s ˛a nie na formułach, a na tzw. sekwentach. IV Zawartość i konstrukcja skryptu xix temu dedukcji naturalnej jako sposobu prezentacji logiki. Krótko omówimy jego zawartość, wskazuj ˛ac na te cechy, które świadcz ˛a o jego nowatorstwie. Skrypt składa si ˛e ze wst ˛epu oraz trzech rozdziałów. W pi ˛eciostronicowym wst ˛epie podane s ˛a wskazówki bibliograficzne oraz krótkie uwagi o charak- terze wprowadzaj ˛acym: terminologicznym i historycznym. Rozdział 2 to ob- szerna prezentacja klasycznej logiki zdań. Autor używa beznawiasowej sym- boliki Łukasiewicza, w której prezentuje zarówno standardow ˛a logik ˛e zdań, jak i jej wersj ˛e z kwantyfikatorami. Po omówieniu kwestii syntaktycznych wprowadza reguły dedukcji naturalnej dla spójników i prezentuje dowody 22 tez. Nast ˛epnie doł ˛acza reguły dla kwantyfikatorów i dowody kolejnych 11 tez. Ostatnia cz ˛eść rozdziału ma charakter metodologiczny i zawiera charakterystyk ˛e semantyczn ˛a spójników oraz dowód niesprzeczności, roz- strzygalności i zupełności logiki zdań z kwantyfikatorami wraz z dowodami kolejnych 26 tez. Na uwag ˛e zasługuje fakt, że logika zdań jest konsekwent- nie scharakteryzowana w terminach dedukcji naturalnej, bez żadnego od- niesienia do uj ˛ecia aksjomatycznego. Nawet semantyczna charakterystyka spójników jest wyprowadzona dedukcyjnie na bazie uogólnionego poj ˛ecia rozstrzygalności wyrażeń. Autor konsekwentnie używa w dowodach rezul- tatów metalogicznych tej samej metody, zbliżonej do zastosowanej przez László Kalmára w dowodzie pełności rachunku zdań; w przypadku Jaś- kowskiego ma ona jednak konsekwentnie syntaktyczny charakter. Wpro- wadzenie kwantyfikatorów do rachunku zdań jest charakterystyczn ˛a cech ˛a polskiej szkoły logiki przedwojennej (por. np. skrypt Łukasiewicza [37]). Za- bieg ten umożliwia Jaśkowskiemu dowód zupełności (rachunek zdań bez kwantyfikatorów nie jest zupełny w tym sensie), z którego nast ˛epnie wy- prowadzony jest dowód pełności. Ponadto pozwala na dydaktycznie prost- sze wprowadzenie reguł kwantyfikatorowych, które w kolejnym rozdziale s ˛a uogólnione na rachunek predykatów. Rozdział 3 jest bardziej zwi ˛ezły i zawiera zasadniczo prezentacj ˛e ra- chunku pierwszego rz ˛edu, choć można znaleźć również zarysowane spo- soby jego poszerzenia na drugi rz ˛ad. Warto podkreślić, że reguły dla kwan- tyfikatorów podane w skrypcie s ˛a odmienne zarówno od reguł podanych w [13], jak i reguł podanych przez Gentzena czy późniejszych autorów syste- mów dedukcji naturalnej. W [13] Jaśkowski podał jedynie reguły dla kwan- tyfikatora ogólnego i to reguły słabsze, charakteryzuj ˛ace logik ˛e inkluzywn ˛a. Reguły podane w skrypcie charakteryzuj ˛a logik ˛e klasyczn ˛a, ale w odmienny sposób niż w innych systemach. Uwaga ta dotyczy przede wszystkim reguł dla kwantyfikatora szczegółowego, wprowadzonych wcześniej dla zmien- xx Wprowadzenie nych zdaniowych. S ˛a one trzy i można im zarzucić pewne niedomogi na- tury teoretycznej. Zamiast jednej reguły eliminacji kwantyfikatora s ˛a dwie reguły, z których jedna eliminuje go jedynie wtedy, gdy w formule kwanty- fikowanej nie wyst ˛epuje zmienna przykwantyfikatorowa. Druga dla odmiany wymaga dwóch przesłanek, z których jedna jest ogólnie skwantyfikowan ˛a implikacj ˛a, a druga egzystencjaln ˛a kwantyfikacj ˛a poprzednika. Nie jest to wi ˛ec rozwi ˛azanie eleganckie, ale za to dydaktycznie łatwiejsze do przy- swojenia dla nauczanych. Standardowe zestawy reguł kwantyfikatorowych, w których d ˛aży si ˛e do adekwatnego uj ˛ecia z pomoc ˛a pojedynczych re- guł doł ˛aczania i eliminacji sprawiaj ˛a cz ˛esto sporo kłopotów ze wzgl ˛edu na skomplikowane warunki dodatkowe, które ograniczaj ˛a bł ˛edne inferen- cje. Zestaw reguł podany przez Jaśkowskiego pozwala zgrabnie unikn ˛ać tych problemów. W rozdziale tym można znaleźć również dowody 39 tez, prezentacj ˛e sylogistyki Arystotelesa, (scharakteryzowanej w logice drugiego rz ˛edu) oraz wybranych własności relacji oraz zagadnienia (nie)rozstrzygalności. identyczności Ostatni rozdział zawiera zwi ˛ezł ˛a prezentacj ˛e teorii typów, kategorii i an- tynomii Russella. Ponownie pojawia si ˛e teoria identyczności jako ilustracja rozważań o definicji oraz teoriach aksjomatycznych. Autor ponownie kon- sekwentnie stosuje dedukcj ˛e naturaln ˛a jako por ˛eczny sposób prezentacji omawianych zagadnień. Rozdział kończ ˛a krótkie uwagi o metodologii nauk empirycznych oparte głównie na pracach Carnapa. Krótka charakterystyka zawartości skryptu wskazuje na wszechstronne użycie dedukcji naturalnej jako głównej metody prezentacji logiki i zagad- nień metalogicznych. Wiemy, że Jaśkowski był wynalazc ˛a dedukcji na- turalnej (choć fakt ten jest cz ˛esto niedostrzegany), ale przy okazji warto wskazać na jeszcze jeden problem dotycz ˛acy pierwszeństwa. Od kwestii wynalezienia dedukcji naturalnej należy odróżnić problem upowszechnie- nia tego sposobu prezentacji logiki i dowodów w nauczaniu. W powszech- nym przekonaniu pierwszym podr ˛ecznikiem, który konsekwentnie prezen- tuje logik ˛e w postaci systemów dedukcji naturalnej jest ksi ˛ażka Federica Fitcha “Symbolic Logic” [6] wydana w roku 1952. W podr ˛eczniku tym autor konsekwentnie używa systemu, który w sensie doboru reguł zależny jest od uj ˛ecia Gentzena, ale w sensie przyj ˛etego sposobu prezentacji dowodów jest uproszczonym systemem Jaśkowskiego, w którym zamiast czworoboków otaczaj ˛acych poddowody używa si ˛e jedynie pionowych linii z lewej strony poddowodu. Ten sposób prezentacji dowodów stał si ˛e niezwykle popularny i powszechnie określany jest jako “Fitch-style natural deduction”, chociaż V Zasady redakcji xxi sam Fitch w przedmowie wymienia Jaśkowskiego jako źródło inspiracji. Niektórzy twierdz ˛a, że pionierem w upowszechnianiu naturalnej dedukcji jest Willard Orman Quine, który w “Methods of Logic” [39] wydanym po raz pierwszy w 1950 r. zaprezentował swój własny system dedukcji natural- nej. Jednak w ksi ˛ażce Quine’a dedukcja naturalna nie jest systemem jedy- nym ani nawet podstawowym; jej prezentacja zajmuje zaledwie 20 stron. Sam Quine jako pioniera stosowania dedukcji naturalnej w nauczaniu lo- giki wymienia Cooleya i jego podr ˛ecznik “Primer of Logic” [3] wydany po raz pierwszy w roku 1942. Trudno jednak zgodzić si ˛e z opini ˛a Quine’a w tej kwestii. Cooley wprowadza wprawdzie duż ˛a liczb ˛e wtórnych reguł inferencji, które bardzo upraszczaj ˛a dowody, ale używa systemów aksjomatycznych i nie stosuje żadnych środków w celu zaznaczania zależności dedukowa- nych formuł od dodatkowych założeń, co – jak wyżej zaznaczyliśmy – jest jednym z definicyjnych kryteriów uznania danego systemu za system de- dukcji naturalnej. W skrypcie Jaśkowskiego, podobnie jak w podr ˛eczniku Fitcha, dedukcja naturalna jest konsekwentnie stosowanym systemem for- malnym. Wypada wi ˛ec uznać, że prezentowany niżej skrypt z 1947 r. jest pierwszym na świecie podr ˛ecznikiem logiki nauczanej za pomoc ˛a dedukcji naturalnej. Być może jest to najważniejszy powód wznowienia tej pracy. V Zasady redakcji Podstawow ˛a zasad ˛a przyj ˛et ˛a przy redagowaniu skryptu była zasada jak najmniejszego ingerowania w tekst oryginalny. Zachowano struktur ˛e skryptu: podział na rozdziały, podrozdziały, sekcje6. Poprawiono ortografi ˛e i interpunkcj ˛e według współczesnych zasad i re- guł pisowni. Sprostowano także drobne bł ˛edy merytoryczne. W szczególno- ści, w różnych miejscach w nawiasach kwadratowych umieszczono b ˛adź drobne dodatki ułatwiaj ˛ace zrozumienie tekstu, b ˛adź rekonstrukcj ˛e tekstu nieczytelnego lub ewidentnie zepsutego podczas przepisywania, np. „skry- stalizowany” zamiast „sformalizowany”, „edukacyjny” zamiast „dedukcyjny” itp. 6 Z t ˛a różnic ˛a, że w oryginale jest stała numeracja podrozdziałów – ł ˛acznie 18 – i brak numeracji sekcji, natomiast w obecnym wydaniu podrozdziały i sekcje s ˛a numerowane w obr ˛ebie rozdziałów. xxii Wprowadzenie Wprowadzono zmiany o charakterze typograficznym – Jaśkowski cz ˛esto posługiwał si ˛e podkreśleniami i wersalikami, które zostały konsekwentnie zast ˛apione czcionk ˛a pogrubion ˛a lub kursyw ˛a. Zachowana została oryginalna notacja beznawiasowa (tzw. Łukasiewi- czowska), ale dla wygody czytelnika obznajomionego ze współcześnie do- minuj ˛ac ˛a notacj ˛a dodano przypisy zawieraj ˛ace translacj ˛e przykładów. W przypadku wzorów zwartych i krótkich transkrypcja jest podana obok w na- wiasie kwadratowym, a w przypadku dowodów w przypisie na dole strony. W paru miejscach przypisy podaj ˛a też drobne uzupełnienia do tekstu (a nie uzupełnienia w tekście – te s ˛a, jak wyżej wspominaliśmy, umieszczane w na- wiasach kwadratowych). W podawanych dalej transkrypcjach wzorów zachowujemy te same sym- bole, które stosował Jaśkowski dla zmiennych, tj. p, q, r dla zmiennych zdaniowych x, y, z dla zmiennych nazwowych, a, b, ..., f, g, h dla zmiennych predykatowych. Podobnie używamy tych samych liter greckich co autor dla zapisu zmiennych metaj ˛ezykowych, natomiast dla spójników zamiast liter N, K, A, I, E stosujemy symbole ¬,∧,∨,→,↔, a dla kwantyfikatorów za- miast liter Π, Σ używamy ∀,∃. W dodanych translacjach wzorów stosujemy nawiasy w sposób oszcz ˛edny, zgodny z konwencjami stosowanymi w wielu podr ˛ecznikach: 1) pomijamy nawiasy zewn ˛etrzne, 2) stałe s ˛a uporz ˛adkowane ze wzgl ˛edu na „sił ˛e wi ˛azania” swoich argumentów: ¬ oraz kwantyfikatory wi ˛aż ˛a najmocniej, natomiast dwuargumentowe spójniki wi ˛aż ˛a słabiej wg kolejności: ∧,∨,→,↔. Dla przykładu: p ∧ ¬q → r ∨ (s → ¬(t ↔ q → p)) jest uproszczonym, zgodnie z powyższymi konwencjami, zapisem formuły: ((p ∧ ¬(q)) → (r ∨ (s → ¬(t ↔ (q → p))))). * * * Pragn ˛e na koniec złożyć podzi ˛ekowania kilku osobom, bez których po- mocy nie udałoby si ˛e dokonać wydania tej ksi ˛ażki. Przede wszystkim jestem bardzo wdzi ˛eczny spadkobiercom Profesora Stanisława Jaśkowskiego, Jego Bibliografia xxiii córce Pani Annie Dziembowskiej oraz synowi Panu Kazimierzowi Jaśkow- skiemu za wyrażenie zgody na wydanie skryptu i życzliwe słowa zach ˛ety. Wdzi ˛eczność winienem również profesorowi Maxowi Urchsowi, który jako pierwszy zwrócił moj ˛a uwag ˛e na skrypt Jaśkowskiego oraz Pani profe- sor Urszuli Wybraniec-Skardowskiej. Jej zaproszenie do złożenia artykułu o Stanisławie Jaśkowskim w przygotowanym przez Ni ˛a tomie poświ ˛econym Szkole Lwowsko-Warszawskiej, stało si ˛e bezpośrednim impulsem do pod- j ˛ecia przeze mnie pracy redakcyjnej. Chciałbym podzi ˛ekować za pomoc na różnych etapach przygotowania edycji profesorowi Andrzejowi Pietruszcza- kowi oraz profesorom UMK Tomaszowi Jarmużkowi i Markowi Nasieniew- skiemu, a przede wszystkim magistrowi Mateuszowi Klonowskiemu za Jego bezinteresown ˛a pomoc przy sporz ˛adzeniu fotokopii skryptu. Na koniec wiel- kie podzi ˛ekowania mojemu współpracownikowi doktorowi Michałowi Za- widzkiemu za czas i wysiłek poświ ˛econy na dokonanie ostatecznej redakcji technicznej tekstu. Andrzej Indrzejczak Łódź 2018 Bibliografia [1] Bencivenga, E., „Free Logics”, [in:] D. Gabbay, F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, vol. III, pp. 373–426, Reidel Publi- shing Company, Dordrecht 1986. [2] Bencivenga, E., Jaśkowski’s Universally Free Logic, Studia Logica, 2014, 102/6:1095–1102. [3] Cooley, J. C., A Primer of Formal Logic, Macmillan 1942. [4] Copi, I. M., Symbolic Logic, The Macmillan Company, New York 1954. [5] Dubikajtis, L., The life and works of Stanisław Jaśkowski, Studia Lo- gica, 1975, 34/2:109–116. [6] Fitch, F., Symbolic Logic, Ronald Press Co, New York 1952. [7] Garson, J. W., Modal Logic for Philosophers, Cambridge University Press, Cambridge 2006. xxiv Bibliografia [8] Gentzen, G., Untersuchungen über das Logische Schliessen, Mathe- matische Zeitschrift, 1934, 39:176–210 oraz 39:405–431. [9] Hazen, A. P. i F. J. Pelletier, Gentzen and Jaśkowski Natural Deduc- tion: Fundamentally Similar but Importantly Different, Studia Logica, 2014, 102/6:1103–1142. [10] Indrzejczak, A., Natural Deduction, Hybrid Systems and Modal Logics, Springer, Berlin 2010. [11] Indrzejczak, A., Natural Deduction, [in:] Internet Encyclopedia of Phi- losophy, www.iep.utm.edu/nat-ded/. [12] Jaśkowski, S., „Teoria dedukcji oparta na dyrektywach założenio- wych”, [w:] S. Banach, K. Kuratowski, S. Kaczmarz (red.), Ksi ˛ega Pami ˛atkowa I Polskiego Zjazdu Matematycznego, Uniwersytet Jagiel- loński, Kraków 1929. [13] Jaśkowski, S., On the Rules of Suppositions in Formal Logic, Studia Logica, 1934, 1:5–32. [14] Jaśkowski, S., „Recherches sur le systéme de la logique intuitioni- ste”, [in:] Actes du Congrés International de Philosophie Scientifique, Sorbonne, ss. 58–61, Paris 1936. [15] Jaśkowski, S., Elementy logiki matematycznej i metodologii nauk ści- słych, skrypt z wykładów, Toruń 1947. [16] Jaśkowski, S., „O aksjomatyce geometrii brył”, The Report of the VI-th Congress of the Polish Mathematicians, 1948. [17] Jaśkowski, S., Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecz- nych, Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sec. A, 1948, vol. 1:57–77. [18] Jaśkowski, S., Sur les variables propositionnelles dépendantes, Stu- dia Societatis Scientiarum Torunensis, Sec. A, 1948, vol. 1:17–22. [19] Jaśkowski, S., Trois contributions au calcul des propositions bivalent, Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sec. A, 1948, vol. 1:3–15. [20] Jaśkowski, S., Sur certains groupes formés de classes d’ensambles et leur applications aux définitions des nombres, Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sec. A, 1948, vol. 1:23–35. Bibliografia xxv [21] Jaśkowski, S., Sur le probléme de deision de la topologie et de la theorie des groups, Colloquiun Mathematicum, 1948, vol. 1:176–178. [22] Jaśkowski, S., Sur certains axiomes de la géométrie élémentaire, An- nals of the Polish Mathematical Society, 1948, vol. 21, fasc. 2:349–350. [23] Jaśkowski, S., Une modification des définitions fondamentales de la géométrie des corps de A. Tarski, Annals of the Polish Mathematical Society, 1948, vol. 21, fasc. 2:298–301. [24] Jaśkowski, S., Geometria brył, Matematyka, 1949, 1:1–7. [25] Jaśkowski, S., O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla syste- mów dedukcyjnych sprzecznych, Studia Societatis Scientiarum Toru- nensis, 1949, vol. 1:171–172. [26] Jaśkowski, S., Z badań nad rozstrzygalności ˛a rozszerzonej algebry Boole’a, Casopis pro pestovani matematiky a fizyky, 1949, Roc. 74: 136–137. [27] Jaśkowski, S., O interpretacji zdań kategorycznych Arystotelesa w ra- chunku predykatów, Studia Societatis Scientiarum Torunensis, Sec. A, 1950, vol. 2:77–90. [28] Jaśkowski, S., Interpretacja funkcji przyczynowych w rachunku zmien- nej zdaniowej zależnej, Sprawozdania Toruńskiego Towarzystwa Na- ukowego, 1950, no. 1–4:123–124. [29] Jaśkowski, S., On the modal and causal functions in symbolic logic, Studia Philosophica, 1951, vol. 4:71–92. [30] Jaśkowski, S., O symetrii w zdobnictwie i przyrodzie, Warszawa, 1952. [31] Jaśkowski, S., Example of class of systems of ordinary differentila equations having no decision method for existence problems, Bulletin de l’Academie Polonaise des Sciences, 1954, vol. 2/4:153–155. [32] Jaśkowski, S., Undecidability of first order sentences in the theory of free groupoids, Fundamenta Mathematica, 1956, vol. 43:36–45. [33] Jaśkowski, S., Matematyka ornamentu, Warszawa, 1957. xxvi Bibliografia [34] Jaśkowski, S., Über Tautologien, in welchen keine Variable mehr als zweimal vorkommt, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundla- gen der Mathematik, 1963, Bd. 9:219–228. [35] Jaśkowski, S., On formulas in which no individual variable occurs more than twice, Journal of Symbolic Logic, 1966, vol. 31/1:1–6. [36] Kotas, J., A. Pieczkowski, Scientific works of Stanisław Jaśkowski, Studia Logica, 1967, 21:7–16. [37] Łukasiewicz, J., Elementy Logiki matematycznej, PWN 1962 (II wyda- nie). [38] Pietka, D., Stanisław Jaśkowski’s logical investigations, Organon, 2008, 37(40):39–69. [39] Quine, W. Van O., Methods of Logic, Holt, Rinehart and Winston, New York 1950. Stanisław Jaśkowski Elementy logiki matematycznej i metodologii nauk ścisłych (skrypt z wykładów) wydano na prawach r ˛ekopisu Akad. Ksi ˛egarnia Spółdz. „SKRYPT” Toruń 1947 Rozdział 1 Wst ˛ep 1.1. Literatura Dziedzina wiedzy, któr ˛a b ˛edziemy si ˛e tu zajmowali, rozwijała si ˛e w szybkim tempie w ostatnich dziesi ˛ecioleciach. W rozwoju tym znaczny jest wkład uczonych polskich, których badania zjednały sobie uznanie za granic ˛a i wy- warły wyraźny wpływ. Wyniki badań znajduj ˛a si ˛e przeważnie w pracach spe- cjalnych, w czasopismach logicznych, matematycznych lub filozoficznych, cz ˛esto s ˛a opublikowane w postaci streszczeń. W j ˛ezyku polskim brakuje drukowanego podr ˛ecznika, który by ujmował najważniejsze wyniki z tego zakresu. Podam tylko szereg ksi ˛ażek, z których czytelnik może uzupełnić swe wiadomości. Z ksi ˛ażek polskich polecam dla pocz ˛atkuj ˛acych przede wszystkim niewielk ˛a ksi ˛ażeczk ˛e, przeznaczon ˛a na lektur ˛e dodatkow ˛a dla młodzieży licealnej: · Tarski Alfred, O logice matematycznej i metodzie dedukcyjnej. Biblio- teczka matematyczna N 3-4-5, Ksi ˛ażnica–Atlas, Lwów–Warszawa. Ksi ˛ażka ta nie zawiera systematycznego wykładu, lecz może służyć jako cenne uzupełnienie i zbiór zadań. Wobec braku podr ˛ecznika studenci uni- wersytetów korzystali przeważnie ze skryptów. Wymieni ˛e tu: · Ajdukiewicz Kazimierz, Główne zasady metodologii nauk i logiki formal- nej. Skrypt autoryzowany zredagował M. Presburger. Koło Matematyczno- -Fizyczne Słuch. Un. Warsz., Warszawa 1928 (Litografia). · Łukasiewicz Jan, Elementy logiki matematycznej. Skrypt autoryzowany opracował M. Presburger. Koło Matematyczno- -Fizyczne Słuch. Un. Warsz., Warszawa 1929 (Litografia). 3 4 Rozdział 1 Podr ˛ecznikiem przeznaczonym w zasadzie dla studentów wydziału hu- manistycznego jest: · Kotarbiński Tadeusz, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i meto- dologii nauk. Ossolineum, Lwów 1926. Podr ˛ecznik ten zawiera m.in. streszczenie niektórych pogl ˛adów Stani- sława Leśniewskiego (profesor Uniwersytetu Warszawskiego, zmarł w 1939 r. przed wojn ˛a), który niestety nie pozostawił dzieła drukowanego o przyst ˛epniejszym charakterze. Oryginalne a odmienne od „szkoły warszawskiej” pogl ˛ady zawieraj ˛a ksi ˛ażki: · Chwistek Leon, Granice nauki. Zarys logiki i metodologii nauk ścisłych. Ksi ˛ażnica–Atlas, Lwów–Warszawa 1935. · Śleszyński Jan, Teoria dowodu. Podług wykładów uniwersyteckich opra- cował S. K. Zaremba, Koło Matematyczno-Fizyczne Ucz. Un. Jagielloń- skiego, Kraków, Tom I – 1925, Tom II – 1929. Literatura w j ˛ezykach obcych również nie jest obszerna, spośród przys- t ˛epniejszych podr ˛eczników wymieni ˛e: · Hilbert David und Ackermann W[ilhelm], Grundzuge der Theoretischen Logik. II Aufl. Springer, Berlin 1938. · Carnap Rudolph, Abriss der Logistik. Wien 1929. Charakter popularyzuj ˛acy posiada ciekawa ksi ˛ażka: · Russell Bertrand, Introduction to mathematical philosophy. London1921. To samo w tłumaczeniu: Einfuhrung in die Mathematische Philosophie. Ins deutsche übertreten von E. J. Gumpel und W. Gordon, Drei Masken, Mun- chen 1923. Nie znam literatury zagranicznej z okresu wojny 1939–1945. 1.2. Co rozumieć b ˛edziemy przez metodologi ˛e Pisz ˛e na tablicy „1 + 1 = 2”. Jest to pewne twierdzenie spisane w powszech- nie przyj ˛etym znakowaniu arytmetycznym, pewne zdanie wypowiedziane w j ˛ezyku arytmetyki – jak inaczej możemy powiedzieć. Jest to zarazem kon- kretny, materialny napis na tablicy, o tym napisie możemy wypowiadać
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Elementy logiki matematycznej i metodologii nauk ścisłych (skrypt z wykładów)
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: