Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00278 006523 13231685 na godz. na dobę w sumie
Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta - ebook/pdf
Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 184
Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego Język publikacji: polski
ISBN: 9788323534143 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-45%), audiobook).
Zwięzły wykład podstawowych zagadnień teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta. Wśród omówionych tematów znajdują się: rachunek funkcyjny i twierdzenia spektralne, operatory zwarte, śladowe i Hilberta-Schmidta, samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych oraz jednoparametrowe grupy operatorów. Dyskusja operatorów nieograniczonych oparta jest w znacznej mierze na narzędziu z teorii algebr operatorów tak zwanej z-transformacie, która pozwala zakodować skomplikowane informacje o operatorach nieograniczonych w operatorach ograniczonych, dając w ten sposób możliwość uniknięcia wielu problemów technicznych. Publikacja przeznaczona jest dla studentów matematyki i fizyki oraz dla naukowców z tych dziedzin. Przedstawiony wykład zakłada podstawową wiedzę z analizy matematycznej i algebry, a także z teorii funkcji analitycznych i podstaw analizy funkcjonalnej oraz teorii przestrzeni Hilberta. Każdy rozdział kończą syntetyczne notatki ze źródłami zadań i przykładów oraz z możliwymi drogami dalszego rozwoju teorii. The book provides a concise and self-contained exposition of introductory topics in the theory of operators on Hilbert spaces. The topics covered include functional calculus and various versions of spectral theorems both for bounded and unbounded operators, compact operators, the trace and trace-class and Hilbert-Schmidt operators, selfadjoint extensions of symmetric operators and one-parameter groups of unitary operators. The treatment of unbounded operators is largely based on a tool from theory of operator algebras, the so called z-transform. The transform makes it possible to encode complicated information about unbounded operators by bounded ones and thus avoid many intricacies of standard approach. The book is intended for students of mathematics and physics as well as scientists working in those areas. Prerequisites include basic knowledge of analysis, algebra, measure theory as well as analytic functions and rudiments of functional analysis and Hilbert spaces. Each chapter ends with a brief note indicating sources for examples, exercise problems and further developments of the theory.
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Wst¦p Teoria operatorów na przestrzeni Hilberta stanowi jedno z wielkich osi¡- gni¦¢ analizy funkcjonalnej i znajduje zastosowania w niezliczonych dziaªach matematyki i zyki. Tematyka ta jest tak»e punktem wyj±cia dla fascynu- j¡cych uogólnie« takich jak teoria C˚-algebr, algebr von Neumanna, a tak»e nieprzemienna geometria i wiele innych gaª¦zi wspóªczesnej matematyki. Niniejsza ksi¡»ka oparta jest na rozszerzonej wersji notatek do wykªadu prowadzonego przez autora na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskie- go, a w konsekwencji jej podstawowymi celami s¡: ‚ przedstawienie kanonu wiedzy z zakresu teorii operatorów na przes- trzeniach Hilberta wraz z kompletnymi i mo»liwie bezpo±rednimi do- wodami, ‚ przygotowanie czytelnika do dalszych studiów zarówno samej teorii ope- ratorów, jak i teorii algebr operatorów (C˚-algebr i algebr von Neu- manna). Ocena stopnia realizacji pierwszego z powy»szych celów zale»y od tego, co uznamy za kanon wiedzy na temat operatorów na przestrzeniach Hilberta. Faktem jest, »e pewne fragmenty tej teorii zostaªy z premedytacj¡ pomini¦te  tak»e po to, aby ksi¡»ka nie zamieniªa si¦ w opasªy tom. Wa»niejszym jednak powodem okrojenia materiaªu do niezb¦dnego minimum jest istnienie ogromnej ilo±ci wspaniaªych monograi i podr¦czników, które pokrywaj¡ znacznie wi¦kszy zakres materiaªu z omawianej dziedziny (np. [AkGl, Kat, ReSi1, ReSi2] i szczególnie [Mau]). Jednak studiowanie ich mo»e okaza¢ si¦ do±¢ trudnym wyzwaniem, do którego dobrym przygotowaniem mo»e by¢ lektura niniejszej ksi¡»ki. Materiaª podzielony jest na dwie gªówne cz¦±ci. Pierwsza z nich po±wi¦- cona jest operatorom ograniczonym, a druga  operatorom nieograniczonym. W pracy z tymi ostatnimi zastosowali±my nowe i bardzo u»yteczne narz¦dzie wprowadzone do literatury ±wiatowej przez S.L. Woronowicza. Jest to tak zwana z-transformata operatora domkni¦tego. Wyprzedzaj¡c szczegóªowe wprowadzenie z-transformaty w rozdziale 9, powiemy, i» jest ona form¡ za- kodowania peªnej informacji o domkni¦tym i g¦sto zdeniowanym operatorze na przestrzeni Hilberta w operatorze ograniczonym na tej przestrzeni. Co 10 WST†P wi¦cej, pozwala ona na ªatwe i eleganckie uzyskanie wielu wa»nych wyników teorii. Spo±ród wspaniaªych podr¦czników umieszczonych w spisie literatury na ko«cu ksi¡»ki wi¦kszo±¢ oferuje wykªad rozwijaj¡cy najpierw pewne frag- menty teorii algebr Banacha i C˚-algebr, a nast¦pnie wyprowadzaj¡cy z nich najwa»niejsze twierdzenia teorii operatorów, a dokªadniej wszelkie wersje twierdzenia spektralnego. Oznacza to jednak, i» czytelnik musi najpierw zmierzy¢ si¦ z do±¢ wyranowan¡ analiz¡ funkcjonaln¡, aby potem zas- tosowa¢ j¡ w konkretnych przypadkach pochodz¡cych z teorii operatorów. Filozoa wykªadu zawartego w niniejszej ksi¡»ce jest inna: teoria spektralna operatorów samosprz¦»onych (ograniczonych i nieograniczonych) jest przed- stawiona bez gª¦bokiego zanurzania si¦ w teori¦ algebr Banacha. Warto pami¦ta¢, »e wªa±nie teoria algebr Banacha (w tym C˚-algebr i algebr von Neumanna) stanowi naturalne uogólnienie teorii operatorów na przestrze- niach Hilberta. Dlatego te» algebry Banacha, które pojawiaj¡ si¦ w ró»nych fragmentach ksi¡»ki, graj¡ rol¦ ciekawych przykªadów, a nie kluczowych narz¦dzi.1 W nadziei autora takie podej±cie do teorii operatorów stanowi cho¢ cz¦±ciow¡ realizacj¦ drugiego z wymienionych powy»ej celów ksi¡»ki. Poniewa» ksi¡»ka ma stanowi¢ niezbyt obszerne kompendium  czy mo»e poradnik  teorii operatorów, wykªad zostaª celowo pozbawiony ¢wicze« i przykªadów. Na ko«cu ka»dego rozdziaªu znajduj¡ si¦ notatki wskazuj¡ce pozycje literatury, w których mo»na znale¹¢ doskonaªe przykªady i ¢wicze- nia z omawianych dziaªów. Dodatkowo umieszczamy tam czasem krótkie informacje o mo»liwych uogólnieniach i wycieczki w bardziej wyranowane tematy. Wykªady, na których oparta jest koncepcja ksi¡»ki byªy przeznaczone dla studentów, którzy mieli ju» za sob¡ kursy analizy matematycznej (z teori¡ caªki), algebry liniowej i tak zwany kurs Analizy Funkcjonalnej I. Ten ostatni wykªad obejmuje zazwyczaj podstawy teorii przestrzeni Banacha, w tym liczne informacje na temat przestrzeni Hilberta. W szczególno±ci zakªadamy znajomo±¢: ‚ podstawowej analizy matematycznej i algebry liniowej, ‚ podstaw topologii ogólnej (poj¦cia przestrzeni lokalnie zwartej, ci¡gu uogólnionego i jego granicy, twierdzenia Stone aWeierstrassa), ‚ elementarnej analizy zespolonej jednej zmiennej (poj¦cia holomorcz- no±ci, wzoru Cauchy ego, twierdzenia Liouville a) i wielu zmiennych (poj¦cia holomorczno±ci i wielowymiarowego wzoru Cauchy ego), ‚ teorii miary i caªki (w szczególno±ci twierdzenia o zbie»no±ci zmajory- zowanej, miar produktowych i twierdzenia Fubiniego, miar zespolonych, 1Wyj¡tkiem jest rozdziaª 7, w którym korzystamy z kilku podstawowych elementów teorii C˚-algebr szczegóªowo opisanych w uzupeªnieniu U.5.2. WST†P 11 wariacji miary, twierdzenia RadonaNikodyma, twierdzenia Riesza o re- prezentacji), ‚ poj¦cia przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta, przestrzeni Lp, ope- ratora ograniczonego i normy operatorowej, otwarto±ci zbioru operato- rów odwracalnych, ‚ lematu Riesza (czyli twierdzenia o reprezentacji ci¡gªego funkcjonaªu na przestrzeni Hilberta) i zwi¡zku ograniczonych form póªtoraliniowych i operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta, poj¦cia operatora sprz¦»onego do ograniczonego operatora na przestrzeni Hilberta. B¦dziemy tak»e u»ywa¢ poj¦cia caªki z funkcji ci¡gªej na zwartym przedziale o warto±ciach w przestrzeni Banacha. Jest to zagadnienie omawiane zapewne na ka»dym kursie równa« ró»niczkowych. W wersji znacznie ogólniejszej teoria takich caªek przedstawiona jest np. w ksi¡»ce [Rud2]. Praktycznie ka»de z powy»szych zagadnie« nale»y do standardowego kursu analizy, analizy zespolonej i teorii miary. Podr¦czniki takie jak [ReSi1, Rud1] obejmuj¡ znakomit¡ wi¦kszo±¢ z nich. Dla wygody czytelnika w uzu- peªnieniach zebrali±my kilka najpotrzebniejszych wyników (w tym klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej takie jak twierdzenie BanachaSteinhausa, twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, czy twierdzenie o wykresie domkni¦- tym) z mo»liwie krótkimi i nowoczesnymi dowodami. Wszystkie rozwa»ane przestrzenie wektorowe b¦d¡ nad ciaªem liczb ze- spolonych. B¦dziemy równie» stosowa¢ pewne konwencje notacyjne znane z literatury zycznej. W szczególno±ci iloczyn skalarny (oznaczany sym- bolem x¨ ¨y) b¦dzie zawsze liniowy w drugim argumencie. Ponadto b¦dziemy u»ywa¢ bardzo wygodnej notacji bra i ket, któr¡ pokrótce wyja±nimy. Niech H b¦dzie przestrzeni¡ Hilberta. Wówczas ka»dy wektor ψ P H wyz- nacza dokªadnie jedno odwzorowanie liniowe C Ñ H przeprowadzaj¡ce 1 P C na ψ P H. Oznaczamy je symbolem ψy. Teraz rozwa»my na C standardow¡ struktur¦ przestrzeni Hilberta (czyli tak¡, przy której t1u jest baz¡ ortonormaln¡). Mo»emy wówczas rozwa»y¢ odwzorowanie sprz¦»one ψy˚ do ψy, które jest ograniczonym funkcjonaªem na H przeprowadzaj¡cym dowolny wektor ϕ na liczb¦ xψ ϕy P C. Odwzoro- wanie to oznaczamy symbolem xψ . W szczególno±ci zªo»enie xψ1 ˝ ψ2y jest odwzorowaniem liniowym C Ñ C polegaj¡cym na mno»eniu przez skalar xψ1 ψ2y, natomiast zªo»enie ψ2y ˝ xψ1 (zapisywane jako ψ2yxψ1 ) jest od- wzorowaniem H Ñ H przeprowadzaj¡cym dowolny ϕ P H na xψ1 ϕy ψ2. Wa»nym wzorem znanym z teorii przestrzeni z iloczynem skalarnym, z którego b¦dziemy intensywnie korzysta¢ jest formuªa polaryzacyjna. Ma ona najró»niejsze  czasem caªkiem wyranowane  sformuªowania, lecz my skorzystamy z nast¦puj¡cej prostej wersji: niech F b¦dzie form¡ póª- toraliniow¡ (antyliniow¡ wzgl¦dem pierwszego argumentu) na przestrzeni 12 wektorowej H. Wówczas Fpξ, ηq “ 1 3ÿ WST†P ikFpη ` ikξ, η ` ikξq, ξ, η P H. 4 k“0 Materiaª ksi¡»ki jest w miar¦ mo»liwo±ci zorganizowany w sposób li- niowo uporz¡dkowany, tj. kolejny rozdziaª korzysta z wyników poprzed- niego. Wyj¡tkami s¡ przede wszystkim rozdziaª 6 po±wi¦cony poj¦ciu ±ladu operatora i rozdziaª 7 omawiaj¡cy rachunek funkcyjny dla rodzin operato- rów samosprz¦»onych i dla operatorów normalnych. Wyniki tych rozdzia- ªów nie s¡ wykorzystywane w dalszych cz¦±ciach ksi¡»ki. Kolejny wyj¡tek stanowi rozdziaª 10 po±wi¦cony teorii spektralnej operatorów nieograniczo- nych. Wyniki tam przedstawione s¡ potrzebne dopiero w rozdziale 12. Jak ju» wspomnieli±my, w cz¦±ci 3 zgromadzony zostaª dodatkowy mate- riaª potrzebny w ró»nych fragmentach kursu. Pierwszym umieszczonym tam wynikiem jest twierdzenie BanachaSteinhausa (uzupeªnienie U.1), z którego korzystamy od samego pocz¡tku ksi¡»ki. Z kolei twierdzenie Dynkina o π- i λ-ukªadach umieszczone w uzupeªnieniu U.2 wykorzystujemy w rozdziale 4, a informacje o iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta (uzupeªnienie U.3) s¡ potrzebne w rozdziale 6 (dokªadniej w podrozdziale 6.3). Twierdze- nie o wykresie domkni¦tym (umieszczone w uzupeªnieniu U.4) potrzebne jest w caªej cz¦±ci 2. Wreszcie uzupeªnienie U.5 po±wi¦cone ilorazom przestrzeni Banacha i C˚-algebr zawiera wyniki potrzebne we wspomnianym powy»ej rozdziale 7. Pragn¦ podzi¦kowa¢ mojemu mistrzowi profesorowi Stanisªawowi L. Wo- ronowiczowi za lata pracy, w czasie których przekazaª mi cz¦±¢ swojej wiedzy na temat operatorów na przestrzeniach Hilberta. Dzi¦kuj¦ równie» kolegom, wspóªpracownikom i studentom z Katedry Metod Matematycznych Fizyki Wydziaªu Fizyki oraz z Wydziaªu Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uni- wersytetu Warszawskiego oraz innych instytucji, w tym szczególnie Katarzy- nie Budzik, Pawªowi Czajce, Janowi Derezi«skiemu, Danielowi Siemssenowi, Pawªowi Strzeleckiemu oraz Wªodzimierzowi ‘l¦zakowi, za cenne uwagi i ra- dy dotycz¡ce materiaªu zawartego w ksi¡»ce. Piotr Mikoªaj Soªtan Warszawa, lipiec 2018
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: