Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00460 007368 13278196 na godz. na dobę w sumie
Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta - ebook/pdf
Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta - ebook/pdf
Autor: Liczba stron:
Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-235-2799-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Zwięzły wykład podstawowych zagadnień teorii operatorów na przestrzeniach Hilberta. Wśród omówionych tematów znajdują się: rachunek funkcyjny i twierdzenia spektralne, operatory zwarte, śladowe i Hilberta-Schmidta, samosprzężone rozszerzenia operatorów symetrycznych oraz jednoparametrowe grupy operatorów.

Dyskusja operatorów nieograniczonych oparta jest w znacznej mierze na narzędziu z teorii algebr operatorów – tak zwanej z-transformacie, która pozwala zakodować skomplikowane informacje o operatorach nieograniczonych w operatorach ograniczonych, dając w ten sposób możliwość uniknięcia wielu problemów technicznych.

Publikacja przeznaczona jest dla studentów matematyki i fizyki oraz dla naukowców z tych dziedzin. Przedstawiony wykład zakłada podstawową wiedzę z analizy matematycznej i algebry, a także z teorii funkcji analitycznych i podstaw analizy funkcjonalnej oraz teorii przestrzeni Hilberta.

Każdy rozdział kończą syntetyczne notatki ze źródłami zadań i przykładów oraz z możliwymi drogami dalszego rozwoju teorii.

******

Elements of the Theory of Operators on Hilbert Space

The book provides a concise and self-contained exposition of introductory topics in the theory of operators on Hilbert spaces. The topics covered include functional calculus and various versions of spectral theorems both for bounded and unbounded operators, compact operators, the trace and trace-class and Hilbert-Schmidt operators, selfadjoint extensions of symmetric operators and one-parameter groups of unitary operators.

The treatment of unbounded operators is largely based on a tool from theory of operator algebras, the so called z-transform. The transform makes it possible to encode complicated information about unbounded operators by bounded ones and thus avoid many intricacies of standard approach.

The book is intended for students of mathematics and physics as well as scientists working in those areas. Prerequisites include basic knowledge of analysis, algebra, measure theory as well as analytic functions and rudiments of functional analysis and Hilbert spaces.

Each chapter ends with a brief note indicating sources for examples, exercise problems and further developments of the theory.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Wstęp Teoria operatorów na przestrzeni Hilberta stanowi jedno z wielkich osią- gnięć analizy funkcjonalnej i znajduje zastosowania w niezliczonych działach matematyki i fizyki. Tematyka ta jest także punktem wyjścia dla fascynu- jących uogólnień takich jak teoria C˚-algebr, algebr von Neumanna, a także nieprzemienna geometria i wiele innych gałęzi współczesnej matematyki. Niniejsza książka oparta jest na rozszerzonej wersji notatek do wykładu prowadzonego przez autora na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskie- go, a w konsekwencji jej podstawowymi celami są: ‚ przedstawienie kanonu wiedzy z zakresu teorii operatorów na przes- trzeniach Hilberta wraz z kompletnymi i możliwie bezpośrednimi do- wodami, ‚ przygotowanie czytelnika do dalszych studiów zarówno samej teorii ope- ratorów, jak i teorii algebr operatorów (C˚-algebr i algebr von Neu- manna). Ocena stopnia realizacji pierwszego z powyższych celów zależy od tego, co uznamy za kanon wiedzy na temat operatorów na przestrzeniach Hilberta. Faktem jest, że pewne fragmenty tej teorii zostały z premedytacją pominięte – także po to, aby książka nie zamieniła się w opasły tom. Ważniejszym jednak powodem okrojenia materiału do niezbędnego minimum jest istnienie ogromnej ilości wspaniałych monografii i podręczników, które pokrywają znacznie większy zakres materiału z omawianej dziedziny (np. [AkGl, Kat, ReSi1, ReSi2] i szczególnie [Mau]). Jednak studiowanie ich może okazać się dość trudnym wyzwaniem, do którego dobrym przygotowaniem może być lektura niniejszej książki. Materiał podzielony jest na dwie główne części. Pierwsza z nich poświę- cona jest operatorom ograniczonym, a druga – operatorom nieograniczonym. W pracy z tymi ostatnimi zastosowaliśmy nowe i bardzo użyteczne narzędzie wprowadzone do literatury światowej przez S.L. Woronowicza. Jest to tak zwana z-transformata operatora domkniętego. Wyprzedzając szczegółowe wprowadzenie z-transformaty w rozdziale 9, powiemy, iż jest ona formą za- kodowania pełnej informacji o domkniętym i gęsto zdefiniowanym operatorze na przestrzeni Hilberta w operatorze ograniczonym na tej przestrzeni. Co 10 WSTĘP więcej, pozwala ona na łatwe i eleganckie uzyskanie wielu ważnych wyników teorii. Spośród wspaniałych podręczników umieszczonych w spisie literatury na końcu książki większość oferuje wykład rozwijający najpierw pewne frag- menty teorii algebr Banacha i C˚-algebr, a następnie wyprowadzający z nich najważniejsze twierdzenia teorii operatorów, a dokładniej wszelkie wersje twierdzenia spektralnego. Oznacza to jednak, iż czytelnik musi najpierw zmierzyć się z dość wyrafinowaną analizą funkcjonalną, aby potem zas- tosować ją w konkretnych przypadkach pochodzących z teorii operatorów. Filozofia wykładu zawartego w niniejszej książce jest inna: teoria spektralna operatorów samosprzężonych (ograniczonych i nieograniczonych) jest przed- stawiona bez głębokiego zanurzania się w teorię algebr Banacha. Warto pamiętać, że właśnie teoria algebr Banacha (w tym C˚-algebr i algebr von Neumanna) stanowi naturalne uogólnienie teorii operatorów na przestrze- niach Hilberta. Dlatego też algebry Banacha, które pojawiają się w różnych fragmentach książki, grają rolę ciekawych przykładów, a nie kluczowych narzędzi.1 W nadziei autora takie podejście do teorii operatorów stanowi choć częściową realizację drugiego z wymienionych powyżej celów książki. Ponieważ książka ma stanowić niezbyt obszerne kompendium – czy może poradnik – teorii operatorów, wykład został celowo pozbawiony ćwiczeń i przykładów. Na końcu każdego rozdziału znajdują się notatki wskazujące pozycje literatury, w których można znaleźć doskonałe przykłady i ćwicze- nia z omawianych działów. Dodatkowo umieszczamy tam czasem krótkie informacje o możliwych uogólnieniach i wycieczki w bardziej wyrafinowane tematy. Wykłady, na których oparta jest koncepcja książki były przeznaczone dla studentów, którzy mieli już za sobą kursy analizy matematycznej (z teorią całki), algebry liniowej i tak zwany kurs „Analizy Funkcjonalnej I”. Ten ostatni wykład obejmuje zazwyczaj podstawy teorii przestrzeni Banacha, w tym liczne informacje na temat przestrzeni Hilberta. W szczególności zakładamy znajomość: ‚ podstawowej analizy matematycznej i algebry liniowej, ‚ podstaw topologii ogólnej (pojęcia przestrzeni lokalnie zwartej, ciągu uogólnionego i jego granicy, twierdzenia Stone’a–Weierstrassa), ‚ elementarnej analizy zespolonej jednej zmiennej (pojęcia holomorficz- ności, wzoru Cauchy’ego, twierdzenia Liouville’a) i wielu zmiennych (pojęcia holomorficzności i wielowymiarowego wzoru Cauchy’ego), ‚ teorii miary i całki (w szczególności twierdzenia o zbieżności zmajory- zowanej, miar produktowych i twierdzenia Fubiniego, miar zespolonych, 1Wyjątkiem jest rozdział 7, w którym korzystamy z kilku podstawowych elementów teorii C˚-algebr szczegółowo opisanych w uzupełnieniu U.5.2. WSTĘP 11 wariacji miary, twierdzenia Radona–Nikodyma, twierdzenia Riesza o re- prezentacji), ‚ pojęcia przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta, przestrzeni Lp, ope- ratora ograniczonego i normy operatorowej, otwartości zbioru operato- rów odwracalnych, ‚ lematu Riesza (czyli twierdzenia o reprezentacji ciągłego funkcjonału na przestrzeni Hilberta) i związku ograniczonych form półtoraliniowych i operatorów ograniczonych na przestrzeni Hilberta, pojęcia operatora sprzężonego do ograniczonego operatora na przestrzeni Hilberta. Będziemy także używać pojęcia całki z funkcji ciągłej na zwartym przedziale o wartościach w przestrzeni Banacha. Jest to zagadnienie omawiane zapewne na każdym kursie równań różniczkowych. W wersji znacznie ogólniejszej teoria takich całek przedstawiona jest np. w książce [Rud2]. Praktycznie każde z powyższych zagadnień należy do standardowego kursu analizy, analizy zespolonej i teorii miary. Podręczniki takie jak [ReSi1, Rud1] obejmują znakomitą większość z nich. Dla wygody czytelnika w uzu- pełnieniach zebraliśmy kilka najpotrzebniejszych wyników (w tym klasyczne twierdzenia analizy funkcjonalnej takie jak twierdzenie Banacha–Steinhausa, twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, czy twierdzenie o wykresie domknię- tym) z możliwie krótkimi i nowoczesnymi dowodami. Wszystkie rozważane przestrzenie wektorowe będą nad ciałem liczb ze- spolonych. Będziemy również stosować pewne konwencje notacyjne znane z literatury fizycznej. W szczególności iloczyn skalarny (oznaczany sym- bolem x¨ ¨y) będzie zawsze liniowy w drugim argumencie. Ponadto będziemy używać bardzo wygodnej notacji „bra” i „ket”, którą pokrótce wyjaśnimy. Niech H będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas każdy wektor ψ P H wyz- nacza dokładnie jedno odwzorowanie liniowe C Ñ H przeprowadzające 1 P C na ψ P H. Oznaczamy je symbolem ψy. Teraz rozważmy na C standardową strukturę przestrzeni Hilberta (czyli taką, przy której t1u jest bazą ortonormalną). Możemy wówczas rozważyć odwzorowanie sprzężone ψy˚ do ψy, które jest ograniczonym funkcjonałem na H przeprowadzającym dowolny wektor ϕ na liczbę xψ ϕy P C. Odwzoro- wanie to oznaczamy symbolem xψ . W szczególności złożenie xψ1 ˝ ψ2y jest odwzorowaniem liniowym C Ñ C polegającym na mnożeniu przez skalar xψ1 ψ2y, natomiast złożenie ψ2y ˝ xψ1 (zapisywane jako ψ2y xψ1 ) jest od- wzorowaniem H Ñ H przeprowadzającym dowolny ϕ P H na xψ1 ϕy ψ2. Ważnym wzorem znanym z teorii przestrzeni z iloczynem skalarnym, z którego będziemy intensywnie korzystać jest formuła polaryzacyjna. Ma ona najróżniejsze – czasem całkiem wyrafinowane – sformułowania, lecz my skorzystamy z następującej prostej wersji: niech F będzie formą pół- toraliniową (antyliniową względem pierwszego argumentu) na przestrzeni 12 WSTĘP wektorowej H. Wówczas F pξ, ηq “ 1 4 3 ÿ k“0 ikF pη ` ikξ, η ` ikξq, ξ, η P H. Materiał książki jest w miarę możliwości zorganizowany w sposób li- niowo uporządkowany, tj. kolejny rozdział korzysta z wyników poprzed- niego. Wyjątkami są przede wszystkim rozdział 6 poświęcony pojęciu śladu operatora i rozdział 7 omawiający rachunek funkcyjny dla rodzin operato- rów samosprzężonych i dla operatorów normalnych. Wyniki tych rozdzia- łów nie są wykorzystywane w dalszych częściach książki. Kolejny wyjątek stanowi rozdział 10 poświęcony teorii spektralnej operatorów nieograniczo- nych. Wyniki tam przedstawione są potrzebne dopiero w rozdziale 12. Jak już wspomnieliśmy, w części 3 zgromadzony został dodatkowy mate- riał potrzebny w różnych fragmentach kursu. Pierwszym umieszczonym tam wynikiem jest twierdzenie Banacha–Steinhausa (uzupełnienie U.1), z którego korzystamy od samego początku książki. Z kolei twierdzenie Dynkina o π- i λ-układach umieszczone w uzupełnieniu U.2 wykorzystujemy w rozdziale 4, a informacje o iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta (uzupełnienie U.3) są potrzebne w rozdziale 6 (dokładniej w podrozdziale 6.3). Twierdze- nie o wykresie domkniętym (umieszczone w uzupełnieniu U.4) potrzebne jest w całej części 2. Wreszcie uzupełnienie U.5 poświęcone ilorazom przestrzeni Banacha i C˚-algebr zawiera wyniki potrzebne we wspomnianym powyżej rozdziale 7. Pragnę podziękować mojemu mistrzowi profesorowi Stanisławowi L. Wo- ronowiczowi za lata pracy, w czasie których przekazał mi część swojej wiedzy na temat operatorów na przestrzeniach Hilberta. Dziękuję również kolegom, współpracownikom i studentom z Katedry Metod Matematycznych Fizyki Wydziału Fizyki oraz z Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uni- wersytetu Warszawskiego, w tym szczególnie Katarzynie Budzik, Pawłowi Czajce, Janowi Derezińskiemu, Danielowi Siemssenowi i Pawłowi Strzelec- kiemu, za cenne uwagi i rady dotyczące materiału zawartego w książce. Piotr Mikołaj Sołtan Warszawa, luty 2017
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Elementy teorii operatorów na przestrzeni Hilberta
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: