Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00504 006401 11255529 na godz. na dobę w sumie
Excel w zastosowaniach inżynieryjnych - książka
Excel w zastosowaniach inżynieryjnych - książka
Autor: Liczba stron: 168
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 83-246-1108-8 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> aplikacje biurowe >> excel
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Poznaj ukryte możliwości Excela

Excel 2003 to narzędzie, z którym zetknął się chyba każdy użytkownik komputera. Ten arkusz kalkulacyjny stanowiący element pakietu biurowego MS Office wykorzystywany jest w firmach, szkołach, organizacjach i przez użytkowników prywatnych. Za jego pomocą wystawiane są faktury, przygotowywane zestawienia, wykresy, listy danych i inne dokumenty. Jednak Excel nie jest programem przeznaczonym tylko dla handlowców i finansistów. To także potężne narzędzie dla inżynierów, projektantów i naukowców, którzy z pewnością docenią jego możliwości przeprowadzania nawet najbardziej złożonych obliczeń, symulacji i analiz.

'Excel w zastosowaniach inżynieryjnych' to książka, dzięki której dowiesz się, w jaki sposób wykorzystać wszystkie niesamowite możliwości tego programu. Czytając ją, nauczysz się tworzyć wykresy, przeprowadzać analizy trendów, rozwiązywać równania liniowe, nieliniowe i różniczkowe za pomocą algorytmów numerycznych oraz korzystać z modułu Solver. Dowiesz się, w jaki sposób wykonywać obliczenia statystyczne przy użyciu Analysis Toolpak oraz automatyzować działanie programu z wykorzystaniem makropoleceń i języka VBA.

Wykorzystaj w swojej pracy potężne możliwości Excela.
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Excel w zastosowaniach in¿ynieryjnych Autor: Zbigniew Smogur ISBN: 83-7197-641-0 Stron: 168 Poznaj ukryte mo¿liwo(cid:156)ci Excela (cid:149) Jak tworzy(cid:230) diagramy, wykresy i tabele? (cid:149) W jaki spos(cid:243)b wykorzystywa(cid:230) w Excelu algorytmy numeryczne? (cid:149) Jak przeprowadzi(cid:230) z‡o¿one analizy statystyczne? Excel 2003 to narzŒdzie, z kt(cid:243)rym zetkn„‡ siŒ chyba ka¿dy u¿ytkownik komputera. Ten arkusz kalkulacyjny stanowi„cy element pakietu biurowego MS Office wykorzystywany jest w firmach, szko‡ach, organizacjach i przez u¿ytkownik(cid:243)w prywatnych. Za jego pomoc„ wystawiane s„ faktury, przygotowywane zestawienia, wykresy, listy danych i inne dokumenty. Jednak Excel nie jest programem przeznaczonym tylko dla handlowc(cid:243)w i finansist(cid:243)w. To tak¿e potŒ¿ne narzŒdzie dla in¿ynier(cid:243)w, projektant(cid:243)w i naukowc(cid:243)w, kt(cid:243)rzy z pewno(cid:156)ci„ doceni„ jego mo¿liwo(cid:156)ci przeprowadzania nawet najbardziej z‡o¿onych obliczeæ, symulacji i analiz. (cid:132)Excel w zastosowaniach in¿ynieryjnych(cid:148) to ksi„¿ka, dziŒki kt(cid:243)rej dowiesz siŒ, w jaki spos(cid:243)b wykorzysta(cid:230) wszystkie niesamowite mo¿liwo(cid:156)ci tego programu. Czytaj„c j„, nauczysz siŒ tworzy(cid:230) wykresy, przeprowadza(cid:230) analizy trend(cid:243)w, rozwi„zywa(cid:230) r(cid:243)wnania liniowe, nieliniowe i r(cid:243)¿niczkowe za pomoc„ algorytm(cid:243)w numerycznych oraz korzysta(cid:230) z modu‡u Solver. Dowiesz siŒ, w jaki spos(cid:243)b wykonywa(cid:230) obliczenia statystyczne przy u¿yciu Analysis Toolpak oraz automatyzowa(cid:230) dzia‡anie programu z wykorzystaniem makropoleceæ i jŒzyka VBA. Przeczytasz ponadto o mo¿liwo(cid:156)ciach wsp(cid:243)‡pracy Excela z innymi aplikacjami. (cid:149) Tworzenie z‡o¿onych formu‡ obliczeniowych (cid:149) Wykresy i diagramy (cid:149) Przybli¿anie i szacowanie warto(cid:156)ci za pomoc„ regresji liniowej i wielomianowej (cid:149) Algorytmy ca‡kowania i r(cid:243)¿niczkowania numerycznego (cid:149) Rozwi„zywanie r(cid:243)wnaæ i uk‡ad(cid:243)w r(cid:243)wnaæ (cid:149) Obliczenia na szeregach liczbowych (cid:149) Analiza statystyczna (cid:149) Makropolecenia i VBA (cid:149) Wymiana danych z innymi programami Wykorzystaj w swojej pracy potŒ¿ne mo¿liwo(cid:156)ci Excela Wydawnictwo Helion ul. Ko(cid:156)ciuszki 1c 44-100 Gliwice tel. 032 230 98 63 e-mail: helion@helion.pl Spis treści Wstęp ............................................................................................... 7 Rozdział 1. Wprowadzenie i przedstawienie możliwości ............................................ 9 1.1. Precyzja, zakres liczb, błędy i dostępne funkcje .......................................................... 9 1.2. Zaokrąglanie wyników i wartości .............................................................................. 11 1.3. Dostępne operatory i funkcje ..................................................................................... 12 1.4. Funkcje dodatku Analysis ToolPak ........................................................................... 28 1.5. Inne narzędzia wykorzystywane w obliczeniach oraz zastosowaniach inżynieryjnych i naukowych ................................................... 31 1.6. Podsumowanie ........................................................................................................... 31 1.7. Zadania do samodzielnego wykonania ...................................................................... 32 Rozdział 2. Praca z tabelami i formułami ............................................................ 33 2.1. Używanie w formułach obliczeniowych odwołań do komórek i zakresów ............... 34 2.2. Używanie w formułach obliczeniowych nazw komórek i nazw zakresów ................ 35 2.3. Obliczanie listy wartości zakresów ............................................................................ 37 2.4. Śledzenie formuł. Pokazywanie formuł ..................................................................... 39 2.5. Tworzenie tabel ze skopiowanymi formułami i (lub) wartościami ............................ 40 2.6. Praca z tabelami przestawnymi .................................................................................. 41 2.7. Podsumowanie ........................................................................................................... 45 2.8. Zadania do samodzielnego wykonania ...................................................................... 46 Rozdział 3. Wykresy, czyli najlepszy sposób prezentowania danych ..................... 47 3.1. Wykresy najczęściej używane w zastosowaniach inżynieryjnych ............................. 49 3.1.1. Wykresy kolumnowe ....................................................................................... 49 3.1.2. Wykresy słupkowe ........................................................................................... 50 3.1.3. Wykresy liniowe .............................................................................................. 50 3.1.4. Wykresy typu X Y ........................................................................................... 52 3.2. Pozostałe typy wykresów Excela ............................................................................... 55 3.2.1. Wykresy warstwowe ........................................................................................ 55 3.2.2. Wykresy pierścieniowe .................................................................................... 55 3.2.3. Wykresy radarowe ........................................................................................... 55 3.2.4. Wykresy powierzchniowe ................................................................................ 55 3.2.5. Wykresy giełdowe ........................................................................................... 56 3.2.6. Wykresy bąbelkowe ......................................................................................... 56 3.3. Wykresy przestawne w Excelu .................................................................................. 56 3.4. Formatowanie i uatrakcyjnianie wykresów ................................................................ 58 3.5. Podsumowanie ........................................................................................................... 61 4 Excel w zastosowaniach inżynieryjnych Rozdział 4. Dopasowywanie krzywych ................................................................ 63 4.1. Regresja liniowa ........................................................................................................ 63 4.2. Regresja wykładnicza ................................................................................................ 68 4.3. Linie trendu ................................................................................................................ 69 4.4. Interpolacja liniowa ................................................................................................... 72 4.5. Podsumowanie ........................................................................................................... 74 4.6. Zadania do samodzielnego wykonania ...................................................................... 74 Rozdział 5. Całkowanie i różniczkowanie numeryczne ......................................... 75 5.1. Funkcje różniczkowe w ujęciu numerycznym ........................................................... 76 5.1.1. Typy funkcji obliczających różnicę ................................................................. 76 5.1.2. Błędy obliczeń ................................................................................................. 77 5.1.3. Przykłady obliczania funkcji różniczkowych .................................................. 77 5.2. Całkowanie numeryczne ............................................................................................ 79 5.2.1. Wybrane metody całkowania numerycznego .................................................. 79 5.2.2. Całki niewłaściwe ............................................................................................ 80 5.2.3. Przykłady całkowania numerycznego .............................................................. 81 5.3. Podsumowanie ........................................................................................................... 83 5.4. Zadania do samodzielnego wykonania ...................................................................... 83 Rozdział 6. Rozwiązywanie równań ..................................................................... 85 6.1. Rozwiązywanie równań liniowych ............................................................................ 85 6.2. Rozwiązywanie równań nieliniowych ....................................................................... 87 6.2.1. Metoda kolejnych przybliżeń ........................................................................... 87 6.2.2. Metoda spadku względem współrzędnych ....................................................... 89 6.2.3. Metoda Newtona .............................................................................................. 91 6.3. Narzędzie Solver i Szukaj wyniku ............................................................................. 92 6.4. Podsumowanie ........................................................................................................... 95 6.5. Zadania do samodzielnego wykonania ...................................................................... 95 Rozdział 7. Rozwiązywanie układów równań ....................................................... 97 7.1. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą macierzy ........................................ 98 7.2. Rozwiązywanie układów równań za pomocą iteracji Gaussa-Seidla ....................... 100 7.3. Rozwiązywanie układów równań przy wykorzystaniu narzędzia Solver ................. 103 7.4. Podsumowanie ......................................................................................................... 105 7.5. Zadania do samodzielnego wykonania .................................................................... 105 Rozdział 8. Równania różniczkowe ................................................................... 107 8.1. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą szeregów Taylora ........................ 107 8.2. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Eulera .......................................... 108 8.3. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego-Kutty ............................ 110 8.4. Rozwiązywanie cząstkowych równań różniczkowych ............................................ 111 8.4.1. Eliptyczne cząstkowe równania różniczkowe ................................................ 112 8.4.2. Paraboliczne cząstkowe równania różniczkowe .............................................. 112 8.4.3. Hiperboliczne cząstkowe równania różniczkowe .............................................. 113 8.5. Podsumowanie ......................................................................................................... 113 Rozdział 9. Sumowanie szeregów liczbowych .................................................... 115 9.1. Wybrane funkcje wbudowane Excela do obliczania szeregów liczbowych ............. 116 9.2. Iteracyjne obliczanie szeregów liczbowych ............................................................. 118 9.3. Podsumowanie ......................................................................................................... 121 9.4. Zadania do samodzielnego wykonania .................................................................... 121 Spis treści 5 Rozdział 10. Analiza statystyczna i probabilistyka ............................................ 123 10.1. Informacje wstępne .............................................................................................. 124 10.2. Obliczanie wartości prawdopodobieństwa ........................................................... 124 10.3. Rozkłady w Excelu .............................................................................................. 125 10.3.1. Rozkład normalny .................................................................................... 126 10.3.2. Rozkład Poissona ..................................................................................... 127 10.4. Inne zagadnienia związane ze statystyką i probabilistyką ................................... 129 10.4.1. Średnia ..................................................................................................... 129 10.4.2. Mediana ................................................................................................... 130 10.4.3. Moda ........................................................................................................ 130 10.4.4. Wariancja ................................................................................................. 130 10.4.5. Odchylenie standardowe .......................................................................... 131 10.4.6. Inne wartości statystyki ............................................................................ 131 10.4.7. Przykład ................................................................................................... 131 10.5. Narzędzia pakietu Analysis ToolPak ................................................................... 133 10.6. Podsumowanie ..................................................................................................... 135 10.7. Zadania do samodzielnego wykonania ................................................................ 136 Rozdział 11. Makra i Visual Basic for Applications ........................................... 137 11.1. Nagrywanie i edytowanie makr ........................................................................... 138 11.2. Przegląd i możliwości języka Visual Basic for Applications ............................... 141 11.2.1. Tworzenie funkcji i procedur ................................................................... 141 11.2.2. Odwołania do komórek ............................................................................ 142 11.2.3. Zmienne i stałe ......................................................................................... 143 11.2.4. Zapis matematyczny ................................................................................ 145 11.2.5. Odczytywanie danych z pliku i zapisywanie do niego ............................. 146 11.2.6. Pętle i instrukcje warunkowe ................................................................... 147 11.2.7. Inne mechanizmy ..................................................................................... 150 11.3. Przykładowa funkcja języka Visual Basic for Applications ................................ 151 11.4. Analiza kodu ........................................................................................................ 154 11.5. Podsumowanie ..................................................................................................... 155 11.6. Zadania do samodzielnego wykonania ................................................................ 156 Podsumowanie ............................................................................. 157 Skorowidz ................................................................................... 159 Rozdział 5. Całkowanie i różniczkowanie numeryczne Całkowanie i różniczkowanie numeryczne to nic innego jak aproksymacja całek i po- chodnych analitycznych. Nie są one częstymi operacjami przeprowadzanymi przy uży- ciu komputerów. Zazwyczaj wykonywane są na funkcjach analitycznych i nie ma po- trzeby obliczania ich metodami numerycznymi. Jednakże nie są one zupełnie bezużyteczne. Świetnie sprawdzają się wówczas, gdy funkcja ma postać dyskretną (jest zbiorem poje- dynczych wartości) lub gdy bardzo trudno obliczyć całkę lub różniczkę przy użyciu stan- dardowych metod analitycznych. W Excelu można zastosować numeryczne całkowanie i różniczkowanie zarówno w postaci aplikacji pisanych w języku VBA, jak i korzystając ze zwyczajnych, wbu- dowanych mechanizmów, w jakie są wyposażone arkusze. W rozdziale tym skupimy się jedynie na standardowych mechanizmach Excela, które pozwalają na obliczanie całek i różniczek. Pliki referencyjne Wszystkie przykłady zamieszczone w tym rozdziale dostępne są na serwerze pod adresem ftp://ftp.helion.pl/przyklady/excinz.zip. Po rozpakowaniu archiwum należy znaleźć plik o nazwie Roz_5.xlsx. Ponadto archiwum zawiera plik Odp_5.xlsx z odpowiedziami do pytań kontrolnych znajdujących się na końcu tego rozdziału. 76 Excel w zastosowaniach inżynieryjnych 5.1. Funkcje różniczkowe w ujęciu numerycznym Najlepszym sposobem na różniczkowanie problematycznych funkcji jest skorzystanie z wyrażeń na obliczanie różnicy wstecznej, przedniej oraz centralnej. 5.1.1. Typy funkcji obliczających różnicę Istnieją trzy różnice, które służą do szacowania różniczki w punkcie w oparciu o różne dane. Jest to różnica wsteczna, różnica przednia (progresywna) oraz różnica cen- tralna. Różnica przednia służy do szacowania wartości pochodnej w danym punkcie na podstawie danych znajdujących się za tym punktem. Analogicznie różnica wstecz- na służy do szacowania wartości pochodnej w danym punkcie na podstawie danych znajdujących się przed tym punktem. Różnica centralna szacuje wartość pochodnej na podstawie danych symetrycznie rozłożonych po obu stronach punktu, dla które- go szacowana jest pochodna. Poniżej znajdują się wyrażenia dla dwóch pierwszych 0x . We wszystkich wzorach h określa długość odcinka po- pochodnych w punkcie między punktami. Oto wzory: (cid:141) (cid:141) (cid:141) (cid:141) (cid:141) (cid:141) dy dx dy dx dy dx = = = y y 1 y 1 − h y −− 1 h 2 y −− 1 h y 0 0 — różnica przednia, — różnica centralna, — różnica wsteczna, yd 2 dx 2 yd 2 dx 2 yd 2 dx 2 = = = + y 0 y −+ 1 y 2 − y 1 − y 2 1 h 2 y 2 0 h 2 — różnica przednia, — różnica centralna, y 0 − 2 y − 2 − + 1 2 y h — różnica wsteczna. W wielu publikacjach zajmujących się tą tematyką można bez problemu odnaleźć wzory na różnice do szacowania pochodnych wyższych rzędów. Tak więc, aby za pomocą Excela oszacować wartości pochodnych, należy wybrać odpowiedni typ róż- nicy i wpisać odpowiednią formułę w arkuszu. Automatycznie rodzi się jednak pyta- nie o to, którą z różnic wybrać. Najlepszym rozwiązaniem w większości przypadków jest wykorzystanie różnicy centralnej. Ma ona jednak jedną wadę — wymaga dokładnie takiej samej ilości danych po obu stronach punktu. Jeżeli nie możemy spełnić tego warunku, należy sięgnąć po różnicę wsteczną lub przednią. Przykładowe obliczenia znajdują się w dalszej części tego rozdziału. Rozdział 5. ♦ Całkowanie i różniczkowanie numeryczne 77 5.1.2. Błędy obliczeń Numeryczne różniczkowanie jest bardzo rzadko wykorzystywanym mechanizmem rów- nież ze względu na to, że jest niezwykle wrażliwe na wszelkiego rodzaju błędy nume- ryczne. W przypadku różniczkowania numerycznego pod uwagę należy wziąć dwa rodzaje błędów: błędy obcięcia oraz błędy zaokrąglania wyników. Ten pierwszy ge- neralnie jest następstwem szacowania pochodnych na podstawie ograniczonych zbio- rów dyskretnych, na przykład zbiorów pomiarów lub odczytów z urządzeń rejestrujących. Przy głębszej analizie można zauważyć, że wartość tego błędu jest proporcjonalnie uza- leżniona od wielkości odstępu między punktami danych. To dość niebezpieczne, gdyż rodzi pokusę zmniejszania wartości odstępu między punktami danych. W pewnym za- kresie to działa, ale trzeba być ostrożnym, gdyż dość szybko uzyskiwane wyniki po- chodnych będą obarczane dużymi błędami zaokrągleń. Błędy zaokrągleń to jedne z najpowszechniejszych błędów występujących przy obli- czeniach komputerowych. Są one następstwem tego, że każda, nawet najdokładniejsza, maszyna może przechowywać z góry określoną liczbę cyfr po przecinku. Jest to tak zwana precyzja liczby. Jeżeli będziemy odejmować dwie prawie takie same liczby (zmniejszać szerokość przedziału), wynik będzie coraz mniejszym ułamkiem. Tak więc może dojść do sytuacji, gdy różnica obliczana z podanych w poprzednim punkcie wzorów wyjdzie poza precyzję liczby, powodując zwiększanie się błędu zaokrąglenia. Innymi słowy, błąd zaokrąglania będzie rósł wraz z maleniem błędu obcięcia. 5.1.3. Przykłady obliczania funkcji różniczkowych Formuły na obliczanie różnic szacujących wartości pochodnych można zastosować prak- tycznie do numerycznego wyznaczania dowolnej pochodnej funkcji. Jak już jednak wyjaśniliśmy wcześniej, ze względu na dość dużą podatność na błędy, do numerycz- nego różniczkowania należy sięgać, kiedy wyznaczanie analityczne jest bardzo trudne lub niemożliwe. Na potrzeby książki wykorzystamy jednak prosty przykład, aby chętni mogli łatwo porównać wyniki numeryczne z wynikami analitycznymi. Z punktu widzenia matematyki pochodna funkcji to narzędzie do badania przebiegu jej zmienności w pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych. Pochodne mają sze- rokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Wykorzystuje się je w fizyce, ekonomii, inżynierii. Na przykład w ekonomii koszt marginalny jest pochodną funkcji wyrażającej koszt w zależności od wielkości produkcji. W fizyce na poziomie szkoły średniej uczymy się, że pochodna funkcji położenia w zależności od czasu jest jej pręd- kością chwilową. Druga pochodna tej funkcji to oczywiście przyspieszenie. Dla zain- teresowanych — wyznaczenie trzeciej pozwoli określić wartość zrywu. Właśnie pochodne funkcji położenia od czasu będą przedmiotem omawianego przy- kładu. Aby można było łatwo zweryfikować wyniki, załóżmy, że rozważamy przy- spieszenie ziemskie, a więc przyspieszenie grawitacyjne ciał spadających swobodnie z pominięciem oporów ruchu. Przyjmijmy dokładność do 5 miejsc po przecinku. Wówczas wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi: . Z fizyki wiemy, że w przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego droga x obliczana jest ze wzoru: 80665 m s 2 g = ,9 78 Excel w zastosowaniach inżynieryjnych = 2 tg 2 p + tVx przypadkach . Natomiast prędkość chwilowa wyliczana jest ze wzoru: pV oznacza prędkość początkową w danym momencie. VV = p + gt . W obu Przykładowy arkusz kalkulacyjny może wyglądać tak, jak ten przedstawiony na ry- sunku 5.1. Arkusz zawiera dwie tabele. W pierwszej z nich (komórki A5:E12) znaj- dują się wyliczenia w przypadku pominięcia błędów wartości x. Wówczas wyliczenia analityczne (kolumna C) pokrywają się z wynikami uzyskanymi za pomocą różnicy centralnej (kolumna D). W kolumnie E znajduje się pochodna drugiego stopnia (wyli- czenie przyspieszenia) uzyskana także za pomocą różnicy centralnej. W tym przypadku dokładność wyliczenia jest również bardzo dobra. Rysunek 5.1. Obliczanie pochodnych za pomocą różniczkowania numerycznego w przypadku, gdy dane nie są obarczone błędem, oraz w przypadku przeciwnym Druga tabela jest analogiczna do pierwszej, ale w kolumnie B dodano losowy błąd, który symuluje błędy pomiaru. Niestety Excel nie pozwala na generowanie liczb ułamkowych. W związku z tym zastosowany został mały trik. Na końcu wyliczenia analitycznego skopiowanego z pierwszej tabeli dodano formułę 1/RANDBETWEEN(1;1000)). Dzięki niej uzyskujemy losowy ułamek będący ilorazem jedynki i losowej liczby całkowitej z prze- działu od 1 do 1000. Widać gołym okiem, że niewielkie błędy wartości x względem wartości określonych ana- litycznie (znajdujących się w pierwszej z dwóch tabel) powodują, że pochodne wyli- czone za pomocą różnicy centralnej obarczone są bardzo dużym błędem obliczeniowym. Właśnie ze względów na te błędy, o których szerzej traktuje punkt 5.1.2, różniczko- wanie numeryczne jest używane bardzo rzadko. Kiedy jednak decydujemy się na jego zastosowanie, musimy mieć pewność, że nasze dane wejściowe nie są obarczone błę- dem lub błąd ten jest na tyle mały, że nie zafałszuje wyników. Rozdział 5. ♦ Całkowanie i różniczkowanie numeryczne 79 5.2. Całkowanie numeryczne W przeciwieństwie do różniczkowania numerycznego całkowanie numeryczne jest dużo mniej podatne na błędy. Całkowanie numeryczne jest bardzo użytecznym mechanizmem. Każdy inżynier oraz student studiów technicznych spotkał się z niejedną całką, której nie da się obliczyć w sposób analityczny. I tutaj pojawia się miejsce dla metod numerycznych. Większość z metod numerycznych obliczania całek jest do siebie podobna. Ogólnie mówiąc, polegają one na dzieleniu przedziału całkowania na mniejsze fragmenty, ob- liczaniu wartości funkcji dla danego przedziału, a następnie zsumowaniu wszystkich tych wartości cząstkowych. Dość często poszczególne metody różnią się jedynie używanymi współczynnikami. Właśnie dlatego, a także dlatego, że literatura dotycząca całkowania numerycznego jest dość bogata, w rozdziale znajdują się tylko wybrane metody całko- wania numerycznego oraz ich implementacja w arkuszu Excela. 5.2.1. Wybrane metody całkowania numerycznego Każda osoba o wykształceniu technicznym wie, że całka z punktu widzenia matematyki to sumowanie liczb, długości, powierzchni lub innych elementów. Z tego względu całko- wanie jest bardzo powszechnie wykorzystywanym mechanizmem. Niejednokrotnie ana- lityczne rozwiązywanie całek jest bardzo żmudne i trudne. W takich przypadkach można odwołać się do całkowania numerycznego, które, choć jest tylko przybliżeniem rozwią- zania analitycznego, to jednak dość dokładnym. Do najpopularniejszych metod całkowa- nia numerycznego należą: metoda prostokątów, metoda trapezów oraz metoda Simpsona. Metoda prostokątów Metoda prostokątów jest bodajże najprostszą z metod całkowania numerycznego. Polega ona na podziale przestrzeni między krzywą funkcji i osią X ograniczonej dwoma punk- tami na równe części i wypełnienie jej prostokątami o wysokości równej wartości funkcji w jednym z punktów i szerokości opartej na długości interwału, przez któ- ry podzielony został przedział całki. Można to zapisać następującym wzorem: I , gdzie I oznacza wartość całki. − = 1 − n ( xy i i 1 + )i x ∑ i 1 = Metoda ta mimo swojej prostoty dość dobrze aproksymuje całki tak długo, jak ich krzywe są względnie gładkie, a wartość interwału nie jest zbyt duża. Jej zaletą jest również to, że niezwykle łatwo można ją zaimplementować w arkuszu kalkulacyjnym. Metoda trapezów Metoda ta polega na podzieleniu przedziału całki na części i poprowadzeniu prostych między kolejnymi parami punktów na osi danych tak, że tworzone są trapezy. Mate- matycznie można to określić następującym wzorem: , gdzie I oznacza wartość całki. ∑− + 2 )( x i x i − = i 1 + i 1 = y y i n 1 ( ) I 1 + 80 Excel w zastosowaniach inżynieryjnych Metoda ta gwarantuje nieco lepsze oszacowanie wartości całki niż metoda kwadratów. Mimo wrażenia, że jest ona bardziej skomplikowana od metody kwadratów, jej im- plementacja w arkuszu Excela nie jest w żaden sposób kłopotliwa. Metoda Simpsona Standardowa i najbardziej powszechna metoda Simpsona nazywana jest metodą ⅓. W metodzie tej do przybliżenia wartości całki używa się sumy wartości wycinków pola pod krzywą paraboli. Przedział całkowania należy podzielić na równe fragmenty, a na- stępnie obliczyć sumę wielomianów interpolacyjnych przybliżających parabolę, które ograniczone są do trzech pierwszych składników. Składnikami tymi są: punkt począt- kowy i końcowy danego przedziału oraz punkt leżący dokładnie w jego środku. Ma- tematycznie można to zapisać w sposób następujący: I = n 2/ ∑ i 1 = yh ( 3 + 4 y i 12 − + y 2 i ) = i 22 − i 2 n − ∑ ,...5,3,1 = yh ( 3 i + 4 y i 1 + + y i + 2 ) , gdzie I oznacza wartość całki. W literaturze poświęconej całkowaniu numerycznemu można często spotkać zmody- fikowaną wersję tej metody, która nosi nazwę metody ⅜. Pozwala ona na nieco do- kładniejszą aproksymację całkowanej funkcji. Jej zapis matematyczny wygląda zaś następująco: yh 3 ( 8 I oznacza , gdzie yh 3 ( 8 y i 23 − y i 13 − n 3 − ∑ ∑ y 3 y i y i y i = + + + + 3 + 3 ) i I = ) + 3 + + 2 3 3 1 + i n i 1 = i 33 − wartość całki. i ,...7,4,1 = 5.2.2. Całki niewłaściwe W inżynierii bardzo często musimy obliczyć wartości całek niewłaściwych, a więc całek, których przedział całkowania jest nieskończony lub kiedy funkcja podcałkowa jest nieograniczona. Przykładem takiej całki jest chociażby całka Gaussa, która ma za- stosowanie między innymi w rachunku prawdopodobieństwa i obliczaniu ciągłej trans- formaty Fouriera. Przy numerycznym szacowaniu wartości całek niewłaściwych możemy swobodnie ko- rzystać z dobrodziejstw całkowania analitycznego po to, aby zamienić całkę niewła- ściwą na całkę właściwą. Najczęściej stosuje się więc podstawienie, dzięki czemu można zmienić granice całkowania tak, by przedział całkowania z nieskończoności zmienił się w przedział skończony. Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją nieciągłą w punkcie będącym dolną granicą cał- kowania, należy dodać do tego punktu niewielką wartość ε i przeprowadzić normalne całkowanie jedną z dostępnych metod numerycznych. Oczywiście wartość ε powinna być tak mała, by nie zwiększać błędu obliczeń. Mówiąc inaczej, powinna być na tyle mała, by wartość całki była zbieżna. Rozdział 5. ♦ Całkowanie i różniczkowanie numeryczne 81 Skoro o błędach mowa, to istnieje jeszcze jeden sposób, choć najgorszy z możliwych. Jeżeli zadowala nas pewna dokładność oszacowania wartości, to zawsze można zakoń- czyć całkowanie numeryczne przed osiągnięciem końca przedziału całkowania. In- nymi słowy, dopuszczalne jest zmienienie granic całkowania z nieograniczonych na ograniczone, zapewniające dopuszczalny przez nas błąd szacowania wartości całki. 5.2.3. Przykłady całkowania numerycznego W tym miejscu stworzymy arkusz Excela pozwalający obliczyć wartość całki za po- mocą trzech przedstawionych metod całkowania numerycznego. Aby można było łatwo oszacować jakość metod numerycznych, jako przykład posłuży nam prosta całka, której rozwiązanie można łatwo odczytać z tablic całek. Dzięki temu analitycznie wyliczymy dokładną wartość całki, co pozwoli nam później oszacować błąd metod numerycznych. Rozważmy następującą całkę: ∫ . Jej rozwiązanie anali- dx 1 x 2 1 tyczne ma następującą postać: 2 ∫ 1 1 x dx = xln 2 1 = 2ln − 1ln = )2ln( − )1ln( = ,0 693147 =− 0 ,0 693147 Stwórzmy teraz arkusz Excela do obliczeń tejże całki kolejnymi metodami numerycz- nymi. Chociaż dwie pierwsze metody — metoda kwadratów oraz trapezów — nie wy- magają, aby przedziały były jednakowej wielkości, to i tak zakres całkowania podzie- limy na takie właśnie równe przedziały o delcie wynoszącej 0,1. Dzięki temu uprościmy arkusz, gdyż w przeciwnym razie musielibyśmy tworzyć osobne tabele dla każdej z metod, a tak powstanie jedna zbiorcza dla wszystkich trzech. Aby zrealizować nasze zadanie, stwórzmy następujący arkusz: (cid:141) w komórce A1 wpisujemy: Wartość rzeczywista całki, (cid:141) w komórce A3 wpisujemy: Metoda kwadratów, (cid:141) w komórce A4 wpisujemy: Wartość błędu, (cid:141) w komórce A6 wpisujemy: Metoda trapezów, (cid:141) w komórce A7 wpisujemy: Wartość błędu, (cid:141) w komórce A9 wpisujemy: Metoda Simpsona (1/3), (cid:141) w komórce A10 wpisujemy: Wartość błędu, (cid:141) w komórce D1 wpisujemy: Wartości numerycznego obliczenia całki, (cid:141) w komórce D3 wpisujemy: x, (cid:141) w komórce E3 wpisujemy: Kwadraty, (cid:141) w komórce F3 wpisujemy: Trapezy, (cid:141) w komórce G3 wpisujemy: Simpson, 82 Excel w zastosowaniach inżynieryjnych (cid:141) komórki D4:D14 wypełniamy wartościami od 1 do 2, co 0,1, (cid:141) w komórce E4 wpisujemy: =1/D4*(D5-D4) i kopiujemy formułę do komórek E5:E13, (cid:141) w komórce F4 wpisujemy: =(1/D4+1/D5)/2*(D5-D4) i kopiujemy formułę do komórek F5:F13, (cid:141) w komórce G4 wpisujemy: =((D5-D4)/3)*(1/D4+4/D5+1/D6), a następnie kopiujemy formułę do co drugiej komórki w kolumnie, aż do komórki G12. Komórki o numerach nieparzystych wypełniamy zerami, (cid:141) w komórce B1 wpisujemy: 0,693147, (cid:141) w komórce B3 wpisujemy: =SUMA(E4:E13), (cid:141) w komórce B4 wpisujemy: =B3-B1, (cid:141) w komórce B6 wpisujemy: =SUMA(F4:F13), (cid:141) w komórce B7 wpisujemy: =B6-B1, (cid:141) w komórce B9 wpisujemy: =SUMA(G4:G12), (cid:141) w komórce B10 wpisujemy: =B9-B1. Przygotowany arkusz z przykładowym formatowaniem wygląda tak, jak ten pokazany na rysunku 5.2. W kolumnie z wyliczeniami metody Simpsona w co drugim wierszu wpisaliśmy wartości 0 dlatego, że metoda ta jest sumą jedynie elementów nieparzystych szeregu. Rysunek 5.2. Przykładowy arkusz do obliczania wartości całki 1/x za pomocą metody kwadratów, trapezów oraz metody ⅓ Simpsona Od razu można zauważyć, że metoda Simpsona jest najdokładniejsza. Bardzo dobre przy- bliżenie gwarantuje również metoda trapezów. Nieco gorzej wypada metoda kwadratów z błędem kilka rzędów wielkości większym od pozostałych metod. Błąd ten można jednak bardzo łatwo ograniczyć. Wystarczy zmniejszyć wielkość przedziałów wartości x z 0,1 do 0,05, a błąd zmniejszy się prawie dwukrotnie. Dalsze zmniejszanie przedziału będzie za sobą pociągać jeszcze większe ograniczenie wielkości błędu całkowania numerycznego. Rozdział 5. ♦ Całkowanie i różniczkowanie numeryczne 83 5.3. Podsumowanie Różniczkowanie i całkowanie numeryczne jest względnie prostym mechanizmem do zaimplementowania w arkuszu Excela. Różniczkowanie ze względu na swoją podatność na błędy jest zdecydowanie rzadziej używane, jednak całkowanie numeryczne można powszechnie spotkać. Wynika to stąd, że błędy w całkowaniu numerycznym są względ- nie niewielkie, a poza tym można je dość prosto ograniczać. Ponadto analityczne roz- wiązywanie wielu całek wiąże się ze żmudnymi i długimi przekształceniami, w których łatwo się pomylić. Błąd całkowania numerycznego jest dość niewielki, stąd komputero- we obliczanie całek jest tak powszechne. Jeżeli ktoś zainteresowany jest innymi metodami całkowania numerycznego, takimi jak metody Newtona-Cotesa, Bodego, Monte Carlo czy Gaussa, powinien sięgnąć po lite- raturę poświęconą stricte metodom numerycznym. Dość łatwo znaleźć w niej szczegó- łowe opisy tychże zagadnień. 5.4. Zadania do samodzielnego wykonania Wszystkie całki znajdujące się w poniższych zadaniach można łatwo obliczyć w spo- sób analityczny. Pozwoli to na porównanie wyników z tymi uzyskanymi przy pomocy metod numerycznych. 1. Zmodyfikuj arkusz wykorzystywany w tym rozdziale tak, aby do obliczania pochodnych używane były najpierw różnice przednie, a następnie różnice wsteczne. Porównaj uzyskiwane wyniki. 2. Zmień wartości błędu, modyfikując wartości funkcji RANDBETWEEN. Sprawdź, kiedy symulowany błąd pomiaru będzie na tyle niewielki, by nie wpływać znacząco na różniczkowanie numeryczne. 3. Oblicz przedstawionymi metodami całkę e x 2 sin xdx . Uzyskane wyniki π 2 ∫ π 4 porównaj z rozwiązaniem analitycznym, które dane jest wzorem e x 2 4 ( sin2 x + cos )x . 4. Oblicz przedstawionymi metodami całkę ∫ + 1 π 0 xdx 2sin x . Uzyskane wyniki porównaj z rozwiązaniem analitycznym, które dane jest wzorem tgx 2 ⎛ − x cos ⎜ ⎝ π ⎞ +⎟ 4 ⎠ ⎛ − x ⎜ ⎝ 1 2 . π ⎞ ⎟ 4 ⎠ ln
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Excel w zastosowaniach inżynieryjnych
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: