Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00101 009737 11027983 na godz. na dobę w sumie
Fizyka dla programistów gier - książka
Fizyka dla programistów gier - książka
Autor: Liczba stron: 362
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 83-7361-152-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> gry >> programowanie gier
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).
Stosowanie praw fizyki pomaga realistycznie i wiarygodnie modelować w grach, symulacjach i animacjach niemal wszystko, co wokół podskakuje, lata, toczy się, ześlizguje; ogólnie mówiąc, nie pozostaje w spoczynku. 'Fizyka dla programistów gier' ma być punktem startowym dla osób zainteresowanych zapewnieniem tworzonym grom realistycznego działania opartego na stosowaniu zasad fizyki.

Część pierwsza to przegląd podstawowych koncepcji mechaniki łącznie z pewnymi aspektami i problemami dynamiki ciał sztywnych, w tym kinematyki, sił i kinetyki. W części drugiej te koncepcje zostaną zastosowane do wybranych zagadnień świata rzeczywistego, np. lotu pocisków i samolotów oraz ruchu łodzi i samochodów. Część trzecia wprowadza symulacje w czasie rzeczywistym i pokazuje ich zastosowanie w grach komputerowych. Oto kilka elementów gier w których realizm znacznie wzrasta po zastosowaniu prawa fizyki:

'Fizyka dla programistów gier' nie jest przeznaczona dla ekspertów w dziedzinie fizyki, jednakże autor założył podstawową znajomość tej dziedziny na poziomie szkoły średniej. Potrzebna będzie także znajomość trygonometrii, rachunku wektorowego i macierzowego (informacje na ten temat zostały zawarte w dodatkach na końcu książki). Lektura książki wymaga także podstawowej znajomości klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego.
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

IDZ DO IDZ DO PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ SPIS TREĎCI SPIS TREĎCI KATALOG KSI¥¯EK KATALOG KSI¥¯EK KATALOG ONLINE KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK TWÓJ KOSZYK DODAJ DO KOSZYKA DODAJ DO KOSZYKA CENNIK I INFORMACJE CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWOĎCIACH O NOWOĎCIACH ZAMÓW CENNIK ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA CZYTELNIA FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE Wydawnictwo Helion ul. Chopina 6 44-100 Gliwice tel. (32)230-98-63 e-mail: helion@helion.pl Fizyka dla programistów gier Autor: David M. Bourg T³umaczenie: Krzysztof Mas³owski ISBN: 83-7361-152-5 Tytu³ orygina³u: Physics for Game Developers Format: B5, stron: 360 Stosowanie praw fizyki pomaga realistycznie i wiarygodnie modelowaæ w grach, symulacjach i animacjach niemal wszystko, co wokó³ podskakuje, lata, toczy siê, zeġlizguje; ogólnie mówi¹c, nie pozostaje w spoczynku. „Fizyka dla programistów gier” ma byæ punktem startowym dla osób zainteresowanych zapewnieniem tworzonym grom realistycznego dzia³ania opartego na stosowaniu zasad fizyki. Czêġæ pierwsza to przegl¹d podstawowych koncepcji mechaniki ³¹cznie z pewnymi aspektami i problemami dynamiki cia³ sztywnych, w tym kinematyki, si³ i kinetyki. W czêġci drugiej te koncepcje zostan¹ zastosowane do wybranych zagadnieñ ġwiata rzeczywistego, np. lotu pocisków i samolotów oraz ruchu ³odzi i samochodów. Czêġæ trzecia wprowadza symulacje w czasie rzeczywistym i pokazuje ich zastosowanie w grach komputerowych. Oto kilka elementów gier w których realizm znacznie wzrasta po zastosowaniu prawa fizyki: • trajektorie rakiet i pocisków, w³¹czaj¹c w to efekt zu¿ywania paliwa, • zderzenia obiektów, na przyk³ad kul bilardowych, • stabilnoġæ samochodów na ostrych zakrêtach podczas wyġcigów, • dynamika ³odzi i innych pojazdów p³ywaj¹cych, • tor lotu pi³ki baseballowej po uderzeniu kijem, • charakterystyki lotu samolotów, • tor lotu karty do gry wrzucanej do kapelusza. „Fizyka dla programistów gier” nie jest przeznaczona dla ekspertów w dziedzinie fizyki, jednak¿e autor za³o¿y³ podstawow¹ znajomoġæ tej dziedziny na poziomie szko³y ġredniej. Potrzebna bêdzie tak¿e znajomoġæ trygonometrii, rachunku wektorowego i macierzowego (informacje na ten temat zosta³y zawarte w dodatkach na koñcu ksi¹¿ki). Lektura ksi¹¿ki wymaga tak¿e podstawowej znajomoġci klasycznego rachunku ró¿niczkowego i ca³kowego. 5RKUVTGħEK Wstęp...................................................z...................................................z.................... ........7 Rozdział 1. Koncepcje podstawowe ...................................................z........................15 Prawa ruchu Newtona...................................................e...................................................e................... 15 Jednostki i miary...................................................e...................................................e............................. 16 Układ współrzędnych ...................................................e...................................................e.................... 18 Wektory ...................................................e...................................................e............................................ 19 Masa, środek masy i moment bezwładności...................................................e................................. 20 Drugie prawo ruchu Newtona ...................................................e........................................................ 30 Tensor momentu bezwładności...................................................e....................................................... 34 Rozdział 2. Kinematyka ...................................................z............................................41 Wstęp ...................................................e...................................................e................................................ 41 Prędkość i przyspieszenie ...................................................e...................................................e............. 42 Przyspieszenie stałe...................................................e...................................................e........................ 44 Przyspieszenie zmienne...................................................e...................................................e................. 46 Kinematyka punktu materialnego w przestrzeni dwuwymiarowej ............................................ 48 Kinematyka punktu materialnego w przestrzeni trójwymiarowej .............................................. 50 Eksplozja punktu materialnego...................................................e....................................................... 59 Kinematyka ciała sztywnego ...................................................e........................................................... 65 Lokalny układ współrzędnych ...................................................e........................................................ 66 Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ...................................................e.................................... 66 4 Spis treści Rozdział 3. Siła ...................................................z...................................................z........73 Wstęp ...................................................e...................................................e................................................ 73 Pola sił ...................................................e...................................................e.............................................. 74 Tarcie ...................................................e...................................................e................................................ 75 Opór cieczy lepkiej ...................................................e...................................................e......................... 77 Uwaga o ciśnieniu ...................................................e...................................................e.......................... 78 Wypór hydrostatyczny ...................................................e...................................................e.................. 79 Sprężyny i tłumienie drgań...................................................e.............................................................. 81 Siła i moment siły ...................................................e...................................................e........................... 82 Rozdział 4. Kinetyka...................................................z..................................................87 Kinetyka punktu materialnego w dwóch wymiarach ...................................................e................. 88 Kinetyka punktu materialnego w trzech wymiarach ...................................................e.................. 93 Kinetyka ciała sztywnego...................................................e...................................................e............ 100 Rozdział 5. Zderzenia ...................................................z..............................................105 Zależność pędu i popędu (impulsu)...................................................e............................................. 106 Zderzenie ...................................................e...................................................e....................................... 107 Popęd (impuls) liniowy i kątowy...................................................e.................................................. 114 Tarcie ...................................................e...................................................e.............................................. 117 Rozdział 6. Pociski ...................................................z...................................................z121 Proste trajektorie ...................................................e...................................................e........................... 122 Opór środowiska ...................................................e...................................................e.......................... 126 Efekt Magnusa...................................................e...................................................e............................... 134 Zmienna masa ...................................................e...................................................e............................... 139 Rozdział 7. Samolot ...................................................z.................................................141 Geometria...................................................e...................................................e....................................... 142 Siła nośna i siła oporu ...................................................e...................................................e.................. 145 Inne siły ...................................................e...................................................e.......................................... 149 Sterowanie...................................................e...................................................e...................................... 150 Modelowanie ...................................................e...................................................e................................. 152 Rozdział 8. Statki ...................................................z...................................................z..167 Pływalność ...................................................e...................................................e..................................... 168 Objętość ...................................................e...................................................e.......................................... 170 Opór ...................................................e...................................................e................................................ 180 Masa wirtualna ...................................................e...................................................e............................. 183 Spis treści 5 Rozdział 9. Poduszkowiec ...................................................z......................................185 Zasada działania ...................................................e...................................................e........................... 185 Opór ...................................................e...................................................e................................................ 187 Rozdział 10. Samochody...................................................z..........................................191 Opór ...................................................e...................................................e................................................ 191 Moc...................................................e...................................................e.................................................. 192 Droga hamowania ...................................................e...................................................e........................ 193 Przechylenie drogi ...................................................e...................................................e........................ 194 Rozdział 11. Symulacje w czasie rzeczywistym ...................................................z.197 Całkowanie równań ruchu...................................................e...................................................e.......... 198 Metoda Eulera ...................................................e...................................................e............................... 200 Inne metody...................................................e...................................................e................................... 205 Rozdział 12. Dwuwymiarowy symulator ciała sztywnego.................................211 Model...................................................e...................................................e.............................................. 212 Całkowanie ...................................................e...................................................e.................................... 219 Sterowanie lotem ...................................................e...................................................e.......................... 222 Rendering...................................................e...................................................e....................................... 226 Rozdział 13. Implementacja odpowiedzi zderzenia ..............................................233 Odpowiedź zderzenia liniowego ...................................................e.................................................. 234 Efekty związane z ruchem obrotowym ...................................................e....................................... 239 Rozdział 14. Obrót ciała sztywnego...................................................z.....................251 Macierze obrotu ...................................................e...................................................e............................ 252 Kwaterniony ...................................................e...................................................e.................................. 255 Rozdział 15. Trójwymiarowy symulator ciała sztywnego..................................259 Model...................................................e...................................................e.............................................. 260 Całkowanie ...................................................e...................................................e.................................... 264 Sterowanie lotem ...................................................e...................................................e.......................... 267 Rendering...................................................e...................................................e....................................... 271 Rozdział 16. Wiele ciał w przestrzeni trójwymiarowej.......................................279 Model...................................................e...................................................e.............................................. 280 Całkowanie ...................................................e...................................................e.................................... 294 Odpowiedź zderzenia...................................................e...................................................e.................. 295 Tuning ...................................................e...................................................e............................................ 299 6 Spis treści Rozdział 17. Układ wielu punktów materialnych ...............................................301 Model...................................................e...................................................e.............................................. 302 Całkowanie równań ruchu...................................................e...................................................e.......... 311 Odpowiedź zderzenia...................................................e...................................................e.................. 312 Tuning ...................................................e...................................................e............................................ 313 Dodatek A Rachunek wektorowy ...................................................z..........................315 Klasa Vector...................................................e...................................................e................................... 315 Funkcje i operatory wektorowe...................................................e..................................................... 321 Dodatek B Rachunek macierzowy ...................................................z.........................325 Klasa Matrix3x3...................................................e...................................................e............................. 325 Funkcje i operatory macierzowe ...................................................e................................................... 330 Dodatek C. Rachunek kwaternionowy ...................................................z.................335 Klasa Quaternion ...................................................e...................................................e.......................... 335 Funkcje i operatory kwaternionowe...................................................e............................................. 338 Bibliografia ...................................................z...................................................z.............347 Skorowidz...................................................z...................................................z................353 Statki Celem tego rozdziału nie jest nauczenie projektowania statków, lecz jedynie wytłumacze- nie na przykładach znaczenia kilku podstawowych pojęć fizycznych — takich jak wypór hydrostatyczny, stabilność, masa wirtualna i opór. Ich znajomość może okazać się po- trzebna do tworzenia gier lub symulacji opartych na prawach fizycznych. Pojęcia te wy- jaśnimy na przykładzie statku pływającego po powierzchni, lecz znaczna część tego, co powiemy, będzie się odnosiła także do obiektów zanurzonych lub częściowo zanurzonych w cieczy, jak łódź podwodna w wodzie lub balon w powietrzu. Pamiętajmy, że mówiąc o sile wyporu, mamy też na myśli powietrze, które tazkże możemy uważać za ciecz. Cechą wspólną statków pływających po powierzchni wody (na styku dwóch ośrodków: wody i powietrza) oraz obiektów w pełni zanurzonych, takich jak łodzie podwodne (za- nurzone w wodzie) i balony (zanurzone w powietrzu), jest działająca na nie siła wyporu hydrostatycznego, nazywana krócej siłą wyporu lub po prostu wyporem. Jednakże w na- turze fizycznej tych obiektów występuje wiele różnic, które omówimy w tym rozdziale. Są one przyczyną odmiennego zachowania się tych obiektów, więc musimy być ich świa- domi, jeżeli chcemy, aby nasza symulacja odpowiadała rzeczywistości. Ponieważ przykłady omówione w tym rozdziale będą dotyczyły statków, zaczniemy od zdefiniowania kilku pojęć dotyczących ich budowy i geometrii. Ułatwi to późniejsze jed- 1. Termin noznaczne rozumienie tekstu. Zajmiemy się typowym statkiem wypornościowym „wypornościowy” oznacza tu, że statek jest utrzymywany na powierzchni wyłącznie przez siłę wyporu hydrostatycznego, bez udziału dynamicznych sił nośnych, które mają zna- czenie w przypadku szybkich łodzi i poduszkowców. Słowo „wyporność” odnosi się do objętości wody wypartej, tzn. przesuniętej w inne miejsce, przez płynący statek (w następ- nym rozdziale można znaleźć więcej informacji na ten temat). 1 Takie jest tłumaczenie „displacement ship”, ale w jłęzyku polskim nazwa, choć logiczna, nie jest używana, więc dalej będę pisał po prostu „statek”. łJeżeli tekst będzie dotyczył statków innego rodzaju, działających na innej zasadzie, zostanie tło zaznaczone — przyp. tłum. 168 Rozdział 8. Statki Kadłub to część statku bezpośrednio stykająca się z wodą i tę wodę wypierająca. Czę- ściowo zanurzony w wodzie kadłub obejmuje wszystko, co jest w statku i na statku. Dłu- gość statku to odległość od dziobu do rufy. W praktyce istnieje kilka różnie określanych długości statku, ale tutaj będziemy się zajmować długością całkowitą kadłuba. Dziób to część najbardziej wysunięta do przodu, a rufa to część najbardziej wysunięta do tyłu. Gdy sto- imy na statku z twarzą zwróconą ku dziobowi, po lewej stronie mamy bakburtę, a po prawej — sterburtę2. Poza tym mamy całkowitą wysokość kadłuba i całkowitą szerokość stat- ku, które w skrócie będziemy nazywali wysokością i szerokością statku. Gdy statek pły- nie po powierzchni wody, odległość od powierzchni wody do dna kadłuba nazywamy zanurzeniem. Znaczenie omówionych terminów zostało pokazane na zrysunku 8.1. Rysunek 8.1. Geometria statku Pływalność Dla statku najważniejszą rzeczą jest zdolność do pływania. Nie tylko samo unoszenie się na wodzie — statek musi pływać prosto (w pozycji pizonowej). Już w rozdziale 3. mówiliśmy o wyporności i stwierdziliśmy, że siła wyporności działająca na zanurzone ciało jest funkcją objętości zanurzonej części tego ciała. Prawo Archimede- sa mówi, że ciężar ciała pływającego po powierzchni jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało (cieczy o objętości równej objętości zanurzonej części ciała). Jest to bardzo ważne prawo, które stwierdza, że statek o danym ciężarze musi mieć objętość wystarcza- jącą do wyparcia takiej ilości wody, aby jej ciężar pozwolił na utrzymanie statku na po- wierzchni. Ponadto prawo to pozwala na łatwe określenie ciężaru statku: wystarczy ob- liczyć objętość wypartej wody i obliczyć jej ciężar. W słowniku morskim wyporność jest równoważna ciężarowi. 2 Pochodzenie tych nazw wyjaśniłem w przypisie na poczłątku poprzedniego rozdziału — przyp. tłum. Pływalność 169 Siła wyporności działająca na dowolny obiekt może być ozbliczona według wzoru: F B = ρ ∇ g gdzie ∇ jest objętością zanurzonej części obiektu, ρ — gęstością cieczy, w której obiekt jest zanurzony, a g — przyspieszeniem grawitacyjnym. Ponieważ wypór jest siłą, ma wielkość, kierunek i zawsze działa wprost do góry wzdłuż prostej przechodzącej przez środek wyporu. Środek wyporu jest geometrycznym środkizem części zanurzonej. Jeżeli statek płynący po powierzchni jest w stanie równowagi, jego środek wyporu musi leżeć dokładnie pod środkiem ciężkości. Ciężar statku, siła skierowana wprost w dół i za- czepiona w środku ciężkości, działa przeciwnie do wyporu. Gdy statek jest w równowa- dze, obie te siły — wypór i ciężar (dokładniej: siła wyporu i siła ciężkości) — mają jedna- kową wielkość i przeciwny zwrot. Jeżeli statek się nachyla lub przechyla3 (czyli ma odpowiednio: nachylenie wzdłużne lub przechył poprzeczny), zmienia się położenie i wielkość części zanurzonej, a więc również zmienia się miejsce środka wyporu. Na przykład, jeżeli statek przechyla się na sterburtę, jego środek wyporu przesuwa się także w stronę tej burty. Wówczas siły wyporu i cięż- kości przestają działać wzdłuż jednej prostej, co powoduje powstanie momentu siły dzia- łającego na statek. Ten moment jest równy iloczynowi siły ciężkości przez odległość mię- dzy prostymi, wzdłuż których działają obie siły. Teraz wróćmy do sprawy prostego (pionowego) ustawienia statku podczas pływania. Kie- dy statek się przechyla, nie chcemy, aby wywrócił się dnem do góry. Chcemy, aby gdy przestanie działać siła, która spowodowała przechył, łagodnie powrócił do pozycji pio- nowej. Powrót ten powinien nastąpić niezależnie od rodzaju siły, będącej przyczyną prze- chyłu, a mógł to być na przykład wiatr. Mówiąc w skrócie, chcemy, aby statek był stabilny. Aby tak było, punkt, w którym linia akcji siły wyporu przecina linię środkową kadłuba — zwany punktem metacentrycznym (w skrócie metacentrum), musi znajdować się po- wyżej środka ciężkości. Wówczas moment działających sił powstający przy przechyle dą- ży do przywrócenia położenia pionowego. Jeżeli punkt metacentryczny położony jest po- niżej środka ciężkości, moment sił spowodowany przechyłem wywołuje zwiększenie tego przechyłu, co doprowadza do wywrócenia statku. Oba scenariusze zostały pokazane na rysunku 8.2. Każdy, kto ma jakieś pojęcie o żeglarstwie, wie, że bardzo ważne jest utrzymanie poło- żenia środka ciężkości łodzi jak najniżej. Pomaga to zwiększyć wysokość położenia me- tacentrum nad środkiem ciężkości, co z kolei zwiększaz stabilność. Sytuacja jest inna w przypadku obiektów zanurzonych całkowicie, na przykład łodzi pod- wodnych i balonów. Siła wyporu zawsze działa w punkcie geometrycznego środka obiek- tu, zwanym tu środkiem wyporu. Dla zachowania stabilności punkt ten musi się znajdo- wać powyżej środka ciężkości. Jeżeli wówczas nastąpi wychylenie, linie akcji siły ciężkości 3 Porównaj rysunek 7.4, gdzie te pojęcia zostały wyjaśniołne na przykładzie samolotu — przyp. tłum. 170 Rozdział 8. Statki Rysunek 8.2. Stabilność statku i siły wyporu zostaną rozdzielone, a powstały w wyniku tego moment sił będzie działał tak, by przywrócić wyprostowaną pozycję obiektu. W przeciwnym razie obiekt będzie nie- stabilny — jak przy ułożeniu jednej piłki na drugiej. Jeżeli środek wyporu znajdzie się poniżej środka ciężkości, moment sił powstający przy przechyle będzie dążył do wywró- cenia obiektu do góry nogami, tak aby wzajemne położenie środka ciężkości i środka wy- poru zostało odwrócone. Problemem jest obliczenie objętości części zanurzonej i położenia jej geometrycznego środka, co nie sprawia kłopotów jedynie w przypadku ciał o najprostszej geometrii. Na przykład kadłuby statków mają zwykle kształty skomplikowane, pełne zakrzywień, wgłę- bień i wypukłości. W rezultacie obliczenie objętości wypieranej wody wymaga zwykle sto- sowania technik całkowania numerycznego. Jedną z metod poznamy w następnym pod- rozdziale. Objętość Istnieją różne techniki i algorytmy obliczania objętości wywodzące się z różnych dziedzin nauki i techniki. Ich celem jest optymalne wykonywanie szczególnych zadań, a ich natura i forma zależy geometrii obiektów, których objętość należy obliczyć. Na przykład, w świe- cie grafiki komputerowej obiekty są zwykle reprezentowane przez trójkątowane (triangu- Objętość 171 lowane) wielościany i figury wielowierzchołkowe4. Istnieje wiele algorytmów służących do obliczania ich objętości, lecz w zasadzie sprowadzają się one do dzielenia figur na wiele czworościanów, obliczania ich objętości i sumowania (ta technika zostanie wkrótce pokazana). Istnieje również odmienna technika, wywodząca się z chemii, gdzie potrzeb- ne jest obliczanie objętości molekuł. Polega ona na obliczaniu objętości wielu odpowied- nio dobranych i ustawionych kul. Metody te znajdują zastosowanie również w dziedzinie budowy statków. Tradycyjne tech- niki obliczania objętości statków polegały na całkowaniu powierzchni przekrojów wzdłuż długości kadłuba. Warto zauważyć, że choć techniki te różnią się sposobami implemen- tacji, wszystkie opierają się na całkowaniu numerycznym polegającym na dyskretyzacji obiektu przez podzielenie go na mniejsze elementy o prostszej geometrii, pozwalającej na obliczanie objętości i sumowaniu tych objętości cząstkowych w celu obliczenia objętości całkowitej. Przyjrzyjmy się prostemu przykładowi znalezienia położenia środka i obliczenia objętości ztriangularyzowanego sześcianu. Sześcian ten został pozkazany na rysunku 8.3. Jako przykładu użyjemy sześcianu, gdyż w tym przypadku wyniki obliczań możemy w prosty sposób zweryfikować. Należy pamiętać, że metoda, którą zastosujemy, może być używana do figur o geometriach o wiele bardziej skomplikowanych, jeżeli tylko ca- łość zostanie podzielona na proste czworościany. Oznacza to, że muszą być spełnione nastę- pujące warunki: • Wszystkie ściany tworzące obiekt muszą być trójkątami. • Obiekt nie może mieć dziur. • Obiekt musi obejmować zamkniętą przestrzeń. Oznacza to, zże nie może być żadnych swobodnych ścian ani krawędzi. Każda krawędź musi być pozłączona z dwoma wierzchołkami i musi być częścią wspólną dokładnie dwózch ścian. • Obiekt musi spełniać wzór Eulera, według którego liczba wierzchołków minus liczba krawędzi plus liczba ścian musi być równa 2: W – K + S = 2. Jak już zostało wcześniej powiedziane, podstawą tej metody jest podział obiektu na okre- śloną liczbę czworościanów, obliczenie objętości każdego z nich i zsumowanie objętości składowych w celu otrzymania objętości całkowitej. Zastosowany podział na czworościa- ny może także posłużyć do znalezienia położenia środka geometrycznego obiektu (środka 4 Warto to przyjrzeć się takim tworom. Oto kilka przykłładów: — przyp. tłum. 172 Rozdział 8. Statki Rysunek 8.3. Striangularyzowany sześcian objętości) metodą podobną do stosowanej w celu obliczenia położenia środka masy (co zo- stało omówione w rozdziale 1.). W tym przypadku masy powinny zostać zastąpione przez objętości czworościanów. Rysunek 8.4 pokazuje sposób konsztruowania czworościanu. Rysunek 8.4. Czworościan Tutaj punkt początkowy (0, 0, 0) i trzy wierzchołki służą do zdefiniowania czworościanu. O krawędziach możemy myśleć jako o wektorach o wspólnym początku w punkcie (0, 0, 0) i końcach w poszczególnych wierzchołkach. Zauważmy, że wierzchołki każdej ściany są określane w porządku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara, gdy patrzymy na ścianę z zewnątrz. Objętość 173 Objętość takiego czworościanu możemy obliczyć za pomocą iloczynu mieszanego wekto- rów (przykładowy kod został umieszczony w dodatku A). Dla wektorów a, b i c z rysun- ku 8.4 iloczyn mieszany ma postać: )cba ×⋅ ( Ma on prostą interpretację fizyczną — jest równy objętości równoległościanu o podstawie czworokątnej 5, o długościach boków a, b i c, pokazanego na rysunku 8.5.6 Rysunek 8.5. Równoległościan Dla nas ważną rzeczą jest fakt, że objętość czworościanu rozpiętego na trzech wektorach (jak na rysunku 8.4) jest równa jednej szóstej objętości równoległościanu rozpiętego na tych samych wektorach. Zatem objętość czworościanu dana jeszt wzorem: [ ] 6cba ( ) ⋅ × Znalezienie geometrycznego środka czworościanu jest stosunkowo proste: należy po pro- stu obliczyć średnią wartość współrzędnych wszystkich czterech wierzchołków. Należy pamiętać, że nawet gdy jeden z wierzchołków leży w początku układu współrzędnych, na- leży go uwzględnić przy wyliczaniu średniej. Przyjmując oznaczenia z rysunku 8.4 i sto- sując notację wektorową, geometryczny środek czworościzanu znajdujemy, stosując wzór: ( ) 4cba ++ d = Założono tu, że czwarty wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych (0, 0, 0). Dlatego w liczniku widzimy sumowanie jedynie trzech wektorów, choć suma jest potem dzielona przez 4. 5 Równoległościan o podstawie czworokątnej jest bryłą małjącą trzy pary ścian równoległych. Jeżeli jego ściany są prostopadłe, nazywamy go prostopadłoścłianem. Sześcian jest prostopadłościanem, którego krawędzie są równej długości. 6 Warto wiedzieć, że: ( cba ×⋅ ) ×⋅= acb ( ) )bac ×⋅= ( — przyp. tłum. 174 Rozdział 8. Statki Na potrzeby tego przykładu przygotowano prostą klasę o nazwie Body3D, która przecho- wuje dane o wierzchołkach i ścianach i jest implementacją metody wczytywania danych o obiekcie z pliku oraz metody obliczania objętości i położenia środka geometrycznego obiektu: #define MAX_NUM_VERTICES 100 #define MAX_NUM_FACES 100 typedef struct VertexTag { float x; // współrzędna x wierzchołka float y; // współrzędna y wierzchołka float z; // współrzędna z wierzchołka } TVertex; typedef struct FaceTag { // wierzchołki definiujące ścianę są ułożone przeciwnie do // ruchu wskazówek zegara, jeżeli patrzymy na ścianę // z zewnątrz obiektu int a; // 1-szy wierzchołek (jego indeks na liście wierzchołków) int b; // 2-gi wierzchołek (jego indeks na liście wierzchołków) int c; // 3-ci wierzchołek (jego indeks na liście wierzchołków) } TFace; //--------------------------------------------------------------------// // klasa Body3D reprezentuje prosty triangulowany wielościan //--------------------------------------------------------------------// class Body3D { public: int nFaces; // liczba trójkątnych ścian int nVertices; // liczba wierzchołków TVertex Vertex[MAX_NUM_VERTICES]; // lista wierzchołków TFace Face[MAX_NUM_FACES]; // lista ścian float Volume; // objętość całkowita Vector Centroid; // położenie środka obiektu Body3D(void); // konstruktor void ReadData(char *filename); // czyta dane wierzchołków/ścian void CalculateProperties(void); // oblicza objętość i środek obiektu }; Każdy składnik tej klasy można zidentyfikować, czytając komentarze umieszczone w ko- dzie, więc nie będziemy się tym dokładniej zajmować. Jednakże przyjrzyjmy się dwóm użytym metodom (część nazwana konstruktorem nie jest ciekawa, gdyż po prostu zeruje wszystko): ReadData po prostu odczytuje dane obiektu z pliku tekstowegzo: void Body3D::ReadData(char *filename) { FILE *fptr; int i; fptr = fopen(filename, r ); Objętość 175 fscanf(fptr, d\n , nVertices ); for(i=0; i nVertices; i++) { fscanf( fptr, f f f\n , (Vertex[i].x), (Vertex[i].y), (Vertex[i].z)); } fscanf(fptr, d$\n , nFaces ); for(i=0; i nFaces; i++) { fscanf( fptr, d d d\n , (Face[i].a), (Face[i].b), (Face[i].c)); // przeciwnie do ruchu wskazówek zegara } fclose(fptr); } Liczba całkowita w pierwszej wierszu pliku określa liczbę wierzchołków. W następnych wierszach są zapisane współrzędne x, y, z (float — zmiennoprzecinkowe) kolejnych wierzchołków, po jednym wierzchołku w wierszu. Po wszystkich wierzchołkach wczyty- wana jest znów liczba całkowita, określająca liczbę ścian. W kolejnych wierszach mamy da- ne ścian — w każdym wierszu trzy numery wierzchołkówz tworzących ścianę (w porządku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). Oto przykładowy plik definiujący sześcian o długości krawędzi równej dwóm jednostkom z jednym wierzchołkiem umieszczonym w początku układu współrzędnych i z podstawą położoną na płaszczyźnie xy (patrz ry- sunek 8.3). 8 -1.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 -1.000000 2.000000 1.000000 -1.000000 0.000000 1.000000 -1.000000 2.000000 -1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 2.000000 -1.000000 1.000000 2.000000 12 2 3 1 2 1 0 4 5 2 4 2 0 6 3 2 6 2 5 6 7 1 6 1 3 6 5 4 6 4 7 1 7 4 1 4 0 176 Rozdział 8. Statki Następna metoda CalculateProperties jest prawdziwym „sercem” omawianego przy- kładu. Przeprowadza proces dyskretyzacji obiektu, dzieląc go na czworościany potrzeb- ne do obliczenia całkowitej objętości i położenia środka obiektu. Najpierw zobaczmy kod, a potem przystąpimy do jego omówienia: void Body3D::CalculateProperties(void) { Vector a; Vector b; Vector c; int i; float dv = 0; float vol = 0; Vector d; Vector dmom; for(i=0; i nFaces; i++) { a.x = Vertex[Face[i].a].x; a.y = Vertex[Face[i].a].y; a.z = Vertex[Face[i].a].z; b.x = Vertex[Face[i].b].x; b.y = Vertex[Face[i].b].y; b.z = Vertex[Face[i].b].z; c.x = Vertex[Face[i].c].x; c.y = Vertex[Face[i].c].y; c.z = Vertex[Face[i].c].z; dv = (TripleScalarProduct(a, b, c)) / 6.0f; vol += dv; d = ((a + b + c) / 4); dmom += (d * dv); } Volume = vol; Centroid = dmom / vol; } Zauważmy, że funkcja definiuje kilka zmiennych lokalnych a, b i c typu Vector, które posłużą do reprezentowania wektorów prowadzonych od początku układu do wierzchoł- ków wszystkich ścian czworościanu. Typ Vector został omówiony w dodatku A. Zmien- na i typu int jest zmienną licznikową. Zmienne dv i vol typu float to odpowiednio: objętość pojedynczego czworościanu i bieżąca objętość całkowita obiektu. Zmienne d i dmom typu Vector to odpowiednio: współrzędne pojedynczego czworościanu i bieżący suma- ryczny pierwszy moment objętości7 wszystkich czworościanów. W tej metodzie po nadaniu wartości początkowych wszystkim zmiennym wykonywana jest iteracja przez listę wszystkich ścian obiektu, podczas której następuje tworzenie wek- torów a, b i c dla każdego czworościanu uformowanego przez punkt początkowy układu i bieżącą ścianę Face[i]. Następnie jest obliczany iloczyn mieszany wektorów i wynik zo- staje podzielony przez 6. Rezultatem tego obliczenia jest objętość czworościanu dv, która 7 Przez analogię do pierwszego momentu masy — patrz podrozdział „Masa, środek masy i moment bezwładności” w rozdziale 1. — przyp. tłum. Objętość 177 zostaje dodana do bieżącej całkowitej objętości vol. Następnym etapem obliczeń jest zna- lezienie środka czworościanu d, pomnożenie go przez objętość dv i dodanie otrzymane- go iloczynu do dmom (bieżącej całkowitej wartości pierwszego momentu objętości). Na za- kończenie iteracji po przejściu przez wszystkie ściany całkowita objętość jest równa vol, a położenie środka jest sumą pierwszych momentów podzieloną przez całkowitą objętość — dmom/vol. To wszystko na ten temat. Dla przetestowania tej klasy został przygotowany program do obsługi konsoli, który korzysta z Body3D, wczytuje dane sześcianu i wylicza jego obję- tość oraz położenie środka. Jego funkcja główna wyglądaz następująco: int main(int argc, char* argv[]) { Body3D body = Body3D(); float volume = 0; int i; Vector centroid; // wczytanie danych obiektu body.ReadData( cube.txt ); // echo danych na konsolę printf( Liczba wierzchołków = d\n , body.nVertices); for(i=0; i body.nVertices; i++) printf( Wierzchołek d: x= f y= f z= f\n , i, body.Vertex[i].x, body.Vertex[i].y, body.Vertex[i].z); printf( Liczba ścian = d\n , body.nFaces); for(i=0; i body.nFaces; i++) printf( Ściana d: a= d b= d c= d\n , i, body.Face[i].a, body.Face[i].b, body.Face[i].c); // obliczanie objętości i środka body.CalculateProperties(); // wyświetlanie wyników na konsoli printf( \n ); printf( Objętość = f\n , body.Volume); printf( \n ); printf( Środek:\n ); printf( x= f y= f z= f\n , body.Centroid.x, body.Centroid.y, body.Centroid.z); printf( \n ); printf( Koniec\n ); return 0; } Po uruchomieniu programu, okazuje się, że objętość sześcianu wynosi 8 jednostek sze- ściennych, a środek znajduje się w punkcie (0, 0, 1). 178 Rozdział 8. Statki Bardzo interesującym testem jest użycie tego programu do obliczenia objętości i środka obiektu przypominającego (choć w znacznym uproszczenizu) kadłub łodzi. Plik danych opisujących kadłub łodzi, pokazany na rysunku 8.6, wygląda następująco: 36 -5.500000 -0.693775 0.281525 -5.500000 -0.693775 2.000000 3.888562 0.000000 1.700000 3.888562 -0.100000 1.991344 -5.500000 0.693775 0.281525 3.888562 0.000000 1.700000 3.888562 0.100000 1.991344 -5.500000 0.693775 2.000000 1.000000 0.900000 0.105572 1.000000 0.950000 2.000000 1.000000 -0.950000 2.000000 1.000000 -0.900000 0.105572 1.500000 0.794000 0.219941 1.500000 0.900000 2.000000 1.500000 -0.900000 2.000000 1.500000 -0.793988 0.219941 2.000000 0.680000 0.387096 2.000000 0.870000 2.000000 2.000000 -0.870381 2.000000 2.000000 -0.680000 0.387096 2.500000 0.538000 0.633431 2.500000 0.747000 2.000000 2.500000 -0.747214 2.000000 2.500000 -0.538416 0.633431 -1.000000 -1.000000 0.000000 -1.000000 -1.000000 2.000000 -1.000000 1.000000 2.000000 -1.000000 1.000000 0.000000 -3.000000 -1.000000 0.070381 -3.000000 -1.000000 2.000000 -3.000000 1.000000 2.000000 -3.000000 1.000000 0.070381 -5.000000 -0.864029 0.211143 -5.000000 -0.864029 2.000000 -5.000000 0.864029 2.000000 -5.000000 0.864029 0.211143 68 2 3 22 2 22 23 20 5 23 5 2 23 6 3 2 6 2 5 6 21 3 3 21 22 6 5 20 6 20 21 1 7 4 1 4 0 34 35 4 34 4 7 34 7 1 34 1 33 32 33 1 Objętość 179 Rysunek 8.6. Kadłub łodzi 32 1 0 4 35 0 0 35 32 13 12 8 13 8 9 13 9 14 14 9 10 15 14 10 15 10 11 8 12 15 8 15 11 17 16 12 17 12 13 17 13 18 18 13 14 19 18 14 19 14 15 12 16 19 12 19 15 21 20 16 21 16 17 21 17 22 22 17 18 23 22 18 23 18 19 16 20 23 16 23 19 11 10 25 11 25 24 9 26 10 10 26 25 9 8 27 9 27 26 27 8 11 27 11 24 24 25 29 24 29 28 180 Rozdział 8. Statki 26 30 29 26 29 25 26 27 31 26 31 30 31 27 24 31 24 28 28 29 33 28 33 32 30 34 33 30 33 29 30 31 35 30 35 34 35 31 32 32 31 28 W wyniku tego testu otrzymamy objętość równą 28,67 jednostek sześciennychi położe- nie środka określone wektorem (–1,43; 0,00; 1,08). Należy zaznaczyć, że w podanych kodach przykładowych brakuje procedur sprawdzają- cych błędy. Zostały pominięte w celu przedstawienia demonstrowanej metody w prostszej postaci. W rzeczywistym kodzie zawsze należy pamiętać o uzupełnieniu tego braku. Je- żeli chcemy rzeczywiście wykorzystać ten kod, trzeba przede wszystkim dodać procedurę sprawdzającą dane wejściowe, aby być pewnym, że obiekt jest prostym, triangulowanym wielościanem oraz że w funkcji CalculateProperties nigdzie nie wystąpi dzielenie przez zero. Opór W rozdziale 6. omawialiśmy siły oporu działające na obiekt poruszający się w cieczy. Szczególnie zwróciliśmy uwagę na opór wywołany przez siły tarcia i przez ciśnienie. Na statki poruszające się po powierzchni wody, oprócz tych sił oporu, działają jeszcze inne, występujące na styku wody i powietrza. Wzór, w którym całkowity opór zostanie przed- stawiony w rozbiciu na trzy główne składowe, będzie wyglądał mniej więcej tak: Rcałk = Rtarcia + Rciśn + Rfal Omówimy wszystkie składniki tej sumy i poznamy przydatne do ich obliczania wzory em- piryczne. Zacznijmy jednak od stwierdzania, że te wzory są jedynie bardzo ogólnym przy- bliżeniem i stosuje się je jedynie wówczas, gdy niewiele wiadomo o geometrii statku. W praktyce projektowania statków używa się ich tylko do przybliżonego obliczania oporu we wstępnej fazie projektowania. Są przydatne do szacowania wpływu zmian poszcze- gólnych głównych parametrów na wielkość oporu. Pierwszą składową jest opór pochodzący od tarcia powierzchni podwodnej części kadłuba podczas przesuwania się w wodzie. Jest to to samo tarcie, o którym mówiliśmy w roz- dziale 6. Do jego obliczania w przypadku statków możemy korzystać z zestawu wzorów empirycznych (Rtarcia oznaczymy w skrócie przez Rt): ( 21 R t = ) ρ 2 SCV t Opór 181 W tym wzorze ρ jest gęstością wody, V — szybkością statku, S — powierzchnią prze- kroju poprzecznego podwodnej części kadłuba, a Ct — współczynnikiem oporu tarcia: C t = 075,0 ( log R n 10 − )2 2 gdzie Rn jest liczbą Reynoldsa zdefiniowaną w rozdziale 6. i zależną od długości kadłuba. Ten wzór, zaakceptowany w roku 1957 przez International Towing Tank Conference (ITTC)8, jest szeroko stosowany w obliczeniach konstrukcyjnych statków do obliczania współczyn- nika oporu tarcia. Aby stosować wzór na Rt, trzeba również znać S — powierzchnię przekroju poprzecznego podwodnej części kadłuba. Można ją wyliczyć wprost za pomocą technik całkowania nu- merycznego, podobnych do tych, które posłużyły nam do obliczania objętości, lub za pomocą kolejnego wzoru empirycznego: CS = ws ∇ L W tym wzorze ∇ jest objętością wypartej wody, L — długością statku, a Cws — współ- czynnikiem powierzchni zwilżonej. Jest on funkcją kształtu statku, jego stosunku szero- kości kadłuba do zanurzenia. Statystycznie jego wartość dla typowych kształtów kadłu- ba waha się od 2,6 do 2,9. Opór ciśnieniowy działający na statki jest taki sam jak omówiony w rozdziale 6. opór ci- śnieniowy działający na pociski. Jak pamiętamy, przyczyną jego powstawania jest lepkość cieczy powodująca powstawanie za obiektem obszaru o mniejszym ciśnieniu. W przy- padku statków o dowolnej geometrii obliczenie wartości tej siły jest trudne. Przybliżone jej wartości są obliczane za pomocą komputerowych algorytmów dynamiki cieczy, któ- rych użycie wymaga jednak szczegółowych informacji o geometrii kadłuba i pochłania du- żo czasu obliczeniowego. Można też wykonywać testy na modelach wykonanych w ska- li, po czym ekstrapolować wyniki na statek normalnezj wielkości. Opór falowy, tak samo jak ciśnieniowy, jest trudny do obliczenia i w praktyce często są stosowane testy na modelach. Opór falowy jest spowodowany prze przekaz energii lub momentu ze statku do cieczy. Innymi słowy, jest funkcją pracy wykonywanej przez statek nad otaczającą cieczą, co powoduje powstawanie fal. Dowodem występowania tego zjawi- ska jest duża fala powstająca przy dziobie przecinającym wodę oraz fale, które statek po- zostawia za rufą. Te fale wpływają na rozkład ciśnień wokół statku, a zatem również na opór ciśnieniowy i z tego powodu trudno w obliczeniach oddzielić składowe pochodzą- ce od obu typów oporu. 8 Międzynarodowa Konferencja Basenów Holowniczych — dobrowolne światowe stowarzyszenie organizacji normalizacyjnych i odpowiedzialnych za łrezultaty obliczeń hydrodynamicznych dotyczących statków i różnego rodzaju instalacji morsłkich. Członkiem tego stowarzyszenia jest np. polskie Centrum Techniki Okrętowej — przyp. tłum. 182 Rozdział 8. Statki Przy wykonywaniu testów modelowych opór ciśnieniowy i opór falowy zwykle są trak- towane jako jeden wspólny opór resztkowy. Analogicznie do współczynnika oporu tar- cia możemy wprowadzić współczynnik oporu resztkowegzo: Rr = Rciśn + Rfal = ( 21 ) CSVρ 2 r gdzie Rr jest całkowitym oporem resztkowym, a Cr — współczynnikiem oporu resztkowego. Istnieje wiele metod obliczeniowych pozwalających na oszacowanie współczynnika oporu resztkowego statków, ale zwykle są one przeznaczone do obliczeń dla statków specyficz- nego typu. Na przykład jedną metodą z zastosowaniem określonych wzorów empirycz- nych oblicza się Cr dla niszczycieli, zaś dla wielkich tankowców stosowana jest inna metoda i inne wzory empiryczne. Problem polega na wybraniu metody odpowiedniej dla statku, którego ruch analizujemy9. Ogólnie możemy powiedzieć, że Cr wzrasta wraz z wyporno- ścią i szybkością. Typowy zakres wartości Cr dla statków o dużej wyporności wynosi od 1,0·10–3 do 3,0·10–3. Choć te trzy składowe oporu, spowodowane przez tarcie, ciśnienie i fale, w przypadku statków o typowej wyporności są najważniejsze, to jednak nie są jedyne. Ponieważ statki poruszają się na granicy wody i powietrza, znaczna ich część wystaje ponad wodę i jest wystawiona na działanie powietrza. Dla statku oznacza to dodatkowy opór, który może- my w przybliżeniu obliczyć za pomocą wzoru: R pow = ( 21 ) ρ p pow 2 CAV gdzie Cpow jest współczynnikiem oporu, a ρ — gęstością powietrza, V — szybkością statku, a Ap — powierzchnią przekroju poprzecznego nadwodnej części statku. Typowe warto- ści Cpow mieszczą się w przedziale od 0,6 do 1,1, zależnie od typu statku. Dla tankowców i wielkich statków towarowych wartości Cpow są bliskie górnej granicy, zaś dla okrętów wo- jennych zbliżają się do dolnej granicy. Jeżeli brakuje informacji pozwalających na dokładne obliczenie przekroju poprzecznego, można go oszacowazć za pomocą wzoru: gdzie B jest szerokością statku. A = p 2 B 2 Na statek działają jeszcze inne siły oporu, zależne od wieku statku, stanu morza i rodzaju pełnionej służby. Na przykład, jeżeli statek długo pływa po wodach morskich bez oczysz- czania kadłuba, nastąpi narośnięcie na nim grubej warstwy porostów morskich, które spowodują zwiększenie siły oporu powodowanej przez tarcie. Jeżeli statek pływa na wo- dach płytkich lub np. w kanałach o ograniczonych rozmiarach, ograniczenie przepływu wokół niego może spowodować głębsze zanurzenie i w efekcie większy opór. Trudne warunki morskie, silne wiatry i duże fale również zwiększają opór działający na statek. 9 Metody te są bardzo zaawansowane i nie jest możliwe łomówienie ich tutaj, więc w bibliografii zostały podane tytuły odpowiednich prac. Masa wirtualna 183 W przypadku niektórych statków liczne urządzenia wystające w wodzie zwiększają opór od 10 do 15 w porównaniu do oporów gładkiego kadłuba. Wszystko to są bardzo specyficzne warunki, które trzeba rozważać w poszczezgólnych przypadkach. Masa wirtualna Pojęcie masy wirtualnej jest ważne przy obliczaniu przyspieszenia statku w symulatorze działającym w czasie rzeczywistym. Masa wirtualna jest równa sumie masy statku i ma- sy wody przyspieszanej wraz ze statkiem. W rozdziale 6. mówiliśmy o powstającej z powodu lepkości granicznej warstwie wody przywierającej do powierzchni ciała poruszającego się w cieczy. Prędkość względna wody (względem poruszającego się ciała) był równa zeru na powierzchni ciała i wzrastała wraz ze zwiększaniem się odległości od tej powierzchni aż do osiągnięcia prędkości strumienia swobodnego. Część cieczy przyklejała się do ciała, przesuwała się i przyspieszała wraz z nim. Skoro szybkość cieczy zmienia się w obrębie warstwy granicznej, zmienia się tak- że przyspieszenie. Masa dodana, czyli masa wody przyspieszanej jest wynikiem scałko- wania ważonego całej masy cieczy, na którą ma wpływ zprzyspieszanie ciała. Dla statku lepka warstwa graniczna może być całkiem gruba i w pobliżu końca kadłuba (zależnie od jego długości) sięgać nawet kilku stóp10, co powoduje, że masa dodana ma istotną wielkość. Dlatego musi być brana pod uwagę przy wykonywaniu wszelkiego ro- dzaju analiz dotyczących przyspieszenia. Jednakże obliczanie masy dodanej wykracza poza zakres tej książki. Warto jednak zaznaczyć, że w przeciwieństwie do zwykłej masy masa dodana jest tensorem, czyli zależy od kierunku przyspieszenia. Ponadto masa dodana ma znaczenie zarówno dla przyspieszenia liniowego, jakz i kątowego. Zwykle uwzględniamy ją za pomocą tak zwanego współczynnika masy dodanej, który jest równy stosunkowi masy dodanej do masy statku. Choć nie zajmiemy się tu choćby przybliżonym obliczaniem masy dodanej, zaznaczmy, że w niektórych metodach całkowa- nie przeprowadza się po całej powierzchni kadłuba, zaś w innych przybliża się kadłub przez elipsoidę o proporcjach dopasowanych do rozmizarów statku. Przy tym przybliżaniu długość elipsoidy jest zbliżona do długości, a szerokość do szeroko- ści statku. Dla ruchu wzdłużnego, tzn. ruchu postępowego o kierunku wyznaczonym przez oś równoległą do kilu statku, współczynnik masy dodanej zmienia się niemal liniowo od zera przy stosunku szerokości do długości równym zeru (dla statku nieskończenie cien- kiego) do niemal 0,5 przy stosunku szerokości do długozści równym 1 (dla kuli). Jeżeli współczynnik masy dodanej jest wyrażony w procentach masy statku, masę wirtual- ną można obliczyć ze wzoru mw = m(1 + xd), gdzie m jest masą statku, a xd — współczynni- kiem masy dodanej po przeliczeniu procentów na liczbę, np. 0,2 dla 20 . Dla statków o ty- powej wyporności wartość wzdłużnej masy dodanej waha się od 4 do 15 masy statku. W ostrożnych obliczeniach przyjmuje się zwykle 20 . 101 stopa = 0,305 m — przyp. tłum.
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Fizyka dla programistów gier
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: