Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00736 010727 7483983 na godz. na dobę w sumie
Hybrydowe modelowanie procesów demograficznych z wykorzystaniem rozmytych przyłączających układów dynamicznych - ebook/pdf
Hybrydowe modelowanie procesów demograficznych z wykorzystaniem rozmytych przyłączających układów dynamicznych - ebook/pdf
Autor: , , Liczba stron: 236
Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-8-3808-8042-9 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> socjologia
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).
Umieralność i prawidłowości z nią związane są przedmiotem dociekań od wielu stuleci. Za ojca metodologii tablic wymieralności uznaje się J. Graunta, który w roku 1662 opublikował pracę „Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality”. Kontynuatorem badań Graunta był angielski astronom E. Halley. Autorem współczesnej metodologii budowy tablic wymieralności jest C. L. Chiang. Gwałtowny rozwój teorii i zastosowań modeli umieralności obserwujemy szczególnie w ostatnich czterech dekadach, czego dowodem jest też niniejsza książka. Przedstawione są w niej najnowsze modele umieralności, które umożliwiają prognozowanie procesu wymierania populacji w perspektywie średnio- i długookresowej. Autorzy omawiają kolejne modyfikacje modelu Lee-Cartera, wykorzystując teorię równań różniczkowych, algebry liczb rozmytych oraz algebry liczb zespolonych. Zastosowanie tych struktur pozwala na modelowanie umieralności, a następnie na wskazanie własności prognostycznych poszczególnych modeli. W sytuacji starzenia się społeczeństw w krajach rozwiniętych proponowane modele mogą znaleźć zastosowanie m.in. w planach emerytalnych i ubezpieczeniach na życie. 
Znajdź podobne książki

Darmowy fragment publikacji:

Agnieszka Rossa, Andrzej Szymański – Uniwersytet Łódzki Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Zakład Demografii i Gerontologii Społecznej 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1095 r. nr 41/43 Lesław Socha – Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy – Szkoła Nauk Ścisłych, Instytut Informatyki 01-938 Warszawa, ul. Wóycickiego 1/3 RECENZENT Grażyna Trzpiot REDAKTOR INICJUJĄCY Iwona Gos REDAKTOR WYDAWNICTWA UŁ Bogusław Pielat SKŁAD I ŁAMANIE Agnieszka Rossa KOREKTA TECHNICZNA Leonora Wojciechowska PROJEKT OKŁADKI Stämpfli Polska Sp. z o.o. Zdjęcie wykorzystane na okładce: © Shutterstock.com Wydrukowano z gotowych materiałów dostarczonych do Wydawnictwa UŁ © Copyright by Authors, Łódź 2015 © Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2015 Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie I. W.07151.15.0.K Ark. wyd. 11,8; ark. druk. 14,75 ISBN 978-83-8088-041-2 e-ISBN 978-83-8088-042-9 Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl tel. (42) 665 58 63 Spis tre´sci Wst (cid:44)ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdzia(cid:32)l 1. Modele umieralno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7 1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Podstawowe tablicowe mierniki umieralno´sci . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Zwi (cid:44)azek kohortowych wsp´o(cid:32)lczynnik´ow zgon´ow i prawdopodo- 1.4. Modele interpolacyjne bie´nstw zgon´ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Model interpolacji liniowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Model interpolacji wyk(cid:32)ladniczej . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Inne tablicowe mierniki umieralno´sci 1.6. Zwi (cid:44)azek kohortowych wsp´o(cid:32)lczynnik´ow zgon´ow i nat (cid:44)e˙zenia zgon´ow 18 1.7. Prawa umieralno´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.8. Wybrane modele umieralno´sci 1.8.1. Model Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8.2. Modyfikacje i uog´olnienia modelu Lee–Cartera . . . . . . 31 1.8.3. Model rozmyty Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.8.4. Wybrane dynamiczne modele umieralno´sci – model Vasiˇcka i Coxa–Ingersolla–Rossa . . . . . . . . . . . . . . 37 1.8.5. Dynamiczny model umieralno´sci Lee–Cartera . . . . . . . 38 1.8.6. Model Milevskiego–Promislowa i model Giacometti . . . . 41 1.8.7. Uog´olniony model Milevskiego–Promislowa z wektoro- 1.9. Uwagi ko´ncowe wym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Rozdzia(cid:32)l 2. Statyczne i dynamiczne modele hybrydowe . . . . . . 45 2.1. Statyczne modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2. Dynamiczne modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3. Momentowe modele hybrydowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Uwagi ko´ncowe Rozdzia(cid:32)l 3. Dynamiczne, hybrydowe modele umieralno´sci . . . . 61 3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Skalarny, hybrydowy model Vasiˇcka . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 3.3. Skalarny, hybrydowy model Coxa–Ingersolla–Rossa . . . . . . . . 62 3.4. Skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5. Uog´olniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . . . . . 64 3.6. Uog´olnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa . . . . . 66 3.6.1. Model ze skalarnym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . 66 3.6.2. Model z wektorowym, liniowym filtrem . . . . . . . . . . . 69 3.6.3. Model z liniowymi, skalarnymi filtrami . . . . . . . . . . . 77 3.6.4. Model z niezale˙znymi, liniowymi, skalarnymi filtrami . . . 79 3.7. Dyskretno-czasowe reprezentacje modeli hybrydowych . . . . . . . 82 3.7.1. Uog´olniony, skalarny, hybrydowy model Lee–Cartera . . . 82 3.7.2. Uog´olnione, hybrydowe modele Milevskiego–Promislowa . 82 3.7.3. Dyskretno-czasowa reprezentacja uk(cid:32)ladu r´owna´n 3.8. Estymacja parametr´ow hybrydowych modeli umieralno´sci moment´ow dla uog´olnionych, hybrydowych modeli Milevskiego–Promislowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 . . . . 87 87 3.8.1. Estymacja parametr´ow hybrydowego modelu Lee–Cartera 3.8.2. Estymacja parametr´ow uog´olnionego, hybrydowego 3.9. Uwagi ko´ncowe modelu Milevskiego–Promislowa . . . . . . . . . . . . . . 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Rozdzia(cid:32)l 4. Model Koissi–Shapiro oparty na skierowanych liczbach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2. Algebra skierowanych liczb rozmytych OFN . . . . . . . . . . . . 92 4.3. Model umieralno´sci typu Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . . . . 103 4.4. Prze(cid:32)l (cid:44)acznikowa fazyfikacja macierzy obserwacji . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1. Metoda fazyfikacji obserwacji 4.4.2. Wykrywanie punkt´ow prze(cid:32)l (cid:44)aczenia . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.3. Podstawy teoretyczne testu JL . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.4. Poszukiwanie punktu prze(cid:32)l (cid:44)aczenia funkcji trendu . . . . . 113 4.5. Estymacja parametr´ow modelu Koissi–Shapiro . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.6. Uwagi ko´ncowe Rozdzia(cid:32)l 5. Modele umieralno´sci oparte na zmodyfikowanych liczbach rozmytych i funkcjach zespolonych . . . . . . . . . . . . 125 5.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2. Model umieralno´sci oparty na algebrze zmodyfikowanych liczb rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.1. Estymacja parametr´ow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3. Model umieralno´sci oparty na funkcjach zespolonych . . . . . . . 131 5.3.1. Estymacja parametr´ow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.4.1. Estymacja parametr´ow modelu . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.4. Kwaternionowy model umieralno´sci 5.5. Uwagi ko´ncowe 5 Rozdzia(cid:32)l 6. Estymacja i ewaluacja modeli umieralno´sci . . . . . . 145 6.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2. Wyniki estymacji dynamicznego, hybrydowego modelu Lee–Cartera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3. Wyniki estymacji hybrydowego modelu Milevskiego–Promislowa . 152 6.4. Wyniki estymacji modelu umieralno´sci opartego na zmodyfikowanych liczbach rozmytych . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.5. Wyniki estymacji modelu kwaternionowego . . . . . . . . . . . . . 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.6. Uwagi ko´ncowe Dodatek A. Elementy analizy proces´ow stochastycznych i r´ownania stochastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 A.1. Podstawowe definicje proces´ow stochastycznych . . . . . . . . . . 175 A.1.1. Procesy drugiego rz (cid:44)edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 A.1.2. Procesy stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A.1.3. Procesy gaussowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 A.1.4. Procesy Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 A.1.5. Procesy o przyrostach niezale˙znych . . . . . . . . . . . . . 182 A.1.6. Bia(cid:32)ly szum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A.2. Rachunek r´o˙zniczkowy i ca(cid:32)lkowy proces´ow stochastycznych . . . . 186 A.2.1. Ca(cid:32)lkowanie oraz r´o˙zniczkowanie w sensie ´srednio- kwadratowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A.2.2. Ca(cid:32)lki stochastyczne wzgl (cid:44)edem proces´ow dyfuzyjnych . . . 187 A.2.3. Formu(cid:32)la Itˆo dla proces´ow dyfuzyjnych . . . . . . . . . . . 190 A.2.4. Stochastyczne r´ownania r´o˙zniczkowe Itˆo i Stratonowicza dla proces´ow dyfuzyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 A.3. R´ownania moment´ow w liniowych, stochastycznych uk(cid:32)ladach dynamicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 A.3.1. Uk(cid:32)lady liniowe z addytywnymi wymuszeniami . . . . . . . 196 A.3.2. Uk(cid:32)lady liniowe z addytywnymi i parametrycznymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 A.4. Metody dyskretyzacji stochastycznych r´owna´n r´o˙zniczkowych . . 201 wymuszeniami Dodatek B. Elementy algebry zmodyfikowanych liczb rozmytych i zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 B.1. Zmodyfikowane liczby rozmyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 B.2. Liczby i funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 B.2.1. Algebra Banacha C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 B.2.2. Algebra Banacha C(T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 B.2.3. Przestrze´n kwaternion´ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Wst (cid:44)ep Umieralno´s´c i prawid(cid:32)lowo´sci z ni (cid:44)a zwi (cid:44)azane s (cid:44)a przedmiotem docieka´n od wielu stuleci. Ju˙z z pocz (cid:44)atku III wieku pochodzi tzw. tablica Ulpiana, opracowana dla cel´ow fiskalnych przez rzymskiego prawnika Dominatiusa Ulpianusa. Tablica przedstawia warto´sci dalszego trwania ˙zycia obywa- teli Imperium Rzymskiego. Przekazy historyczne nie zawieraj (cid:44)a wzmianki o zastosowanej metodzie oblicze´n i materia(cid:32)lach ´zr´od(cid:32)lowych, dlatego ta- blica Ulpiana ma g(cid:32)l´ownie warto´s´c historyczn (cid:44)a (por. [93], s. 102–103). Za ojca metodologii tablic wymieralno´sci uznaje si (cid:44)e J. Graunta, kt´ory w roku 1662 opublikowa(cid:32)l prac (cid:44)e Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality. Przedstawi(cid:32)l w niej porz (cid:44)adek wymierania ge- neracji mieszka´nc´ow Londynu w formie liczb os´ob do˙zywaj (cid:44)acych wieku 6, 16, 26, . . . , 86 lat. Graunt opar(cid:32)l swoje analizy na rejestrach londy´nskich parafii, nie precyzuj (cid:44)ac jednak, jakiego okresu dotyczy(cid:32)ly. Kontynuatorem bada´n Graunta by(cid:32)l angielski astronom E. Halley, kt´ory w artykule z roku 1693 An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind Draws from Curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw przedstawi(cid:32)l tablice wymieralno´sci dla populacji mieszka´nc´ow Wroc(cid:32)lawia. Inne, wczesne prace na temat modeli umieralno´sci pochodz (cid:44)a z wieku XIX (np. [40], [106]). Autorem wsp´o(cid:32)lczesnej metodologii budowy tablic wymieralno´sci jest C. L. Chiang [25]. Obecnie tablice tego rodzaju okre´sla si (cid:44)e tak˙ze mianem tablic trwania ˙zycia (life tables). W Polsce wspomnianego terminu zacz (cid:44)eto u˙zywa´c w latach siedemdziesi (cid:44)atych ubieg(cid:32)lego wieku. Gwa(cid:32)ltowny rozw´oj teorii i zastosowa´n modeli umieralno´sci obserwu- jemy szczeg´olnie w ostatnich czterech dekadach, o czym ´swiadcz (cid:44)a liczne opracowania monograficzne poruszaj (cid:44)ace t (cid:44)e tematyk (cid:44)e (np. [36], [38], [48], [57], [77], [91], [93], [105], [107]). Opisywane w literaturze matematyczne modele umieralno´sci mo˙zna podzieli´c na dwie grupy [14], tj. na modele statyczne lub stacjonarne oraz modele dynamiczne. Pierwsz (cid:44)a, najliczniejsz (cid:44)a grup (cid:44)e stanowi (cid:44)a mo- dele, w kt´orych prawdopodobie´nstwa zgon´ow lub cz (cid:44)astkowe wsp´o(cid:32)lczynniki 8 [59], [65], [88], [89], [24], [47], [41], [42], [43], [31], zgon´ow s (cid:44)a przedstawiane za pomoc (cid:44)a funkcji zmiennej rzeczywistej lub zmiennej rozmytej z pewnymi, estymowanymi parametrami ([20], [21], [23], [90]). Drug (cid:44)a grup (cid:44)e tworz (cid:44)a modele dynamiczne, w kt´orych prawdopodobie´nstwa lub wsp´o(cid:32)lczynniki zgon´ow wyra˙zane s (cid:44)a m.in. w postaci rozwi (cid:44)aza´n stocha- stycznych r´owna´n r´o˙zniczkowych ([2], [9], [11], [13], [16], [17], [26], [27], [30], [37], [44], [45], [54], [69], [82], [92], [94], [96], [104], [112]). Popu- larny obecnie model Lee–Cartera [65], podobnie jak jego rozmyta wersja Koissi–Shapiro [59], nale˙z (cid:44)a do pierwszej grupy. Jednak niekt´ore uog´olnie- nia modelu Lee–Cartera mo˙zna zaliczy´c r´ownie˙z do grupy drugiej. Przyk(cid:32)la- dem jest dynamiczny, hybrydowy model typu Lee–Cartera, zapropono- wany w pracy A. Rossy i L. Sochy [92]. Modele dynamiczne opisane stochastycznymi r´ownaniami r´o˙zniczko- wymi okaza(cid:32)ly si (cid:44)e niewystarczaj (cid:44)ace do opisu proces´ow demograficznych. Nie nadawa(cid:32)ly si (cid:44)e one zw(cid:32)laszcza do opisu zjawisk zmiennych w czasie ci (cid:44)ag(cid:32)lym, z uwagi na odmienne zachowanie w r´o˙znych przedzia(cid:32)lach czaso- wych. To sk(cid:32)loni(cid:32)lo naukowc´ow do zaproponowania nowego rodzaju modeli, zwanych hybrydowymi, w kt´orych wyst (cid:44)epuje wzajemna interakcja mi (cid:44)edzy ci (cid:44)ag(cid:32)l (cid:44)a i dyskretn (cid:44)a dynamik (cid:44)a. Wprowadzone modele hybrydowe lub prze(cid:32)l (cid:44)aczaj (cid:44)ace [15] by(cid:32)ly uog´ol- nieniem modeli z przeka´znikami, wyst (cid:44)epuj (cid:44)acych w automatyce oraz modeli o zmiennej strukturze [56] opisuj (cid:44)acych zjawiska w mechanice, ekonomii lub w naukach empirycznych. Pojawi(cid:32)ly si (cid:44)e r´ownie˙z prace, w kt´orych autorzy wprowadzili z(cid:32)lo˙zone modele, kt´ore mo˙zna uzna´c za modele hybrydowe (np. [12], [13], [44], [92]). W dalszych rozwa˙zaniach przez uk(cid:32)lad hybrydowy b (cid:44)edziemy rozumieli pewn (cid:44)a rodzin (cid:44)e modeli statycznych lub dynamicznych, kt´ore b (cid:44)ed (cid:44)a prze(cid:32)l (cid:44)a- czane wed(cid:32)lug jakiego´s prawa prze(cid:32)l (cid:44)acze´n. Dynamiczne modele b (cid:44)ed (cid:44)a opi- sane stochastycznymi r´ownaniami r´o˙zniczkowymi. Z uwagi na to, ˙ze tylko dla niewielkiej klasy r´owna´n mo˙zna znale´z´c ich rozwi (cid:44)azania analityczne i maj (cid:44)a one dosy´c z(cid:32)lo˙zon (cid:44)a budow (cid:44)e, zaproponujemy now (cid:44)a grup (cid:44)e modeli hybrydowych, zwanych momentowymi uk(cid:32)ladami hybrydowymi. Idea tych modeli polega na zast (cid:44)apieniu r´owna´n stochastycznych odpowiadaj (cid:44)acymi im r´ownaniami r´o˙zniczkowymi dla moment´ow. G(cid:32)l´own (cid:44)a trudno´sci (cid:44)a zwi (cid:44)azan (cid:44)a z zastosowaniem popularnego obecnie stochastycznego modelu Lee–Cartera jest za(cid:32)lo˙zenie o jednorodno´sci sk(cid:32)lad- nika losowego, kt´orego zwykle nie potwierdzaj (cid:44)a wyniki analiz empirycz- nych. Trudno´s´c ta sk(cid:32)lania do poszukiwania rozwi (cid:44)aza´n, uchylaj (cid:44)acych wspo- mniane za(cid:32)lo˙zenie. Jedn (cid:44)a z mo˙zliwo´sci jest przeniesienie rozwa˙za´n na grunt teorii liczb rozmytych. 9 Pr´ob (cid:44)e tak (cid:44)a podj (cid:44)eli M. C. Koissi i A. F. Shapiro [59], proponuj (cid:44)ac tzw. rozmyty model Lee–Cartera. W ich modelu zar´owno obserwacje em- piryczne, jak i parametry modelu traktowane s (cid:44)a w kategoriach liczb roz- mytych, opisanych tr´ojk (cid:44)atnymi, symetrycznymi funkcjami przynale˙zno´sci. Model Koissi–Shapiro niesie jednak ze sob (cid:44)a trudno´sci zwi (cid:44)azane z esty- macj (cid:44)a parametr´ow, kt´ore wynikaj (cid:44)a z konieczno´sci poszukiwania minimum funkcji zawieraj (cid:44)acej operator typu maksimum. Tego rodzaju zadania nie mo˙zna rozwi (cid:44)aza´c za pomoc (cid:44)a standardowych algorytm´ow optymalizacyj- nych. Problem ten mo˙zna jednak upro´sci´c, wykorzystuj (cid:44)ac algebr (cid:44)e skiero- wanych liczb rozmytych, opracowan (cid:44)a i opublikowan (cid:44)a przez W. Kosi´nskiego z zespo(cid:32)lem [61], [62]. Efekty jej zastosowania w odniesieniu do modelu Koissi–Shapiro opublikowane zosta(cid:32)ly w monografii zbiorowej pod redakcj (cid:44)a A. Rossy [91], a tak˙ze w artykule A. Szyma´nskiego i A. Rossy [104]. Dalej id (cid:44)aca modyfikacja umo˙zliwia zast (cid:44)apienie algebry Banacha skie- rowanych liczb rozmytych przez algebr (cid:44)e Banacha C∗. Jej wykorzystanie pozwala odwo(cid:32)la´c si (cid:44)e do twierdzenia Gelfanda–Mazura, wskazuj (cid:44)acego na izomorfizm izometryczny pomi (cid:44)edzy algebr (cid:44)a C∗ a algebr (cid:44)a Banacha funkcji zespolonych. W ten spos´ob problem optymalizacyjny mo˙ze by´c przenie- siony na teren analizy zespolonej. Jest to wed(cid:32)lug naszej najlepszej wiedzy nowatorskim podej´sciem do zagadnienia modelowania umieralno´sci. Struktura ksi (cid:44)a˙zki jest nast (cid:44)epuj (cid:44)aca. W rozdziale 1 zosta(cid:32)ly om´owione podstawowe poj (cid:44)ecia i modele umieralno´sci, zaczerpni (cid:44)ete z literatury. Roz- dzia(cid:32)l 2 stanowi wprowadzenie w tematyk (cid:44)e hybrydowych modeli dynamicz- nych. W rozdziale 3 przedstawione zosta(cid:32)ly dynamiczne, hybrydowe modele umieralno´sci, w szczeg´olno´sci hybrydowy model Lee–Cartera oraz uog´ol- niony model Milevskiego–Promislowa oraz ich wersje dyskretno-czasowe, s(cid:32)lu˙z (cid:44)ace do estymacji parametr´ow. W rozdziale 4 prezentowane s (cid:44)a teore- tyczne podstawy rozmytych modeli umieralno´sci na gruncie algebry skie- rowanych liczb rozmytych, natomiast rozdzia(cid:32)l 5 zawiera kilka propozycji modeli umieralno´sci b (cid:44)ed (cid:44)acych uog´olnieniem modelu rozmytego. Oparte s (cid:44)a one na algebrze zmodyfikowanych liczb rozmytych oraz funkcji zespolo- nych. W ostatnim rozdziale zawarte zosta(cid:32)ly rezultaty estymacji i ewaluacji zaproponowanych modeli. Autorzy dzi (cid:44)ekuj (cid:44)a prof. Gra˙zynie Trzpiot za cenne uwagi i sugestie za- warte w recenzji wydawniczej niniejszej monografii. Ksi (cid:44)a˙zka skierowana jest do student´ow, doktorant´ow i specjalist´ow z zakresu demografii, sta- tystyki i ekonomii. Publikacja zosta(cid:32)la sfinansowana ze ´srodk´ow Narodowego Centrum Na- uki przyznanych na podstawie decyzji nr DEC-2011/01/B/HS4/02882. Rozdzia(cid:32)l 1 Modele umieralno´sci 1.1. Wprowadzenie Uznaje si (cid:44)e, ˙ze umieralno´s´c jest relatywnie (cid:32)latwa do modelowania i pro- gnozowania. Jednak w d(cid:32)lugim horyzoncie prognozy, pod wp(cid:32)lywem r´o˙z- norodnych zaburze´n, mog (cid:44)a zachodzi´c nieregularne zmiany w przebiegu tego procesu. Przyk(cid:32)ladem mo˙ze by´c kryzys zdrowotny w Polsce w latach siedemdziesi (cid:44)atych i osiemdziesi (cid:44)atych ubieg(cid:32)lego stulecia ([78]). Kluczow (cid:44)a rol (cid:44)e odgrywa w´owczas dob´or adekwatnego modelu. Przedmiotem modelo- wania s (cid:44)a zazwyczaj tablicowe mierniki umieralno´sci, do kt´orych nale˙z (cid:44)a g(cid:32)l´ownie cz (cid:44)astkowe wsp´o(cid:32)lczynniki zgon´ow lub warunkowe prawdopodo- bie´nstwa zgon´ow. Na ich podstawie dokonuje si (cid:44)e prognozowania innych wielko´sci, np. ´sredniego czasu dalszego trwania ˙zycia. 1.2. Podstawowe tablicowe mierniki umieralno´sci Definicja cz (cid:44)astkowych (grupowych) wsp´o(cid:32)lczynnik´ow zgon´ow odwo(cid:32)luje si (cid:44)e do og´olnej definicji wsp´o(cid:32)lczynnika demograficznego, rozumianego jako iloraz liczby zdarze´n demograficznych okre´slonego rodzaju do (cid:32)l (cid:44)acznego czasu ekspozycji na ryzyko wyst (cid:44)apienia zdarzenia w rzeczywistej lub hipo- tetycznej kohorcie ([85], s. 5–32). Dalej przedstawiona zostanie definicja cz (cid:44)astkowych, kohortowych wsp´o(cid:32)lczynnik´ow demograficznych, wyznacza- nych dla ustalonej kohorty (generacji) os´ob. Definicje kohortowo-przekro- jowych lub przekrojowych wsp´o(cid:32)lczynnik´ow demograficznych znale´z´c mo˙z- na w monografii [91], s. 229–231. Za(cid:32)l´o˙zmy, ˙ze rozwa˙zamy pewn (cid:44)a podzbiorowo´s´c jednostek, wyodr (cid:44)ebnio- nych w danej kohorcie s. Oznaczmy t (cid:44)e podzbiorowo´s´c symbolem x. Zwy- kle indeks x wskazuje na podpopulacj (cid:44)e jednostek (os´ob) wyodr (cid:44)ebnionych ze wzgl (cid:44)edu na wiek, a dok(cid:32)ladniej – b (cid:44)ed (cid:44)acych w wieku x uko´nczonych lat. W takim przypadku x przybiera warto´sci ze zbioru {0, 1, . . . , X}, gdzie X jest g´orn (cid:44)a granic (cid:44)a wieku. 12 Kohortowy, cz (cid:44)astkowy wsp´o(cid:32)lczynnik demograficzny dla os´ob w wieku x w kohorcie s mo˙zna oznaczy´c symbolem W (s) x . W og´olnym przypadku, tj. dla grupy wieku [x, x + n) (n 1, n ∈ N), bardziej adekwatnym jest oznaczenie nW (s) x . Definicja 1.1. Cz (cid:44)astkowym, kohortowym wsp´o(cid:32)lczynnikiem demograficz- nym nazywamy iloraz liczby zdarze´n demograficznych Z (s) x w x-tej pod- zbiorowo´sci w kohorcie s, do (cid:32)l (cid:44)acznego czasu ekspozycji K (s) x na ryzyko wyst (cid:44)apienia danego zdarzenia w tej podzbiorowo´sci, czyli W (s) x = Z (s) x K (s) x C, (1.2.1) gdzie C oznacza zadan (cid:44)a sta(cid:32)l (cid:44)a (np. C = 10 000). Gdy analizowanymi zdarzeniami demograficznymi s (cid:44)a zgony, w´owczas x , gdy n = 1 lub lew (cid:44)a stron (cid:44)e (1.2.1) zwyk(cid:32)lo si (cid:44)e oznacza´c symbolem m(s) symbolem nm(s) x , gdy n 1. Wa˙znymi miernikami w analizie demograficznej, poza wsp´o(cid:32)lczynnikami cz (cid:44)astkowymi, s (cid:44)a prawdopodobie´nstwa warunkowe. Definicja 1.2. Warunkowe, kohortowe prawdopodobie´nstwo zdarze´n de- mograficznych jest ilorazem liczby zdarze´n Z (s) zaobserwowanych w s-tej x kohorcie os´ob b (cid:44)ed (cid:44)acych w wieku x uko´nczonych lat, do liczby L(s) x os´ob do˙zywaj (cid:44)acych wieku x, czyli q(s) x = Z (s) x L(s) x . (1.2.2) W przypadku, gdy rozwa˙zamy przedzia(cid:32)l wieku [x, x + n), dla n 1, w´owczas warunkowe, kohortowe przwdopodobie´nstwo zdarze´n demogra- ficznych oznaczamy symbolem nq(s) x . Dalej, dla uproszczenia notacji, po- mini (cid:44)ety zostanie symbol (s), oznaczaj (cid:44)acy kohort (cid:44)e. 1.3. Zwi (cid:44)azek kohortowych wsp´o(cid:32)lczynnik´ow zgon´ow i prawdopodobie´nstw zgon´ow Niech nZx oraz nKx oznaczaj (cid:44)a odpowiednio liczb (cid:44)e zgon´ow i czas eks- pozycji na ryzyko zgonu w danej kohorcie os´ob, b (cid:44)ed (cid:44)acych w grupie wieku [x, x + n) lat.
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Hybrydowe modelowanie procesów demograficznych z wykorzystaniem rozmytych przyłączających układów dynamicznych
Autor:
, ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: