Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00478 006717 14291955 na godz. na dobę w sumie
Jak tego dowieść - krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego - książka
Jak tego dowieść - krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego - książka
Autor: Liczba stron: 152
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-246-3404-0 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> książki okołoszkolne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Popularnonaukowa książka o dowodach matematycznych

Profesor na wykładzie myśli A, mówi B, a na tablicy pisze C. A student słyszy D, widzi E, do kajetu pisze F, a i tak nic z tego nie rozumie.
prof. L. Jeśmanowicz

Większości z nas matematyka kojarzy się ze zlepkiem niezrozumiałych twierdzeń, ślęczeniem nad zeszytami i strużką potu na czole podczas zmagań pod tablicą. W dodatku - bez względu na to, czy darzysz królową nauk gorącą miłością, czy też nie - na którymś etapie życia po prostu musisz ją zaliczyć. Jednak nie ma co drzeć szat i wylewać krokodylich łez.

Pozaszkolna matematyka to naprawdę świetna zabawa, sensacyjne odkrycia i fascynujące opowieści. Nie na darmo przecież matematyk i publicysta Michał Szurek twierdzi, że 'matematyka jest jedyną humanistyczną nauką ścisłą'. Trudno Ci w to uwierzyć? W takim razie potrzebujesz dowodu! Książeczka, którą trzymasz w ręku, jest Twoim biletem wstępu do tej części matematyki, która większości (także wykształconych) ludzi wydaje się niedostępna, a może nawet dziwna.

I jeśli pragniesz ją jak najszybciej odłożyć, dowiedz się, że jest ona właśnie dla Ciebie! Zamieszczone tu dowody czyta się jak zwykłe opowieści, choć nie skutkuje to najmniejszym uszczerbkiem na ich ścisłości. Dla zrozumienia wszystkich dowodów wystarcza znajomość matematyki na poziomie szkoły średniej, a większość rozdziałów jest odpowiednia także dla gimnazjalistów. Po lekturze niektóre matematyczne zawiłości zaczniesz rozgryzać w sposób iście lekkoatletyczny - 'Rzut oka na tablicę i wszystko widać'.


Dariusz Laskowski jest absolwentem Wydziału Matematyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu, nauczycielem matematyki z wieloletnim doświadczeniem wciąż zafascynowanym swoim przedmiotem, jest też autorem kilkunastu artykułów zamieszczonych w 'Delcie', 'Matematyce w Szkole', 'Magazynie Miłosników Matematyki', 'Matematyce - Czasopiśmie dla nauczycieli'.

W swojej książce Jak tego dowieść - krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego w taki sposób przybliża Czytelnikowi metody dowodowe stosowane w matematyce, że można czytać z przyjemnością ich rozumienia.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce. Redaktor prowadzący: Joanna Stopińska Projekt okładki: Urszula Buczkowska Fotografia na okładce została wykorzystana za zgodą Shutterstock. Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: helion@helion.pl WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek) Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie?jatedo Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję. ISBN: 978-83-246-3404-0 Copyright © Helion 2012 Printed in Poland. • Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści q Wstęp ..............................................................................................................................5 1. Oswoić dowody .........................................................................................................7 2. Indukcja matematyczna .........................................................................................11 3. Ile przekątnych ma n-kąt foremny ........................................................................15 4. Ile jest liczb pierwszych? ........................................................................................19 5. Liczb wymiernych jest tyle samo co liczb naturalnych ......................................25 √2 ...................................................................................29 6. Niewymierność liczby 7. Liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych ........................................35 8. Kąty wewnętrzne trójkąta ......................................................................................39 9. Trysekcja kąta metodą Archimedesa ....................................................................43 10. Twierdzenie Pitagorasa ........................................................................................47 11. Jak obliczyć wartość sinusa 36° ...........................................................................51 12. Twierdzenie sinusów ............................................................................................59 13. Dowód poprawności konstrukcji pięciokąta foremnego ................................63 14. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i trójkąty pitagorejskie ......69 15. Szereg odwrotności liczb naturalnych ...............................................................77 16. Suma szeregu geometrycznego ...........................................................................83 17. Wokół trójkąta Pascala .........................................................................................87 18. Zbieżność szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych ................93 19. Liczba e ...................................................................................................................97 20. Liczba e jest niewymierna ..................................................................................101 21. Suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona ................................103 22. Tożsamości trygonometryczne .........................................................................107 23. Twierdzenie cosinusów ......................................................................................113 24. Twierdzenie Talesa ..............................................................................................115 25. Pewna cecha ciągu liczb pierwszych ................................................................119 26. Reductio ad absurdum ........................................................................................123 27. Ile liczb naturalnych jest między zerem a jedynką? .......................................129 28. Pojęcia pierwotne i aksjomaty...........................................................................135 29. Jak blisko można podejść do liczby π? .............................................................139 30. Liczby algebraiczne i liczby przestępne ............................................................145 Bibliografia ................................................................................................................148 Skorowidz ..................................................................................................................149 4 Wstęp Książka, którą trzymasz w ręku, może być Twoim biletem wstępu do tej części matematyki, która większości ludzi, nawet wykształconych, wydaje się niedostęp- na, a może nawet dziwna czy niepotrzebna. Tematem tej publikacji są bowiem dowody matematyczne. I jeśli zaczynasz teraz myśleć o tym, żeby jak najszybciej odłożyć ją na półkę, dowiedz się, że jest ona właśnie dla Ciebie, bo zamieszczone tu dowody czyta się jak zwykłe opowieści. Autor postawił sobie za cel (a Ty, Czytelniku, sprawdź, czy mu się to udało) za- prezentowanie dowodów w formie zrozumiałej dla laika zainteresowanego ma- tematyką. Książka zawiera przykłady dowodów wprost, nie wprost i dowodów indukcyjnych. Do jej zrozumienia w zupełności wystarcza znajomość matematyki na poziomie szkoły ponadgimnazjalnej, a większość rozdziałów jest dostępna nawet dla gimnazjalistów. Znalazły się tu dowody takich klasycznych twierdzeń jak twierdzenia o niewymierności liczby 2 i liczby e, nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, twierdzenia sinusów, twierdzenia Pitagorasa, rozbieżności szeregu harmonicznego, nieskończoności zbioru liczb pierwszych i kilku innych. Można zatem powiedzieć, że bohaterami tej książki są rozumowania, które mają nas przekonać o prawdziwości twierdzeń matematycznych, przedstawione jednak tak, żeby każdy Czytelnik mógł doznać przyjemności ich rozumienia. 5 14. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i trójkąty pitagorejskie Twierdzenie Pitagorasa możemy sformułować tak: Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości najdłuższego boku tego trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków. W tak zapisanym twierdzeniu wyraźnie rozpoznajemy jego dwie główne części: założenie i tezę. Wygląda to tak: 69 14 Zamiana ich kolejności nie zawsze prowadzi do otrzymania prawdziwego twier- dzenia odwrotnego (tak jest ono nazywane). W przypadku twierdzenia Pitagorasa po zamianie miejscami założenia i tezy, tak że jego założenie pełni rolę tezy twier- dzenia odwrotnego, a jego teza rolę założenia twierdzenia odwrotnego, otrzymu- jemy również twierdzenie prawdziwe. Ponieważ oba twierdzenia są prawdziwe, można by je zapisać w postaci jednego twierdzenia mającego postać równoważności. Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat długości najdłuż- szego boku tego trójkąta jest równy sumie kwadratów długości pozostałych jego boków. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa daje możliwość rachunkowego sprawdzenia, czy dany trójkąt jest prostokątny, czy nie. Wystarczy tylko znać dłu- gości wszystkich jego boków, ustalić, który jest najdłuższy, podnieść do kwadratu długości wszystkich odcinków, zsumować kwadraty długości dwóch krótszych odcinków i porównać tę sumę z kwadratem długości najdłuższego. Spójrz na po- niższe przykłady. Mamy trójkąt o bokach 6 cm, 12 cm i 7 cm. Najdłuższym bokiem jest bok o dłu- gości 12 cm. 70 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i trójkąty pitagorejskie (12 cm)2 = 144 cm2 (6 cm)2+(7 cm)2 = 36 cm2+49 cm2 = 85 cm2 Porównanie wyników obliczeń wskazuje na to, że nasz trójkąt nie jest prostokątny. Weźmy drugi trójkąt, o bokach 13,7 cm, 10,5 cm i 8,8 cm. (13,7 cm)2 = 187,69 cm2 (10,5 cm)2+(8,8 cm)2 = 110,25 cm2+77,44 cm2 = 187,69 cm2 Tym razem mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym. Zwróćmy uwagę na praktyczną stronę tych faktów. Możemy na przykład użyć, wzorem egipskich mierniczych, sznura o długości równej obwodowi pewnego trójkąta prostokątnego, związanego na końcach i z zaznaczonymi na nim miejsca- mi wierzchołków tego trójkąta, do wytyczenia kąta prostego w terenie. Najlepiej do tego nadają się trójkąty o długościach wyrażonych liczbami naturalnymi. Sta- rożytni Egipcjanie znali takie trójkąty, ale jeden był szczególnie prosty — trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 identycznych jednostek. Sprawdźmy, czy jest on rzeczy- wiście prostokątny. 52 = 25 32+42 = 9+16 = 25 Istotnie jest. Trójkąt ten zwany jest trójkątem egipskim. Łatwym do wykonania przyrządem do wytyczenia kąta prostego w terenie jest na przykład linka o długo- ści 3+4+5 = 12 jednostek, zawiązana na końcach, z zaznaczonymi na niej punk- tami w odległościach 3, 4 i 5 jednostek. Trzy osoby, trzymając ową linkę w tych właśnie punktach, po napięciu jej odcinków znajdujących się między tymi punkta- mi, mogą wyznaczyć kąt prosty, który znajduje się oczywiście u zbiegu odcinków długości 3 i 4 jednostek. Oto spotkaliśmy jeden z trójkątów pitagorejskich, to znaczy taki, który jest prosto- kątny i którego długości boków wyrażone są liczbami naturalnymi. Czy jest więcej takich trójkątów? Owszem. Jest ich nieskończenie wiele i nie tylko potrafimy tego dowieść, ale i znaleźć je wszystkie. Pokolenia matematyków udoskonalały dowód 71 14 ich nieskończonej mnogości oraz prawdziwości wzorów pozwalających otrzymać dowolny z nich. Egipcjanie nie znali tych wzorów, choć znali kilka czy kilkanaście trójkątów pitagorejskich. Znaleźli je zapewne metodą prób i błędów, która jest sze- roko stosowana nie tylko przez dzieci stawiające swoje pierwsze kroki, ale również przez matematyków. Metoda ta jednak nie pozwoli nam znaleźć dowodu naszego twierdzenia. Spróbujmy najpierw uściślić problem. Poszukiwanie trójkątów pita- gorejskich jest tożsame ze znajdowaniem rozwiązań równania x2 y2 z 2 w dziedzinie liczb naturalnych, to znaczy ze znajdowaniem trójek liczb natural- nych x, y, z, które je spełniają. Wykluczamy od razu trójki naturalne zawierające liczbę zero, które nie tworzą trójkątów. Na przykład: 02 12 02 02 12, 02. To, że nasze równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie naturalne niezawierające zera, już wiemy. 32 42 52 To znany nam już trójkąt egipski. Zauważmy też, że gdy pomnożymy każdą z tych trzech liczb 3, 4, 5 przez pewną liczbę naturalną d, uzyskując 3d, 4d, 5d, to otrzy- mamy inny, choć podobny do naszego trójkąt pitagorejski. Jeśli bowiem 32 42 52, to po pomnożeniu obu stron równości otrzymamy: 32d2 42d 2 52d2, 3d 2 4d 2 5d 2. Przez przypadek udowodniliśmy, że trójkątów pitagorejskich podobnych do trój- kąta egipskiego jest nieskończenie wiele. A czy są takie, które nie są do niego 72 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i trójkąty pitagorejskie podobne? Spróbujmy to zbadać. Wiemy już, że kiedy mamy jedną trójkę pitago- rejską, to mnożąc każdą z jej liczb przez identyczne niezerowe różne od 1 czynniki naturalne, otrzymujemy ich nieskończenie wiele, ale każdy taki trójkąt jest podob- ny do pozostałych z tej rodziny. Trójka liczb: 3, 4, 5, nie ma wspólnego dzielnika różnego od 1, jest więc jakby założycielem rodu trójkątów pitagorejskich 3d, 4d, 5d podobnych do trójkąta egipskiego. Nazwijmy każdą taką trójkę pitagorejską, która nie ma wspólnego dzielnika, trójką pierwotną i zadajmy jeszcze raz pytanie, czy istnieją różne od 3, 4, 5 pierwotne trójki pitagorejskie, ile ich jest i czy dają się one wyrazić jakimś wzorem. Zmieńmy nieco cel naszych poszukiwań. Szukamy naturalnych niezerowych trójek liczb naturalnych x, y, z, które spełniają równanie x2 y2 z 2 i które nie mają wspólnego dzielnika naturalnego różnego od 1, to znaczy są względnie pierwsze. Będziemy bowiem poszukiwać tylko pierwotnych trójek pitagorejskich. Jeśli jednak x, y, z są względnie pierwsze, to muszą być również parami względnie pierwsze, bo gdyby wspólnym dzielnikiem x i y była liczba d, to x = dk i y = dl i wtedy (dk)2 + (dl)2 = z 2, d 2(k 2 + l 2) = z 2, to znaczy, że d byłoby także dzielnikiem z. Gdyby natomiast któraś z liczb x lub y miała wspólny dzielnik większy od 1 z liczbą z, to — przy założeniu, że to jest x — mielibyśmy x = dk i z = dl i wtedy dk 2 y2 dl 2, y2 d2 l2 k2 , 73 14 a wówczas d byłoby, wbrew założeniu, również dzielnikiem y. Zatem trójki pier- wotne są parami względnie pierwsze. Wynika z tego dalej, że liczby x, y nie mogą być obie parzyste, bo miałyby wspólny dzielnik 2. Zauważmy, że nie mogą być one również obie nieparzyste, gdyby bowiem było x = 2k+1 i y = 2l+1, wtedy x2 y2 2k 1 2 2l 1 2 4k 2 4k 1 4l2 4l 1 4 k2 k l2 l 2 y2 2k 1 2 x2 y2 2l 1 2 2k 1 2 4k 2 4k 1 4l2 4l 1 2l 1 2 4k 2 4k 1 4l2 4l 1 2 4 k2 k l2 l 4 k2 k l2 l 2 4k 2 4k 1 4l2 4l 1 4 k2 k l2 l 2 i liczba z2 byłaby podzielna przez 2, a niepodzielna przez 4, co w przypadku kwa- dratu liczby naturalnej jest niemożliwe. Kwadrat jakiejś liczby naturalnej jest pa- rzysty tylko wtedy, gdy ta liczba jest parzysta, jednakże wtedy kwadrat ten musi być liczbą podzielną przez 4. (2n)2 = 4n2 Zatem jedna z liczb x, y jest parzysta, a druga nieparzysta. Zauważmy, że wtedy liczba z jest nieparzysta. Nie zmniejszając ogólności, możemy założyć, że to x jest parzyste, a y nieparzyste. Wróćmy do naszego równania x2 Otrzymamy: z 2 i  odejmijmy od obu stron y2. y2 x2 z 2 y2. Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia sumy i różnicy dwóch takich samych liczb możemy napisać: x2 z y z y . Zarówno suma, jak i różnica liczb z i y są parzyste, zatem istnieją takie liczby naturalne T i U, że z z y y 2T, 2U, 74 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i trójkąty pitagorejskie wtedy x2 z 2 y2 z y z y 4UT. Liczby U i T są względnie pierwsze. Gdyby bowiem miały jakiś wspólny dzielnik d 1, to d byłoby także dzielnikiem: z T U i y U T, a wiemy, że liczby x i y są względnie pierwsze. Udowodnimy teraz, że liczby U i T są kwadratami pewnych liczb naturalnych. Oprzemy się na twierdzeniu o rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze, które mówi, że każda liczba naturalna rozkłada się w jeden tylko sposób (jeśli nie uwzględniać kolejności czynników) na iloczyn czynników pierwszych. Mamy UT 2 x 2 α1 p2 p1 α2 … pr αr 2 2α1 p2 p1 2αr. 2α2 … pr Liczby U i T możemy przedstawić jako U T β1 p2 p1 γ1 p2 p1 βr, β2 … pr γr, γ2 … pr βi γi (i = 1, 2, ..., r). Ponieważ jednak liczby U i T są względnie pierw- gdzie 2αi sze, to przy każdym i jedna z liczb βi lub γi jest równa zeru i dlatego druga jest równa 2αi. Wszystkie wykładniki w rozkładach U i T na czynniki pierwsze są za- tem parzyste, z czego wynika, że każda z tych liczb jest kwadratem pewnej liczby naturalnej U u2 , T t 2, stąd x 2ut , y u2 t 2 , z u2 t 2. (*) Zatem każda trójka pitagorejska może być przedstawiona w postaci (*), gdzie u i t są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, z których jedna jest parzysta, a druga nieparzysta (w przeciwnym razie obie liczby z i y byłyby parzyste) oraz u  t. 75 14 Prawdziwe jest również i odwrotne twierdzenie, zgodnie z którym dla dowolnych liczb naturalnych względnie pierwszych t i u (u  t), z których jedna jest parzysta, a druga nieparzysta, liczby x, y, z określone wzorami (*) dają rozwiązania rów- nania x2 z 2 w liczbach naturalnych względnie pierwszych. Mamy bowiem y2 x2 y2 4u2t 2 u2 t 2 2 u2 t 2 2 z 2. y 2t2 i x y Ponadto jeśli liczby y i z byłyby podzielne przez liczbę pierwszą p, to również licz- 2u2 byłyby podzielne przez p, a ponieważ p nie może być by z równe 2 (gdyż jedna z liczb t i u jest parzysta, a druga nieparzysta), to liczby y i z są nieparzyste, więc liczby u i t musiałyby być podzielne przez p wbrew założeniu, że są względnie pierwsze. Zatem liczby y i z, a więc również wszystkie trzy: x, y i z, są parami względnie pierwsze. W ten sposób wzory (*) dla liczb t i u (u  t) względnie pierwszych, jednej parzystej, a drugiej nieparzystej, dają wszystkie rozwiązania równania x2 z 2 w liczbach naturalnych. y2 76 15. Szereg odwrotności liczb naturalnych Już w pierwszej klasie szkoły podstawowej uczymy się dodawać i nie wydaje nam się to o wiele trudniejsze od liczenia na palcach. Na początku opanowujemy sztu- kę dodawania dwóch liczb, potem okazuje się, że można dodawać trzy, cztery i w ogóle dowolną skończoną ich ilość. Jesteśmy pewni, że wynik takiego doda- wania zawsze jest jakąś liczbą, nawet jeśli jej nie znamy. A jeśli ktoś poleci nam zsumować nieskończenie wiele liczb dodatnich? Myślę, że wiele osób bez wahania odpowie, że suma nieskończenie wielu liczb dodatnich musi być również nieskoń- czona, tak jak w przypadku poniższych sum. 1 1 1 … 77 15 1 2 1 2 … 1 2 0,2 0,2 0,2 … 1 100 1 100 1 100 … Trzy kropki na końcu wszystkich powyższych wyrażeń oznaczają tu sumowanie nieskończenie wielu składników. Spróbujmy jednak przyjrzeć się sumie 1 2 1 4 1 8 1 16 …, której każdy kolejny składnik jest o połowę mniejszy. Czy wartość tej sumy też jest nieskończona? Nie mając do badania tego problemu innych narzędzi oprócz zdrowego rozsądku, potraktujemy kolejne wyrazy szeregu jak pola wycinków kwadratu o boku 1. Zastąpmy na chwilę liczby wycinkami kwadratu (jak na rysunku 15.1). Rysunek 15.1. Kwadrat o boku 1 Po nałożeniu tych rysunków otrzymamy kwadrat widoczny na rysunku 15.2. 78 Szereg odwrotności liczb naturalnych Rysunek 15.2. Ułamki pola kwadratu Z tego rysunku widać, że dodając kolejne wyrazy naszej sumy, nigdy nie przekro- czymy pola dużego kwadratu, widać również, że z każdym dodanym wyrazem suma jest coraz bliższa wartości 1 — pola całego kwadratu. Czy nie jest to coś dziwnego? Oto mamy sumę nieskończenie wielu składników, która sama jest skończona. Jak rozpoznać, które z takich sum są skończone, a które nieskończone? Nie ma na to pytanie jednej łatwej odpowiedzi, możemy natomiast z całą pewnością stwierdzić, jaki jest warunek konieczny do tego, żeby taka suma istniała. Warunek konieczny to taki, bez którego spełnienia suma z pewnością nie jest skończona, który nie zapewnia jej istnienia. Warunkiem koniecznym istnienia skończonej sumy nieskończonego szeregu jest tak zwana zbieżność do zera ciągu jego kolejnych składników. Krótko mówiąc, jeśli kolejne wyrazy różnią się od zera o coraz mniejszą wartość — robi się ona dowolnie mała — to możliwe jest, że dany szereg ma skończoną sumę. W przeciwnym wypadku jest to wykluczone. Dlatego łatwo możemy stwierdzić, że szeregi: 1 2 3 4 … 1 1 1 1 … 0,01 0,01 0,01 … nie mają skończonych sum. Natomiast nasz pierwszy odkryty szereg nieskończo- ny ze skończoną sumą: 79 15 1 2 1 4 1 8 … 1 spełnia oczywiście warunek konieczny zbieżności — różnica pomiędzy zerem i kolejnymi wyrazami staje się dowolnie mała, jeśli tylko weźmiemy dostatecznie daleki jego wyraz. Czy każdy szereg nieskończony spełniający warunek konieczny ma skończoną sumę? Pytanie to w żargonie matematycznym brzmiałoby tak: czy warunek konieczny zbieżności szeregu jest jednocześnie warunkiem dostatecz- nym (wystarczającym)? Zbadajmy ten problem na przykładzie innego szeregu nieskończonego. 1 1 2 1 3 1 4 1 5 … Jak widać, jego kolejne wyrazy są odwrotnościami kolejnych liczb naturalnych. Matematycy nazywają ten szereg harmonicznym. Spełnia on warunek koniecz- ny, bez którego spełnienia nawet nie zastanawialibyśmy się nad tym, czy ma on skończoną sumę, bo, jak już mówiliśmy, z niespełnienia koniecznego warunku zbieżności wynika brak skończonej sumy. Na tym polega przecież konieczność warunku. Pokażemy, że nie jest to warunek dostateczny, bo szereg harmoniczny nie ma stałej sumy. Zauważmy, że 1 2 1 3 1 5 1 9 1 2 1 4 1 6 1 4 1 4 1 7 1 8 2 4 1 8 1 10 1 11 1 12 1 2 1 8 1 13 1 8 1 14 80 1 8 4 8 1 2 1 15 1 16 1 16 1 16 … 1 16 8 16 1 2 8 razy Szereg odwrotności liczb naturalnych i ogólnie dla dowolnego n 1 1 2n 1 2n 2 … 1 2n 2n 1 1 2n 1 2n 2n 1 . 1 2 Gdyby zatem istniała skończona suma szeregu harmonicznego 1 1 2 1 3 1 4 1 5 …, nie mogłaby być mniejsza od sumy szeregu 1 1 2 1 2 1 2 …, który jest szeregiem rozbieżnym — jego suma jest większa niż każda liczba dodat- nia. Szereg harmoniczny jest zatem rozbieżny. 81 Skorowidz A aksjomaty, 135, 136, 137 aksjomatyka Peana, 136, 137 alef zero, 37 Archimedes, trysekcja kąta, 43, 44, 45 B bliźniacze liczby pierwsze, 120 C Cantor, Georg, 26, 35 ciąg monotoniczny, 97 continuum, 37 cosinus, 108 kąta podwojonego, 110 różnicy kątów, 110 sumy kątów, dowód, 108, 109 cosinusów twierdzenie, dowód, 113, 114 cotangens, 108 D dowody, 8 ilość liczb pierwszych, 22, 23, 103 ilość liczb rzeczywistych, 35, 36, 37 ilość liczb wymiernych, 25, 26, 27, 28 liczba przekątnych n-kąta foremnego, 15, 16, liczby przestępne, 146, 147 nieskończoność sumy odwrotności liczb pierwszych, 103, 104, 105, 106 niewymierność liczby √2, 29, 30, 31, 32, 33, 17, 18 124 niewymierność liczby e, 101, 102 oswajanie, 7 pole trapezu, 9, 10 poprawność konstrukcji pięciokąta foremnego, 63, 64, 65, 66, 67 suma miar kątów wewnętrznych trójkąta, 39, 40, 41 12, 13, 14 suma n początkowych liczb naturalnych, 11, suma szeregu geometrycznego, 83, 84, 85 trysekcja kąta metodą Archimedesa, 45, 46 149 dowody twierdzenie cosinusów, 113, 114 twierdzenie Pitagorasa, 47, 48, 49, 50 twierdzenie sinusów, 59, 60, 61 twierdzenie Talesa, 115, 116, 117 wzór na cosinus sumy kątów, 108, 109 wzór na wartości współczynników w trójkącie Pascala, 91, 92 zbieżność szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych, 95 dowód, 7 indukcyjny, 91 konstruktywny, 121 przez sprzeczność, 123 dziesiętny system pozycyjny, 20, 21, 130 E e, liczba, 97 Euler, 103 dowód niewymierności, 101, 102 F funkcja na , 26 różnowartościowa, 26 funkcje trygonometryczne, 108, 110 obliczanie wartości, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 G Goedel, Kurt, 137 granica, 84 I indukcja matematyczna, 11, 13, 91 liczba przekątnych n-kąta foremnego, 17, 18 suma n początkowych liczb naturalnych, 13, 14 K kąt prosty, wyznaczanie przez starożytnych Egipcjan, 71 klasa wielomianu, 147 klasyczne problemy geometryczne, 43 Kronecker, 129 150 dowód niewymierności, 101, 102 liczba przekątnych n-kąta foremnego, dowód, oszacowanie wartości, 139, 140, 141, 142, liczby algebraiczne, 145, 146 liczby naturalne, 19, 20, 21, 129, 130 nieskończoność, 19, 20 pomiędzy zerem a jedynką, 129, 132 szereg odwrotności, 77, 78, 79, 80, 81 liczby niewymierne, 29, 131, 132 tworzenie, 132 liczby pierwsze, 19, 21, 119, 120, 121 bliźniacze, 120 ilość, dowód, 22, 23, 103 nieskończoność sumy odwrotności, 103, 104, L liczba e, 97 15, 16, 17, 18 liczba π, 132 143 105, 106 liczby przestępne, 145, 146 dowód, 146, 147 liczby rzeczywiste, 35, 36, 37, 145 ilość, dowód, 35, 36, 37 liczby wymierne, 25, 36, 130 ilość, dowód, 25, 26, 27, 28 przedstawienie za pomocą ułamków dziesiętnych, 130, 131 liczby złożone, 21 lim, symbol, 84 M metoda dedukcyjna, 135 połowienia przedziału, 31 przekątniowa, 35 N największy wspólny dzielnik, 31 Newtona, symbol, 89 nieskończoność, 19, 20, 35 niewymierność liczby e, dowód, 101, 102 liczby 2 , dowód, 29, 30, 31, 32, 33, 124 NWD, Patrz największy wspólny dzielnik O obiekty matematyczne, 87 P Pascala, trójkąt, 87, 88, 89, 90, 91 wzór na wartości współczynników, 90, 91, 92 Peana, aksjomatyka, 136, 137 Peano, 136 pięciokąt foremny 66, 67 konstrukcja, 63, 64 Pitagorasa, twierdzenie, 69 dowód poprawności konstrukcji, 63, 64, 65, dowód, 47, 48, 49, 50 twierdzenie odwrotne, 69, 70, 71 zastosowanie do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 pojęcia pierwotne, 135 pola figur płaskich prostokąt, 9 trapez, 8, 9, 10 trójkąt, 117 pozycyjny system dziesiętny, 130 prostokąt, pole, 9 przekątna, 15 przekątne, wielokąty, 15, 16 przemienność, 12 R reductio ad absurdum, 123, 126 równoliczność, 26 S silnia, 90, 94 sinus, 52, 108 sumy kątów, 111 sinusów, twierdzenie, 61 dowód, 59, 60, 61 suma, przemienność, 12 suma n początkowych liczb naturalnych, dowód, suma szeregu geometrycznego, dowód, 83, 84, 11, 12, 13, 14 85 symbol Newtona, 89 systemy pozycyjne, dziesiętny, 20, 21, 130 Skorowidz szereg geometryczny, suma, 83, 84, 85 szereg harmoniczny, 80, 81 szereg odwrotności liczb naturalnych, 77, 78, 79, 80, 81 szereg rozbieżny, 81 szufladkowa zasada Dirchleta, 126 T Talesa, twierdzenie, 115 dowód, 115, 116, 117 tangens, 108 tożsamości trygonometryczne, 107, 108 trapez, pole, 8 dowód, 9, 10 trójkąt egipski, 71, 72 kąty wewnętrzne, 39, 40 liczbowy, Patrz trójkąt Pascala Pascala, 87, 88, 89, 90, 91 pole, 117 suma miar kątów wewnętrznych, dowód, 39, 40, 41 trójkąty pitagorejskie, 71, 72 poszukiwanie, 72 trygonometria, 107 trysekcja kąta metodą Archimedesa, 43, 44, 45 dowód, 45, 46 twierdzenie, 69, 70 teza, 69, 70 założenie, 69, 70 twierdzenie cosinusów, dowód, 113, 114 twierdzenie odwrotne, 70 twierdzenie Pitagorasa, 69 dowód, 47, 48, 49, 50 twierdzenie odwrotne, 69, 70, 71 zastosowanie do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 twierdzenie sinusów, 61 dowód, 59, 60, 61 twierdzenie Talesa, 115 dowód, 115, 116, 117 U ułamki dziesiętne, 130 nieskończone nieokresowe, 36, 131 nieskończone okresowe, 36 skończone, 36 zamiana na ułamki zwykłe, 131 151 W wielokąty, przekątne, 15, 16 wielomian, klasa, 147 wzory redukcyjne, 110 Z zasada szufladkowa Dirchleta, 126 zbieżność, 79 szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych, 93, 94 szeregu odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych, dowód, 95 152
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Jak tego dowieść - krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: