Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00629 006713 11256450 na godz. na dobę w sumie
Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych - ebook/pdf
Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych - ebook/pdf
Autor: Liczba stron:
Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-235-2686-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Publikacja dla studentów matematyki i fizyki, a także innych kierunków nauk przyrodniczych i technicznych na wyższych uczelniach wszelkich typów. Pokazuje, jak radzić sobie z powstającymi w rozlicznych dziedzinach fizyki i techniki zagadnieniami opisywanymi funkcjami wielu zmiennych i ich pochodnymi. Zagadnienia tego typu są wyjątkowo mało podatne na algorytmizację. Książka podaje ich aktualną klasyfikację i dotyczące ich najnowsze twierdzenia, a także wprowadza w krąg specyficznych dla nich nowoczesnych technik.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Paweł Strzelecki Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Paweł Strzelecki Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna Projekt graficzny książki Zofia Kosińska Skład i łamanie Raven c(cid:13) Copyright by Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 2006 Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 00-497 Warszawa, ul. Nowy Świat 4 http://www.wuw.pl; e-mail: wuw@uw.edu.pl Dział Handlowy: tel (0 48 22) 55 31 333 e-mail: dz.handlowy@uw.edu.pl Księgarnia internetowa: http://www.wuw.pl ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Spis tre´sci Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Garść przykładów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Równanie struny i wzór d’Alemberta . . . . . . . . . . 2.2. Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa . . . . . . . . . . . 2.2.1. Struna półnieskończona . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Średnie sferyczne i wyprowadzenie wzoru Kirch- hoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Wzór Poissona. Czego nie mogą płaszczaki? . . . . . . 2.4. Niejednorodne równanie falowe: całki Duhamela . . . 3. Równanie przewodnictwa cieplnego . . . . . . . . . . 3.1. Istnienie rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Zasada maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego . . . 3.4. Dygresja probabilistyczna . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Funkcje harmoniczne i równanie Laplace’a . . . . . . 4.1. Własność wartości średniej i zasada maksimum . . . . 4.2. Nierówność Harnacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Formuła reprezentacyjna Greena . . . . . . . . . . . . 4.4. Zagadnienie Dirichleta w kuli: całka Poissona . . . . . 4.4.1. Oszacowania pochodnych i ciągi funkcji harmo- nicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Metoda Perrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Bariery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Klasyfikacja równań rzędu drugiego . . . . . . . . . . 7 9 10 15 15 17 18 19 24 25 28 28 32 35 36 38 39 42 43 47 51 52 56 61 ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 6 Spis tre´sci 6. Przestrzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Motywacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Definicje, niektóre własności . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Gęstość funkcji gładkich . . . . . . . . . . . . . 6.3. Nierówność Poincarégo i twierdzenie Sobolewa . . . . 6.4. Twierdzenie Rellicha–Kondraszowa . . . . . . . . . . . 7. Słabe rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Metoda wariacyjna Ritza . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Zastosowania metody Ritza . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Inne metody konstrukcji słabych rozwiązań . . . . . . 7.3.1. Lemat Laxa i Milgrama . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Przykład zastosowania lematu Laxa i Milgrama 7.3.3. Wzmianka o metodzie Galerkina . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Z powrotem do zwyczajności: lemat Weyla 64 65 68 72 73 77 80 84 84 90 94 94 95 98 99 8. Wartości własne laplasjanu . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.1. Dygresja: operatory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.2. Wartości własne laplasjanu . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.3. Wzmianka o twierdzeniu Weyla. Czy można usłyszeć kształt bębenka? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 9. Informacja o twierdzeniu Kowalewskiej . . . . . . . . 111 9.1. Przykład Mizohaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.2. Twierdzenie Kowalewskiej . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Dodatki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A. Oznaczenia i uzupełnienia . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.1. Przestrzenie Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.2. Przestrzenie funkcji całkowalnych . . . . . . . . . . . 118 B. Szeregi Fouriera dla leniwych . . . . . . . . . . . . . . 120 B.1. Model przepływu ciepła w jednorodnym pręcie . . . . 121 B.2. Model drgającej struny . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . . . . . 124 B.3. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych . . . . . . . . . 124 B.4. Szeregi Fouriera funkcji całkowalnych z kwadratem . . 127 B.5. Kryteria zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 B.2.1. Wzory na współczynniki C. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 C.1. Rozwiązania klasyczne równań liniowych . . . . . . . 132 C.2. Przestrzenie Sobolewa i słabe rozwiązania . . . . . . . 143 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Wst˛ep Tekst tej książeczki odpowiada dość wiernie semestralnemu wykładowi z równań różniczkowych cząstkowych, który prowa- dziłem w latach akademickich 1998/99, 2001/02 oraz 2004/05 na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu War- szawskiego. Czytelnik znajdzie w niej dość klasyczne omówienie trzech naj- ważniejszych równań liniowych drugiego rzędu: równania falowego, równania przewodnictwa cieplnego i równania Laplace’a, a następnie pobieżny i szybki przegląd teorii przestrzeni Sobolewa, krótkie omó- wienie pojęcia słabego rozwiązania (równania eliptycznego w postaci dywergencyjnej), lemat Weyla, garść informacji o wartościach wła- snych operatora Laplace’a i, na zakończenie, informację o twierdze- niu Kowalewskiej. Mam nadzieję, że dzięki takiemu eklektycznemu doborowi materiału Czytelnicy będą mogli z jednej strony otrzeć się o bardzo klasyczne partie teorii, a z drugiej strony – zapoznać się z odrobiną pojęć i metod dwudziestowiecznych, przydatnych także w badaniach równań nieliniowych. Zasadniczym celem było przed- stawienie wykładu różnorodnego, w jakimś sensie zamkniętego, prowokującego przynajmniej niektórych do samodzielnych poszuki- wań – a jednocześnie w miarę zrozumiałego, nawet dla słabszych studentów. Nie wszystko zostało wyjaśnione do ostatniego szczegółu; tekst zawiera liczne drobne luki. Ich samodzielne uzupełnienie i wyja- śnienie powinno być dla Czytelnika okazją do lepszego zrozumienia omawianych pojęć. Szerokie marginesy są m.in. po to, by moż- na było robić na nich własne rysunki, dopisywać uwagi, obliczenia itp. Liczne dodatkowe informacje (czasem dość poważne twierdze- nia) są zawarte w zadaniach, które zaczerpnąłem z bardzo różnych źródeł. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 8 Wst˛ep Wykład semestralny z konieczności musi być szczupły, a żaden tekst takiego wykładu nie jest ani monografią, ani solidnym, wszech- stronnym podręcznikiem. Między innymi dlatego pominięte zostały: półgrup; ograniczonych; nie; ru d’Alemberta i niektóre proste zadania); • spojrzenie na równania ewolucyjne z punktu widzenia teorii • omówienie równania przewodnictwa cieplnego w obszarach • szczegółowa klasyfikacja równań rzędu drugiego na płaszczyź- • równania rzędu pierwszego (pominąwszy wyprowadzenie wzo- • klasyczna teoria dystrybucji i transformata Fouriera; • teoria potencjału i równania całkowe. Wiedzy o powyższych zagadnieniach trzeba niestety szukać gdzie indziej. Osoby, które chcą się poważniej zainteresować równania- mi różniczkowymi cząstkowymi (i wykorzystywanymi w nich dzia- łami analizy matematycznej), powinny sięgnąć np. do wymienio- nych w spisie literatury książek L.C. Evansa, H. Marcinkowskiej, M.E. Taylora, W. Michajłowa i innych. Za uwagi, które przyczyniły się do ulepszenia tekstu, jestem wdzięczny recenzentom: prof. dr hab. Piotrowi Bilerowi, dr Micha- łowi Krychowi, prof. dr hab. Tadeuszowi Nadziei, a także wielu stu- dentom, którzy wcześniejszymi wersjami tekstu tej książki posługi- wali się, słuchając moich wykładów i ucząc się do egzaminów. Wszelkie niedociągnięcia i błędy obciążają wyłącznie moje konto. Paweł Strzelecki ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1. Wprowadzenie Równania różniczkowe cząstkowe – równania, w których wystę- puje niewiadoma funkcja wielu zmiennych i jej pochodne wzglę- dem różnych zmiennych – stanowią dziedzinę, która (szczególnie w oczach studenta, wyposażonego w bagaż dwóch pierwszych lat studiów matematycznych i przyzwyczajonego do eleganckich teorii, budowanych w trybie: abstrakcyjna i ogólna definicja, przy- kład, lemat, twierdzenie, dowód, wniosek) dość poważnie różni się od innych gałęzi matematyki. Składa się na to kilka przyczyn. Po pierwsze, jest to dziedzina niezwykle obszerna, łącząca się z wieloma partiami analizy matematycznej, a także z geometrią różniczkową oraz (w mniejszym zakresie) rachunkiem prawdopo- dobieństwa. Osoba, która na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW prowadzi wykład Równania różniczkowe cząstkowe I , powinna przedstawić studentom dość obszerny materiał, którego początki sięgają lat 1740–1750 i prac Daniela Bernoulliego oraz Jeana d’Alemberta poświęconych równaniu struny, a którego najbardziej zaawansowana partia pochodzi z okolic połowy dwudziestego wieku – i praktycznie nie sposób jej omówić, nie sięgając po twierdzenie Stokesa oraz okruchy analizy funkcjonalnej. Przykłady ilustrujące sposoby rozwiązywania pojedynczych równań lub własności rozwią- zań są często niełatwe – nie ze względu na jakąś szczególną komplika- cję pojęć, lecz dlatego, że aby ocenić i docenić końcowy wynik, trzeba się najpierw przebić przez warstwę rachunków, na ogół dłuższą niż, powiedzmy, w algebrze liniowej. Mało kto lubi rachunki – szczególnie przed ich wykonaniem. Dodajmy, że niektóre z przykładów podawa- nych zwyczajowo na ćwiczeniach z tego przedmiotu miały w swoim czasie przełomowe znaczenie. Na przykład teoria szeregów Fouriera wyrosła z prób rozwiązywania równania falowego i równania prze- wodnictwa cieplnego w jednym wymiarze przestrzennym, a korzenie teorii przestrzeni Hilberta (oraz operatorów zwartych) wiążą się z ba- daniem równań Laplace’a i Poissona (i wartości własnych laplasjanu). ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 10 1. Wprowadzenie Po drugie, nie istnieje coś takiego, jak ogólna teoria równań różniczkowych cząstkowych. Nie ma właściwie żadnych twier- dzeń, które dotyczyłyby wszystkich równań różniczkowych cząst- kowych (za wyjątek, wymagający i tak przyjęcia bardzo ostrych za- łożeń i poważnego ograniczenia klasy rozpatrywanych równań, moż- na uznać twierdzenie Cauchy’ego i Kowalewskiej, które omawiamy krótko w ostatnim rozdziale). Owszem, są przykłady – często bar- dzo rozbudowane, są twierdzenia, dotyczące zwykle jednego równa- nia lub układu równań, a w wersji optymistycznej – tej czy innej klasy równań, na ogół dość wąskiej, biorąc pod uwagę, jak szero- ka jest klasa wszystkich napisów, które bylibyśmy skłonni nazwać równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Ale na tym, w jakimś sensie, koniec. Po trzecie wreszcie, w równaniach różniczkowych cząstkowych często warto odwołać się do motywacji fizycznej (oraz do fizycznej interpretacji niektórych twierdzeń, wzorów itp.). To właśnie fizyk mówi niekiedy matematykowi, które równania z nieskończonej listy są ważne i warto je rozważyć najpierw – bowiem ich rozwiązania opisują jakiś proces fizyczny. (Niemal wszystkie osoby, które na dal- szych stronach zostaną wymienione z nazwiska, zajmowały się i ma- tematyką, i fizyką) Nie oznacza to oczywiście, że nie sposób uczyć się teorii równań cząstkowych, o ile się nie zna fizyki. Z drugiej stro- ny, elementarna znajomość fizyki pozwala wyrobić sobie pełniejszy obraz niektórych partii teorii. W świetle tych uwag nie ma sensu rozpoczynać wykładu od ogól- nej definicji równania różniczkowego cząstkowego (z której i tak nie będziemy później korzystać). Zamiast tego podamy kilka przy- kładów. Bliższe omówienie trzech z nich zajmie nam mniej więcej pół semestru. 1.1. Gar´s´c przykładów A Układ równań Cauchy’ego–Riemanna Wiadomo (patrz dowolny podręcznik do teorii funkcji analitycz- nych), że funkcja f = u + iv : C → C ma w każdym punkcie po- chodną zespoloną wtedy i tylko wtedy, gdy jej część rzeczywista u i zespolona v spełniają układ równań ux = vy, uy = −vx. (1.1) Zatem, w pewnym sensie, cała teoria funkcji analitycznych zajmu- je się badaniem własności rozwiązań jednego układu dwóch linio- ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1.1. Gar´s´c przykładów 11 wych równań różniczkowych cząstkowych (pierwszego rzędu, o sta- łych współczynnikach). B Równanie powierzchni minimalnych Niech D = D(0, 1) ⊆ R2 będzie dyskiem jednostkowym; rozpa- trujemy wszystkie funkcje u : D → R klasy C 2, których wartości takich u połóżmy brzegowe u(cid:12)(cid:12)∂D są równe ustalonej funkcji ciągłej ϕ : ∂D → R. Dla P [u] =ZD p1 + |∇u|2 dx dy, gdzie |∇u|2 = (ux)2 + (uy)2 jest kwadratem długości gradientu funkcji u. Wartością funkcjona- łu P jest pole powierzchni stanowiącej wykres funkcji u; brzegiem tej powierzchni jest ustalona krzywa Jordana w R3, składająca się z punktów (cos t, sin t, ϕ(cos t, sin t)). Można zadać naturalne pyta- nie: czy P osiąga swą wartość najmniejszą, a jeśli tak, to dla jakiej funkcji? Nietrudno podać warunek konieczny na to, by P [u] = min; jeśli tak jest, to z pewnością dla każdej liczby ε ∈ R i każdej funkcji ψ ∈ C∞0 (D) mamy F (ε) : = P [u + εψ] ≥ P [u] = F (0). F jest funkcją jednej zmiennej ε i w zerze ma minimum lokalne, więc (proszę sprawdzić, że F jest funkcją różniczkowalną!) F ′(0) = 0. Różniczkując pod znakiem całki, otrzymujemy zatem warunek lub równoważnie, na mocy twierdzenia Gaussa–Ostrogradskiego, ∀ ψ ∈ C∞0 (D). Z dowolności ψ wynika, że wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe zeru, tzn. (cid:18) uxp1 + |∇u|2(cid:19)x +(cid:18) uyp1 + |∇u|2(cid:19)y = 0 w dysku D. (1.2) ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== ZD ψ (cid:18) uxψx + uyψy p1 + |∇u|2 uxp1 + |∇u|2(cid:19)x ZD dx dy = 0 ∀ ψ ∈ C∞0 (D), +(cid:18) uyp1 + |∇u|2(cid:19)y# dx dy = 0 Listę oznaczeń można znaleźć w dodatku A Twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego formułujemy na początku rozdziału 4 (patrz tw. 4.3) 12 1. Wprowadzenie Jest to wspomniany warunek konieczny. Jego geometryczna inter- pretacja jest następująca: wykres funkcji u ma w każdym punkcie średnią krzywiznę równą 0. C Równanie przewodnictwa cieplnego Niech Ω będzie obszarem w Rn; dodatkową zmienną t ≥ 0 bę- dziemy interpretować jako czas. Równanie gdzie ut − ∆xu = 0, ∆x = ∂2 ∂x2 i nXi=1 (1.3) (1.4) jest tzw. operatorem Laplace’a (krótko: laplasjanem), nazywa się równaniem przewodnictwa cieplnego. Niewiadoma funkcja u : Ω × [0,∞) → R jest, z fizycznego punktu widzenia, temperaturą sub- stancji (jednorodnej i izotropowej) wypełniającej obszar Ω; ściślej, u(x, t) jest temperaturą w punkcie x ∈ Ω w chwili czasu t. Aby zagwarantować istnienie i jednoznaczność rozwiązań, rów- nanie (1.3) uzupełnia się warunkami początkowymi i brzegowymi. Na przykład zakłada się np., że dany jest początkowy rozkład tem- peratury u(x, 0) = f (x) i wiadomo ponadto, w jaki sposób dokonuje się wymiana ciepła między Ω i otoczeniem, np. • u(cid:12)(cid:12)∂Ω = 0 (warunek brzegowy Dirichleta: stała temperatura ∂n(cid:12)(cid:12)∂Ω = 0 (warunek brzegowy Neumanna: zewnętrza obszaru Ω); • pochodna normalna ∂u brak przepływu ciepła przez brzeg obszaru Ω). Podamy, dla n = 3, szkicowe wyprowadzenie równania (1.3). Potrzebne w nim będą dwa założenia o charakterze fizycznym. Po pierwsze, przyjmiemy, że tzw. strumień ciepła J(x, t), tzn. wektor wskazujący kierunek i tempo przepływu ciepła, jest proporcjonalny do gradientu temperatury, J (x, t) = −k∇xu = −k(ux1, ux2, ux3). (Stała k jest dodatnia, minus ma sens fizyczny.) Zatem, ilość ciepła przepływającego przez powierzchnię Σ w jednostce czasu jest równa ZΣ hJ, ni dσ; ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1.1. Gar´s´c przykładów 13 n oznacza jednostkowy wektor normalny do powierzchni Σ. Ilość ciepła, wypływającego w jednostce czasu z obszaru V ⊆ Ω, to Z∂V hJ , ni dσ =ZV divJ dx. (Równość całek wynika z twierdzenia Gaussa–Ostrogradskiego; za- kładamy milcząco, że temperatura u jest funkcją klasy C 2). Drugie założenie o charakterze fizycznym orzeka, że każdy obszar V ⊆ Ω ogrzewa się proporcjonalnie do ilości ciepła, która doń wpływa. Prze- to, z uwagi na ostatnie równanie, −ZV c to znaczy divJ dx, ∂u ∂t dx =Z∂V ZV (cid:18)divJ + c hJ , ni dσ =ZV ∂t(cid:19) dx = 0. ∂u Ponieważ V jest dowolny, więc wynika stąd, że ∂u ∂t c = −divJ = div(k∇u) = k∆xu, to znaczy przy odpowiednim doborze jednostek1 ut = ∆xu. istotnie jest D Równanie Laplace’a Jest to równanie ∆u = 0. Jego rozwiązania nazywa się funkcjami harmonicznymi (patrz rozdz. 4). Jak poprzednio, ∆ jest operatorem Laplace’a, funkcja u zaś jest określona na pewnym obszarze Ω ⊆ Rn. Równanie Laplace’a opisuje stany stacjonarne rozmaitych procesów fizycznych: w zależności od interpretacji, funkcja u może być np. stacjonarnym (granicznym) rozkładem temperatury w obszarze Ω, potencjałem pola grawita- cyjnego bądź pola elektromagnetycznego (w obszarze pozbawionym źródeł pola). Dla n = 2, część urojona i rzeczywista funkcji anali- tycznej (patrz przykład A ) są funkcjami harmonicznymi. 1Widać, że gdy pomijamy współczynniki c i k, to lewa strona ut ma jednostkę sto- pień na sekundę, natomiast prawa strona, ∆xu, ma jednostkę stopień przez metr do kwadratu. Fizyk likwiduje tę niezgodność, nadając odpowiednie jednostki współczyn- nikom. My nie będziemy się tą sprawą więcej przejmować. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 14 1. Wprowadzenie E Równanie falowe Jest to równanie utt − c2∆xu = 0, x ∈ Ω ⊆ Rn, t 0. (1.5) Dla n = 1 równanie (1.5) opisuje (niewielkie) drgania struny, dla n = 2 – drgania membrany (błony bębenka), w najciekawszym zaś z fizycznego punktu widzenia przypadku n = 3 – fale elektro- magnetyczne (a także akustyczne). Wartości u(x, t) niewiadomej funkcji u są wychyleniami z położenia równowagi. Od badania własności rozwiązań równania falowego w najprost- szym przypadku, dla n = 1, zaczniemy prawdziwą pracę. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 2. Równanie falowe 2.1. Równanie struny i wzór d’Alemberta Niech L oznacza operator różniczkowy dany wzorem L = ∂2 ∂t2 − c2 ∂2 ∂x2 . Zauważmy, że L = L2 ◦ L1, gdzie L1 = ∂ ∂t − c ∂ ∂x , L2 = ∂ ∂t + c ∂ ∂x . Rozważymy zagadnienie początkowe Cauchy’ego dla równania struny swobodnej: Lu ≡ utt − c2uxx = 0 dla x ∈ R, t 0, u(x, 0) = f (x) dla x ∈ R, ut(x, 0) = g(x) dla x ∈ R. (2.1)  Funkcje f ∈ C 2(R) i g ∈ C 1(R) są z góry dane (opisują, odpowied- nio, początkowe wychylenie struny z położenia równowagi oraz jej początkową prędkość). Niewiadomą jest funkcja u, klasy C 2. Etap 1. Wyznaczymy postać wszystkich rozwiązań równania Lu = 0. Rozbijemy to zadanie na dwa kroki: rozwiążemy równa- nia L1u = v i L2v = 0 (A) Załóżmy, że L2v = 0 w pewnym zbiorze wypukłym E ⊆ R2. Niech ℓγ oznacza prostą x − ct = γ = const (γ ∈ R). Połóżmy h = v |ℓγ , to znaczy, ściśle mówiąc, h(t) := v(γ + ct, t). ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Uwaga. Ściślej mówiąc, będziemy poszukiwać rozwiązania klasy C 1 w półpłaszczyźnie domkniętej R × [0,∞), które jest klasy C 2 na półpłaszczyźnie otwartej R × (0,∞).
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Krótkie wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: