Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00280 005832 11247525 na godz. na dobę w sumie
Logika dla bystrzaków - ebook/pdf
Logika dla bystrzaków - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 352
Wydawca: Septem Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-283-3382-6 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> przewodniki
Porównaj ceny (książka, ebook (-20%), audiobook).

Uporządkuj swoje myśli i stosuj logikę w życiu codziennym

Ten napisany ludzkim językiem samouczek pomoże Ci zrozumieć różnorakie zagadnienia logiczne, od dowodów, rachunku kwantyfikatorów i paradoksów, po logikę symboliczną, struktury semantyczne i sylogizmy. Omówione krok po kroku przykłady pokażą Ci, jak przeprowadzić wnioskowanie, udowodnić jego poprawność i wykorzystać prawa równoważności.

W książce:


Mark Zegarelli ukończył studia matematyczne i anglistyczne na Uniwersytecie Rutgersa. Do tej pory napisał cztery książki i niezliczoną ilość artykułów prasowych o łamigłówkach logicznych.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Tytuł oryginału: Logic For Dummies Tłumaczenie: Maksymilian Gutowski ISBN: 978-83-283-3381-9 Original English language edition Copyright © 2007 by John Wiley Sons, Inc., Hoboken, New Jersey All rights reserved including the right of reproduction in whole or in part in any form. This translation published by arrangement with John Wiley Sons, Inc. Oryginalne angielskie wydanie Copyright © 2007 by John Wiley Sons, Inc., Hoboken, New Jersey Wszelkie prawa, włączając prawo do reprodukcji całości lub części w jakiejkolwiek formie, zarezerwowane. Tłumaczenie opublikowane na mocy porozumienia z John Wiley Sons, Inc. Translation copyright © 2017 by Helion S.A. Wiley, the Wiley Publishing logo, For Dummies, Dla Bystrzaków, the Dummies Man logo, A Reference for the Rest of Us!, The Dummies Way, Dummies Daily, The Fun and Easy Way, Dummies.com, and related trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley and Sons, Inc. and/or its affiliates in the United States and/or other countries. Used by permission. Wiley, the Wiley Publishing logo, For Dummies, Dla Bystrzaków, the Dummies Man logo, A Reference for the Rest of Us!, The Dummies Way, Dummies Daily, The Fun and Easy Way, Dummies.com, i związana z tym szata graficzna są markami handlowymi John Wiley and Sons, Inc. i/lub firm stowarzyszonych w Stanach Zjednoczonych i/lub innych krajach. Wykorzystywane na podstawie licencji. Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce. Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://septem.pl/user/opinie/logiby Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję. Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: septem@septem.pl WWW: http://septem.pl (księgarnia internetowa, katalog książek) Printed in Poland. • Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści O autorze ...........................................................................15 Podziękowania od autora ...............................................17 Wstęp .................................................................................19 O książce ....................................................................................................................19 Konwencje zastosowane w książce ........................................................................20 Czego nie czytać ........................................................................................................21 Naiwne założenia ......................................................................................................21 Jak podzielona jest książka ......................................................................................21 Część I: Wprowadzenie do logiki .......................................................................22 Część II: Rachunek zdań .....................................................................................22 Część III: Dowody, składnia i semantyka w rachunku zdań ...........................22 Część IV: Rachunek kwantyfikatorów ...............................................................23 Część V: Nowe kierunki w logice .......................................................................23 Część VI: Dekalogi ...............................................................................................23 Ikony użyte w książce ...............................................................................................23 Co dalej ......................................................................................................................24 CZĘŚĆ I: WPROWADZENIE DO LOGIKI .......................................25 ROZDZIAŁ 1: Czym właściwie jest logika? ............................................27 Z perspektywy logiki .................................................................................................28 W poszukiwaniu odpowiedzi .............................................................................28 Przyczyna i skutek ...............................................................................................29 Wszystko i jeszcze trochę ..................................................................................30 Istnienie jako takie ..............................................................................................31 Logiczne słowa ....................................................................................................31 Prowadzenie wnioskowania ....................................................................................31 Formułowanie przesłanek .................................................................................32 Wypełnianie luk krokami pośrednimi ..............................................................32 Formułowanie wniosku ......................................................................................33 Spis treści 5 Poleć książkęKup książkę Orzekanie o poprawności wnioskowania ........................................................33 Wskazywanie przesłanek entymematycznych ................................................33 Proste dochodzenie do wniosków dzięki pierwszym zasadom myślenia .........34 Zasada tożsamości .............................................................................................34 Zasada wyłączonego środka .............................................................................34 Zasada niesprzeczności .....................................................................................35 Łączenie logiki z matematyką .................................................................................35 Matematyka pomaga w zrozumieniu logiki ....................................................35 Logika pomaga w zrozumieniu matematyki ...................................................36 ROZDZIAŁ 2: Od Arystotelesa do komputera ......................................37 Logika klasyczna — od Arystotelesa do oświecenia .............................................38 Arystoteles wynajduje sylogistykę ....................................................................38 Aksjomaty i twierdzenia Euklidesa ...................................................................41 Chryzyp i stoicy ...................................................................................................42 Czas letargu .........................................................................................................42 Logika nowożytna — XVII, XVIII i XIX wiek ..............................................................43 Leibniz i renesans ...............................................................................................43 Rozwój logiki formalnej ......................................................................................44 Logika w XX wieku i współcześnie ..........................................................................47 Logika nieklasyczna ............................................................................................48 Twierdzenie Gödla ..............................................................................................48 Epoka komputerów ............................................................................................49 Co nas jeszcze czeka? .........................................................................................49 ROZDZIAŁ 3: Jak działa wnioskowanie? ...............................................51 Definicja logiki ...........................................................................................................52 Analiza struktury wnioskowania .......................................................................52 Określanie poprawności formalnej ..................................................................54 Przykłady wnioskowań .............................................................................................55 Niedzielny wypad na lody ..................................................................................55 Biedny Fifi ............................................................................................................56 Gdzie wiosna spaliną oddycha ..........................................................................56 Przypadek niezadowolonego pracownika .......................................................57 Czym logika nie jest ..................................................................................................57 Myślenie a logika ................................................................................................58 Rzeczywistość — co to takiego? ........................................................................59 Adekwatność .......................................................................................................60 Dedukcja i indukcja ............................................................................................61 Pytania retoryczne ..............................................................................................62 6 Logika dla bystrzaków Poleć książkęKup książkę Na co to komu? .........................................................................................................64 Liczby i relacje (matematyka) ............................................................................64 Wyprawa na księżyc (nauki przyrodnicze) .......................................................65 I/O (informatyka) ................................................................................................65 Powtórz to w sądzie (prawo) .............................................................................65 Odnaleźć sens życia (filozofia) ...........................................................................66 CZĘŚĆ II: RACHUNEK ZDAŃ .......................................................67 ROZDZIAŁ 4: Kwestie formalne .............................................................69 Formalne aspekty logiki zdań .................................................................................70 Stałe zdaniowe ....................................................................................................70 Zmienne zdaniowe .............................................................................................71 Wartość logiczna .................................................................................................71 Pięć operatorów logiki zdań ....................................................................................71 Negacja ................................................................................................................72 Koniunkcja ...........................................................................................................74 Alternatywa .........................................................................................................75 Implikacja .............................................................................................................77 Równoważność ...................................................................................................79 Rachunek zdań a prosta arytmetyka .....................................................................80 Wartości wejściowe i wyjściowe ........................................................................80 Podstawianie .......................................................................................................82 Nawiasy ................................................................................................................82 Tłumaczenie zdań .....................................................................................................83 Tłumaczenie z rachunku zdań na polski ..........................................................83 Tłumaczenie z polskiego na rachunek zdań ....................................................85 ROZDZIAŁ 5: Znaczenie ewaluacji ........................................................89 Wartość logiczna .......................................................................................................90 Wprowadzenie do ewaluacji w logice zdań .....................................................90 Inna metoda ........................................................................................................92 Praca z wyrażeniami .................................................................................................93 Wskazywanie wyrażeń podrzędnych ...............................................................93 Zakresy wyrażeń .................................................................................................94 Wskazywanie operatorów głównych ................................................................95 Osiem form wyrażeń w logice zdań .......................................................................97 Powtórka z ewaluacji ................................................................................................98 Spis treści 7 Poleć książkęKup książkę ROZDZIAŁ 6: Tablice prawdy w ewaluacji wyrażeń ..........................101 Tablica: metoda siłowa ..........................................................................................102 Twoja pierwsza tablica prawdy .............................................................................103 Przygotowanie tablicy prawdy ........................................................................103 Wypełnianie tablicy prawdy ..................................................................................105 Odczytywanie tablicy prawdy ..........................................................................107 Praca z tablicami prawdy .......................................................................................108 Tautologie i kontrtautologie ............................................................................108 Ocena ekwiwalencji semantycznej .................................................................109 Spójność ............................................................................................................110 Sprawdzanie poprawności ..............................................................................111 Składanie elementów w całość .............................................................................113 Łączenie tautologii z kontrtautologią .............................................................113 Łączenie ekwiwalencji semantycznej z tautologią ........................................115 Łączenie niespójności z kontrtautologią ........................................................115 Łączenie poprawności z kontrtautologią .......................................................116 ROZDZIAŁ 7: Tablice błyskawiczne .....................................................119 Tablica prawdy jest passé — nadszedł czas tablicy błyskawicznej ...................120 Proces stosowania tablicy błyskawicznej .............................................................121 Przyjmowanie założeń strategicznych ...........................................................121 Wypełnianie tablicy błyskawicznej ..................................................................122 Odczytywanie tablicy błyskawicznej ...............................................................123 Obalenie założenia ...........................................................................................123 Planowanie strategii ...............................................................................................124 Tautologia ..........................................................................................................125 Kontrtautologia .................................................................................................125 Wyrażenie przygodne ......................................................................................125 Ekwiwalencja i nieekwiwalencja semantyczna ..............................................126 Spójność i niespójność .....................................................................................126 Poprawność i niepoprawność .........................................................................126 Jak pracować z tablicami błyskawicznymi, żeby się nie przemęczyć ................127 Rozpoznawanie sześciu najprostszych typów wyrażeń ...............................128 Praca z czterema nieco bardziej złożonymi typami wyrażeń ......................129 Radzenie sobie z sześcioma trudnymi typami wyrażeń ..............................132 ROZDZIAŁ 8: Drzewa semantyczne ....................................................135 Jak działa drzewo semantyczne? ..........................................................................136 Rozkład wyrażeń logiki zdań ...........................................................................136 Rozwiązywanie problemów przy użyciu drzew semantycznych .................138 8 Logika dla bystrzaków Poleć książkęKup książkę Sprawdzanie spójności lub niespójności .............................................................139 Sprawdzanie poprawności lub niepoprawności .................................................141 Odróżnianie tautologii, kontrtautologii i wyrażeń przygodnych .......................143 Tautologie ..........................................................................................................144 Kontrtautologie .................................................................................................147 Wyrażenia przygodne ......................................................................................149 Sprawdzanie ekwiwalencji semantycznej lub jej braku .....................................149 CZĘŚĆ III: DOWODY, SKŁADNIA I SEMANTYKA W RACHUNKU ZDAŃ ...............................................153 ROZDZIAŁ 9: Konstrukcja dowodów ..................................................155 Koniec z segregacją przesłanek i wniosków ........................................................156 Osiem reguł implikacji w logice zdań ...................................................................157 Reguły implikacji: modus ponens i modus tollens .......................................158 Reguły koniunkcji: dołączanie i opuszczanie .................................................160 Reguły alternatywy: dołączanie i opuszczanie ..............................................162 Reguły podwójnej implikacji: sylogizm hipotetyczny i dylemat konstrukcyjny .........................................165 ROZDZIAŁ 10: Reguły ekwiwalencji ......................................................169 Odróżnianie implikacji od ekwiwalencji ...............................................................170 Ekwiwalencje działają w obie strony ..............................................................170 Odnoszenie ekwiwalencji do części ................................................................170 Dziesięć reguł ekwiwalencji ...................................................................................170 Opuszczanie negacji (ON) ................................................................................171 Transpozycja (Trans) ........................................................................................172 Reguła zastępowania implikacji (ZI) ................................................................172 Eksportacja (Eks) ...............................................................................................174 Przemienność (Przem) .....................................................................................175 Łączność (Łącz) ..................................................................................................175 Reguła rozdzielności koniunkcji względem alternatywy (Roz) ....................176 Prawo de Morgana (DeM) ................................................................................178 Tautologia (Taut) ...............................................................................................179 Reguła zastępowania równoważności (ZR) ....................................................180 ROZDZIAŁ 11: Założenia w dowodzeniu warunkowym i nie wprost .....................................................................183 Dowód warunkowy ................................................................................................184 Jak działa dowód warunkowy ..........................................................................185 Wykorzystanie wniosku ...................................................................................186 Więcej niż jedno założenie ...............................................................................188 Spis treści 9 Poleć książkęKup książkę Dowodzenie nie wprost .........................................................................................189 Jak działa dowód nie wprost ...........................................................................189 Udowadnianie krótkich wniosków .................................................................191 Łączenie dowodu warunkowego z dowodem nie wprost .................................192 ROZDZIAŁ 12: Strategia konstruowania dowodów ............................193 Proste dowody: metoda na wyczucie ..................................................................194 Przyjrzyj się problemowi ..................................................................................194 Zapisz podstawowe spostrzeżenia .................................................................195 Wiedz, kiedy skończyć ......................................................................................197 Umiarkowanie trudne wnioskowania: kiedy używać dowodzenia warunkowego ........................................................197 Trzy przyjazne formy: x → y, x  y i ~(x  y) ...................................................198 Dwie mniej przyjazne formy: x ↔ y i ~(x ↔ y) ...............................................199 Trzy nieprzyjazne formy: x  y, ~(x  y) i ~(x → y) .........................................200 Trudne wnioskowania: jak wyjść z potrzasku .....................................................201 Wybór rodzaju dowodu wymaga rozwagi .....................................................201 Zacznij budować dowód od wniosku .............................................................202 Zgłębienie form wyrażeń .................................................................................204 Rozkładanie długich przesłanek .....................................................................208 Przyjmij sprytne założenie ...............................................................................209 ROZDZIAŁ 13: Wszystkie operatory w cenie jednego .........................211 Radzenie sobie z pięcioma operatorami logiki zdań ..........................................212 Redukcja zatrudnienia — historia z życia wzięta ................................................213 Triumf chciwości ...............................................................................................214 Bunt robotników ...............................................................................................214 Konflikt interesów .............................................................................................215 Genialny plan ....................................................................................................215 Jaki z tego morał? ..............................................................................................217 ROZDZIAŁ 14: Składnia i semantyka ....................................................219 Poprawnie skonstruowane wyrażenia .................................................................220 Jak działają wyrażenia ......................................................................................221 Luźniejsze zasady .............................................................................................222 Odróżnianie wyrażeń sformułowanych poprawnie od wyrażeń niepoprawnych .........................................................................222 Porównanie logiki zdań z algebrą Boole’a ...........................................................223 Odczytywanie symboli .....................................................................................223 Rozwiązywanie zadań ......................................................................................226 Półpierścienie ....................................................................................................226 Składnia i semantyka w algebrze Boole’a ......................................................227 10 Logika dla bystrzaków Poleć książkęKup książkę CZĘŚĆ IV: RACHUNEK KWANTYFIKATORÓW ..........................229 ROZDZIAŁ 15: Wprowadzenie do logiki kwantyfikatorów .................231 Rzut okiem na logikę kwantyfikatorów ................................................................232 Nazwy i predykaty ............................................................................................233 Wykorzystanie operatorów z logiki zdań .......................................................235 Zmienne nazwowe ...........................................................................................236 Wyrażanie ilości przy użyciu dwóch nowych operatorów .................................236 Kwantyfikator ogólny .......................................................................................236 Kwantyfikator egzystencjalny ..........................................................................237 Dziedzina dyskursu ..........................................................................................238 Wyrażenia i formy wyrażeń ...................................................................................240 Określenie zakresu kwantyfikatora ................................................................240 Zmienne wolne i związane ..............................................................................241 Wyrażenia i formy wyrażeń .............................................................................241 ROZDZIAŁ 16: Tłumaczenie wyrażeń rachunku kwantyfikatorów ....243 Tłumaczenie podstawowych czterech rodzajów zdań kategorycznych ...........244 „Każde” i „niektóre” ..........................................................................................244 „Nie wszystkie” i „żadne” ..................................................................................246 Inne tłumaczenia podstawowych form ...............................................................247 Wyrażanie słowa „każde” kwantyfikatorem  ...............................................248 Wyrażanie słowa „niektóre” kwantyfikatorem  ..........................................248 Wyrażanie określenia „nie wszystkie” kwantyfikatorem  ...........................249 Wyrażanie określenia „żadne” kwantyfikatorem  ......................................249 Zdania z innym słownictwem ................................................................................250 Rozpoznawanie słowa „każde” ........................................................................250 Rozpoznawanie słowa „niektóre” ...................................................................251 Rozpoznawanie określenia „nie wszystkie” ...................................................251 Rozpoznawanie słowa „żadne” .......................................................................251 ROZDZIAŁ 17: Dowodzenie w rachunku kwantyfikatorów ...............253 Wykorzystanie reguł rachunku zdań w rachunku kwantyfikatorów ................254 Porównywanie podobnych wyrażeń w rachunku zdań i rachunku kwantyfikatorów .........................................................................254 Zastosowanie ośmiu reguł implikacji .............................................................255 Zastosowanie dziesięciu reguł ekwiwalencji .................................................257 Przekształcanie zdań regułą zaprzeczenia kwantyfikatora (ZK) ........................258 Reguła zaprzeczenia kwantyfikatora (ZK) ......................................................258 Zastosowanie ZK w dowodzie .........................................................................259 Spis treści 11 Poleć książkęKup książkę Cztery reguły kwantyfikatorów .............................................................................260 Prosta reguła #1: instancjacja uniwersalna (IU) ............................................261 Prosta reguła #2: generalizacja egzystencjalna (GE) ....................................264 Trudna reguła #1: instancjacja egzystencjalna (IE) .......................................266 Trudna reguła #2: generalizacja uniwersalna (GU) ......................................270 ROZDZIAŁ 18: Relacje i tożsamości .......................................................275 Relacje ......................................................................................................................276 Definiowanie relacji i ich wykorzystywanie ...................................................276 Łączenie wyrażeń relacyjnych .........................................................................277 Wykorzystanie kwantyfikatorów z relacjami .................................................277 Praca z wieloma kwantyfikatorami .................................................................278 Relacje w dowodach .........................................................................................280 Tożsamości ..............................................................................................................282 Jak działa tożsamość ........................................................................................283 Tożsamości w dowodach .................................................................................284 ROZDZIAŁ 19: Kwantyfikatory i drzewa semantyczne .......................287 Drzewa semantyczne w rachunku zdań ..............................................................288 Zasady rozkładu wyrażeń ................................................................................288 Wykorzystanie IU, IE i ZK ..................................................................................289 Stosowanie IU więcej niż raz ...........................................................................291 Nieskończone drzewa ............................................................................................294 CZĘŚĆ V: NOWE KIERUNKI W LOGICE .....................................297 ROZDZIAŁ 20: Logika i komputery ........................................................299 Wczesne komputery ...............................................................................................300 Babbage projektuje pierwsze komputery .....................................................300 Turing i UTM ......................................................................................................301 Komputery współcześnie ......................................................................................303 Sprzęt i bramki logiczne ...................................................................................303 Oprogramowanie i języki komputerowe .......................................................305 ROZDZIAŁ 21: Logika nieklasyczna .......................................................307 Możliwość.................................................................................................................308 Logika trójwartościowa ....................................................................................308 Logika wielowartościowa .................................................................................309 Logika rozmyta ..................................................................................................311 Logika modalna ......................................................................................................313 Logika wyższego rzędu ..........................................................................................315 Poza niesprzecznością ...........................................................................................316 12 Logika dla bystrzaków Poleć książkęKup książkę Kwantowy przeskok ...............................................................................................317 Logika kwantowa ..............................................................................................317 Dwa kubki ..........................................................................................................318 ROZDZIAŁ 22: Paradoksy i systemy aksjomatyczne ...........................321 Ugruntowanie logiki w teorii zbiorów ..................................................................322 Zbiory zebrane ze zbiorów ..............................................................................322 Paradoks: problem z teorią zbiorów ..............................................................323 Opracowanie rozwiązania w Principia mathematica ...................................324 System aksjomatyczny rachunku zdań ................................................................325 Udowadnianie niesprzeczności i zupełności .......................................................326 Niesprzeczność i zupełność logiki zdań i kwantyfikatorów .........................327 Formalizacja logiki i matematyki w ramach programu Hilberta .................327 Twierdzenie Gödla o niezupełności ......................................................................329 Znaczenie twierdzenia Gödla ..........................................................................329 Jak tego dokonał ...............................................................................................329 Co to wszystko znaczy ............................................................................................331 CZĘŚĆ VI: DEKALOGI .................................................................333 ROZDZIAŁ 23: Dziesięć cytatów o logice ..............................................335 ROZDZIAŁ 24: Dziesięciu wielkich logików ..........................................337 Arystoteles (384 – 322 p.n.e.) ................................................................................337 Gottfried Leibniz (1646 – 1716) .............................................................................338 George Boole (1815 – 1864) ..................................................................................338 Lewis Carroll (1832 – 1898) ...................................................................................338 Georg Cantor (1845 – 1918) ..................................................................................339 Gottlob Frege (1848 – 1925) ..................................................................................339 Bertrand Russell (1872 – 1970) .............................................................................339 David Hilbert (1862 – 1943) ...................................................................................339 Kurt Gödel (1906 – 1978) .......................................................................................340 Alan Turing (1912 – 1954) ......................................................................................340 ROZDZIAŁ 25: Dziesięć sposobów na ułatwienie sobie zaliczenia egzaminu ...................341 Oddychaj .................................................................................................................341 Przejrzyj cały arkusz ...............................................................................................342 Zrób rozgrzewkę .....................................................................................................342 Wypełniaj tablice prawdy kolumna po kolumnie ...............................................342 Jeśli gdzieś się zatniesz, spisz wszystko, co możesz ...........................................342 Spis treści 13 Poleć książkęKup książkę Jeśli naprawdę poważnie się zaplączesz, przejdź dalej ......................................343 Jeśli masz mało czasu, dokończ czarną robotę ...................................................343 Sprawdź swoje odpowiedzi ...................................................................................343 Przyznaj się do błędu .............................................................................................344 Siedź do samego końca .........................................................................................344 Skorowidz ....................................................................... 345 14 Logika dla bystrzaków Poleć książkęKup książkę W TYM ROZDZIALE:  wprowadzenie do logiki formalnej;  pięć operatorów logicznych;  tłumaczenie zdań. Rozdział 4 Kwestie formalne W ystarczy przejrzeć kilka wnioskowań logicznych, choćby takich jak w roz- dziale 3., aby zacząć podejrzewać, że wszystkie takie stwierdzenia mają ze sobą wiele wspólnego. Podejrzenie to byłoby zresztą słuszne. Logicy przez wieki zdołali przeanalizować multum wnioskowań i dojść do wniosku, że pewne wzorce stale się powtarzają. Wzorce te można zapisać w formie kilku sym- boli, a następnie analizować pod kątem ich wspólnych cech. W tym rozdziale wprowadzę pojęcie logiki formalnej, zbioru niezawodnych metod, pozwalających na określenie poprawności lub niepoprawności wnioskowania. Pokażę Ci, jak zapisywać zdania przy użyciu znaków zastępczych zwanych stałymi i zmiennymi, a także omówię pięć operatorów logicznych, służących do łączenia prostych sądów w bardziej rozbudowane zdania. Operatory logiczne działają podobnie do znanych Ci symboli używanych w aryt- metyce (takich jak dodawanie, odejmowanie itp.), więc zwrócę uwagę na te po- dobieństwa, aby łatwiej było Ci oswoić się z nowymi symbolami logicznymi. Na koniec pokażę Ci, jak tłumaczyć zdania z języka naturalnego na wyrażenia lo- giczne i z powrotem. ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 69 Poleć książkęKup książkę Formalne aspekty logiki zdań Jak wspomniałem w rozdziale 2., logika zdań (zwana też rachunkiem zdań) jest jednym z dwóch rodzajów klasycznej logiki formalnej. (Drugi rodzaj to logika kwantyfikatorów, zwana też logiką predykatów. W tym rozdziale zapoznasz się z logiką zdań, którą omawiam szerzej w części II i III. Logiką predykatów zajmę się dopiero w części IV). Wnioskowania logiczne mają formę językową, ale języki naturalne takie jak polski czy angielski są zazwyczaj mało dokładne. Poszczególne wyrazy miewają różne znaczenia, a całe zdania można też różnie interpretować. Aby pomóc w rozwiązaniu tego problemu, matematycy i filozofowie opracowali logikę zdań — język przeznaczony konkretnie do precyzyjnego i przejrzystego prze- kazywania wnioskowań logicznych. Ponieważ logika zdań jest językiem symbolicz- nym, ma dodatkową zaletę, jaką jest umożliwienie wykonywania obliczeń zgodnie z precyzyjnie zdefiniowanymi zasadami i wzorami. Podobnie jak w matematyce, wystarczy przestrzegać reguł, aby otrzymać poprawną odpowiedź. W poniższych punktach omówię kilka symboli, których używa się w logice zdań. Stałe zdaniowe Jeśli kiedykolwiek uczyłeś się algebry, to pewnie zetknąłeś się z tajemniczym x. Twój nauczyciel pewnie powiedział Ci, że x jest pseudonimem tajemniczej liczby i że Twoim zadaniem jest zmuszenie go, aby wyjawił swoją tożsamość. Nauczyciel zapewne pokazał Ci także przeróżne, sadystyczne sposoby torturowania biednego x, aby się wreszcie złamał i ujawnił, jaką jest liczbą. A ile w tym było radości! Z czym jak z czym, ale z podstawianiem liter pod liczby matematycy radzą sobie znakomicie. Trudno się wobec tego dziwić, że w logice formalnej, która jest dziełem matematyków, również używa się liter jako zamienników. We wprowadzeniu do tego rozdziału wspomniałem, że w logice używa się zdań oznajmujących zamiast liczb, więc pewnie domyślasz się, że w logice formalnej to właśnie zdania za- stępowane są literami. Oto przykład: Niech k = Kasia karmi swoje rybki. Niech r = Rybki radośnie łopoczą płetwami. Z jakiegoś powodu logicy najbardziej lubią oznaczać stałe literami p i q. Według niektórych wynika to z tego, że p jest pierwszą literą angielskiego wyrazu propo- sition, oznaczającego po prostu stwierdzenie, a q dorzucono do tego zupełnym przypadkiem. Sam mam podejrzenie, że po długich latach męczenia algebry w szkolnej ławie logicy zwyczajnie mieli dość patrzenia na x i y. 70 CZĘŚĆ II Rachunek zdań Poleć książkęKup książkę Zmienne zdaniowe Gdy logikom przyszło do głowy, że można zastępować zdania literami, zaczęli stosować to rozwiązanie wszędzie. Uświadomili sobie, że literą można oznaczyć każde zdanie, nawet wyrażenie w logice zdań. Używane w ten sposób litery na- zywamy zmiennymi zdaniowymi. W tej książce posługuję się zmiennymi do prezentowania ogólnych wzorców w lo- gice zdań, a stałych używam przy omawianiu konkretnych przykładów. Kiedy litera zastępuje zdanie w logice zdań, nazywamy ją zmienną zdaniową. Zgodnie z konwencją zmienne oznacza się małymi literami. W tej książce uży- wam niemal wyłącznie liter x i y, a w razie potrzeby — dodatkowo w i z. Wartość logiczna Jak wspomniałem w rozdziale 3., każde wyrażenie w logice ma wartość logiczną: prawdę lub fałsz. W logice formalnej prawdę zapisujemy jako P, a fałsz jako F. Spróbujmy w ramach przykładu określić wartość logiczną dwóch poniższych stałych zdaniowych: Niech n = Nil jest najdłuższą rzeką w Afryce. Niech l = Leonardo DiCaprio jest królem świata. Tak się akurat składa, że Nil rzeczywiście jest najdłuższą rzeką w Afryce, więc wartość logiczna n to P. Akurat składa się też tak, że Leonardo DiCaprio nie jest królem świata, więc wartość logiczna l to F. W algebrze boolowskiej, prekursorce logiki formalnej, wartością 1 określa się P, a wartością 0 określa się F. Te dwie wartości stosowane są dziś w informatyce. (Algebrę Boole’a omówię szerzej w rozdziale 14., a zastosowanie logiki w infor- matyce — w rozdziale 20.). Pięć operatorów logiki zdań W rachunku zdań występuje pięć podstawowych operatorów, które widnieją w tabeli 4.1. Te operatory logiczne przypominają operatory arytmetyczne o tyle, że przetwarzają podane im wartości i podają nową wartość jako wynik. Operatory logiczne obsługują jednak tylko dwie wartości: P i F. W kolejnych punktach omówię wszystkie operatory pokazane w tabeli 4.1. ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 71 Poleć książkęKup książkę TABELA 4.1. Pięć operatorów logicznych Operator Nazwa techniczna Co oznacza Przykład Negacja Koniunkcja Alternatywa Implikacja Nie I Lub Jeśli... to Równoważność Wtedy i tylko wtedy, kiedy... ~x x  y x  y x → y x ↔ y ~   → ↔ Negacja Każde zdanie można przekształcić w jego przeciwieństwo poprzez dodanie lub zastąpienie kilku słów. Tę czynność nazywamy negacją zdania. Oczywiście za- negowanie prawdziwego zdania prowadzi do przekształcenia go w zdanie fał- szywe, a zanegowanie zdania fałszywego daje zdanie prawdziwe. Ogólnie można zatem powiedzieć, że każde zdanie ma przeciwną wartość logiczną do zdania, które jest jego negacją. Zdanie n mogę wobec tego zmienić, dodając do niego jedno proste słowo: n = Nil jest najdłuższą rzeką w Afryce. ~n = Nil nie jest najdłuższą rzeką w Afryce. W wyniku dodania wyrazu nie pierwotne zdanie zostało przekształcone w swoje przeciwieństwo, czyli negację tego zdania. Po ustaleniu, że wartość n to P (we wcześniejszym punkcie „Wartość logiczna”), możemy stwierdzić, że wartością negacji n jest F. W rachunku zdań operatorem negacji jest tylda (~). Rozważmy inny przykład negacji: l = Leonardo DiCaprio jest królem świata. ~l = Leonardo DiCaprio nie jest królem świata. W tym przypadku po określeniu, że wartość l to F (we wcześniejszym punkcie „Wartość logiczna”), możemy też stwierdzić, że wartość ~l to P. Powyższe informacje można z łatwością streścić w tablicy: x P F ~x F P 72 CZĘŚĆ II Rachunek zdań Poleć książkęKup książkę Zapamiętaj informacje z powyższej tablicy. Będziesz z nich często korzystał w ko- lejnych rozdziałach. Jak widać, w powyższej tablicy użyłem zmiennej x jako zamiennika dowolnego zdania. Kiedy zdanie oznaczone jako x jest prawdziwe, to ~x jest fałszywe. Z kolei kiedy zdanie x jest fałszywe, ~x jest prawdziwe. W różnych książkach o logice operator negacji przedstawiany jest jako półpauza (–) lub znak przypominający obróconą o 90 stopni literę L. Sam wolę używać tyldy, ale znak ten ma takie samo znaczenie niezależnie od tego, jaki konkretnie symbol zastosowano. Negacja negacji Choć negacja to zaledwie wierzchołek góry lodowej, mały system symboli ra- chunku zdań ma więcej zastosowań, niż wydaje się na pierwszy rzut oka. Przy założeniu, że wartość nowego zdania r to P, a jego negacji ~r to F, co można po- wiedzieć o zdaniu ~~r? Jeśli odgadłeś, że wartość ~~r to P, możesz sobie pogratulować. Zauważ też, że domyśliłeś się tego, pomimo że nawet nie podałem znaczenia zdania r. Oto właśnie moc i magia logiki. Wystarczy kilka prostych zasad, aby od razu było wiadomo, że każde sformułowane w ten sposób stwierdzenie musi być prawdzi- we, nawet jeśli nie znasz właściwej treści stwierdzenia. Ta pewność przypomina sytuację, w której wiesz, że skoro 2 jabłka + 3 jabłka = 5 jabłek, to taki wynik dzia- łania będzie prawdziwy bez względu na to, czy dodajesz do siebie jabłka, dinozaury czy krasnoludki. Tablice prawdy Ponieważ r może mieć tylko jedną z dwóch wartości logicznych — P lub F — in- formacje o ~r, ~~r i kolejnych takich negacjach możesz zapisać w tablicy nastę- pująco: r P F ~r F P ~~r P F ~~~r F P Takie tablice nazywamy tablicami prawdy. W pierwszej kolumnie widnieją dwie wartości logiczne, jakie może mieć zdanie r: P i F. W pozostałych kolumnach podane są wartości różnych pokrewnych zdań: ~r, ~~r itd. Odczytywanie tablic prawdy jest dość proste. Spójrz na przykładową tablicę po- wyżej. Jeśli wiesz, że wartość logiczna r to F i chcesz się dowiedzieć, jaka jest wartość ~~~r, musisz znaleźć miejsce, w którym dolny rząd krzyżuje się z ostat- nią kolumną. Wartość logiczna podana w tym miejscu wskazuje, że gdy wartość r to F, wartość ~~~r to P. ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 73 Poleć książkęKup książkę W rozdziale 6. dowiesz się więcej o efektywności tablic prawdy, ale póki co będę ich używał jedynie do przejrzystego ukazywania informacji. Koniunkcja Symbol  jest operatorem koniunkcji, czyli ma znaczenie takie jak spójnik i. Możesz go traktować po prostu jako wyraz i umieszczony między dwoma zdaniami, który łączy je w nowe stwierdzenie. Spójrz na poniższe stwierdzenie: Ateny są stolicą Grecji i Jerzy Dudek był bramkarzem Liverpoolu. Czy jest ono prawdziwe, czy fałszywe? Aby to określić, musisz uznać, że w rze- czywistości składa się z dwóch mniejszych zdań: jednego o Atenach, a drugiego — o Jerzym Dudku. Jego wartość logiczna uzależniona jest od wartości obydwu jego członów. Ponieważ obydwa człony są prawdziwe, stwierdzenie w całości też jest prawdziwe. Wyobraźmy sobie jednak, że któreś ze zdań składowych jest fałszywe. Wyobraźmy sobie równoległy wszechświat, w którym Ateny nie są stolicą Grecji albo w którym Jerzy Dudek nigdy nie był bramkarzem Liverpoolu. W takim przypadku całe stwierdzenie byłoby fałszywe. W logice stwierdzenia wykorzystujące słowo i traktuje się w szczególny sposób. Po pierwsze, każde zdanie składowe ma przypisaną stałą: Niech a = Ateny są stolicą Grecji. Niech j = Jerzy Dudek był bramkarzem Liverpoolu. Obydwa zdania łączysz ze sobą następująco: a  j Wartość logiczna tego nowego zdania uzależniona jest od wartości logicznych dwóch połączonych zdań składowych. Jeśli obydwa człony są prawdziwe, całe zdanie też jest prawdziwe. Jeśli co najmniej jedno z tych zdań jest fałszywe, to całe zdanie też jest fałszywe. Wartości logiczne zdania z operatorem  i członami x oraz y można przedstawić w tablicy następująco: x P P F F y P F P F x  y P F F F 74 CZĘŚĆ II Rachunek zdań Poleć książkęKup książkę Zapamiętaj informacje z powyższej tablicy. Najprościej ująć je tak: zdanie z ope- ratorem koniunkcji jest prawdziwe tylko wtedy, kiedy obydwa jego człony są prawdziwe. W innym razie jest ono fałszywe. Zauważ, że w powyższej tablicy operatora  znajdują się cztery rzędy zamiast dwóch, które wystarczyły do scharakteryzowania operatora ~ (podpunkt „Tablice prawdy”). Tablice te różnią się od siebie, ponieważ operator koniunkcji zawsze uwzględnia dwie zmienne, więc jego tablica musi uwzględniać wszystkie cztery pary wartości x i y. W różnych książkach o tematyce logicznej zamiast znaku koniunkcji używa się znaku mnożenia (·) lub znaku . Czasami zdarza się też, że x  y zapisywane jest jako xy. Konwencje są różne, ale takie oznaczenia są tożsame. Alternatywa Podobnie jak w przypadku koniunkcji, stwierdzenie może składać się z dwóch mniejszych zdań, połączonych wyrazem lub. W rachunku zdań słowo lub zastę- puje operator alternatywy . Przyjrzyjmy się poniższemu stwierdzeniu: Ateny są stolicą Grecji lub Jerzy Dudek był bramkarzem Liverpoolu. Jeśli oznaczymy pierwsze zdanie jako a, a drugie jako b, to będziemy je mogli ze sobą połączyć następująco: a  b Czy powyższe zdanie jest prawdziwe? Podobnie jak w koniunkcji, kiedy obydwa człony zdania są prawdziwe, prawdziwe jest też całe zdanie. Zdanie a  b ma za- tem wartość logiczną P. W przypadku alternatywy jednak zdanie w całości jest prawdziwe, nawet jeśli prawdziwy jest tylko jeden z jego członów. Oto przykład: Niech a = Ateny są stolicą Grecji. Niech n = Jerzy Dudek był napastnikiem Manchesteru United. Zdanie a  n oznacza: Ateny są stolicą Grecji lub Jerzy Dudek był napastnikiem Manchesteru United. Choć drugi człon tego zdania jest fałszywy, jest ono w całości prawdziwe, ponie- waż prawdziwy jest jeden z jego członów. Zdanie a  n ma zatem wartość P. Kiedy jednak obydwa człony alternatywy są fałszywe, fałszywe jest też całe zdanie. Oto przykład: Niech w = Ateny są stolicą Włoch. Niech n = Jerzy Dudek był napastnikiem Manchesteru United. ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 75 Poleć książkęKup książkę Zdanie w  n oznacza: Ateny są stolicą Włoch lub Jerzy Dudek był napastnikiem Manchesteru United. Powyższe zdanie jest fałszywe, ponieważ obydwa jego człony są fałszywe. A za- tem w  n ma wartość F. Dla operatora  możesz utworzyć tablicę z czterema rzędami, która obejmuje wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych dla zdań x i y: x P P F F y P F P F x  y P P P F Zapamiętaj informacje z powyższej tablicy. Najprościej ująć je tak: zdanie z ope- ratorem alternatywy jest fałszywe tylko wtedy, kiedy obydwa jego człony są fał- szywe. W innym przypadku jest ono prawdziwe. W języku polskim spójników lub i albo używa się wymiennie, ale w logice przy- jęło się odróżniać je od siebie jako oznaczenia alternatywy nierozłącznej i alter- natywy rozłącznej:  Alternatywa nierozłączna (lub) oznacza „jedna możliwość lub druga, lub obie”, czyli jest prawdziwa także wtedy, kiedy obydwa człony są prawdziwe. Przykładem alternatywy nierozłącznej jest następujące zdanie, które matka może skierować do dziecka: „Przed wyjściem z domu musisz posprzątać swój pokój lub odrobić lekcje”. Rzecz jasna matka chce, żeby dziecko wykonało jedno z tych zadań albo i obydwa.  Alternatywa rozłączna (albo) oznacza „albo jedna możliwość, albo druga, ale nie obie”, czyli nie jest prawdziwa wtedy, kiedy obydwa człony są prawdziwe. Przykładem alternatywy rozłącznej jest następujące zdanie: „Dam ci pieniądze, żebyś kupił sobie albo lody, albo lizaka”. Matka chce przez to powiedzieć, że dziecko dostanie pieniądze na jeden z tych smakołyków, ale nie na obydwa. Język polski jest wieloznaczny, ale logika taka nie jest. Przyjęło się, że operator  zawsze oznacza alternatywę nierozłączną. Jeśli obydwa człony takiej alternatywy są prawdziwe, całe zdanie też jest prawdziwe. Obydwa rodzaje alternatyw stosowane są przy tworzeniu bramek logicznych, które są integralnymi elementami sprzętu komputerowego. W rozdziale 20. prze- czytasz więcej na temat zastosowania logiki w komputerach. 76 CZĘŚĆ II Rachunek zdań Poleć książkęKup książkę Implikacja Symbol → nazywamy operatorem implikacji. Aby zrozumieć jego działanie, przyjrzyj się poniższemu stwierdzeniu: Jeśli na słupku łóżka w pokoju gościnnym wisi peruka, to ciocia Genowefa przyjechała z wizytą. Widać, że składa się ono z dwóch sądów, które można wyrazić osobno stałymi zdaniowymi: Niech p = Na słupku łóżka w pokoju gościnnym wisi peruka. Niech g = Ciocia Genowefa przyjechała z wizytą. Następnie łączymy je nowym operatorem: p → g Podobnie jak w przypadku innych, omówionych w tym rozdziale operatorów, dla operatora → można utworzyć czterorzędową tablicę, obejmującą wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych zdań x i y: x P P F F y P F P F x → y P F P P Zapamiętaj informacje z powyższej tablicy. Najprościej ująć je tak: implikacja jest fałszywa tylko wtedy, kiedy jej pierwszy człon jest prawdziwy, a drugi — fałszywy; w każdym innym przypadku implikacja jest prawdziwa. W innych książkach o logice implikacja może być oznaczona symbolem  za- miast strzałką. Jest to taka sama implikacja, mimo że symbol się różni. Wygląd operatora → jest nieprzypadkowy. Istnieje ważny powód, dla którego strzałka wskazuje od lewej do prawej: jeśli implikacja jest prawdziwa, a poprzed- nik operatora też jest prawdziwy, to następnik również musi być prawdziwy. Posłużę się nowymi stałymi, żeby to lepiej wyjaśnić: Niech b = Jesteś w Berlinie. Niech n = Jesteś w Niemczech. Rozważ teraz poniższe zdanie: b → n ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 77 Poleć książkęKup książkę Oznacza ono: „Jeśli jesteś w Berlinie, to jesteś w Niemczech”. Stwierdzenie to jest oczywiście prawdziwe, ale dlaczego? Dlatego, że Berlin znajduje się w Niemczech. Konwersja zdania Po odwróceniu implikacji uzyskujesz zdanie będące jej konwersją. Poniżej wid- nieje implikacja i jej konwersja: Implikacja: Jeśli jesteś w Berlinie, to jesteś w Niemczech. Konwersja: Jeśli jesteś w Niemczech, to jesteś w Berlinie. Jeśli implikacja jest prawdziwa, to wcale nie wynika z tego, że jej konwersja też jest prawdziwa. Choć powyższa implikacja jest prawdziwa, jej konwersja jest fałszywa. Równie dobrze mógłbyś być w Hamburgu, Frankfurcie bądź jakimkol- wiek innym mieście w Niemczech. Inwersja zdania Kiedy negujesz obydwa człony implikacji, uzyskujesz zdanie będące jej inwersją. Porównaj poniższe stwierdzenia: Implikacja: Jeśli jesteś w Berlinie, to jesteś w Niemczech. Inwersja: Jeśli nie jesteś w Berlinie, to nie jesteś w Niemczech. Jeśli implikacja jest prawdziwa, to wcale nie wynika z tego, że jej inwersja też jest prawdziwa. Nawet gdybyś nie był w Berlinie, to mógłbyś być w jakimkolwiek in- nym mieście w Niemczech. Kontrapozycja zdania Kiedy zarówno zamienisz kolejność obydwu członów implikacji, jak i zanegujesz je, uzyskasz kontrapozycję pierwotnego zdania. Wiem, wiem — zaczyna się robić mętnie. Ale mam przykład: Implikacja: Jeśli jesteś w Berlinie, to jesteś w Niemczech. Kontrapozycja: Jeśli nie jesteś w Niemczech, to nie jesteś w Berlinie. Implikacja i kontrapozycja zdania zawsze mają jednakową wartość logiczną. Zgod- nie z powyższym przykładem: przy założeniu, że poprzednik jest prawdziwy i rzeczywiście nie ma Cię w Niemczech, to siłą rzeczy nie możesz być w Berlinie. Choć zdanie i jego kontrapozycja zawsze mają taką samą wartość logiczną, w prak- tyce udowodnienie kontrapozycji zdania jest czasami łatwiejsze od udowodnienia jego pierwowzoru. (Więcej o dowodach w logice zdań znajdziesz w części III). Konwersja zdania zawsze ma tę samą wartość logiczną, co inwersja zdania. Jest tak, ponieważ konwersja i inwersja są kontrapozycjami dla siebie nawzajem. 78 CZĘŚĆ II Rachunek zdań Poleć książkęKup książkę Równoważność W logice zdań operator równoważności (↔) przypomina operator implikacji (omó- wiony w punkcie „Implikacja”), ale jest nieco dokładniejszy. Najlepszym sposobem na objaśnienie jego działania jest sformułowanie implikacji i jej przeanalizowanie. Rozważ poniższą implikację: Jeśli na słupku łóżka w pokoju gościnnym wisi peruka, to ciocia Genowefa przyjechała z wizytą. Z tego stwierdzenia wynikają następujące rzeczy: 1. Jeśli na słupku łóżka wisi peruka, to możesz mieć pewność, że ciocia Genowefa przyjechała, ale... 2. Jeśli widzisz ciocię Genowefę, to nie możesz mieć pewności, że na słupku łóżka wisi peruka. Powyższą implikację można przedstawić w rachunku zdań jako p → g ze strzałką skierowaną w kierunku, w którym przebiega implikacja: peruka implikuje ciocię Genowefę. Rozważ teraz kolejne stwierdzenie: Na słupku łóżka w pokoju gościnnym wisi peruka wtedy i tylko wtedy, gdy ciocia Genowefa przyjechała z wizytą. Przypomina ono poprzednie stwierdzenie, ale wynikają z niego inne rzeczy: 1. Jeśli na słupku łóżka wisi peruka, to możesz mieć pewność, że ciocia Genowefa przyjechała i... 2. Jeśli widzisz ciocię Genowefę, to możesz mieć pewność, że na słupku łóżka wisi peruka. Powyższe stwierdzenie można przedstawić w rachunku zdań jako p ↔ g, przy czym podwójna strzałka podpowiada jego znaczenie: zarówno peruka implikuje ciocię Genowefę, jak i ciocia Genowefa implikuje perukę. Nie myl operatora równoważności (↔) z operatorem implikacji (→). Podobnie jak z innymi operatorami, dla operatora równoważności można utwo- rzyć czterorzędową tablicę, obejmującą wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych dla wyrażeń x i y: x P P F F y P F P F x ↔ y P F F P ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 79 Poleć książkęKup książkę Zapamiętaj informacje z powyższej tablicy. Najprościej ująć je tak: równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, kiedy obydwa jej człony mają jednakową wartość lo- giczną; w każdym innym przypadku równoważność jest fałszywa. Istotnym aspektem równoważności jest to, że obydwa człony równoważności są ekwiwalentne logicznie, czyli jeśli jeden jest prawdziwy, to drugi też musi taki być. Oto kolejne dwa przykłady równoważności: Jesteś w Warszawie wtedy i tylko wtedy, kiedy jesteś w stolicy Polski. Liczba jest parzysta wtedy i tylko wtedy, kiedy po jej podzieleniu przez dwa nie zostaje reszta. Z pierwszego zdania wynika, że Warszawa jest stolicą Polski. Drugie zdanie wska- zuje na równoważność obydwu członów — parzystość jest tożsama z podzielnością przez dwa. W innych książkach o logice równoważność zapisuje się znakiem ≡ zamiast ↔. Niezależnie od konkretnego symbolu znaczenie jest jednakowe. Rachunek zdań a prosta arytmetyka Jak wspomniałem w podrozdziale „Pięć operatorów logiki zdań”, logika zdań przypomina matematykę o tyle, że w obydwu tych dyscyplinach operatory przetwarzają podane im wartości i określają nową wartość wyjściową. Podobień- stwa jednak na tym się nie kończą, a po dostrzeżeniu kolejnych o wiele łatwiej będzie Ci zrozumieć logikę zdań. Wartości wejściowe i wyjściowe Każdy z czterech podstawowych operatorów arytmetycznych przekształca dwie liczby w jedną. Oto przykłady: 6 + 2 = 8 6 – 2 = 4 6 · 2 = 12 6 : 2 = 3 Dwie liczby po lewej stronie znaku równości to wartości wejściowe, a liczba po prawej stronie znaku równości to wartość wyjściowa. W każdym przypadku umieszczenie operatora między dwiema wartościami wej- ściowymi (6 i 2) tworzy wartość wyjściową (tutaj pogrubioną). Operatory te na- zywamy operatorami dwuargumentowymi, ponieważ przetwarzają dwie wartości wyjściowe. 80 CZĘŚĆ II Rachunek zdań Poleć książkęKup książkę Znak odejmowania ma w matematyce także inne zastosowanie. Taki znak umiesz- czony przed liczbą dodatnią przekształca ją w ujemną, a przed ujemną — w do- datnią. Oto przykład: –(–4) = 4 W tym przypadku pierwszy znak minusa odnosi się do wartości wejściowej (–4), którą przekształca w wartość wyjściową (4). Zastosowany w ten sposób znak odejmowania jest operatorem jednoargumentowym, ponieważ działa na jednej wartości wejściowej. W arytmetyce musisz liczyć się z nieskończoną liczbą wartości, ale w rachunku zdań posługujesz się jedynie dwiema: P i F. (Więcej na temat wartości logicznych napisałem w punkcie „Wartość logiczna”). Podobnie jak w arytmetyce, w logice posługujemy się czterema operatorami dwuargumentowymi i jednym jednoargumentowym. W rachunku zdań operatory binarne to , , → i ↔, a unarny to ~. (Każdy z nich omówiłem w podrozdziale „Pięć operatorów logiki zdań”). Obydwa rodzaje operatorów obowiązują te same postawowe zasady, co w aryt- metyce:  Umieszczenie operatora dwuargumentowego między dwiema dowolnymi wartościami wejściowymi tworzy wartość wyjściową.  Umieszczenie operatora jednoargumentowego przed wartością wejściową tworzy wartość wyjściową. Możemy na przykład połączyć dwie wartości wejściowe, F i P (w tej dokładnie kolejności), czterema operatorami binarnymi: F  P = F F  P = P F → P = P F ↔ P = F W każdym przypadku operator tworzy wartość wyjściową, czyli P lub F. Umieszczenie operatora unarnego przed wartością P lub F również tworzy war- tość wyjściową: ~F = P ~P = F ROZDZIAŁ 4 Kwestie formalne 81 Poleć książkęKup książkę Podstawianie Jeśli liznąłeś chociaż odrobinę algebry, to powinieneś wiedzieć, że litery mogą reprezentować liczby. Jeśli na przykład powiem Ci, że a = 9 i b = 3 to będziesz mógł z łatwością obliczyć, że a + b = 12 a – b = 6 a · b = 27 a : b = 3 Te same zasady dotyczą pracy ze stałymi zdaniowymi w rachunku zdań. Wy- starczy jedynie podstawić właściwe wartości (P lub F) pod stałe. Przyjrzyj się po- niższemu przykładowi: Zakładając, że p jest prawdziwe, q jest fałszywe, a r jest prawdziwe, określ wartości poniższych wyrażeń: 1. p  q 2. p → r 3. q ↔ r W przyp
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Logika dla bystrzaków
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: