Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00162 005198 15183812 na godz. na dobę w sumie
Matematyczne szkiełko i oko. Mniej i bardziej poważne zastosowania matmy - książka
Matematyczne szkiełko i oko. Mniej i bardziej poważne zastosowania matmy - książka
Autor: Liczba stron: 168
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-246-4770-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> książki okołoszkolne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Nie ma litości, jest matematyka!

Matematyka to potęga do potęgi

Czy wiesz, że matematyka to nie czarna magia, tylko dowcip, inteligencja i odrobina tajemniczości w czystej formie? Tak, tak. To nie żadna ściema czy inna niewiadoma. Zamiast włączać telewizor albo odpalać kolejną gierkę w sieci, otwórz tę książkę. Dzięki odkryciom matematyki przekonasz się, jak można odpowiedzieć na niezwykle frapujące pytania z codziennego życia - także Twojego własnego.

Okazuje się, że nieznana kraina faktów, teorii, hipotez, przełomowych eksperymentów i odkryć, dowodów, pojęć i matematycznych idei to nic innego jak nasze życie. A w życiu, jak w matematyce - jeden błąd może popsuć wszystko. Lepiej więc wiedzieć więcej i spojrzeć w zagadkowe oczy matmy.

Nie taki X straszny, jak go malują...

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

• Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści Wstęp ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6 1� W kolejce po bułki ����������������������������������������������������������������������������������������������������7 2� Spotkanie u Jacha i Krzycha �����������������������������������������������������������������������������������13 3� Czasu nie ma, są tylko zegary ��������������������������������������������������������������������������������17 4� Na skraju lasu �����������������������������������������������������������������������������������������������������������21 5� Pułapka na pana Czesława �������������������������������������������������������������������������������������29 6� Kalendarz w jednym wzorze ����������������������������������������������������������������������������������35 7� Jachu w pułapce jasnowłosej ����������������������������������������������������������������������������������39 8� Ile zarabia Totalizator Sportowy ����������������������������������������������������������������������������43 9� Nie psuj mi szyków �������������������������������������������������������������������������������������������������47 10� Wodne mistrzostwa piłkarskie ����������������������������������������������������������������������������55 11� Kanciaste kotki ������������������������������������������������������������������������������������������������������61 12� Karciana sztuczka �������������������������������������������������������������������������������������������������69 4 Spis treści 13� Ryby a statystyka ...................................................................................................75 14� Jak zostać oszustem ..............................................................................................79 15� Geometria bazgrołów ...........................................................................................83 16� Moc jedności .......................................................................................................101 17� Po co nam liczby pierwsze .................................................................................107 18� Karton na tik-taki ...............................................................................................113 19� Zbiory Julii ...........................................................................................................119 20� Ile liczb mieści się na końcu igły .......................................................................127 21� Pranie pieluch ......................................................................................................133 22� Jak szybko spada spadochroniarz .....................................................................143 23� Liczba Eugeniusza ...............................................................................................149 Bibliografia ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 164 Skorowidz ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 166 5 19. Zbiory Julii — Zabieram cię na wystawę obrazów generowanych komputerowo, której tytuł brzmi Zbiory Julii — oznajmił uroczyście Jachu zdziwionemu niecodziennym po- mysłem przyjacielowi. — Dziś na wystawę jest wstęp wolny, a poza tym co jakiś czas trzeba mieć kontakt ze sztuką, choćby i tworzoną przez komputer. Krzychu poddał się milcząco rozporządzeniu Jacha i po krótkim marszu, dla zdro- wia i zaoszczędzenia pieniędzy za przejazd, byli już na wystawie. Po obejrzeniu pierwszych obrazów Krzychu nie krył swojego rozczarowania. 119 19 — Sądząc po nazwie, spodziewałem się tu zobaczyć obrazy kobiety, jakieś portre- ty, surrealistyczne pejzaże, a tymczasem plamy jakieś widzę. Może to i ładne jest, ale co ma do tego Julia? — Julia [wym. Żulia] był francuskim matematykiem, który odkrył te plamy i po- kazał, jak je otrzymywać jeszcze w erze przedkomputerowej. Ich powtórne odkry- cie zawdzięczamy nieżyjącemu już matematykowi. Benoit Mandelbrot był twórcą pojęcia fraktala — wymądrzał się Jachu, korzystając z treści wcześniej przeczyta- nej ulotki, którą dostał przy wejściu na wystawę. — Jak komputery mogą tworzyć te obrazy? — zastanawiał się Krzychu już w nie- co lepszym humorze, bo choć to nie były obrazy, których się spodziewał, to wśród licznie przybyłych na wystawę znalazł obiekty pięknie wyrzeźbione przez naturę, którym mógł się długo przyglądać, tak były pochłonięte podziwianiem rozwie- szonych wszędzie czarno-białych eksponatów. — Patrz na tę w rogu po przeciwnej stronie sali — szepnął do Jacha, który zastana- wiał się, czy jego przyjaciel ma na myśli obraz przypominający delikatną koronkę, czy blondynkę o zamyślonej twarzy wpatrującą się w ten obraz. — Niezła figura. Jachu jednak powoli przestawiał się na odbiór generowanych przez komputer ob- razów i próbował sobie wyobrazić proces ich tworzenia. Przypominały mu chmu- ry, bajkowe stwory, wzory tworzone na szybach przez mróz. Komentarz Spróbujemy wyjaśnić, jak komputer może generować obrazy, które bezsprzecznie mają walory artystyczne. Ponieważ mówimy tu o obrazach tworzonych na płasz- czyźnie, więc zajmijmy się na początek płaszczyzną. Zacznijmy od tego, że po umieszczeniu na płaszczyźnie dwóch osi współrzędnych położenie każdego punk- tu możemy określić za pomocą dwóch liczb, podobnie jak na osi liczbowej za po- mocą jednej — jego odległości od punktu 0 wziętej ze znakiem plus albo minus w zależności od położenia punktu względem zera. Podobnie też jak na liczbach możemy rachować na parach liczb — możemy je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Żeby wszystkie te działania były podobne do działań na liczbach rzeczy- wistych, wyrażone są one za pomocą poniższych wzorów: ( ( a , a , ) ) b b + − ( ( c c , , ) ) d d = = ( ( + a c − a c , , + b d − b d ) ) 120 Zbiory Julii ) ⋅ + ⋅ a d b c ⋅ − ⋅ b c a d 2 2 d c +    , , oprócz przypadku, gdy ( ( ( a , a , c , , b d = ) ( ⋅ c ) ( c / ) ( d = ( ) ⋅ − ⋅ a c b d , ⋅ + ⋅ a c b d  ) =  d 2 2 d c  ) 0, 0 . + b , a a a a ) 0 + = + = oraz 1 1 a a 0 0 ( + − = , a dla każdej liczby Wyjaśnijmy krótko, co oznacza to podobieństwo. Wiemy ze szkoły, że cztery pod- stawowe działania na liczbach rzeczywistych mają pewne własności. Dodawanie i mnożenie są łączne. Istnieją dla nich tak zwane elementy neutralne, dla dodawa- a ⋅ = ⋅ = dla każdej liczby nia 0, dla mnożenia 1, takie że rzeczywistej a. Dla każdej liczby rzeczywistej a istnieje też element przeciwny a− , 1 ⋅ = . 1 a taki, że a Ponadto mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Czytelnik może spraw- dzić, że wszystkie określone przez nas działania na parach liczbowych mają te własności. Możemy zatem stwierdzić, że daje się rachować na punktach płaszczyzny jak na liczbach, a wynikiem tych działań jest również punkt na płaszczyźnie, zawsze jeśli tylko nie będziemy dzielić przez ( 0, 0 . Możemy zatem również podnosić punk- ty do drugiej potęgi, jak w poniższych przykładach, i przyglądać się ruchowi, jaki wykonał punkt w wyniku tego działania (zob. rysunek 19.1). 0a ≠ element odwrotny 1 a taki, że a ) ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ 2 2 1 1; 2 1 1 2 ) ( = − ⋅ ( ) = ⋅ 3; 4 ) 0,5 0,5 0,4 0,4; 0,5 0,4 0,4 0,5 + ⋅ ⋅ ) = ( 0,09; 0,4 ) 0,5 0,5 0,4 0,4; 0,5 0,4 0,4 0,5 + ⋅ ⋅ ) ( = ) ( ( ⋅ 2, 1 ( 0,5; 0,4 ( =  1   2  ) 2, 1 ) ( ⋅ 0,5; 0,4 ) 0,09; 0,4   1 ⋅     2   3 2 3 2     ; ; =     ⋅ − 1 1 2 2 3 2 ⋅ 3 2 ; ⋅ 1 2 3 2 + 3 1 ⋅ 2 2     = −     1 2 ; 3 2     121 19 Rysunek 19.1. Jak zmieniły swoje położenie punkty podniesione do kwadratu Zauważmy, że pierwszy punkt po podniesieniu do kwadratu zwiększył swoją od- ległość od początku układu, drugi zmniejszył, a trzeci zmienił położenie, ale odle- głość od początku układu nie zmieniła się. Można zadać pytanie, co by się działo, gdybyśmy wielokrotnie powtarzali podnoszenie do kwadratu, wykonując je znów na otrzymanym punkcie. Zauważmy, że wszystkie punkty będące w większej niż 1 odległości od początku układu „uciekną” w wyniku takiego działania do nieskoń- czoności. Funkcja wyraża zmiany, jakie zachodzą dla punktów z chwili na chwi- lę, kiedy dokonujemy kolejnych iteracji, czyli podstawiamy do funkcji wartość otrzymaną z poprzedniego obliczenia i dokonujemy obliczenia wartości jeszcze raz. Wybierając dowolny punkt płaszczyzny, możemy śledzić, co będzie się z nim działo w wyniku działania funkcji. Taką dwójkę ( , gdzie C oznacza u nas zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, a f pewną funkcję określoną na tym zbio- rze i mającą w nim swoje wartości, nazywamy układem dynamicznym. Po wybra- ,C ) f 122 Zbiory Julii z ; 0 n ) ; 0 ; 2 ( f = f z 3 z 2 = ) ; ) ) ) ) ( ) z 1 0z  . ( f z ( f z ( f z + = 1n ( ) f z C∈ , czyli punktu należącego do płaszczyzny, i po doko- niu dowolnego punktu ) naniu na nim nieskończenie wielu iteracji z użyciem funkcji f ( ) otrzy- mamy nieskończony ciąg punktów płaszczyzny, niekoniecznie różnych, który na- zywamy trajektorią punktu 0z i który możemy symbolicznie zapisać tak: ( ( = f f z z 0 0 ( ) z= zauważyliśmy trzy różne zachowania się punk- f z W przypadku funkcji tów w wyniku nieskończonej iteracji funkcji: punkty wnętrza koła o promieniu 1 i środku w początku układu współrzędnych zbiegają do punktu ( 0; 0 , punkty znajdujące się poza kołem uciekają do nieskończoności, a punkty leżące na brze- gu koła pozostają na nim. Okrąg jednostkowy jest właśnie zbiorem Julii dla funk- z= i stanowi granicę rozdzielającą punkty zbiegające do początku układu cji od tych uciekających do nieskończoności. Można przypuszczać, że różne funkcje mają różne zbiory Julii i właśnie to dało twórcom wystawy, którą odwiedzili Jachu i Krzychu, możliwość tworzenia piękna przy użyciu komputera. Tu opiszemy spo- sób, w jaki możemy odróżnić od siebie punkty uciekające do nieskończoności (na- zwijmy je „uciekinierami”) od tych, które nie uciekają (nazwijmy je „więźniami”). Zrobimy to na przykładzie funkcji nieco bardziej skomplikowanych od naszej funkcji kwadratowej użytej do wyjaśnienia pojęcia zbioru Julii, a mianowicie ( ) + , gdzie c C∈ będzie pewnym ustalonym dla danej funkcji f z c funkcji punktem płaszczyzny i chcąc obli- ( ) = x y , możemy posłużyć się wzorami: czyć ,f f = ⋅ − ⋅ + y y x x ⋅ + . = ⋅ x y y 2 c . Biorąc dowolny punkt ( ) f z x y x y ,c x y , = x c 2 z z = ) c c ( ( ) 2 = f f Obliczamy w ten sposób kolejne położenia punktu i jeśli ucieka on do nieskoń- czoności, zaznaczamy punkt, od którego zaczęliśmy obliczenia, na biało na two- rzonym obrazku, jeśli zaś nie ucieka, zaznaczamy go na czarno. W ten sposób po- wstaje wygenerowany komputerowo obraz. Ponieważ jednak trajektoria punk- tu ma nieskończenie wiele elementów, powstaje pytanie, jak stwierdzić, czy dany punkt ucieknie do nieskończoności, czy nie. Otóż stwierdzono, że jeśli w pew- ) nym momencie wartość , wte- dy punkt ucieka do nieskończoności. Trzeba zatem wykonać pewną liczbę itera- cji, aby się o tym przekonać. Im jest ona większa, tym większą mamy pewność, że punkt ucieka. przekroczy wartość max , 2 R = + = ( x y z c 2 2 123 19 Na rysunkach 19.2, 19.3 i 19.4 Czytelnik znajdzie kilka wygenerowanych przez komputer obrazków. Pod nimi umieszczono informację, dla jakiej wartości c zo- stały wykonane obliczenia. Rysunek 19.2. Zbiór więźniów dla ) c= -0, 745429; 0,113008 ( Rysunek 19.3. Zbiór więźniów dla c= -0, 12256117; 0,74486177 ( ) 124 Zbiory Julii Rysunek 19.4. Zbiór więźniów dla ) c= -1; 0 ( Jeśli zaś zechcemy przyjrzeć się z bliska wybranym fragmentom naszych rysun- ków, to też jest to możliwe i może przynieść nam wiele niespodziewanych doznań estetycznych. Spójrzcie tylko na rysunek 19.5. Rysunek 19.5. Powiększony fragment rysunku 19.2 125 19 126 Skorowidz A abstrakcji, klasy, 92 Adelman, 110 algorytm spigot, 150 dla liczby e, 152, 153 dla liczby Eugeniusza, 161 Archimedesa, prawo, 57 arytmetyka modulo, 109 B Barbier, E., 129, 131 bazgroły, 83, 84, 85, 86 cechy, 85 geometryczne przekształcenie ścieżki na permutację, 90 liczbowe charakterystyki, 87 podobieństwo, 91, 92, 95, 96, 98 rozróżnianie, 91, 92, 93 stosunek kolorów, 87 symboliczny zapis, 88 ścieżka, 88, 89 zamiana ścieżki na permutację, 89 zmiana na graf, 93, 94 drzewo, wyznaczanie wysokości, 22, 23, 24 dynamiczny, układ, 122 E e, liczba, 137 algorytm spigot, 152, 153 cyfry rozwinięcia dziesiętnego, 154 jako suma szeregu, 151 program, 153, 154 element neutralny, 121 element przeciwny, 121 estymacja statystyczna, 77 Eugeniusza, liczba, 149, 158, 159, 160 1950 miejsc za przecinkiem, 162 algorytm spigot, 161 program, 161, 162 F Fisher, R.A, 78 geometryczne przekształcenie ścieżki na permutację, 90 liczbowe charakterystyki, 87 podobieństwo, 91, 92, 95, 96, 98 rozróżnianie, 91, 92, 93 stosunek kolorów, 87 symboliczny zapis, 88 ścieżka, 88, 89 zamiana ścieżki na permutację, 89 zmiana bazgrołów na graf, 93, 94 graf planarny, 93 spójność, 93 spójny bez krawędzi, 95 spójny o czterech krawędziach, 96 spójny o dwóch krawędziach, 96 spójny o jednej krawędzi, 95 spójny o trzech krawędziach, 96 gry Moc jedności, 102, 103, 104, 105 programowanie, 52 Szyki, 47, 48, 49, 50, 51, 53 w kości, 80, 81, 82 Guihaire, Benjamin, 53 D de Buffon, 128 drugie prawo Newtona, 145 G geometria bazgrołów, 83, 84, 85, 86 cechy, 85 H hipergeometryczny, rozkład, 76 166 I igła, wyznaczanie liczby π, 128, 129, 130, 131, 132 iloczyn liczb naturalnych od 1 do n, 10 impreza czas trwania, 16 obliczenie liczby gości, 14, 15, 16 J jednostka tysięczna, 27 jezioro, oszacowanie liczby ryb, 77 Julia, 120 Julii, zbiory, 119, 123 K kalendarz, wzór na dzień tygodnia, 36, 37 karciana łamigłówka, 69, 70, 71, 72, 74 program, 72, 73 kąty jednostka miary, 27 system mierzenia, 27 kino, rozmieszczenie widzów, 31, 33 klasy abstrakcji, 92 klucz jawny, 110 tworzenie, 110, 111 klucz tajny, 110 tworzenie, 110, 111 Knuth, Donald, 150 kolejka, sposób ustawienia, 7, 8, komputer, generowanie obrazów, koperta, rysowanie otwarta, 41 zamknięta, 41 kratowe, punkty, 62, 63 kryptografia z kluczem publicznym, 9, 10 120 110 L Leclerc, Georges-Luis, 128 liczba e, 137 algorytm spigot, 152, 153 cyfry rozwinięcia dziesiętnego, 154 program, 153, 154 liczba Eugeniusza, 149, 158, 159, 160 1950 miejsc za przecinkiem, 162 algorytm spigot, 161 program, 161, 162 liczba π, wyznaczanie, 128, 129, 130, 131, 132 liczby pierwsze, 108 definicja, 108 w postaci 6k+5, 31, 32 jest równy 7, 31, 32 loa3.5, program, 53 Lotto liczby wymierne, których kwadrat kwoty przeznaczone na wygraną, 44 regulamin, 44 szansa trafienia szóstki, 11 wpływy, 45 Skorowidz NWD, Patrz największy wspólny dzielnik O objętość 120 odległość półkuli, 58, 59 pudła, 115 zanurzonej części piłek, 58 obrazy, generowane przez komputer, od niedostępnego przedmiotu o nieznanych wymiarach, 26 od przedmiotu o znanych wymiarach, 27 osoby, ustawienie w kolejce, 7, 8, 9, 10 otwarta koperta, rysowanie, 41 Ł łamigłówki karty, 69, 70, 71, 72, 74 narysowanie figury bez odrywania ołówka, 41, 42 M Mandelbrot, Benoit, 120 MIA III, program, 53 Moc jedności, gra, 102, 104 cel gry, 105 pionki, 103 plansza, 102 punkty mocy, 103 remis, 105 wersja dla trzech lub czterech osób, 105 zwycięskie układy pionów, 105 modulo, arytmetyka, 109 N n!, symbol, 10 największy wspólny dzielnik, 109, 110 neutralne, elementy, 121 Newtona, drugie prawo, 145 niedostępny przedmiot wyznaczanie odległości, 26 wyznaczanie wysokości, 24, 25 P permutacje, przystawanie, 92 Picka, wzór, 62, 63 dowód, 64, 65, 66, 67 pieluchy, pranie, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 141, 142 koszt, 135 model matematyczny, 134 program, 140, 141 wynik dwukrotnego płukania, 135 wynik jednokrotnego płukania, 135 wynik trzykrotnego płukania, 136 pierwsze, liczby, 108 definicja, 108 w postaci 6k+5, 31, 32 planarny, graf, 93 spójność, 93 spójny bez krawędzi, 95 spójny o czterech krawędziach, 96 spójny o dwóch krawędziach, 96 spójny o jednej krawędzi, 95 spójny o trzech krawędziach, 96 pole wielokątów, 62, 63 półkula, objętość, 58, 59 pranie pieluch, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 141, 142 koszt, 135 model matematyczny, 134 program, 140, 141 wynik dwukrotnego płukania, 135 167 widzów, 31, 33 Sale, A.H.J., 150 Shamir, 110 spadochroniarz działające siły, 145 prędkość spadania, 144, 145, 146, 147 spigot, algorytm, 150 dla liczby e, 152, 153 dla liczby Eugeniusza, 161 program, 153 statystyczna, estymacja, 77 symetryczne, szyfry, 110 system mierzenia kątów, 27 szachownica, ułożenie kostek domina, 31, 32, 33 szóstka w Lotto, szansa trafienia, 11 szyfrowanie klucz jawny, 110 klucz tajny, 110 RSA, 110, 111, 112 szyfry symetryczne, 110 szyfry asymetryczne, 110 szyfry asymetryczne, 110 RSA, 110, 111, 112 symetryczne, 110 Szyki, gra, 47, 48 bicie, 50 cel gry, 53 niespójne układy pionków, 49 programy, 53 remis, 50, 51 spójne układy pionków, 48, 49 zasady poruszania się pionków, 49, 50 kwoty przeznaczone na wygraną, 44 regulamin, 44 szansa trafienia szóstki, 11 wpływy, 45 tratwa z piłek, 57, 59 liczba potrzebnych piłek, 58, 60 masa elementów, 58 objętość zanurzonej części piłek, 58 szkic, 57 twierdzenie Talesa, 22 tysięczne, jednostka, 27 tysięcznych, wzór, 27, 28 U układ dynamiczny, 122 W widzowie, rozmieszczenie w kinie, 31, 33 wielokąty, pole, 62, 63 Winands, Mark, 53 wymierne liczby, których kwadrat jest równy 7, 31, 32 wysokość drzewa, 22, 23, 24 niedostępnego przedmiotu, 24, 25 wzory na dzień tygodnia, 36, 37 objętość półkuli, 59 Picka, 62, 63, 64, 65, 66 tysięcznych, 27, 28 Z zamknięta koperta, rysowanie, 41 zbiory Julii, 119, 123 zegar, kąt prosty tworzony przez wskazówki, 18, 19, 20 wynik jednokrotnego płukania, 135 wynik trzykrotnego płukania, 136 S sala kinowa, rozmieszczenie prawo Archimedesa, 57 programowanie gier, 52 programy algorytm spigot dla liczby e, 153, 154 algorytm spigot dla liczby Eugeniusza, 161, 162 gra w Szyki, 53 karciana łamigłówka, 72, 73 pranie pieluch, 140, 141 sposoby wydawania reszty, 11, 12 przeciwny, element, 121 przedmiot wyznaczanie odległości, 26, 27 wyznaczanie wysokości, 24, 25 przystawanie, 92 pudło, największa objętość, 114, 115, 116 punkty kratowe, 62, 63 R relacja równoważności, 92 reszta, sposoby wydania, 11 program, 11, 12 Rivest, 110 rozkład hipergeometryczny, 76 równanie różniczkowe, 146 równoważności, relacja, 92 różniczkowe, równanie, 146 RSA, szyfr, 110 odszyfrowanie, 111, 112 szyfrowanie, 111 tworzenie klucza jawnego, 110, 111 tworzenie klucza tajnego, 110, 111 wykorzystanie, 112 ryby, oszacowanie liczby, 77 rysowanie figury bez odrywania ołówka, 41, 42 otwartej koperty, 41 zamkniętej koperty, 41 168 T Talesa, twierdzenie, 22 Totalizator Sportowy 22 148
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyczne szkiełko i oko. Mniej i bardziej poważne zastosowania matmy
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: