Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00185 005147 14859824 na godz. na dobę w sumie
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Profil podstawowy i rozszerzony. Klasa 2 - książka
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Profil podstawowy i rozszerzony. Klasa 2 - książka
Autor: , Liczba stron: 288
Wydawca: Helion Edukacja Język publikacji: polski
ISBN: 83-246-2406-6 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> szkoła ponadgimnazjalna
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Dobre wyniki z matematyki!

Matematyka jest wszędzie - nie tylko w szkole, lecz także w bankach, na budowach, w internecie, czy... w muzyce. Nawet jeśli jej nauka nie jest Twoim ulubionym zajęciem, ona będzie Ci towarzyszyć przez całe życie. Zacznij więc główkować z Matematyką Europejczyka i rozwijaj swoją wyobraźnię dzięki wiedzy na temat geometrii. Dowiedz się, co wspólnego mają ciągi z kryptografią, i przekonaj się, co wyniknie z mnożenia wielomianu przez wielomian. Dzięki udogodnieniom zastosowanym przez Autorów łatwo znajdziesz interesujące Cię notatki z lekcji, zestawy zadań z serii Prosto do matury oraz praktyczne i zaskakujące tematy badawcze. Książka pozwala uczniom zdobyć umiejętności wykraczających poza podstawę programową, jest też świetną pomocą podczas samodzielnej nauki.

Seria podręczników, zbiorów zadań i płyt CD Matematyka Europejczyka wydawnictwa Helion pozwala uczniom zdobywać wiedzę bez stresu, a nauczycielom ułatwia przekazywanie nowego materiału w interesujący i niebanalny sposób.

Matematyka Europejczyka - to się liczy!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

• Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści Od autorów   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 7 1. Wielomiany   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   9 1 .1 .  Ogólna postać wielomianu   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   10 Równość wielomianów   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   12 *1 .2 .  Działania w zbiorze wielomianów   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   13 Dodawanie i odejmowanie wielomianów  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   13 Mnożenie wielomianu przez wielomian   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   13 *1 .3 .  Dzielenie wielomianu przez dwumian ax + b   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   17 1 .4 .  Rozkład wielomianu na czynniki (1)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   21 Rozkład wielomianu stopnia drugiego na czynniki  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   21 Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   22 *1 .5 .  Rozkład wielomianu na czynniki (2)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   23 Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   23 Grupowanie wyrazów  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   23 Stosowanie wzorów skróconego mnożenia    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   24 1 .6 .  Równania wielomianowe (1)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   26 *1 .7 .  Równania wielomianowe (2)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   28 *1 .8 .  Nierówności wielomianowe    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   32 1 .9 .   Spoza podstawy programowej                  — wykresy funkcji wielomianowej   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   36   1 .10 .  Z zastosowań matematyki    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   38 Temat badawczy: przybliżone rozwiązywanie równań wielomianowych   .  .  .   38   1 .11 .  Prosto do matury    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   39 2. Wyrażenia wymierne    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 45 *2 .1 .  Wyrażenia wymierne i działania na nich   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   46   Dziedzina wyrażenia wymiernego    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   46 Upraszczanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   47 Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   48 Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   48 2 .2 .  Proporcjonalność odwrotna    .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   52 2 .3 .  Wykres proporcjonalności odwrotnej   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   54 2 .4 .  Równania wymierne   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .   56       Spis treści 3 Poleć książkęKup książkę         *2 .5 .  Nierówności wymierne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58 2 .6 .  Spoza podstawy programowej — funkcja homograficzna   . . . . . .   60 2 .7 .  Z zastosowań matematyki    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   62 Temat badawczy nr 1   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   62 Temat badawczy nr 2   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   62 2 .8 .  Prosto do matury    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   63 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej   . . 69 3 .1 .  Funkcja wykładnicza i jej wykres    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   70   *3 .2 .  Funkcja logarytmiczna   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   76   3 .3 .  Spoza podstawy programowej — skala logarytmiczna   . . . . . . . . .   80     3 .4 .  Z zastosowań matematyki    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   81 Temat badawczy nr 1   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   81 Temat badawczy nr 2   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82 3 .5 .  Prosto do matury    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82   4. Funkcje trygonometryczne    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87   4 .1 .  Funkcje trygonometryczne kąta ostrego               w trójkącie prostokątnym — powtórzenie wiadomości   . . . . . . . .   88 4 .2 .  Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 〈0°, 180°〉   . .   89 Znaki funkcji trygonometrycznych    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92 Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi    . . . . . . . . . .   92 Wzory redukcyjne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   93 *4 .3 .  Miary kąta   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   94 *4 .4 .  Funkcje trygonometryczne kątów płaskich   . . . . . . . . . . . . . . . . . .   98 Znaki funkcji trygonometrycznych    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99 *4 .5 .  Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej    . . . . . . . . . . . .  101 Okresowość funkcji trygonometrycznych   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  103 *4 .6 .  Wzory redukcyjne   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  104 *4 .7 .  Wykresy funkcji trygonometrycznych   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  107 Wykres funkcji f (x) = sin x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  108 Własności funkcji f (x) = sin x    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  108 Wykres funkcji f (x) = cos x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  109 Własności funkcji f (x) = cos x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  110 Wykres funkcji f (x) = tg x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  110 Własności funkcji f (x) = tg x   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  111 4  Spis treści Poleć książkęKup książkę *4.8. Rozwiązywanie niektórych równań i nierówności sposobem grafi cznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 *4.9. Podstawowe tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Sinus i cosinus podwojonego kąta oraz jedynka trygonometryczna . . . . . . 123 Suma i różnica sinusów i cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 *4.10. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Rozwiązywanie równań metodą wprowadzenia pomocniczej niewiadomej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem podstawowych tożsamości . . . . 126 Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych metodą wprowadzenia pomocniczej niewiadomej . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.11. Spoza podstawy programowej — harmoniki . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.12. Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.13. Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1. Pojęcie ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 *5.2. Ciągi określone wzorem rekurencyjnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 *5.3. Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.4. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.5. Suma wyrazów ciągu arytmetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.6. Ciąg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.7. Suma n wyrazów ciągu geometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 *5.8. Szereg geometryczny zbieżny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.9. Spoza podstawy programowej — zasada indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.10. Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.11. Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6. Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.1. Kąty w okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.2. Okręgi styczne i styczne do okręgów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Spis treści 5 Poleć książkęKup książkę             6 .3 .  Trójkąty i czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu   . . . .  181 Trójkąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  181 *Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu   . . . . . . . . . . . . . . . . .  183 *6 .4 .  Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów   . . . . . . . . . . . . . . .  186 Zastosowania twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów   do rozwiązywania trójkątów   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  189 *6 .5 .  Jednokładność i podobieństwo   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  192 6 .6 .  Spoza podstawy programowej — obrót figury   . . . . . . . . . . . . . . .  197 6 .7 .  Z zastosowań matematyki    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  198 Temat badawczy nr 1   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  198 Temat badawczy nr 2   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  199 6 .8 .  Prosto do matury    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  200 7. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7 .1 .  Punkt i odcinek w układzie współrzędnych  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  208     *7 .2 .  Wektory na płaszczyźnie   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  211 Wektor i działania na wektorach    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  211 Współrzędne wektorów   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  215 7 .3 .  Prosta w układzie współrzędnych   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  219 7 .4 .  Wzajemne położenie prostych w układzie współrzędnych   . . . . . .  223 *7 .5 .  Własności prostych wyrażonych równaniami ogólnymi   . . . . . . . .  227 *7 .6 .  Interpretacja graficzna nierówności liniowych           w układzie współrzędnych    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  229   *7 .7 .  Okrąg i koło w układzie współrzędnych   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  232   7 .8 .  Symetria osiowa i symetria środkowa    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  236   7 .9 .  Spoza podstawy programowej — iloczyn skalarny wektorów    . . .  239   7 .10 .  Z zastosowań matematyki    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  242 Temat badawczy nr 1   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  242 Temat badawczy nr 2   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  243   7 .11 .  Prosto do matury    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  244 Odpowiedzi   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Wzory    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Skorowidz   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Źródła   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 6  Spis treści Poleć książkęKup książkę 3. WYKRES I ZASTOSOWANIA FUNKCJI WYKŁADNICZEJ I LOGARYTMICZNEJ Wiele zjawisk w przyrodzie można opisać za pomocą modelu wy- kładniczego. Są to między innymi: • promieniotwórczość naturalna, • wzrost bądź spadek liczebności populacji, • stygnięcie ciał. Poleć książkęKup książkę 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres W pierwszej klasie omawialiśmy potęgi o wykładniku wymiernym. Nie będziemy dokład- nie definiować potęgi o wykładniku niewymiernym. Oprzemy się tylko na stwierdzeniu, xa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby rzeczywistej x jest jednoznacznie że liczba określona. Przykład 1. Rozpatrzmy potęgę 23 . Opis Rozpatrzmy kolejne przybliżenia dziesiętne liczby 2 z niedomiarem ( w w w w w  1 i nadmiarem ( ′ , 2 , 4 ′ w w w w w 1 ) ′  . , 5 ) ′ 3 ′ 4 , , , , , , , 5 2 3 3w , 1w′, 2w′, 5w , … 1w , 4w′, 13w , 13w′ , 23w , 23w′ , 33w , 33w′ , 43w , 43w′ , 2w , 4w , 5w′, … są wy- Ponieważ liczby 3w′, oraz mierne, to umiemy policzyć wartości 53w , … potęg 53w′ … oraz 23 z niedo- Kolejne przybliżenia liczby miarem są coraz większe, a kolejne przy- bliżenia tej liczby z nadmiarem są coraz mniejsze. Różnice kolejnych przybliżeń są liczbami coraz bliższymi zera. Można wykazać, że istnieje dokładnie jedna liczba α zawarta między liczbami 3w i 3w′, gdzie w i w′ są dowolnymi licz- ′ w bami wymiernymi takimi, że w . 2 2 3 4 2 3 = = = = = = 1,4 0,1 1,5 = 1,41 0,01 1,42 1,414 0,001 1,415 1,4142 0,0001 1,4143 1,41421 0,00001 1,41422 + + + + + 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 Rozwiązanie ′ = w w   1 1   = w w     = w w     = w w     = w w 5     Znane nam są liczby: 1,4142 1,43 , , 3 1,4143 1,53 , , 3 1,41421 3 1,41422 3 1,414 , 3 1,415 , 3 1,413 , 1,423 , , … , … = = = 5 4 1,4 3 1,5 3 1,41 3 1,42 3 1,414 3 1,415 3 1,4142 3 1,4143 3 1,41421 3 1,41422 3 ... ... 1,5 1,4 ≈ − 0,5406 3 3 1,41 1,42 − ≈ 0,052 3 3 1,414 1,415 − ≈ 0,0052 3 3 1,4142 1,4143 − ≈ 0,0005 3 3 1,41421 1,41422 − ≈ 3 3 0,00005 Liczba ta jest oznaczona symbolem 23 . Można wykazać, że własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym są takie same jak w przypadku potęg o wykładniku wymiernym. 70  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę Pewna rozrastająca się populacja bakterii co dzień podwaja swą wielkość i po pewnym czasie li- czy 2 miliony bakterii. Wykres takiej funkcji wygląda następująco: Niech y0 oznacza liczbę bakterii w chwili początkowej. Możemy zapisać, że po pierwszym dniu liczba bakterii będzie wynosiła 2 0y , po dwóch dniach 22 0y , po trzech dniach 23 0y itd. Zatem liczbę bakterii po x dniach można ) = ( wyrazić wzorem y x 1= , tzn. gdy populację przypadku, gdy y0 zapoczątkowała jedna bakteria, wzór ten ma ( postać y x ⋅0 2 . W szczególnym y x ) = 2 . x y 1 O 1 Rozważania z powyższego przykładu można uogólnić (patrz przykład 2.). Przykład 2. ( y x = , gdzie x jest liczbą rzeczywistą. Wykonajmy częściową tabelę Dana jest funkcja wartości funkcji dla tych argumentów, dla których te wartości łatwo obliczyć, i naszkicujmy jej wykres. ) 2x x y = 2x 3− 1 8 2− 1 4 1− 1 2 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 ) 2x ( y x = jest rosnąca i dla x Widzimy, że funkcja 0 wzrost wartości funkcji jest bardzo szybki. Mówimy, że funkcja ta ma wzrost typu wykładniczego, a wykres tej funkcji jest krzywą wykładniczą. Zauważmy, że jeśli pod- stawę 2 zastąpimy inną liczbą większą od 1, to ogólny kształt wykresu funkcji nie zmieni się. y 2 1 1O x x 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres 71 Poleć książkęKup książkę Przykład 3. Dana jest funkcja ( y x ) x  =   1 2    dla rzeczywistego argumentu x. Sporządźmy tabelę wybra- nych wartości funkcji i naszkicujmy jej wykres. x 3− 2− 1− y x  =   1 2    8 4 2 0 1 1 1 2 2 1 4 3 1 8 4 1 16 Widzimy, że funkcja ( y x ) x  =   1 2    jest male- jąca. Mówimy, że maleje ona w sposób wy- kładniczy. y 2 1 –1 O x x a= , Funkcję określoną wzorem ( f x gdzie x ∈ oraz Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych. 0a i ) 1a ≠ , nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie a. Dla 0 a 1 funkcja wykładnicza jest malejąca (wykres czerwony). Dla a 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca (wykres niebieski). Definicja  Uwaga  ) = Zastrzeżenie a ≠ 1 jest konieczne, po- nieważ dla a = 1 ( wzór y x de- fi niuje funkcję stałą y x( ) = 1, której nie zaliczamy do funkcji wykładniczych. ax y 1 O x Wykresy funkcji y (x) = a x i względem osi Oy. ( y x )  =   1 x  , gdzie a 0 i a ≠ 1, są do siebie symetryczne  a  72  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę Rozważmy kilka przykładów wykresów funkcji wykładniczych. y 1 O y = 2x y = ( )x1 2 y = (1,1)x y = (0,9)x x y 1 O x Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział (0, ∞). Oś Ox nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji. Funkcja wykładnicza przyjmuje każdą wartość dodatnią dokładnie jeden raz. Wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 1). Korzystając z wykresów funkcji wykładniczej funkcji postaci a −= x c postaci + , przesuwając wykres funkcji wzdłuż osi Oy o b jednostek, czy też b y , przesuwając wykres funkcji równolegle do osi Ox o c jednostek. , możemy rysować inne wykresy = a y x x a= y Jedną z najbardziej wiarygodnych metod obliczania wieku różnych przedmiotów czy organizmów jest datowanie radiowęglowe. Metoda ta jest oparta na pomiarze proporcji mię- dzy izotopem promieniotwórczym węgla 14C a izotopami trwałymi 12C i 13C. Opracował ją Willard Libby ze swoim zespołem w 1949 roku. Libby otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie chemii w 1960 roku. Wiadomo, że jeżeli substancja o masie N0 ma czas połowicznego rozpadu h, to masę pozostałą po czasie t obliczamy według wzoru N N 0 = t h . 1 2       Czas połowicznego rozpadu izotopu węgla 14C to około 5730 lat. Dla przykładu rozważmy następującą sytuację: stwierdzono, że masa izotopu węgla 14C w znalezionym przez archeologów przedmiocie wynosi 80 masy wyjściowej. Sprawdźmy, sprzed ilu lat pochodzi ten przedmiot. Z treści zadania wiemy, że N N = 0 8 0 , , zatem , N N 0 8 0 = 0 , 0 8 , = t 5730 1 2       t t 5730 , 1 2       5730 log , 0 8 = log 1 2 , t = 5730 ⋅ 0 8 log , log , 0 5 . Znalezisko pochodzi więc sprzed około 1845 lat. Czas (lata) Względna ilość izotopu 14C 0 1 2 10 100 500 1000 2000 5000 10 000 50 000 100,00 99,99 99,98 99,88 98,80 94,14 88,62 78,54 54,67 29,89 0,24 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres 73 Poleć książkęKup książkę Zadania 1 Sporządź szablon wykresu funkcji a) d) g) x y = 2 −= x 32 y 2x y = − x 2 += 22x −= 2 x − 2 + 1 y = y y b) e) h) + 1 y = i posługując się nim, naszkicuj wykres funkcji: c) f) i) 2x −= 22x y 3 2x y = − − 2 x = − y 2 Naszkicuj wykres funkcji: a) y = 2 x b) y = 2x c) y x − 1  =   1 2    d) y x − 1  =   1 2    3 Wśród podanych wzorów znajdź takie, które przedstawiają funkcje równe: ( f x 1 f x = + 3 ) x = ⋅ 8 2x ( f x 2 −= 2x 8 2x ( ( ) ) ) f 4 3 3 += 2x x 2 8 ) f x = 5 ( f 6 ( ) x = 8x ) f x = 7 ( 2 2x ) f x = 8 ( 2 x 2 4 Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem Oblicz a, gdy: )3, 8 a) 13, 64 Q  =   ( 3, 3 3 ( Q = Q  =   1024 ) 3, 27 Q = Q = Q = 4, 4 10, d) b) e) c) f)       1 ( ) ( ) ( f x 5 Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczej f, której wzór ma postać a) Na podstawie zaznaczonego punktu na krzywej wy- kładniczej znajdź wartość a. b) Naszkicuj wykres funkcji g określonej wzorem ( g x ) 1 − . x a= . ( f x = ) ) 6 Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f określonej wzorem ( ) 2x f x = . y x a= należy punkt Q. y 1 1O y 1 O x 1 x 74  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę Napisz wzór funkcji, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, wiedząc, że wy- kres ten powstał przez przesunięcie wykresu funkcji f. a) b) y y c) O 1 1 y O 1 –1 d) x x 1 O y 1 O 1 1 7 Za pomocą czterech doświadczeń dokonano pomiaru pewnych wielkości t i V. Ist- nieje przypuszczenie, że wielkości te można opisać za pomocą modelu matematycznego , gdzie b i a są pewnymi sta- wykorzystującego funkcję wykładniczą daną wzorem łymi charakterystycznymi dla danego doświadczenia. Które wyniki pomiarów wykluczają to przypuszczenie? a) 0,5 5 10 1,024 5 0,032 0 0,001 = ⋅ V b a t 1 2,5 t V 0 10 b) t V 2 25 2 c) t V 0 2 x x 4 600 2 8 Znajdź x, dla którego zachodzi równość: a) 2 x = 32 e) 4 2 x = 1 256 b) 1   2  + x f) 4 x  =   4 c) 12 x = 2 12 d)    x 41  =  4  1 64 4 −= 1 4 x g) 7 x = 1 9 Liczba bakterii pewnej kolonii powiększa się o 50 co godzinę. Jeśli kolonia ta w południe liczyła 3 miliony, to podaj jej liczbę w przedziałach półgodzinnych od 1030 do 1400. Odpowiedź podaj z dokładnością do wartości całkowitej. Do obliczeń można użyć kalkulatora. 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres 75 Poleć książkęKup książkę 10 Pewna cząstka radioaktywna ma masę 50 gramów, a jej rozpad powoduje zmniejsze- nie masy o 20 każdego roku. Podaj wzór na masę tej cząstki po t latach. Narysuj wykres tej funkcji. Na podstawie wzoru i wykresu udziel odpowiedzi na poniższe pytania z do- kładnością do pełnych miesięcy. a) Kiedy masa tej cząstki wynosiła 70 gramów? b) Kiedy masa tej cząstki będzie równa 32 gramy? Do obliczeń można korzystać z kalkulatora. *3.2. Funkcja logarytmiczna Powróćmy do przykładu opisanego w poprzednim rozdziale. Za- leżność liczby bakterii y (t) od czasu (wyrażonego w dniach), jaki upłynął od momentu, gdy próbka zawierała jedną bakterię, została opisana za pomocą funkcji określonej wzorem y (t) = 2t. Chcemy teraz obliczyć, kiedy wartość populacji będzie wynosiła 2 miliony bakte- rii. Szukamy takiego t, że 2t = 2000000. Z defi nicji logarytmu wy- nika, że t = log22000000 ≈ 21. Jeżeli więc t oznacza czas (wyrażony w dniach), jaki upłynął od momentu, w którym próbka zawierała jedną bakterię, do momentu, gdy zawierała pewną liczbę x bakterii, to otrzymujemy związek t = log2 x. Zatem jeśli chcemy obliczyć czas t w zależności od liczby bakterii, to możemy obliczyć wartość funkcji określonej wzorem t (x)= log2 x. Możemy narysować wykres otrzymanej funkcji, przyjmując, że x ≥ 1. t 1 O 1 2 x Otrzymany wykres jest fragmentem wykresu funkcji nazywanej funkcją logarytmiczną. 76  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę Z pierwszej klasy znamy pojęcie logarytmu.  Uwaga  Przykład 1. x . Sporządźmy Dana jest funkcja tabelę wybranych wartości tej funkcji i naszkicujmy jej wykres. dla log = 0 x y 2 0 a b , oraz 1a ≠ , to logarytmem Jeżeli, przy podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, że można napisać symbolicznie: c b= . Przy takich zastrzeżeniach b ⇔ = . ca b a c = log a x y = log 2 x 1 16 4− 1 8 1 4 1 2 3− 2− 1− 1 0 2 1 4 2 8 3 y 1 O 1 2 x Przykład 2. Dana jest funkcja log i naszkicujmy jej wykres. = y x dla x . Sporządźmy tabelę wybranych wartości tej funkcji 0 1 2 y x y = log x 1 2 1 8 3 1 4 2 1 2 1 1 0 2 4 8 1− 2− 3− O –1 1 2 x ) = loga Funkcję określoną wzorem: ( x f x , x oraz gdzie x ∈ i stawie a. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. 1a ≠ , nazywamy funkcją logarytmiczną o pod- 0a , 0 Definicja *3.2. Funkcja logarytmiczna 77 Poleć książkęKup książkę Dla 0 a 1 funkcja logarytmiczna jest malejąca (wykres czerwony). Dla a 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca (wykres niebieski). y O 1 x Wykresy funkcji y = loga x i y = log 1 a są do siebie symetryczne względem osi Ox. x Oto kilka przykładów wykresów funkcji logarytmicznych: y O 1 y y = log3x y = log4x x O 1 x x1 y = log 4 y = log x1 3 Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest przedział (−∞, ∞). Oś Oy nazywamy asymptotą pionową wykresu tej funkcji. Funkcja logarytmiczna każdą wartość przyjmuje dokładnie jeden raz. Wykres funkcji przecina oś Ox w punkcie o współrzędnych (1, 0). Przesuwając wykres funkcji logarytmicznej możemy rysować inne wykresy funkcji, np.: 1. funkcję x b = y loga o b jednostek, y = loga x wzdłuż osi układu współrzędnych, + rysujemy, przesuwając wykres funkcji y = loga x wzdłuż osi Oy 2. funkcję y = loga ( x c − rysujemy, przesuwając wykres funkcji ) y = loga x wzdłuż osi Ox o c jednostek. 78  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Rzeczywiście: y ax= wtedy i tylko wtedy, gdy x = log ya , przy założeniu, że a 0 i a ≠ 1 oraz y 0. ya ) = ) = log ( Funkcja x y ( ( y x . Jeżeli chcemy narysować wykres funkcji y x zmienne x i y. Przekształceniem, w którym oś Ox przechodzi na oś Oy i odwrotnie, jest odbicie symetryczne względem prostej y jest funkcją zmiennej y i jej wykres pokrywa się z wykresem funkcji , musimy zamienić rolami ) = log x= . xa ax Przedstawmy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji wykładniczej i odwrotnej do niej logarytmicznej o tej samej podstawie a. Wykres funkcji odwrotnej g do danej funkcji f jest symetryczny względem prostej o równaniu y x= . 1a wykresy nie mają punktów Dla wspólnych. f(x) = ax y = x y 1 x 1O g(x) = logax 1a wykresy przecinają się Dla 0 w punkcie należącym do prostej y x= . y 1 y = x O 1 f(x) = ax x g(x) = logax Czy wykresy funkcji wykładniczej i odwrotnej do niej funkcji logarytmicznej o podstawie 0 mają punkty wspólne? a 1 x ) = Rozpatrzmy dwie funkcje: ) = log 1 ( f x Można zauważyć, że dla x = 1 4 ( i g x 1 16       x . 16 mamy f    1 4   =  g    1 4   =  1 2 oraz dla x = 1 2 mamy f 1 2      =  g 1 2    1   = . 4  Zatem wykresy tych funkcji przecinają się w punktach o współrzędnych 1   4  , 1 2  , 1    2   , 1 4   .  *3.2. Funkcja logarytmiczna 79 Poleć książkęKup książkę Zadania 1 Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = log 2 x b) y = log 2 ( x + ) 1 c) y = − + 1 log x 2 d) y = − 1 log x 2 2 Naszkicuj odpowiednie wykresy funkcji i korzystając z nich, podaj rozwiązania nie- równości: a) x ≤ 3 x log log b) c) 2 x ≥ − 1 log 3 3 Dla jakiej wartości k punkt P należy do wykresu funkcji ) a) ( 1000, 3 P = P = P = b) c) )8, 3 ( ( − 64, 3 d) P = ) e) P = 1 3 ( ) 125, 3 ( − 729, 6 ) 1 2 ( f x ) = logk x ? 4 Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji i zapisz ich dziedziny: a) log log b) = = ( f x ( f x ) ) c) 2 x ( = log 2 x + ) 2 d) ( f x ( f x ) ) 2 x ( + 2 ) + 2 x + 2 = log 2 3.3. Spoza podstawy programowej — skala logarytmiczna Aby zobrazować, do czego może w praktyce służyć skala logarytmiczna, spójrzmy na po- niższy opis. Wiemy, że pewna wielkość y rośnie wraz ze wzrostem innej wielkości x szybciej niż li- niowo. Nie wiemy jednak, czy y zależy od drugiej, czy może trzeciej potęgi x. Zapiszmy więc , gdzie stałe A oraz n są nieznanymi liczbami rzeczywistymi. y Ax= n = Ax y log Po obustronnym zlogarytmowaniu otrzymujemy: log + x A n własności działań na logarytmach mamy: log . log Zatem jeśli na obu osiach Ox i Oy umieścimy logarytmy odpowiednich wartości, to wy- kresy jednomianów stopnia dodatniego, funkcji pierwiastkowej itp. staną się prostymi. Wartości log A oraz n możemy odczytać z wykresu. , a stąd na podstawie log = y n Przykład 1. Przyjrzyjmy się wynikom, jakie otrzymano w pewnym eksperymencie z wahadłem. 80  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę Długość wahadła (w metrach) l Średni czas wahnięcia (w sekundach) t 0,6 1,54 1,0 2,03 1,4 2,39 1,8 2,67 2,2 2,97 Przedstawmy teraz wykres funkcji po zlogarytmowaniu. t = n n = kl log log kl= + k n , to log t Jeśli Wynika z tego, że wykresem logt jako funkcji logl będzie prosta o takim kącie nachylenia α, że tg nα= . Przecina ona oś logt w punkcie o rzędnej logk. log l . t k O 1 2 l logl logt − 0,222 0,188 0,000 0,307 0,146 0,378 0,255 0,427 0,342 0,473 Tangens kąta nachylenia prostej do osi odciętych liczymy, dzieląc stosunek przyrostu wartości funkcji przez przy- rost argumentów. Biorąc dane ze skraj- nych kolumn tabeli, otrzymujemy: log t log k = n α tg = 0,473 0,188 0,222 − ( − − 0,342 ≈ 0,5 . ) –0,2 –0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 log l Natomiast log k jest rzędną punktu prze- cięcia wykresu funkcji z osią rzędnych, czyli log t nych doświadczalnych wynika, że badaną funkcję w przybliżeniu opisuje wzór , a w konsekwencji k = 2 03, 0,307 k = = . Z da- 0,5 l 2,03 . 3.4. Z zastosowań matematyki Temat badawczy nr 1 Opis ćwiczenia Przeprowadzono pewien eksperyment, na podstawie którego określono, że liczba bakterii w pewnej hodowli wzrasta każdego dnia. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. Czas [dni] Liczba bakterii w przybliżeniu 100 0 1 200 2 400 3 800 5 4 1600 3200 6400 12 800 7 6 3.4. Z zastosowań matematyki 81 Poleć książkęKup książkę Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. a) Znajdź wzór funkcji opisującej powyższą zależność. b) Oblicz przybliżoną liczbę bakterii tej kolonii po 1,25 dnia oraz po 2,25 dnia. c) Oblicz, w którym dniu liczba bakterii wynosiła 102 400. d) Oszacuj, ile dni przed eksperymentem hodowla składała się z tylko jednej bakterii. Temat badawczy nr 2 Opis ćwiczenia Lekarstwa, które przyjmuje człowiek, są stopniowo eliminowane z organizmu. Przy- bliżona ilość leku, jaka pozostaje w organizmie, zależy od wielkości dawki leku d (mg) oraz czasu t (h) liczonego od momentu zażycia lekarstwa i wyraża się wzorem ( ) P t , gdzie t ≥ . 0 d= ⋅ ( )0,7 t Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Załóżmy, że chory przyjął 20 mg leku. a) Oszacuj, ile mg leku znajduje się w organizmie chorego po upływie 6 godzin od momentu zażycia lekarstwa. b) Wyznacz, ile procent zażytego leku organizm eliminuje w ciągu każdej godziny. c) Oblicz, jaka najmniejsza liczba godzin musi upłynąć, aby w organizmie chorego pozostało co najwyżej 0,56495 mg leku. 3.5. Prosto do matury ZESTAW I (TESTOWY) 1 Który rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej y x a= dla 1a ? A. y 1 O B. y 1O x x 82  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę C. y 1 O D. y 1 O x 2 Który rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej A. B. y y x y x a= dla 1a ? C. 1 O y 1 O x x D. 1O y 1 O x x ( f x 3 Rozważmy funkcje zadane wzorami A. nie posiadają punktów wspólnych. B. mają dokładnie jeden punkt wspólny. C. mają dokładnie dwa punkty wspólne. D. mają dokładnie pięć punktów wspólnych. ) −= 45x i ( g x = . Wykresy tych funkcji: ) 2x 4 Gdy f jest funkcją wykładniczą określoną wzorem ( f x )  =   1 2 x    dla x ∈, to wykres funkcji g określonej wzorem ( g x naniu: A. y = 0 1y = B. ) = − ( f x ) 3 + nie ma punktów wspólnych z prostą o rów- C. y = 2 D. y = 3 3.5. Prosto do matury 83 Poleć książkęKup książkę 2 x = . Jednym z rozwiązań tego równania jest liczba 2. 2x 5 Dane jest równanie A. Równanie to nie ma innych rozwiązań. B. Równanie to prócz rozwiązania datnie. C. Równanie to prócz rozwiązania ujemne. D. Równanie to prócz rozwiązania x = ma jeszcze tylko jedno rozwiązanie, jest ono do- 2 x = ma jeszcze tylko jedno rozwiązanie, jest ono 2 x = ma jeszcze co najmniej dwa inne rozwiązania. 2 x jest równa: x= 4 C. 2 D. 3 B. 1 x  =   6 Liczba rozwiązań równania 2 A. 0 7 Równanie 1   2  A. nigdy nie ma rozwiązania. B. może nie mieć rozwiązań. C. zawsze ma jedno rozwiązanie. D. może mieć dwa rozwiązania. m , gdzie m∈: 8 Jeżeli 1 44 3 5 ⋅ 8    A. 2  ( 2 :   B. 15 16 3 )1 = 4x , to x jest równe: C. 16 15 D. 10 3 3 x − 1 − x 2 : = 8 3 9 9 Równanie A. ma dokładnie dwa rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. jest sprzeczne. D. ma nieskończenie wiele rozwiązań. x 2 B. x − dla a ) a∈ + ∞ − wynika, że: 2 a 10 Z nierówności ( 0, A. ( )0,1 ( a∈ + ∞ C. 1, D. x ∈∅ dla a∈ x − dla x − dla a∈ 2 2 ) t = i 6 5 11 Jeżeli 2 A. 12    1 3 9 12 Wyrażenie A. 113− ⋅ 3 B. 53 t = , to 12t wynosi: 2 B. 5 − 3  ⋅   − 5 27 − 2 4 C. 10 D. 2 zapisane jako potęga o podstawie 3 ma postać: C. 23 D. 53− 84  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę 13 Punkt A. y = 2x P  = −  13, 8 B.    y 14 Do wykresu funkcji y należy do wykresu funkcji określonej wzorem:  =   x 1   2  −= 5 23 C. y = 3x D. y −= 3 x x należy punkt o współrzędnych: A.    14, 27    B. ( )3,1 C. ( ) 2, 1− D. ( )1, 9 15 Wskaż funkcję rosnącą: A. ( f x ) x  =   1 3    B. ( f x ) x  =   1 2    ZESTAW II (RACHUNKOWY) C. ( f x ) 2 x −= D. ( f x ) − x  =   1 2    1 Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem P = . Oblicz a. 4, 256 ( ) ( y x ) x a= należy punkt 2 Wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem ( y x którego druga współrzędna y wynosi 8 125 x )  =   2 5    przechodzi przez punkt, . Znajdź pierwszą współrzędną tego punktu. 3 Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem Znajdź wartość tej funkcji dla x = . 3 y x a= należy punkt P  = −  42, 9    . ( f x = przesunięto względem osi Ox o 3 jed- 4 Wykres funkcji f określonej wzorem nostki w lewo i względem osi Oy o 1 jednostkę w górę. Podaj wzór funkcji g, której wykres otrzymano w wyniku tych przekształceń. ) 2x 5 W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji ( g x i . Podaj rozwiązanie równania ( g x ( f x log = = x ) ) ) . 2 6 W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji ( g x i . Podaj zbiór rozwiązań nierówności ( g x ( f x log ≥ = x ) ) ) . 2 ( f x ) = log ( f x ) = log x x 1 2 1 2 7 Wykres funkcji dzi przez punkt ( + 6, 5− . Znajdź m i k. log ( f x ) = ( ) 3 x m k − , której dziedziną jest zbiór ( ) 3,− + ∞ , przecho- ) 8 Wyznacz miejsca zerowe funkcji ( f x ) = log ( x − 2 x )3 . 3.5. Prosto do matury 85 Poleć książkęKup książkę 9 Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x oraz 0a prawdziwa jest nierówność 1 a− 0 . x x + − 1 a 10 Rozwiąż grafi cznie nierówność 1   2  x  ≤   8 . 11 Rozwiąż grafi cznie nierówność 2 x 16 . 12 Znajdź współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji ( f x z osiami układu współrzędnych. + + = 6 8 5 8 8 x x x ) ⋅ ⋅ ⋅ 2 3 x x x 13 Znajdź współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji funkcji ( g x 1 2 + = 2 x x ) . ⋅ ⋅ − − 2 x x ( f x ) −= 32 x z wykresem 14 Naszkicuj wykres funkcji ( f x ) 2 3 x = + − . 15 Wiedząc, że 2 wynosi 2 3 − + − . 6 t 2 t t = i 6 5 t = , i korzystając z własności funkcji wykładniczej, oblicz, ile 2 ZESTAW III (ZADANIA RÓŻNE) ) , 5000 1 1 0 2 1 Populacja P pewnego miasta wzrasta zgodnie ze wzorem P , gdzie t ∈ oznacza liczbę lat po 1980 roku. Jaka będzie liczba mieszkańców tego miasta po 2028 roku? ⋅( = , t 2 Liczba N oznacza masę pierwiastka radioaktywnego po pełnych t latach roz- padu (N0 jest masą początkową): . Ile substancji zostanie z 2 gra- mów po 7500 latach? ( 0 0,97 N N= )0,0004 t 3 Przypuśćmy, że rząd zakłada, iż pensje wzrastają w tempie 4 na rok. Jeśli pen- sje w pewnym szczególnym zawodzie są podnoszone raz na trzy lata, to o ile procent powinny wzrastać, aby nadążyć za roczną średnią założoną przez rząd? 4 Obserwowana uprawa drożdży o objętości 2 cm3 podwaja swoją objętość co 30 minut. Oblicz objętość uprawy drożdży po upływie jednej godziny oraz po upływie jednej doby.  Wskazówka  Aby rozwiązać zadanie, skorzystaj ze wzoru zamieszczonego w ciekawostce na stronie 73. 5 Jednym z wielu produktów reakcji jądrowej, w której bierze udział uran, jest radioaktywny pluton, którego czas połowicznego rozpadu wynosi 25 000 lat. Jeżeli pewna ilość plutonu została zamknięta w betonie, to jaka jego część pozostanie po 100 000 lat? 86  Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej Poleć książkęKup książkę SKOROWIDZ (cid:20)A aksjomat Peano, 161 asymptota pozioma, 73 C ciąg arytmetyczny, 148 n-ty wyraz ciągu, 149 różnica ciągu, 148 suma n początkowych wyrazów ciągu, 151 suma wyrazów ciągu, 150 twierdzenie Dirichleta, 149 własność ciągu, 148 ciąg Fibonacciego, 140 ciąg geometryczny, 153 granica ciągu, 158 iloraz ciągu, 153 n-ty wyraz ciągu, 154 suma n wyrazów ciągu, 156 szereg geometryczny, 158 własność ciągu, 154 zbieżny, 159 ciąg liczbowy, 138 arytmetyczny, 148 Fibonacciego, 140 geometryczny, 153 granica ciągu stałego, 145 granice ciągów, 143 malejący, 140 niemalejący, 140 nierosnący, 140 nieskończony, 138 n-ty wyraz ciągu, 138 określanie ciągów, 139, 142 określony rekurencyjnie, 142 pojęcie ciągu, 138 rosnący, 140 rozbieżny, 146 skończony, 138 zbieżny do liczby, 144 zbieżny do zera, 144 cosinus, 90, 99 kofunkcja, 105 podwojonego kąta, 123 twierdzenie cosinusów, 187 cosinusoida, 109 własności, 110 cotangens, 105 czas połowicznego rozpadu, 73, 86 D datowanie radiowęglowe, 73 czas połowicznego rozpadu, 73, 86 długość odcinka, 208 promienia okręgu, 233 stycznej, 180 wektora, 212 dodawanie wektorów, 212 wielomianów, 13 wyrażeń wymiernych, 48 drgania harmoniczne, 128 dwumian, 11 dziedzina funkcji logarytmicznej, 77 funkcji wykładniczej, 72 funkcji wymiernej, 60 wyrażeń wymiernych, 46, 47 dzielenie wielomianu, 17 dzielenie z resztą, 17 dzielna, 17 dzielnik, 17 grupowanie wyrazów, 23 pierwiastek wielomianu, 19 reszta, 17, 19 rozkład na czynniki, 21 szczególne przypadki, 20 twierdzenie Bézouta, 19 wyłączanie wspólnego czynnika, 23 wzory skróconego mnożenia, 22, 24 dzielna, 17 dzielnik, 17 Skorowidz 279 Poleć książkęKup książkę F figury jednokładność, 194 obrót, 197 podobieństwo, 194 funkcja homograficzna, 60, 61 postać kanoniczna, 61 funkcja logarytmiczna, 76, 77 dziedzina, 77 logarytm, 77 malejąca, 78 rosnąca, 78 skala logarytmiczna, 80 tangens kąta nachylenia, 81 wykresy funkcji, 76, 78 zbiór wartości funkcji, 78 funkcja nieparzysta, 108, 111 funkcja odwrotna, 79 wykres, 79 funkcja parzysta, 110 funkcja wykładnicza, 70, 72 dziedzina, 72 krzywa wykładnicza, 71 malejąca, 72 potęgi o wykładniku wymiernym, 70 rosnąca, 71, 72 wykresy funkcji, 73 zbiór wartości funkcji, 73 funkcja wymierna, 60 dziedzina, 60 funkcja homograficzna, 61 funkcje trygonometryczne, 87 cosinus, 90, 99 koło trygonometryczne, 107 miary kąta, 94 mierzenie obrotów, 102 nierówności trygonometryczne, 112 okresowość funkcji, 103 określoność funkcji, 92 równania trygonometryczne, 112 sinus, 88, 90, 99 tangens, 90, 99 tożsamości trygonometryczne, 122 wartości funkcji, 107 wykresy funkcji, 107 wzory redukcyjne, 93, 104, 105 zależności trygonometryczne, 106 znaki funkcji, 92, 99 związki między funkcjami, 92 G Gauss Carl Friedrich, 151 geometria, 207 gęstość ciała, 67 granice ciągów, 143 stałych, 145 twierdzenia o działaniach, 145 zbieżnych, 144 H harmoniki, 128 drgania harmoniczne, 128 hiperbola, 55, 56 hipoteza Murraya, 136 I iloczyn skalarny wektorów, 240 kąt między wektorami, 240 pola trójkątów, 241 środek odcinka, 242 twierdzenie cosinusów, 242 własności iloczynu, 240 indukcja matematyczna, 161 aksjomat Peano, 161 przejście indukcyjne, 162 sprawdzenie początkowe, 162 uogólniona zasada indukcji, 162 J jednokładność, 193 figur, 194 odwrotna, 193 prosta, 193 skala jednokładności, 193 jednomiany, 10 dwóch zmiennych, 10 jednej zmiennej, 10 podobne, 11 stopnia czwartego, 10 stopnia drugiego, 10 stopnia pierwszego, 10 stopnia trzeciego, 10 stopnia zerowego, 10 K kartezjański układ współrzędnych, 208 oś odciętych, 208 oś rzędnych, 208 280  Skorowidz Poleć książkęKup książkę kąty bifurkacji, 136 miary kąta, 94 między wektorami, 240 obrotu, 197 pełny, 95 półpełny, 95 prosty, 94, 95 środkowy, 172 wpisany, 172, 173, 177 zerowy, 95 rozwarty, 93 uogólniony, 102, 104 koło, 172 promień, 172 w układzie współrzędnych, 232 trygonometryczne, 107 L logarytm, 77 funkcja logarytmiczna, 77 skala logarytmiczna, 80 M miara łukowa, 95 kąt pełny, 95 kąt półpełny, 95 kąt prosty, 95 kąt zerowy, 95 radian, 95 miara stopniowa, 94 kąt prosty, 94 stopień, 94 miary kąta, 94 miara łukowa, 95 stopniowa, 94 zamiana jednostek, 96 mnożenie wektorów, 239 wielomianów, 13 wyrażeń wymiernych, 48 moc urządzenia, 67 N napięcie elektryczne, 67 natężenie prądu, 67 nierówności liniowe gra„ czne rozwiązanie nierówności, 230 interpretacja gra„ czna, 229 z dwiema niewiadomymi, 230 nierówności trygonometryczne, 112 gra„ czne rozwiązanie nierówności, 115 rozwiązywanie metodą sprowadzania do nierówności podstawowej, 127 nierówności wielomianowe, 32, 59 rozwiązanie nierówności, 32 sposób rozwiązywania, 32 wielomian zredukowany, 32 nierówności wymierne, 58 nierówność wielomianowa, 59 rozwiązywanie, 58 O obrót „ gury, 197 kąt obrotu, 197 środek obrotu, 197 odcinek, 208 długość, 208 środek, 210 odejmowanie wektorów, 213 wielomianów, 13 wyrażeń wymiernych, 48 okrąg, 172 czworokąty opisane na okręgu, 183, 184 czworokąty wpisane w okrąg, 183, 185 de„ nicja, 232 długość promienia okręgu, 233 kąt wpisany, 172 okręgi styczne do siebie, 178 promień, 172 prosta, 234 punkt styczności, 176 równanie okręgu w postaci kanonicznej, 232 równość odcinków stycznych, 177 styczna do okręgu, 176 trójkąty opisane na okręgu, 181 trójkąty wpisane w okrąg, 181 układ współrzędnych, 232 współrzędne środka okręgu, 233 opór elektryczny, 67 om, 67 oś odciętych, 208 rzędnych, 208 P Peano Giuseppe, 161 pierwiastek wielomianu, 19 pierwsze odkrycie Gaussa, 150 Skorowidz 281 Poleć książkęKup książkę planimetria, 171 jednokładność, 192 koło, 172 okrąg, 172 podobieństwo, 192 promień, 172 rozwiązywanie trójkątów, 189 płaszczyzna kartezjańska, 207 podobieństwo, 194 figur, 194 skala podobieństwa, 194 trójkątów, 195 prawa odbicia światła, 134 Ohma, 67 Snella, Patrz prawo załamania światła załamania światła, 134 promień, 172 proporcjonalność odwrotna, 53 hiperbola, 55, 56 wykres, 54 proporcjonalność prosta, 52 proste, 219 odległość punktu od prostej, 228 okrąg, 234 pokrywające się, 223 prostopadła do osi, 219 prostopadłe, 225, 227 przecinające się, 223 równanie kierunkowe prostej, 220 równanie ogólne prostej, 219 równoległa do osi, 219 równoległe, 224, 227 styczna do okręgu, 176 własności prostej, 227 współczynnik kierunkowy prostej, 220 wzajemne położenie prostych, 223 przekształcenia płaszczyzny, 236 geometryczne, 236 symetria osiowa, 237 symetrią środkowa, 238 tożsamościowe, 237 wzajemnie jednoznaczne, 236 punkt styczności, 176 R radiany, 95 zamiana na stopnie, 96 reguła równoległoboku, 213 282  Skorowidz rekurencja, 142 rozwiązywanie nierówności liniowych, 230 nierówności trygonometrycznych, 115, 127 nierówności wielomianowych, 32 nierówności wymiernych, 58 równań trygonometrycznych, 112, 125, 126 równań wielomianowych, 29, 38 równań wymiernych, 57 trójkątów, 186, 188, 189 równania trygonometryczne, 112, 125 graficzne rozwiązanie równania, 112 odcięte punktów, 113 rozwiązywanie metodą wprowadzenia po- mocniczej niewiadomej, 125 rozwiązywanie z wykorzystaniem podsta- wowych tożsamości, 126 równania podstawowe, 112 równania wielomianowe, 26, 28 miejsca zerowe wielomianu, 29 przybliżone rozwiązywanie, 38 rozwiązanie równania, 29 rozwiązywanie, 29 równania wymierne, 56 mianownik wyrażenia wymiernego, 57 rozwiązywanie, 57 równanie kierunkowe prostej, 220 równanie ogólne prostej, 219 S sinus, 90, 94, 99 kąta ostrego, 88 kofunkcja, 105 podwojonego kąta, 123 twierdzenie sinusów, 186 sinusoida, 108 własności, 108 skala jednokładności, 193 logarytmiczna, 80 podobieństwa, 194 stopnie, 94 zamiana na radiany, 96 styczna do okręgu, 176, 177 długość stycznej, 180 równość odcinków stycznych, 177 symetria osiowa, 237 symetria środkowa, 238 Poleć książkęKup książkę szereg geometryczny, 158 suma szeregu, 158 zbieżny, 158, 159 Ś środek ciężkości trójkąta, 205 T tangens, 90, 99 kofunkcja, 105 tangensoida, 111 własności, 111 tożsamości trygonometryczne, 122 podwojonego kąta, 123 wzory redukcyjne, 122 wzór jedynkowy, 123 trójkąty dwusieczne kąta, 181 jednokładny, 193 obliczanie pola, 241 obrót, 197 opisane na okręgu, 181 podobieństwo, 195 rozwiązywanie trójkątów, 186, 188, 189 symetralne boków, 181 środek ciężkości, 205 twierdzenie cosinusów, 187 twierdzenie Pitagorasa, 208 twierdzenie sinusów, 186 wpisane w okrąg, 181 trójmian kwadratowy niepełny, 11 twierdzenia Bézouta, 19 cosinusów, 187, 242 Dirichleta, 149 Pitagorasa, 208 sinusów, 186 Talesa, 209 U układ współrzędnych, 208 kartezjański, 208 koło, 232 nierówności liniowe, 229 odcinek, 208 okrąg, 232 oś odciętych, 208 oś rzędnych, 208 prosta, 219 symetria osiowa, 236 symetria środkowa, 236 wektory, 215 wzajemne położenie prostych, 223 ułamek algebraiczny, 46 W wektory, 211 długość wektora, 212 dodawanie wektorów, 212 iloczyn skalarny wektorów, 240 iloczyn wektora i liczby, 214 kąt między wektorami, 240 mnożenie wektorów, 239 odejmowanie wektorów, 213 postać kanoniczna wektora, 215 prostopadłe wektory, 217, 240 przeciwny, 213 równoległe wektory, 217 równość wektorów, 212, swobodny, 212, 214, 216 współrzędne wektorów, 215 zaczepiony, 211, 212 zerowy, 212 wielokąty równoważne, 199 wielomiany, 9 defi niowanie jako funkcje, 28 dodawanie wielomianów, 13 dwumian, 11 dzielenie przez dwumian, 17 dzielenie z resztą, 17 grupowanie wyrazów, 23 miejsca zerowe, 29 mnożenie wielomianów, 13 nierówności wielomianowe, 32, 59 odejmowanie wielomianów, 13 ogólna postać, 10 pierwiastek wielomianu, 19 podobne, 11 postać iloczynowa, 22 przykładowe wykresy, 10 reszta z dzielenia, 17, 19 rozkład na czynniki, 21 równania wielomianowe, 26, 28 równość wielomianów, 12 stopnia czwartego, 10 stopnia drugiego, 10 stopnia pierwszego, 10 stopnia trzeciego, 10 Skorowidz 283 Poleć książkęKup książkę dodawanie wyrażeń, 48 dziedzina, 46, 47 dzielenie wyrażeń, 48 funkcja homograficzna, 60, 61 funkcja wymierna, 60 mianownik wyrażenia, 57 mnożenie wyrażeń, 48 najprostszy wspólny mianownik, 49 nierówności wymierne, 58 odejmowanie wyrażeń, 48 proporcjonalność odwrotna, 53 proporcjonalność prosta, 52 rozszerzanie wyrażeń, 47 równania wymierne, 56 równe zero, 57 sens liczbowy, 47 ułamek algebraiczny, 46 upraszczanie wyrażeń, 47 wyrażenia algebraiczne, 46 wzory Gaussa, 242 wzory redukcyjne, 93, 104, 105 kąty rozwarte, 93 kąty uogólnione, 104 tożsamości trygonometryczne, 122 zależności trygonometryczne, 106 wyrażenia algebraiczne, 46 ułamek algebraiczny, 46 wyrażenia wymierne, 46 wzory Viète’a, 30 wzór trapezowy, 243 Z zbieżność ciągu, 145 wielomiany stopnia zerowego, 11 trójmian, 10, 11 twierdzenie Bézouta, 19 uporządkowany, 12 wykresy funkcji, 33, 36 wyłączanie wspólnego czynnika, 23 wyrazy wielomianu, 12 wzory skróconego mnożenia, 24 wzory Viète’a, 30 zerowy, 11 zredukowany, 32 cosinusoidy, 110 ciągu arytmetycznego, 150 ciągu geometrycznego, 154 iloczynu skalarnego wektorów, 240 sinusoidy, 108 tangensoidy, 111 własności wspólny mianownik, 49 wykres funkcji odwrotnej, 79 wykres proporcjonalności odwrotnej, 54 hiperbola, 55, 56 wykresy funkcji logarytmicznej, 76, 78 wykresy funkcji trygonometrycznych, 107 cosinusoida, 109 koło trygonometryczne, 107 sinusoida, 108 tangensoida, 111 wykresy funkcji wielomianowej, 33, 36 przedziały, 33 szkicowanie wykresów, 37 wykresy funkcji wykładniczej, 73 wyrazy wielomianu, 12 284  Skorowidz Poleć książkęKup książkę
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Profil podstawowy i rozszerzony. Klasa 2
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: