Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00087 006936 14488881 na godz. na dobę w sumie
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 1 - książka
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 1 - książka
Autor: , Liczba stron: 320
Wydawca: Helion Edukacja Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-246-2400-3 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> szkoła ponadgimnazjalna
Porównaj ceny (książka, ebook (-15%), audiobook).

Numer dopuszczenia: 521/1/2012


Dobre wyniki z matematyki!

Umiesz liczyć? Licz na Matematykę Europejczyka! Z nią nie tylko nauka, ale także codzienne życie stanie się prostsze i bardziej zrozumiałe. Podręcznik składa się z pięciu rozdziałów, obejmujących wiedzę i zadania z zakresu nauki o zbiorach, liczb rzeczywistych, figur geometrycznych na płaszczyźnie, funkcji i ich własności oraz funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Każdy rozdział zawiera dział Z zastosowań matematyki, w którym uczniowie wraz z nauczycielem znajdą praktyczne i zaskakujące tematy badawcze. W przygotowaniu do egzaminu dojrzałości, niezastąpiona okaże się część Prosto do matury, zawierająca zestawy zadań testowych, rachunkowych oraz matematyczne eksperymenty. Książka posiada także informacje Spoza podstawy programowej, skierowane do szczególnie dociekliwej młodzieży. Dodatkową pomocą są odpowiedzi do większości zadań z podręcznika, tabela ze wzorami oraz skorowidz, które pomagają w samodzielnej nauce.

Kompletny zestaw Matematyka Europejczyka. Klasa 1 stanowi podręcznik oraz zbiór zadań wraz z płytą CD.

Seria podręczników, zbiorów zadań, zeszytów ćwiczeń i płyt CD Matematyka Europejczyka wydawnictwa Helion pozwala uczniom zdobywać wiedzę bez stresu, a nauczycielom ułatwia przekazywanie nowego materiału w interesujący i niebanalny sposób.

Matematyka Europejczyka - to się liczy!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Autor oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autor oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce. Redaktor prowadzący: Marcin Borecki Projekt okładki: Urszula Buczkowska Fotografia na okładce została wykorzystana za zgodą iStockPhoto Inc. Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: helion@helion.pl WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek) Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie?ppodg1 Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję. ISBN: 978-83-246-2400-3 Copyright © Helion 2011 Printed in Poland. • Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści Od autorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:12) Zamiast wstępu — zrozumieć symbolikę . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:1) Zdania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)(cid:141) (cid:129). Liczby rzeczywiste i ich zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)(cid:157) (cid:129).(cid:129). Zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)(cid:12) (cid:129).(cid:160). Zbiory liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:160)(cid:173) Zbiór liczb naturalnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:160)(cid:173) Zbiór liczb całkowitych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:160)‚ Zbiór liczb wymiernych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:160)(cid:12) Zbiór liczb niewymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:160)ƒ Zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:160)(cid:1) (cid:129).(cid:173). Przedziały liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:173)(cid:160) *(cid:129).†. Przedziały liczbowe. Wartość bezwzględna . . . . . . . . . . . (cid:173)† (cid:129).(cid:157). Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej. . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:173)(cid:12) (cid:129).‚. Rachunki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . †(cid:129) (cid:129).(cid:12). Potęga o wykładniku całkowitym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . †(cid:157) (cid:129).ƒ. Pierwiastkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .†(cid:1) (cid:129).(cid:1). Działania na pierwiastkach stopnia drugiego. . . . . . . . . . (cid:157)(cid:129) *(cid:129).(cid:129)(cid:141). Działania na pierwiastkach stopnia trzeciego . . . . . . . . . (cid:157)(cid:173) Wzory skróconego mnożenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:157)(cid:173) Usuwanie niewymierności z mianownika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:157)(cid:173) (cid:129).(cid:129)(cid:129). Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:157)(cid:157) (cid:129).(cid:129)(cid:160). Procenty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:157)‚ Obliczanie procentu danej liczby. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:157)(cid:12) Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:157)ƒ Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba . . . . . (cid:157)ƒ (cid:129).(cid:129)(cid:173). Procenty — ciąg dalszy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‚(cid:141) (cid:129).(cid:129)†. Przybliżanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‚(cid:160) (cid:129).(cid:129)(cid:157). Logarytm liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‚‚ *(cid:129).(cid:129)‚. Działania na logarytmach — ciąg dalszy . . . . . . . . . . . . .‚(cid:1) Spis treści 3     1.17.  Wartość wyrażeń arytmetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.18.   Spoza podstawy programowej    — dowodzenie twierdzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75   1.19.  Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Temat badawczy 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Temat badawczy 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Temat badawczy 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Temat badawczy 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78  1.20.  Prosto do matury  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2. Funkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87   2.1.  Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88   2.2.  Własności funkcji  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Dziedzina i wartości funkcji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Miejsca zerowe funkcji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94   2.3.  Monotoniczność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97   2.4.  Odczytywanie własności funkcji z wykresu  . . . . . . . . . . 103 Odczytywanie z wykresu rozwiązań równań i nierówności  . . . . . 105   2. 5.   Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi   układu współrzędnych  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111   2.6.   Przekształcanie wykresu względem   osi układu współrzędnych  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115  *2.7.  Przekształcenia wykresów funkcji — ciąg dalszy. . . . . . .117   2.8.   Spoza podstawy programowej    — inne własności funkcji  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Funkcje różnowartościowe  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 Funkcje okresowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 Funkcje odwrotne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124   2.9.  Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Temat badawczy 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Temat badawczy 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125  2.10.  Prosto do matury  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3. Funkcja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137   3.1.  Wykres funkcji liniowej i jej równanie. . . . . . . . . . . . . . . 138 Równanie prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4  Spis treści *(cid:19).(cid:17). Wykres funkcji liniowej z wartością bezwzględną . . . . . (cid:129)(cid:141)(cid:19) Składanie wykresu funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)(cid:141)(cid:19) Zastosowanie defi nicji wartości bezwzględnej . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)(cid:141)(cid:141) (cid:19).(cid:19). Równania i nierówności liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)(cid:141)€ *(cid:19).(cid:141). Równania i nierówności liniowe z parametrem . . . . . . . (cid:129)ƒ„ *(cid:19).ƒ. Równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ƒ(cid:17) (cid:19).€. Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ƒ(cid:141) (cid:19).ˆ. Funkcja liniowa jako model w zadaniach praktycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ƒŠ (cid:19).Š. Spoza podstawy programowej — metoda wyznacznikowa rozwiązywania układów równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(cid:129)€(cid:17) (cid:19).Œ. Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)€(cid:19) Temat badawczy (cid:129). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)€(cid:19) Temat badawczy (cid:17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)€(cid:141) Temat badawczy (cid:19). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)€(cid:141) (cid:19).(cid:129)„. Prosto do matury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)€ƒ (cid:141). Funkcja kwadratowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ˆ(cid:19) (cid:141).(cid:129). Wykres funkcji y = ax(cid:17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ˆƒ (cid:141).(cid:17). Przesunięcie wykresu funkcji y = ax(cid:17) wzdłuż osi układu współrzędnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ˆŠ (cid:141).(cid:19). Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej . . . . . (cid:129)Š(cid:129) (cid:141).(cid:141). Miejsca zerowe funkcji kwadratowej . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)Šƒ (cid:141).ƒ. Równania kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)Šˆ Równania kwadratowe typu ax(cid:17) + bx + c = „ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(cid:129)Šˆ Równania kwadratowe typu ax(cid:17) + bx = „ dla a, b ≠ „ . . . . . . . . . . . . . (cid:129)ŠŠ Równania kwadratowe typu ax(cid:17) + c = „ dla a ≠ „ i c „ . . . . . . . . . (cid:129)ŠŠ *(cid:141).€. Równania sprowadzalne do równań kwadratowych . . . (cid:129)Œ„ *(cid:141).ˆ. Układy równań prowadzące do równań kwadratowych . . (cid:129)Œ(cid:129) (cid:141).Š. Nierówności kwadratowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)Œ(cid:141) *(cid:141).Œ. Wzory Viète’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:129)Œˆ *(cid:141).(cid:129)„. Równania kwadratowe z parametrem. . . . . . . . . . . . . . .(cid:17)„„ Równanie dwukwadratowe z parametrem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cid:17)„(cid:17) *(cid:141).(cid:129)(cid:129). Nierówności kwadratowe z parametrem . . . . . . . . . . . .(cid:17)„(cid:141) (cid:141).(cid:129)(cid:17). Wartość największa i najmniejsza funkcji kwadratowej. . (cid:17)„€ Spis treści 5  4.13.   Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej. . . . . . . . . . . . 211  4.14.   Zadania prowadzące do równań kwadratowych . . . . . . 212   4.15.   Spoza podstawy programowej    — funkcja pierwiastkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215  4.16.  Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Temat badawczy 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217 Temat badawczy 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217  4.17.  Prosto do matury  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5. Geometria na płaszczyźnie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225   5.1.  Powtórzenie wiadomości o trójkątach  . . . . . . . . . . . . . . 226 Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Konstrukcja trójkąta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Trójkąty szczególne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229  *5.2.  Twierdzenie Talesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231   5.3.  Figury podobne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235   5.4.   Funkcje trygonometryczne kąta ostrego   w trójkącie prostokątnym  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30o, 45o, 60o . . . 240   5.5.   Tożsamości trygonometryczne dla kąta ostrego  . . . . . . 242   5.6.  Obliczanie pól wielokątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Pole trójkąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Pola czworokątów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247  *5.7.  Twierdzenie sinusów i cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . .249   5.8.   Zastosowanie trygonometrii w planimetrii. . . . . . . . . . . 252   5.9.  Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Temat badawczy 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Temat badawczy 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254  5.10.  Prosto do matury  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Bibliografia  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Skorowidz  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 6  Spis treści 4. FUNKCJA KWADRATOWA Inny typ wzrostu niż ax występuje na przykład wówczas, gdy zmieniamy odle- głość między rzutnikiem a ekranem. Jeśli odległość podwoimy, to obraz (pole) zwiększy się czterokrotnie, a jeśli odległość potroimy, to obraz (pole) zwięk- szy się dziewięciokrotnie, jeśli z kolei odległość zwiększymy x razy, to obraz zwiększy się x2 razy. Funkcję postaci y=x2 nazywamy funkcją kwadratową. Funkcja kwadratowa, podobnie jak funkcja liniowa, służy do zobrazowania wielu zjawisk fi zycznych i modelowania w technice. Opisuje ona na przykład zależność wysokości, na jakiej znajduje się ciało, od czasu w rzucie pionowym do góry lub tor lotu ciała w rzucie poziomym. 2 ) + = ax bx c + , gdzie  Parabola Parabole często spotykamy w życiu codziennym. Wykresem funkcji postaci  ( f x 0a ≠ , b i c są stałymi jest parabola. Należy pamiętać,  że nie każda parabola jest wykresem funkcji kwadratowej. Defi niując parabolę  a ≠ . 0 możemy napisać, że jest to fi gura przystająca do wykresu funkcji  Przykłady: 1. Tor rzutu 2. Anteny satelitarne 3. Mosty 2ax  dla  Gdy rzucamy jakimś  przedmiotem, porusza się  on po paraboli (co prawda  opór powietrza trochę  tę krzywą zniekształca) — w ten sposób powstaje  krzywa balistyczna. Definicja ( f x ) Przekrojem każdej anteny  satelitarnej jest parabola.  Sygnał jest odbijany od we- wnętrznej części parabo- licznego talerza i skupiany  w głowicy umieszczonej  w ognisku paraboli. Gdy lina podtrzymująca  most ma kształt paraboli,  to naprężenie odcinków łą- czących linę z mostem jest  prawie jednakowe. Zapo- biega to odkształceniu samego mostu. Funkcję kwadratową lub inaczej trójmianem kwadratowym. nazywamy funkcją + dla ≠ 0 bx c ax = + a 2 174  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa 4.1. Wykres funkcji y = ax2 Przykład 1. Naszkicujmy wykresy funkcji postaci sporządzimy tabelkę wartości funkcji. y 2 ax= dla 0a i  x ∈. W tym celu x 23x 22x 2x 21 x 2 … … −3 27 18 9 4,5 −2 12 8 4 2 −1 3 2 1 0,5 0 0 0 0 0 1 3 2 1 0,5 2 12 8 4 2 3 27 18 9 4,5 2 y 2 : y y y ax= x 23 x 22 x ramiona paraboli 21 x 2 x parabola y Na podstawie wartości z tabelki na- rysujmy wykres funkcji. Wykresem funkcji jest parabola. Punkt (0,0) zwany jest wierzchołkiem paraboli dzieli tę parabolę na dwie części zwane ramionami paraboli. Na podstawie wykresów możemy zauważyć pewne własności funkcji y 1. Ramiona paraboli skierowane są do góry. Ramiona są przystające. 2. Punkt ( )0, 0 jest wierzchołkiem paraboli. 3. Wierzchołek paraboli jest punktem minimum (współrzędna y wierzchołka jest najmniejszą wartością funkcji ). 4. Wartości największej brak (nie ma maksimum). 5. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla 0. 6. W przedziale ( 7. Oś Oy jest osią symetrii paraboli. −∞ funkcja maleje, a w przedziale wierzchołek paraboli 0, +∞ funkcja rośnie. 10 x ≠ , 0 ) Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Sporządź tabelkę wartości i naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji: ( ( ) f x g x 2 x= , ( h x 10 = = x , ) ) . 2 21 x 10 4.1. Wykres funkcji y = ax2 175 y y 2 y ax= dla 0a i  x ∈. 2 dla 0a ilustrują pewne własności tej Przykład 2. Na podstawie wykresów funkcji z przykładu 1. naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji Wykresy funkcji postaci ax= funkcji: 1. Ramiona paraboli skierowane są do dołu. 2. Punkt ( )0, 0 jest wierzchołkiem paraboli. 3. Wierzchołek paraboli jest punktem maksymalnym (współrzędna y wierz- chołka jest największą wartością funkcji ). 4. Wartości najmniejszej brak (nie ma minimum). 5. Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla 6. W przedziale ( 7. Oś Oy jest osią symetrii paraboli. −∞ funkcja rośnie, a w przedziale x   x 23   x 22 x    0, +∞ funkcja maleje. 21 x 2 10 y y y y x ≠ , 0 0. ) 2 Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2.  Wskazówka  Dziedziną funkcji kwa- dratowej jest zbiór liczb rzeczywistych. 2 x= − , Sporządź tabelkę wartości i naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji: ( ( f x g x ) Współczynnik a (znajdujący się przy ) decyduje o: a) skierowaniu ramion — w górę, gdy a 0, oraz w dół, gdy a 0; b) rozpiętości ramion — im większa wartość liczby a , tym mniejsze 21 x 10 2 x 10 . ( h x = − = − 2x , ) ) rozchylenie ramion paraboli. Zadania , 2f , 2g 2 f x : f x : g x : g x : x→ x→ − 2 1 Mając dane funkcje f, g, napisz wzory określające funkcje: f g⋅ oraz narysuj wykres każdej z tych funkcji. 1. 2. 3. 4. x→ 3 1 x→ 2 1 x= 2 = − ) ) 5 x= ( f x ( f x ( g x ( g x x= 4 x ) ) 1 5 176  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa 2 Sporządź wykresy funkcji: a) b) , , c) , 3 Który z danych punktów należy do wykresu funkcji ( )1, 2 , ) − − , 1, 2 )0, 2 , )1, 2− , ( ( ( ,  −  1 1, 2 2 ? ( f x    ) 22 x= 2 4,   3 18     4 Wyznacz brakujące współrzędne punktów, aby punkty te należały do wykresu funkcji )2, ? , )1, ?− ( 21 x→ . 3 )2, ? , ( ) ?, 9 , f x : ?, 0 , ( ( ( 5 Poniżej zamieszczona jest częściowa tabela funkcji Znajdź współczynnik a i uzupełnij tabelę. ) ( f x ) ax= 2 . 1,5− 1 2 0,2− 11 3 2 x ( f x ) 0 0 0,5 0,08 2 0,98 6 Napisz wzór określający funkcję kwadratową, której wykres ma wierz- chołek w początku układu współrzędnych, jeśli do wykresu należy też punkt ) ( 3, 27 . 7 Oznacz długość boku kwadratu przez x, a pole tego kwadratu przez y. Napisz wzór określający pole kwadratu jako funkcję długości jego boku. Jaka jest dziedzina tej funkcji? 8 Napisz wzór określający pole powierzchni całkowitej sześcianu jako funkcję przekątnej jego ściany bocznej. x 4.1. Wykres funkcji y = ax2 177 9 Uzasadnij, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, którego krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają długości, odpowiednio: 3x, 3x, 9x, opisuje wzór 2 x 126 . = ( P x ) 10 Napisz wzór określający pole koła jako funkcję jego średnicy i podaj dzie- dzinę tej funkcji. 4.2. Przesunięcie wykresu funkcji y = ax2 wzdłuż osi układu współrzędnych Jednokierunkowa droga o szerokości 8 m  prowadzi przez tunel w Alpach. Tunel ma  kształt zbliżony do łuku paraboli o równa- niu:  ( f x ) = − +23 x 8 6 . Sprawdź, wykonu- jąc odpowiednie obliczenia, czy ciężarówka  o szerokości 2,6 m może przejechać tym  tunelem, jeżeli najwyższy punkt ciężarówki  znajduje się 4 m nad drogą. Narysujmy przekrój tego tunelu. Aby ciężarówka mogła przejechać tunelem, musiałaby  jechać środkiem drogi. Ponieważ ciężarówka ma sze- rokość 2,6 m, więc musimy policzyć wartość funkcji f  w punkcie, w którym  1,3 m od środka tunel musi mieć ponad 4 m wysokości.  f ( y Odp.: Ciężarówka przejedzie tunelem. . A zatem w odległości  3 = − ⋅ 8 ( 1,3 + = 6 5,37 1,3 x = 1,3 )2 4 ) y 10 x 178  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa y y 22 x= 22 x= funkcji Przykład 1. Wykres + 2 otrzymujemy, przesuwając wy- kres funkcji o 2 jednostki w górę (wzdłuż osi Oy), natomiast wykres funkcji − otrzy- mujemy, przesuwając wykres funkcji o  3 jednostki w dół (wzdłuż osi Oy). 22 x= 22 x= 3 y y Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Naszkicuj wykres funkcji y y a) 21 x= 4 + 1 4 y b) 21 x= 4 21 x= 4 − 1 4 y   f x    2 2 x 2  2 y y   f x   x 22 10  y  f x  x   3 2 2 x  3 , a następnie wykresy funkcji: y c) 21 x= 4 − 3 y = − d) 21 x 4 + 5 y y 3 ( 2 x − = )2 22 x= Przykład 2. Wykres funkcji otrzy- mujemy, przesuwając wykres funk- cji o 3 jednostki w prawo (wzdłuż osi Ox), natomiast wykres otrzymujemy, funkcji 22 przesuwając wykres funkcji x= o 2 jednostki w lewo (wzdłuż osi Ox). )2 = + 2 2 x y ( y y   f x   x 22 y y   f x   2   2 x  2 2 y   f x   3   2 x  2 3 10 x Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Naszkicuj wykres funkcji y a) y = 1 2 x −  1 2 2    b) y = 1 2 21 x= 2 x +  1 2 , a następnie wykresy funkcji: 2    c) y = ( 1 2 x − 3 )2 d) y = − ( 1 2 x + 5 )2 4.2. Przesunięcie wykresu funkcji y = ax2 wzdłuż osi układu współrzędnych 179 y ( y x 3 2 = − )2 22 x= Przykład 3. + 2 Wykres funkcji otrzymujemy, przesuwając wy- o  3 jed- kres funkcji nostki w prawo (wzdłuż osi Ox) oraz 2 jednostki w górę (wzdłuż osi Oy), natomiast wykres − otrzy- funkcji mujemy, przesuwając wykres funkcji o 2 jednostki w lewo (wzdłuż osi Ox) oraz 3 jednostki w dół (wzdłuż osi Oy). 22 x= )2 = + 3 2 2 x y ( y y   f x y   f x   x 22 y  y 10     x 3 2 2   2 2  3  x  2 3  2  f x    2 2 3  x Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Naszkicuj wykres funkcji y a) y = x   − 21   2  + 1 b) y 2 , a następnie wykresy funkcji: x= x   21   2  = − c) − = + x + y ( )25 − 3 1 2 ) = ( f x ( a x p − q , gdzie a ≠ 0, jest Wykresem funkcji kwadratowej parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych (p, q). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta x = p. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej wygląda następująco: ( f x q , gdzie a ≠ 0. ( a x )2 = − + + p ) )2 Zadania 2 2 ) ) ( f x ( f x x= − , wykres funkcji g otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu x= , wykres funkcji g otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu 1 Narysuj wykres funkcji f i g oraz napisz wzór otrzymanej funkcji g. a) funkcji f o 2 jednostki w lewo. b) funkcji f o 3 jednostki w prawo. c) funkcji f o 2 jednostki w lewo i 3 jednostki w dół. d) funkcji f o 0,5 jednostki w prawo i  2 3 jednostki w górę. 21 x= 2 , wykres funkcji g otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu , wykres funkcji g otrzymano w wyniku przesunięcia wykresu ( f x ( f x 22 x = − ) ) 180  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa 2 Naszkicuj wykres funkcji f, odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji oraz współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem. a) ( f x ) b) ( f x ) − 2 2 )21 ( x= + 2 1 x  3 2  − =    + 4 ( f x ( f x ) ) 21 x= 3 22 = − x c) d) − 1 e) + f) 6 ( f x ( f x ) ) = − 3 2 ( x − 4 )2 = 2 ( x − 4 )2 + 3 3 Poniższa tabela jest częściową tabelą funkcji współczynnik b i wpisz do tabeli brakujące liczby. :f x 2 → + . Znajdź b x x ( f x ) 0 3− 1 2− 2 1 3 1,5 6 2− 4 Naszkicuj wykres funkcji f: a) ( f x ) x= − 2 b) ( f x ) = ( 1 2 x − 4 )2 + 4 c) ( f x ) ( x= − d) ( f x ) x= − 2 )21 − 11 2 + 2 e) ( f x ) = − 1 2 ( x − 2 )2 f) ( f x ) ( x= − )24 − 3 5 Podaj przykład funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest przedział: a) ) 1, + ∞ b) ) 3,− + ∞ c) ( −∞ − , 3 d) ( −∞ , 2 4.3. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej Swobodny spadek przedmiotu oraz rzut pionowy Załóżmy, że obiekt taki jak piłka został rzucony prosto w górę (lub w dół) albo po prostu  spadł z początkowej wysokości s0.  Jeśli rzucimy obiekt do góry z jakiegoś miejsca o wysokości s0 nad ziemią, to wysokość  ( ) s t , na jakiej znajduje się obiekt w danej chwili, możemy obliczyć z modelu funkcji kwadratowej  (w postaci ogólnej):  ( ) s t gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim ( 0υ  to prędkość początkowa obiektu  ,  )2m9,81 sυ + + , 0 1 2 gt = 2 t 0 s (nadana prędkość), a t jest czasem mierzonym w sekundach. 4.3. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej 181 2 y x 8 = − 22 x + ? 7 Przykład 1. Jak naszkicować wykres funkcji orów- naniu Spróbujmy powyższą postać funkcji przekształcić do znanej nam już postaci: ) + y 7 y y Otrzymaliśmy znaną nam postać kano- niczną funkcji kwadratowej, której wy- kres przedstawiono na rysunku obok. + = − x 7 2 8 ) 2 + − x 4 4 )2 − − 1 2 ( − x − + 8 7 x 2 ( x 2 ( x 2 −+ 4 4 = = = 4 x 2 y    f x  y 2  x 22   x 2 2  1 y 10 x Ogólna postać funkcji kwadratowej wygląda następująco: ( f x + , gdzie a ≠ . 0 bx c ax = + ) 2 Przekształcenie funkcji zapisanej w postaci ogólnej do zapisanej w postaci kanonicznej możemy przeprowadzić następująco: Wyrażenie 2 4 b − ac ∆ = nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. Często funkcję kwadratową zapisujemy w postaci kanonicznej:  a x   . Wtedy widoczne są współrzędne , gdzie ∆ a 4 b a 2 0≠a    + − 2 2 wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji: .  −  b a 2 , −∆ a 4    Zatem p = x = w − b , a 2 q = y w = −∆ . a 4 Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Przedstaw funkcję kwadratową wpostaci ogólnej. 1 8 ( f x ( f x 21   2  x   b) a) 1 4 16 )2 − = + − = 2 x ) ) ( − c) ( f x ) = − 3 ( x + 4 )2 − 1 182 Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Przedstaw funkcję kwadratową w postaci kanonicznej. + 4 a) − + = − b) 12 = x x 2 ( f x ) x − 2 ( f x ( f x ) ) = 21 x 3 x 0,1 c) 1 2 x 0,01 2 + − 0,001 Zadania a) 1 Napisz trójmian w postaci ogólnej. ) ) ( x= ( ( f x ( f x ( f x ( f x )24 − 2 1 )2 + 1 2 ) ) d) c) − = + 2 x b) = − ( 1 2 = − 2 + x )2 1 + + )2 1 2 + 3 x ( 2 Podaj wartości współczynników b i c, gdy każde z poniższych wyrażeń zostanie zapisane w postaci )24x − a) ( + . bx c c) ( 2 )21x + )2 1x + 2ax b) ( d) + − − 1 2 1 x  2     3 Dla jakich wartości parametru a podane wyrażenia można zapisać w po- staci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy? a) 2 10 + + x a e) i) − − 6 x x x 2 2 + x a + x a 1 4 7 8 2 x 2 b) x + 6 + x a 2 f) x − 5 + x a 2 j) x + + x a 2 c) x + 25 + ax g) + 25 + ax 21 x 16 x 0,01 h) k) 16 25 2,25 + + ax 1 4 225 2 + 81 + l) 2 x + + ax ax d) 29 x + + 4 ax 4 Znajdź wartości p, q i a: )2 p a) )2 + p q b) )2 + q c) ( + = x 50 2 20 ( = + x 60 2 20 ( = − x x 10 2 4 22 x 22 x 22 x + + p x x + + + + d) e) f) 23 x 25 x 23 x − x 18 + x 12 − x 15 q )2 ( + + + = x p 20 3 )2 ( + − = + p a x q 6 )2 ( + + = + p q a x 25 5 Każdy z poniższych trójmianów przedstaw w postaci kanonicznej + a) x + c) 1 2 10 − e) = − = = + 6 x x x x x 2 2 = 2 x + 8 x + d) 5 = − x 2 − 4 f) = 2 x − x + + 6 + x 3 ( f x ( f x ) ) 1 2 1 4 1 3 4 ( f x ( f x ) ) b) ( f x ( f x ) ) 4.3. Postać ogólna i kanoniczna funkcji kwadratowej 183 6 Każdy z poniższych trójmianów przedstaw w postaci kanonicznej = − a) 25 x e) c) 10 16 = + = x x ( f x ( f x ) ) 22 + x 21 x 2 = + 3 x − 1 − 4 b) ( f x ( f x ) ) d) = 23 x + 12 x + 6 − 4 ( f x ( f x ) ) = 22 x 22 x 3 + 4 x + 3 + 4 x − 2 f) 2 x x 5 2 -3 ( ) f x : − 5 6 c) x− 8 + , b) 7 Przyjmując kolejno jako − 9x a) (i) napisz funkcję f w postaci kanonicznej, (ii) podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f, (iii) naszkicuj wykres funkcji f, (iv) napisz równanie osi symetrii. − + 3 3 x, d) e) , , 2 x x x 2 2 x 2 1 + + x 8 Wyznacz współczynniki m i n tak, aby do paraboli o równaniu postaci + należały punkty A i B. 2 = + x mx n y ( ) ( ) ( )1,1A − B 0, 5 , a) A 2, 6 )1, 0A ( )3, 9A ( )1, 9 ( B − b) , , ( B 3 2,18 ( )2, 0 c) d) , B )     W książce R.B. Waya i N.D. Greena Building with Steel (Budowanie mostów ze stali) zamieszczone    są szkice słynnych mostów. Podane tam krzywe przypominają wykresy funkcji kwadratowej. Wiadukt Langwies w Szwajcarii. Przęsło centralne  ze zbrojonego betonu jest podobne do krzywej  o równaniu y = − 222 x 9 .   Długie przęsło Royal Tweed Bridge w Berwick:  y = − 221 x 37 od     x = − 4,3 x = 4,3 . do     Dolna linia bocznego przęsła Tower Bridge:  y = . 29 x 80 Przęsło mostu Victoria Falls: 2 − x 116 21 120 . y =   184  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa 4.4. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej 2 2 ) b = − )( x= − . 4 ( f x ( ) − + , a b a b Przykład 1. Na rysunku obok przedstawiamy wykres funkcji Stosując wzór skróconego mnożenia 2 a możemy uzyskać rozkład trójmianu kwa- dratowego na czynniki liniowe: ( ) ( = + . f x 2 ( str. 120 − ma f x 4 Zatem wykres funkcji wierzchołek wpunkcie ( iprze- cina oś Ox w punktach o odciętych   h x f x = − , 2 1 ) 2 x= 0, 4− 1  x   x = . 2 2   2 )( − 2 ) x x )  y 10 x  t x  1 x  ( − =   a x 2   Postać iloczynowa funkcji kwadratowej wygląda następująco:  ) ( f 2 f x 0∆ ≥ , to z postaci ogólnej trójmianu kwadratowego można uzyskać ) , gdzie a ≠ 0 oraz 2 0∆ ≥ x 1 )( − x x . 2 a x x      ax b a 2 bx c 2    Jeżeli str. 185 rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe.   f x             a x     a x        2 a 4          a 2     b   a a 2 2      b         b a a 2 2    b         b a 2 a 2 a 2                 a x x 2 2 Przyjmując x 1 = − − ∆ b a 2 , x 2 = − + ∆ b dratowej na czynniki liniowe że funkcja kwadratowa ma pierwiastki ax 2 a 2 ( + bx c a x 2x . + = 1x i , otrzymujemy rozkład funkcji kwa- − x 1 )( x − x 2 ) istąd widać, 4.4. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej 185 Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. ) 2 ) x x 3 = − = ( f x − b) 4 Jeśli to możliwe, przedstaw funkcję kwadratową w postaci iloczynowej. ( + x f x a) 1. Jeżeli ∆ 0, to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej: ( ( − a x f x i funkcja ma dwa różne miejsca zerowe 2x wyrażone wzorami: , gdzie a ≠ 0 + 9 ( f x 1x i  24 x c) 12 )( x 1 − = − + = 4 x x x x ) 2 ) ) 2 8  Uwaga  Funkcja kwadratowa ma co najwyżej dwa rzeczywiste miejsca zerowe. x 1 = − − ∆ b a 2 , x 2 = − + ∆ b a 2 . Wierzchołek paraboli ma współrzędne x 2 , f    x 1 + 2 x 1    x 2 + 2       . 2 ) ) = = ) . 1x i  ( f x ( f x 1 2x (nie muszą to być pierwiastki), dla których Wzór na współrzędne wierzchołka paraboli jest prawdziwy dla wszystkich takich 2. Jeżeli ∆ = 0, to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej: ( ( − a x f x −= b i funkcja ma jedno miejsce zerowe a 2 Wierzchołek paraboli leży na osi Ox i ma współrzędne (x1, 0). 3. Jeżeli ∆ 0, to funkcji kwadratowej nie można przedstawić w postaci iloczynowej i funkcja taka nie ma miejsc zerowych. x= wyrażone wzorem 1 x , gdzie a ≠ 0 x 1 )2 x 1 . 2 Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Znajdź miejsca zerowe funkcji: ( f x a) − b) 1 ( f x + = 4 x x ) 2 Zadania ) = 29 x + 30 x + 25 c) ( f x ) = 2 x + 5 x + 10 2 1 Naszkicuj wykresy funkcji: 2 x→ − a) f: 2 1 x→ + d) f: Odczytaj z wykresów miejsca zerowe tych funkcji. x→ − 9 x→ − b) f: e) f: + c) f: 2 x→ x x x x 4 x 2 186  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa 2 Naszkicuj dowolny wykres funkcji kwadratowej, która a) ma dwa różne miejsca zerowe będące liczbami ujemnymi. b) ma dwa różne miejsca zerowe będące liczbami oróżnych znakach. c) nie ma miejsc zerowych ikażda jej wartość jest liczbą dodatnią. d) ma dokładnie jedno miejsce zerowe, ajej wartość dla ujemną. x = − jest liczbą 1 3 Znajdź miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji kwadratowej iprzedstaw ją wpostaci iloczynowej (jeśli to możliwe). a) d) g) j) m) p) s) w) ( ) 22 x= f x b) ( ) 22 x= + f x 3 e) ( ) 2 + − = f x x x 4 3 h) ( ) 2 + = + x x f x 6 5 k) ( ) 2 + n) + = f x x x 4 4 ( ) 26 + q) − = x f x x 5 1 ( ) 29 + = − x f x x 1 6 t) ( ) 29 = + − x) f x x x 6 1 2 ( ) 23 = − x f x ) ( 23 = − x f x ) ( 2 − = x f x ( ) − = x f x ( ) = + x f x ) ( 22 = − x f x ( ) 29 + = x f x ( ) 23 = + f x x c) + 5 f) + x 4 4 i) − x 7 5 l) + x 4 5 o) + + r) x 1 + u) x 1 6 + y) x 6 9 2 2 ) ( 22 x= − f x 3 ) ( 23 = − − x f x 5 ) ( 2 + − = x x f x 5 4 ( ) + + = x x f x 3 4 ) ( 26 + + = x f x x 5 1 ( ) 23 = − + + x f x x 2 1 ( ) 29 = − + x f x x 3 6 ( ) 22 + + = − f x x x 6 20 4.5. Równania kwadratowe Rozwiązania równania kwadratowego to miejsca zerowe funkcji Aby rozwiązać równanie kwadratowe, przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania iprzyrównujemy je do zera. + = + bx c (a ≠ 0). ax + bx c ( f x ax ) = + 2 2 , gdzie a ≠ 0, 0 Równania kwadratowe typu ax(cid:8) + bx + c = (cid:3) 2 Przykład 1. Rozwiązujemy równanie x 2 ∆ = − x+ = ← 35 0 3 ( ) 23 − ⋅ ⋅ − 4 2 ∆ = = 289 17 − − − 20 3 17 ⋅ 2 2 4 = + = − 5 35 x 1 = = 22 x x+ 3 = 35 . Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę 9 280 289 = x 2 = − + 3 17 ⋅ 2 2 = 14 4 = 7 2 równania.  Wskazówka  Wykonujemy ta- kie same obliczenia jak przy wyzna- czaniu miejsc ze- rowych funkcji: ( x f x 3 22 x = + ) − . 35 4.5. Równania kwadratowe 187 Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. 26 x x+ 7 Rozwiąż równania: − x x a) c) 2 2 c = , to można je 0b = lub Jeżeli w równaniu kwadratowym współczynnik rozwiązać szybciej jedną z dwóch poniższych metod, nie obliczając wyróżnika. = 16 0 0 = 3 b) ( )( 1 20 = − − − 2 x x ) 2  Wskazówka  ,a b∈ waru- Dla a b⋅ = zachodzi nek wtedy i tylko wtedy, 0b = . gdy 0a = lub 0 ) Równania kwadratowe typu ax(cid:5) + bx = (cid:1) dla a, b ≠ (cid:1) ( + x ax b = ∨ x x Wyciągamy 0 ←= 0 + ax b Iloczyn dwóch czynników równa się zero, gdy przynajmniej jeden z nich równy jest przed nawi ←= zero. as. 0 x = 0 ∨ x = − b a Przykład 2. Rozwiązujemy równanie ( x 0 = , stąd x − 4 0 2 ) x = lub 2 22 x x− 4 x − = , czyli = . 0 4 0 x = . 2 Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Rozwiąż równania: a) = x− 5 0 x 2 b) − 21 x 2 + 3 x = 0 c) 22 x + 3 x = 0 Równania kwadratowe typu ax(cid:5) + c = (cid:1) dla a ≠ (cid:1) i c (cid:1) Równania tego typu rozwiązujemy, korzystając ze wzoru skróconego mnoże- nia: m n m n − m n − = 2 2 )( ) + . ( Przykład 3. Rozwiązujemy równanie ( x = , stąd )( + − 2 2 0 x ) 16 0 x − = lub 24 x − 2 0 = . Otrzymujemy x + = , czyli 2 0 2 x − = . 4 0 x = − lub 2 x = . 2 Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Rozwiąż równania: a) 22 x − = 16 0 b) 21 x − = 3 0 2 c) 2 x = 5 188 Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Przykład 4. Równanie 24 x + dla wszystkich x ∈. 1 0 1 0 24 x + = nie ma rozwiązania. Wynika to z faktu, że wyrażenie Zadania 1 Rozwiąż równania: 81 a) 2 x = 2 x = b) 64 c) 2 x− + 36 0 = d) 2 121 0 x − = e) 2 x − = 0,64 0 2 Wyznacz te rozwiązania równania, które należą do zbioru liczb naturalnych. a) 2 196 0 = x − 1225 2 x = 2 x = 256 d) b) c) 2 16 0 x − = 3 Rozwiąż równania: x a) x= 7 b) x 2 2 = − 14 x c) 2 x + 29 x = 0 d) x 2 17 x− = 0 x − )22 = 4 4 Rozwiąż równania: b) ( a) ( 5 Rozwiąż równania: a) = 15 0 x− 8 + x 2 x − x b) c) ( − 3 − x d) 2 − e) 2 12 x− + ) 2 x 5 − + x 7 x 2 2 x 2 = 25 0 + + − x 3 6 = 12 0 − = 16 0 5 = 0 )2 3 c) = 3 x   21 +  2  = 1 4 d) ( x − )27 − = 64 0 f) ( x 2 x g) − x 2 x − )( − 2 − 6 2 ( x x − x 22 x 3 − 2 ) 24 − 1,6 ) = = ( x h) i) ( j) ) = 6 3 − 4 = 1 4 ( ) − x 3 2 )( − x 4 2 = 1,2 x 2 x 3 ( ) − = x 4 4 1 k) 1  x l) ( ) − − x   2   m) ( )( − + x x 3 25 x= − x 1 n) ( )1 x x − = 16 o) ) − 1 − 1 = 0 ) 2 = 0 6 Znajdź pierwiastki równania z dokładnością do 0,01. 3 0 a) x− 8 x− 5 x− 5 + = d) 23 x x x − = b) 5 0 + = c) 1 0 2 2 23 x x− 6 + = 1 0 7 Ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są: a) 7 i 3 c) –7 i 3 b) 7 i −3 d) −7 i −3 4.5. Równania kwadratowe 189 8 Ułóż równanie kwadratowe mające pierwiastki: a) 3 i  5 4 9 − i  3 b) 2 2 3 e) 1 a a b+ i  ab 2 c) 3 i  3 f) 3+ 3− d) 2 i  a i  2 9 Ułóż równanie kwadratowe, którego pierwiastki są kwadratami pierwiast- ków równania = . 10 0 x+ 3 − x 2 10 Sześcienna kostka lodu ma pole powierzchni równe 24 cm2. Jaką długość ma krawędź kostki lodu? 11 Pole koła wynosi 10,1736 m2. Oblicz przybliżoną długość pro- mienia tego koła. *4.6. Równania sprowadzalne do równań kwadratowych 4 x 4 ⋅ = 25 x− t− 5 = 3 + = . 0 2x + = . 4 0 Przykład 1. Rozwiążmy równanie Zauważmy, że podstawiając zmienną pomocniczą do rozwiązania równanie kwadratowe 2 t ( )25 ∆ = − 9 −= 5 3 ⋅ 2 1 − += 5 3 ⋅ 2 1 Wracamy do podstawienia: Rozwiązaniem pierwszego równania jest x = − lub Odp.: Równanie wyjściowe ma cztery różne pierwiastki: x = − , 2 − ⋅ = , 4 1 4 25 16 9 8 2 1 = = 2 2 2 x = lub 2 x = . 4 x = − lub x = − , 1 1x = , x = . 2 x = . 2 = = ∆ = , 2 t 1 1 2 4 t 1 t= , otrzymujemy 1x = , zaś drugiego 4 2 c 0 + ax bx + = nazywamy równaniem dwukwadratowym, Równanie gdyż można je sprowadzić do równania kwadratowego przez podsta- 2x zmiennej pomocniczej t. Wówczas rozwiązujemy wienie w miejsce + = . bt 0 równanie Aby wyjściowe równanie dwukwadratowe miało rozwiązanie, równa- nie kwadratowe ze względu na t musi mieć rozwiązanie nieujemne. at + c 2 190  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. 4 Rozwiąż równania: = a) 12 0 = 15 0 c) 28 x+ 28 x− + + x x 4 b) d) 4 x 4 x 26 x+ + x 18 − = 7 0 2 + = 56 0 3 6 x x+ 19 Przykład 2. − Rozwiążmy równanie Zauważmy, że przez podstawienie 2 19 = , które rozwiązujemy. t+ − t 216 0 ( 219 ∆ = ⋅ − − ⋅ 4 1 35 t = t = − , 2 8 27 1 Wracając do podstawienia, otrzymujemy 3 Rozwiązaniami równań są liczby 1225 , 216 ∆ = = ) x = − oraz 3 = . 216 0 3x t= otrzymujemy równanie kwadratowe x = − 27 oraz x = . 2 3 x = . 8 Zadania 4 1 Rozwiąż równania: x − = 4 0 d) a) 24 x− x e) b) 2 4 x− x c) f) = 0 − = 2 0 4 4 x 4 x x 4 25 x− 24 x− 22 x+ + = g) x 2 4 0 4 + = h) x 4 0 − = 4 3 0 x i) 2 4 − = x+ 5 7 0 2 1 0 x− + = + x 4 2 + = 6 0 2 2 Rozwiąż równania: x b) a) 6 x − = 8 0 6 − 27 x 3 = 0 c) 6 x 3 x− − = 2 0 *4.7. Układy równań prowadzące do równań kwadratowych Przykład 1. Dany jest układ równań y . 2  − = y x 3   + = x y 5  Rozwiąż układ grafi cznie i algebraicznie. Sprawdź, czy dobrze odczytałeś rozwią- zania układu. 10 x *4.7. Układy równań prowadzące do równań kwadratowych  191 Sprowadźmy układ do czytelnej postaci: 2 x  = + y   = − + y x  3 5 . 2 3 x= + oraz prostą jako wykres funkcji W jednym układzie współrzędnych rysujemy parabolę jako wykres funkcji y Odczytując z rysunku punkty przecięcia się obu wykresów (licząc po krat- kach), otrzymujemy rozwiązania: x    y    ∨    = − 2 = 7 x= − + . 5 = = x y 1 4 y wstawiamy do równania p ierwszego. 2  − = y x 3   + = x y 5  2 ← x 2 x algebraicznie. Rozwiązujemy układ równań  = + y 3  Z pierwszego równania wyznaczamy  + + = x 3 5  i wstawiamy do równania drugiego.  2 x+ − = ← x 2 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe ) ( 21 ⋅ − = + = , ∆ = − ⋅ 1 8 9 4 1 2 + = −= 1 3 1 − − 1 3 x = − , 2 2 2 Tak wyznaczone ∆ = ← x 1 = = x 9 3 2 . y x wstawiamy do równania p ierwszego. + = + = 3 4 3 7 = − 2 = 7 x y      + = + = 3 1 3 4 y = 2 = x  ∨  = y   2 1 1 4 x 2 −= + = 1 3 1 2 ← Tak wyznaczone ( y = − 2 1 )2 Jeżeli dany jest układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, z których jedno jest pierwszego, adrugie drugiego stopnia, to równanie pierwszego stopnia można zawsze przedstawić wpostaci: y = mx + n. (1) Jeżeli podstawimy wmiejsce y wrównaniu drugiego stopnia równanie (1), to wraz z równaniem (1) otrzymamy nowy układ równoważny da- nemu (wyjściowemu) , który będzie już postaci:    = y mx n 2 ax bx c + + = + 0 Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Rozwiąż układy równań:  x   x 3   − = − x 4   − = − y x 4  b) a) y 2 2 − = 0 − − = 2 0 y y c) 192 Rozdział 4. Funkcja kwadratowa 4 2 2  + = x y   − = x 2 0  Przykład 2. Rozwiąż algebraicznie układ równań + = y x = xy 6 5 .    y 2 6 − = ← ∆ = adratow . e = 25 24 1 o równania drugiego. = − + y x 5  Z pierwszego równania wyznaczamy na przykład  − + ( ) x x 5  i wstawiamy d ←= − + − x x 6 0 Rozwiązujemy równanie kw 5 ( ) ( ) − ⋅ − ⋅ − = ∆ = 25 4 6 1 = 1 1 − − 5 1 3 = − 2 − + 5 1 2 x 2 − 2 y = − + = , 3 5 2 1 x x 3    ∨   y y 2     y = − + = 2 5 3 2 = 2 = 3 wstawiamy do równania Tak wyznaczone ←= = = x 1 = = x , pierwszego. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Rozwiąż układy równań: x   xy  + = y = − 8 x xy    b) a) 2 − = y = − 8 15 c) xy   x 2  = + = 1 y 1 Zadania 1 W jednym układzie współrzędnych narysuj wykresy dwóch funkcji, ana- stępnie odczytaj współrzędne punktów wspólnych tych wykresów. Oblicz, czy dobrze odczytałeś współrzędne. a) c) x= y 3 i y 2 + i 2 − 2 x= − + x= x= − − i x= − x= b) y y 4 2 4 y y 2 2 a) − + y 3 2 y x 2 2 x = 0 = 13 2 Rozwiąż układy równań:          x 2   x 2  = 20 0 = 0 + − y 5 2 − xy 5 d) c) b) x 4 xy y − = 22 0 e) + = 5 6 x x + = y 2 2 − y 15 = 15 f) 2 2 x x     xy   x 2  2 = + 9 − = 0 y y = + = 1 y 1 *4.7. Układy równań prowadzące do równań kwadratowych 193 3 Oblicz długość boków ściany murowanej, którą należy ocieplić styropia- nem, mając jej pole S i obwód p. a) S = b) S = 4 Stosunek dwóch liczb jest równy 1 2 Znajdź te liczby. , a suma ich kwadratów równa się 180. 2 42 m 24 m 28 m 20 m p = p = , 2 , 5 Dwóch robotników, pracując jednocześnie, wykopałoby rów w czasie 12 dni. Ile dni kopałby ten rów każdy z robotników samodzielnie, jeśli jeden potrzebuje na to o 7 dni więcej niż drugi? 6 Dwaj bracia mieszkali w  różnych krajach Unii Europejskiej w  miejsco- wościach odległych od siebie o 480 km. Pewnego dnia umówili się na spotkanie w połowie drogi. Pierwszy z nich wyjechał o godzinę później niż drugi, bo wiedział, że jeździ ze średnią szybkością o 20 km/h większą niż jego brat. Z jaką średnią pręd- kością jeździ każdy z nich, jeśli na miejsce spotkania przyjechali jednocześnie? 4.8. Nierówności kwadratowe Wiemy już, że rozwiązanie nierówności polega na wyznaczeniu zbioru tych wartości x, dla których nierówność jest prawdziwa. 4 0 Przykład 1. W celu rozwiązania nierówności 2 x − możemy naszkicować wy- − . Następnie kres funkcji z wykresu odczytujemy zbiór rozwią- )2, 2 zań ( x ∈ − ( f x x= ) 2 4 . y 2 2 x 194  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Rozpatrzmy wszystkie możliwe położenia paraboli względem osi Ox. 0a  0  0a  0  1x 2x x 0x x 2 2 2 2 ax ax ax ax , ( x 0 + bx c + bx c + bx c + bx c ) + ⇔ ∈ −∞ ∪ x 1 ( + ≥ ⇔ ∈ −∞ x , 1 ( + ⇔ ∈ x x , 1 + ≤ ⇔ ∈ x x , 1 0 0 0 x x x ) 2 2 0a  0  2 2 ax ax + + bx c bx c + ≥ ⇔ ∈ + ≤ ⇔ ∈∅ 0 0 x x 0a  0  0x x x , ( x 2 ∪ + ∞ x , 2 ) +∞ ) 2 2 2 2 ax ax ax ax + + + + bx c bx c bx c bx c + ⇔ −∞ x , + ≥ ⇔ ∈ + ⇔ ∈∅ + ≤ ⇔ = x 0 0 0 0 ( x x x 0 ) ∪ ( x 0 , 0 + ∞ ) 0a  0  1x 2x x ( ) 2 2 2 2 ax ax ax ax + + + + 2 bx c bx c bx c bx c + ⇔ ∈ x x , 1 + ≥ ⇔ ∈ x x , 2 1 + ⇔ ∈ −∞ x , 1 + ≤ ⇔ ∈ −∞ x , 1 0 0 0 0 x x x x ( ( ) ∪ ∪ ( x x 2 2 , , ) + ∞ ) +∞ 0a  0  x 2 2 2 2 ax ax ax ax + + + + bx c bx c bx c bx c + ⇔ ∈∅ + ≥ ⇔ = x ( + ⇔ ∈ −∞ + ≤ ⇔ ∈ 0 0 0 0 x x x x 0 2 2 ax ax + + , x 0 ) ∪ ( x 0 , + ∞ ) bx c bx c + ≥ ⇔ ∈∅ + ≤ ⇔ ∈ 0 0 x x 4.8. Nierówności kwadratowe 195 2 x x = ∨ ro = − 1 ania. Przykład 2. Rozwiąż poniższe nierówności. x 1 a) 2 x − ← 0 1 Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną st n . ę 2 x − = ← Wyznaczamy pierwiastki równ 1 0 )( ( ) = , stąd − + x x 1 1 0 ( ) 2 ←− = x f x 1 ( ) ( x ∈ −∞ − ∪ + ∞ ← , 1 1, − ≥ x x 2 b) 2 ← − − ≥ x x 0 2 − − = ← x x 0 2 ( )2 x x x− + = , stąd 0 ) ( 2 = − − ← x x f x 2 x ∈ − ← , 0 2 Odczytane rozwią = Rozpatrujemy parabolę względem osi Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stron ę . Wyznaczamy pierwiastki ró Rozpatrujemy parabolę względem osi rozwiązania. Odczytane wnania. ania. = − 2 Ox Ox ∨ 1 0 x . ) 2 2 z . Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Rozwiąż nierówności: + b) a) − 2 3 x x 2 23 x x+ 6 − ≤ − 1 1 c) 2 x x− 4 − 9 4 0 Wyznaczamy pierwiastki równania . 3 0 Rozpatrujemy parabolę względem osi Ox . 2 2 ) = x− + ≤ 1 0 1 0 x x− + = ← 1 4 1 ∆ = − = − , to pierwiastków brak. − + x Odczytane rozwiązania. Przykład 3. Rozwiąż poniższe nierówności. 1. x Ponieważ ( 2 x f x x ∈∅ ← − + − ≤ x 1 0 2. 2 − − = ← x x Wyznaczamy pierwiastki r 0 ó 1 ∆ = − = − , pierwiastków brak. Ponieważ 1 4 ( 2 = − + − ← f x x x 1 x ∈ ←(cid:31) Odczytane rozwiązania. x + ← ) 2 wnania. 3 0 Rozpatrujemy parabolę względe m si o Ox . 1 1 x 2 0 x x x Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Rozwiąż nierówność: a) c) + 7 0 − x 6 0 x− 3 2 − 3 x − x 2 b) d) 22 x 2 − x x− + 2 0 + − 1 0 x 196 Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Zadania 1 Rozwiąż nierówności: e) a) b) f) c) ( g) d) h) ( )2 x x − ( )4 x x + )( − x x 7 22 x− x 8 0 0 ) + 6 ≤ 0 ≥ 0 2 16 0 x − 2 x ≤ 4 28 x ≥ 24 2 x 48 2 x− x 2 i) 2 12 + x j) 2 12 + x k) 2 − x 4 l) − ≥ 8 0 + x 24 0 + x 24 0 ( ) + x 1 2 Zaznacz na osi liczbowej zbiory A B∪ , A B∩ . 2 { = ∈ { = ∈ x x } − 1 ( + 3 18 5 { = ∈ x { = ∈ x } 15 0 , ( ) ≥ − x 4 2 8 } ) B B 1. 2.   + 10 x : : 2 − x 8 ( − x x A A 3 Krople wody tryskające z fontanny poruszają się po torze zbliżonym do paraboli. Jeżeli wylot z fontanny, znajdujący się na poziomie wody, uznamy za start (zerowa sekunda), to jak długo (w sekundach) krople znajdują się nad powierzchnią wody i w której sekundzie znajdą się w wodzie, gdy tor lotu wyraża się równaniem: + x 15 ) ≤ 19 − x ( x x   8 + } ) : : x , a) f ( ) t = − 21 t 4 + t b) f ( ) t = − 22 t + t c) f ( ) t = − ( t t + 3 ) 1 2 *4.9. Wzory Viète’a 0∆ ≥ , z porównania współczynników trójmianu kwadra- 2 W przypadku gdy towego (w postaci ogólnej i iloczynowej) mamy: ax ax ax ) − x x 2 ) + − x x x x 1 1 2 ) + + x x ax x 2 1 2 ( bx c a x ( bx c a x 2 bx c ax )( − x 1 2 − xx ( − a x 1 + = + = + = + + + 2 2 2  Uwaga  Dwa trójmiany są równe, gdy współ- czynniki przy ich odpowiednich potę- gach są równe. Stwierdzenie zapisane w formie uwagi możemy udowodnić, wiedząc, że dwa trójmiany są równe wtedy, 2 ) = + ( f x gdy dla dowolnej liczby mają te same wartości. b x c a x Mamy dwa trójmiany: 1 1 1 Powyższe trójmiany są równe, gdy dla każdego ) ( ( ) 2 = + + = = f x a x b x c g x 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 2 + + − + b x a x b x c a x Stąd 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Zatem ( ) ( ( ) 2 − + − + a a x b b x 1 2 1 1 2 1 Widać więc, że wyrażenie przyjmuje wartość 0 dla dowolnego 1x tylko wtedy, gdy 1 a 1x mają taką samą wartość, czyli: + b x 2 1 = . 0 ) = . 0 2 a x 2 1 + c 2 − c 1 + . b x c 2 2 + oraz ( g x + . c 2 a x 2 ) c = + ) 2 2 a= i 1 b 2 b= i 1 c 2 c= . 2 *4.9. Wzory Viète’a 197  Uwaga  0∆ wzory Dla Viète’a nie dzia- łają w zbiorze liczb rzeczywistych. Nie można obliczać sumy i iloczynu pier- wiastków, które nie istnieją. Twierdzenie  Uwaga  Wzory Viète’a są prawdziwe rów- 0∆ , ale nież dla wówczas mamy do czynienia z pier- wiastkami zespolo- nymi, a to wykracza poza zakres ma- teriału nauczania szkoły ponadgimna- zjalnej.  Uwaga  Wzory Viète’a można wyprowadzić nie tylko dla funk- cji kwadratowej, ale również dla dowol- nych wielomianów. Otrzymujemy wzory: b , stąd ( a x 1 = − + x ) 2 + x 2 b = − ; a x 1 c = . a = c ax x 1 2 , stąd Wzory x 1 + x 2 x x 1 2 b a x x = − oraz 1 2 =⋅ c a nazywamy wzorami Viète’a. x Jeżeli 1 + x 2 = − i b a 2ax c = , to 1x i x x 1 2 a + . bx c 2x są pierwiastkami trójmianu + kwadratowego Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Wyprowadź postać wzorów Viète’a w przypadku, gdy 0∆ = . Przykład 1. Nie obliczając pierwiastków trójmianu kwadratowego, umiemy obliczyć = oraz ich sumę i iloczyn, np. dla x x⋅ 1 = mamy 12 0 − 8 1 x− 8 = − x 1 + + = x 8 x . 2 2 2 12 12 1 = Przykład 2. Sprawdź, jaki znak mają rozwiązania równania Oczywiście możemy rozwiązać równanie i sprawdzić, ale często szybszym i mniej czasochłonnym sposobem okazuje się zastosowanie wzorów Viète’a: x 1 = + = . 2 0 = x x⋅ 1 x− 7 23 x x+ 0 0 2 2 7 3 2 3 Wnioski: Iloczyn jest dodatni, zatem oba pierwiastki są tego samego znaku (dodatnie lub ujemne). Gdyby oba pierwiastki były ujemne, to ich suma też byłaby ujemna; gdy oba pierwiastki są dodatnie, to ich suma też jest dodatnia. Odp.: Oba pierwiastki są dodatnie. Badanie znaku pierwiastków trójmianu kwadratowego. x x⋅ 0 , to pierwiastki mają różne znaki. Jeżeli iloczyn 2 1 x x⋅ 0 Jeżeli iloczyn , to pierwiastki mają jednakowe znaki, 2 1 przy czym obowiązuje wtedy następująca zasada: x jeżeli 1 x jeżeli 1 , to oba są dodatnie, , to oba są ujemne. x+ 2 x+ 2 0 0 198  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Sprawdź, czy równanie ma pierwiastki rzeczywiste. Jeśli tak, to określ ich znaki. a) c) 2 10 x− x 2 + x 11 24 + = 8 0 − = x 9 0 − = 5 0 − x x− 5 − 378 = 5722 0 b) d) x x 2 2 2 2 2 a 2 a 2 b = + = + )2 ab b 2 + , po przekształceniach: Przykład 3. Bardzo często wzadaniach wykorzystywane są wzory skróconego mnożenia: ( + + a b a b 2 x Znajdźmy zatem sumę kwadratów pierwiastków równania ( 2 + = x x 1 2 − b  − ⋅ 2   a   29   − ⋅ 2   1   )2 − ab 2 x− + 9 o mnożenia. Na podstawie wzoru skróconeg )2 Na podstawie wzorów Viè . = . 18 0 x x ← 1 2 81 36 x 1 c a 18 1 te a. 45 ← − + = x 2 = − ( 2 2 Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Nie obliczając pierwiastków danego równania, wyznacz sumę ich kwadratów. − = 4 0 a) 2 x − = c) 5 0 x+ 3 x− 8 22 x 22 x + − 4 x x 2 + = d) 7 0 + = b) 1 0 Zadania 1 Nie obliczając pierwiastków równania, znajdź ich sumę iiloczyn. a) 2 x x− 5 + = 4 0 b) 22 x x+ 5 − = 7 0 21 x 2 3,5 x c) d) 2 − 1 4 x 2,5 x− + = 0 = 3,1 0 − e) 23 x − 25 x + 6 f) 27 − x − 49 x + = 1 0 2 Przekształć wyrażenie dla pierwiastków x1 ix2 pewnego trójmianu kwa- dratowego, aby można było zastosować wzory Viète’a (aby w wyrażeniu wy- stąpiły tylko sumy iiloczyny pierwiastków). a) 2 x 1 x+ 2 2 b) 1 x 1 + 1 x 2 c) ( x 1 x− 2 )2 3 Danych jest pięć równań: 25 = , + = , + x x x 428 0 47 28 15 0 2 = , x+ − = x x 21 10 0 21 10 0 + x− 3 2 x− − 2 2 28 x − 47 x + = , 15 0 *4.9. Wzory Viète’a 199 Nie rozwiązując ich, odpowiedz na poniższe pytania dotyczące każdego z nich. a) Czy równanie ma pierwiastki? b) Jeżeli ma, to czy są jednakowego znaku, czy też przeciwnego? c) Jeżeli są jednakowego znaku, to jakiego? d) Jeżeli są przeciwnego znaku, to jaki znak stoi przy liczbie o większej war- tości bezwzględnej? Sprawdź udzielone odpowiedzi, rozwiązując te równania. 4 Wiadomo, że x1 i x2 są pierwiastkami równania x i 1 2 a) x 1 x . Oblicz wartości wyrażeń: x− x+ x− g) e) c) x 1 + 2 2 2 2 b) 2 x 1 x− 2 2 d) 3 x 1 x+ 3 2 f) + − 10 x 2 − 10 x − = 1 0 )2 1 2 x 1 h) ( x 1 1 2 x 2 x− 2 3 x 1 1 x 1 3 2 1 x 2 *4.10. Równania kwadratowe z parametrem y   k k = y x 10 21 x 2 21 x 2 Czasami spotykamy się z zagadnieniami polegającymi na przykład na przedysku- towaniu liczby rozwiązań bądź położenia w układzie współrzędnych w zależności od parametru. Rozpatrzmy rodzinę parabol o równaniu + . Co możemy zaobserwować? y Zaobserwujemy, że w zależności od liczby k parabola ma jakieś konkretne położenie w układzie współrzędnych. Mianowicie albo przecina oś Ox, albo nie. Możemy zatem powiedzieć, że w zależności od liczby k parabola o równaniu + k ma dwa punkty przecięcia z osią Ox albo jeden punkt przecięcia z osią Ox, albo nie ma punktów przecięcia z osią Ox. Liczbę k nazywamy parametrem. Mo- ) k ∈ −∞ + ma dwa , 0 żemy powiedzieć, że dla k punkty przecięcia z osią Ox, dla k nie k = jeden punkt przecięcia, a dla ma punktów przecięcia z osią Ox. parabola o równaniu 0 21 x 2 21 x 2 = = ( 0 y y 200  Rozdział 4. Funkcja kwadratowa Przykład 1. Dla jakich wartości parametru m równanie a) ma dokładnie jedno rozwiązanie? Zauważmy, że — w zależności od m — mamy do czynienia z równaniem liniowym bądź kwadratowym. Rozpatrzmy te przypadki. − = : 3 0 x m mx ) 1 m + − + 2 ( 2 0m = . 1. Równanie liniowe, czyli Wówczas równanie przyjmuje postać x− 2 Stąd otrzymujemy jedno rozwiąza- nie: − = . 3 0 2 3 x = − . 2 ) − − m 1 4 + − − m 8 4 4 + = 4 0 1m = − . Odp.: Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy b) ma dwa różne rozwiązania? Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy Stąd 0m∧ ≠ . + , czyli 0m∧ ≠ . m∆ = 0∆ 4 0 4 1m − 0m ≠ . 2. Równanie kwadratowe; Wówczas, aby równanie miało do- kładnie jedno rozwiązanie, warunek 0∆ = musi być spełniony. ) ( ∆ = − = m m 4 3 2 2 = + m m m 12 4 = m 4 Stąd = ( 0m = lub 1m = − . Wyróżnik trójmianu kwadratowego informuje o  liczbie rozwiązań równania kwadratowego: jeżeli ∆ 0, to równanie posiada dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jeżeli ∆ = 0, to równanie posiada dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, jeżeli ∆ 0, to równanie nie posiada rozwiązań rzeczywistych. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie? a) c) − = b) x 1 0 x+ − = d) ( m 1 0 = + − x m 0 ) 2 + − x mx 1 2 x mx+ mx − = 1 0 2 2 Przykład 2. Dla jakich wartości parametru m równanie ( ma dwa pierwiastki różnych znaków? m − ) 1 2 x − ( m + ) 1 x + ( m + ) 1 = 0 1 4  Uwaga  2 = + ax Jeżeli współczyn- niki trójmianu kwadratowego + y bx c zależą od parametru, to należy pamiętać, że w szczególnym przypadku możemy mieć do czynienia z funkcją liniową, gdy funkcją stałą, gdy 0a = i 0a = , lub nawet 0b = . *4.10. Równania kwadratowe z parametrem  201  Wskazówka  Iloraz jest zawsze tego samego znaku co iloczyn licznika i mianownika. a ⇔ ⋅ a b b a b ⇔ ⋅ a b 0 0 0 0  Uwaga  Znak pierwiast- ków trójmianu kwa- dratowego zależy od znaku ich ilo- czynu i sumy (wzory Viète’a). 0a ≠ (aby pierwiastki były różnych znaków, muszą być dwa pierwiastki 0∆ (aby pierwiastki były różnych znaków, muszą być dwa różne). x x (iloczyn liczb oprzeciwnych znakach jest ujemny). 1 2 0 Spełnione muszą być warunki: 1. — sytuację liniową odrzucamy). 2. 3. Rozpatrujemy kolejne warunki: 1. 2. stąd m − ≠ , stąd 1m ≠ . 1 0 ( ) ) ( ( 2 − + ∆ = − m m 1 1m − . ) − ⋅ 1 1 4 4 ( m + ) 1 = 2 m + m 2 + − 1 ( 2 m ) − = 1 m 2 + , 2 0 1 4 . 0 + m m x x 1 2 = = , stąd + 1 0 − 1 ( ) m 1 c − a m 1 ) )( − . m+ m 0 1 1 )1,1 3. Zatem ( ( m∈ − Wyznaczamy część wspólną rozwiązań warunków 1., 2. i3.: m 1 Odp.: ( ≠ ∧ − ∧ ∈ − m m 1 ( )1,1 m∈ − . ) 1,1 1 . 1 x Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. 2 x b) d) ( m 2 x mx+ mx − = 1 0 x+ − = 1 0 + − = x m 0 ) 2 + − x mx 1 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania mają różne znaki? a) c) Równanie dwukwadratowe z parametrem Równanie + bx (1) rozwiązujemy
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 1
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: