Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00141 005102 14859764 na godz. na dobę w sumie
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 3 - książka
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 3 - książka
Autor: , Liczba stron: 240
Wydawca: Helion Edukacja Język publikacji: polski
ISBN: 83-246-2410-4 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> matematyka europejczyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).
'Liczby rządzą światem'
(Pitagoras)

 

Trzecia klasa szkoły średniej to ostatni krok do egzaminu dojrzałości i wielkiej rewolucji w życiu. Bez względu na to, czy zdecydujesz się na dalsze kształcenie na studiach wyższych, czy postanowisz od razu rozpocząć karierę zawodową, matematyka nie opuści Cię... nigdy. Jest niezbędna dla „ścisłowców”, ale stanowi też integralną część nauk humanistycznych (koniec z wymówkami, że humaniści nie rozumieją świata liczb!). Wykorzystujesz ją przy wypełnianiu kuponu lotka, obserwowaniu gwiazd, tworzeniu muzyki i dowolnym innym działaniu wymagającym logicznego myślenia. A do tego stanowi obowiązkowy przedmiot na maturze!

Dlatego też przygotowany dla Ciebie podręcznik z serii Matematyka Europejczyka ułatwia zarówno opanowanie wymaganych umiejętności, jak i wykorzystanie ich w praktyce. Zestawy zadań testowych i otwartych pomogą Ci przygotować się do matury. Ponadto każdy dział kończy się ciekawą lekcją spoza podstawy programowej. Podręcznik dodatkowo przedstawia zagadnienia badawcze, czasem pozornie mające niewiele wspólnego z matematyką, lecz pozwalające rozwijać myślenie matematyczne.

Kompletny zestaw Matematyka Europejczyka. Klasa 3 stanowią podręcznik + zbiór zadań + płyta CD.

Seria podręczników, zbiorów zadań i płyt CD Matematyka Europejczyka wydawnictwa Helion pozwala uczniom zdobywać wiedzę bez stresu, a nauczycielom ułatwia przekazywanie nowego materiału w interesujący i niebanalny sposób.

Matematyka Europejczyka — to się liczy!


Książki wchodzące w skład zestawu edukacyjnego Matematyka Europejczyka dla szkół ponadgimnazjalnych, zakres podstawowy i rozszerzony, klasa 3:

 

Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

 
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr. Michała Krycha, dr. hab. Edwarda Tutaja, dr. Jarosława Pacuły. Zakres kształcenia: podstawowy i rozszerzony. Etap edukacyjny: IV. Typ szkoły: szkoły ponadgimnazjalne. Rok dopuszczenia 2014. Numer ewidencyjny w wykazie: 521/3/2014 Wszelkie prawa zastrzeżone. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentu niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie książki na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Autorzy oraz Wydawnictwo HELION dołożyli wszelkich starań, by zawarte w tej książce informacje były kompletne i rzetelne. Nie biorą jednak żadnej odpowiedzialności ani za ich wykorzystanie, ani za związane z tym ewentualne naruszenie praw patentowych lub autorskich. Autorzy oraz Wydawnictwo HELION nie ponoszą również żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikłe z wykorzystania informacji zawartych w książce. Redaktor prowadzący: Joanna Zaręba Projekt okładki: ULABUKA Fotografia na okładce została wykorzystana za zgodą Shutterstock. Wydawnictwo HELION ul. Kościuszki 1c, 44-100 GLIWICE tel. 32 231 22 19, 32 230 98 63 e-mail: helion@helion.pl WWW: http://helion.pl (księgarnia internetowa, katalog książek) Drogi Czytelniku! Jeżeli chcesz ocenić tę książkę, zajrzyj pod adres http://helion.pl/user/opinie?mepod3 Możesz tam wpisać swoje uwagi, spostrzeżenia, recenzję. ISBN: 978-83-246-2410-2 Copyright © Helion 2014 Printed in Poland. • Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści Od autorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 .1 . Zliczanie obiektów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 *1 .2 . Elementy kombinatoryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 .3 . Zdarzenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 .4 . Prawdopodobieństwo klasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 *1 .5 . Własności prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 *1 .6 . Prawdopodobieństwo warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 *1 .7 . Prawdopodobieństwo całkowite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 *1 .8 . Zastosowanie „drzew” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 *1 .9 . Spoza podstawy programowej — aksjomatyczna defi nicja prawdopodobieństwa i schemat Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . 46 Aksjomatyczna defi nicja prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Schemat Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 .10 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1 .11 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. Statystyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 .1 . Empiryczny rozkład cechy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 .2 . Średnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2 .3 . Miary rozproszenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2 .4 . Spoza podstawy programowej — regresja liniowa . . . . . . . . . . . . 78 2 .5 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2 .6 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3. Stereometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3 .1 . Proste i płaszczyzny w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Prostopadłość w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Spis treści 3 Kup książkęPoleć książkę 3.2. Pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów . . . . 96 Pola powierzchni i objętości wielościanów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3. Kąty między odcinkami w wielościanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4. Kąty między odcinkami a płaszczyznami w wielościanach . . . . . 107 3.5. Kąty między ścianami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Kąt dwuścienny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.6. Przekroje prostopadłościanów płaszczyznami . . . . . . . . . . . . . . . 114 *3.7. Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów płaszczyznami . . . . . . . 119 3.8. Walec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.9. Stożek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.10. Kula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.11. Spoza podstawy programowej — bryły wpisane w inne bryły i opisane na innych bryłach . . . . . . . . . . . . 137 Dwie bryły obrotowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Graniastosłup lub ostrosłup i bryła obrotowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.12. Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Temat badawczy nr 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Temat badawczy nr 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 3.13. Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 *4. Rachunek różniczkowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.1. Granice funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Granice funkcji w nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Granice funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Granice jednostronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.2. Obliczanie granic funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3. Funkcje ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4. Pochodna funkcji w punkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.5. Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.6. Przedziały monotoniczności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.7. Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.8. Zastosowanie pochodnych w optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4.9. Spoza podstawy programowej — przebieg zmienności funkcji . . 200 Druga pochodna — wklęsłość i wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Przebieg zmienności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4 Spis treści Kup książkęPoleć książkę 4 .10 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Temat badawczy nr 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4 .11 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Źródła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Spis treści 5 Kup książkęPoleć książkę 6 Spis treści Kup książkęPoleć książkę 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozważania matematyczne, z jakimi mieliśmy dotychczas do czynie- nia, charakteryzują się tym, że w określonych warunkach ze spełnie- nia zestawu założeń wynikają jednoznacznie określone konsekwencje. Przykładowo, jeżeli upuścimy z wysokości 30 m kamień, to potrafi my obliczyć, po ilu sekundach spadnie on na ziemię. Widzimy więc, że możliwe jest opisanie wielu praw i mechanizmów rządzących świa- tem, w którym żyjemy. Ale czy wszystkich? Próba odpowiedzi na pytanie, jaka szóstka liczb wypadnie w najbliższym losowaniu Dużego Lotka, pokazuje, że ist- nieją zjawiska, których zajście jest kwestią przypadku. W takich sytu- acjach nie wiemy, jaki będzie rezultat, ale możemy spróbować ocenić, jaka jest szansa na jego zaistnienie. W skutecznym rozwiązaniu tego typu problemów pomocny jest spe- cjalny dział matematyki zwany rachunkiem prawdopodobień- stwa. Kup książkęPoleć książkę Pewien francuski szlachcic, kawaler de Méré, żyjący w XVII wieku, chcąc wygrywać w kości, zwrócił się do swojego przyjaciela, wybitnego mate- matyka Blaise’a Pascala, z prośbą, aby rozważył następujący problem: W rzucie trzema kostkami sumę oczek równą 11 można uzyskać na sześć sposobów, wyrzucając na kostkach liczbę oczek równą: 1, 4, 6 lub 1, 5, 5, lub 2, 3, 6, lub 2, 4, 5, lub 3, 4, 4, lub 3, 3, 5. Sumę oczek równą 12 można też uzyskać na sześć sposobów: 1, 5, 6, lub 2, 4, 6, lub 2, 5, 5, lub 3, 3, 6, lub 3, 4, 5, lub 4, 4, 4. Dlaczego więc częściej wypada suma równa 11 niż 12? Pascal bardzo zainteresował się tym zagadnieniem i napisał w tej spra- Pascal bardzo zainteresował się tym zagadnieniem i napisał w tej spra- Pascal bardzo zainteresował się tym zagadnieniem i napisał w tej spra- wie list do innego sławnego matematyka, Pierre’a de Fermata. List ten zachęcił Fermata do rozważań, które przyczyniły się do stworzenia teorii zachęcił Fermata do rozważań, które przyczyniły się do stworzenia teorii zachęcił Fermata do rozważań, które przyczyniły się do stworzenia teorii dającej możliwość obliczania prawdopodobieństwa wygrania w grze w kości. 1.1. Zliczanie obiektów Przykład 1. Flaga niemiecka składa się z trzech pasów poziomych, usta- wionych od najniższego do najwyższego w następującej kolej- ności: pas złoty, pas czerwony, pas czarny. Ustalmy, ile różnych fl ag można otrzymać, przestawiając kolejność tych pasów. Za- uważmy, że jeżeli do oznaczenia kolorów użyjemy pierwszych liter słów oznaczających te kolory w języku niemieckim: golden, rot, schwarz, to wszystkie możliwe ustawienia będą następujące: g, r, s; g, s, r; s, g, r; s, r, g; r, s, g; r, g, s. Zatem wszystkich możliwości, jak łatwo policzyć, jest 6. Gdyby liczba pasów była większa, podana metoda byłaby bardzo żmudna. Ponieważ w na- szych rozważaniach kolejność kolorów jest istotna, więc ustawienia pasów wygodnie jest zapisywać jako ciągi. Pytamy się więc, ile można zbudować trzyelementowych ciągów o różnych wyrazach ze zbioru trzyelementowego. Kolor najniższego pasa możemy wybrać na trzy sposoby. Gdy kolor pierwszego pasa jest już ustalony, zauważamy, że mamy dwie możliwości ustalenia koloru drugiego pasa. Po ustaleniu kolorów dwóch dolnych pasów kolor trzeciego pasa jest wyznaczony jednoznacznie. A więc wszystkich takich ustawień ⋅ = . (ciągów) jest 3 2 1 6 ⋅ 10 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Wypisz wszystkie możliwości i oblicz, ile można uszyć fl ag czterokoloro- wych, o układzie barw takim jak na rysunku obok, mając do dyspozycji tkaniny w czterech kolorach. Zauważmy, że analogiczny schemat rozumowania możemy zastosować w następującej sytuacji. Przykład 2. Obliczmy, ile istnieje liczb czterocyfrowych zbudowanych wyłącznie z cyfr 0, 2, 4, 6, 8. Tak jak w przykładzie 1., liczbę czterocyfrową możemy utożsamić z ciągiem czterowyrazo- wym, w którym na pierwszym miejscu stoi cyfra tysięcy, na drugim cyfra setek, na trzecim cyfra dziesiątek, a na ostatnim cyfra jedności. A więc nasz zliczany obiekt możemy utożsa- mić z ciągiem. Pierwszy wyraz tego ciągu możemy wybrać na cztery sposoby (cyfra 0 nie może stać na pierwszym miejscu). Na pozostałych miejscach może stać dowolna z 5 cyfr, czyli wszystkich takich liczb jest 3 n = ⋅ 4 5 500 = . Przykład 3. Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Obliczmy, ile jest wszystkich możliwych wyników takich rzutów, jeżeli uwzględnimy kolejność otrzymanych wyników. Wypiszmy wszystkie takie wyniki. Możemy je zapisać jako ciągi dwuelementowe. Pierw- sza cyfra w nawiasie oznacza wynik pierwszego rzutu, a druga drugiego. Odpowiednich ciągów jest 36: ( )1,1 , ( ), ( 2 1,( )3,1 , ( ( ( )4,1 , ( ( )5,1 , ( 6 1,( To zadanie można rozwiązać, nie wypisując wszystkich możliwych sytuacji. Wyników pierwszego rzutu jest 6 (może wypaść 1 lub 2, lub 3, lub 4, lub 5, lub 6), drugiego również 6. Zatem wszystkich wyników jest 6 6 36 )1, 6 )1, 5 , ( )1, 4 , ( ), ( )1, 2 , 1 3,( )2, 6 ), ( ) ), ( )2, 2 , 2 3,( 2, 4 , 2 5,( )3, 6 )3, 5 , ( ) )3, 3 , ( )3, 2 , ( 3, 4 , ( )4, 2 , 4 3,( ), ( ) 4, 4 , ( )4, 5 , ( )4, 6 )5, 6 )5, 5 , ( 5, 4 , ( ) )5, 3 , ( )5, 2 , ( ), ( ) 6, 4 , ( )6, 5 , 6 6,( ) ), 6 3,( ), 6 2,( ⋅ = . Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ile jest wszystkich możliwych wyników przy trzykrotnym rzucie symetryczną kostką do gry? 1.1. Zliczanie obiektów 11 Kup książkęPoleć książkę Przykład 4. Obliczmy, ile haseł składających się z czterech znaków można ułożyć z liter A, B i cyfr 1, 2, przy założeniu, że pierwsze dwa znaki to różne litery, a kolejne dwa znaki to różne cyfry. Dwie litery można ustawić na dwa sposoby: AB, BA; dwie cyfry możemy ustawić także na ⋅ = , bo każda konfi guracja liter dwa sposoby: 12, 21. Zatem wszystkich ustawień jest 2 2 może być połączona z każdą konfi guracją cyfr. 4 Twierdzenie Reguła mnożenia Jeżeli wybór polega na podjęciu kolejno n decyzji, przy czym pierwszą z nich można podjąć na 1k sposobów, drugą na 2k sposobów, …, n-tą na nk sposobów, to takiego wyboru można dokonać na 1 ⋅ sposobów. ⋅ k k 2 k n ⋅  Uwaga  Analizując przykłady 1. – 4., widzimy, że jeżeli zliczany obiekt możemy utożsamić z ciągiem, to wygod- nie jest zastosować regułę mnożenia. Rozważmy teraz sytuację, w której zliczany obiekt utożsamiamy ze zbiorem. Przykład 5. Obliczmy, na ile sposobów możemy wybrać trzy książki ze zbioru dwu- dziestu książek. Zauważmy, że kolejność wybieranych książek jest w tej sytuacji nieistotna. Nie ma bowiem różnicy, czy np. najpierw wybierzemy książkę X, później Y, a na końcu Z, czy też najpierw książkę Z, potem X, a na końcu Y. Zbiór wybranych książek jest ten sam. Rozpatrujemy więc zbiory trzyelemen- towe, a nie ciągi trzyelementowe. Oczywiście zbiorów trzyelementowych jest mniej niż ciągów. Ciągi (X, Y, Z), (X, Z, Y), (Y, X, Z), (Y, Z, X), (Z, X, Y), (Z, Y, X) są utworzone z elementów jednego zbioru {X, Y, Z}. Ponieważ trzy elementy pewnego zbioru możemy ustawić w trzyelementowe ciągi na 6 sposobów, to liczba trzyelementowych zbiorów jest 6 razy mniejsza niż liczba trzyelementowych ciągów. Załóżmy wpierw, że kolejność wyboru książek jest istotna. Podobnie jak w poprzednich przykładach, rozumujemy następująco: pierwszą książkę możemy wybrać na 20 sposobów, drugą na 19 sposobów, a trzecią na 18 ⋅ sposobów. Liczba trzyelementowych ciągów jest równa 20 19 18 . A więc liczba trzyelementowych zbiorów wynosi 20 19 18 1140 Ze zbioru 20 książek trzy książki możemy wybrać na 1140 sposobów. = 6 . ⋅ ⋅ ⋅ Przykład 6. Obliczmy, ile różnych odcinków można zbudować, mając do dyspozycji 15 punktów, z któ- rych żadne 3 punkty nie leżą na jednej prostej. Każdy odcinek możemy utożsamić ze zbiorem dwuelementowym, składającym się z jego końców. 12 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę Liczymy najpierw, ile ciągów dwuelementowych można utworzyć z punktów zbioru pięt- nastoelementowego. Korzystając z reguły mnożenia, otrzymujemy . Ponie- waż ze zbioru dwuelementowego można utworzyć dwa ciągi, więc liczba odcinków jest n równa Rozpatrzmy teraz poniższą sytuację, w której zliczane obiekty są dwóch rodzajów. : 2 210 : 2 105 15 14 210 n = = = = . ⋅ Przykład 7. Obliczmy, ile można ułożyć haseł komputerowych składających się z trzech znaków, wiedząc, że hasło składa się bądź z trzech różnych liter: A, B, C, bądź z trzech różnych cyfr: 1, 2, 3. Zauważmy, że możliwości ułożenia hasła z trzech liter, podobnie jak z trzech cyfr, jest 6. Zatem albo mamy hasło trzyliterowe ułożone na 6 sposobów, albo trzycyfrowe ułożone na 6 sposobów. Wszystkich możliwości jest więc 6 6 12 + = . Reguła dodawania Jeżeli wybór polega na podjęciu jednej z n wykluczających się wzajemnie moż- liwości, przy czym pierwszą z nich można podjąć na 1k sposobów, drugą na 2k sposobów, …, n-tą na nk sposobów, to takiego wyboru można dokonać na k 1 + sposobów. k n k 2 + + Twierdzenie Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Na prezent dla koleżanki możemy kupić jedną płytę spośród siedmiu płyt jednego zespołu, który ona lubi, lub jedną książkę spośród trzech jej ulubionego autora. Na ile sposobów możemy wybrać prezent? 11, 13, 15,…, 45, 47, 49 Przykład 8. Obliczmy, ile jest liczb dwucyfrowych, które są mniejsze od 50 lub parzyste. W tym przypadku nie możemy stosować prostej reguły dodawania, ponieważ nie- które liczby parzyste są mniejsze od 50 i wy- bór liczb mniejszych od 50 oraz wybór liczb parzystych nie są wyborami wykluczają- cymi się wzajemnie. Możemy natomiast po- liczyć, ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 50 (jest ich 40), a następnie ile jest liczb parzystych dwucyfrowych większych od 50 bądź równych 50 (jest ich 25). Te wybory już się wzajemnie wykluczają. Stosując regułę dodawania, przekonujemy się, że liczb dwucy- frowych, które są mniejsze od 50 lub parzyste, jest Można też policzyć, ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 50 (jest ich 40), ile jest liczb dwucyfrowych parzystych (jest ich 45) oraz ile jest liczb dwucyfrowych parzystych, które są mniejsze od 50 (jest ich 20), a następnie wykonać działanie: 40 45 20 65 10, 12, 14, …, 46, 48 40 25 65. = + + − = . 50, 52, 54, …, 98 1.1. Zliczanie obiektów 13 Kup książkęPoleć książkę Zadania 1 Ile jest wszystkich punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest liczbą na- turalną dodatnią mniejszą od 20, a druga jest liczbą naturalną z przedziału 15, 30 ? 2 Ile jest wszystkich kodów składających się z dwóch liczb, z których pierwsza jest dziel- nikiem liczby 36, a druga jest dzielnikiem liczby 100? 3 Ile jest wszystkich możliwych kodów składających się z różnych znaków, w których to kodach na początku występują trzy cyfry ze zbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a później dwie litery ze zbioru {A, B, C, D, E, F}? 4 Ile jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na czterokrotnym rzucie monetą? 5 Oblicz: a) ile istnieje liczb trzycyfrowych składających się z cyfr 0, 1, 2, b) ile istnieje liczb trzycyfrowych parzystych składających się z cyfr 0, 1, 2. 6 Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3? 7 Uczniowie pierwszej klasy postanowili zakodować swoje szafki w szatni czterocyfro- wymi kodami, składającymi się z cyfr 1, 2, 3, 4. Ile jest możliwych kodów, gdy: a) cyfry nie mogą się powtarzać? b) cyfry mogą się powtarzać? 8 Stołówka studencka oferuje na obiad dwie zupy: pomidorową i ogórkową, trzy drugie dania: pierogi, kotlet mielony i rybę, dwa desery: szarlotkę i lody. Student zdecydował się wybrać obiad składający się tylko z dwóch dań: zupy i drugiego dania lub drugiego dania i deseru. Na ile sposobów może ułożyć swój zestaw obiadowy. 9 Na ile sposobów można ustawić w kolejce 7 osób? 10 Ile jest liczb czterocyfrowych mniejszych od 3000, składających się z cyfr 1, 2, 3, 4? 11 Z urny zawierającej kule: białą, czarną, żółtą i zieloną, losujemy trzy kule bez zwra- cania. Na ile sposobów można dokonać takiego losowania, jeżeli kolejność losowania jest istotna? 14 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę 12 Podczas egzaminu student losuje 3 pytania spośród 7. Na ile sposobów może to zrobić? 13 Na ile sposobów można wybrać czteroosobową delegację z ośmioosobowej grupy? 14 Osiem osób przywitało się każda z każdą uściskiem dłoni. Ile było powitań? *1.2. Elementy kombinatoryki W podrozdziale 1.1 obliczaliśmy z wykorzystaniem elementarnych rozumowań liczbę obiektów będących ciągami lub zbiorami skończonymi. Odbywało się to metodą łącze- nia w pary, trójki itd. (uporządkowane lub nieuporządkowane) elementów z ustalonych zbiorów, tak aby spełnione były wymagane warunki. Dział matematyki zajmujący się tego typu problemami nazywa się kombinatoryką. Oferuje ona szereg narzędzi, które ułatwiają (lub w ogóle umożliwiają) rozwiązywanie zadań opisanego rodzaju o różnym stopniu komplikacji. Przykład 1. Obliczmy, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie występują tylko cy- fry 3 i 4. Pierwszy element ciągu (cyfrę tysięcy danej liczby) możemy wybrać na dwa sposoby, na drugim miejscu (cyfra setek) też możemy umieścić jedną z dwóch cyfr. Tak więc na dwóch pierwszych miejscach możemy umieścić cyfry na 4 sposoby. Na trzecim (cyfra dziesiątek) i czwartym (cyfra jedności) miejscu możemy również umieścić cyfry 3 lub 4. A więc liczba wszystkich możliwości wynosi Tłumacząc to zagadnienie na język matematyki, pytamy, ile ciągów czte- rowyrazowych możemy zbudować ze zbioru dwuelementowego, jeżeli ele- menty mogą się powtarzać. Każdy taki czterowyrazowy ciąg utworzony z cyfr 3 i 4, w którym elementy mogą się powtarzać, nazywamy czterowyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru dwuelementowego {3,4}. ⋅ = ⋅ 2 2 2 2 2  Uwaga  ⋅ Ciąg k-wyrazowy to funkcja o dziedzinie }1, 2, { , k . 4 = 16 . +∈ , Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego, gdzie ,k n nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k niekoniecznie różnych elemen- tów tego zbioru. Definicja Na kolejnych stronach liczbę wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem k nW . *1.2. Elementy kombinatoryki 15 Kup książkęPoleć książkę Jeżeli ze zbioru składającego się z n elementów wybieramy k elementów ( w ten sposób, że: (cid:127) istotna jest kolejność wybieranych elementów, (cid:127) wybierane elementy mogą się powtarzać, to w ten sposób budujemy k-wyrazową wariację z powtórzeniami tego zbioru. )≤k n , Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cy- fry 1, 2 i 3? 1 5 Z = 5W = . } { 5, 6, 7, 8,9 . Przykład 2. Dany jest zbiór Z składający się z liczb 5, 6, 7, 8, 9 , czyli Ponieważ możemy utworzyć pięć jednowyrazowych ciągów z elementów zbioru Z, więc mamy pięć jednowyrazowych wariacji z powtórzeniami. Są nimi jednowyrazowe ciągi ( )5 , ( )6 , ( )7 , ( )8 , ( )9 . Zatem Dopisując w powyższych wariacjach na drugim miejscu kolejno elementy zbioru Z, otrzy- mamy dwuwyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru Z: ( )5, 5 , ( 6 5,( )7, 5 , ( ( ( )8, 5 , ( )9, 5 , ( ( )5, 9 , )6, 9 , )7, 8 , 7 9,( ), )8, 8 , ( )8, 9 , )9, 8 , 9 9,( ). )7, 6 , 7 7,( )8, 6 , ( )9, 6 , ( ), ( )8, 7 , ( )9, 7 , ( )5, 7 , 5 8,( )6, 7 , 6 8,( )5, 6 , ( ), ( ), ( ), ( ), 6 6,( 5 2 W 5 1 W= ⋅ 5 2 = ⋅ = . 5 5 5 Zatem Dalej weźmy dwuwyrazowe wariacje z powtórzeniami zaczynające się od liczby 5 i do- piszmy na trzecim miejscu kolejno elementy zbioru Z, otrzymując trzyelementowe wa- riacje zbioru Z: 5, 5, 5 , ( ( 5, 6, 5 , ( ( ( 5, 7, 5 , ( 5, 8, 5 , ( ( ( 5, 9, 5 , ( 5, 5, 7 , ( ) ) 5, 6, 7 , ( ) 5, 7, 7 , ( 5, 8, 7 , ( ) ) 5, 9, 7 , ( 5, 5, 8 , ( ) ) 5, 6, 8 , ( ) 5, 7, 8 , ( 5, 8, 8 , ( ) ) 5, 9, 8 , ( 5, 5, 6 , ( 5, 6, 6 , ( 5, 7, 6 , ( 5, 8, 6 , ( 5, 9, 6 , ( ) 5, 5, 9 , ) 5, 6, 9 , ) 5, 7, 9 , ) 5, 8, 9 , ) 5, 9, 9 . ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 16 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę 5 3 W 5 3 = . 5 2 = ⋅ 5 5 2 W= ⋅ 5 Postępując analogicznie z pozostałymi dwuwyrazowymi wariacjami, dochodzimy do wnio- sku, że Następnie, biorąc trzywyrazowe wariacje z powtórzeniami i dopisując na czwartym miej- scu kolejno elementy zbioru Z, otrzymujemy czteroelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru Z. Rozumując tak jak wyżej, mamy 3 = ⋅ 5 5 4 = . 5 3 W= ⋅ 5 5 4 W 5 Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n elemento- wego wyraża się wzorem nW n= . k k Twierdzenie  Uwaga  Zauważmy, że każda wariacja n-elemen- towa jest funkcją określoną na zbio- rze liczb naturalnych { 1, 2, } , n . Wszystkie k-elementowe ciągi opisane w powyższym twierdzeniu możemy zliczyć, stosując regułę mnożenia. Ponieważ kolejne wyrazy ciągu można wy- k brać na n sposobów, więc ich liczba wyraża się wzorem ⋅ = . = ⋅ n n k n ⋅ ⋅ W n n n k razy Przykład 3. Obliczmy, ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych, w których zapisie wystę- pują tylko cyfry 1, 2, 3, 4, 5 i żadna z cyfr się nie powtarza. Zauważmy, że pierwszą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów, a drugą na 4 sposoby. Zgodnie z regułą mnożenia otrzymujemy 5 4 20 . Są to nastę- pujące liczby: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54. Stosując język matematyki, pytamy, ile ciągów dwuwyrazowych możemy zbudować, uży- wając różnych elementów zbioru { Każdy taki dwuwyrazowy ciąg utworzony z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, w którym wyrazy nie powta- rzają się, nazywamy dwuwyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru { } 1, 2, 3, 4, 5 . } 1, 2, 3, 4, 5 . ⋅ = Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie +∈ oraz k n≤ , nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k różnych elemen- tów tego zbioru. ,k n Definicja Dalej liczbę k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem k nV . Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cyfry 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i żadna cyfra się nie powtarza? *1.2. Elementy kombinatoryki 17 Kup książkęPoleć książkę Z = 1 V = . 5 5 ), 5 8,( ), 5 7,( ), 8 6,( } { 5, 6, 7, 8,9 . )9, 6 , ( 1 = ⋅ V 4 5 )6, 7 , ( )7, 6 , 7 8,( ), 8 7,( ), ), 5 9,( )6, 8 , 6 9,( ), )7, 9 , ), ( ), 8 9,( ), )9, 7 , ( )9, 8 , = ⋅ 4 5 . Przykład 4. Dany jest zbiór Z składający się z liczb 5, 6, 7, 8, 9, czyli Mamy pięć jednowyrazowych wariacji bez powtórzeń, są nimi jednowyrazowe ciągi ( )5 , ( )6 , ( )7 , ( )8 , ( )9 , więc Dopisując w powyższych wariacjach na drugim miejscu kolejno elementy zbioru Z nie- występujące w tej wariacji, otrzymamy dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru Z: 5 6,( )6, 5 , ( ( ( )7, 5 , ( 8 5,( ( )9, 5 , ( 2 więc V 5 Dalej weźmy dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń i dopiszmy na trzecim miejscu ko- lejno elementy zbioru Z niewystępujące w tej wariacji. Otrzymamy trzyelementowe wa- riacje bez powtórzeń zbioru Z. 5, 6, 7 , ( ( 5, 7, 6 , ( ( ( 5, 8, 6 , ( ( 5, 9, 6 , ( Postępując analogicznie z pozostałymi dwuwyrazowymi wariacjami, dochodzimy do wnio- 3 V sku, że 5 Następnie do trzywyrazowych wariacji z powtórzeniami dopiszemy na czwartym miejscu kolejno elementy zbioru Z. Otrzymamy czteroelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru Z. 4 V W wyniku otrzymujemy 5 5, 6, 8 , ( 5, 7, 8 , ( 5, 8, 7 , ( 5, 9, 7 , ( ) 5, 6, 9 , ) 5, 7, 9 , ) 5, 8, 9 , ) 5, 9, 8 . = ⋅ ⋅ 2 3 4 5 = ⋅ ⋅ 3 4 5 2 V= ⋅ 5 3 V= ⋅ 5 2 ⋅ . 3 . ) ) ) ) ) ) ) ) Twierdzenie Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego, ) gdzie . 1 k = +∈ oraz k n≤ , wyraża się wzorem V n −( n n −( n n k − + )  ,k n ) 1 2 ( Twierdzenie można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej. 18 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę Wzór ten można zapisać w innej postaci. W tym celu wprowadźmy następującą de(cid:26) nicję: 1n (zapisujemy !n ) nazywamy iloczyn wszystkich liczb Silnią liczby naturalnej naturalnych dodatnich nie większych od n: n Przyjmujemy dodatkowo, że 0! 1= i 1! 1= . = ⋅ ⋅ ! 1 2 3 ⋅ . n ⋅ Definicja Stąd wzór wyznaczający liczbę wariacji z powtórzeniami możemy przekształcić na- stępująco: −( k = n n V n −( n ) = 1 n k − + ) 1 )  ( 2 n ! −( n k !. ) Jeżeli ze zbioru zawierającego n elementów wybieramy k elementów ( sposób, że: (cid:127) istotna jest kolejność wybieranych elementów, (cid:127) wybierane elementy nie mogą się powtarzać, to w ten sposób budujemy k-wyrazową wariację bez powtórzeń tego zbioru. )≤k n , w ten Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utwo- rzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Definicja W dalszej części rozdziału liczbę permutacji zbioru n-elementowego ozna- czamy symbolem nP . Przykład 5. Obliczmy, ile liczb czterocyfrowych, o różnych cyfrach, można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4. 4 V Mamy więc 4 4 3 2 1 4! = . P 4 = ⋅ ⋅ = ⋅  Uwaga  Zauważmy, że per- mutacja zbioru n-elementowego jest n-wyrazową wariacją bez powtórzeń tego zbioru. Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa nP n= . ! Twierdzenie *1.2. Elementy kombinatoryki 19 Kup książkęPoleć książkę  Uwaga  Zauważmy, że za- gadnienie oblicza- nia liczby wariacji i permutacji pokrywa się z zagadnieniem obliczania liczby wy- borów kolejnych de- cyzji omówionym w poprzednim roz- dziale. Możemy więc zamiast podanych wzorów stosować regułę mnożenia. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Na ile sposobów można poprzestawiać 10 osób stojących w kolejce po bilety? Przykład 6. W czasie egzaminu student losuje trzy pytania ze zbioru 60 pytań i odpo- wiada na nie w dowolnej kolejności. Chcemy obliczyć, na ile sposobów student może wylosować pytania. Używając terminów matematycznych, pytamy, ile zbiorów trzyelemento- wych możemy utworzyć ze zbioru 60-elementowego. Zauważmy, że tutaj kolejność losowania pytań nie odgrywa roli i pytania nie powtarzają się, więc otrzymujemy trzyelementowe podzbiory zbioru wszystkich pytań. Definicja Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego, gdzie nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru. ,k n +∈ oraz k n≤ ,  Uwaga  W kombinacjach ko- lejność elementów nie jest istotna. Pod- }2, 1 zbiory 1 2,{ są tymi samymi pod- zbiorami składają- cymi się z liczb 1 i 2. } i { W dalszej części książki liczbę k-elementowych kombinacji n-elementowego zbioru będziemy oznaczać symbolem k nC . n , w ten sposób, że: Jeżeli ze zbioru zawierającego n elementów wybieramy k elementów ( )≤k (cid:127) nieistotna jest kolejność wybieranych elementów, (cid:127) wybierane elementy nie mogą się powtarzać, to w ten sposób budujemy k-wyrazową kombinację tego zbioru. Do obliczenia liczby k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wygodnie jest używać symbolu Newtona. Niech k i n będą liczbami naturalnymi takimi, że k n≤ . Wówczas . Wyrażenie n     k   nazywamy symbolem Newtona. n k      =  n ! −( k n k ! ) ! = Przykład 7. 7     2   5     0   7! ⋅ 2! 5! 5! ⋅ 0! 5! = = = ⋅ 6 7 2 1 1 = = 1 21  Uwaga  Można zauważyć, że n  0     = 1 oraz    n k    = ( n n ) 1 −  1 2 ⋅ ⋅ ( n k − + k ⋅  1 ) . 20 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę ,k n Jeżeli zbioru n-elementowego jest równa: +∈ oraz k n≤ , to liczba wszystkich k-elementowych kombinacji Twierdzenie k C n n   =   k   . Przykład 8. Obliczmy, na ile sposobów możemy wybrać trzy karty z talii liczą- cej 52 karty. Najpierw zauważamy, że kolejność wyboru kart nie jest istotna. Do opisu takiej sytuacji nie możemy więc używać ciągów, lecz zbiorów. Powstaje pytanie, ile istnieje trzyelementowych podzbiorów zbioru 52-elementowego. Każdy trzyelementowy zbiór jest trzyele- C mentową kombinacją, czyli 3 52 =    52 3    = 52! ⋅ 3! 49! = 50 51 52 ⋅ ⋅ 6 = 22100 . Przykład 9. Zestaw pytań na egzamin z matematyki zawiera 20 pytań z geometrii, 30 pytań z algebry i 10 pytań z rachunku prawdopodobieństwa. Obliczmy, na ile sposobów student może wy- losować trzy pytania tak, by były tam dwa pytania z algebry i jedno z geometrii lub trzy pytania z algebry. Trzy pytania z algebry stanowią trzyelementowy podzbiór zbioru 30-elementowego. Takich wyborów jest C 3 30 =    30 3    = 30! ⋅ 3! 27! = 28 29 30 ⋅ ⋅ 6 = 4060 . Alternatywnie dwa pytania 30  z algebry i jedno z geometrii wybieramy na  2  sposobów. Razem szukanych wyborów jest = n = 20 1   30! 20! ⋅   ⋅ ⋅ 2! 28! 1! 19!   4060 8700 12760 .    + = ⋅ = ⋅ 29 30 20 8700 2 = ⋅ Ćwiczenie 4. Ćwiczenie 4. Ćwiczenie 4. Ćwiczenie 4. Ćwiczenie 4. Ile meczów rozegra 12 drużyn, grając jednokrotnie systemem „każdy z każdym” jeden mecz? Zauważmy, że zagadnienie obliczania liczby kombinacji pokrywa się z zagadnieniem obliczania liczby k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego omówionym w poprzednim rozdziale. Możemy więc zamiast podanych wzorów stosować metodę tam opisaną.  Uwaga  Ze zbioru n-elemen- towego możemy wybrać pod- n     k   zbiorów k-elemen- towych. *1.2. Elementy kombinatoryki 21 Kup książkęPoleć książkę Zadania 1 Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występują cyfry 7 i 2? 2 Oblicz, ile jest wszystkich: a) liczb czterocyfrowych, b) liczb dwucyfrowych o niepowtarzających się cyfrach, c) liczb trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach, d) liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach. 3 Oblicz, ile jest podzbiorów zbioru n-elementowego. 4 Na szczyt pewnej góry wiedzie pięć szlaków. Na ile sposobów można wejść i zejść z góry, jeśli: a) możemy wracać tym samym szlakiem? b) nie możemy wracać tym samym szlakiem? 5 Na ile sposobów 10 osób może wysiąść z tramwaju, który zatrzymuje się na 5 przystankach? 6 Na ile sposobów 7 osób może wysiąść z windy, która zatrzymuje się na 20 piętrach? 7 Są dwa rodzaje skrzynek pocztowych: czerwone i niebieskie. Na ile sposo- bów można wrzucić do nich 10 listów? 8 Na zawodach w gimnastyce artystycznej sędziuje 6 sędziów. Każdy sędzia wystawia zawodnikowi notę od 0 do 10, z dokładnością do 0,1 punktu. Oblicz, ile różnych werdyktów (wyników w punktach) może wydać cała sześciooso- bowa komisja. 9 W turnieju piłkarskim bierze udział 8 drużyn. Turniej odbywa się systemem „każdy z każdym”. Każda gra może się skończyć dla danej drużyny wygraną, remisem bądź po- rażką. Ile jest różnych możliwych wyników turnieju, jeśli przyjmiemy, że „wynik turnieju” to ostateczny zapis w tabeli spotkań? 10 Ile liczb sześciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4, 5, w których na miejscu jedności jest cyfra 3 lub 4? 22 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę 11 Ile można utworzyć dziewięciocyfrowych numerów telefonicznych, w których żadna cyfra się nie powtórzy, przy założeniu, że numer nie może zaczynać się od 0? 12 Rozstrzygnij, przyjmując, że alfabet składa się z 24 liter, czy wśród 600 osób muszą się znaleźć dwie, które mają takie same dwuliterowe inicjały. 13 Ustaw w kolejności od największej do najmniejszej: 5 3W , 3 5W , 3 5V . 14 Na ile sposobów można ustawić 12 osób w kolejce? 15 Na ile sposobów można ustawić 4 chłopców i 2 dziewczynki w kolejce, tak aby dziew- czynki nie stały obok siebie? 16 Układając kule z narysowanymi na nich cyframi 3, 4, 5, 6, 7, można utworzyć różne liczby pięciocyfrowe. Ile jest liczb większych od 70 000? 17 W grupie sześcioosobowej są trzy siostry. Na ile sposobów można ustawić te osoby, tak aby siostry stały obok siebie? 18 Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację z 30-osobowej klasy? 19 Grupa studencka liczy 20 osób, w tym 8 kobiet. Na ile sposobów można wybrać czte- roosobową delegację składającą się z: a) 2 mężczyzn i 2 kobiet? b) 1 mężczyzny i 3 kobiet? 20 Ile można wyznaczyć odcinków, jeśli każdy odcinek ma końce w wierzchołkach oś- miokąta wypukłego? 21 Na ile sposobów można wybrać 6 liczb spośród 49? 22 W turnieju szachowym, w którym każdy zawodnik gra z każdym jeden raz, rozegrano 21 partii. Ilu szachistów brało udział w turnieju? 23 Na ile sposobów można rozmieścić m rozróżnialnych kul w m ponumerowanych ur- nach, tak aby co najmniej jedna urna była pusta? *1.2. Elementy kombinatoryki 23 Kup książkęPoleć książkę 1.3. Zdarzenia losowe Przykład 1. a) W wyniku rzutu monetą może wypaść orzeł (O) lub reszka (R), ale nie jesteśmy w stanie przewidzieć, który z wyników wypadnie w konkretnym rzucie. b) Rzucając kostką do gry, można otrzymać różną liczbę oczek. Tu także nie wiemy, który z wyników wypadnie w konkretnym rzucie. Opisane powyżej doświadczenia charakteryzują się tym, że możemy je wielokrotnie powtarzać, znamy zbiór możliwych wyników tych do- świadczeń, ale nie możemy przewidzieć konkretnego wyniku. Takie doświadczenia nazy- wamy doświadczeniami losowymi. Definicja Zbiór wszystkich możliwych wyników danego doświadczenia losowego nazy- wamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i zwyczajowo oznaczamy literą Ω . Każdy jednoelementowy podzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem elemen- tarnym. W przykładzie 1a przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z dwóch wyników: wy- padł orzeł, wypadła reszka, co zapisujemy symbolicznie . W przykładzie 1b Ω = { },O R Ω = { } 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Przykład 2. Doświadczenie losowe Rzut monetą Trzykrotny rzut monetą Zapis (O, O, R) oznacza wy- nik doświadczenia, w którym w dwóch pierwszych rzutach otrzymaliśmy orła, a w trzecim rzucie reszkę. Dwukrotny rzut kostką Zapis (2, 3) oznacza wynik do- świadczenia, w którym w pierw- szym rzucie otrzymaliśmy dwa oczka, a w drugim rzucie trzy oczka. Zdarzenia elementarne O, R (O, O, O); (O, O, R); (O, R, O); (R, O, O); (R, R, O); (R, O, R); (O, R, R); (R, R, R) (1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6). 24 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne przy jednoczesnym jednokrotnym rzucie mo- netą i kostką. Definicja Definicja Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zda- rzeniem. Jeżeli A ⊂ Ω jest zdarzeniem i a A∈ , to zdarzenie {a} nazywamy zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Zbiór pusty (zdarzenie, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne) na- zywamy zdarzeniem niemożliwym. Zbiór Ω nazywamy zdarzeniem pewnym. Jeżeli nie istnieje żadne zdarzenie elementarne, które sprzyja jednocześnie zda- rzeniom A i B (tzn. A B∩ = ∅), to mówimy, że zdarzenia A i B wykluczają się. Jeżeli każde zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A sprzyja zdarzeniu B (tzn. A B⊂ ), to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B. Zdarzenie ′ = Ω nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A. A \ A  Uwaga  Talia kart składa się z 52 kart do gry. Wśród nich znajdują się 4 kolory po 13 kart, są to: pik, kier, karo, trefl . W każdym kolorze są karty ponumerowane od 2 do 10, zwane blotkami, i fi gury: wa- let, dama, król i as. Przykład 3. Losujemy dwie karty z talii zawierającej 52 karty. Zdarzenie „wylosowano dwie dwójki kier” jest zdarzeniem nie- możliwym. Zdarzenie „jedna z wylosowanych kart jest kierem lub pikiem, lub trefl em, lub karem” jest zdarzeniem pewnym. Zdarzenia „wylosowanie dwójki i trójki” i „wylosowanie dwóch asów” są zdarzeniami wykluczającymi się. Zdarzenie „wylosowano króla kier i króla karo” pociąga za sobą zdarzenie „wylosowano dwa króle”. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia „co najmniej jedna z wylo- sowanych kart jest królem” jest zdarzenie „żadna z wylosowanych dwóch kart nie jest królem”. 1.3. Zdarzenia losowe 25 Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Z urny zawierającej trzy kule oznaczone numerami 2, 4, 6 losujemy kolejno trzy kule. Zapisane w kolejności losowania nu- mery kul tworzą liczbę trzycyfrową. Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych, jeśli: a) wylosowanej kuli nie zwracamy do urny; b) wylosowaną kulę zwracamy do urny. Zadania Jeżeli zbiór zdarzeń elementarnych składa się z n elementów, to wszystkich zdarzeń losowych jest 2n (patrz zada- nie 3., strona 22). 1 Rzucamy dwa razy kostką do gry. Wypisz wyniki sprzyjające poniższym zdarzeniom. a) Suma oczek jest równa co najmniej 5. b) Suma oczek jest równa co najwyżej 9. c) Iloczyn oczek jest liczbą parzystą. 2 Rzucamy jednocześnie monetą i kostką. Wypisz wyniki sprzyjające poniższym zda- rzeniom. a) Wypadła liczba parzysta. b) Wypadł orzeł. c) Wypadły reszka i parzysta liczba oczek. } 3 Spośród liczb { − − − 3, 2, 1,1, 2, 3 losujemy ze zwracaniem dwie z nich i otrzymaną parę wyników traktujemy jako współrzędne punktu w układzie współrzędnych. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniu, w którym punkt znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych. 4 Z urny, w której znajduje się sześć kul ponumerowanych od 1 do 6, wylosowano ko- lejno dwie z nich bez zwracania. Wypisz wyniki sprzyjające poniższym zdarzeniom. a) Za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą. b) Iloczyn wylosowanych liczb jest równy 2. c) Pierwsza wylosowana liczba jest większa od drugiej. 5 Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu, w którym przy czterokrotnym rzucie monetą wyrzucono dokładnie jeden raz orła. 6 Rzucamy jednocześnie trzema monetami o nominałach 1 zł, 2 zł, 5 zł. Wypisz wszyst- kie możliwe zdarzenia elementarne. 7 Ze zbioru liczb od 1 do 8 losujemy kolejno bez zwracania dwie z nich. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych polegających na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest parzysty. 26 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę 8 W urnie znajdują się kule: biała, czarna i zielona. Losujemy kolejno bez zwracania trzy kule. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, w którym wylo- sowano kulę czarną za drugim razem. 9 Rzucono dwukrotnie symetryczną kostką do gry. Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu przeciwnemu do zdarzenia, w którym wyrzucono co najmniej raz nieparzystą liczbę oczek. 10 Do celu oddano cztery strzały, z których co najmniej jeden był celny. Niech Ai ozna- cza zdarzenie losowe polegające na trafi eniu do celu w i-tym strzale ( . Zapisz za pomocą działań na zdarzeniach Ai zdarzenie przeciwne do zdarzenia „trafi ono do celu za pierwszym bądź drugim razem”. 11 Ze zbioru liczb { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12 losowo wybrano jedną. Oznaczmy zda- rzenia: A — wybrano liczbę nieparzystą, B — wybrano liczbę podzielną przez 3, C — wy- brano liczbę parzystą. Określ, które ze zdarzeń wykluczają się wzajemnie. 1, 2, 3, 4 } i = ) 12 Z urny, w której znajdują się kule: biała, zielona, czarna, losujemy kolejno trzy kule, zwracając po każdym losowaniu kulę do urny. Oznaczmy zdarzenia: A — wylosowano co najmniej raz kulę białą, B — wylosowano dokładnie raz kulę zieloną, C — za każdym ra- zem wylosowano kulę białą. Określ, które zdarzenia wykluczają się. 1.4. Prawdopodobieństwo klasyczne Wiemy już, że nie da się przewidzieć jednoznacznie, czy w przeprowadzonym jednokrotnie doświadczeniu losowym wystąpi dane zdarzenie. Jednak niektóre zdarzenia zachodzą częś- ciej niż inne. W XVIII wieku francuski fi lozof G.L. Buff on rzucił monetą 4040 razy i stwierdził, że w 2048 rzutach otrzymał orła. Częstość względna wystąpienia tego zdarzenia wyniosła . Później inni naukowcy podjęli podobne próby i otrzymali częstości, odpo- wiednio: 0,5016, 0,5005, 0,5027. Gdy wykonamy długą serię rzutów kostką, to zauważymy, że częstość zdarzenia A (wypadnięcie nieparzystej liczby oczek) zbliża się do 1 2 częstość zdarzenia B (wyrzucenie 6 oczek) zbliża się do 1 6 . Stwierdzamy więc, że zdarzenie , natomiast A zachodzi częściej niż zdarzenie B. Mówimy wtedy, że zdarzenie A jest bardziej prawdopo- dobne niż zdarzenie B. Ten sposób oszacowania szansy wystąpienia jakiegoś zdarzenia jest bardzo żmudny i niedoskonały, stąd wprowadzenie jego modyfi kacji w postaci klasycznej defi nicji prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jest tu teoretycznym odpowiednikiem częstości względnej. 1.4. Prawdopodobieństwo klasyczne 27 Kup książkęPoleć książkę  Uwaga  Zbiór wszystkich zdarzeń elemen- tarnych oznaczamy symbolem Ω , liczbę elementów w tym zbiorze symbolem Ω , natomiast liczbę zdarzeń elementarnych w zbiorze A symbolem A . Jeśli rzucamy symetryczną monetą, to otrzymanie każdego wyniku jest jednakowo możliwe. Podobna sytuacja jest przy rzucie symetryczną kostką czy losowaniu karty z talii kart. W dalszej części rozważań będziemy zawsze zakładali, że prze- strzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem niepustym i składa się ze skończonej liczby zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych. Definicja Załóżmy, że Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, która składa się ze skończonej liczby zdarzeń jednakowo możliwych. Niech A będzie wybranym zdarzeniem tej przestrzeni. Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy liczbę ( ) P A = A Ω ( , Ω ≠ ) 0 . Przykład 1. Obliczmy prawdopodobieństwo otrzymania liczby oczek większej od 2 przy jednokrot- nym rzucie kostką. { } Wypiszmy elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych 1, 2, 3, 4, 5, 6 sprzyjające zdarzeniu A, w którym wypadła liczba oczek większa niż 2, tj. Zatem: 2 ) ( P A = = . 3 Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednego orła przy trzykrotnym rzucie monetą. oraz zdarzenia { } A = . 3, 4, 5, 6 Ω = 4 6 Własności prawdopodobieństwa P 1. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1). )∅ = 0 )Ω = 1 i P ( ( (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0; 2. Jeżeli ⊂ ΩA , to 0 ≤ ( P A ) ≤ 1 (prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest liczbą nieujemną mniejszą bądź równą 1). ) ′ = −1 3. Jeżeli ⊂ ΩA ′ = Ω \ A A, to i ( P A (prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A jest równe różnicy liczby 1 i prawdopodobieństwa zdarzenia A). ( P A ) 4. Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: ( P A B ∪ = ) ( P A ) + ) ( P B . 28 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę Dowód punktów 1. i 2. wynika wprost z defi nicji prawdopodobieństwa i zostawiamy go Czytelnikowi (zadania 4, 5). Dowód punktu 3. Niech nΩ = , A k= , wówczas A ′ = − . Z defi nicji prawdopo- n k ) ′ = dobieństwa wynika, że Dowód punktu 4. Niech się, więc zbiory A i B są rozłączne, wówczas A B ( P A nΩ = , A k= , B l= . Ponieważ zdarzenia A i B wykluczają ∪ = ∪ = + . Mamy więc = − = − 1 1 B k l ( P A A ) . − n k n k n ( P A B ) ∪ = + k l n = + = l k n n ( ( P A P B + ) ) . Przykład 2. Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A, w którym przy dziesięciokrotnym rzucie monetą wypadł co najmniej jeden raz orzeł. Zauważmy, że wszystkich możliwych zdarzeń jest . Dość kłopotliwe jest wyliczenie liczby zdarzeń sprzyjających rozważanemu zdarzeniu i dlatego rozpatrzmy zda- rzenie przeciwne A′ (w dziesięciu rzutach monetą ani razu nie wypadł orzeł). Zauważmy, . Z własności 3. że R R R R R R R R R R , , zatem 1024 Ω = 102 A = , , , , ( { ′ = ( ) = 1 1024 , , ) = − 1 , ( P A } ) , ) = − 1 ′ 1A′ = , a stąd P A′ 1023 1024 . = 1 1024 ( wynika więc, że P A Zadania 1 Rzucamy jednocześnie dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopo- dobieństwa następujących zdarzeń: a) A — suma wyrzuconych oczek wynosi 1. b) B — suma oczek na obu kostkach jest mniejsza od 20. c) C — suma oczek na obu kostkach wynosi co najwyżej 8. 2 Rzucamy czterema monetami o nominałach: 10 gr, 20 gr, 50 gr, 1 zł. Oblicz prawdo- podobieństwo zdarzeń: a) A — wypadło tyle samo orłów, co reszek. b) B — wypadł co najmniej jeden orzeł. c) C — wypadły same reszki. 3 Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń: a) A — wylosowano damę. c) C — wylosowano siódemkę pik. d) D — wylosowano króla lub asa. b) B — wylosowano kier. 1.4. Prawdopodobieństwo klasyczne 29 Kup książkęPoleć książkę 4 Uzasadnij twierdzenie, że prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1, a zda- rzenia niemożliwego 0. 5 Uzasadnij twierdzenie, że prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest liczbą z przedziału 0,1 . 6 Rzucamy trzykrotnie monetą pięciozłotową. Oblicz prawdopodobieństwo poniż- szych zdarzeń. a) A — wypadł co najmniej jeden orzeł. b) B — wypadła co najwyżej jedna reszka. c) C — wypadły dokładnie dwa orły. d) D — wypadły same reszki. 7 Z urny zawierającej 9 kul czarnych i 4 białe losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul będą: a) A — 3 kule czarne. b) B — dwie kule białe i jedna czarna. c) C — jedna kula biała i dwie czarne. 8 W trzydziestoosobowej klasie, w której jest 12 dziewcząt, wylosowano 4 osoby, które otrzymały bilety do teatru. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych osób połowę stanowią chłopcy. 9 Piotr i Agata postanowili zagrać w grę losową polegającą na tym, że Piotr rzuca dwa razy monetą. Jeśli choć raz wypadnie orzeł, to wygrywa Agata, a jeśli ani razu, to wygrywa Piotr. Oblicz prawdopodobieństwo zwycięstwa każdego z nich. 10 Z talii 52 kart wyciągnięto dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli. 11 Test z matematyki składa się z 10 pytań jednokrotnej odpowiedzi a) lub b). Test zali- czymy, gdy poprawnie odpowiemy na co najmniej 6 pytań. Oblicz prawdopodobieństwo zaliczenia testu, gdy wszystkie odpowiedzi zaznaczamy systemem chybił trafił. 12 Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia jednakowej liczby oczek przy rzucie trzema kostkami do gry. 13 Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia fula przy rzucie pięcioma kostkami do gry w kości, wiedząc, że fulem nazywamy wyrzucenie na dwóch kostkach a oczek, na każdej z trzech pozostałych b oczek, przy czym a b≠ . 30 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę 14 Rzucamy 9 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej dwa razy wyrzucimy reszkę. 15 Ze zbioru czterech cyfr { 1, 2, 3, 4 wylosowano bez zwracania trzy cyfry i utworzono z nich liczbę trzycyfrową, ustawiając je w kolejności losowania. Jakie jest prawdopodobień- stwo utworzenia liczby większej od 300? } 16 Ustawiono w ciąg n kul oznaczonych liczbami 1, 2, …, n. Oblicz prawdopodobień- stwo zdarzenia, w którym kule 4 i 5 znajdą się obok siebie. *1.5. Własności prawdopodobieństwa Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i A B⊂ ⊂ Ω. Wówczas ( P A ( P B ≤ ) ) . Jeżeli A B⊂ ⊂ Ω, to A B≤ , czyli A B≤ Ω Ω , stąd ( P A ) ≤ ( P B ) . . Jeżeli , wykluczają się parami, to prawdopodobieństwo Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe A A 2 sumy tych zdarzeń równe jest sumie ich prawdopodobieństw: ( P A 1 ∪ ∪ ∪ ) ( P A . A ⊂ Ω n ( P A 2 ( P A 1 A A 1 2 An A n A 2    + = + + ) ) ) , , , , , n 1 Twierdzenie Twierdzenie Twierdzenie to zostało udowodnione w poprzednim rozdziale dla dwóch zbiorów. Łatwy dowód tego twierdzenia dla n zbiorów pozostawiamy czytelnikowi do samodziel- nego rozpatrzenia. Przykład 1. W urnie znajduje się 5 kul biało-czerwonych, 2 kule biało-czarne, 4 kule czerwono-czarne i 3 kule czerwone. Wprowadźmy oznaczenia zdarzeń: A — wylosowano kulę dwukolorową; B1 — wylosowano kulę biało-czerwoną; B2 — wylosowano kulę biało-czarną; B3 — wylosowano kulę czerwono-czarną; B4 — wylosowano kulę czerwoną. Możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli dwukolorowej: ( P A ∪ ∪ = + + = + + = = ) ) ) ) ) . ( P B 3 ( P B 2 ( P B 1 ( P B 1 B 3 B 2 11 14 5 14 2 14 4 14 *1.5. Własności prawdopodobieństwa 31 Kup książkęPoleć książkę Twierdzenie ) ∪ = Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych i ( P A B Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń jest równe sumie prawdopodo- bieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich iloczynu. ,A B ⊂ Ω. Wówczas ( ( P A P B ( P A B ) ∩ . + − ) ) ( ) ( B B A \ B A A B ∪ = ∪ ( = ∩ ∪ oraz zbiory A B∩ i B \ A są rozłączne (czyli odpowied- ) oraz że zbiory A i B \ A są rozłączne (czyli zdarzenia Ponieważ zdarzenia losowe są zbiorami, w dowodzie będziemy stosować pewne prawa rachunku zbiorów. A B A Zauważmy, że A i B \ A wykluczają się). ) Także \ nie zdarzenia wykluczają się). Z własności prawdopodobieństwa wynika więc, że (1) czyli (2) Podstawiając (2) do (1), otrzymujemy ( P A P B A ( ( P A P B ( P A B ( P A B ( P A B ( P A B ( P A B ( P B A ( P B A ) ∪ = ) ∪ = ) ∩ + ) ∩ . ) ∩ . oraz ( P B ( P B ) , ) − ) + ) − ) + ) = ) = ( \ ) \ \ Przykład 2. Z talii 52 kart wyciągnięto jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jest ona kró- lem lub trefl em. Oznaczmy zdarzenia: A — wyciągnięta karta jest królem, B — wyciągnięta karta jest tre- fl em. Mamy obliczyć P A B∪( Przy założeniu, że wyciągnięcie każdej karty jest jednakowo prawdopodobne, mamy ) ( P A = ) ( P A B∩ = ) ( P B = ). , , 4 52 ( P A B ) ∪ = 13 52 ( ( P A P B + ) ) − . 1 52 ( P A B ) ∩ = Zatem 4 52 + 13 52 − 1 52 = 4 13 . Przykład 3. Niech A i B będą takimi zdarzeniami, że Obliczmy ) ( P A B . ( ) P B i \ ( P A ) = 1 3 , ( P A B )∪ = 5 6 , P A B∩( ) = 1 6 . ( ( P A P B + ) ) − ( P A B , więc ∩ ) 5 6 = + 1 3 ( P B ) − . 1 6 Ponieważ Stąd ( P B ) ∪ = ( P A B ) = 2 3 . 32 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę Zauważmy, że A ( = ∩ ∪ \ A B ) ( ) A B . Zdarzenia ∩A B i \A B wykluczają się, więc ( P A ) = ( P A B ) ∩ + ( P A B , czyli ) \ 1 3 = + 1 6 ( P A B . Stąd ) \ ( P A B \ ) = 1 6 . ,A B ⊂ Ω oraz ( P A ) = ( P B′ ) , to 1 ( P A B∪ ≥ . 2 ) ) − ( P A B ) ∩ = ( P A ) + − 1 ( P B ′ ) − ( P A B ∩ = − 1 ) ( P A B ) ∩ , Przykład 4. Udowodnijmy, że jeśli Ponieważ ( ) ∪ = P A B więc: ( P A B (1) Ponieważ A B A B ( ( P A P B ( P A B + ) ) ) 1 ∪ + ∩ = . ∩ ⊂ ∪ , to ) to 1 2 ( P A B Gdyby P A B∪( ( P A B∩ i równość (1) byłaby nieprawdziwa. Wynika stąd, że ( P A B ) ∩ ≤ ) ∪ . , ) 1 2 1 ( P A B∪ ≥ . 2 ) Przykład 5. W turnieju piłkarskim uczestniczy 14 drużyn, które rozdziela się losowo na dwie grupy po 7 drużyn w każdej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia tego, że drużyna A oraz B są w różnych grupach. Aby dwie ustalone drużyny A i B znalazły się w różnych grupach, należy wybrać po 6 dru- żyn z pozostałych 12 na sposobów i dołączyć do nich odpowiednio drużyny A i B. 12 6       1 2 ⋅ 2  ⋅  12 6    . Analogicznie Ponieważ ważne są tylko składy grup, więc takich podziałów jest liczymy liczność zbioru zdarzeń elementarnych. Stąd    = P = ⋅ 1 2 1 2 2 12  ⋅ 6  14   7   ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ 14 13 12 11 10 9 8 ⋅ ⋅ 12 11 10 9 8 7 ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4 5 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 4 5 6 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ 12 11 10 9 8 7 ⋅ 13 12 11 10 9 8 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = . 7 13 Przykład 6. W urnie znajduje się n kul, w tym n1 kul białych i n2 kul czarnych ( . Losujemy bez zwracania (np. jednocześnie) k kul. Obliczmy prawdopodobieństwo tego, że wśród wylosowanych kul jest k1 kul białych i k2 kul czarnych ( ) Zapiszmy rozkład kul w urnach i rozkład losowanych kul w następujący sposób: n k n n 1 + + = = n 2 k 2 k 1 czarne n 2 k 2 białe n 1 k 1 + = = + k ) . Liczność zbioru Ω jest równa liczbie k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elemen- towego, tj. n     k   . Liczność zdarzenia, którego prawdopodobieństwo obliczamy, jest *1.5. Własności prawdopodobieństwa 33 Kup książkęPoleć książkę n 1 k 1    n 2 k 2    , gdyż ze zbioru n1 kul białych losujemy k1 kul białych, co można zrobić równa        bić na    na   n 1 k 1 sposobów, oraz ze zbioru n2 kul czarnych losujemy k2 kul czarnych, co można zro- n 2 k 2 sposobów. Następnie każdy podzbiór kul białych łączymy z każdym podzbio-    rem kul czarnych. Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc P =    .    n n  2 1  k k  2 1 n     k   Schemat losowania można uogólnić np. na trzy rodzaje kul: białe, czarne, zielone. Mamy: białe n 1 k 1 czarne zielone n 2 k 2 n 3 k 3 + + = = + + n k    n 1 k 1 Wówczas: n   2   k   2 n     k   P = n 3 k 3    Zadania 1 Rzucamy kostką 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym choć raz wypadnie jedynka? 2 Z urny zawierającej 2 kule białe i 6 czerwonych losujemy ze zwracaniem 3 kule. Ob- licz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich będzie biała. 3 Z urny zawierającej dwa razy więcej kul białych niż czarnych losujemy n razy po jed- nej kuli, zwracając za każdym razem kulę do urny. Dla jakiej wartości n prawdopodobień- stwo wylosowania co najmniej raz kuli białej jest większe od 0,9? 4 Niech Ω będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych i A ⊂ Ω, B ⊂ Ω. Oblicz ( P A B∩ , wiedząc, że ( P A B∪ = , P A( , ) ) 5 8 ) = 1 2 3 ( P B′ = . 4 ) 34 Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa Kup książkęPoleć książkę SKOROWIDZ Ω, 24, 25, 28 A aksjomaty, 90 aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, 46–48 Archimedes, 135 asymptota pionowa funkcji, 159 pozioma funkcji, 154 ukośna funkcji, 155 B badana cecha, 60 badanie monotoniczności funkcji, 172, 184–187 przebiegu zmienności funkcji, 201–203 C Cauchy Augustin, 163 ciągłość funkcji, 166–169 częstość cechy, 60, 61 względna, 27 czworościan foremny, 98 D definicja granicy funkcji Cauchy’ego, 163 doświadczenie losowe, 24 druga pochodna funkcji, 200 drzewa, 43–45 E ekstrema lokalne funkcji, 189–195 elipsa, 126, 131 empiryczny rozkład cechy, 60–63 F funkcja ciągła w przedziale domkniętym, 166 ciągła w przedziale otwartym, 166, 167 ciągła w punkcie, 166, 167, 174 ciągła, 166–169 232 Skorowidz malejąca, 185, 187 rosnąca, 185 różniczkowalna w punkcie, 173, 174 si
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 3
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: