Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00044 005193 15188588 na godz. na dobę w sumie
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkoły podstawowej. Klasa 5 - książka
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkoły podstawowej. Klasa 5 - książka
Autor: , Liczba stron: 280
Wydawca: Helion Edukacja Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-246-1770-8 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> szkoła podstawowa
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Podręcznik jest zgodny z nową podstawą programową.

Numer ewidencyjny w wykazie MEN: 388/2/2013


Dobre wyniki z matematyki!

Ten podręcznik jest niczym najlepszy kolega każdego piątoklasisty - nie dość, że zawsze w pobliżu, to jeszcze prymus! W przystępny sposób wyjaśni, jak wykonać pewne matematyczne czynności lub wytłumaczy trudne zwroty. Podpowie, jak odjąć ułamki i podsunie wzór na pole trójkąta. Z łatwością także pomoże opanować przestrzeń graniastosłupa. Dzięki niemu uczeń bez problemów opanuje przygotowane dla niego sześć rozdziałów z zakresu liczb i figur geometrycznych.

Do zestawu została dołączona wyjątkowa płyta multimedialna, zawierająca mnóstwo zadań interaktywnych, animacji, gier edukacyjnych, zabaw oraz ćwiczeń dodatkowych z poszczególnych działów.

Kompletny zestaw Matematyka Europejczyka. Klasa 5 stanowią podręcznik + zbiór zadań + trzy zeszyty ćwiczeń. Zestaw podręczników, zbiorów zadań i zeszytów ćwiczeń z serii Matematyka Europejczyka wydawnictwa Helion pozwala uczniom zdobywać wiedzę poprzez zabawę, a nauczycielom ułatwia przekazywanie nowego materiału w interesujący i niebanalny sposób.

Matematyka Europejczyka - to się liczy!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

• Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność SpiS treści Witajcie,Piątoklasiści! s. 6 Rozdział 1.  Liczby naturalne s. 9 1.1.Odczytywanieizapisywanieliczb wdziesiątkowymsystemiepozycyjnym s. 10 1.2.Porównywanieliczb,ośliczbowa s. 15 1.3.Szacowaniewyników s. 18 1.4.Dodawanieiodejmowanieliczbnaturalnych s. 21 1.5.Mnożeniepamięcioweipisemne s. 25 1.6.Dzieleniepamięcioweipisemne s. 30 1.7.Kolejnośćwykonywaniadziałań s. 34 1.8.Pracazkalkulatorem s. 36 1.9.Tabele—odczytywanieitworzenie s. 39 1.10.Równania s. 43 1.11.Dzielnikiiwielokrotnościliczbnaturalnych s. 49 1.12.Cechypodzielnościliczbnaturalnych s. 52 1.13.Liczbypierwszeiliczbyzłożone s. 55 1.14.Rozkładliczbnaczynnikipierwsze s. 58 Rozdział 2.  Ułamki zwykłe s. 61 2.1.Ułamkiiliczbymieszane s. 62 2.2.Ułamekjakoiloraz s. 68 2.3.Rozszerzanieiskracanieułamkówzwykłych s. 71 2.4.Sprowadzanieułamkówdowspólnegomianownika s. 76 2.5.Porównywanieułamkówzwykłych s. 78 2.6.Ułamkizwykłenaosiliczbowej s. 81 Spistreści 3 Kup książkęPoleć książkę 2.7.Dodawanieiodejmowanieułamków ojednakowychmianownikach s. 83 2.8.Dodawanieułamkóworóżnychmianownikach s. 87 2.9.Odejmowanieułamkóworóżnychmianownikach s. 89 2.10.Mnożenieułamkówzwykłychprzezliczbynaturalne s. 92 2.11.Obliczanieułamkadanejliczby s. 96 2.12.Liczbaijejodwrotność s. 99 2.13.Dzielenieułamkówprzezliczbynaturalne s. 100 Rozdział 3.  Ułamki dziesiętne s. 105 3.1.Zapisułamkówdziesiętnych s. 106 3.2.Odczytywanieułamkówdziesiętnych s. 109 3.3.Zamianaułamkówzwykłychnadziesiętne s. 111 3.4.Ułamkidziesiętnenaosiliczbowej s. 113 3.5.Równośćułamkówdziesiętnych s. 115 3.6.Porównywanieułamkówdziesiętnych s. 117 3.7.Dodawaniepamięcioweułamkówdziesiętnych s. 120 3.8.Dodawanieułamkówdziesiętnychsposobempisemnym s. 123 3.9.Odejmowaniepamięcioweułamkówdziesiętnych s. 125 3.10.Odejmowanieułamkówdziesiętnychsposobempisemnym s. 127 3.11.Mnożenieułamkówdziesiętnychprzezliczbynaturalne s. 130 3.12.Dzielenieułamkówdziesiętnychprzezliczbynaturalne s. 133 3.13.Mnożenieidzielenieułamkówdziesiętnych przez10,100,1000itd. s. 136 3.14.Szacowaniewynikówdziałańnaułamkachdziesiętnych s. 140 3.15.Pojęcieprocentu s. 142 Rozdział 4.  Figury płaskie s. 147 4.1.Podstawowefigurygeometryczne s. 148 4.2.Prosteorazodcinkirównoległeiprostopadłe s. 151 4.3.Odległośćpunktuodprostej s. 156 4 Spistreści Kup książkęPoleć książkę 4.4.Rodzajekątów s. 158 4.5.Kątyprzyległeiwierzchołkowe s. 163 4.6.Wielokąty,obwódwielokąta s. 168 4.7.Trójkątijegowłasności s. 173 4.8.Rodzajetrójkątów s. 176 4.9.Konstrukcjetrójkątów s. 181 4.10.Prostokątikwadrat s. 185 4.11.Równoległobokiromb s. 190 4.12.Trapez s. 195 4.13.Klasyfikacjaczworokątów s. 198 4.14.Wielokątywskali s. 201 Rozdział 5.  Pola wielokątów s. 207 5.1.Polefigury s. 208 5.2.Jednostkipola s. 211 5.3.Poleprostokątaikwadratu s. 214 5.4.Polerównoległoboku s. 218 5.5.Polerombu s. 222 5.6.Wysokościtrójkąta s. 225 5.7.Poletrójkąta s. 230 5.8.Poletrapezu s. 232 Rozdział 6. Figury przestrzenne s. 237 6.1.Prostopadłościany s. 239 6.2.Graniastosłupyproste s. 247 6.3.Siatkiprostopadłościanów s. 249 6.4.Siatkigraniastosłupów s. 255 6.5.Polepowierzchniprostopadłościanów s. 257 Odpowiedzi s. 263 Spistreści 5 Kup książkęPoleć książkę WitAJcie, piĄtOKLASiści! Oto ja, Wasz podręcznik. Od dzisiaj to właśnie ze mną będziecie się uczyć matematyki. Z podręcznikiem tego samego wydawnictwa spotykaliście się w klasie czwartej, a ja jestem jego kontynuacją. Zawieram informacje o liczbach i (cid:143) gurach geometrycznych. Przypomnę Wam, o czym uczyliście się w ubiegłym roku i podam wiele nowych wiadomości. Ten, kto nie zna matematyki, nie może poznać innych nauk ścisłych i nie może poznać świata — napisał Roger Bacon, angielski (cid:143) lozof średniowieczny. To zdanie do dziś nie traci na swej aktualności. Bez matematyki niemożliwe byłyby osiągnięcia w dziedzinie (cid:143) zyki, chemii czy astronomii. Bez znajomości podstawowych reguł matematycznych niezwykle trudne byłoby funkcjonowanie w otaczającej nas rzeczywistości. Opowiem Wam, jak wyglądam. Podzielony jestem na sześć rozdziałów. Każdy z nich zaczyna się ilustracją związaną z jego treścią. Na końcu rozdziału znajdują się zadania utrwalające. Rozwiązując je, sprawdzicie, czy dobrze zrozumieliście i zapamiętaliście wiadomości z tego rozdziału oraz czy potra(cid:143) cie je stosować. Każdy rozdział składa się z podrozdziałów, z którymi będziecie zapoznawali się na jednej, dwóch lub trzech lekcjach. Podrozdział zawiera omówienie treści lekcji, przykłady, ćwiczenia i zadania. Wyróżnione są one w tekście w następujący sposób: — przykład pokazuje, w jaki sposób wykonać pewne matematyczne czynności. — ćwiczenie to bardzo proste zadanie, które należy wykonać, by utrwalić podstawowe umiejętności. 6 Witajcie,Piątoklasiści! Kup książkęPoleć książkę ROZDZIAŁ 5. POLA WIELOKĄTÓW 5.1. Pole fi gury s. 208 5.2. Jednostki pola s. 211 5.3. Pole prostokąta i kwadratu s. 214 5.4. Pole równoległoboku s. 218 5.5. Pole rombu s. 222 5.6. Wysokości trójkąta s. 225 5.7. Pole trójkąta s. 230 5.8. Pole trapezu s. 232 ćwiczenie przykład defi nicja zwróć uwagę płyta CD zadania trudniejsze zadania testowe zadania grupowe zapamiętaj ciekawostka łamigłówka Kup książkęPoleć książkę Przyjrzyj się uważnie rysunkowi i odpowiedz na pytania: Które obrazy mają kształt prostokątów? 1 Który obraz ma kształt kwadratu? 2 Który obraz zajmuje najwięcej miejsca na ścianie, a który najmniej? 3 Czy dłuższą ramkę ma obrazek z kleksami czy z kwiatami? 4 5.1. Pole figury Oto podłogi w pokojach dwóch braci: Maćka i Romka. Podłoga w pokoju Maćka ma wymiary 4 m × 4 m, a w pokoju Romka — 3 m × 5 m. 4 m Pokój Maćka Pokój Romka 3 m 4 m 5 m 208 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Pokój Romka jest dłuższy. Czy wobec tego jest większy? Pokój Maćka jest szerszy. Czy wobec tego jest większy? Pokój Romka ma długość większą o 1 m od pokoju Maćka. Szerokość tego pokoju jest mniejsza niż szerokość pokoju Maćka — również o 1 m. Czy wobec tego oba pokoje są tej samej wielkości? Problem ten rozwiązał tata chłopców, który postanowił podłogi w ich pokojach wyłożyć kwadratowymi płytami o wymiarach 1 m × 1 m. Ile takich płyt należy ułożyć w pokoju Maćka, a ile w pokoju Romka? Czyj pokój jest większy? W udzieleniu odpowiedzi na te pytania pomogą rysunki: W pokoju Maćka ułożono 16 płyt, a w pokoju Romka — 15 płyt. Pokój Maćka jest w związku z tym większy od pokoju Romka. Mówimy, że podłoga w pokoju Maćka ma większą powierzchnię lub — w sposób bardziej poprawny matematycznie — że ma większe pole. Obliczanie pola jest sposobem na przedstawienie wielkości fi gury. Ćwiczenie 1. Przypatrz się rysunkom i odpowiedz, w którym pokoju podłoga ma największą powierzchnię? pokój Ani pokój Basi pokój Jacka Rozdział 5. Pola wielokątów 209 Kup książkęPoleć książkę Aby porównać pola kilku fi gur, należy wypełnić te fi gury jednakowymi elementami: 18 12 16 Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Ile kwadratów Ile kwadratów a) a) mieści się w każdej z fi gur? b) b) c) c) Ćwiczenie 3. Ile trójkątów pole? a) mieści się w każdej z fi gur? Która fi gura ma najmniejsze b) c) Elementami wypełniającymi fi gurę są najczęściej kwadraty: 20 19 210 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Zadania 1 Narysuj trzy różne fi gury, których pole wynosi 28 kwadratów: . 2 Narysuj trzy różne fi gury, w których mieści się 15 prostokątów: . 5.2. Jednostki pola Tata Ani i Ewy wyłożył podłogi w ich pokojach drewnianymi płytami. 4 m 3 m 4 m 3 m pokój Ani pokój Ewy Aby porównać powierzchnię podłóg pokojów obu dziewczynek, należy pokój Ani podzielić na takie same elementy, na jakie został podzielony pokój Ewy, czyli na kwadraty o wymiarach 1 m × 1 m. Na podłodze w pokoju Ani zmieści się 16 kwadratów o wymiarach 1 m × 1 m, a w pokoju Ewy — tylko 9 takich kwadratów. A zatem większy jest pokój Ani. Jeżeli chcemy podać pole mniejszej fi gury (np. prostokąta wyznaczanego przez blat stołu), posłużymy się kwadratami o wymiarach 1 dm × 1 dm. Możemy też użyć kwadratów o wymiarach 1 cm × 1 cm lub 1 mm × 1 mm. Rozdział 5. Pola wielokątów 211 Kup książkęPoleć książkę Pola kwadratów o bokach 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km to jednostki pola. Mają one ustalone nazwy: 1 m2 (czytamy: 1 metr kwadratowy) to pole kwadratu o boku 1 m. 1 dm2 (czytamy: 1 decymetr kwadratowy) to pole kwadratu o boku 1 dm. 1 cm2 (czytamy: 1 centymetr kwadratowy) to pole kwadratu o boku 1 cm. 1 mm2 (czytamy: 1 milimetr kwadratowy) to pole kwadratu o boku 1 mm. Kwadraty o polach 1 cm2 i 1 mm2 wyglądają następująco: 1 cm(cid:27) 1 mm(cid:27) Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Narysuj w zeszycie kwadrat o polu 1 dm2 i podziel go na kwadraty Narysuj w zeszycie kwadrat o polu 1 dm o polach 1 cm2. Ile cm2 mieści się w 1 dm2? o polach 1 cm Jeżeli w fi gurze mieści się 17 kwadratów o boku 1 cm, to mówimy, że pole fi gury wynosi 17 centymetrów kwadratowych, co zapisujemy krótko: P = 17 cm(cid:24) pole Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Z 4 kwadratów o boku 1 cm złóż dowolną fi gurę. Oblicz pole tej fi gury. Z 4 kwadratów o boku 1 cm złóż dowolną fi gurę. Oblicz pole tej fi gury. Ćwiczenie 3. Ile kwadratów o polu 1 cm2 zawiera prostokąt o wymiarach 5 cm × 8 cm? Ćwiczenie 4. Ile płytek w kształcie kwadratów o polu 1 dm2 zmieści się w prostokątnej kuchni o wymiarach 8 m × 4 m? 212 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Zadania 1 Podaj w cm2 pola narysowanych fi gur: a) b) c) d) 2 Narysuj 3 różne fi gury o polu równym 8 cm2. 3 Narysuj 3 różne prostokąty o obwodzie 12 cm. Zapisz, ile wynosi pole każdego z nich. 4 Wspólnie z kolegą lub koleżanką narysujcie na osobnej kartce 10 fi gur, takich że pole pierwszej wyniesie 20 cm2, a pole każdej kolejnej będzie o 1,5 cm2 mniejsze. Jakie pole będzie miała dziesiąta fi gura? Rozdział 5. Pola wielokątów 213 Kup książkęPoleć książkę 5.3. Pole prostokąta i kwadratu Przykład 5.1. Długość prostokąta wynosi 12 cm, a szerokość 3 cm. Jakie jest pole tego prostokąta? Policzmy, ile kwadratów o polu 1 cm2 zmieści się w tym prostokącie. 1 13 25 2 14 26 3 15 27 4 16 28 5 17 29 12 cm 6 18 30 7 19 31 8 20 32 9 21 33 10 22 34 11 23 35 12 24 36 3 cm P = 36 cm2. Nie każdą fi gurę można narysować (może być na przykład za duża). Dlatego należy ustalić sposób obliczania pola dowolnego prostokąta. Nie trzeba dzielić prostokąta na kwadraty o polu 1 cm2 i liczyć ich po kolei. Można powiedzieć, że w prostokącie są trzy rzędy, a w jednym rzędzie znajduje się 12 kwadracików. Zatem prostokąt składa się z 36 kwadracików (bo 12 3 36 ⋅ = ). koniec przykładu 5.1. Zauważmy, że 12 i 3 to liczby centymetrów, które są długością i szerokością prostokąta. Jeżeli więc znamy wymiary prostokąta, to aby obliczyć jego pole, należy pomnożyć długość przez szerokość. P = 12 cm · 3 cm = 36 cm2 P = 12 cm · 3 cm = 36 cm Pole prostokąta = długość · szerokość Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Oblicz pola prostokątów o wymiarach: Oblicz pola prostokątów o wymiarach: a) 10 cm × 20 cm, a) 10 cm × 20 cm, b) 16 cm × 5 cm, b) 16 cm × 5 cm, c) 20 cm × 30 cm. c) 20 cm × 30 cm. 214 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Przykład 5.2. Oblicz pole prostokąta o długości 6 cm i szerokości 3 mm. Ponieważ wymiary prostokąta podane są w centymetrach i milimetrach, najpierw należy długość i szerokość zapisać w jednakowych jednostkach. Oba wymiary potrafi my zapisać w milimetrach: długość: 6 cm = 60 mm, szerokość: 3 mm. P = 60 mm · 3 mm = 180 mm2. Pole prostokąta wynosi 180 mm2. Oba wymiary potrafi my zapisać w centymetrach: długość: 6 cm, szerokość: 3 mm = 0,3 cm. P = 6 cm · 0,3 cm = 1,8 cm2. Pole prostokąta wynosi 1,8 cm2. koniec przykładu 5.2. Ćwiczenie 2. Oblicz pola prostokątów o wymiarach: a) 3 dm × 20 cm, b) 9 cm × 6 dm, d) 2 cm × 2,3 dm, e) 5,1 cm × 2 cm, c) 4 m × 7 dm, f) 11 2 m × 4 m. Oznaczmy boki prostokąta literami a i b. b Wówczas pole prostokąta obliczymy według wzoru a b⋅ P a b = ⋅ . a Przykład 5.3. Oblicz pole kwadratu o boku 8 cm. 8 rzędów, a w każdym rzędzie po 8 kwadracików 8 · 8 8 rzędów, a w każdym rzędzie po 8 kwadracików 8 · 8 P = 8 cm · 8 cm = 64 cm2 długość szerokość koniec przykładu 5.3. Rozdział 5. Pola wielokątów 215 Kup książkęPoleć książkę Zauważ, że pole kwadratu obliczamy tak samo jak pole prostokąta (czyli mnożąc jego długość i szerokość). Nic dziwnego — przecież kwadrat też jest prostokątem. a Oznaczmy długość boku kwadratu literą a. Wówczas pole kwadratu obliczamy ze wzoru: P a a = ⋅ P a = 2 a Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Oblicz pole kwadratu o boku: Oblicz pole kwadratu o boku: a) 7 dm, b) 10 m, e) 12 m, d) 13 cm, c) 8 mm, f) 25 dm. Zadania 1 Działka państwa Kowalskich jest prostokątem o długości 28m i szerokości 13m. Oblicz powierzchnię tej działki. 2 Na ścianie zawieszono dwa obrazy, a pomiędzy nimi lustro. Obraz po lewej stronie ma wymiary 3dm × 7dm, a obraz po prawej stronie — 4dm × 6dm. Lustro ma wysokość 1m, a szerokość 50cm. Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy oba obrazy zajmują razem większą powierzchnię niż lustro. 3 Trawnik przed domem pana Andrzeja jest prostokątem o wymiarach 14m × 3m. Pan Andrzej chce zasiać na nim trawę. Ile paczek z nasionami trawy musi kupić? 4 Jaką długość ma bok kwadratu o polu 36m2? 216 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę 5 Jakie wymiary może mieć prostokąt o polu 24 cm2? Podaj kilka możliwości. Narysuj jeden z nich. 6 Dom, którego długość i szerokość mają po 15 m, wybudowano na prostokątnej działce o wymiarach 20 m × 25 m. Całą powierzchnię działki dookoła domu zajmuje trawnik. Jaka jest powierzchnia całej działki, a jaka trawnika? Ile kosztowała ta działka, jeżeli za 1 m2 trzeba było zapłacić 350 zł? 7 W łazience państwa Kowalskich trzeba ułożyć kafelki na powierzchni 5 m × 3 m. Ile m2 kafelków należy kupić? Ile państwo Kowalscy zapłacą za te kafelki, jeżeli 1 m2 kafelków kosztuje 21,50 zł? 8 Jeden z boków prostokąta ma 5 dm. Jaką długość ma drugi bok, jeżeli pole tego prostokąta wynosi 40 dm2? A. 35 dm B. 20 dm C. 8 dm D. 4 dm 9 Na dużej kartce papieru w kratkę (A4) narysujcie plan prostokątnej działki o wymiarach 18 m × 28 m w skali 1 : 100. a) Narysujcie kwadrat w miejscu, gdzie będzie się znajdować altanka. Zaznaczcie wejście na działkę i ścieżkę prowadzącą od wejścia do altanki. b) Narysujcie prostokąty w miejscach, gdzie planujecie posadzić kwiaty i warzywa. c) Zaznaczcie małymi kółkami miejsca, gdzie posadzicie drzewa owocowe. d) Jak chcielibyście zagospodarować pozostałą część działki? e) Jakie wymiary ma Wasza altanka na rysunku, a jakie w rzeczywistości? Jakie ma pole? f) Jakie wymiary i pole na rysunku i w rzeczywistości ma część działki przeznaczona pod uprawę kwiatów, a jakie — część warzywna? g) Jaka jest najmniejsza odległość między dwoma „posadzonymi” przez Was drzewami? Utwórzcie tabelę, w której znajdą się wszystkie odpowiedzi na powyższe pytania. Rozdział 5. Pola wielokątów 217 Kup książkęPoleć książkę 5.4. Pole równoległoboku Trzech chłopców zabrało się do pomiaru swojego wzrostu. Który z nich zmierzył go poprawnie? Poprawnie zmierzył swój wzrost tylko Michał, ponieważ wysokość mierzymy, stojąc prostopadle do podłoża. Ciekawostka Ciekawostka Aby pokazać, że wysokość należy mierzyć prostopadle do podstawy, można posłużyć się przykładem krzywych wież. Najsłynniejszą jest Krzywa Wieża w Pizie (Włochy), ale i w Polsce można znaleźć podobne krzywe wieże. Jak zmierzyć ich wysokość? Żółtym odcinkiem zaznaczono na fotografi ach wysokość, a zielonym — poziom podłoża (podstawę). Krzywa Wieża w Pizie Krzywa Wieża w Toruniu Krzywa Wieża w Ząbkowicach Śląskich 218 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 1. Narysuj dowolny równoległobok ABCD. Zmierz odległość wierzchołka D od boku AB, wcześniej rysując odpowiedni odcinek. Odcinek, który narysowałeś, to wysokość równoległoboku. Długość wysokości najczęściej oznacza się małą literką h. Można też używać symboli h1, h2, h3, ... Bok, na który została opuszczona wysokość, nazywamy podstawą równoległoboku. A D h C B Długość wysokości równoległoboku jest równa odległości między jego równoległymi bokami. Ćwiczenie 2. Narysuj równoległobok KLMN, a następnie z wierzchołka M poprowadź wysokość. Ile jest takich wysokości? Ponieważ równoległobok ma dwie pary boków równoległych, ma on też dwie różne wysokości. Z każdego wierzchołka równoległoboku można poprowadzić dwie wysokości. D h(cid:26) h(cid:25) C A B h(cid:25) D C h(cid:26) A B Ćwiczenie 3. Narysuj równoległobok ABCD. Z wierzchołka A wykreśl dwie wysokości. Rozdział 5. Pola wielokątów 219 Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 4. Ćwiczenie 4. Narysuj równoległobok ABCD i wysokość łączącą wierzchołek D Narysuj równoległobok z bokiem AB. Na jakie fi gury wysokość podzieliła ten równoległobok? z bokiem W ćwiczeniu 4. otrzymałeś trójkąt i trapez. h a h Jeżeli przetniemy równoległobok wzdłuż wysokości i otrzymany żółty trójkąt przeniesiemy na prawą stronę równoległoboku, otrzymamy prostokąt. h a Aby obliczyć pole prostokąta, pomnożymy jego długość przez szerokość, czyli P = a · h. A ponieważ prostokąt ten zbudowaliśmy z równoległoboku, więc pole tego równoległoboku określa wzór P = a · h. P = a · h a — długość podstawy równoległoboku, h — długość wysokości równoległoboku opuszczonej na podstawę równoległoboku. h a 220 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 5. Oblicz pola narysowanych równoległoboków: a) b) 4 dm dm8 1 2 4 cm 5 cm c) 5,5 cm 9 cm 8 cm Ćwiczenie 6. Narysuj dowolny równoległobok, zmierz potrzebne odcinki i oblicz jego pole. Ćwiczenie 7. Oblicz pole równoległoboku, którego bok ma długość 400 mm, a wysokość opuszczona na ten bok wynosi 200 mm. Ćwiczenie 8. Narysuj dowolny równoległobok ABCD. Z wierzchołka A wykreśl obie wysokości. Zmierz potrzebne odcinki i oblicz pole tego równoległoboku dwoma sposobami, wykorzystując dwie wysokości. Obliczając pole dwoma sposobami, otrzymałeś ten sam wynik, więc: h(cid:27) P = a · h(cid:25) P = b · h(cid:23) b a · h(cid:25) = b · h(cid:23) h(cid:28) a Rozdział 5. Pola wielokątów 221 Kup książkęPoleć książkę Zadania 1 W poniższych równoległobokach oblicz długości odcinków oznaczonych znakiem zapytania: a) b) c) d) ? P = 36 cm(cid:21) 12 cm ? m(cid:22) 0 d P = 3 5 dm P = 18 dm(cid:22) ? 6 dm 10 m 12 m ? 6 m B. 30 mm 2 Boki w równoległoboku są równe 80 mm i 7 cm. Wysokość opuszczona na krótszy bok ma długość 4 cm. Ile wynosi długość drugiej wysokości? A. 3,5 cm 3 Pole równoległoboku jest równe 24 m2. Jeden z jego boków ma długość 6 m. Jaką długość ma wysokość opuszczona na ten bok? 4 W równoległoboku jeden z boków ma długość 15 cm, natomiast wysokość opuszczona na ten bok jest od niego 2 razy dłuższa. Pole tego równoległoboku wynosi: A. 60 cm2 C. 450 cm2 B. 120 cm2 D. 900 cm2 C. 35 cm D. 45 mm 5.5. Pole rombu Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Narysuj romb i oblicz jego pole za pomocą wzoru na pole Narysuj romb i oblicz jego pole za pomocą wzoru na pole równoległoboku. Dlaczego możemy skorzystać z tego wzoru? równoległoboku. Dlaczego możemy skorzystać z tego wzoru? Ćwiczenie 2. Narysuj romb i jego przekątne. Jakie fi gury otrzymałeś? 222 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Przekątne rombu dzielą ten czworokąt na cztery identyczne trójkąty prostokątne. Przetniemy teraz nasz romb wzdłuż przekątnej e, a następnie wzdłuż jednego z zielonych odcinków. Powstałe trójkąty prostokątne przeniesiemy tak, jak pokazano na rysunku. f e a a a a e 2 e f 2 f 2 e 2 a a f 2 e 2 to połowa przekątnej f. to połowa przekątnej e. W ten sposób otrzymaliśmy prostokąt o bokach długości e i obliczymy, mnożąc długość przez szerokość, czyli P = e f⋅ . 2 f 2 . Jego pole e 2 f 2 e 2 f 2 e f 2 Ponieważ prostokąt powstał z rombu, więc pole rombu także określa wzór: P = e f⋅ 2 Rozdział 5. Pola wielokątów 223 Kup książkęPoleć książkę f e P e f ⋅ = 2 e, f — długości przekątnych rombu. Ćwiczenie 3. Ćwiczenie 3. Oblicz pola rombów o podanych poniżej wymiarach: Oblicz pola rombów o podanych poniżej wymiarach: a) b) 5 cm 2 dm 4 cm 16 cm c) cm7 1 2 d) 4,2 cm 3 cm 10 cm Ćwiczenie 4. Długości przekątnych rombu wynoszą 9 cm i 80 mm. Oblicz pole tego rombu. Ćwiczenie 5. Jaką długość ma bok rombu, gdy jego wysokość ma długość 4,5 cm, a pole wynosi 27 cm2? Ćwiczenie 6. Oblicz pole rombu, którego jedna przekątna ma długość 40 cm, a druga jest od niej o 20 cm dłuższa. 224 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Zadania 1 Ile materiału potrzeba na zbudowanie latawca w kształcie rombu, jeżeli listewki mają długość 50 cm i 90 cm? 2 Pole rombu o wysokości równej 6 cm wynosi 54 cm2. Jaka jest długość boku rombu? 3 Narysuj romb o polu równym 10 cm2. 4 Oblicz długość drugiej przekątnej rombu, jeżeli pierwsza ma długość 5 cm, natomiast pole tego rombu wynosi 30 cm2. 5.6. Wysokości trójkąta Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem pod kątem prostym. Długość wysokości jest równa odległości wierzchołka trójkąta od przeciwległego boku. Bok, na który została opuszczona wysokość, nazywamy podstawą trójkąta. C h A B C h(cid:25) h(cid:27) h(cid:26) A B Trójkąt ma trzy wierzchołki, więc ma także trzy wysokości. Rozdział 5. Pola wielokątów 225 Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Wykorzystując ekierkę, sprawdź, które z rysunków przedstawiają trójkąt Wykorzystując ekierkę, sprawdź, które z rysunków przedstawiają trójkąt z prawidłowo narysowaną wysokością. z prawidłowo narysowaną wysokością. a) C h B b) F h A d) L K h M D e) O h I g) B h C h) F h G D E J c) H h G h S f) P R N J i) H h E I 226 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Przykład 5.4. C Narysuj trzy wysokości w trójkącie ostrokątnym ABC. A B 1. Rysujemy pierwszą wysokość z punktu C. Przeciwległym bokiem do wierzchołka C jest bok AB, więc wysokość musi być prostopadła do tego odcinka. Za pomocą ekierki rysujemy wysokość h1. C h(cid:27) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 A B 3. Rysujemy teraz trzecią wysokość opuszczoną z wierzchołka B na przeciwległy bok AC. Za pomocą ekierki rysujemy wysokość h3. 9 8 7 C 6 5 1 0 4 3 2 h(cid:27) A B 2. Rysujemy teraz drugą wysokość z wierzchołka A. Przeciwległym bokiem do wierzchołka A jest bok BC, więc wysokość jest odcinkiem prostopadłym do boku BC. Za pomocą ekierki rysujemy wysokość h2. C A h(cid:27) 0 1 2 33 4 B 5 6 7 8 9 4. W ten sposób otrzymaliśmy wszystkie trzy wysokości trójkąta ABC. C h(cid:25) h(cid:27) B h(cid:26) A koniec przykładu 5.4. Ćwiczenie 2 Narysuj dwa trójkąty ostrokątne i wyznacz w nich wysokości. Rozdział 5. Pola wielokątów 227 Kup książkęPoleć książkę Przykład 5.5. Narysuj trzy wysokości w trójkącie rozwartokątnym ABC. C A 1. Rysujemy pierwszą wysokość z punktu C. Przeciwległym bokiem do wierzchołka C jest bok AB, więc wysokość musi być prostopadła do tego odcinka. Aby narysować tę wysokość, przedłużymy bok AB. C A B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. Rysujemy teraz drugą wysokość z wierzchołka A. Przeciwległym bokiem do wierzchołka A jest bok BC, więc wysokość jest odcinkiem prostopadłym do tego boku. Za pomocą ekierki rysujemy wysokość h2. C h(cid:27) 0 1 2 3 4 A 5 66 B 7 8 9 228 Rozdział 5. Pola wielokątów B 2. Teraz już z łatwością można narysować wysokość h1  przy użyciu ekierki. C h(cid:27) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 A B 4. Rysujemy teraz trzecią wysokość opuszczoną z wierzchołka B na przeciwległy bok AC. Aby narysować tę wysokość, przedłużymy bok AC. 0 1 2 3 4 5 C 6 7 8 9 B A 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 Kup książkęPoleć książkę 5. Teraz już z łatwością można narysować wysokość h3 za pomocą ekierki. 6. W ten sposób otrzymaliśmy wszystkie trzy wysokości trójkąta ABC. C 9 8 7 6 5 4 3 2 A 1 0 h(cid:27) B C h(cid:25) h(cid:26) A B h(cid:27) koniec przykładu 5.5. Ćwiczenie 3. Narysuj trzy różne trójkąty rozwartokątne i w każdym z nich wykreśl wysokości. Przykład 5.6. Narysuj wysokości w trójkącie prostokątnym. C h(cid:30) B h(cid:29) A Trzecią wysokość wyznaczamy za pomocą ekierki. C Ponieważ w trójkącie prostokątnym jeden kąt ma miarę 90°, więc boki przyległe do tego kąta są wysokościami trójkąta. W ten sposób otrzymaliśmy wszystkie wysokości w trójkącie ABC. C h(cid:30) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A h(cid:30) h(cid:25) B A h(cid:29) B Ćwiczenie 4. Narysuj trzy dowolne trójkąty prostokątne. Zaznacz w nich wysokości i podaj ich długości. koniec przykładu 5.6. Rozdział 5. Pola wielokątów 229 Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 5. Ćwiczenie 5. Narysuj dowolne trójkąty ostrokątny, rozwartokątny i prostokątny. Narysuj dowolne trójkąty ostrokątny, rozwartokątny i prostokątny. Poprowadź i zmierz w nich wszystkie wysokości. Poprowadź i zmierz w nich wszystkie wysokości. 5.7. Pole trójkąta Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Narysuj dowolny równoległobok ABCD i jego przekątną. Narysuj dowolny równoległobok Na jakie fi gury podzieliłeś ten równoległobok? Na jakie fi gury podzieliłeś ten równoległobok? D D A A h a C C B B Każda przekątna dzieli równoległobok na dwa identyczne trójkąty mające te same pola. Obliczymy teraz pole takiego trójkąta. Pole równoległoboku ABCD obliczymy ze wzoru: P = a · h. Skoro trójkąt ABD to połowa równoległoboku, więc pole trójkąta można obliczyć ze wzoru: a h⋅ 2 . A h B a C P a h ⋅ = 2 a — długość podstawy trójkąta, h — długość wysokości trójkąta opuszczonej na podstawę trójkąta. 230 Rozdział 5. Pola wielokątów Kup książkęPoleć książkę Ćwiczenie 2. Oblicz pola trójkątów, których wymiary są podane przy rysunkach. a) d) b) c) 1,2 dm 4 cm 3 cm 5 cm 4 cm 0,7 dm 10 cm 6 cm 6 cm 8 cm Zadania 1 Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego podstawa ma długość 10cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę jest od niej o 4cm dłuższa. 2 Narysuj trójkąt równoboczny o obwodzie równym 18cm. Oblicz pole tego trójkąta, mierząc najpierw jego wysokość. 3 Podstawa trójkąta jest równa 3 4 tę podstawę. Wysokość ta ma długość 16 cm. Pole tego trójkąta wynosi: A. 32cm2 Jaką długość ma wysokość opuszczona na tę podstawę? 5 Narysuj trójkąt o polu równym: 4 Podstawa trójkąta o polu 30cm2 ma długość 6cm. wysokości opuszczonej na B. 192cm2 C. 64cm2 D. 96cm2 a) 20cm2, b) 30cm2. 6 Obwód trójkąta równoramiennego o ramionach długości 10cm wynosi 32cm. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że wysokość opuszczona na jego podstawę jest o 4 cm krótsza od tej podstawy. Rozdział 5. Pola wielokątów 231 Kup książkęPoleć książkę 5.8. Pole trapezu Ćwiczenie 1. Ćwiczenie 1. Narysuj dowolny trapez, trapez równoramienny i trapez prostokątny. Narysuj dowolny trapez, trapez równoramienny i trapez prostokątny. W każdym z tych trapezów zaznacz odcinek prostopadły do obu W każdym z tych trapezów zaznacz odcinek prostopadły do obu podstaw. Zwróć uwagę, że w każdym trapezie możesz narysować kilka takich odcinków, ale wszystkie będą miały taką samą długość. D h A C B Odcinek łączący podstawy trapezu pod kątem prostym nazywamy wysokością trapezu. Ćwiczenie 2. Ćwiczenie 2. Zmierz wysokości trapezów, które narysowałeś w poprzednim Zmierz wysokości trapezów, które narysowałeś w poprzednim ćwiczeniu. ćwiczeniu. Znajdziemy teraz wzór na pole trapezu. Narysujmy dowolny trapez i oznaczmy długości jego podstaw jako a i b. Narysujmy też wysokość o długości h. Rozważmy teraz identyczny trapez tylko obrócony w sposób pokazany na rysunku. Połączmy teraz oba trapezy ramionami. Otrzymany w ten sposób równoległobok ma bok o długości a + b oraz opuszczoną na ten bok wysokość o długości h. h b a 232 Rozdział 5. Pola wielokątów h b a a h h b a b Kup książkęPoleć książkę
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla szkoły podstawowej. Klasa 5
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: