Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00162 009723 11027742 na godz. na dobę w sumie
Matematyka Europejczyka. Zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 2 - książka
Matematyka Europejczyka. Zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 2 - książka
Autor: , Liczba stron: 144
Wydawca: Helion Edukacja Język publikacji: polski
ISBN: 83-246-2408-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> matematyka europejczyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Dobre wyniki z matematyki!

Matematyka daje niesamowite możliwości. W tym roku nauczysz się rozkładać wielomian na czynniki, dojdziesz do granicy ciągu i wykonasz działania na wyrażeniach wymiernych. Ponadto poznasz funkcje i różne ich praktyczne zastosowania! A kiedy zaczniesz wreszcie obliczać kąty w kole, będzie to oznaczało tylko jedno: czas na planimetrię!

Matematyka Europejczyka. Zbiór zadań dla szkoły ponadgimnazjalnej. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 2 pozwoli Ci poznać kolejne z wielkich tajemnic matematyki. Dzięki zadaniom zawartym w tej książce zarówno wielomiany, jak i wyrażenia wymierne czy funkcje trygonometryczne przestaną stanowić dla Ciebie problem, a wykonywanie niezbędnych ćwiczeń z geometrii i układów współrzędnych zacznie wręcz sprawiać Ci przyjemność. Książka zawiera również zadania testowe, stanowiące świetną rozgrzewkę przed egzaminem maturalnym.

Kompletny zestaw Matematyka Europejczyka. Klasa 2 to podręcznik + zbiór zadań + płyta CD.

Do zestawu została dołączona płyta CD, zawierająca rewolucyjny materiał w postaci filmowych wykładów, w trakcie których równolegle przedstawiane jest rozwiązanie zadania na tablicy. Doskonale sprawdzi się w trakcie zajęć multimedialnych oraz podczas samodzielnej pracy w domu.

Seria podręczników, zbiorów zadań i płyt CD Matematyka Europejczyka wydawnictwa Helion pozwala uczniom zdobywać wiedzę bez stresu, a nauczycielom ułatwia przekazywanie nowego materiału w interesujący i niebanalny sposób.

Matematyka Europejczyka - to się liczy!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

• Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 ..Wielomiany. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Postać ogólna wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 *1.2. Działania w zbiorze wielomianów. Dzielenie wielomianu przez dwumian . . . . . . . 8 1.3. Rozkład wielomianu na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Równania i nierówności wielomianowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 ..Wyrażenia.wymierne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *2.1. Działania na wyrażeniach wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Równania i nierówności wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ..Wykres.i.zastosowania.funkcji.wykładniczej.i.logarytmicznej. . . . 27 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 *3.2. Funkcja logarytmiczna i jej wykres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna w modelach matematycznych . . . . . 30 4 ..Funkcje.trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym — powtórzenie wiadomości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 00, 1800 . . . . . . . . . . . . . . . 39 *4.3. Miary kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 *4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 *4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne . . . . . . . . . 43 *4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 *4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 *4.8. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 ..Ciągi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1. Pojęcie ciągu liczbowego i ciągi zapisane rekurencyjnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 *5.2. Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3. Ciąg arytmetyczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.4. Ciąg geometryczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 *5.5. Szereg geometryczny zbieżny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 ..Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.1. Kąty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2. Okręgi styczne i styczne do okręgów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.3. Trójkąty i czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 *6.4. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 *6.5. Jednokładność i podobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Spis treści 3 Poleć książkęKup książkę 7 ..Geometria.na.płaszczyźnie.kartezjańskiej. . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.1. Punkt i odcinek w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 *7.2. Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7.3. Prosta i wzajemne położenie prostych w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . 82 *7.4. Własności prostych wyrażonych równaniami ogólnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 *7.5. Interpretacja graficzna nierówności liniowych w układzie współrzędnych . . . . . . 86 *7.6. Okrąg i koło w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.7. Symetria osiowa i środkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Odpowiedzi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.1. Postać ogólna wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 *1.2. Działania w zbiorze wielomianów. Dzielenie wielomianu przez dwumian . . . . . . 95 1.3. Rozkład wielomianu na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 1.4. Równania i nierówności wielomianowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 *2.1. Działania na wyrażeniach wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.2. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.3. Równania i nierówności wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 *3.2. Funkcja logarytmiczna i jej wykres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna w modelach matematycznych . . . . 110 4.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym — powtórzenie wiadomości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 00, 1800 . . . . . . . . . . . . . . 112 *4.3. Miary kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 *4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 *4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne . . . . . . . . 115 *4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 *4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 *4.8. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.1. Pojęcie ciągu liczbowego i ciągi zapisane rekurencyjnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 *5.2. Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3. Ciąg arytmetyczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4. Ciąg geometryczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 *5.5. Szereg geometryczny zbieżny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.1. Kąty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2. Okręgi styczne i styczne do okręgów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3. Trójkąty i czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 *6.4. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 *6.5. Jednokładność i podobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.1. Punkt i odcinek w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 *7.2. Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.3. Prosta i wzajemne położenie prostych w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . 133 *7.4. Własności prostych wyrażonych równaniami ogólnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 *7.5. Interpretacja graficzna nierówności liniowych w układzie współrzędnych . . . . . 134 *7.6. Okrąg i koło w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.7. Symetria osiowa i środkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4 Spis treści Poleć książkęKup książkę 4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 〈00, 1800〉 1 Podaj współrzędne czterech przykładowych punktów leżących na ramieniu końco- wym kąta. a) b) y y 30° O c) y 60° O e) y 135° O d) f) x x x 45° 120° 150° O y O y O x x x 4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 00, 1800 39 Poleć książkęKup książkę 2 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, wiedząc, że punkt P leży na końcowym jego ramieniu. ( P = a) ( P = − ( )3,1 ( )3,1 P = − )3, 2 )2, 5 P = d) b) e) c) f) ) ( P = 1,10 1 , 5  P  = −  2   3 Wykonaj odpowiedni rysunek i uzasadnij, że punkt P należy do ramienia końco- wego kąta α. Korzystając ze współrzędnych punktu P, wyznacz wartości funkcji trygo- nometrycznych kąta α. ) 30α= a) 4 3, 4 4 Korzystając z tablic matematycznych, oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów: a) 100° b) 110° c) 115° d) 170° ( P = − 150α= e) 178° 4 3, 4 P = b) ° , °, ( ) 5 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że π α π . i 2 6 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że α= − i cos 4 5 π α π . 2 sin α= 1 10 7 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że tg π α π . i 2 8 Oblicz pole trójkąta o długościach boków 5 cm i 8 cm i kącie między nimi 120°. 9 Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie ma miarę 15°, a długość ramienia wynosi 4 cm. 2α= − *4.3. Miary kąta 1 Jaką miarę łukową mają poniższe kąty o mierze stopniowej? Podaj wartość dokładną i wartość przybliżoną. 36°, 100°, 150− 2 Jaką w przybliżeniu miarę stopniową mają poniższe kąty o mierze łukowej? π ; 3 π− 5 7 ; 0,3229 rad; 1,405 rad; 1,0462 rad ° , 1000°, 0,43° , 32 39′ ; 2 rad; 9,42 rad , 88 55′ − ° , 57 20′ − − ° ° 40 4. Funkcje trygonometryczne Poleć książkęKup książkę 3 Co jest większe: czy sin1? a) sin π 6 d) sin3 czy sin4? e) cos π 3 π czy cos6 ? 3 2 b) cos0,3 czy cos ? c) tg1 czy tg1° ? ′′ ° ° ° b) 10 25′ c) 10 39 17′ 4 Przedstaw poniższe kąty w postaci ułamka dziesiętnego. a) 5 10′ d) 143 7 2′ ′′ 5 Przedstaw poniższe kąty w postaci stopni, minut i sekund. a) 210,78° b) 15,45° 6 Oblicz wartość wyrażeń: a) m c) 30,81° d) 110,5° sin90 π+ cos sin b) ° − n + ° − 3 2 tg2 1 π π π tg 6 π π π 3 4 sin tg + + 6 3 2 cos180 ° + 2 tg π 3 d) 2sin π 3 − 5cos90 ° + 4cos π 4 − 3tg π 6 c) m sin π− 3cos 7 Znajdź wartość wyrażeń: a) sin 3 ππ    4   cos 2 b) tg 3 ππ  3 sin   6   2 b) 150° 8 Długość promienia okręgu wynosi 36 cm. Oblicz długość łuku, na którym opiera się kąt środkowy o mierze: a) 3 radiany 9 W okręgu o promieniu 5 cm dany jest kąt środkowy o mierze 30°. Oblicz długość łuku, na którym opiera się ten kąt. 10 W okręgu o promieniu 10 cm dany jest kąt środkowy o mierze Oblicz długość łuku, na którym opiera się ten kąt. radiana. π 10 *4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich 1 Podaj współrzędne trzech przykładowych punktów leżących na ramieniu końco- wym kąta. a) b) y y –1 210° O –1 x –1 225° O –1 x *4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich 41 Poleć książkęKup książkę c) y –1 240° O –1 e) y 315° 1 O –1 d) y 300° 1 O –1 y O –1 330° 1 x x x x f) 2 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że punkt P leży na ramieniu końcowym kąta α. a) b) c) ) P = − − 3, 1 ) − 3, 1 P = ( ( d) P = − − 3, 2 ) ( ( − 2, 5 P = ) e) ) ( P = − − 1, 10 1 , 5  P  − =   2   f) 3 Wykonaj odpowiedni rysunek i uzasadnij, że punkt P należy do ramienia końco- wego kąta α. Korzystając ze współrzędnych punktu P, wyznacz wartości funkcji trygo- nometrycznych kąta α. a) 330α= 210α= − 4 3, 4 − 4 3, 4 P = b) °, °, ( P = − ) ( ) 4 Która wartość funkcji jest dodatnia, a która ujemna? a) sin 15 4 π b) cos2 c) tg 10 3 π 5 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że: a) sin π α π , 0,3α= − 0,96α= b) sin , π α π 2 π α π 3 2 c) cos 1 ϕ= − , 3 d) tg β= 4,95 π β π , 3 2 3 2 42 4. Funkcje trygonometryczne Poleć książkęKup książkę 6 Napisz, w której ćwiartce układu współrzędnych położone jest ramię końcowe kąta α, jeżeli: a) sin d) sin g) sin j) cos 0α , cos 0α , cos 0α , tg 0α , tg 0α , cos 0α , tg 0α , tg 0α , tg 0α , cos 0α , tg 0α , tg 0α , tg 0α 0α 0α 0α 0α 0α 0α 0α 0α 0α 0α 0α b) sin e) sin h) sin k) cos c) sin f) sin i) cos l) cos 7 Określ znak wyrażeń: ° a) sin200 cos220 ° c) sin215 tg347 °⋅ °⋅ ° b) sin300 cos220 d) sin318 tg215 cos358 °⋅ °⋅ °⋅ ° 8 Określ ćwiartkę, w której leży końcowe ramię kąta α, jeżeli: a) sin α= − α= − b) cos c) sin cos sin α α sinα α= + α α sin 9 Wyznacz wartość wyrażenia 1 cos α − 1 cos + , jeśli π α π i 3 2 cos α= − 12 13 . *4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne 1 Wyznacz wartości: a) sin750° 2 Wyznacz wartości: ) a) cos120°, ° , sin 120− ( c) sin300°, cos330° , tg ( b) sin780° c) sin 330− ( ) ° d) tg ( 315− ° ) ) ° b) sin210°, cos ( 225− ) ° , tg240° ( tg 330− 135− ) ° 3 Oblicz wartości: a) sin π 35 2 4 Oblicz wartości: b) cos π 7  −  2   c) cos π 27    4   d) tg π  −    23 3 a) sin d) sin π 11  −  3   π 19  −  2   cos π 17    6   ) ( cos 5π b) e) c) cos f) sin π 7  −  4   π 23    3   *4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne 43 Poleć książkęKup książkę 5 Oblicz wartość wyrażeń: π 5 sin 2 π cos8 π       5 π       6 cos cos x x + cos3 π b)    sin − + π    2    sin + cos π    5 − ( ) − x cos    cos π − 2 −    x π   2  π    3    sin4 − π a) c) sin −    sin cos π + ( cos2 ) π sin1,5 π 6 Uprość wyrażenie: 4 a cos2 − π 3 a sin sin 3 2 2 a b 3 3 a b 4 π 5 2 + + π sin 2 2 a b 6 π 9 2 − − cos0 4 ab 3 cos + π b 4 sin ab 3 2 cos − π b 3 cos15 π π 2 . 7 Zredukuj do pierwszej ćwiartki następujące wartości funkcji: a) sin140° sin 250− d) b) cos113° e) sin1000° c) tg164° ) ° ( 8 Oblicz wartość wyrażeń: a) sin ⋅ b) sin ⋅ α α α α α α α α α α α α cos2 cos2 cos3 cos3 sin3 sin3 sin2 sin2 cos cos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dla α = 45° dla α = 30° 9 Ile wynosi iloczyn tangensów obu kątów ostrych w dowolnym trójkącie prostokątnym? *4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych 1 Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji, naszkicuj wykres funkcji f(x): a) ( f x ) = − cos x b) ( f x ) 2 cos = − x c) ( f x ) = d) ( f x g) ( f x ) = sin x π  +  4   ) 3sin = x e) ( f x ) = tg ( − x ) f) ( f x ) = h) ( f x ) = 2 sin x i) ( f x ) = x π  − cos  3   x π  − tg  3   1sin 2 x 2 Korzystając z wykresu funkcji a) c) ∈ − x dla x sin ∈ − x x sin dla π π 2 , 2 π π 2 , 2 = − = y y y = sin x 44 4. Funkcje trygonometryczne , naszkicuj wykres funkcji: x dla ∈ − x = − 1 sin = x sin x dla b) d) y y ∈ − π π 2 , 2 π π 2 , 2 Poleć książkęKup książkę ° x x x x x 0 − ° cos 540 360 1080 ° ≤ ≤ ° ≤ ≤ ° ≤ ≤ b) 720 ° b) 180 = x = x = x ° ° y sin ° ° ≤ ≤ − ° b) 270 . x 900 x . ° 450 x . 720 3 Narysuj odpowiedni fragment wykresu funkcji − ° c) 540 a) 360 4 Narysuj odpowiedni fragment wykresu funkcji a) 180 c) 360 5 Narysuj odpowiedni fragment wykresu funkcji − a) 180 c) 360 6 Używając tablic matematycznych dostępnych dla maturzystów i własności funkcji trygonometrycznych, rozwiąż równania: 0,9976 a) sin d) cos 0,3443 g) sin 0,0872 7 Rozwiąż równania w przedziale 0, 2π : b) sin 0,7071 0,9816 e) tg h) cos 0,5736 y ° ≤ ≤ y tg ° ≤ ≤ 0,3256 8,1443 0,9004 x = x = x = − c) cos f) tg i) tg x = x = x = − x = x = x = − ° ≤ ≤ 360 ° 90 x ° a) sin x = 2 2 b) cos 1 x = − 2 c) tg x = − 1 3 8 Używając tablic matematycznych dostępnych dla maturzystów i wykresów funkcji trygonometrycznych, znajdź rozwiązania równań należące do przedziału 0, 360° : a) sin 6,3138 9 Rozwiąż równania: d) tg 0,6018 0,0349 0,9945 c) cos b) sin x = − x = − x = − x = 2 2 x π +  c) sin 4   3   xπ −   2 4   g) cos = 0 x π − d) sin 3   3   = − 1 = 1 h) tg2 x = − 1 = − 1 2 k) cos5 x = − 3 2 l) tg ( ) x π− + = − 3 ) 0, 2π : c) = 3 2 f) cos x 2  = −   4 2   x π 4   + cos 3   15   = 3 1 = = f) a) b) sin cos x = sin3 i) tg e) sin 3 2 xπ −   2   xπ −   2 8   2 x  = −   5   x 1  =   3 2   x π − cos 3   2   10 Rozwiąż równania w przedziale ( 1 x = a) 2 x π 2    5   3 2 x π −   4   e) x = − d) tg sin3 sin sin b) j) − = 3 11 Rozwiąż nierówności: a) cos x − 0,5 b) sin x ≥ e) tg 1x f) − 3 ≤ 2 2 ≤ 1x tg x − 1 c) cos g) 1 − 2 sin x 2 2 2 2 d) sin 1x ≤ *4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych. 45 Poleć książkęKup książkę 12 Rozwiąż nierówności: a) d) ≤ x π − cos 3   3   x π +    2   sin 12 2 2 b)  sin 4   3 2 e)  tg 7   x π 5  −  4  x π 2  −  3  ≥ 1 2 c)  cos 3   x π + 12    − 1 2 − 3 f) tg ( xπ− 2 ) 3 3 13 Wykaż, że równanie sin 14 Wykaż, że równanie sin wtedy, gdy 15 Wykaż, że nierówność p ≤ 2 . x x + cos − cos x x = jest sprzeczne. = , gdzie p∈, ma rozwiązanie wtedy i tylko 2 p sin x ⋅ cos x nigdy nie zachodzi. 1 4 *4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne ° + a) cos105 1 Oblicz bez użycia tablic matematycznych i kalkulatora wartość wyrażeń: π 11 cos 12 π 11 12 π 11 12 ° e) tg22 30 π+ 5 sin 12 tg67 30 cos75 sin15 ° d) cos15 sin b) ° − c) ° f) tg + ° ′ ′ π− 5 cos 12 π− 5 tg 12 ) tg 90 α° − ( , jeśli sin α= 2 − 2 . 1 2 cos α= − i sin β= oraz , oblicz wartości wy- + c) 3 x sin 2 π α π i 2 π β π 2 ) sin α β− c) π α π i 2 π β π 3 2 ( d) ) cos α β− ( , oblicz wartości wy- b) ) sin α β− ( c) ) cos α β+ ( d) ) cos α β− ( 2 Oblicz wartość wyrażenia 3 Oblicz wartości wyrażeń: ) ( α= − a) cos 30 α° + π α − , jeśli sin  3   ) , jeśli cos tg α β− b) sin ( , jeśli cos 0,8α= − c) 0,6α= − i 0,75 i 90 180α° ° i π α π 3 2 π α π 3 2 4 Przedstaw w postaci iloczynu wyrażenia: a) 1 2 b) 1 sinx cos − + x 1 3 2 3 b) ( ) cos α β+ 3 4 tg i 8 17 sin α= β= oraz 5 Wiedząc, że rażeń: ( a) ) sin α β+ 6 Wiedząc, że rażeń: ( a) ) sin α β+ 46 4. Funkcje trygonometryczne Poleć książkęKup książkę 7 Wyznacz wartość wyrażenia 1 4sin10 sin70 − . 8 Doprowadź do postaci a) cos π x π x sin = − y = y A b) ( sin = y d) y = 3 cos4 x − sin4 x e) y = = y C cos π x 2 3 cos ( + ) Dx β = y c) funkcje: x 3sin2 + cos2 x cos x ) f) y = sin x + cos x ° ° ° 2sin10 ) Bx α + oraz π − x sin 2 ( sin − − x 2 2 4 3 9 Kąt α jest taki, że 10 Wykaż równości: cos20 cos40 cos80 a) ° ° c) cos24 ° + cos48 ° − 1 ° = 8 ° − cos84 cos α α+ sin = . Oblicz wartość wyrażenia cos sinα α− . b) tg9 ° − tg27 ° − tg63 ° + tg81 ° = 4 cos12 1 ° = 2 11 Wykaż, że jeśli α i β są kątami ostrymi, to sin ( ) α β + 12 Udowodnij równość cos ° 180 5 ⋅ cos ° 360 5 1 = . 4 sin α β . sin + 13 Uprość wyrażenia: α a) 1 cos2 α − sin b) cos2 α α− α sin cos α + c) 1 cos2 α − 1 cos2 α + − d) 1 sin2 α + + 1 sin2 cos2 cos2 α α 14 Wiedząc, że sinx m= , oblicz cos2x . 15 Wykaż równość + 1 2tg x cos2 x + 2 − tg sin2 x x = 1 2 cos . x 16 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę- pujące w nich wyrażenia mają sens. a) sin 2 α = 2 α tg 2 α + 1 tg b) cos 2 α = 1 α + 1 2 tg c) sin α α = cos ⋅ α tg 2 α + 1 tg 17 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę- pujące w nich wyrażenia mają sens. ) α α ( α − 3 tg 2 − 1 3tg α β − tg α β ⋅ tg tg + 1 tg 2tg − 1 tg ( ) α β α 2 α b) α = α = tg3 tg2 a) c) tg tg − = 2 18 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę- pujące w nich wyrażenia mają sens. a) sin = α 2tg + 1 tg α 2 α 2 2 b) cos = α − 1 tg 2 + 1 tg 2 α 2 α 2 c) tg = α 2tg − 1 tg α 2 α 2 2 *4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne 47 Poleć książkęKup książkę 19 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę- pujące w nich wyrażenia mają sens. a) b) − 3 4sin 4cos cos3 sin3 α − ( α α cos ( α α sin ) α = = ) 3 2 2 20 Wykaż równość tg20 tg 40 tg60 tg80 ° ° ° ° = . 3 Wskazówka Skorzystaj z tego, że °, 80 ° = 40 ° = ° − 60 20 60 ° + 20 °. 21 Wykaż nierówność sin36 sin54 °⋅ ° ( 5 ) − 5 1 4π . Wskazówka Zachodzą równości 2 sin 72 ° = 2 cos 18 ° = 5 . 5 + 8 22 Wykaż, że jeśli tg tgnα α α + tg 23 Wykaż, że sin 1 α + cos α tg β= , gdzie 0n , to tg 2 ( ) α β − ≤ ( n )2 − 1 n 4 . 0 dla wszystkich α należących do dziedziny nierówności. *4.8. Równania i nierówności trygonometryczne c) sin x − cos x = d) 0 sin 2 x = 3sin cos x x 1 Rozwiąż równania: = b) a) 2cos x + 2 0 sin2 x = 2 Rozwiąż równanie cos cos 2 2sin x 1 ) x = . 2 = . 0 ) ( ( xπ cos sin 3 Rozwiąż równanie 4 Wykaż, że poniższe równania nie mają rozwiązań. x a) sin x tg x tg x sin3 = b) = 0 0 48 4. Funkcje trygonometryczne Poleć książkęKup książkę 5 Rozwiąż równania: a) cos2 2 3cos + = x x b) ( cos x + sin c) 2sin cos x 2 x = cos x d) tg x − sin x x ) = cos2 x = 2 x )( − 1 sin x 2sin 2 x 2cos x sin2 + 1 cos2 2 x x cos tg x x = 0 − f) 1 cos2 x 2sin − x sin 2 sin h) 2 x = cos x + cos2 x + cos x + = 1 0 b) cos x −    π 2   3  = cos x +    π   4  + π   3  e) sin x + cos x = 1 sin x x g) sin x sin x i) sin2 + cos − cos + sin x x x = − 2 3 6 Rozwiąż równania: a) cos = x 2  c) cos 2   x cos 3 π   2  − x x = cos    7 Rozwiąż równania: x a) sin3 x d) tg x sin3 x sin = 0 = = x b) cos3 ⋅ x e) sin3 cos x sin x = 1 2 ⋅ c) cos x x f) sin3 x tg3 − sin2 = 0 − x sin x = 0 8 Rozwiąż równania: 3tg = x tg a) b) x d) 3sin − x 1 cos = x 3 2tg x − e) sin x + x ( cos + + ) 3 1 tg 2sin cos + x x x = 1 3 = 0 c) tg2 x = 3tg x 2 x x cos 2sin = − − x x 1x w przedziale 0, 2π . 2 1 cos w przedziale 0, 2π . 2 ⋅ x x sin cos 2sin 0 9 Rozwiąż równanie 10 Rozwiąż nierówność 11 Rozwiąż nierówności: x a) sin b) sin 12 Rozwiąż nierówność 1 cos − x 13 Rozwiąż nierówność cos2 x cos x cos ( x cos 14 Rozwiąż nierówność ⋅ x cos x ≥ 1 − x tg dla 1 x − − π ) π 0 . ≥ x c) sin cos ° x dla 0 x x 360 °. sin ) ( π∈ 0, . 15 Rozwiąż nierówności: a) sin2 sin x x b) sin x + cos x 0 c) 23tg x − ≥ 1 0 *4.8. Równania i nierówności trygonometryczne 49 Poleć książkęKup książkę 16 Udowodnij nierówność °. 90β° 0 90γ° ° , 0 sin ( ) α β γ + + sin α β γ sin sin + + , jeśli 0 90α° °, 17 Dla jakich wartości parametru m równanie sin = α 2 m 2 m −= a − 2 3 a − + ma rozwiązania? 1 1 2 ma rozwiązania? x 18 Dla jakich wartości parametru a równanie sin = . 19 Wyznacz sin2x z równania sin x m 20 W ukadzie współrzędnych zaznacz zbiory punktów, których współrzędne spełniają równania: = 0 a) y+ 2 cos y− sin ( cos 2 b) = + 1 x x x ) ( ) Zadania testowe ° wynosi: π C. 11 9 220α= 1 Miara łukowa kąta π B. 11 A. 9 9 11 π 2 Miara stopniowa kąta 2 3 A. 100° B. 120° C. 140° 3 Ramię końcowe kąta α przechodzi przez punkt ( A. 2 5 5 C. 1 − 2 B. 2 5 5 wynosi: − D. π )2,1− D. 160° . Ile jest równy cosα? D. 1 2 cos α= . Wartość wyrażenia − C. 9 16 jest równa: 2 1 sin α− D. 9 16 4 Kąt α jest kątem ostrym i A. 7 16 5 Jeżeli sin 0,8α= A. tg α= 3 4 3 4 , to: − B. 7 16 πα π  ∈ ,  2   3 α= − 4 B. tg oraz 6 Kąt α jest kątem ostrym i ⋅ B. 7 13 A. 7 120 6 sin α= 7 13 50 4. Funkcje trygonometryczne C. α= − 4 3 tg D. α= 4 3 tg . Wtedy tgα jest równy: C. 7 2 30 D. 7 26 30 Poleć książkęKup książkę A. cos 7 W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy: 9 11 2 10 11 9 11 11 2 10 D. α= α= α= α= cos sin sin C. B. α 9 11 2 10 8 Kąt α jest kątem ostrym i tg 30α A. 30α= B. ° ° C. 1α= . Wówczas: 45α= ° D. 45α ° 9 Liczba tg30 ° − sin30 ° jest równa: A. 3 1− B. − 3 6 − C. 3 1 6 − D. 2 3 3 6 12 BC = 10 W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i oraz A. 12 13 . Wówczas sinus kąta ABC jest równy: D. 13 12 C. 5 12 AB = 13 B. 5 13 sin 38 sin 52 2 2 11 Wartość wyrażenia A. 1 2 B. 0 jest równa: 2 cos 38 cos 52 2 ° + ° + ° − 1 ° + 1 C. 1 − 2 D. 1 12 Jeżeli α, β, γ są kątami wewnętrznymi trójkąta, to: ( ) α β = γ sin sin A. ( ) = γ α β cos cos C. ) ( α β cos ( ) α β sin γ γ sin cos B. D. + + + + = = = − w przedziale 0, 2π jest równa: 1 D. 3 x − cos x C. 2 ma w przedziale ( x B. 1 = cos B. 1 rozwiązanie. 13 Liczba rozwiązań równania sin A. 0 14 Równanie sin A. 0 rozwiązań. D. nieskończenie wiele rozwiązań. 15 Równanie sin A. x B. a∈ − 2, 2 + x 16 Zbiór wartości funkcji A. ( )2, 2− B. sin x − = x cos C. ( x a cos a∈ − 1,1 ( ) f x 2, 2− ) ,ππ− : C. 2 rozwiązania. ) ( a∈ − jest równy: ) − 2, 2 = ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy: ( a∈ − D. 2, 2 C. )1,1 D. − 2, 2 *4.8. Równania i nierówności trygonometryczne 51 Poleć książkęKup książkę 17 Dane są następujące stwierdzenia: 1. dla 0 sin sin x x 2 2. sin x 2 sin x dla 0 3. sin x 2 sin x dla π 4. sin x 2 sin x dla π Prawdziwe są: A. pierwsze i trzecie. B. pierwsze i czwarte. C. drugie i trzecie. D. drugie i czwarte. x π 2 x π 3 2 x π 2 x π 3 2 18 Dane jest wyrażenie . Stosując podstawienie t = sin x + + 1 sin 2 x , x sin + 1 sin 2 x 2 cos x otrzymasz wyrażenie jako funkcję zmiennej t w postaci: A. y = C. y = ( 1 + ( 1 + 2 t 4 )( 2 t ( t )( t 2 2 ( 1 4 t 2 − − ) t t 6 ) − 1 4 − t 6 2 t 2 + ) 1 + ) 1 B. y = D. y = ( 1 + ( 1 + t 2 ( − 1 )( 4 t ( t 4 )( 2 t t t 4 2 ) t 6 2 t − 2 + ) 1 2 ) − 1 − t 6 2 + ) 1 x = B. 0 19 Wartość wyrażenia A. 1− 20 Prawdziwa jest równość: A. C. = sin = 1 cos 4 cos sin sin + + x x x x + x 4 2 4 4 ° + cos10 cos20 ° + ° + cos30 C. 1.  + cos180 ° jest równa: D. 2 cos 2 x 4 B. D. sin sin 4 4 x x − + cos cos 4 2 x − 2 cos x x x = sin = − 1 52 4. Funkcje trygonometryczne Poleć książkęKup książkę
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka Europejczyka. Zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa 2
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: