Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
01278 012716 11048810 na godz. na dobę w sumie
Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty - ebook/pdf
Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 256
Wydawca: Wydawnictwo Lingo Sp. J. Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-7892-215-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> praktyczna edukacja, samodoskonalenie, motywacja
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Potrzebujesz korepetycji z matematyki? Powtórki przed egzaminem? Szybkiej pomocy przed klasówką? Nowa seria repetytoriów dla gimnazjalistów 'OLDSCHOOL - stara dobra szkoła' to skuteczna nauka tego, czego naprawdę potrzebujesz. Nie ogarniasz tematu? My w Ciebie wierzymy!

Seria OLDSCHOOL - stara dobra szkoła została przygotowana przez doświadczonych korepetytorów i metodyków, a wszystkie publikacje są konsultowane z nauczycielami i poddawane testom przez samych gimnazjalistów.

Główne zalety repetytorium:


Wiesz, jak jest!
Egzamin gimnazjalny tylko z OLDSCHOOL!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

ADAM KONSTANTYNOWICZ MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY Redaktor serii: Marek Jannasz Redakcja: Inga Linder-Kopiecka Korekta: Marek Kowalik Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio Projekt makiety i opracowanie graficzne: Kaja Mikoszewska © Copyright by Wydawnictwo Lingo sp. j., Warszawa 2014 www.gimtestOK.pl ISBN: 978-83-7892-153-0 ISBN wydania elektronicznego: 978-83-7892-215-5 Skład i łamanie: Kaja Mikoszewska Druk i oprawa: Pozkal MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY LICZBY WYMIERNE POTĘGI I PIERWIASTKI PROCENTY WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE FIGURY PŁASKIE BRYŁY RÓWNANIA WYKRESY FUNKCJI STATYSTYKA OPISOWA I WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 4 WSTĘP „Korepetycje z matematyki” to publikacja dostosowana do potrzeb uczniów gimnazjum klas I–III i opracowana zgodnie z nową podstawą programową. Książka jest napisana przystępnym językiem, ułatwiającym zrozumienie i zapamiętanie materiału. Najważniejsze treści zilustrowano licznymi wyjaśnia- jącymi przykładami, istotne informacje ujęto w widoczny sposób. Jej czytelny podział i  przejrzysta szata graficzna wpływają na lepszy odbiór przyswajanej wiedzy. „Korepetycje z matematyki” zawierają 9 rozdziałów podanych zgodnie z kolej- nością w podstawie programowej: 1. Liczby wymierne; 2. Potęgi i pierwiastki; 3. Procenty; 4. Wyrażenia algebraiczne; 5. Równania; 6. Wykresy funkcji; 7. Statystyka; 8. Figury płaskie; 9. Bryły. STARA DOBRA SZKOŁA WSTĘP 5 Na początku każdego działu znajdują się zagadnienia teoretyczne wraz z odpo- wiednimi rozwiązanymi przykładami. Po treściach teoretycznych zamieszczone są: najważniejsze informacje do zapamiętania ujęte w danym rozdziale (część Zapamiętaj), ciekawostka nawiązująca do omawianych treści (część Cieka- wostka) oraz zadania sprawdzające wiedzę i umiejętności z omawianego działu (część Sprawdź się). Zadania zostały opracowane zgodnie z nową formułą egzaminu gimnazjal- nego obowiązującą od 2012 r. Na końcu każdego działu zamieszczono rozwiązania i wskazówki do wszystkich zadań z zestawów Sprawdź się. Pozwolą one wyja- śnić wątpliwości lub naprowadzą na właściwe rozwiązanie zadania. „Korepetycje z matematyki” są znakomitym uzupełnieniem podręczników do matematyki w gimnazjum. Mogą być wykorzystane przez nauczycieli i uczniów na lekcjach matematyki, na zajęciach dodatkowych w klasach I–III gimna- zjum oraz przez uczniów samodzielnie przygotowujących się do prac klasowych i sprawdzianów. Dzięki tej publikacji lepiej i łatwiej przygotujesz się również do egzaminu gim- nazjalnego z matematyki. Powodzenia Adam Konstantynowicz WWW.GIMTESTOK.PL 6 SPIS TREŚCI Wstęp ROZDZIAŁ 1. LICZBY WYMIERNE 1. Liczby naturalne i całkowite 2. Rzymski sposób zapisywania liczb 3. Liczby wymierne dodatnie 4. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) Sprawdź się ROZDZIAŁ 2. POTĘGI I PIERWIASTKI 1. Potęga o wykładniku naturalnym Określenie Zapisywanie iloczynów o jednakowych czynnikach w postaci potęg Zapisywanie liczb w postaci potęg Obliczanie potęg liczb wymiernych Iloczyn i iloraz potęg o tej samej podstawie Potęgowanie iloczynu, ilorazu i potęgi 2. Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym 3. Notacja wykładnicza 4. Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń zawierających potęgi 5. Pierwiastek kwadratowy i sześcienny Pierwiastek kwadratowy Określenie Obliczanie pierwiastków kwadratowych 39 liczb nieujemnych Określenie 40 Obliczanie pierwiastków sześciennych z liczb 40 40 Pierwiastek z iloczynu, iloczyn pierwiastków Pierwiastek z ilorazu, iloraz pierwiastków 41 Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń zawierających pierwiastki 42 Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka 42 Szacowanie wyrażeń zawierających pierwiastki Działania na potęgach i pierwiastkach Działania na potęgach i pierwiastkach w wyrażeniach algebraicznych 43 44 Sprawdź się ROZDZIAŁ 3. PROCENTY 1. Pojęcie procentu 2. Obliczanie procentu danej liczby 3. Obliczanie liczby, gdy ma się dany jej procent 55  56 57 59 4. Obliczanie, jakim procentem jednej liczby 61 62 5. Procenty w zadaniach tekstowych jest druga liczba Obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym – obniżki, podwyżki Obliczenia procentowe – VAT Obliczenia procentowe – lokaty Obliczenia procentowe – stężenia 6. Pojęcie promila Sprawdź się ROZDZIAŁ 4. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 1. Wyrażenie algebraiczne i jego wartość liczbowa 2. Sumy algebraiczne Sprawdź się ROZDZIAŁ 5. RÓWNANIA 1. Rozwiązywanie równań 2. Zadania tekstowe na zastosowanie 62 63 64 65 65 69 77  78 81 88 97  98 równań 103 107 3. Przekształcanie wzorów 4. Układy równań 108 5. Zadania tekstowe na zastosowanie układów 114 120 Sprawdź się równań 3 9  10 11 13 20 26 33  34 34 34 35 35 35 36 37 38 38 39 39 39 44 46 STARA DOBRA SZKOŁA 7 225  226 232 236 238 240 243 ROZDZIAŁ 9. BRYŁY 1. Graniastosłupy proste 2. Ostrosłupy 3. Walec 4. Stożek 5. Kula Sprawdź się 135  136 137 146 153  ROZDZIAŁ 6. WYKRESY FUNKCJI 1. Układ współrzędnych 2. Funkcje i ich własności Sprawdź się ROZDZIAŁ 7. STATYSTYKA OPISOWA I WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Odczytywanie i interpretowanie danych przedstawionych w postaci diagramów, wykresów i tabel 2. Przedstawianie danych tabelarycznie, za pomocą diagramów i wykresów 154 158 3. Średnia arytmetyczna i mediana zestawu danych 4. Proste doświadczenia losowe oraz prawdopodobieństwo zdarzeń Sprawdź się ROZDZIAŁ 8. FIGURY PŁASKIE 1. Podstawowe figury geometryczne 2. Wielokąty i ich własności 3. Pola figur 4. Trójkąty prostokątne 5. Figury przystające 6. Symetria względem prostej 7. Symetria względem punktu 8. Koło i okrąg 9. Figury podobne Sprawdź się 159 161 164 173  174 178 183 187 192 196 201 202 211 216 WWW.GIMTESTOK.PL SPIS TREŚCI 8 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY STARA DOBRA SZKOŁA „Liczba jest istotą wszystkich rzeczy”. Te słowa Pitagorasa, wypowiedziane około 30 tysięcy lat po tym, gdy prawdopodobnie zaczęto po raz pierwszy używać liczb, są jak najbardziej słuszne. Wprowadzanie nazw zbiorów liczb następowało stopniowo, a prace matematyków nad teorią liczb trwają do dzisiaj. Liczby przedstawione w tym rozdziale to tylko wierzchołek góry lodowej.ROZDZIAŁ 1.LICZBY WYMIERNE(dodatnie i niedodatnie) 10 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY 1. Liczby naturalne i całkowite Liczbami naturalnymi są liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Do zapisywania liczb naturalnych używamy dziesięciu znaków zwanych cyframi. Są to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby 243 i 342 zawierają te same cyfry, ale nie są równe. Znaczenie cyfry w liczbie zależy od miejsca (pozycji), na którym się znajduje, dlatego taki sposób zapisu liczb nazywamy systemem pozycyjnym. Wśród liczb naturalnych istnieje liczba najmniejsza. Jest to liczba 0. Nie ist- nieje natomiast liczba największa. Liczby naturalne służą m.in. do numerowania i do liczenia przedmiotów. Do odczytywania temperatury w zimie albo wielkości zadłużenia potrzebne są nam liczby ujemne, czyli mniejsze od 0. Liczby 0, 1, 2, 3… oraz –1, –2, –3… to liczby całkowite. Liczby możemy przedstawiać na osi liczbowej, czyli prostej, na której ustalono zwrot, obrano punkt zerowy i ustalono jednostkę odległości. Liczby odpowiadające zaznaczonym punktom na osi liczbowej nazywamy ich współrzędnymi. 1 Zaznacz na osi liczbowej punkty o współrzędnych –3, –2, 0, 1, 4. D A Ł K Y Z R P Rozwiązanie A B C D E –3 –2 0 1 4 Punkt A ma współrzędną –3, punkt B ma współrzędną –2, punkt C ma współrzędną 0, punkt D ma współrzędną 1, punkt E ma współrzędną 4. Liczby –1 i 1, 2 i –2, 3 i –3… to pary liczb przeciwnych. Takim liczbom odpo- wiadają punkty leżące na osi liczbowej po przeciwnych stronach punktu zerowego i w tej samej odległości od niego. STARA DOBRA SZKOŁA 11 2 Zaznacz na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbom przeciwnym: D A Ł K Y Z R P –1 i 1, 2 i –2, 7 i –7, –10 i 10. Rozwiązanie –10 –7 –2 –1 0 1 2 7 10 Na osi liczbowej na prawo od 0 leżą liczby dodatnie, zaś na lewo – liczby ujemne. Liczba 0 nie jest ani liczbą dodatnią, ani liczbą ujemną. Porównując liczby całkowite, warto pamiętać, że każda liczba dodatnia jest zawsze większa od każdej liczby ujemnej. Również liczba 0 jest większa od każdej liczby ujemnej. Z dwóch liczb ujemnych większa zaś jest ta liczba, która odpo- wiada punktowi leżącemu bliżej 0 na osi liczbowej. D A Ł K Y Z R P 3 Porównaj liczby całkowite: a) 6 i –3; b) –7 i –2; c) 0 i –6. Rozwiązanie a) 6 –3, bo każda liczba dodatnia jest większa od każdej liczby ujemnej; b) –7 –2, bo punkt o współrzędnej –2 leży bliżej 0; c) 0 –6, bo liczba 0 jest większa od każdej liczby ujemnej. 2. Rzymski sposób zapisywania liczb System rzymski zapisywania liczb wykorzystuje cyfry pochodzenia etruskiego, które Rzymianie przejęli i zmodyfikowali ok. 500 r. p.n.e. Jest on wygodny przy zapisie liczb naturalnych, lecz nie można w nim zapisywać ułamków oraz wyko- nywać pisemnych działań matematycznych. Dzisiaj system rzymski używany jest do: numeracji wieków, tomów, ksiąg, roz- działów, imion panujących władców, do zapisywania numerów szkół (np. liceów ogólnokształcących). WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 12 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY Do zapisu liczb w systemie rzymskim używa się siedmiu cyfr: I, V, X, L, C, D, M. Poszczególne cyfry oznaczają: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Przy zapisywaniu lub odczytywaniu liczb w systemie rzymskim należy pamię- tać, że jeżeli znak oznaczający mniejszą liczbę stoi po prawej stronie znaku ozna- czającego większą liczbę, to stosujemy dodawanie, a jeśli po lewej stronie, to odejmowanie. 1 Odczytaj liczby zapisane w systemie rzymskim. a) XI; b) XXVII; c) XCIX; d) CM. Rozwiązanie a) XI = 10 + 1 = 11; b) XXVII = 2 · 10 + 5 + 2 · 1 = 20 + 7 = 27; c) XCIX = [100 + (10 – 1)] – 10 = (100 + 9) – 10 = 109 – 10 = 99; lub XCIX = (100 – 10) + (10 – 1) = 90 + 9 = 99; d) CM = 1000 – 100 = 900. Należy pamiętać, że obok siebie zapisujemy co najwyżej trzy jednakowe znaki. D A Ł K Y Z R P D A Ł K Y Z R P 2 Zamień liczby zapisane w systemie dziesiątkowym na zapisane w systemie rzymskim. a) 12; b) 135; c) 1579; d) 2850. Rozwiązanie a) 12 = XII; c) 1579 = MDLXXIX; b) 135 = CXXXV; d) 2850 = MMDCCCL. STARA DOBRA SZKOŁA 13 3. Liczby wymierne dodatnie Ułamkiem zwykłym (np. 1 3) nazywamy iloraz dwóch liczb całkowitych, z których dzielna jest licznikiem, dzielnik mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Mianownik musi być liczbą różną od 0. Wśród ułamków wyróżniamy ułamki właściwe i niewłaściwe. Ułamki właściwe (np. 2 7) to te, w których licznik jest mniejszy od mianownika. Są one mniejsze od 1. Ułamki niewłaściwe (np. 12 5 , 7 7) to te, w których licznik jest większy od mianow- nika lub równy mianownikowi. Są one większe od 1 lub równe 1. Liczby w postaci 11 Skracaniem ułamka nazywamy czynność polegającą na podzieleniu jego licz- 2 to liczby mieszane. 5, 47 8, 91 nika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0, np. 24 36 = 24 : 12 36 : 12 = 2 3. Rozszerzanie ułamka to czynność polegająca na pomnożeniu licznika i mia- nownika przez tę samą liczbę różną od 0, np. 2 3 = 2 · 4 3 · 4 = 8 12. 4, bo 10 12 3 12; 4 6 1 Każde dwa ułamki możemy porównać. Porównując dwa ułamki zwykłe, zazwyczaj doprowadzamy je do ułamków o równych mianownikach lub równych licznikach, np. 5 51 10 73, bo 20 255 20 146. 5; 9 Najprościej dodaje się lub odejmuje ułamki o jednakowych mianownikach. Wystarczy dodać lub odjąć liczniki, a mianownik pozostawić bez zmian, np. 3 5 + 1 5 = 4 Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw sprowa- dzić je do wspólnego mianownika, następnie dodać lub odjąć liczniki, a mianow- nik pozostawić bez zmian. 11 = 6 11. 11 – 3 D A Ł K Y Z R P 1 Wykonaj działania: a) 5 6 + 3 8; b) 61 9 – 2 7 12. 6 + 3 Rozwiązanie 24 = 29 24 + 9 a) 5 24 = 1 5 8 = 20 8 = 1 5 6 + 3 Odpowiedź: 5 24; b) 61 9 – 2 7 12 = 6 4 12 = 319 36. 24; 61 9 – 2 7 36 – 221 36 = 540 36 – 221 36 = 319 36. WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 14 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY Ułamki zwykłe również mnożymy i dzielimy, trzeba pamiętać o różnych spo- sobach wykonywania tych działań. Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, należy pomnożyć licznik tego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian. Iloczyn ułamków jest ułamkiem, którego licznik jest iloczynem licz- ników, a mianownik iloczynem mianowników. Gdy czynnik jest liczbą mieszaną, zazwyczaj zamieniamy tę liczbę na ułamek niewłaściwy i wykonujemy mnoże- nie. Przy mnożeniu liczników oraz mianowników warto pamiętać o możliwości skracania. 2 Oblicz: a) 4 Rozwiązanie 3 4·15 4 a) 5 5 1 D A Ł K Y Z R P 15· = 5 · 15; b) 8 15 · 5 36; c) 21 2 · 31 3. = 12; b) 8 15 · 5 36 = 1 2 8 · 5 15·36 9 3 2 = 27 ; 10 3 = 5 5·10 2·3 1 = 25 3 = 8 1 3 · · = 3 1 3 5 2 1 2 c) 2 Odpowiedź: 4 5 · 15 = 12; 8 15 · 5 36 = 2 27; 21 2 · 31 3 = 81 3. Mnożenie ułamków stosujemy na przykład przy obliczaniu ułamka danej liczby. Np. 3 4 liczby 60 = 3 4 · 60 = 45. Gdy iloczyn dwu liczb jest równy 1, to mówimy, że jedna z nich jest odwrotno- ścią drugiej, zatem odwrotnością liczby a ≠ 0 jest liczba 1 a. Odwrotnością ułamka a b jest ułamek b a, gdzie a ≠ 0 i b ≠ 0, np. odwrotnością liczby 5 7 jest liczba 1,4. 8 : 3 ność drugiego, np. 7 4 = 7 8 · 4 3 = 7 6 = 11 6. Aby podzielić ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy ułamek przez odwrot- Dzielenie ułamków wykorzystujemy na przykład przy wyznaczaniu liczby z danego jej ułamka. Ułamki zwykłe, które w mianowniku mają 10, 100, 1000, …, nazywamy ułam- kami dziesiętnymi. Możemy je zapisać w postaci dziesiętnej, tzn. bez kreski ułam- STARA DOBRA SZKOŁA 15 kowej, z zastosowaniem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułam- kowej, np. 23 1000 = 0,023. Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych wykonujemy tak, jak doda- wanie i odejmowanie liczb naturalnych. Proste rachunki wykonujemy w pamięci, a bardziej skomplikowane sposobem pisemnym, pamiętając, aby wszystkie prze- cinki zapisać w jednej kolumnie. 3 Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym. D A Ł K Y Z R P a) 1,357 + 24,9 + 0,67; b) 10,2 – 3,81. Rozwiązanie a) b) , 1 3 5 7 , 0 0 4 9 , 0 6 7 0 9 , 2 6 7 + 2 2 1 _ , 2 0 , 8 3 , 36 0 1 9 Odpowiedź: 1,357 + 24,9 + 0,67 = 26,927; 10,2 – 3,81 = 6,39. Przy mnożeniu ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000… przesuwamy prze- cinek w tym ułamku w prawo odpowiednio o jedno, dwa, trzy… miejsca, np. 3,241 · 100 = 324,1. Przy dzieleniu ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000… przesuwamy przecinek w tym ułamku w lewo odpowiednio o jedno, dwa, trzy… miejsca, np. 650,2 : 1000 = 0,6502. Mnożąc ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, zapisujemy je tak, jak w mno- żeniu liczb naturalnych, nie zwracając uwagi na położenie przecinka, a w iloczy- nie oddzielamy przecinkiem od prawej strony (od końca) tyle cyfr, ile jest łącznie po przecinkach w obu czynnikach. WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 16 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY Dzieląc ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, postępujemy tak samo, jak przy dzieleniu liczb naturalnych, a przecinek w ilorazie zapisujemy nad przecin- kiem dzielnej. Przy dzieleniu liczby przez ułamek dziesiętny należy przesunąć przecinek w dzielnej i dzielniku o tyle miejsc, aby dzielnik stał się liczbą naturalną, a następ- nie wykonać to dzielenie. 4 Oblicz sposobem pisemnym: a) 15,23 · 3,6; b) 25,6 : 0,25. D A Ł K Y Z R P Rozwiązanie a) · 4 5 + 5 , 1 2 3 319 5 9 2 4 6 8 , , 3 6 8 8 b) 25,6 : 0,25 = 2560 : 25 _ 2 2 1 5 5 _ _ 0 6 6 5 1 1 2 0 0 0 0 0 , 4 : 2 5 0 0 0 Odpowiedź: 15,23 · 3,6 = 54,828; 25,6 : 0,25 = 102,4. Jeżeli każdy ułamek zwykły traktujemy jako iloraz dwóch liczb całkowitych, to możemy wykonać dzielenie licznika tego ułamka przez jego mianownik. Wyni- kiem tego dzielenia jest ułamek dziesiętny. Ułamek zwykły może mieć rozwinięcie dziesiętne skończone lub rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków: a) 3 Rozwiązanie na stronie obok 8; b) 5 11. STARA DOBRA SZKOŁA 17 5 D A Ł K Y Z R P a) b) _ _ , 0 3 0 3 2 _ 3 : 0 4 6 5 _ 7 8 0 6 4 4 5 0 0 0 _ _ , 0 5 0 5 4 _ 4 : 0 4 6 5 _ 5 ... 5 4 1 1 0 5 5 4 _ 0 4 6 5 0 5 5 0 Odpowiedź: 3 8 = 0,375; 5 11 = 0,4545… Rozwinięcia dziesiętne nieskończone, w których od pewnego miejsca powtarza się cyfra lub grupa cyfr, nazywamy dziesiętnymi okresowymi. Powtarzającą się cyfrę lub najkrótszą grupę cyfr nazywamy okresem i zapisujemy go w nawiasie, np. 0,24343… = 0,2(43). 5 = 6 10; 27 300 = 9 100. Ułamki zwykłe o rozwinięciu dziesiętnym skończonym możemy zamieniać na ułamki dziesiętne, rozszerzając lub skracając je tak, aby w mianowniku była liczba 10, 100, 1000, np. 3 Rozwinięć dziesiętnych nieskończonych w praktyce używa się często jako rozwinięć dziesiętnych ograniczonych do jednego lub kilku miejsc po przecinku. Mówimy wtedy o przybliżeniu dziesiętnym z określoną dokładnością, czyli o zaokrągleniu liczby do jednego, dwóch, trzech miejsc po przecinku (czyli do czę- ści dziesiątych, setnych, tysięcznych itd.). Zaokrąglając liczby, możemy korzystać z ogólnie przyjętych zasad. Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr rozwinięcia dziesiętnego jest mniejsza od 5, to ostatnią zachowaną cyfrę zostawiamy bez zmian i podajemy przybliżenie liczby WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 18 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY z niedomiarem. Jeżeli zaś pierwsza z odrzucanych cyfr rozwinięcia dziesiętnego jest większa lub równa 5, to ostatnią zachowaną cyfrę powiększamy o 1 i poda- jemy przybliżenie liczby z nadmiarem. 6 Podaj przybliżenie liczby 23,1483517 z dokładnością do D A Ł K Y Z R P b) części setnych a) części tysięcznych; i określ, czy jest ono z niedomiarem czy z nadmiarem. Rozwiązanie a) 23,1483517 ≈ 23,148 z niedomiarem; b) 23,1483517 ≈ 23,15 z nadmiarem. Czasami w życiu codziennym kierujemy się zasadami zaokrąglania innymi niż matematyczne. Mówimy wówczas o szacowaniu. W sklepie zastanawiamy się, czy kwota, którą posiadamy, wystarczy nam na zakup zaplanowanych produktów, szacujemy wtedy ich wartość, stosując przybliżenia z nadmiarem. Obliczając wartość wyrażenia arytmetycznego, korzystamy z własności działań: łączności mnożenia: (a · b) · c = a · (b · c); łączności dodawania: (a + b) + c = a + (b + c); • przemienności dodawania: a + b = b + a; • • przemienności mnożenia: a · b = b · a; • • rozdzielności mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b + a · c. Pamiętajmy o tym, że: • dodając 0, nie zmieniamy wartości wyrażenia: a + 0 = a; • mnożąc przez 1, nie zmieniamy wartości wyrażenia: a · 1 = a; • gdy jednym z czynników iloczynu jest 0, to iloczyn wynosi 0. Przy obliczaniu wartości liczbowej wyrażenia arytmetycznego należy pamię- tać o kolejności wykonywania działań. Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko doda- wanie i odejmowanie albo tylko mnożenie i dzielenie, to wykonujemy je w kolej- STARA DOBRA SZKOŁA 19 ności od lewej do prawej. Gdy w wyrażeniu występuje dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie, to najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie, a potem dodawanie i odejmowanie. W wyrażeniach zawierających nawiasy najpierw wyko- nujemy działania w tych nawiasach, które nie zawierają innych nawiasów. Zastę- pując znak dzielenia kreską ułamkową, traktujemy wyrażenia w liczniku i mia- nowniku tak, jakby były ujęte w nawiasy. Wykonując obliczenia, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, możemy ułamki dziesiętne zamieniać na ułamki zwykłe lub – o ile to możliwe – zamieniać ułamki zwykłe na dziesiętne, a następnie wykonywać działania zgod- nie z kolejnością. D A Ł K Y Z R P ; –2 6 – 1,4) : (–2,7). b) 3 · 8 : 2 : 4 · 7; d) 2 5 · (6 – 20 : (4 + 1)); 3 – (0,6 · 5 f) 2 7 Oblicz wartości wyrażeń: a) 24 – 8 + 2 + 3 – 11; c) 2,6 + 8,4 : 1,2 – 0,1 · 6; e) 15 : (–3) + 7 Rozwiązanie a) 24 – 8 + 2 + 3 – 11 = 16 + 2 + 3 – 11 = 18 + 3 – 11 = 21 – 11 = 10; b) 3 · 8 : 2 : 4 · 7 = 24 : 2 : 4 · 7 = 12 : 4 · 7 = 3 · 7 = 21; c) 2,6 + 8,4 : 1,2 – 0,1 · 6 = 2,6 + 7 – 0,6 = 9,6 – 0,6 = 9; d) 2 5 · (6 – 4) = 2 = –5 + 7 e) 15 : (–3) + 7 6 – 1,4) : (–2,7) = 2 f) 2 3 – (0,6 · 5 3 – (0,5 – 1,4) : (–2,7) = 2 = 2 = 2 3 – (– 9 3 – 1 5 · (6 – 20 : 5) = 2 –2 = – 1; 3 – ( 6 3 – (– 0,9) : (–2,7) = 2 3 = 1 3. 5 · (6 – 20 : (4 + 1)) = 2 –2 = 2 6 – 1,4) : (–2,7) = 3 – (– 9 10) · (– 10 27) = 2 5 · 2 = 4 5; –2 10 · 5 10) : (– 27 10) = WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 20 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY 4. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, o liczniku będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku będącym liczbą całkowitą różną od 0, nazywamy liczbą wymierną. Liczbami wymiernymi są np. liczby: – 2 Liczby te mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe. Każdą z nich można przedstawić w postaci ułamka zwykłego na nieskończenie wiele sposobów. 8, –1,3, 0, 1 3, 9, 18,15. 4, 17 49 , 61 3, – 5 1 Zapisz liczby wymierne: b) 0; c) –6; a) 5; w postaci ułamków. Rozwiązanie 2 = 15 a) 5 = 5 1 = 10 –2 = –84 1 = 12 c) –6 = –6 e) –21 3 = – 7 3 = –35 15 = 70 3 = …; 14 = …; –30 = …; d) 0,8; e) –21 3; f) –8,4. –6 = 0 2 = 0 b) 0 = 0 21 = …; 5 = 28 10 = 4 d) 0,8 = 8 35 = …; f) –8,4 = –84 10 = 42 –5 = –126 15 = … D A Ł K Y Z R P D A Ł K Y Z R P Porównując liczby, często wykorzystujemy położenie na osi liczbowej punktów o odpowiadających im współrzędnych. 2 Uporządkuj rosnąco liczby: –21 2, 1,5, 0, 21 4, – 1 2. Rozwiązanie Rysujemy oś liczbową, obieramy jednostkę i zaznaczamy punkty o danych współrzędnych. –21 Odpowiedź: –21 2 0 1 1,5 21 4 2 – 1 2 – 1 2 0 1,5 21 4. STARA DOBRA SZKOŁA 21 Odległość pomiędzy dwoma punktami leżącymi na osi liczbowej możemy obli- czać, odejmując ich współrzędne. 3 Oblicz odległość między punktami o współrzędnych: a) –3 i 4; b) –7 i –2; c) 3 i 8. Rozwiązanie a) |AB| = 4 – (–3) = 7; 7 3 4 A B –3 0 1 4 b) |CD| = –2 – (–7) = 5; 7 5 c) |EF| = 8 – 3 = 5. 2 D C –7 –2 0 1 8 3 5 E F 0 1 3 8 D A Ł K Y Z R P D A Ł K Y Z R P Na osi liczbowej możemy zaznaczać liczby oraz zbiory liczb. Jeżeli chcemy wśród liczb podać te, które są np. większe od 4, to nie możemy wymienić ich wszystkich, bo jest ich nieskończenie wiele. Zbiór ten zaznaczamy na osi liczbowej. 4 Zaznacz na osi liczbowej zbiory liczb spełniających określone warunki. a) x –2; b) x 4; c) x ≥ 3; d) x ≤ –1. Rozwiązanie a) x –2; 0 1 2 b) x 4; 0 1 4 WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 22 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY c) x ≥ 3; d) x ≤ –1. 0 1 3 –1 0 1 Wykonując działania na dowolnych liczbach wymiernych, musimy zawsze zwracać uwagę na znak każdej z liczb i pamiętać o własnościach działań. 5 Wykonaj dodawanie liczb wymiernych. D A Ł K Y Z R P a) o takich samych znakach: 3 + 5; (–3) + (–5); Rozwiązanie a) 3 + 5 = 8; (–3) + (–5) = – 8; b) o różnych znakach: (–3) + 5; 3 + (–5); b) (–3) + 5 = 2; 3 + (–5) = –2. Suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, zaś suma dwóch liczb ujem- nych jest liczbą ujemną. 6 D A Ł K Y Z R P Wykonaj mnożenie liczb wymiernych. a) o takich samych znakach: 4 · 5; (–4) · (–5); b) o różnych znakach: (–4) · 5; 4 · (–5). Rozwiązanie a) 4 · 5 = 20; (–4) · (–5) = 20; b) (–4) · 5 = –20; 4 · (–5) = –20. Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zaś iloczyn dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią. 7 . Z R P Oblicz iloraz dwóch liczb wymiernych. a) o takich samych znakach: 48 : 6; (–48) : (–6); b) o różnych znakach: 48 : (–6); (–48) : 6. STARA DOBRA SZKOŁA 23 Rozwiązanie a) 48 : 6 = 8; (–48) : (–6) = 8; b) 48 : (–6) = –8; (–48) : 6 = –8. Iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zaś iloraz dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią. Przy obliczeniach na liczbach dodatnich i ujemnych musimy pamiętać o obowią- zującej kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy działania w nawia- sach, następnie mnożymy i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy. Należy również pamiętać o opuszczaniu niepotrzebnych nawiasów. 8 D A Ł K Y Z R P Oblicz wartość liczbową wyrażenia arytmetycznego. a) –(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7; b) [(–2) · (–8) – (–30) : 5] : (–11) + (–3) · 2 – (–7 ) – [– (–8)]; c) 0 – 0,1 · 100 + 10 : (–10) – (–10) : 0,1 + 0,01 · (–1000); 3) + 4 – 9 : (–3). 2) · 6 + 1 d) (– 1 Rozwiązanie a) –(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7 = 3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2 5) ] : (– 2 = 5 – 23 + 9 + 4 – 13 + 7 = 25 – 36 = –21; b) [(–2) · (–8) – (–30) : 5] : (–11) + (–3) · 2 – (–7 ) –[–(–8)] = = (16 + 6) : (–11) – 6 + 7 – 8 = 22 : (–11) – 6 + 7 – 8 = = –2 – 6 + 7 – 8 = 7 – 16 = –9; c) 0 – 0,1 · 100 + 10 : (–10) – (–10) : 0,1 + 0,01 · (–1000) = d) (– 1 = –10 – 1 + 100 – 10 = 100 – 21 = 79; 2) · 6 + 1 = –3 – 4 – (–1 + 2) · (– 3 3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2 5) ] : (– 2 3) + 4 – 9 : (–3) = 2) + 4 + 3 = –3 – 4 + 1,5 + 4 + 3 = 1,5. Przy rozwiązywaniu prostych zadań z zastosowaniem liczb wymiernych pamiętajmy o prawach działań i kolejności wykonywania działań. WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 24 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY 9 D A Ł K Y Z R P 0 1 D A Ł K Y Z R P 3 jest równe wartości liczbowej wyrażenia Znajdź liczbę, której 2 (–3) · 1,3 + 1,8 : (–0,6) (–0,2 + 0,1 · 5) – (–2) . Rozwiązanie: Obliczamy wartość liczbową wyrażenia: (–3) · 1,3 + 1,8 : (–0,6) (–0,2 + 0,1 · 5) – (–2) = Szukamy liczby, której 2 Odpowiedź: Szukana liczba to –4,5. (–0,2 + 0,5) + 2 = –6,9 3 jest równe –3. –3 : 2 3 = –3 · 3 2,3 = –3; –3,9 – 3 2 = –4,5. 5 · (–2 1 5 · (–2 1 O ile liczba a jest mniejsza od liczby b, jeśli: a = –1,3 – 2,8 : (–1,4) + 11 Rozwiązanie: Obliczamy wartość a. a = –1,3 – 2,8 : (–1,4) + 11 Obliczamy wartość b. b = 0,25 · 33 = 15 16 – 1 5 · 0,75 – 0,2) : (–1 3 8) = 15 3), b = 0,25 · 33 3) = –1,3 + 2 + 6 4 – (2 10 · (– 5 16 + 1 16 = 1. 4 · 15 4 – (2 5) = 1 4 – (2 5 · (– 7 5 · 0,75 – 0,2) : (–1 3 5)? 3) = 0,7 – 2,8 = –2,1. 5 · 3 4 – 0,2) : (– 8 5) = Obliczamy różnicę liczb b i a: 1 – (–2,1) = 1 + 2,1 = 3,1 Odpowiedź: Liczba a jest mniejsza od liczby b o 3,1. Rozwiązując zadania z treścią prowadzące do działań na liczbach wymier- nych, pamiętajmy o wszystkich zasadach poznanych wcześniej oraz o  czytaniu treści zadania ze zrozumieniem. 1 1 D A Ł K Y Z R P Oblicz, jaką kwotą dysponowała Kasia, jeżeli po zakupie zeszytu za 2,70 zł, ołówka za 1,20 zł, gumki za 40 gr, odebraniu długu od Zosi w wysokości 5,90 zł i od Marcina 1,50 zł oraz zakupie książki za 17 zł pozostało jej 1,90 zł? STARA DOBRA SZKOŁA 25 Rozwiązanie: Zadanie rozwiązujemy w odwrotnej kolejności, niż następowały zdarzenia. Obliczamy wydatki Kasi: 2,70 + 1,20 + 0,40 +17 = 21,30 (zł). Obliczamy przychody Kasi: 5,90 + 1,50 = 7,40 (zł). Do pozostałej kwoty dodajemy wydatki, a odejmujemy przychody: 1,90 + 21,30 – 7,40 = 15,80 (zł). Odpowiedź: Kasia dysponowała kwotą 15,80 zł. CIEKAWOSTKA Według legendy na kamiennym grobie Diofantosa, wielkiego matematyka starożytnej Grecji, był ułożony przez Eutropiusa taki napis: „Pod tym kamieniem spoczywają prochy Diofantosa, który umarł w głębokiej starości. Przez szóstą część swojego życia był dzieckiem, przez dwunastą część młodzieńcem. Następnie upłynęła siódma część, zanim się ożenił. W pięć lat po zawarciu związku małżeńskiego urodził mu się syn, który żył dwa razy krócej od niego. W cztery lata po śmierci swego syna Diofantos, opłakiwany przez swych najbliższych, zasnął snem wiecznym”. Ile lat żył Diofantos? ZAPAMIĘTAJ • Liczbami naturalnymi są liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… • Liczbami całkowitymi są liczby: ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3… • Liczby –1 i 1, 2 i –2, 3 i –3 to pary liczb przeciwnych. • Do zapisu liczb w systemie rzymskim używa się siedmiu cyfr: I, V, X, L, C, D, M. • Poszczególne cyfry oznaczają: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 26 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY • Skracaniem ułamka nazywamy czynność polegającą na podzieleniu jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0, np. 24 36 = 24 : 12 36 : 12 = 2 3. • Rozszerzanie ułamka to czynność polegająca na pomnożeniu 3 =  2 · 4 3 · 4 = 8 12. licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0, np. 2 Iloczyn ułamków jest ułamkiem, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników. • • Aby podzielić ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego. • Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, o liczniku będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku będącym liczbą całkowitą różną od 0, nazywamy liczbą wymierną. • Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie mnożymy i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy. Sprawdź się Zad. 1. Zaznacz na osi liczbowej punkty o współrzędnych –5, –3, 0, 2, 7. Znajdź liczby przeciwne do liczb będących współrzędnymi zaznaczonych punktów. Zad. 2. Określ prawdziwość zdań, zaznaczając P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli zdanie jest fałszywe. Liczba 169 zapisana w systemie rzymskim to CXLIX. Liczba CCCXXIV to 324. Liczba 1649 zapisana w systemie rzymskim to MDCXLIX. Liczba MMCCXXIII to 2222. P P P P F F F F STARA DOBRA SZKOŁA 27 N N N N 3 + 11 5 15; b) 12 3 – 15 6 + 11 2; c) 153 5 – 21 4 – 1 9 20. 3) : 12 3 · 11 8). 2 : (–1 1 Zad. 3. Oblicz: a) 31 5 – 22 Zad. 4. Wykonaj działania: a) (– 3 16) · (– 8 3) : 2 9) · (–1 1 2); b) (–1 1 2); c) (–2 1 Zad. 5. Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym. a) 12, 527 + 21,89 + 0,7; b) 120,02 – 83,95. 3 : (– 1 3 jest 0,333… 5 ma rozwinięcie dziesiętne równe 0,25. Zad. 6. Wybierz T, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, lub N, jeśli jest fałszywe. Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1 Ułamek 2 Zamieniając ułamek zwykły 1 otrzymamy 0,(142857). Wszystkie liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone lub nieskończone. 7 na ułamek dziesiętny, T T T T Zad. 7. Oblicz wartość wyrażenia (0,5 – 3) · (41 2 – 5) 3) : 1 3 (0,5 – 2 . Zad. 8. Zaznacz na osi liczbowej zbiory liczb spełniających określone warunki: a) x –4; b) x ≤ 6. 3 – 5 3) : 1,4 ] : 31 6. Zad. 9. Oblicz wartość liczbową wyrażenia arytmetycznego [23 7 + (0,6 + 1 Zad. 10. Do cukierni zakupiono 20 kg rodzynek po 5,80 zł za 1 kg, 10 kg migdałów po 12,60 zł za 1 kg i 10 kg owoców kandyzowanych po 6,20 zł za 1 kg. Sporządzono z nich mieszankę do deserów. Oblicz cenę 1 kg tej mieszanki. WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 28 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY Rozwiązania Zad. 1. –5 –3 0 1 2 7 Liczby przeciwne to: 5, 3, 0, –2, –7. . Zad. 2. Liczba 169 zapisana w systemie rzymskim to CXLIX. Liczba CCCXXIV to 324. Liczba 1649 zapisana w systemie rzymskim to MDCXLIX. Liczba MMCCXXIII to 2222. 15 = 3 3 6 + 13 20 – 2 5 Zad. 3. a) 31 b) 12 6 + 11 4 – 1 9 c) 153 15 = 14 8 15 – 210 6 = 11 3; 20 = 1432 20 – 314 15 – 210 6 = 27 20 – 1 9 15 + 11 5 6 – 15 6 = 12 20 = 1512 5 – 22 3 + 11 5 2 = 14 6 – 15 20 = 1512 3 – 15 5 – 21 15 = 1113 15; P P P P F F F F 20 – 314 20 = 1118 20 = 11 9 10. Zad. 4. 16) · (– 8 a) (– 3 3) : 2 b) (–1 1 3) : 12 c) (–2 1 Zad. 5. a) 2) = – 1 4; 2) = 1 9) · (–1 1 6 · (– 3 3) · 3 2) = (– 4 3 : (– 1 2 · (–2) = (– 2) · (– 2) = 4; 9) = 28 8) = (– 7 2 : (–1 1 3 · 11 2 · (– 8 5 · 3 15 = 113 15. 3) · 3 b) 1 2 3 + , 2 , 1 8 , 0 7 1 , 5 25 7 9 0 0 0 1 7 1 _ 2 8 3 , 0 0 , 9 3 , 06 2 5 7 STARA DOBRA SZKOŁA 29 T T T T N N N N 3 jest 0,333… 5 ma rozwinięcie dziesiętne równe 0,25. Zad. 6. Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1 Ułamek 2 Zamieniając ułamek zwykły 1 otrzymamy 0,(142857). Wszystkie liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skoń- czone lub nieskończone okresowe. Zad. 7. (0,5 – 3) · (41 2 – 5) = (–2,5) · (–0,5) (0,5 – 2 3) : 1 3) · 3 3 Zad. 8. 7 na ułamek dziesiętny, = 1,25 – 1 6 · 3 1,25 (3 6 – 4 6) · 3 = 1,25 –0,5 = – 2,5. = (1 2 – 2 a) x –4; b) x ≤ 6. –4 0 1 0 1 6 Zad. 9. [23 = (68 7 + (0,6 + 1 3) : 1,4 28) · 6 28 · 11 ] : 31 6 = [23 7 + (0,6 + 0,5) : 1,4 19 = 9 28 · 6 19 = 57 14. 3 – 5 –2 ] : 19 6 = (23 7 + –2 ) · 6 10 · 10 11 19 = 14 Zad. 10. Obliczamy wagę mieszanki: 20 + 10 + 10 = 40 (kg). Obliczamy wartość zakupionych produktów: 20 · 5,60 + 10 · 12,60 + 10 · 6,20 = 300 (zł). Obliczamy cenę 1 kg mieszanki: 300 : 40 = 7,50 (zł). WWW.GIMTESTOK.PL 1. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie) 30 Notatki STARA DOBRA SZKOŁA
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: