Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
01374 007406 13614708 na godz. na dobę w sumie
Matematyka. Korepetycje maturzysty. Cel: matura - ebook/pdf
Matematyka. Korepetycje maturzysty. Cel: matura - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 256
Wydawca: Wydawnictwo Lingo Sp. J. Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-63165-73-4 Rok wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> praktyczna edukacja, samodoskonalenie, motywacja
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Potrzebujesz korepetycji z matematyki? Powtórki przed maturą? Szybkiej pomocy przed klasówką? Nowa seria repetytoriów dla licealistów OLDSCHOOL - stara dobra szkoła to skuteczna nauka tego, czego naprawdę potrzebujesz. Weź to na rozum! My w Ciebie wierzymy!

Seria została przygotowana przez doświadczonych korepetytorów i metodyków, a konsultowana z nauczycielami i samymi maturzystami. Repetytorium przeznaczone jest dla wszystkich uczniów szkół średnich, którzy potrzebują powtórki z matematyki, a zarazem chcą uczyć się ze zrozumieniem. Może też być świetną pomocą dla nauczycieli i korepetytorów.

Główne zalety repetytorium:

Domowe korepetycje tylko z OLDSCHOOL!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Danuta Zaremba Redaktor serii: Marek Jannasz Konsultacja matematyczna: dr Ryszard Kopiecki Redakcja i korekta: Maria Bradło-Kusiak Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio Projekt makiety i opracowanie graficzne: Kaja Mikoszewska © Copyright by Wydawnictwo Lingo sp.j., Warszawa 2012 www.cel-matura.pl ISBN: 9788363165734 Skład i łamanie: Kaja Mikoszewska Druk i oprawa: Pozkal Wstęp  Jest to książka dla wszystkich, którzy chcą powtórzyć i uzupełnić swoją wiedzę matematyczną przed maturą. Przypominając naj- ważniejsze wiadomości, staram się to robić tak, aby Czytelnik miał szansę rozumienia co, jak i dlaczego. Rezygnuję ze zbędnych forma- lizmów, odwołując się w zamian do zdrowego rozsądku. Pokazuję, że nie trzeba obciążać pamięci dużą liczbą wzorów i reguł; wystarczy myśleć i kojarzyć. Zachęcam do uczestniczenia w rozumowaniach przeprowadzanych w książce i samodzielnego szukania odpowiedzi na stawiane pytania. Warto też rozwiązywać sugerowane zadania. Rozwiązania można skonfrontować z zamieszczonymi odpowiedziami. Na końcu każdego rozdziału omówione są zadania wybrane z matur (także próbnych) z kilku ostatnich lat, przy czym nie wszystkie za- dania są cytowane w niezmienionej formie. Niektóre z nich są inaczej sformułowane, a zadania zamknięte zostały przedstawione jako otwarte. Oczywiście zadania można rozwiązywać różnymi sposobami – pokazałam te, które wydały mi się najprostsze. Z życzeniami matury na 100 procent dr Danuta Zaremba  Spis treści 1. Liczby i działania Wstęp ____________________________3 7 Liczby jako punkty prostej _________8 Odległość między liczbami ______10 Kilka uwag o rachowaniu ________12 Potęga o wykładniku całkowitym ______________________14 Własności pierwiastków _________17 Logarytmy _______________________21 Przykłady ciągów liczbowych ____23 Ciąg arytmetyczny ______________25 Ciąg geometryczny _____________27 Przegląd zadań maturalnych ____30 39 2. Procenty Poćwiczmy obliczanie w pamięci _______________________40 Ile razy? O ile procent? __________42 Jak omijać pułapki? _____________43 Proste obliczenia z kalkulatorem ___________________45 Zamieniamy ułamek na procent ______________________48 Dużo czy mało? _________________50 Procent procentu________________51 Lokujemy pieniądze w banku ____54 Punkty procentowe ______________57 Przegląd zadań maturalnych ____58 63 Co oznacza minus? _____________64 Przekształcanie wyrażeń algebraicznych __________________66 Wzory skróconego mnożenia ____70 O dziedzinie i wartościach wyrażeń algebraicznych _________73 Jak układać równania? _________75 3. Wyrażenia aLgebraiczne Jak rozwiązywać równania? _____78 Uwagi o rozwiązywaniu nierówności _____________________81 Przegląd zadań maturalnych ____84 4. Własności figur Płaskich 101 Kąty w wielokątach ____________102 Kąty w kole _____________________104 Co wynika z przystawania trójkątów? ______________________106 Symetrie wielokątów____________108 Co wynika z symetrii osiowej? ___110 Co wynika z twierdzenia Pitagorasa? ____________________112 Wielokąty podobne ____________116 Co wynika z podobieństwa trójkątów? ______________________119 Obwód i pole __________________121 Przegląd zadań maturalnych ___________________124 5. eLementy geometrii anaLitycznej na Płaszczyźnie 139 Współrzędne punktu ___________140 Interpretacja geometryczna równań i nierówności ___________142 Równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych _________________145 Równanie dowolnej prostej _____147 Przegląd zadań maturalnych ___________________151 161 Proporcjonalność prosta i odwrotna _____________________162 Funkcje – dziedzina, argumenty, wartości ________________________164 6. funkcje Spis treści  9. eLementy statystyki i rachunku 235 PraWdoPodobieństWa Średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe ______236 Mediana i średnia arytmetyczna __________________238 Średnia ważona i średnia arytmetyczna _________241 Iloma sposobami...? ____________242 Kilka przykładów obliczania prawdopodobieństwa _________245 Przegląd zadań maturalnych ___________________248 Od wykresu do wykresu ________167 Funkcja liniowa _________________169 Funkcje przedziałami liniowe _________________________171 Kilka wykresów funkcji kwadratowej ___________________173 Wyznaczanie wierzchołka paraboli ________________________175 Największa i najmniejsza wartość funkcji kwadratowej w przedziale____________________177 Rozwiązywanie nierówności kwadratowych _________________179 Jeszcze dwie funkcje ___________182 Przegląd zadań maturalnych ___________________184 197 Graniastosłupy _________________198 Ostrosłupy ______________________200 Kąt między prostą i płaszczyzną ___________________202 Kąt między płaszczyznami ______204 Walec i kula ____________________206 Stożek __________________________208 Przegląd zadań maturalnych ___________________211 7. bryły 8. trygonometria kąta ostrego 219 Kąt → trójkąt prostokątny → stosunki boków _________________220 Zastosowania funkcji trygonometrycznych ___________223 Związki między funkcjami trygonometrycznymi ___________225 Przegląd zadań maturalnych ___________________228 1. Liczby i działania Wcale nie tak rzadko słyszy się informację, że pewna wielkość wyraża się ogromnymi cyframi. Tymczasem najogromniejsza cyfra w systemie dziesiętnym to 9... Cyfry to znaki graficzne, które służą do zapisu liczb. Nie zapominajmy o tym!  × + – ÷ korepetycje maturzysty Liczby jako punkty prostej Jak wiadomo, liczby można utożsamiać z punktami prostej, tworząc z niej oś liczbową. Na osi liczbowej jest nieskończenie wiele punktów reprezentujących te liczby, które można przedstawić w postaci ułamka, czyli ilorazu dwóch liczb całkowitych. Liczby takie nazywamy wymiernymi. Jak wiemy, przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka nie jest jednoznaczne, na przykład = = . −2 −6 1 3 60 20 Pozostałe punkty osi liczbowej, a jest ich również nieskończenie wiele, reprezentują tzw. liczby niewymierne. Liczbami niewymiernymi są m.in. te pierwiastki (z liczb na- turalnych), które nie są liczbami naturalnymi, na przykład itd. √6 Liczbą niewymierną jest także iloraz obwodu dowolnego koła i jego średnicy. √4 7 √3 5 √2 √3 , , , , To, czy liczba jest wymierna czy niewymierna, można poznać po jej rozwinięciu dzie- siętnym. Mianowicie liczby niewymierne, i tylko one, mają nieskończone rozwinięcia dziesiętne, które nie są okresowe. Na przykład rozwinięcie, w którym od pewnego miejsca powstarza się grupa cyfr 125788, przedstawia liczbę wymierną, a rozwinięcie postaci: zero, dwie jedynki, zero, trzy jedynki, zero, cztery jedynki itd. nie ma okresu i dlatego przedstawia liczbę niewymierną. Liczby wymierne i niewymierne, tzn. wszystkie liczby z matematyki szkolnej, nazy- wamy liczbami rzeczywistymi1. Mówiąc „liczby”, mamy na myśli liczby rzeczywiste. Oś liczbową zwykle rysujemy poziomo, chociaż bardziej obrazowa byłaby oś pionowa. Na osi pionowej bardziej naturalne jest uporządkowanie liczb: im wyżej, tym większa. W sensie nierówności między liczbami −3 jest większe od −7, chociaż z życiowego punktu widzenia czasami jest inaczej. Na przykład mróz −7 jest większy niż −3. 1 W matematyce wyższej są jeszcze inne rodzaje liczb. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  Przejście do liczby przeciwnej do liczby a polega na odbiciu symetrycznym liczby a względem zera. W przypadku osi pionowej jest tak, że im liczba jest wyżej (niżej), tym liczba do niej przeciwna jest niżej (wyżej). Stąd wynika, że nierówność między liczbami zmienia kierunek przy obustronnym przejściu do liczb przeciwnych. Nie zapominaj o tym, mnożąc obie strony nierówności przez −1! Jak wiemy, na osi liczbowej można dodawać liczby, startując z zera i przesuwając się po osi pionowej w górę lub w dół (lub w lewo i w prawo na osi poziomej) zgodnie z po- szczególnymi składnikami. Na przykład (−4) + 2 + (−3) to 4 jednostki w dół, potem 2 w górę, a na końcu 3 w dół. Wyobraźmy sobie, że mamy dwie osie liczbowe. Na jednej z nich ktoś oblicza sumę pew- nych składników. Jednocześnie na drugiej osi druga osoba dodaje liczby, które są prze- ciwne do kolejnych składników dodawanych na pierwszej osi. Wynikiem tego dodawania na jednej osi jest liczba (−6). Jaki jest wynik dodawania na drugiej osi? sprawdź, czy potrafisz 1. porównaj wyniki dodawania: (−7) + (−3) oraz 7 + 3, (−7) + 3 oraz 7 + (−3). 2. suma liczb a i b jest równa 34. Ile wynosi suma liczby przeciwnej do a i przeciwnej do b? 2.−34. przeciwnymi. 1.sąliczbami Podane przykłady można uogólnić: liczba przeciwna do sumy jest równa sumie liczb przeciwnych do składników. WWW.CEL-MATURA.PL 1 × + – ÷ korepetycje maturzysty Odległość między liczbami Dzięki umieszczeniu liczb na osi liczbowej możemy mówić o odległościach między nimi. Odległość między liczbami to długość odcinka je łączącego. Obliczając odległość, odej- mujemy mniejszą liczbę od większej, co jest jasne w przypadku liczb dodatnich: 5 2 A 0 2 5 B |AB| = 5 – 2 a mniej oczywiste, jeżeli co najmniej jedna liczba jest ujemna: 5 2 0 0 2 –2 A –5 A –2 B 5 5 B |AB| = 5 – (–2) = 5 + 2 |AB| = –2 – (–5) = –2 + 5 = 5 – 2 Zobaczmy, jak znaleźć środek odcinka o danych końcach. Posłużmy się rysunkiem: b − a 2 a b środek = a + b − a 2 stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷ 11 Ponieważ a + 2 arytmetyczną jego końców. Warto to zapamiętać. = = = 2 2a 2 + b − a 2 b − a 2 2a + b − a a + b , więc środek odcinka jest średnią Przypomnijmy, że odległość liczby od zera nazywamy wartością bezwzględną (lub mo- dułem) tej liczby i oznaczamy pionowymi kreskami. Z tej definicji wynika, że wartość bezwzględna każdej liczby różnej od zera jest dodatnia, wartość bezwzględna zera jest równa zeru, a liczby przeciwne mają tą samą wartość bezwzględną. sprawdź, czy potrafisz 1. znajdź środek odcinka o końcach – 3 2 i 3 4 . 2. czy z równości |a| = |b| wynika, że a = b? 3. czy z nierówności a b wynika, że |a| |b|? a czy wynikanie odwrotne jest prawdziwe? 4. Na osi liczbowej zaznacz liczby, których wartość bezwzględna jest: a) mniejsza od 5, b) większa od 7. 5. posługując się osią liczbową, znajdź liczby x spełniające nierówność: a) |x| ⩽ 2, b) |x| 3, c) |x| −1. 6. Ile rozwiązań ma równanie |x| = a, gdzie a jest stałą? Wskazówka: rozważ przypadki: a 0, a = 0, a 0. WWW.CEL-MATURA.PL rozwiązania. sądwa jedno,dlaa 0 dlaa=0jest rozwiązań, niema 6.dlaa 0 liczbą. c)xjestdowolną lubx −3, b)x 3 5.a)−2⩽x⩽2, b=−2. odwrotnie:a=1, awdrugim a=−2,b=1, podstawić wystarczy przypadku Wpierwszym sąfałszywe. wynikania 3.oba przeciwne. mogąbyć 2.Nie,boliczby 8 1.−. 3 1 × + – ÷ korepetycje maturzysty Kilka uwag o rachowaniu Jak obliczyć wartość wyrażenia 1000 − 689 + 94 − 121 + 689 − 92 + 120? Czy opłaca się sięgać po kalkulator, wpisując do niego liczby i symbole działań? Jeżeli ogarniemy wzrokiem całość, zauważymy, że działania można zredukować: działania „odjąć 689” i „dodać 689” wzajemnie się znoszą, „dodać 94” i „odjąć 92”, to „dodać 2”, „odjąć 121” i „dodać 120”, to „odjąć 1”. W rezultacie obliczenie wartości wyrażenia sprowadza się do działania 1000 + 1. Obliczając, ile pieniędzy jest na koncie Iksińskiego, jeżeli było tam 1721 zł, Iksiński podjął 350 zł, a potem na konto przyszedł przelew 380 zł, powiększamy 1721 o 30. Obliczając sumę 1 + 2 + 3 + 7 + 8 + 9 + 10, warto połączyć 1 z 9, 2 z 8, a 3 z 7, bo wtedy wynik otrzymamy błyskawicznie. 1 5 6 7 2 7 W wyrażeniu 2 – 1 + – 1 unikniemy sprowadzania ułamków do wspólnego mia- nownika, jeżeli zaczniemy od działań na ułamkach o mianowniku 7, przy czym warto 6 zmienić kolejność działań na 2 – 1 + . 7 3 7 2 7 3 7 1 3 1 5 – 2 3 – 2 5 nie unikniemy przejścia przez wspólny mianownik, ale W wyrażeniu 1 + i tak opłaca się najpierw wykonać działania na ułamkach o jednakowych mianowni- kach, a dopiero potem sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. Racjonalne obliczenia nie tylko pozwalają uniknąć żmudnych rachunków, ale także zmniejszają ryzyko błędów, o czym chyba nie trzeba nikogo przekonywać. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷ 1 Obliczając wartość wyrażenia 2 + 3 · 4 czy 2 − 3 · 4, pamiętajmy o umowie, która daje pierwszeństwo mnożeniu przed dodawaniem i odejmowaniem, o ile w wyrażeniu nie ma nawiasów. Dzielenie w wyrażeniach arytmetycznych jest zwykle pisane w postaci ułamka i wtedy kolejność działań jest oczywista. Na przykład wyrażenie oznacza dzielenie licznika przez mianownik. Wyrażenie zapisać w postaci (3 · 5 + 6 · 4) : (3 · 4 + 9), ale kreska ułamkowa zamiast dwukropka ma wiele zalet – na przykład łatwiej upraszczać. W podanym przykładzie licznik i mianownik można po- dzielić przez 3. Nie zapominajmy przy tym, że dzieląc sumę, trzeba podzielić każdy składnik: (3 · 5 + 6 · 4) : 3 = 5 + 2 · 4, (3 · 4 + 9) : 3 = 4 + 3. Stąd 3 · 5 + 6 · 4 3 · 4 + 9 to można by = 3 · 5 + 6 · 4 3 · 4 + 9 13 7 . Podobnie, dzieląc przez 2 licznik i mianownik ułamka czyli . 4 3 4 − 2 · 6 4 − 2 · 5 , otrzymamy 2 − 6 2 − 5 , Pamiętaj, że mnożąc sumę, mnożymy każdy jej składnik. Analogiczna uwaga dotyczy różnicy. Własności te noszą nazwę praw rozdzielności mnożenia względem dodawania i odejmowania. Upraszczając ułamki piętrowe, mnożymy licznik i mianownik przez wspólny mianownik 3 − 1 1 2 1 + 5 6 wszystkich występujących tam ułamków. Na przykład upraszczając ułamek pomnóżmy licznik i mianownik przez 6, aby pozbyć się występujących tu ułamków: , 3 − 1 1 2 1 + 5 6 = 2 − 3 6 + 5 = – 1 11 . A jak uprościć ułamek 0,18 − 0,3 0,04 ? Mnożąc licznik i mianownik przez 100, otrzymujemy 18 − 30 4 , czyli −3. WWW.CEL-MATURA.PL 1 × + – ÷ korepetycje maturzysty sprawdź, czy potrafisz 1. oblicz w pamięci: a) 134 + 155 + 234 − 55, b) 7391 − 102 − 356 + 358. 2. pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę tak, by zlikwidować występujące tam ułamki, a potem oblicz: a) 3 – 1 2 · 5 3 4 + 3 · 1 2 , b) 3 – 2 · 1 1 5 3 5 + 1 3 . 14 . 1 ,b)– 9 2 1.a)468,b)7291.2.a) Potęga o wykładniku całkowitym Zacznijmy od wykładnika naturalnego. Jak wiadomo, potęgowanie o wykładniku 2, 3, 4, ... oznacza mnożenie: a2 = a · a, a3 = a · a · a itd. Wobec tej definicji logiczne wydaje się przyjęcie umowy, że a1 = a. Zauważmy, że w przypadku wykładnika parzystego potęga dowolnej liczby jest nie- ujemna. Ponadto nie zależy od znaku liczby, a tylko od jej bezwzględnej wartości; jest taka sama dla liczb przeciwnych. W tym miejscu zwróćmy uwagę na konieczność pisania nawiasu w przypadku potęgowania liczby ujemnej. Podnosząc do potęgi liczbę ujemną, trzeba ją ująć w nawias. Zatem −2 do potęgi n to (−2)n, a nie −2n. Jeżeli bowiem n jest parzyste, to liczby te są różne: (−2)n 0, a −2n 0. Na przykład (−2)2 = (−2) · (−2) = 4, a −22 = − (2 · 2) = −4. Z definicji potęgowania, jeżeli napiszemy potęgi w postaci iloczynów, otrzymamy włas- ności: stara dobra szkoła × + – ÷ 1 1. Liczby i działania (a · b)n = an · bn, ( a b )n = an bn Przydają się one w rachunkach. Na przykład: 54 · 24 = (5 · 2)4 = 104, 64 34 = ( )4 = 24. 6 3 Przypomnijmy podstawowe prawa działań na potęgach o tej samej podstawie. Jest jasne, że mnożąc dwie potęgi, otrzymujemy iloczyn, w którym jest tyle czynników, ile w sumie jest w obu potęgach. Na przykład a5 oznacza iloczyn 5 czynników, a3 oznacza iloczyn 3 czynników, więc a5 · a3 to a5+3. Przy dzieleniu potęg otrzymujemy ułamek, w którym czynniki się skracają. Na przykład w ułamku wszystkie 3 czynniki mianownika kasują się z 3 czynni- a5 kami licznika, skąd a3 = a5–3. a5 a3 Pamiętaj, że przy mnożeniu potęg o jednakowych podstawach wykładniki dodajemy, a przy dzieleniu potęg wykładniki odejmujemy. k składnikówC Z pierwszej z tych własności wynika, że (an)k = an · an · ... · an = an + n + ... + n = akn.=k czynników Nie zapominaj, że przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy. A jak rozszerzyć potęgowanie na wykładniki całkowite? Jak określić a0 czy a−3? Czym się kierować? WWW.CEL-MATURA.PL 1 × + – ÷ korepetycje maturzysty Przyjęto definicję, która pozwoliła zachować prawa działań na potęgach. W szczegól- ności jeżeli własność (*) an am = an–m dla a ≠ 0 ma być prawdziwa także dla równych wykładników, to 1 = wencji przyjmujemy, że an an = an−n = a0. W konsek- a0 = 1 dla a ≠ 0. Symbol 00 jest nieokreślony. Jeżeli własność (*) ma być prawdziwa także dla n m, to dla a ≠ 0 otrzymamy: a−1 = a1−2 = a1 a2 = a a2 = 1 a , a−2 = a1−3 = a1 a3 = a a3 = 1 a2 itd. Przy takim określeniu potęg każdy ułamek dziesiętny można przedstawić jako kom- binację potęg liczby dziesięć. Na przykład: 375,412 = 3 · 102 + 7 · 101 + 5 · 100 + 4 · 10−1 + 1 · 10−2 + 2 · 10−3. Potęgi dziesiątki przydają się do zwięzłego zapisywania liczb zawierających dużo zer. Na przykład: 23 000 000 = 23 · 106, 0,0001 = 10−4, 0,000045 = 45 · 10−6. Prawa dotyczące podnoszenia do potęgi iloczynu i ilorazu, a także prawa mnożenia, dzielenia i potęgowania potęg o tej samej podstawie odnoszą się do wszystkich wykład- ników całkowitych. stara dobra szkoła × + – ÷ 1 1. Liczby i działania sprawdź, czy potrafisz 1. zapisz w postaci jednej potęgi: a) x5 · x2 · x, b) (x4)4. 2. Ile razy liczba 515 jest większa od liczby 513? 3. oblicz: a) 10016 · 1004 10015 · 1005 , b) 35 · 34 · (24)3 (23)4 · (32)5 4. oblicz: a) 1003 : 253, c) ( )4 · 54, 2 5 1 b) 26 · ( )7, 2 1 )2. d) 72 · ( 14 5. zapisz, posługując się potęgami dziesiątki: a) 0,0000003, b) 0,00000234. 6. przedstaw w postaci jednej potęgi: a) 3−6 · 3−16, b) 3−6 : 3−16, c) 3−7 · 35. c)3−2. a)3−22,b)310, 6. lub234·10−8. 10−7+4·10−8 b)2·10−6+3· a)3·10−7, 5. d) a)43,b) 4. a)1,b) 3. 2.25. 1.a)x8,b)x16. 4 1 2 1 . 3 1 . ,c)24, Własności pierwiastków Jak wiadomo, pierwiastkowanie jest w pewnym sensie czynnością odwrotną do potę- gowania o wykładniku całkowitym większym od 1. Mając wynik potęgowania i wykład- nik, szukamy podstawy. Na przykład jeżeli x3 = 8, to x = 2, a jeżeli xn = 0, to x = 0. WWW.CEL-MATURA.PL 1 × + – ÷ korepetycje maturzysty Podstawa nie zawsze jest wyznaczona jednoznacznie, na przykład jeżeli x2 = 9, to x = 3 lub x = −3. Aby mieć jednoznaczność, rozpatrujemy tylko podstawy nieujemne (x ⩾ 0). I tak właśnie określamy pierwiastek arytmetyczny2: x = n √a , jeżeli xn = a i x ⩾ 0. Skoro x ⩾ 0, to a ⩾ 0. Zatem pierwiastek arytmetyczny jest określony tylko dla liczb nieujemnych. Pierwiastek arytmetyczny będziemy nazywać krótko pierwiastkiem. sprawdź, czy potrafisz 1. podaj wyniki działań: a) ( √3 )2, b) (n √a )n, c) √(–3)2 . 2. sprawdź, czy równości są prawdziwe: = 333, c) = 102, b) √3 3333 √104 a) prawdziwe. równościsą Wszystkie 2. a)3,b)a,c)3. 1. √(–5)2 = √52 . √a2 Pamiętaj, że równość bo pierwiastek z definicji jest nieujemny. Nie znając znaku liczby podpierwiastkowej, musimy posłużyć się modułem: = a jest prawdziwa tylko dla a ⩾ 0, = |a|. √a2 W zadaniach rachunkowych z pierwiastkami często przydaje się własność, w myśl któ- rej pierwiastek iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków: 2 Jest jeszcze inny pierwiastek, zwany algebraicznym. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania √a · b n = n √a √b · n . × + – ÷ 1 Wynika ona stąd, że (n √a √b · n )n = (n √a )n · (n √b )n = a · b. Własność ta pozwala wyłączać czynnik przed pierwiastek, na przykład: √20 √4 √5 √4 · 5 = 2 √5 . = = · Niekiedy stosujemy własność w drugą stronę, zastępując kilka pierwiastków jednym, na przykład: √2 √5 √10 √2 · 5 · 10 = 10. √100 = = · · √a Analogiczną własność ma pierwiastek ilorazu: n b = n √a √b n . Natomiast inaczej jest z pierwiastkiem sumy i różnicy, co widać na przykładach: √2 + 2 √2 − 1 = = √4 √1 = 2, = 1, √2 √2 + – √2 √1 2, więc 1, więc √2 + 2 √2 − 1 ≠ ≠ √2 √2 + – , √2 . √1 sprawdź, czy potrafisz 1. oblicz, zamieniając na pierwiastek iloczynu lub ilorazu: a) √12,1 · √10 , b) √3 250 , c) √3 · √27 , d) · √3 2 √300 √3 √3 2 · √3 54 √3 2 . , e) 2. Wyłącz czynnik przed pierwiastek: a) √12 , b) √18 , c) √45 , d) √12a2 dla a 0. 3. Włącz czynnik pod pierwiastek: √81 2 , d) 5√ .1 5 a) 2 √2 , b) 2 √3 2 , c) WWW.CEL-MATURA.PL √5 . d) √2 , c) √316 , b) √8 3.a) , √3 d)2a . √5 , c)3 √3 , b)2 √3 2.a)2 c)9,d)10,e)3. 1.a)11,b)10, ,  × + – ÷ korepetycje maturzysty i Zastanówmy się, jak porównać liczby która z liczb jest większa. A może są równe? 5√2 √3 4√3 √2 . Nie tak łatwo stwierdzić od razu, Spróbujmy przekształcić liczby do postaci, w której w mianownikach nie ma pier- wiastków. Inaczej mówiąc, usuńmy niewymierności z mianowników: 5√2 √3 4√3 √2 = = 5√2 · √3 √3 · √3 4√3 · √2 √2 · √2 = = 5√2 · √3 3 4√3 · √2 2 = = 5 3 √2 · √3 , 2√3 · √2 . Ponieważ 2 , więc większa jest druga liczba. 5 3 O usuwaniu niewymierności z mianownika w bardziej skomplikowanych przypadkach będzie mowa przy wzorach skróconego mnożenia. sprawdź, czy potrafisz 1. usuń niewymierność z mianownika: , gdzie a 0. , b) a) 2 3 a√a √2 · √3 2. która z liczb 4√5 √3 i 6√3 √5 jest większa? . 2.tapierwsza. a2 3√a 1.a) 3 √6 ,b) Na koniec przypomnijmy, że za pomocą pierwiastków definiujemy potęgę o dowolnym wykładniku wymiernym. Jeżeli , gdzie q 0, to a = q . Można wykazać, że zmieniając kolejność działań po prawej stronie rów- ności, nie zmienimy wartości wyrażenia: q liczba wymierna ma postać = ( q √a √ap √ap ) p. p q p q Z definicji potęgi wymiernej wynika, że jest ona określona tylko dla liczb dodatnich i jej wartościami są również tylko liczby dodatnie. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷ 1 Własności dotyczące mnożenia, dzielenia i potęgowania potęg o tych samych podsta- wach przysługują również potęgom o wykładnikach wymiernych. Logarytmy Podobnie jak pierwiastkowanie, logarytmowanie jest również czynnością odwrotną do potęgowania, chociaż w innym sensie. Mając podstawę (różną od 1) i wynik potęgowa- nia, obie liczby dodatnie, szukamy wykładnika. Na przykład jeżeli 2x = 16, to x = 4, a jeżeli 3x = , to x = −1. 1 3 Ten wykładnik to właśnie logarytm. Ogólnie: loga b = x, jeżeli ax = b. Zauważmy, że podstawa logarytmu (liczba a) jest zarazem podstawą potęgi. sprawdź, czy potrafisz 1. oblicz: 1 a) log10100, b) log10010, c) log327, d) log4 , 4 e) log f) log24. 1 81 2 , 2. oblicz: a) log123123, b) logaa, c) log81, d) loga1, e) log22100. c)0,d)0,e)100. 2.a)1,b)1, d)−1,e)3,f)2. b) 1.a)2, ,c)3, 2 1 W zadaniach rachunkowych korzystamy z własności dotyczących logarytmu iloczynu, logarytmu ilorazu i logarytmu potęgi. Wyprowadzimy te własności, korzystając z włas- ności potęgowania. WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty Zacznijmy od przekształcenia loga (b · c). Oznaczmy: loga b = x oraz loga c = y. Wtedy ax = b i ay = c, skąd ax · ay = b · c. Ponieważ przy mnożeniu potęg wykładniki dodajemy, więc ax+y = b · c. Oznacza to, że loga (b · c) = x + y, czyli loga (b · c) = loga b + loga c. Analogicznie, korzystając z własności, że przy dzieleniu potęg wykładniki odejmujemy, dochodzimy do równości loga b c = loga b − loga c. Własności te warto pamiętać: logarytm iloczynu (ilorazu) jest równy sumie (różnicy) logarytmów. Pozostaje jeszcze wyprowadzić wzór na loga bc, gdzie c jest dowolną liczbą. Oznaczając loga b = x, otrzymamy ax = b. Stąd (ax)c = bc. Korzystając z własności, że potęgując po- tęgę, wykładniki mnożymy, mamy ac · x = bc. Oznacza to, że loga bc = c · x, czyli loga bc = c · loga b. To też warto wiedzieć: logarytmując potęgę, wyłączamy wykładnik przed logarytm. A oto przykłady zastosowania poznanych własności: 1 23 = loga (23 · 1 23 log2 12 = log2 (4 · 3) = log2 4 + log2 3 = 2 + log2 3, loga 23 + loga log3 21 − log3 7 = log3 log2 435 = 35 log2 4 = 35 · 2 = 70. ) = loga 1 = 0, = log3 3 = 1, 21 7 stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  Przykłady ciągów liczbowych Zacznijmy od przykładu ciągu nieskończonego: 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , ... Widząc kilka początkowych wyrazów, dostrzegamy regułę, w myśl której ciąg został utworzony. Potrafimy powiedzieć, jaka liczba jest na piątym miejscu, jaka na dzie- siątym, a jaka na tysięcznym. Zauważamy, że mianownik pokrywa się z numerem miejsca, na którym stoi dany wyraz. Oznaczając wyrazy ciągu przez a1, a2, ..., mamy a5 = . Umiemy to zapisać w sposób ogólny: an = , a10 = dla n = 1, 2, .... , a1000 = 1 1000 1 5 1 10 1 n A jak zapisać wzorem ogólnym ciąg 3, 6, 9, 12, ...? Skoro a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9, a4 = 12, ..., to an = 3n. sprawdź, czy potrafisz 1. podaj wzór ogólny ciągu: a) 1, 2, 3, ... b) 2, 4, 6, ... c) –1, –2, –3, ... d) 1, 3, 5, ... 2. podaj wzór ogólny ciągu liczb naturalnych podzielnych przez 4. 3. oblicz a1, a2 i a3, jeżeli an = (−2)n. 1.a)an=n,b)an=2n,c)an=−n,d)an=2n−1.2.an=4n.3.a1=−2,a2=4,a3=−8. A jak zmieni się wzór na n-ty wyraz ciągu, jeżeli co drugi wyraz zmienimy na prze- ciwny? Jak zapisać wzorem ciąg −3, 6, −9, 12, ...? WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty W tego typu przypadkach wykorzystuje się czynnik (−1)n, który na przemian przyj- muje wartość −1 i 1. Wyrazy o numerach parzystych mnoży się więc przez 1, a o nu- merach nieparzystych przez −1. Szukany wzór przyjmie postać an = (−1)n · 3n. Gdyby zmieniać wyrazy na przeciwne, zaczynając od drugiego, to we wzorze ogólnym wykładnik trzeba by przesunąć o 1. Istotnie, jeżeli an = (−1)n+1 · 3n, to a1 = 3, a2 = −6, a3 = 9, .... Wśród ciągów szczególną rolę odgrywają ciągi arytmetyczne i geometryczne. Przypomnijmy, że ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym różnica między dwoma kolejnymi wyrazami jest stała; ściślej mowiąc stała jest różnica an − an–1 dla n = 2, 3, .... Natomiast w ciągu geometrycznym stały jest iloraz sąsiednich wyrazów, tzn. stały jest iloraz dla n = 2, 3, .... anan–1 sprawdź, czy potrafisz 1. które z podanych ciągów są arytmetyczne, a które geometryczne: a) 0, −1, −2, −3, ... b) 0, −1, 2, −3, ... c) 1, −1, 1, −1, 1, ... d) 5, 10, 20, 40, 80, ... 2. podaj przykład ciągu o wyrazach malejących, który jest: a) arytmetyczny, b) geometryczny. geometryczne. c)id)ciągi arytmetyczny, 1.a)ciąg stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  Ciąg arytmetyczny Różnicę między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego tradycyjnie oznaczamy literą r, tzn. an − an–1 = r dla każdego n 1. Inaczej mówiąc, an = an–1 + r. Jeżeli r 0, to ciąg jest rosnący, a jeżeli r 0, to ciąg jest malejący: a1 ... a4 a2 a3 a3 a2 a4 ... a1 r 0 r 0 Jak widać z rysunku, każdy wyraz ciągu arytmetycznego o numerze większym od 1 leży w połowie odcinka, którego końcami są wyrazy sąsiednie, więc jest średnią aryt- metyczną wyrazów sąsiednich. Widzimy też, że odcinek łączący dwa dowolne wyrazy ciągu jest wielokrotnością odcinka łączącego dwa wyrazy sąsiednie. Stąd wynika, że różnica między dwoma dowolnymi wyrazami jest wielokrotnością r. Na przykład znajdźmy różnicę a9 − a5. Ile razy trzeba dodawać r do a5, aby otrzymać a9? Dodając raz, otrzymujemy a6, dodając drugi raz otrzymamy a7, dodając trzeci raz otrzymamy a8, a za czwartym razem otrzymamy a9. Jak widać, dodajemy r tyle razy, ile jest liczb naturalnych od 6 do 9, czyli 9 − 5. Zatem a9 − a5 = (9 − 5) · r. Podobnie obliczymy, że a13 − a8 = (13 − 8)r oraz an − a1 = (n − 1)r. WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty Korzystając z tych zależności, możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego, jeżeli znamy jeden z jego wyrazów i różnicę, a także możemy obliczyć różnicę ciągu, znając dwa jego wyrazy. sprawdź, czy potrafisz 1. jeden z wyrazów ciągu arytmetycznego jest równy 5. znajdź dwa wyrazy następne i jeden poprzedni, jeżeli różnica ciągu jest równa: a) 2, b) −2. 2. pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, a dziesiąty 4. oblicz różnicę ciągu. 3. drugi wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy −3 jest równy 2. oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. 3.−52. 9 2. . 1 to7. apoprzedni wyrazyto3,1, następne b)dwa to3, apoprzedni wyrazyto7,9, następne 1.a)dwa Przypomnijmy wzór na sumę dowolnej liczby początkowych wyrazów ciągu arytme- tycznego. Zgodnie z tradycją, oznaczamy (1) Sn = a1 + a2 + a3 +... + an–1 + an Zauważmy, że suma wyrazu pierwszego i ostatniego jest taka sama, jak suma wyrazu drugiego i przedostatniego.Wynika to stąd, że drugi wyraz powstaje z pierwszego przez dodanie r, a przedostatni powstaje z ostatniego przez odjęcie r. Mamy więc a2 = a1 + r oraz an–1 = an − r, skąd a2 + an–1 = a1 + an. Postępowanie to można kontynuować: od- liczając po tyle samo miejsc od pierwszego i ostatniego, otrzymujemy wyrazy, z których jeden powstaje z pierwszego wyrazu przez kilkakrotne dodanie r, a drugi powstaje z ostat- niego przez odjęcie r tyle samo razy. Zatem suma takiej pary wyrazów to a1 + an. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  Napiszmy jeszcze raz sumę Sn, tym razem w kolejności od wyrazu ostatniego do pierwszego: (2) Sn = an + an–1 + ... + a3 + a2 + a1 Dodajmy stronami równości (1) i (2), przy czym dodawajmy w kolumnach, łącząc po dwa wyrazy: a1 + an, a2 + an–1, a3 + an–2 itd. Otrzymamy n składników, z których każdy jest równy a1 + an. Zatem: 2Sn = (a1 + an) · n, (a1 + an) · n Sn = . 2 sprawdź, czy potrafisz 1. oblicz sumę liczb naturalnych od 1 do 1000. 2. suma 10 wyrazów ciągu arytmetycznego a1, a2, ... jest równa 110, a a1 = 2. oblicz a10. 2.20. 1.500500. Ciąg geometryczny Iloraz sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego tradycyjnie oznaczamy literą q, tzn. = q dla każdego n 1. Inaczej mówiąc, an = an–1 · q. anan–1 Ciąg geometryczny może być rosnący, malejący lub żaden z tych dwóch, co pokazują przykłady: WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty 2, 4, 8, 16, 32, ... 2, −4, 8, −16, 32, ... 1, , ... , , 1 8 1 16 1 2 , 1 4 Pierwszy ciąg jest rosnący, bo iloraz jest większy od 1. Drugi ciąg nie jest ani rosnący ani malejący, wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, bo iloraz jest ujemny. Trzeci ciąg jest malejący, bo iloraz jest ułamkiem właściwym (dodatnim). Zauważmy, że ponieważ w dowolnym ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje z po- przedniego przez pomnożenie przez q, więc można go otrzymać także z dowolnego wy- razu wcześniejszego, mnożąc ten wyraz przez odpowiednią potęgę q. Na przykład zobaczmy, jak otrzymać a9 z a5. Ile razy trzeba mnożyć a5 przez q, aby otrzymać a9? Mnożąc raz, otrzymamy a6, mnożąc drugi raz, otrzymamy a7, mnożąc trzeci raz, otrzymamy a8, a za czwartym sprawdź, czy potrafisz 1. jeden z wyrazów ciągu geometrycznego jest równy 9. znajdź dwa wyrazy następne i trzy poprzednie, jeżeli iloraz ciągu jest równy 3. 2. pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 3, a piąty 48. oblicz iloraz ciągu. 3. drugi wyraz ciągu geometrycznego 1 o ilorazie jest równy 2. oblicz siódmy wyraz 2 tego ciągu. 16 . 1 . 3 1 3. 2.2lub−2. 3,1, poprzednie: wyrazy następne:27,81, 1.Wyrazy stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  razem otrzymamy a9. Jak widać, mnożymy przez q tyle razy, ile jest liczb od 6 do 9, czyli 9 − 5. Zatem a9 = a5 · q9−5. Podobnie obliczymy, że a13 = a8 · q13−8 oraz an = a1 · qn−1. Korzystając z tych zależności, możemy obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego, jeżeli znamy jeden z jego wyrazów i iloraz, a także możemy obliczyć iloraz ciągu, znając dwa jego wyrazy. Na zakończenie przypomnijmy wzór na sumę dowolnej liczby początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Oznaczmy Sn = a1 + a2 + a3 +... + an–1 + an. Wyrażając każdy składnik tej sumy za pomocą a1, otrzymujemy: Sn = a1 + a1 · q + a1 · q2 + ... + a1 · qn−2 + a1 · qn−1. Pomnóżmy przez q obie strony otrzymanej równości, rozdzielając mnożenie po prawej stronie na poszczególne składniki. Otrzymamy: Sn · q = a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn−1 + a1 · qn. Zauważmy, że a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn−1 jest sumą kolejnych wyrazów ciągu od a2 do an, zatem uzupełniając tę sumę o a1, otrzymamy Sn. Dodajmy więc a1 do obu stron równości: Sn · q + a1 = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn−1 + a1 · qn, 14444442444443 Sn czyli Sn · q = Sn + a1 · qn − a1. WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty Otrzymaną równość przekształćmy tak, aby wyznaczyć z niej Sn: Sn · q – Sn = a1 · qn − a1, Sn(q − 1) = a1 · (qn − 1), Sn = a1 · (qn − 1) . q − 1 sprawdź, czy potrafisz 1. suma sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 63, a iloraz jest równy 2. oblicz pierwszy wyraz ciągu. 2. pierwszy wyraz ciągu geometrycznego o ilorazie 2 jest równy 5. znajdź najmniejsze n, dla którego suma n poczatkowych wyrazów ciągu jest większa od 100. 2.5. 1.1. Przegląd zadań maturalnych oblicz 632 · ( )4.1 3 chodzi tu o takie uproszczenie wyrażenia, aby rachunki były łatwe. Nasuwa się pomysł rozłożenia liczby 63 na czynniki tak, aby pojawiła się liczba 3. ponieważ 63 = 3 · 21 = 3 · 3 · 7 = 32 · 7, (32)2 · 72 więc 632 · ( )4 = (32 · 7)2 · = = = 72 = 49. 34 · 72 1 34 1 3 = 34 34 oblicz |5 − 7| − |−3 + 4|. |5 − 7| − |−3 + 4| = = |−2| − |1| = 2 − 1 = 1. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷ 1 oblicz 2−2 · 3−1 2−1 · 3−2 . oblicz 32−3 : ( )4.1 8 2−2 · 3−1 2−1 · 3−2 = 22 · 1 1 3 2 · 1 1 32 = = 1 22 · 3 3 · 2 · 32 = · 3 = . 2 = 1 22 · 3 1 2 · 32 1 2 można obliczać inaczej, korzystając od razu z reguł potęgowania: 2−2 · 3−1 2−1 · 3−2 = 2–1 · 3 = = 2–2–(–1) · 3–1–(–2) = . 3 2 32−3 : ( )4 = 1 8 1 323 · 84 = 84 (4 · 8)3 = = 84 43 · 83 = 8 43 = 2 · 4 43 = 2 42 = 1 8 rachunki będą nieco prostsze, jeżeli zarówno 32, jak i 8 przedstawimy jako potęgi liczby 2: 32−3 : ( )4 = (25)−3 · (23)4 = = = 1 8 · 212 = = . 212 215 1 23 1 (25)3 1 8 oblicz: a) log5 5 − log5 125, b) log4 8 + log4 2, c) 2 log 9, d) log3 1 3 1 27 . a) korzystamy z definicji logarytmu: log5 5 = 1, bo 51 = 5, a log5 125 = 3, bo 53 = 125. Wynikiem obliczeń jest więc −2. b) Najlepiej zastąpić sumę logarytmów logarytmem iloczynu: log4 8 + log4 2 = log4 (8 · 2) = log4 16 = 2. obliczenie każdego z dwóch logarytmów oddzielnie jest trudniejsze, ale możliwe: log4 8 = )3 = 8, a log4 2 = , bo 4 = ( , bo = 2. √4 √4 3 2 3 2 1 2 c) 2 log 9 = 2 · (−2) = −4. 1 3 d) ponieważ 3−3 = 1 33 = 1 27 , więc log3 1 27 = −3. WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty podaj wartość x, dla której log3 x = 9. z definicji logarytmu wynika, że x = 39. ciąg (an) jest określony wzorem an = (−1)n · (3 − n). oblicz a3, a4 i a5. do wzoru określającego ciąg trzeba w miejsce n podstawić kolejno liczby 3, 4 i 5. otrzymamy: a3 = 0, a4 = (−1)4 · (3 − 4) = −1, a5 = (−1)5 · (3 − 5) = 2. W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3 = 13 i a5 = 39. oblicz a1. korzystając z równości a3 − a1 = a5 − a3, otrzymamy a3 − a1 = 26. zatem 13 − a1 = 26, skąd a1 = −13. można także od razu skorzystać z wzoru Sn = , podstawiając n = 20. (a1 + an) · n 2 W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy 14, a jedenasty jest równy 34. oblicz różnicę tego ciągu. skorzystamy ze związku a11 = a3 + (11 − 3) · r. otrzymamy 34 = 14 + 8r, skąd r = .5 2 W ciągu arytmetycznym a1 = 3 oraz a20 = 7. oblicz sumę a1 + a2 + ... + a19 + a20. sumę a1 + a2 + ... + a19 + a20 można obliczyć bezpośrednio, łącząc wyraz pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. takich par jest 10, a suma wyrazów w każdej parze jest taka sama jak w pierwszej parze, więc wynosi 10. zatem szukana suma jest równa 10 · 10, czyli 100. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  Wykaż, że liczba 354 jest rozwiązaniem równania 24311 − 8114 + 7x = 927. trzeba pokazać, że 24311 − 8114 + 7 · 354 = 927. W tym celu występujące tu liczby przedstawmy w postaci iloczynów tak, aby jak najwięcej razy występował czynnik 3. zatem: 81 = 34, Hipotetyczna równość przybiera wtedy postać (35)11 − (34)14 + 7 · 354 = (32)27. korzystając z wzoru na potęgowanie potęgi, otrzymujemy 355 − 356 + 7 · 354 = 354. po lewej stronie wyłączamy przed nawias 354, otrzymując 354 (3 − 32 + 7) = 354. równość ta jest prawdziwa, ponieważ 3 − 32 + 7 = 1. 243 = 3 · 81 = 3 · 34 = 35, 9 = 32. Wykaż, że w dowolnym ciągu arytmetycznym (an) zachodzi równość ak–1 + ak+1 = 2ak dla dowolnego wskaźnika k 1. Wystarczy skorzystać z tego, że ak–1 = ak − r oraz ak+1 = ak + r, i dodać stronami obie równości. ciąg (an) jest określony wzorem an = 2 − znajdź taką liczbę x, aby ciąg trzywyrazowy a2, a7, x był arytmetyczny. dla n = 1, 2, 3,.... 1 n z podanego wzoru wynika, że a2 = 2 – 3 Liczby 2 stąd x = , x tworzą ciąg arytmetyczny, jeżeli 2 = 52 13 , 7 26 7 – 3 . 14 – 21 14 = 31 14 2 = 3 1 2 oraz a7 = 2 – 13 7 – 3 2 7 = 13 1 7 13 = x – 7 . . WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty Wykaż, że dla każdego m ciąg m + 1 4 , m + 3 6 , m + 9 12 jest arytmetyczny. – 6 4 6 – = 12 m + 3 m + 9 m + 1 m + 3 2(m + 3) − 3(m + 1) = m + 9 − 2(m + 3). trzeba wykazać, że dla każdego m (1) pomnóżmy obie strony tej hipotetycznej równości przez 12: () Nietrudno sprawdzić, że lewa strona jest równa prawej, więc równość () jest prawdziwa dla każdego m. pozostanie ona prawdziwa po podzieleniu obu stron przez 12, a po tym przekształceniu wrócimy do postaci (1). zatem równość (1) jest prawdziwa dla każdego m. W rosnącym ciągu geometrycznym a1 = 12, a3 = 27. Wyznacz iloraz tego ciągu i oblicz a6. ponieważ a3 = a1 q2, więc 27 = 12 · q2, skąd q2 = lub q = – . drugą wartość q trzeba odrzucić, bo ciąg z założenia ma być rosnący. ponieważ a6 = a3 · q3, więc a6 = 27 · ( )3 = = . zatem q = 33 · 33 3 2 = . 272 8 27 12 9 4 3 2 3 2 23 W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 2 oraz a2 = 12. oblicz a4. W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 3 oraz a4 = 24. oblicz iloraz tego ciągu. ponieważ q = 6, więc a4 = a2 · q2 = 12 · 36 = 432. z równości a4 = a1 q3 otrzymujemy 24 = 3q3, skąd q = 2. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. oblicz x i y. do warunku x + y = 8 dołączymy warunek y − x = 19 − y, otrzymując układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi: x + y = 8 2y − x = 19 dodając stronami, otrzymamy 3y = 27, skąd y = 9. W konsekwencji x = −1. Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile na dolnej. 24 q . Iloraz q obliczymy z warunku, że suma płyt skoro drugi wyraz ciągu geometrycznego jest równy 24, to trzeci wyraz jest równy 24 · q, a pierwszy na półce górnej i na dolnej jest równa 76 − 24, czyli 52. zapisując to symbolicznie, otrzymujemy równanie mnożymy obie strony równania przez q, przenosimy wyrazy na jedną stronę i porządkujemy, otrzymując 24q2 − 52q + 24 = 0. dzielimy obie strony równania przez 4 i znajdujemy pierwiastki: q = Na górnej półce stoi więc 16 płyt, a na dolnej 36, lub odwrotnie. + 24 · q = 52. lub q = 24 q 2 3 . 3 2 zadanie można też rozwiązać inaczej, przyjmując za niewiadome liczby płyt na półce gónej i dolnej i układając dwa równania. ten sposób jest bardziej żmudny. WWW.CEL-MATURA.PL  × + – ÷ korepetycje maturzysty oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (an), w którym a3 = 1 i a4 = .2 3 ciąg 1, x, y − 1 jest arytmetyczny, natomiast ciąg x, y, 12 jest geometryczny. oblicz x oraz y. zacznijmy od obliczenia = 2 ilorazu ciągu: q = 3 ponieważ a3 = a1 · q2, więc 1 = a1 · ( )2, skąd a1 = . a4a3 9 4 2 3 ciąg (an) jest arytmetyczny, a7 = 1, a11 = 9. a) oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu (an). b) sprawdź czy ciąg a7, a8, a11 jest geometryczny. c) Wyznacz takie n, aby suma początkowych wyrazów ciągu (an) miała wartość najmniejszą. = y x 12 y . mamy więc dwa równania. z pierwszego założenia wynika, że x − 1 = y − 1 − x, a z drugiego, że pierwsze z nich przekształćmy do postaci y = 2x, a drugie do postaci y2 = 12x. układ równań y = 2x y2 = 12x można rozwiązać nawet w pamięci. dzieląc stronami drugie równanie przez pierwsze (a można to zrobić, ponieważ x i y – jako wyrazy ciągu geometrycznego – nie mogą być zerami), otrzymamy y = 6, skąd x = 3. a) korzystając z równości a11 − a7 = (11 − 7) · r, orzymamy 8 = 4r, skąd r = 2. Wartość tę podstawimy do równości a7 = a1 + 6r, otrzymując 1 = a1 + 12, skąd a1 = −11. b) ponieważ a8 = a7 + r, więc a8 = 1 + 2 = 3. ciąg 1, 3, 9 jest geometryczny, iloraz jest równy 3. c) Wyrazy ciągu od pierwszego do szóstego są ujemne, a pozostałe są dodatnie. suma wyrazów będzie najmniejsza, jeżeli wszystkie będą ujemne. zatem n = 6. stara dobra szkoła 1. Liczby i działania × + – ÷  drugi wyraz ciągu geometrycznego –3 jest równy . oblicz 2 pierwszy wyraz tego ciągu. , a trzeci √3 2 przyjmijmy tradycyjne oznaczenia i obliczmy iloraz ciągu: q = a3a2 = –3 2 √3 2 = – 3 2 · 2 √3 = – 3 √3 = – . √3 z równości a1 · q = a2 otrzymujemy a1 · (− ) = √3 √3 2 , skąd a1 = – √3 2√3 1 = – . 2 zadanie można rozwiązać inaczej, bez obliczania ilorazu. W tym celu wystarczy skorzystać z proporcji = . a2a1 a3a2 Wykaż, że ( )–5 · ( )5 = ( )10. x y y x y x = = y5 x5 = ( )5, y x ponieważ ( )–5 = 1 x y ( )5 x y więc ( )–5 · ( )5 = ( )5 · ( )5 = ( )10. x y 1 x5 y5 y x y x y x y x WWW.CEL-MATURA.PL oblicz różnicę ciagu arytmetycznego określonego wzorem an = −2n + 1 dla n ⩾1. Wybierzmy dwa kolejne wyrazy ciągu, np. a1 i a2. ponieważ a2 = −2 · 2 + 1 = −3, a1 = −2 + 1 = −1, więc a2 − a1 = −3 − (−1) = −2. I taka jest różnica ciągu. Liczby 64 i 4 są odpowiednio pierwszym i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. oblicz piąty wyraz tego ciągu. oznaczmy wyrazy ciągu geometrycznego standardowo przez an, a iloraz przez q. ponieważ a3 = a1 · q2 a3a1 oraz a5 = a3 · q2, więc podstawiając liczby dane w zadaniu, otrzymujemy równość skąd a5 = .1 4 4 64 a5 4 a5a3 = = , .  × + – ÷ korepetycje maturzysty uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n jest wielokrotnością liczby 10. 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n = 3n+2 + 3n − 2n+2 − 2n = 3n(32 + 1) − 2n(22 + 1) = = 3n · 10 − 2n · 5 = 3n · 10 − 2n−1 · 2 · 5 = 10 · (3n − 2n−1), 610 przy czym liczba 3n − 2n−1 jest całkowita (jako różnica liczb całkowitych). oblicz: a) b) (3 − )2 + 4 (2 − ).√2 √3 (–8)–1 √2 3 · 16 , 4 ciąg jest określony wzorem an = (−1)n · 2 – n n2 dla n ⩾ 1. oblicz a5. a) = √3 (–8)–1 √3 1 –8 3 4 · (24) = – · 16 = 1 3 4 2 a5 = (−1)5 · 2 – 5 52 = .3 25 · 23 = –4, b) (3 − √2 √2 = 9 – 6 = 19 – 10 )2 + 4 (2 − √2 + 2 + 8 – 4 .√2 ) = √2 = √32 przekształć czynnik przed pierwiastek. , wyłączając √32 = √2 · 16 = 4 .√2 ciąg 9, x, 19 jest arytmetyczny, a ciąg x, 42, y, z jest geometryczny. oblicz x, y oraz z. przyjmijmy tradycyjne oznaczenia. ponieważ 19 − 9 = 2r, więc r = 5, skąd x = 14. obliczamy iloraz ciągu geometrycznego: q = = 3. zatem y = 42 · 3 = 126 oraz z = 126 · 3 = 378. 42 14 42 x = stara dobra szkoła
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka. Korepetycje maturzysty. Cel: matura
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: