Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00196 006175 13848479 na godz. na dobę w sumie
Matematyka. Podręcznik dla studentów kierunków ekonomicznych - ebook/pdf
Matematyka. Podręcznik dla studentów kierunków ekonomicznych - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 320
Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-8088-994-1 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-15%), audiobook).

„Metody Ilościowe w Ekonomii, Finansach i Zarządzaniu” to cykl publikacji zawierający treści programowe z matematyki oraz statystyki obowiązujące studentów kierunków ekonomicznych, przydatne również osobom prowadzącym prace naukowe i badawcze.

Cykl ten rozpoczyna Matematyka, w której przedstawione są najważniejsze pojęcia z zakresu analizy matematycznej i algebry, które mogą być wykorzystywane w badaniach ekonomicznych.

Oprócz rozważań teoretycznych książka zawiera przykłady o charakterze matematycznym, mające na celu przybliżenie opisywanych problemów i wskazanie metod ich rozwiązania, a także przykłady prezentujące zastosowanie ekonomiczne rozważanych pojęć. W rozdziałach znajdują się też zadania do samodzielnego rozwiązania i pytania testowe, do których podane są odpowiedzi.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Dorota Pekasiewicz – Uniwersytet Łódzki, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Metod Statystycznych, 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r. nr 41 RECENZENT Stanisław Wanat REDAKTOR INICJUJĄCY Monika Borowczyk REDAKTOR WYDAWNICTWA UŁ Katarzyna Gorzkowska SKŁAD I ŁAMANIE Munda – Maciej Torz PROJEKT OKŁADKI Katarzyna Turkowska Zdjęcie wykorzystane na okładce: © Depositphotos.com/exopixel © Copyright by Dorota Pekasiewicz, Łódź 2018 © Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2018 Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie I. W.08154.17.0.M Ark. wyd. 10,0; ark. druk. 20,0 ISBN 978-83-8088-993-4 e-ISBN 978-83-8088-994-1 Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego tel. (42) 665 58 63 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl Spis treści Przedmowa Rozdział 1. Zagadnienia wstępne 1.1. Elementy logiki 1.2. Elementy teorii mnogości 1.3. Relacje 1.4. Symbole uogólnione Rozdział 2. Funkcja jednej zmiennej i jej własności 2.1. Pojęcie funkcji jednej zmiennej 2.2. Ciąg liczbowy i jego własności 2.3. Przegląd funkcji elementarnych 2.4. Podstawowe własności funkcji jednej zmiennej 2.4.1. Monotoniczność i różnowartościowość funkcji 2.4.2. Ograniczoność funkcji 2.4.3. Okresowość funkcji 2.4.4. Parzystość, nieparzystość funkcji 2.5. Złożenie funkcji 2.6. Funkcja odwrotna 2.7. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej 2.7.1. Definicja granicy w punkcie 2.7.2. Granice w nieskończoności 2.7.3. Własności granic 2.8. Ciągłość funkcji 2.9. Asymptoty funkcji 2.10. Zadania 2.11. Pytania testowe 2.12. Odpowiedzi do zadań 2.13. Odpowiedzi do pytań testowych Rozdział 3. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 3.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej 3.1.1. Pochodna funkcji w punkcie 3.1.2. Pochodna jako funkcja 3.2. Pochodne funkcji wyższych rzędów 3.3. Różniczki funkcji 9 11 11 14 21 22 25 25 26 37 44 44 46 47 48 49 50 53 53 57 58 60 63 69 73 76 79 81 81 81 84 89 91 Spis treści 5 3.4. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji 3.4.1. Symbole nieoznaczone i reguła de L’Hospitala 3.4.2. Ekstrema lokalne i monotoniczność funkcji 3.4.3. Wklęsłość, wypukłość funkcji i punkty przegięcia 3.5. Badanie przebiegu zmienności funkcji 3.6. Zastosowanie ekonomiczne rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej 3.6.1. Funkcje popytu i podaży. Krzywe Törnquista 3.6.2. Funkcje kosztów, przychodu i zysku 3.6.3. Elastyczność funkcji 3.6.4. Funkcja trendu i stopa wzrostu 3.7. Zadania 3.8. Pytania testowe 3.9. Odpowiedzi do zadań 3.10. Odpowiedzi do pytań testowych Rozdział 4. Szeregi liczbowe 4.1. Definicja szeregu liczbowego i sumy szeregu 4.2. Rodzaje szeregów liczbowych 4.3. Wyznaczanie sum wybranych szeregów 4.4. Warunek konieczny zbieżności szeregu 4.5. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych 4.6. Badanie zbieżności szeregów naprzemiennych 4.7. Zadania 4.8. Pytania testowe 4.9. Odpowiedzi do zadań 4.10. Odpowiedzi do pytań testowych 93 93 96 103 107 114 114 117 118 119 121 127 130 144 145 145 146 147 151 153 159 161 164 167 169 171 171 174 178 186 191 193 196 198 202 205 207 Rozdział 5. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 5.1. Pojęcie całki nieoznaczonej i jej własności 5.2. Podstawowe metody całkowania 5.3. Całka oznaczona Riemanna i jej własności 5.4. Całki niewłaściwe I i II rodzaju 5.5. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania 5.6. Funkcja beta i gamma 5.7. Przykłady zastosowania rachunku całkowego w ekonomii 5.8. Zadania 5.9. Pytania testowe 5.10. Odpowiedzi do zadań 5.11. Odpowiedzi do pytań testowych 6 Spis treści Rozdział 6. Macierze 6.1. Pojęcie macierzy i rodzaje macierzy 6.2. Działania na macierzach 6.3. Charakterystyki liczbowe macierzy 6.4. Macierz transponowana i odwrotna. Metody wyznaczania 6.5. Pierwiastki charakterystyczne. Określoność macierzy 6.6. Zadania 6.7. Pytania testowe 6.8. Odpowiedzi do zadań 6.9. Odpowiedzi do pytań testowych 209 209 213 217 225 231 233 237 240 243 Rozdział 7. Układy równań liniowych 245 7.1. Definicja układu równań liniowych i jego postaci 245 7.2. Klasyfikacja układów równań 246 7.3. Twierdzenie Kroneckera-Cappellego i jego zastosowanie 249 251 7.4. Układy równań Cramera 254 7.5. Nieoznaczone układy równań 7.6. Zadania 258 260 7.7. Pytania testowe 263 7.8. Odpowiedzi do zadań 7.9. Odpowiedzi do pytań testowych 265 Rozdział 8. Funkcje wielu zmiennych 8.1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych 8.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych 8.3. Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych 8.4. Pochodna kierunkowa funkcji wielu zmiennych 8.5. Różniczki zupełne funkcji wielu zmiennych 8.6. Zastosowanie pochodnych cząstkowych do badania funkcji wielu zmiennych 8.6.1. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych 8.6.2. Wklęsłość i wypukłość funkcji wielu zmiennych 8.6.3. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych 8.6.4. Najmniejsza i największa wartość funkcji 8.7. Zastosowanie ekonomiczne funkcji wielu zmiennych 8.8. Zadania 8.9. Pytania testowe 8.10. Odpowiedzi do zadań 8.11. Odpowiedzi do pytań testowych Literatura 267 267 270 274 280 282 285 285 288 290 293 297 302 307 310 317 319 Spis treści 7 Przedmowa Metody ilościowe odgrywają istotną rolę w różnego rodzaju badaniach ekonomicznych, społecznych, przyrodniczych czy medycznych. Pozwa- lają skutecznie rozwiązać wiele problemów i podejmować najbardziej optymalne decyzje, a także wpływają na rozwój różnych dziedzin nauki. Metody Ilościowe w Ekonomii, Finansach i Zarządzaniu to cykl pub- likacji zawierający treści programowe z matematyki oraz statystyki obo- wiązujące studentów kierunków ekonomicznych, jak również przydatne osobom prowadzącym prace naukowe i badawcze. Cykl ten rozpoczyna Matematyka, w której przedstawione są najważ- niejsze pojęcia z zakresu analizy matematycznej i algebry, które mogą być wykorzystywane w badaniach ekonomicznych. Książka składa się z ośmiu rozdziałów. W rozdziale pierwszym przed- stawione są zagadnienia wstępne – elementy logiki i teorii mnogości. Ko- lejne rozdziały poświęcone są funkcjom jednej zmiennej, w szczególno- ści ciągom liczbowym, rachunkowi różniczkowemu i całkowemu funkcji jednej zmiennej oraz szeregom liczbowym. W rozdziale szóstym i siód- mym ujęto najważniejsze zagadnienia dotyczące rachunku macierzowe- go i metod rozwiązywania układów równań liniowych. Ostatni rozdział zawiera wiadomości związane z funkcjami wielu zmiennych, ze szczegól- nym uwzględnieniem funkcji dwóch zmiennych. Oprócz rozważań teoretycznych książka zawiera przykłady o charak- terze matematycznym, mające na celu przybliżenie opisywanych proble- mów i wskazanie metod ich rozwiązania, a także przykłady prezentujące zastosowanie ekonomiczne rozważanych pojęć. W każdym rozdziale, oprócz pierwszego, znajdują się zadania do samodzielnego rozwiązania i pytania testowe, do których podane są odpowiedzi. Wydaje się, że taki układ publikacji będzie pomocny studentom w uczeniu się matematyki na różnych kierunkach studiów, o zróżnicowanym stopniu zaawansowa- nia wymagań matematycznych. Autorka ROZDZIAŁ 1 Zagadnienia wstępne 1.1. Elementy logiki Podstawowymi pojęciami logiki są: zdanie, forma zdaniowa, funkcja zdaniowa i kwantyfikatory. Zdaniem nazywamy każde wyrażenie, któremu można przypisać jedną z ocen: prawdę lub fałsz. Prawda i fałsz to wartości logiczne zdania. Zdania oznaczamy zwykle małymi literami, np. p, q, zaś wartość lo- giczną zdania – symbolem „1”, gdy jest ono prawdziwe oraz symbolem „0”, gdy jest fałszywe. Wśród zdań wyróżniamy zdania proste i złożone. Zdania złożone skła- dają się ze zdań prostych połączonych funktorami zdaniotwórczymi (spój- nikami zdaniowymi). Do najczęściej stosowanych funktorów zdaniotwórczych należą: — negacja (~), — alternatywa (∨), — koniunkcja (∧), — implikacja (⇒), — równoważność (⇔). Negacją zdania p nazywamy zdanie „nieprawda, że p” i oznaczamy ~p. Alternatywą nazywamy zdanie „p lub q” i oznaczamy p ∨ q, zaś koniunk- cją – zdanie „p i q”, które oznaczamy p ∧ q. Implikacją nazywamy zdanie „jeżeli p, to q” i zapisujemy p ⇒ q, natomiast równoważnością – zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” i zapisujemy p ⇔ q. 1.1. Elementy logiki 11 Przykładem zdania prostego fałszywego (o wartości logicznej 0) jest niewymierna”, natomiast zdanie proste prawdziwe jest „liczba 83 (o wartości logicznej 1) to „romb jest trapezem”. Wartości logiczne zdań złożonych, w zależności od wartości logicz- nych zdań prostych wchodzących w skład rozpatrywanego zdania przed- stawione są w tab. 1. Tablica 1. Wartości logiczne negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i równoważności p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ~ p 0 0 1 1 p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ q 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 Zdanie typu „liczba pierwsza jest podzielna przez 1 i przez samą sie- bie” jest koniunkcją i jest zdaniem złożonym prawdziwym. Zdanie prawdziwe nazywamy tautologią. Do ważniejszych tautologii należą zdania: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) p ⇔ ~ (~ p ) ~ (p ∧ q ) ⇔ (~ p ∨ ~ q) ~ (p ∨ q ) ⇔ (~ p ∧ ~ q) (p ⇒ q) ⇔ (~q ⇒ ~ p) (p ⇒ q) ⇔ (~ p ∨ q) [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q ~ (p ⇒ q) ⇔ [p ∧ (~ q)], (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)]. (prawo podwójnego przeczenia), (prawo de Morgana), (prawo de Morgana), (prawo transpozycji), (prawo implikacji), (reguła odrywania), (zaprzeczenie implikacji), Przykłady innych tautologii można znaleźć m.in. w podręczniku: Abtowa, Piasecki, Różański, Świtalski (2000). Sprawdzenie prawdziwości zdań związane jest z rozważeniem wszyst- kich możliwych wariantów wartości logicznych zdań p i q. Przykład 1.1. Prawdziwość praw de Morgana jest uzasadniona następująco: 12 Zagadnienia wstępne ~(p ∧ q ) ⇔ (~ p ∨ ~ q) p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ∧ q ~ (p ∧ q) 1 0 0 0 0 1 1 1 ~ (p ∨ q ) ⇔ (~ p ∧ ~ q) p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ∨ q ~ (p ∨ q) 1 1 1 0 0 0 0 1 ~ p 0 0 1 1 ~ p 0 0 1 1 ~ q 0 1 0 1 ~q 0 1 0 1 ~ p ∨ ~ q ~ (p ∧ q ) ⇔ (~ p ∨ ~ q) 0 1 1 1 1 1 1 1 ~ p ∧ ~ q ~ (p ∨ q) ⇔ (~ p ∧ ~ q) 0 0 0 1 1 1 1 1 Ostatnie kolumny w tablicach świadczą o prawdziwości rozważanych zdań bez względu na wartości logiczne zdań p i q, zatem są tautologiami. Wyrażenie, któremu nie można przypisać wartości logicznej nazywa- my formą zdaniową. Formą zdaniową jest funkcja zdaniowa, czyli wyrażenie zawierające zmienne. Funkcja zdaniowa staje się zdaniem, jeśli za zmienne podstawi- my konkretne wielkości z jej zakresu zmienności (dziedziny). Przykład 1.2. Wyrażenie x2 – 1 = 3, gdzie x ∈ R, jest funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych R. Dla x ∈ {–2, 2} ma ono wartość logiczną 1, a dla x ∉ {–2, 2} – wartość logiczną 0. Przykład 1.3. Wyrażenie x2 – 1 = 3, gdzie x ∈ N, jest funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N. Dla x = 2 ma ono wartość logiczną 1, a dla x ∈ N \ {2} – wartość logiczną 0. 1.1. Elementy logiki 13 W zapisie funkcji zdaniowych wykorzystuje się symbole zwane kwan- tyfikatorami. Wyróżniamy: — kwantyfikator ogólny (duży): ∀ – „dla każdego…”, — kwantyfikator szczegółowy (mały): ∃ – „istnieje…”. Kwantyfikatory umożliwiają skrócenie zapisu funkcji zdaniowych. Na przykład funkcję zdaniową „liczba naturalna n jest liczbą parzystą” można zapisać za pomocą kwantyfikatorów w postaci:  k N k2 . n Kwantyfikatory znajdują zastosowanie w zapisach definicji i twier- dzeń matematycznych. Rachunek kwantyfikatorów charakteryzuje się następującymi włas- nościami: 1) 2) ~ ~ 3) 4) 5) 6) 7) (prawo de Morgana), (prawo de Morgana),  x X  x X ~ ~   x X ›  š  š  p x p x œ  œ   p x p x  x X œ  › q x p x p x Ÿ  š p x q x p x œ  š q x p x p x ›  Ÿ  q x   x X x X Ÿ  Ÿ q x p x q x , q x , q x , › p x q x Ÿ  q x ,  x X  x X  x X  x X  x X  x X  x X  x X ,   x X   x X   x X  p x p x  x X   x X gdzie p i q są funkcjami zdaniowymi zmiennej x o zakresie zmienności X ≠ ∅. 1.2. Elementy teorii mnogości Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się badaniem własności zbiorów. 14 Zagadnienia wstępne Zbiór jest pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym. Zbiory oznacza- my dużymi literami (np. A, B, C, …), zaś elementy należące do zbiorów – małymi literami: a, b, … Zbiory przedstawiamy, wypisując ich elementy, np. {2, 4, 6, 8} albo podając funkcję zdaniową, którą muszą spełniać ich elementy, np. {x ∈ R: x2 – 1 0}. Pewnym zbiorom przypisane są standardowe oznaczenia: N – zbiór liczb naturalnych, czyli zbiór {0, 1, 2, ...}, N+ – zbiór liczb naturalnych dodatnich, czyli zbiór {1, 2, ...}, C – zbiór liczb całkowitych, W – zbiór liczb wymiernych, NW – zbiór liczb niewymiernych, R – zbiór liczb rzeczywistych, R+ – zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, R– – zbiór liczb rzeczywistych ujemnych. Określenie zbiór liczb naturalnych dotyczyć może zbioru {1, 2, ...} (por. Piszczała, 2000). zbioru i oznaczamy n(A). mi o tej samej mocy. Liczbę elementów zbioru A nazywamy liczebnością lub licznością Zbiory o tej samej liczebności nazywamy równolicznymi lub zbiora- Zbiory skończone (o skończonej liczbie elementów) lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych (nieskończone, których elementy da się upo- rządkować) nazywamy przeliczalnymi. Zbiory niebędące przeliczalny- mi nazywane są nieprzeliczalnymi. Zbiorami nieprzeliczalnymi są m.in. zbiór liczb rzeczywistych, zbiór liczb niewymiernych. Zbiór liczbowy może być ograniczony lub nieograniczony. Zbiorami ograniczonymi są przedziały liczbowe postaci: (a, b) = {x ∈ R: a x b}, 〈a, b〉 = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}, (a, b〉 = {x ∈ R: a x ≤ b}, 〈a, b) = {x ∈ R: a ≤ x b}, zaś przedziały (a, ∞) = {x ∈ R: x a}, 〈a, ∞) = {x ∈ R: x ≥ a}, (– ∞, b) = {x ∈ R: x b}, (– ∞, b〉 = {x ∈ R: x ≤ b} są zbiorami nieograniczonymi (a, b to ustalone liczby rzeczywiste). Dla ograniczonego zbioru liczbowego A określamy kres dolny i kres górny zbioru. Kresem dolnym (infimum) ograniczonego zbioru A nazywamy naj- większą liczbę ograniczającą ten zbiór z dołu i oznaczamy infA. 1.2. Elementy teorii mnogości 15
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka. Podręcznik dla studentów kierunków ekonomicznych
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: