Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00679 011957 17892906 na godz. na dobę w sumie
Matematyka. Podręcznik dla studentów kierunków ekonomicznych - ebook/pdf
Matematyka. Podręcznik dla studentów kierunków ekonomicznych - ebook/pdf
Autor: , , Liczba stron: 314
Wydawca: C. H. Beck Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-7483-957-0 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> inne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Podręcznik z zadaniami dla studentów ekonomii i zarządzania

Współczesna ekonomia stosuje metody badawcze wymagające swobodnego posługiwania się narzędziami, które dostarcza matematyka. Każdy ekonomista, zanim zacznie wykorzystywać te narzędzia, powinien je dokładnie poznać i zrozumieć, a to jest głównym zadaniem niniejszego podręcznika. Po jego lekturze podstawowe pojęcia matematyczne nie będą wydawać się trudne. Poszczególne rozdziały książki stanowią odrębną całość i można je wykorzystywać w dydaktyce oddzielnie, ale w ustalonym porządku podrozdziałów. Dużą zaletą są przykłady oraz zadania do samodzielnego rozwiązania wraz z odpowiedziami.

Podręcznik jest przeznaczony głównie dla studentów kierunków ekonomicznych. Uwzględniono w nim ostatnie zmiany, jakie zostały wprowadzone do programu studiów w związku z podziałem na studia licencjackie i magisterskie.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Matematyka Matematyka Podr´cznik dla studentów kierunków ekonomicznych S∏awomir Dorosiewicz Tomasz Michalski Krystyna Twardowska Matematyka Podr´cznik dla studentów kierunków ekonomicznych Autorzy: S∏awomir Dorosiewicz: rozdzia∏ 3, 4 Tomasz Michalski: rozdzia∏ 2 Krystyna Twardowska: rozdzia∏ 1, 5 Matematyka Podr´cznik dla studentów kierunków ekonomicznych S∏awomir Dorosiewicz Tomasz Michalski Krystyna Twardowska WYDAWNICTWO C.H. BECK WARSZAWA 2008 Wydawca: Anna Chojnacka Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska Ilustracja na okładce: c(cid:2) iStockphoto.com/Mark Evans Seria: Metody ilościowe c(cid:2) Wydawnictwo C. H. Beck 2008 Wydawnictwo C. H. Beck, Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, 00–203 Warszawa Skład i łamanie w systemie TEX: Wydawnictwo C. H. Beck Druk i oprawa: Studio Spartan, Gdynia ISBN 978-83-7483-957-0 Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Zbiory liczbowe . . . 1.2. Elementy logiki . . . . . . 1.3. Elementy rachunku zbiorów . . . . . . . . . 1.4. Relacje . . . . . . . . 1.5. Odwzorowania . . . . . . . . . . 1.6. Równoliczność zbiorów . . Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Algebra macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 2. Algebra liniowa . . . . . . 2.1. Przestrzeń liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definicje i podstawowe własności 2.1.2. Kombinacje liniowe wektorów . 2.1.3. Baza przestrzeni liniowej . . . . 2.1.4. Charakterystyczne podzbiory przestrzeni liniowej . . . . . . . . . . . 2.2.1. Podstawowe pojęcia 2.2.2. Operacje i działania na macierzach . . . . . . 2.2.3. Rząd macierzy . . . . . . . 2.3. Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Uwagi ogólne . . . . 2.5.2. Metody rozwiązywania układów równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Określenie wyznacznika . . . . 2.3.2. Własności wyznaczników i ich wykorzystanie . . . . . . . . . . . 2.4. Określoność macierzy . . . 2.5. Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 3. Funkcje jednej zmiennej . 3.1. Ciągi liczbowe . . . . . . . 3.2. Szeregi liczbowe . . . . . . 3.3. Funkcje. Granica i ciągłość . . . . . . . . . 3.3.1. Granice funkcji . . . 3.3.2. Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 8 13 15 19 20 23 23 23 27 30 33 36 37 42 50 55 55 63 68 71 71 76 87 . . 101 . . 101 . . 110 . . 113 . . 113 . . 116 Spis treści . . . 3.4. Rachunek różniczkowy . . . . . . . . 3.4.1. Pochodna funkcji, jej obliczanie i podstawowe własności . . . 3.4.2. Zastosowanie pochodnych do badania przebiegu zmienności funkcji . . . 3.4.3. Zastosowanie pochodnych w ekonomii 3.4.4. Wzór Taylora i wzór Maclaurina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Rachunek całkowy . . . . . 3.5.1. Całka nieoznaczona 3.5.2. Całka oznaczona . . 3.5.3. Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 . . 119 . . 124 . . 132 . . 133 . . 136 . . 136 . . 141 . . 145 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Rozdział 4. Funkcje wielu zmiennych . . . . . . 4.1. Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2. Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych. Granica i ciągłość . . . . . . . . . . . . 160 4.3. Pochodne kierunkowe. Różniczkowalność funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.4. Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.6. Ekstrema warunkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.7. Całki podwójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Rozdział 5. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . . . 5.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.2. Kombinatoryka . . . . . . . 5.2.1. Permutacje bez powtórzeń i z powtórzeniami . . . . . . 5.2.2. Wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami 5.2.3. Kombinacje bez powtórzeń i z powtórzeniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Zdarzenia losowe i przestrzeń prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Pojęcie zdarzenia losowego . . . . . 5.3.2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa . . 5.3.3. Prawdopodobieństwo geometryczne . . . . . . . . 5.3.4. Przestrzeń prawdopodobieństwa . . . . . . . 5.3.5. Rozkład prawdopodobieństwa . . . . . . . . 5.3.6. Prawdopodobieństwo warunkowe . . . 5.3.7. Niezależność zdarzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Jednowymiarowe zmienne losowe . . . 5.4.1. Definicja i własności . . . . . . . . . 5.4.2. Dyskretne zmienne losowe . . . . . . . . . 5.4.3. Zmienne losowe ciągłe . . . . . 5.4.4. Funkcje zmiennej losowej . . . 5.4.5. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych . . 5.4.6. Schemat Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Wielowymiarowe zmienne losowe . . . . 5.5.1. Definicje i własności . . . 5.5.2. Dwuwymiarowe zmienne losowe . . . 5.5.3. Niezależność zmiennych losowych . . 5.5.4. Kowariancja i korelacja . . . . 5.5.5. Warunkowa wartość oczekiwana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 . . 198 . . 202 . . 204 . . 205 . . 205 . . 206 . . 208 . . 209 . . 214 . . 216 . . 219 . . 220 . . 220 . . 222 . . 223 . . 227 . . 228 . . 232 . . 233 . . 233 . . 234 . . 242 . . 242 . . 247 Spis treści 5.6. Ciągi zmiennych losowych . . . . . . 5.6.1. Typy zbieżności ciągów zmiennych losowych . . . . . . 5.6.2. Prawa wielkich liczb . . . . . . . . . . 5.6.3. Centralne twierdzenia graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 . . 248 . . 252 . . 256 . . 261 Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 VII Wstęp Prezentowany podręcznik jest przeznaczony głównie dla studentów studiów ekonomicznych. Uwzględniono w nim ostatnie zmiany, jakie zostały wprowadzone do programu studiów w związku z tzw. studiami trójstopniowymi (studia licencjackie, magisterskie, doktoranckie). Ograniczyliśmy się do niezbędnego minimum, pamiętając o głównym celu: użytkownik tego podręcznika po jego lekturze powinien swobodnie posługiwać się podstawowymi poję- ciami matematycznymi, które w tym podręczniku zaprezentowano. Co to znaczy swobodnie? To znaczy, że nie jest naszym głównym celem, aby użytkownik tego podręcznika recytował z pamięci formuły, definicje i twierdzenia podane na odpowiednich stronach, lecz to, aby zrozumiał każde z omawianych i wprowadzonych pojęć. Wiemy, że współczesna ekonomia sięga bardzo odważnie i szeroko do metod badaw- czych wymagających swobodnego posługiwania się narzędziami, których dostarcza mate- matyka. Aby można było powiedzieć, że zrealizowano proces wykształcenia ekonomisty, obojętnie czy w jednostopniowym, dwustopniowym czy też trójstopniowym systemie kształ- cenia, dobrze zrealizowany proces dydaktyczny powinien zapewnić zdobycie odpowiedniego poziomu wiedzy matematycznej. Jak w każdej dziedzinie wiedzy, tak i w ekonomii każdy ekonomista zanim przejdzie do wykorzystania tych narzędzi, powinien je dokładnie poznać i zrozumieć i to jest głównym zadaniem naszego podręcznika. Jednocześnie pragniemy pod- kreślić, iż przy doborze treści pamiętaliśmy o zastosowaniach ekonomicznych. Na zakończenie jedna bardzo ważna uwaga. Każdy z rozdziałów książki stanowi odrębną całość i każdy może być realizowany oddzielnie, ale w ustalonym porządku podrozdziałów. Niewskazane jest więc pomijanie porządku podrozdziałów w rozdziale i przechodzenie do następnych bez opanowania wiedzy z wcześniejszych – to właśnie systematyka pracy, której wymaga matematyka i każda inna dziedzina wiedzy, jeśli ma skutkować wiedzą gruntowną. Mamy nadzieję, że prezentowany podręcznik choć w części pomoże w realizacji tego celu. Warszawa, listopad 2008 Autorzy IX Rozdział 1. Pojęcia wstępne Wstęp Czytelnikom, którzy chcą się zapoznać z podstawowymi pojęciami matematycz- nymi, proponujemy opanowanie następujących pojęć: – podstawowe zbiory liczbowe, ich definicje i własności, – elementarne pojęcia z logiki, takie jak zdanie, spójniki logiczne, tautologie, funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, – rachunek na zbiorach, – relacje różnych typów, w tym relacje równoważności i relacje porządkujące, – podstawowe definicje oraz własności dotyczące odwzorowań zbiorów, czyli funkcji, – równoliczność zbiorów. 1.1. Zbiory liczbowe tworzą zbiór liczb naturalnych N i nazywamy je liczba- Liczby 1, 2, 3, . . . mi naturalnymi. Liczby naturalne można wprowadzić w sposób aksjomatyczny, przyjmując następujące pojęcia pierwotne: • N, 1, • „n jest następnikiem m”. Do systemu aksjomatycznego zbioru liczb naturalnych należy zasada induk- cji zupełnej (matematycznej). Można ją stosować w celu dowodzenia twierdzeń dotyczących własności liczb naturalnych. Aksjomat 1.1. Zasada indukcji zupełnej (Rasiowa, 2001, s. 31) Niech w(n), n ∈ N, będzie pewną własnością liczby n oraz niech A = {n ∈ N : w(n) jest spełnione}. Jeżeli • istnieje liczba naturalna n0, taka że n0 ∈ A, • każda liczba naturalna k (cid:2) n0 ma własność k ∈ A, to również k + 1 ∈ A, to własność w zachodzi dla każdego k (cid:2) n0. 1 Rozdział 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. Pokażemy, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi wzór 1 + 2 + ··· + n = n(n + 1) 2 . (1.1) Sprawdzamy własność (1.1) dla n = 1: 1 = 1(1 + 1) 2 . Zakładamy teraz, że (1.1) zachodzi dla n = k. Trzeba wykazać, że własność (1.1) jest spełniona dla n = k + 1, czyli że 1 + 2 + ··· + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 . Istotnie, wstawiając po lewej stronie wzoru (1.1) n = k + 1, otrzymujemy: 1 + 2 + ··· + k + (k + 1) = k (k + 1) 2 + (k + 1) = k (k + 1) + 2(k + 1) = k2 + 3k + 2 2 = (k + 1) (k + 2) 2 2 . Dalej, wstawiając n = k + 1 po prawej stronie wzoru (1.1), otrzymujemy: (k + 1)(k + 2) 2 , zatem lewa strona jest równa prawej stronie. Rozszerzmy pojęcie zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb całkowitych, który oznaczymy przez C. Liczby całkowite to liczby postaci . . .−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. . . W zbiorze tym jest wykonalne działanie odejmowania (odwrotne do do- dawania), którego elementem neutralnym jest 0, tzn. a − a = 0. Liczbę −a nazywamy liczbą przeciwną do a. W zbiorze liczb całkowitych możemy zde- finiować działanie mnożenia, ale nie zawsze jest wykonalne działanie dzielenia, które jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Stąd konieczność rozszerzenia zbioru liczb całkowitych do zbioru liczb wymiernych, który będziemy oznaczać przez W. Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę postaci: w = n m , gdzie: n – dowolna liczba całkowita, m – dowolna liczba całkowita różna od zera. 2 1.1. Zbiory liczbowe Potrzeba rozszerzenia zbioru liczb wymiernych wyniknęła z konieczności wykonania działania pierwiastkowania liczb, np. obliczenia pierwiastka kwa- dratowego z liczby 2. Stało się więc niezbędne wprowadzenie zbioru liczb niewymiernych. Podamy teraz sposób zdefiniowania zbioru liczb niewymier- nych, korzystając z tzw. teorii Dedekinda, której podstawą jest pojęcie przekroju w zbiorze liczb wymiernych. Definicja 1.1. Podział zbioru liczb wymiernych W na dwa niepuste (tj. zawierające chociaż po jednej liczbie) zbiory A i B nazywamy przekrojem, jeżeli: 1) każda liczba wymierna należy do jednego ze zbiorów A lub B, 2) każda liczba a ze zbioru A jest mniejsza od każdej liczby b ze zbioru B. Zbiór A nazywamy dolną klasą przekroju, a zbiór B – górną klasą przekroju. Przykład 1.2. Załóżmy, że klasa A zawiera wszystkie liczby wymierne dodatnie a, dla których a2 2, liczbę zero oraz wszystkie liczby wymierne ujemne. Niech klasa B zawiera wszystkie liczby wymierne dodatnie, dla których b2 2. Otrzymaliśmy przekrój, w którym nie ma największej liczby w klasie A ani najmniejszej liczby w klasie B. Udowodnimy tylko tę pierwszą własność, gdyż drugą dowodzi się podobnie. Niech a będzie dowolną liczbą dodatnią w klasie A, czyli a2 2. Pokażemy, że można dobrać taką liczbę naturalną n, że (cid:2)a + 1 n(cid:3)2 2, zatem liczba a + 1 jest równoważna nierówności n również będzie należała do klasy A. Istotnie, powyższa nierówność skąd Zauważmy, że a zatem a2 + 2a n + 1 n2 2, 2a n + 1 n2 2 − a2. 2a + 1 n 2a n + 1 n2 2 − a2, 2a + 1 n 2 − a2, skąd dostajemy, że wystarczy przyjąć n 2a + 1 2 − a2 . Jest to zawsze możliwe na podstawie aksjomatu Archimedesa, który mówi, że dla każdej liczby wymiernej c 0 istnieje liczba naturalna n większa od c. Zatem dla dowolnej liczby dodatniej a w klasie A znajdziemy w tej samej klasie liczbę większą od a, czyli w klasie A nie ma liczby największej. Podobnie w klasie B nie ma liczby najmniejszej. 3 Rozdział 1. Pojęcia wstępne Liczba graniczna między tymi dwoma klasami musi więc być nowym obiektem mate- matycznym – nazywamy go liczbą niewymierną. W naszym przykładzie nową liczbą niewymierną jest √2. Definicja zbioru liczb niewymiernych znajduje się w książkach G. M. Fich- tenholz (2002, t. 1, s. 10–12) oraz W. Marzantowicz, P. Zarzycki (2006, s. 68). Zbiór liczb niewymiernych oznaczymy przez NW. W końcu zbiór liczb rzeczywistych R to taki zbiór, który zawiera zarówno wszystkie liczby wymierne, jak i niewymierne. Metoda konstrukcji zbioru R jest przedstawiona w książkach J. Cichoń (2003, s. 70) oraz G. M. Fichtenholz (1976, t. 1, s. 10–12). Definicja 1.2. Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Wartością bezwzględną (modułem) liczby a nazywamy liczbę |a|, taką że a dla a (cid:2) 0, −a dla a 0. |a| = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ Prawdziwe są następujące wzory dla dowolnej liczby rzeczywistej M: |a| (cid:3) M wtedy i tylko wtedy, gdy − M (cid:3) a (cid:3) M, |a| (cid:2) M wtedy i tylko wtedy, gdy a (cid:2) M lub a (cid:3) −M. (1.2) (1.3) (1.4) W dalszej części będziemy korzystać z symbolu sgn(a) oznaczającego znak liczby a: −1 0 dla a 0, dla a = 0, 1 dla a 0. sgn(a) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ (1.5) 1.2. Elementy logiki Jednym z zadań logiki matematycznej jest badanie związków pomiędzy zdania- mi utworzonymi za pomocą spójników logicznych. Definicja 1.3. Przez zdanie rozumiemy wypowiedź oznajmującą, której na gruncie pewnej dyscypliny wiedzy możemy przypisać ocenę prawdziwości (wtedy zdanie ma wartość logiczną równą 1) lub możemy przypisać ocenę fałszu (wtedy zdanie ma wartość logiczną równą 0). Zdania będziemy oznaczać literami p, q, r, . . . Literę oznaczającą dowolne zdanie nazywamy zmienną zdaniową. 4 1.2. Elementy logiki Gdy zdanie p jest prawdziwe, czyli ma wartość logiczną równą 1, piszemy w(p) = 1. Podobnie, gdy zdanie p jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną równą 0, piszemy w(p) = 0. Ze zdań p, q, r, . . . możemy tworzyć zdania złożone za pomocą spój- ników logicznych i nawiasów. Zdaniami złożonymi poprawnie zbudowanymi nazywamy takie zdania, dla których możemy wyznaczyć wartość logiczną. Wy- rażenia zbudowane tak jak zdania złożone, w których zamiast konkretnych zdań występują zmienne zdaniowe, nazywamy schematami rachunku zdań lub for- mułami rachunku zdań. Spójniki logiczne definiujemy, podając wartość logiczną zdania złożonego w zależności od wartości logicznych zdań prostych, z których jest ono zbudo- wane. Mamy następujące podstawowe spójniki logiczne: ∼ – negacja (zaprzeczanie); ∼p czytamy nie p lub nieprawda, że p, ∧ – koniunkcja; p ∧ q czytamy p i q, ∨ – alternatywa; p ∨ q czytamy p lub q, ⇒ – implikacja (wynikanie); p ⇒ q czytamy jeśli p, to q, ⇔ – równoważność; p ⇔ q czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q. podajemy w tabelach 1.1 i 1.2. Wartości logiczne powyższych spójników logicznych, tzn. ∼, ∧, ∨, ⇒, ⇔, Tabela 1.1. Wartości logiczne negacji p 1 0 ∼p 0 1 Tabela 1.2. Wartości logiczne koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ∧ q 1 0 0 0 p ∨ q 1 1 1 0 p ⇒ q 1 0 1 1 p ⇔ q 1 0 0 1 Przykład 1.3. Wyznacz wartość logiczną zdania: (p ∧ q) ∨ (∼r ⇒ q) dla p = 0, q = 1 oraz r = 1. Mamy w[(0 ∧ 1) ∨ (∼1 ⇒ 1)] = w[0 ∨ (0 ⇒ 1)] = w[0 ∨ 1] = 1. Definicja 1.4. Tautologia to taki schemat rachunku zdań, który przyjmuje wartość logicz- ną równą 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe występujące w tym schemacie zdaniowym. 5 Rozdział 1. Pojęcia wstępne Twierdzenie 1.1. Dla dowolnych zdań p, q, r następujące schematy zdaniowe są tautologiami: a) p ∨ ∼p – prawo wyłączonego środka, b) (p ∧ p) ⇔ p – idempotentność koniunkcji, c) (p ∨ p) ⇔ p – idempotentność alternatywy, d) ∼(p ∨ q) ⇔ ∼p ∧ ∼q – prawo de Morgana, e) ∼(p ∧ q) ⇔ ∼p ∨ ∼q – prawo de Morgana, f) (p ⇒ q) ⇔ (∼q ⇒∼p) – prawo transpozycji, g) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q – prawo odrywania dla implikacji, h) ∼(p ∧ ∼p) – prawo wyłączonej sprzeczności lub prawo niesprzeczności, i) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) – prawo przechodniości implikacji. Przykład 1.4. Wykażemy, że prawo de Morgana (e) jest tautologią. Budujemy tabelę, w której w ostatniej kolumnie umieszczamy otrzymane wartości logiczne. Są to same 1, więc badany schemat zdaniowy jest tautologią. p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ∧ q 1 0 0 0 ∼p 0 0 1 1 ∼q 0 1 0 1 ∼(p ∧ q) 0 1 1 1 (∼p) ∨ (∼q) 0 1 1 1 ∼(p ∧ q) ⇔ (∼p) ∨ (∼q) 1 1 1 1 Przykład 1.5. Wykażemy, że następujący schemat zdaniowy [(∼p)∨(∼q)] ⇔ [p ⇒ (∼q)] jest tautologią. Budujemy tabelę, w której w ostatniej kolumnie umieszczamy otrzymane wartości logiczne. Są to same 1, więc badany schemat zdaniowy jest tautologią. p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ∼p 0 0 1 1 ∼q 0 1 0 1 ∼p ∨ ∼q 0 1 1 1 p ⇒ (∼q) 0 1 1 1 [(∼p) ∨ (∼q)] ⇔ [p ⇒ (∼q)] 1 1 1 1 Definicja 1.5. Wyrażenie φ(x), w którym występuje jedna zmienna x i które staje się zda- niem, gdy zamiast zmiennej x wstawiamy nazwę dowolnego elementu z nie- pustego zbioru X, nazywamy funkcją zdaniową jednej zmiennej x ∈ X. Funkcje zdaniowe zapisujemy w postaci φ(x), x ∈ X. Funkcje zdaniowe można łączyć ze sobą za pomocą spójników logicznych w tzw. złożone funkcje zdaniowe. Zbiór takich elementów ze zbioru X, które spełniają daną funkcję zdaniową (tzn. tych elementów x ∈ X, dla których zdanie φ(x) jest prawdziwe), zapisujemy jako {x ∈ X : φ(x)}. 6 1.2. Elementy logiki Przykład 1.6. Następujące stwierdzenia są funkcjami zdaniowymi: a) Liczba x jest większa od 3, x ∈ R; podstawiając np. x = 4 otrzymujemy zdanie b) x2 − 4 0, x ∈ N; podstawiając np. x = 3, otrzymujemy zdanie prawdziwe, bo 9 4, a podstawiając np. x = 1 otrzymujemy zdanie fałszywe, bo zdanie 1 4 jest fałszywe. prawdziwe, Definicja 1.6. Jeżeli wszystkie elementy pewnego zbioru X spełniają funkcję zdaniową φ(x), to piszemy φ(x). (cid:8)x∈X (1.6) Symbol (cid:8) czytamy dla każdego i nazywamy go kwantyfikatorem ogól- nym. Definicja 1.7. Jeżeli niektóre elementy pewnego zbioru X spełniają funkcję zdaniową φ(x), to piszemy φ(x). (cid:9)x∈X (1.7) Symbol (cid:9) czytamy istnieje i nazywamy go kwantyfikatorem szczegóło- wym. Przykład 1.7. Zapis (cid:9)x∈R x2 (cid:3) 0 czytamy istnieje liczba rzeczywista x taka, że x2 (cid:3) 0. Jest to zdanie prawdziwe, bo np. liczba rzeczywista 0 spełnia tę nierówność. O zmiennej występującej pod symbolem kwantyfikatora mówimy, że jest związana z kwantyfikatorem. Jeżeli kwantyfikator dotyczy funkcji zdaniowej wielu zmiennych, to zmienne niewystępujące pod symbolem kwantyfikatora na- zywamy zmiennymi swobodnymi. W poniższym twierdzeniu znajduje się kilka często wykorzystywanych praw rachunku funkcyjnego, czyli praw stosowanych do funkcji zdaniowych poprze- dzonych kwantyfikatorami. Twierdzenie 1.2. (Kuratowski, 1977, s. 31–32) Niech ϕ, ψ oznaczają funkcje zdaniowe określone na zbiorze X. Wtedy: a) ∼ (cid:8)x∈X ϕ (x) ⇔ (cid:9)x∈X ∼ ϕ (x), 7 Rozdział 1. Pojęcia wstępne b) ∼ (cid:9)x∈X c) (cid:8)x∈X d) (cid:9)x∈X e) (cid:8)x∈X f) (cid:9)x∈X ϕ (x) ⇔ (cid:8)x∈X ∼ ϕ (x), (ψ (x) ∧ ϕ (x)) ⇔ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ (cid:8)x∈X (ψ (x) ∨ ϕ (x)) ⇔ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ (cid:9)x∈X (ψ (x) ∨ ϕ (x)) ⇐ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ (cid:8)x∈X (ψ (x) ∧ ϕ (x)) ⇒ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ (cid:9)x∈X ψ (x) ∧(cid:8)x∈X ψ (x) ∨(cid:9)x∈X ψ (x) ∨(cid:8)x∈X ψ (x) ∧(cid:9)x∈X , , ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠ , . Definicja 1.8. Załóżmy, że dane są niepuste zbiory X i Y . Funkcją zdaniową dwóch zmiennych φ(x, y) dla x ∈ X, y ∈ Y nazywamy dowolne wyrażenie, które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennych x i y podstawimy dowolne elementy zbiorów X i Y . Przykład 1.8. Wskażemy zbiór tych elementów (x, y), które spełniają funkcję zdaniową: x + y = 3. (cid:9)x∈R(cid:9)y∈R Tę funkcję zdaniową spełniają wszystkie pary (x, y) liczb rzeczywistych, dla których y = −x + 3, czyli wszystkie punkty wykresu prostej y = −x + 3 na płaszczyźnie. 1.3. Elementy rachunku zbiorów Zbiory będziemy oznaczali dużymi literami A, B, C, . . . Zbiór niemający żad- nych elementów to tzw. zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem ∅. Zbiór skoń- czony złożony z n elementów x1, x2, . . ., xn oznaczamy symbolem {x1, x2, . . ., xn}. Definicja 1.9. Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B (zbiór A nazywamy pod- zbiorem zbioru B) co zapisujemy A ⊂ B, jeżeli dla każdego elementu x zachodzi x ∈ A ⇒ x ∈ B. B A Znak ⊂ nazywamy inkluzją lub relacją zawierania. 8 1.3. Elementy rachunku zbiorów Dwa zbiory A i B nazywamy równymi (co zapisujemy A = B) wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ A ⇔ x ∈ B dla każdego elementu x. Inkluzja A ⊆ B oznacza, że A ⊂ B lub A = B. W dalszej części rozdziału przestrzenią X będziemy nazywać taki zbiór, do którego należą wszystkie rozważane obiekty. Definicja 1.10. Sumą dwóch dowolnych zbiorów A, B ⊂ X nazywamy zbiór A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}. A B Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A, B ⊂ X nazywamy zbiór A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}. A B Różnicą zbiorów A, B ⊂ X nazywamy zbiór A \ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x /∈ B}. A B Dla dowolnych liczb a, b ∈ R wprowadźmy następujące oznaczenia: • (cid:15)a, b(cid:16) = {x ∈ R : x (cid:2) a ∧ x (cid:3) b} – przedział domknięty, • (a, b) = {x ∈ R : x a ∧ x b} – przedział otwarty, • (a, b(cid:16) = {x ∈ R : x a ∧ x (cid:3) b} – przedział lewostronnie otwarty i prawo- • (cid:15)a, b) = {x ∈ R : x (cid:2) a ∧ x b} – przedział prawostronnie otwarty i lewo- stronnie domknięty, stronnie domknięty. Definicja 1.11. Niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni X. Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni X nazywamy zbiór A′ = X \ A. A X \ A Dopełnieniem zbioru A = {x ∈ X : φ(x)} jest zbiór A′ = {x ∈ X : ∼φ(x)}. Przykład 1.9. Niech A = (cid:15)2, 5(cid:16) i B = (3, 7(cid:16). Dla tych zbiorów obliczymy sumę, iloczyn, różnice oraz dopełnienia do przestrzeni R. 9
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka. Podręcznik dla studentów kierunków ekonomicznych
Autor:
, ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: