Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00287 005068 12604987 na godz. na dobę w sumie
Matematyka współczesna dla myślących laików - ebook/pdf
Matematyka współczesna dla myślących laików - ebook/pdf
Autor: Liczba stron:
Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-235-1103-8 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Zbiór esejów popularyzujących matematykę współczesną w sposób prosty i przystępny dla niespecjalistów. Autor, jak pisze we wstępie, nie zamierzał: 'kogokolwiek czegokolwiek uczyć [a jedynie] pokazać pewną liczbę wybranych, w miarę aktualnych problemów matematycznych i wyników badań nad nimi'. Głównymi adresatami tej książki są dwie grupy osób. Pierwsza to młodzi adepci matematyki, którzy na wybraną przez siebie dziedzinę studiów pragną spojrzeć z dalszej perspektywy. Druga zaś to osoby, które swój kontakt z matematyką skończyły w szkole, ale interesuje ich odpowiedź na pytanie, co robią matematycy i na czym polega ich praca. Dla nich wszystkich lektura tej książki będzie jak rzut oka na wysokie góry - można je przecież zobaczyć z bliska nawet wtedy, gdy nie jest się alpinistą.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Zbiór esejów popularyzujących matematykę współczesną w sposób prosty i przystępny dla niespecjalistów. Autor, jak pisze we wstępie, nie zamierzał: „kogo- kolwiek czegokolwiek uczyć [a jedynie] pokazać pewną liczbę wybranych, w miarę aktualnych problemów matematycznych i wyników badań nad nimi”. Głównymi adresatami tej książki są dwie grupy osób. Pierwsza to młodzi adepci matema- tyki, którzy na wybraną przez siebie dziedzinę studiów pragną spojrzeć z dalszej perspektywy. Druga zaś to osoby, które swój kontakt z matematyką skończyły w szkole, ale interesuje ich odpowiedź na pytanie, co robią matematycy i na czym polega ich praca. Dla nich wszystkich lektura tej książki będzie jak rzut oka na wysokie góry – można je przecież zobaczyć z bliska nawet wtedy, gdy nie jest się alpinistą. Paweł Strzelecki (rocznik 1963; od 2006 roku prof. UW) nie tylko matematykę twórczo uprawia (uzyskując wiele rezultatów z szeroko rozumianej problematyki równań różniczkowych cząstkowych, czy – ogólniej – analizy matematycznej), ale też umie ją zaprezentować w sposób przystępny tak młodym adeptom tej nauki, jak też ludziom o zainteresowaniach od matematyki odległych, a nawet dzieciom (czego doskonałym przykładem są świetne wykłady na Uniwersytecie Dziecięcym). Jest zarazem znawcą języka polskiego i koneserem kilku języków obcych, co powoduje, że tłumaczone przez niego książki (jak choćby Listy do młodego matematyka Iana Stewarta) to uczta dla czytelnika. Działa z zaraźliwym entuzjazmem na wielu frontach upowszechnienia nauki, ciesząc się wśród swoich odbiorców wielką popularnością. Cena 31 zł M atematyka Pa w eł Strzelecki dla myślących laików współczesna P a w e ł S t r z e l e c k i M a t e m a t y k a w s p ó ł c z e s n a d l a m y ś l ą c y c h l a i k ó w wer. 2 indd.indd 1 wer. 2 indd.indd 1 ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 2011-10-03 19:57:02 2011-10-03 19:57:02 Matematyka współczesna dla myślących laików ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== M atematyka Pa w eł Strzelecki dla myślących laików współczesna ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Projekt okładki Katarzyna Jarnuszkiewicz Redakcja i korekta Izabela Mika Redakcja techniczna Zofia Kosińska Redaktor prowadzący Małgorzata Yamazaki Skład i łamanie Raven c(cid:136) Copyright by Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 2011 ISBN 978-83-235-0817-5 Wydanie I Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 00-497 Warszawa, ul. Nowy Świat 4 http://www.wuw.pl; e-mail: wuw@uw.edu.pl Dział Handlowy: tel (0 48 22) 55 31 333 e-mail: dz.handlowy@uw.edu.pl Księgarnia internetowa: http://www.wuw.pl/ksiegarnia ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== (cid:72) Spis treści Skąd się wzięła ta książka? 1 Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych 2 Gdyby Cayley miał komputer 3 Wielbiciele i krytycy geometrii fraktalnej 4 Krzywe i pomiar ich zakrzywienia 5 Matematyka optymalnej formy 6 Pomarańcze, plastry miodu i kolorowanie map 7 Piękno czy przydatność? 8 Hipoteza Riemanna 9 Katalog kształtów naszego Wszechświata Zamiast zakończenia Bibliografia 6 13 38 54 78 96 127 151 179 206 235 237 ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== (cid:72) Skąd się wzięła ta książka? Na początku 2007 roku postanowiłem, że w semestrze zimowym roku akademickiego 2007/2008 poprowadzę na Uniwersytecie Warszawskim wykład ogólnouniwersytecki – to znaczy wykład, który w zamyśle powinien być dostępny dla możliwie szerokiej studenckiej publiczności z różnych wydziałów – pod tytułem Ma- tematyka współczesna dla myślących laików. Pełniłem wtedy dość czasochłonne obowiązki prodziekana ds. studenckich i po- myślałem naiwnie, że na podstawie różnych swoich popularnych tekstów, pisanych od wczesnych lat dziewięćdziesiątych XX wie- ku dla miesięcznika Delta, oraz odczytów, jakie miewałem pod- czas Festiwalu Nauki, zbuduję taki wykład bez większych pro- blemów, oszczędzając czas, którego bardzo mi wtedy brakowało na zajmowanie się własnymi badaniami matematycznymi. Praca nad ilustrowaniem tego wykładu i opowiadaniem różnych rzeczy mieszanej publiczności w sposób możliwie prosty zajęła mi póź- niej znacznie więcej czasu, niż się spodziewałem. W oficjalnym opisie wykładu napisałem, że typowy człowiek wykształcony – nawet taki, który podczas studiów uczył się tro- chę matematyki – nie styka się na ogół z osiągnięciami matema- tyki współczesnej (a jeśli już, to często trafia na nie w wersji ga- zetowej, okrojonej, wypranej z sensu i odpowiednio, jak mówią Francuzi, zwulgaryzowanej). Napisałem także, że nie jest mo- im zamiarem kogokolwiek czegokolwiek uczyć; chciałbym tylko podczas cyklu luźno powiązanych, popularnych odczytów po- kazać pewną liczbę wybranych, w miarę aktualnych problemów ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== (cid:72) 7 matematycznych i wyników badań nad nimi. Wybierając tematy, kierowałem się – prócz własnego gustu – ich znaczeniem, pro- stotą sformułowań oraz intrygującym charakterem zagadnień, a także ich związkami z poważnymi otwartymi pytaniami lub nieoczekiwanymi zastosowaniami matematyki. Nie zakładałem, że moi słuchacze będą mieli szczególnie głę- boką wiedzę matematyczną. Przyjąłem jednak, że matematyka (jako dziedzina ludzkiej aktywności o bardzo różnorakim cha- rakterze) ich ciekawi, że raczej nie mówią o sobie: bo ja zawsze miałem kłopoty z matematyką, a nawet jeśli tak czasem myślą, to trochę tego stanu rzeczy żałują. Przyjąłem także, że będą gotowi włożyć trochę wysiłku w słuchanie moich pogawędek i zadawa- nie pytań. Na pierwszym wykładzie wśród publiczności znalazły się mniej więcej równoliczne grupy studentów mojego własnego wydziału oraz studentów innych wydziałów UW, także stupro- centowo humanistycznych. Udział w wykładzie oczywiście nie był obowiązkowy (na zaliczenie wystarczyło napisać esej – wy- pracowanie na jeden z trzech zadanych tematów), więc po kilku- nastu tygodniach towarzyszyła mi tylko część początkowej liczby słuchaczy. Gdy jednak na ostatnim wykładzie zapytałem ponow- nie, kto jest spoza Wydziału Matematyki, Informatyki i Mecha- niki, ku mojemu zaskoczeniu mniej więcej połowa obecnych na sali podniosła ręce. Dla mnie zaś, po wcześniejszych opowie- ściach o całkiem zaawansowanej i poważnej matematyce, było to świadectwo, że nie poniosłem całkowitej porażki: znaleźli się nie-matematycy, którzy chcieli takich opowieści słuchać. Istnieje wiele świetnych książek napisanych po to, żeby ko- muś, kto widzi matematykę od zewnątrz, albo z samego brze- gu, jako dziedzinę, która dopiero może się przed nim otworzyć szerzej, pokazać, że matematyka jest jednak czymś innym i nie- porównanie bogatszym niż szkolny przedmiot noszący tę samą nazwę. Należą do nich m.in. Co to jest matematyka Couranta i Robbinsa, O liczbach i figurach Rademachera i Toeplitza, Kalej- doskop matematyczny Hugona Steinhausa, a z nowszych pozycji dostępnych po polsku: Diamenty matematyki Krzysztofa Ciesiel- skiego i Zdzisława Pogody, a także Listy do młodego matematyka Iana Stewarta. Po cóż więc pisać jeszcze jedną? ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 8 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików Nie mam na to idealnej odpowiedzi. Myślę, że każdy z nas mo- że dawać w miarę zrozumiałe świadectwo temu, co robi. W przy- padku matematyki jest to niełatwe zadanie, bo wspomniany już typowy wykształcony człowiek nie tylko ma co najwyżej prze- ciętne pojęcie o matematyce, tzn. z reguły nie zna pojęć matema- tycznych, które wprowadzono później niż w połowie XVII wieku, ale także ma wyobrażenie matematyki jako dziedziny zamknię- tej, w której wszystko już wiadomo, a wszystkie teorie oraz zada- nia z rozwiązaniami spisane są w podręcznikach. Paul Halmos powiedział kiedyś: smuci mnie, że nawet wykształceni ludzie nie wiedzą, że mój przedmiot istnieje naprawdę. Mnie też smuci, gdy ludzie, darzący mnie skądinąd przyjaźnią, pytają: skoro nie jesteś już prodziekanem i nie wyjeżdżasz w nadchodzącym se- mestrze pracować na innej europejskiej uczelni, to po prostu zaj- mujesz się tylko wykładaniem na Banacha, tak? Smuci mnie, gdy uznają, że najważniejszą, wręcz może jedyną częścią mojej pracy – pracy każdego uniwersyteckiego matematyka – jest na- uczanie i współudział w administrowaniu uczelnią, a zawodowe wyjazdy w świat wiążą się z robieniem tego samego, tylko pod innym niebem i przy innej tablicy. Nikt nie zadałby podobnych pytań przedstawicielom na- uk doświadczalnych ani tym bardziej malarzowi zatrudnione- mu w jakiejś uczelni artystycznej lub reżyserowi pracującemu w szkole filmowej. Szeroka, najbardziej nawet naiwna publicz- ność jakoś wiąże fizyka z elektronami, falami, optyką, energią jądrową, półprzewodnikami, ciekłymi kryształami, biologa zaś – z genami, szalonymi krowami, ekologią, klonowaniem i owcą Dolly. Publiczność wie także, że kiedyś tego – tzn. owcy Dolly i energii jądrowej – nie było. Matematyk zaś ma biurko, kredę, tablicę, jakieś książki, papier i ołówek. Zajmuje się z niepojętym oddaniem tym, co wszyscy wiedzą od dawna, tylko po maturze (lub po ostatnim egzaminie z matematyki dla chemików i inży- nierów) mogą wreszcie z ulgą odetchnąć i o tym zapomnieć. Chciałem więc spróbować opowiedzieć, co robią matematycy i na czym polega ich praca. Wiem, że przede mną inni robili to szerzej i lepiej. Jednak myślę, że warto co jakiś czas próbować opowiadać to samo od nowa, innymi słowami. Matematyka nie ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== (cid:72) 9 jest jakimś zaginionym światem ani rajem utraconym. Dla nie- których jest być może tajemniczą wyspą, jednak przede wszyst- kim jest częścią naszej codziennej kultury, a także dziedziną, którą z pasją zajmują się na całym świecie dziesiątki tysięcy lu- dzi z krwi i kości. Głównymi adresatami moich opowieści są dwie kategorie osób. Po pierwsze, młodzi ludzie, którzy zaczynają studiować matematykę i chcieliby może czasem odpocząć od sformalizowa- nych wykładów, a jednocześnie na przedmiot studiów spojrzeć z dystansu i z dalszej perspektywy. Po drugie, takie osoby, któ- re z matematyką rozstały się w okolicach matury lub studiów, ale gotowe byłyby poświęcić trochę czasu, żeby się dowiedzieć, dlaczego matematycy sądzą, że ich przedmiot naprawdę istnieje, i czym się zajmują w chwilach wolnych od wykładania. ∗ ∗ ∗ Obraz matematyki w tej książce jest niepełny i wycinkowy. Nie ma tu ani wszystkich ważnych gałęzi matematyki, ani tym bardziej wszystkich zastosowań matematyki (jednak o różnych zastosowaniach staram się czasem wspominać). Wybór tematów został podyktowany moim gustem i rozmiarami mojej niewiedzy. Czytelnik powinien pamiętać, że niemal o wszystkich poruszo- nych w tej książeczce tematach wiem z grubsza tyle, ile kardio- log wie o ortopedii albo ichtiolog o ornitologii. Innymi słowy, też w pewnym sensie jestem laikiem, tyle że z fachowym przygoto- waniem. W wielu rozdziałach tekstowi towarzyszą obrazki. Zachęcony przez jednego z kolegów, profesora Dariusza Wrzoska z Instytu- tu Matematyki Stosowanej UW, chciałbym wyraźnie zaznaczyć jedno: tych rysunków nie wybierał grafik dysponujący odpowied- nio bogatym katalogiem gotowych ilustracji, myszką i pięknym komputerem do składania tekstów. Za każdym z nich stoją odpo- wiednie wzory i równania oraz chwila namysłu, jak przedstawić to i owo. Te obrazki też są częścią tego, jak matematycy widzą swój przedmiot i badane obiekty. ∗ ∗ ∗ ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 10 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików Podczas pisania tej książki korzystałem z uwag, porad i po- mocy wielu osób. Po pierwsze, dziękuję Małgosi, Marcie i Mi- chałowi, którzy jako króliki doświadczalne, reprezentujące dwie wspomniane główne kategorie moich adresatów, czytali spore fragmenty pierwszych wersji tekstu. Każdy matematyk miewa znajomych w wielu miejscach świa- ta; nawet jeśli niektórych zna luźno lub wręcz tylko z korespon- dencji, to zwykle może liczyć na ich bezinteresowne wsparcie. Parę takich osób chciałbym tu wymienić. John M. Sullivan z Po- litechniki w Berlinie i Chris H. Rycroft z Uniwersytetu Kalifornij- skiego w Berkeley użyczyli mi kilku rysunków (Czytelnik znaj- dzie je w rozdziale piątym i szóstym, z odpowiednimi adnota- cjami). Jestem im szczerze zobowiązany. Akurat tych rysunków nie potrafiłbym wykonać samodzielnie, bo nie mam takiego jak oni talentu i doświadczenia programistycznego. Colette Anné z Uniwersytetu w Nantes zaopatrzyła mnie w pełny francuski tekst przemówienia Jeana Leraya, z którego zaczerpnąłem jeden z dwóch cytatów otwierających książkę. Steven Krantz z Uni- wersytetu Waszyngtona w St. Louis na początku października 2007 roku, gdy zaczynałem prowadzić wykład, z którego wyro- sła ta książka, udostępnił mi (wtedy jeszcze roboczy) maszynopis swojej książki The proof is in the pudding. Mogłem dzięki temu konfrontować własne poglądy na matematykę i sposoby jej po- pularyzacji z jego przemyślanym spojrzeniem na rolę dowodów w matematyce. Dziękuję pani profesor Annie Zdunik z Instytutu Matematyki UW, która przeczytała fragmenty gotowego tekstu i podzieliła się ze mną swoimi wrażeniami. Bardzo wdzięczny jestem profesorowi Markowi Kordosowi, który po pierwsze przez około 20 lat ukształtował moje poglądy na istotę i znaczenie popularyzacji matematyki (to dzięki pra- cy w kierowanej przezeń redakcji miesięcznika Delta nabrałem nawyku regularnego czytania o wszelkich nowinkach matema- tycznych oraz o dawnych korzeniach tych nowinek – także w ob- szarach oddalonych od moich własnych zainteresowań badaw- czych), po drugie przekonywał mnie, że napisanie tej książki ma sens, po trzecie zaś był pierwszym czytelnikiem całości i zgłosił ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== (cid:72) 11 wiele uwag, które pozwoliły ulepszyć tekst i usunąć część moich potknięć. W popularyzatorskiej części mojego matematycznego żywota czuję się jego uczniem i dłużnikiem. Wreszcie, dziękuję pani redaktor Małgorzacie Yamazaki z Wy- dawnictw Uniwersytetu Warszawskiego, która z anielską cierpli- wością, godną zaiste lepszej sprawy, znosiła moje nierówne zma- gania z płynącym czasem, obdarzając mnie jednocześnie słowa- mi spokojnej i bardzo życzliwej zachęty, pozwalającymi wierzyć, że całe przedsięwzięcie uda się doprowadzić do końca. Wszystkim za wsparcie i pomoc dziękuję. Wszelkie błędy w tej książce są zawinione wyłącznie przeze mnie. Paweł Strzelecki Warszawa, maj 2011 roku ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== Różne jej części są nierozłączne, podobnie jak róż- ne organy każdej żywej istoty; jak każda żywa istota matematyka musi bez przerwy sama sie- bie budować i odtwarzać. Nie możemy się jej na- uczyć; musimy ją odkrywać od nowa. Każde po- kolenie odbudowuje ją zatem coraz piękniejszą, obszerniejszą i poteżniejszą, ale i coraz bardziej złożoną, mimo przyjemności, jaką matematyka odnajduje w zapominaniu tego, co uzna za zby- teczne. Dlatego śmierć badań matematycznych oznaczałaby śmierć myślenia matematycznego, czyli upadek całego języka nauk przyrodniczych. Eksperymentowanie nie polega bowiem tylko na używaniu naszych zmysłów i rąk, ale także na tworzeniu rozsądnych schematów tej niewielkiej części fizycznej rzeczywistości, którą widzimy. Jean Leray W uprawianiu matematyki, w odkrywaniu takich sposobów myślenia, które pozwalają wyjaśniać, organizować i upraszczać, tkwi prawdziwa ra- dość. Można tę radość przeżyć, odkrywając no- wą matematykę lub odnajdując matematykę sta- rą i znaną, ucząc się od kogoś sposobu myślenia, a wreszcie – wpadając na to, że na znaną struk- turę matematyczną można spojrzeć inaczej. William Thurston ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== (cid:72)1 Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych Co właściwie robią matematycy? Czym się zajmują? Niniejsza książka wyrosła z rozmaitych prób zmierzenia się z tymi pyta- niami. William Thurston w eseju O dowodzie i o postępie w mate- matyce pisze, że matematycy mają na ogół wrażenie, iż wiedzą, czym jest matematyka, ale trudno im podać jej dobrą bezpo- średnią definicję. Owa trudność wydaje mu się czymś istotnym, wskazującym na złożoną i rekurencyjną strukturę matematyki. Odnajduję lekką nutkę jego zawodowej ironii, gdy czytam, jak stwierdza, że można byłoby określić matematykę jako najmniej- szą dziedzinę, spełniającą trzy warunki: • matematyka obejmuje liczby naturalne oraz geometrię pła- ską i przestrzenną; • matematyka jest przedmiotem badań matematyków; • matematykami są ci ludzie, którzy zwiększają i pogłębiają nasze zrozumienie matematyki. Kto zechce, może zbyć Thurstona lekceważącym prychnięciem, uznając, że matematyka, którą poznał w szkole czy na studiach i o której – jak o biologii, chemii, fizyce, literaturze czy muzyce – ma wszak pewne elementarne pojęcie, jest czymś szerszym, głębszym lub po prostu czymś innym. Znam jednak wielu lu- dzi, którzy zgodziliby się niemal bez zastrzeżeń z określeniem Thurstona, a sami siebie określają jako matematyków. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 14 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików Na pytanie: co właściwie robią matematycy? Thurston od- powiada jasno: zwiększają i pogłębiają nasze zrozumienie ma- tematyki. Przeciętnie uważny Czytelnik dostrzeże, że nie chodzi tu tylko ani nawet przede wszystkim o to, żeby kogoś uczyć, czy coś komuś objaśniać. Matematycy z definicji Thurstona nie tylko uczą innych, ale odkrywają nową matematykę, odnajdują matematykę znaną wcześniej, a także uczą się sami, od kolegów i z cudzych tekstów, nowych sposobów myślenia. Jeden z moich warszawskich kolegów, Wojciech Guzicki, rzucił kiedyś w paroosobowym gronie, że matematyki należy uczyć w szkole z trzech powodów. Po pierwsze, jest przydatna; po drugie, porządkuje myślenie; po trzecie, jest po prostu piękna. Przydatności, w sensie cywilizacyjnym, nikt poważny nie będzie zaprzeczał. Bez matematyki nie byłoby ani lotów kosmicznych, ani tomografu komputerowego, ani protokołów komunikacyj- nych umożliwiających bezpieczne zakupy w Internecie, ani dokładnych krótkoterminowych prognoz pogody. Argument o porządkowaniu myślenia też przyjmują wszyscy: przeczytać zadanie, zrozumieć polecenie, wypisać dane i niewiadome, zastanowić się spokojnie, rozwiązać krok po kroku i sprawdzić, co właściwie wyszło, a zdobyte dzięki temu doświadczenie wykorzystywać (najlepiej ze zrozumieniem) w przyszłości. To, jak się wydaje, mogłoby dobrze służyć każdemu, niezależnie od tego, jaką drogę w życiu sobie wybierze. Wzmianka o pięknie potrafi jednak budzić odruchy zdziwie- nia, a nawet sprzeciwu. Cóż pięknego tkwi, powiedzmy, w bole- snym zakuwaniu do klasówki z algebry? W rozwiązywaniu zadań o cenach bułek i ciastek albo stężeniach pomieszanych roztwo- rów soli? Kłopot polega na tym, że ta część szkolnego oblicza matematyki w odpowiednio złym wykonaniu może mieć z ma- tematyką jako taką mniej więcej tyle wspólnego, ile wspólnego z prawdziwą literaturą ma lekcja profesor Bladaczki, kładącej, że Słowacki wielkim poetą był. Piękno tkwi w urodzie rozumowań, w przeżytym uczuciu zaskoczenia, w potwierdzonych intuicjach i odnalezionym zrozumieniu. Nie chciałbym tu nikogo uczyć; nie zamierzam przedstawiać żadnego przystępnego encyklopedycznego obrazu ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1. Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych (cid:72) 15 współczesnej matematyki, bo sam widzę tylko jej skromny wy- cinek. Chcę natomiast opowiedzieć kilka historii o działalności moich kolegów po fachu. W niektórych będzie trochę szczegółów, zachęty do samodzielnego sięgnięcia po papier i ołówek lub inne narzędzia, w innych – tylko obrazowe i poglądowe opowiastki. Ja sam widzę w tych historiach zarówno potwierdzenie urody i przydatności matematyki, ilustrację słów Thurstona o prawdziwej radości. Widzę w nich także świadectwo słuszności poglądu Davida Hilberta, że niemal cała matematyka polega na rozwiązywaniu problemów i zadań, a nowe teorie czy pojęcia są od tego, żeby pomóc owo rozwiązanie znaleźć lub wyrazić je w sposób przejrzysty i zrozumiały. jak i Pierwsza z tych historii wiąże się z zaskakującymi, otwartymi, a jednocześnie fundamentalnymi pytaniami, które wciąż zawiera bardzo klasyczna dziedzina: matematyczne podstawy mechaniki Newtona. Dość niedawno, pod sam koniec XX wieku, okazało się na przykład, że w świecie mechaniki newtonowskiej, gdy zanie- dbamy efekty relatywistyczne, możliwa jest podróż do nieskoń- czoności w skończonym czasie. Może się zdarzyć, że kilka ciał, poddanych wyłącznie działaniu grawitacji, wpadnie w szalony, coraz szybszy taniec; jedno z nich będzie na przemian usiłowa- ło zderzyć się z pozostałymi i bardzo od nich oddalić, ale okaże się, że ani to pierwsze, ani to drugie – ani ostateczne zderzenie, ani trwałe oddalenie na bezpieczną odległość – nie jest możliwe. Brzmi to jak zły scenariusz filmu science fiction, zacznijmy więc od czegoś znacznie prostszego. Chodzi mi o zasadę szufladkową Dirichleta: jeśli do n szuflad włożymy n + 1 (lub więcej) listów, to w pewnej szufladzie znaj- dą się co najmniej dwa listy. Jest to stwierdzenie tak oczywiste, na pozór wręcz banalne, że trudno sobie wyobrazić, by mogło prowadzić do jakichś szczególnie zaskakujących wniosków. Każ- dy słyszał, że w odpowiednio dużym mieście z pewnością są dwie osoby, które mają tyle samo włosów na głowie (nie po- trafimy jednak łatwo takich osób wskazać), a w każdej szkole, do której chodzi przynajmniej 367 uczniów, na pewno są tacy, którzy obchodzą urodziny tego samego dnia (i nie trzeba uważ- ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 16 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików nie przeglądać wszystkich dzienników, żeby przekonać się, że to prawda). Spójrzmy na bardziej matematyczny przykład: wśród każ- dych 501 liczb wybranych spośród 1, 2, . . . , 1000 na pewno są dwie takie, z których jedna dzieli drugą bez reszty. Tu akurat nie od razu widać, jak zastosować zasadę szufladkową. Gdyby- śmy jednak zapisali każdą z 501 wybranych liczb jako iloczyn pewnej liczby nieparzystej i pewnej potęgi dwójki, tzn. w postaci 2m · (2l + 1), to zauważylibyśmy, że nie wszystkie czynniki nie- parzyste są różne. Istotnie, nie mogą być różne, bo jest ich 501, a możliwości wyboru tylko 500, gdyż tylko co druga liczba wśród 1, 2, . . . , 1000 jest nieparzysta. Wśród wybranych 501 liczb są więc z pewnością dwie, powiedzmy a i b, które mają ten sam czynnik nieparzysty, tzn. a = 2m · (2l + 1), b = 2k · (2l + 1). Jeśli 2m jest większe niż 2k (a przecież możemy przyjąć, że tak jest, bo gdyby było na odwrót, to moglibyśmy zamienić oznacze- nia obu liczb), to b dzieli a: w liczniku i mianowniku ułamka a/b można skrócić wspólny czynnik nieparzysty, a mniejsza po- tęga dwójki z pewnością dzieli większą potęgę. Innymi słowy, a/b = 2m−k; wynik dzielenia jest całkowity. Mój ulubiony przykład zastosowania zasady szufladkowej Di- richleta jest w gruncie rzeczy podobny. Różnica polega na tym, że jeszcze mniej oczywiste jest, czym mają być szufladki i jak się nimi posłużyć, a wnioski są, dla wielu osób, bardziej zaska- kujące. Chodzi mi o twierdzenie, które orzeka, że każdy skoń- czony, niezaczynający się od zera ciąg cyfr widnieje na początku (tzn. z lewej strony) rozwinięcia dziesiętnego wielu różnych potęg dwójki. Na przykład, data urodzin każdego Polaka (z numerami PESEL i NIP dorzuconymi na dodatek) znajduje się na początku zapisu dziesiętnego nieskończenie wielu potęg dwójki. To samo można powiedzieć nie tylko o datach. Istnieją wy- kładniki n, dla których zapis dziesiętny 2n zaczyna się od ciągu utworzonego z wypisanych po kolei wszystkich numerów z książ- ki adresowej mojego telefonu komórkowego. Pisząc te słowa, nie ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1. Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych (cid:72) 17 potrafię wprawdzie podać żadnej takiej liczby n, ale mimo to mam uczucie niezachwianej pewności, które nie zawsze towa- rzyszy mi w życiu. Takie uczucie pewności daje matematykowi dowód. Jedną z radości, których dostarcza obcowanie z mate- matyką, jest właśnie to, że dzięki dowodom można być pewnym różnych rzeczy nieoczywistych. Nawet dla ciągów jednocyfrowych teza wspomnianego twier- dzenia nie jest oczywista. Gdy zaczniemy wypisywać początkowe cyfry liczb 2n dla n = 0, 1, 2, . . . , to ujrzymy następujący wzór: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, . . . Siódemek i dziewiątek (na razie) ani śladu, prawda? Co więcej, komuś niecierpliwemu i nieuważnemu może przyjść do głowy myśl, że ciąg początkowych cyfr potęg dwój- ki jest okresowy i wszystko w nim powtarza się regularnie, co 10 miejsc. To jednak tylko złudzenie, którego przyczyną jest to, że 210 = 1024 jest niezłym przybliżeniem liczby 1000. Mnożenie liczby przez 1000 polega przecież na dopisywaniu trzech zer na końcu jej zapisu dziesiętnego i nie ma najmniejszego wpływu na początkowy fragment tego zapisu. Gdy wielokrotnie mnożymy przez 1024, drobne i początkowo niezbyt istotne dodatki z koń- cowych fragmentów zapisu dziesiętnego zaczynają kumulować się i wzbierać, rozlewając się stopniowo coraz dalej w lewo. Gdy- bym wypisał wyżej piąty wiersz początkowych cyfr potęg dwójki, to zamiast szóstki byłaby w nim siódemka. Siódemkę zobaczyli- byśmy też – na tym samym miejscu! – w kolejnych wierszach, aż do dziesiątego. W jedenastym wierszu miejsce siódemki zajmie ósemka. Obejrzawszy kilkaset takich wierszy po 10 cyfr, można zobaczyć siódemki (i dziewiątki) w różnych miejscach, zjawiające się nieuchronnie, ale w sposób, który trudno uznać za idealnie okresowy. Aby udowodnić, że siódemka jest początkową cyfrą nieskoń- czenie wielu potęg dwójki, trzeba wyjść poza krąg najprostszych eksperymentów i zrozumieć, co to znaczy, że zapis dziesiętny ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 18 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików liczby 2n zaczyna się od siódemki. Otóż, jest tak wtedy, gdy 2n znajduje się między dwiema liczbami: pierwszą z nich jest sió- demka z pewną liczbą zer na końcu, a drugą ósemka z taką samą liczbą zer. Wszystkie liczby między tymi dwiema zaczynają się od siódemki. I na odwrót, każdą liczbę, która ma za pierwszą cyfrę siódemkę, można wstawić w jeden z przedziałów o końcach 70 . . . 0 i 80 . . . 0 (gdzie zer jest w obu liczbach tyle samo). Teraz, żeby było poręczniej, użyjmy symboli: 7 jest pierwszą cyfrą liczby 2n wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego naturalnego k mamy 7 · 10k 2n 8 · 10k. Aby dostać prostszy, równoważ- ny zapis, zlogarytmujemy te nierówności stronami. Jako pod- stawę logarytmu wybierzemy 10, bo potęga dziesiątki występuje w naszym warunku aż dwukrotnie. Logarytmując, otrzymujemy k + log 7 n log 2 k + log 8. Ponieważ liczby log 7 i log 8 należą do przedziału (0, 1), więc k jest częścią całkowitą liczby n log 2, tzn. k = [n log 2] (nawiasów kwadratowych użyjemy do oznacza- nia części całkowitej). Odejmując k od uzyskanych nierówności, dostaniemy ostatecznie log 7 n log 2 − [n log 2] log 8. Być może czyimś zdaniem to wyrażenie jest bardziej zagadko- we od potocznej frazy 7 jest pierwszą cyfrą liczby 2n, ale za to łatwiej jest poddać je analizie. Zanim to zrobimy, zwróćmy uwagę na jedną rzecz. Otóż, logarytmowanie pozwoliło zamienić obserwację potęg dwójki, rosnących bardzo szybko i rozmiesz- czonych na osi liczbowej w coraz większych odstępach, w ana- lizowanie kolejnych wielokrotności log 2, które rosną znacznie wolniej, a na osi liczbowej rozmieszczone są równomiernie, jak koraliki na sznurku albo słupki kilometrowe przy prostej szosie. Udało się stwierdzić, że poszukiwanie potęg dwójki z pierwszą cyfrą 7 jest tym samym, co sprawdzanie, czy któryś z wyrazów ciągu an := nx − [nx], gdzie x = log 2, a n = 0, 1, 2, . . . , trafi do przedziału o końcach log 7 i log 8. Mówiąc nieco mętnie, to trochę tak, jakbyśmy zdołali spojrzeć na badane zjawisko z innej perspektywy, dostrzegając w nim – dzięki doborowi skali lub przyrządu do obserwacji — pewną rów- ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1. Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych (cid:72) 19 nomierność i symetrię. Obserwujemy na osi liczbowej ślady wę- drówki kogoś, kto wyruszył z zera i stawia równe kroki długości x = log 2. Interesują nas nie miejsca, gdzie wędrowiec stawiał stopy (to są liczby nx), ale odległości tych miejsc od najbliższych (z lewej strony) liczb całkowitych. Owe odległości to właśnie licz- by an = nx − [nx]. Gdyby na przykład x = 41/137, ciąg an części ułamkowych kolejnych wielokrotności x byłby okresowy: wyrazy o numerach różniących się o 137 byłyby równe. Podobnie byłoby dla każ- dej liczby wymiernej x. Jednak log 2 nie jest liczbą wymierną: gdyby log 2 = p/q, to wprost z definicji logarytmu mielibyśmy 10p/q = 2, czyli 10p = 2q, co jest niemożliwe (lewa strona dzie- li się przez 5, a prawa nie). Kluczową i przełomową dla całego rozumowania konsekwencją niewymierności x = log 2 jest to, że wszystkie wyrazy ciągu an są różne. Gdyby bowiem an = am dla jakichś n (cid:44) m, to przekształcając równość nx−[nx] = mx−[mx], zapisalibyśmy x jako ułamek o liczniku i mianowniku całkowi- tym, x = ([nx]− [mx])/(n − m). Wiemy jednak, że x = log 2 takim ułamkiem nie jest! Teraz, idąc za ciosem, możemy zrozumieć całą sytuację do końca. Podzielmy najpierw odcinek [0, 1] na m równych przedzia- łów, wybierając m tak, żeby długość każdej części była mniejsza niż log 8 − log 7 (kto posłuży się np. kalkulatorem, zobaczy, że wystarczy w tym celu wziąć m = 18; jakakolwiek liczba m 18 też byłaby dobra). Ponieważ liczby an są różne, więc któreś dwie spośród a1, a2, . . . , am+1 – powiedzmy as i as+k – należą do tego samego przedziału długości 1/m. (Tu, jak widać, skorzystaliśmy z zasady szufladkowej!) Jak otrzymać as+k, gdy znamy as? To nietrudne; obserwuje- my wszak wędrówkę równymi krokami po osi liczbowej i mierzy- my odstępy śladów wędrowca od ostatniej miniętej liczby całko- witej. Po s krokach wędrowiec znajduje się w punkcie sx, w od- ległości as od ostatniej miniętej liczby całkowitej, którą jest [sx]. Gdy zrobi k kolejnych kroków, znajdzie się w punkcie (s + k)x, w odległości as+k od ostatniej miniętej liczby całkowitej, którą jest [(s+k)x]. Jednak liczby as i as+k różnią się tylko nieznacznie: ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 20 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików należą wszak do jednego przedziału długości 1/m. To zaś ozna- cza, że odległość kx, jaką przebył wędrowiec, stawiając k kro- ków, jest sumą pewnej liczby całkowitej, którą nazwiemy l (kto zechce, sprawdzi, że l = [(k + s)x] − [sx], ale to nie jest istotne), i ułamka u = as+k − as. Może u 0, a może u 0. Tego nie wie- my, bo nie wiemy, która z liczb as i as+k jest mniejsza, a która większa. Na pewno jednak moduł u nie przekracza 1/m, bo as i as+k wybraliśmy z tego samego krótkiego przedziału. Dla wygody wyobraźmy sobie teraz, że oś liczbowa została nawinięta na okrąg długości 1, jak nierozciągliwa nić na szpul- kę. W wyniku tej operacji sklejone zostały końce odcinka [0, 1], a także wszystkie liczby całkowite. Przesunięciu o x na nitce – osi liczbowej – odpowiada obrót szpulki – okręgu. Jest to ob- rót o kąt środkowy oparty na łuku długości x. Ponieważ dłu- gość całego okręgu jest równa 1, więc nietrudno sprawdzić, że chodzi o kąt 360x stopni. Przesunięciu o kx, czyli k-krotnemu przesunięciu o x, odpowiada kolejne wykonanie k takich obro- tów, czyli obrót o 360kx stopni. Wiemy już, że kx = l + u, tzn. 360kx = 360l + 360u, a obrót o 360l stopni dla całkowitego l nic przecież nie zmienia. Na naszej zwiniętej osi liczbowej przejście od as do as+k, a także od jakiegokolwiek aj do aj+k, polega więc na obrocie o kąt 360u stopni. Może w lewo, a może w prawo; tego nie wiemy, gdyż nie wiemy, czy ułamek u jest dodatni, czy ujemny. Dowcip polega jednak na tym, że u ma niewielki moduł i dlatego k wyjściowych obrotów daje obrót o niewielki kąt. Za- uważmy: dobierając wcześniej odpowiednio dużą liczbę m, mo- glibyśmy sprawić, że byłby to obrót o kąt mniejszy od dowolnie ustalonego. Na szpulce – zwiniętej osi – jest łuczek – przedział (log 7, log 8). Dla dowolnego j liczby aj, aj+k, aj+2k itd. przedzielone są łukami okręgu długości |u| ≤ 1/m. Ponadto wszystkie te liczby są różne; stwierdziliśmy to już dawno. Moglibyśmy je zaznaczyć ołówkiem, stawiając na okręgu kropki w regularnych odstępach, ułożone tak, jak podziałki na zegarku – tzn. prawie tak, bo wszak za- toczywszy ołówkiem pełne koło, nie trafilibyśmy ponownie w to samo miejsce. Przedział (log 7, log 8) jest dłuższy niż odstęp mię- dzy sąsiednimi kropkami, zatem któraś kropka weń wpadnie. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1. Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych (cid:72) 21 Jeśli będziemy zaznaczać kropki bez końca, to za każdym peł- nym obiegiem co najmniej jedna z nich znajdzie się na łuku między log 7 i log 8. Do przedziału (log 7, log 8) należy więc nie- skończenie wiele wyrazów ciągu an. Innymi słowy, nieskończenie wiele potęg dwójki zaczyna się od 7. Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla każdego przedziału (α, ), gdzie 0 ≤ α  ≤ 1. Wystarczy tak dobrać liczbę m, żeby „chodzić w kółko odpowiednio drobnymi kroczka- mi”. Nietrudno stąd wywnioskować – kto zechce, sam dopracu- je wszystkie szczegóły uzasadnienia – że każdy skończony ciąg cyfr pojawia się na początku zapisu dziesiętnego nieskończenie wielu potęg dwójki. Siedem siódemek po kolei? Bardzo proszę, liczba 226399 ma w zapisie dziesiątkowym 7947 cyfr i zaczyna się od siedmiu kolejnych siódemek. Mój dzień i miesiąc urodzenia? Bardzo proszę, 19 czerwca; np. 26113890 zaczyna się właśnie od cyfr 1, 9, 0 i 6. Zanim powędrujemy dalej, spójrzmy raz jeszcze na opisane wyżej rozumowanie. Pytanie: czy potęgi dwójki mogą zaczynać się od siódemki, brzmi naiwnie i prosto; jednak udzielając odpo- wiedzi, skorzystaliśmy z logarytmów, dostrzegliśmy ukrytą geo- metrię (była wszak mowa o przesunięciach i obrotach), odwołali- śmy się do niewymierności liczby log 2 i do zasady szufladkowej. Od pewnego momentu wygodniej było myśleć o wędrówce wzdłuż nitki nawiniętej na szpulkę. Czy można było postąpić prościej? Owszem, można było po prostu stwierdzić, że 246 = 70 368 744 177 664, to jednak nie wyjaśniłoby, dlaczego nieskończenie wiele potęg dwójki zaczyna się od siódemki. Czy można byłoby opisać rozumowanie krócej? Tak, bez wąt- pienia; wystarczyłoby pisać tylko o tym, co naprawdę w rozumo- waniu niezbędne i używać nieco więcej symboli. Najważniejsze pytanie, jakie może z dystansu postawić laik, brzmi jednak tak: A ile trzeba czasu, żeby na takie rozumowa- nie wpaść, i jak się to właściwie robi? Oczywiście konkretna odpowiedź zależy od tego, kto jej udziela. Często po prostu nie można zawczasu określić, ile czasu i jakich środków będzie wy- magało rozwiązanie jakiegoś problemu. Między poszukiwaniem ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 22 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików odpowiedzi na nieznane pytanie i szybką lekturą tekstu przed- stawiającego odpowiedź, którą znalazł i opisał ktoś inny, różnica bywa w matematyce taka, jak między samodzielnym wędrowa- niem przez góry z plecakiem na grzbiecie, w słońcu, deszczu, wietrze i mgle, po nieznanej drodze i z niedokładną mapą, a lek- turą paru stron przewodnika w wygodnym fotelu w niedzielne popołudnie, z kubkiem gorącej herbaty stojącym wygodnie pod ręką. . . No dobrze, przerwie ktoś zniecierpliwiony tanią filozofią, co jednak mają wspólnego pierwsze cyfry potęg dwójki z mechaniką Newtona i z tym, że podobno – jak twierdzi autor – w świecie opi- sywanym tylko przez nią, z siłą grawitacji proporcjonalną do ilo- czynu mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości, z prędkościami, które można zwyczajnie dodawać, bez żadnych komplikacji i ograniczeń, wynikających z istnienia prędkości światła, możliwa jest (przy odpowiednim doborze mas i prędko- ści początkowych) ucieczka do nieskończoności w skończonym czasie, czyli zjawisko, które zarówno w oczach astronoma, jak i zwykłego śmiertelnika jest praktycznie tożsame z ostateczną katastrofą obserwowanego układu? Podobieństwo polega na tym, że opis matematyczny obu zjawisk ma pewne cechy wspólne, ukryte pod powierzchnią. W przykładzie z potęgami dwójki ważne było stwierdzenie, że obserwację początkowych fragmentów zapisu dziesiętnego liczb 2n można zastąpić śledzeniem śladów kogoś, kto wędruje po okręgu długości 1 krokami długości log 2. Potem wystarczyło zauważyć, że wszystkie ślady wędrowca są różne, i skorzystać z tego, że obrót okręgu jest przekształceniem wzajemnie jedno- znacznym, zachowującym naturalną miarę wielkości podzbio- rów okręgu, czyli długość łuku. Jest to tak oczywista własność obrotu, że można przeczytać całe powyższe rozwiązanie i nie dostrzec, że odgrywa w nim ona kluczową rolę. Jednak samo rozumowanie jest na tyle ogólne, że stanowi wzorzec postępowa- nia w innych, znacznie ogólniejszych i bardziej abstrakcyjnych sytuacjach. O tym spróbuję opowiedzieć najpierw, zostawiając opisy gra- witacyjnych katastrof na zakończenie. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 1. Od zasady szufladkowej do osobliwości niezderzeniowych (cid:72) 23 Matematyczny opis ruchu wielu ciał pod wpływem grawitacji wymaga odwołania się do równań różniczkowych. Na każde z n ciał działa siła, która jest wypadkową n − 1 sił przyciągania ze strony każdego z pozostałych n−1 ciał. Siła, zgodnie ze znaną ze szkoły drugą zasadą dynamiki Newtona, nadaje przyspieszenie. Znając masy i położenia ciał w danej chwili, można to przyspie- szenie wyrazić niezbyt skomplikowanym wzorem. Żeby zamknąć opis i otrzymać równania, z których (teoretycznie przynajmniej) będzie można wyznaczyć położenie każdego z ciał jako funkcję czasu, trzeba tylko wiedzieć, że przyspieszenie to druga pochod- na położenia. Równań różniczkowych rozwiązywać tu nie będzie- my. Można czytać cały tekst, nie rozumiejąc precyzyjnego zna- czenia słów druga pochodna. Wystarczy po prostu pamiętać, że przyspieszenie określa, w jakim tempie zmienia się wektor pręd- kości chwilowej, a prędkość chwilowa wiernie opisuje zmiany położenia. Ktoś, kto zna przyspieszenie poruszającego się ciała i chciałby wiedzieć, jak zmienia się położenie, musi dwukrotnie wykonać tę samą operację (którą matematyk nazywa całkowa- niem): najpierw odtworzyć prędkość, a potem określić zależność położenia od czasu. Dodatkowa trudność matematyczna pole- ga na tym, że prawo grawitacji nie daje wcale jawnego wzoru na przyspieszenie: znamy jedynie zależność przyspieszenia każ- dego z ciał od położeń pozostałych ciał i musimy tę zależność rozwikłać. Podobieństwo zagadnienia n ciał (zwanego też problemem n ciał) do przykładu z potęgami dwójki kryje się w geometrii opisu. Aby wiernie opisać ruch n ciał w przestrzeni trójwymia- rowej, trzeba wiedzieć, jak 3n funkcji współrzędnych (na każ- de z ciał przypadają trzy) zależy od czasu. Pełna znajomość tych funkcji umożliwia podanie zarówno położeń ciał, jak i ich prędkości w każdej chwili czasu. Wyobraźmy sobie teraz, że w ustalonej chwili czasu t tworzymy listę 6n liczb, wypisując trzy współrzędne położenia każdego z ciał i trzy współrzędne wektora prędkości (6 liczb dla każdego ciała). Matematyk spoj- rzy na taką listę jak na określenie pewnego punktu w prze- strzeni euklidesowej, która ma 6n wymiarów – tyle, ile jest liczb. ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw== 24 (cid:72) Matematyka współczesna dla myślących laików Przestrzeń 6n-wymiarowa!? Cóż to za bzdura, cóż za fan- tastyczny dziwoląg, produkt czyjejś chorej wyobraźni? Przecież przestrzeń ma trzy wymiary, co każdy wie i widzi. . . Owszem, przestrzeń wokół nas sprawia na co dzień takie sa- mo wrażenie, jak trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa z gim- nazjalnych czy licealnych lekcji geometrii. Jednak zmysły nie są ostatecznym sędzią trafności przyjmowanych założeń, także gdy chodzi o geometrię i jej okolicę – w końcu kiedyś niemal wszy- scy byli przekonani, że Ziemia jest płaska. Poza tym, naprawdę chodzi o coś innego. Każdy, kto w liceum czy gimnazjum otarł się o geometrię analityczną, albo choćby o samo pojęcie ukła- du współrzędnych na płaszczyźnie, pogodził się z tym, że pa- ra liczb – współrzędnych – określa jednoznacznie pewien punkt płaszczyzny. Równania, w których występują współrzędne punk- tów, mogą opisywać najróżniejsze krzywe. Podobnie jest z prze- strzenią trójwymiarową: można w niej wprowadzić kartezjański układ współrzędnych. Każda uporządkowana trójka liczb rze- czywistych będzie wtedy stanowić współrzędne pewnego punktu przestrzeni. Co więcej, można trójki liczb utożsamić z punktami przestrzeni i posługiwać się takim sposobem opisu, jaki w danej chwili jest wygodniejszy. Matematyk bez wahania uznaje, że tak samo można postą- pić z uporządkowanymi czwórkami, piątkami, czy n-tkami liczb: można przyjąć, że są one tym samym, co punkty przestrzeni euklidesowej, która ma cztery, pięć, czy n wymiarów. Nie prze- szkadza mu, że ktoś będzie się upierał, że takiej przestrzeni nie ma (przecież jest, bo właśnie została zdefiniowana; powiedzie- liśmy, czym są jej punkty), albo że jej nie widać (cóż z tego? to nie uniemożliwia badania geometrycznych własności różnych podzbiorów takiej przestrzeni). Co więcej, często wygodnie jest widzieć cały układ syntetycz- nie, od razu i za jednym zamachem, a nie rozłożony na mniejsze, na pozór prostsze, elementy. Oto banalny przykład. Trajektorię, po której porusza się lotniarz, kołując w pogodny dzień wysoko nad ziemią, można oczywiście wiernie przedstawić, wykreślając każdą z trzech współrzędnych lotniarza (długość geograficzną, szerokość geograficzną i wysokość mierzoną względem poziomu ##7#52#aSUZPUk1BVC1WaXJ0dWFsbw==
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka współczesna dla myślących laików
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: