Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00344 008989 7432624 na godz. na dobę w sumie
Mikroekonomia. Oswajanie z matematyką - ebook/pdf
Mikroekonomia. Oswajanie z matematyką - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 329
Wydawca: C. H. Beck Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-255-4321-1 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> prawo i podatki
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Ekonomia bez matematyki jest niczym historia bez dat!

Przedmiotem mikroekonomii są badania prowadzone w odniesieniu do działań indywidualnych konsumentów (gospodarstw domowych) i producentów (przedsiębiorców, przedsiębiorstw).

Podręcznik jest próbą harmonijnego połączenia elementarnej wiedzy z zakresu mikroekonomii oraz analizy matematycznej. Rozważania teoretyczne są bogato ilustrowane  wykresami i schematami oraz poparte przykładami liczbowymi i zadaniami rozwiązywanymi krok po kroku przez Autora.

Zasadniczym celem podręcznika jest:

 

Do podstawowych zalet podręcznika prof. Krzysztofa Malagi zaliczam: bardzo dobry dobór poruszanych w podręczniku zagadnień; logiczny i konsekwentny sposób prowadzonych wywodów zarówno od strony ekonomicznej, jak i od strony matematycznej; bardzo skrupulatne zapisy matematyczne oraz ilustrujące wybrane zagadnienia wykresy; przemyślane i adekwatne do poruszanych w poszczególnych rozdziałach podręcznika zagadnień pytania i zadania, którymi kończy się każdy z rozdziałów podręcznika. Sądzę, że podręcznik Pana Prof. Malagi może być bardzo cennym materiałem dydaktycznym o znaczeniu ogólnopolskim”.

Prof. zw. dr hab. Tomasz Tokarski

Instytut Ekonomii i Zarządzania Uniwersytetu Jagiellońskiego

 

Publikacja jest podręcznikiem akademickim do przedmiotu Mikroekonomia, kierowanym do wykładowców i studentów uczelni wyższych na kierunkach ekonomicznych.

Podręcznik wyróżniony nagrodą indywidualną II stopnia za osiągnięcie dydaktyczne przez Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego w 2011 r.

Znajdź podobne książki

Darmowy fragment publikacji:

Krzysztof Malaga Mikroekonomia Oswajanie z matematyką Wydanie 2. Wydawnictwo C.H. Beck Mikroekonomia  Autor  Krzysztof Malaga Mikroekonomia Wydawnictwo C.H. Beck Warszawa 2012 Redakcja merytoryczna: Grażyna Nowak Projekt okładki i stron tytułowych: Ireneusz Gawliński Wydawca: Joanna Perzyńska Ilustracja na okładce: Ireneusz Gawliński Recenzent: prof. dr hab. Tomasz Tokarski Seria: Ekonomia Złożono programem TEX c(cid:13) Wydawnictwo C.H. Beck 2012 Wydawnictwo C.H. Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, 00-203 Warszawa Skład i łamanie: Wydawnictwo C.H. Beck Druk i oprawa: Interdruk, Warszawa ISBN 978-83-255-4320-4 e-book: 978-83-255-4321-1 Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ważniejsze oznaczenia . . Wprowadzenie . . Rozdział 1. Racjonalność wyborów dokonywanych przez pojedynczych . . . . . . konsumentów . . . 1.1. Pojęcia wstępne . . . 1.2. Funkcja użyteczności . 1.3. Substytucja, neutralność i komplementarność towarów konsumpcyjnych . . . 1.4. Funkcja popytu Marshalla . . 1.5. Funkcja popytu Hicksa . . . . 1.6. Substytucyjne i dochodowe efekty zmiany cen towarów . Podstawowe pojęcia i zagadnienia . . . . . . Pytania . . Zadania . . . . . . . . . . Rozdział 2. Racjonalność wyborów dokonywanych przez zbiorowość . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 3. Racjonalność wyborów dokonywanych przez pojedynczych . . . . . . konsumentów . . 2.1. Prosty model wymiany . . 2.2. Statyczny model Arrowa-Hurwicza . . 2.3. Dynamiczny model Arrowa-Hurwicza . . Podstawowe pojęcia i zagadnienia . Pytania . . . . . . Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . długookresowa . . . . producentów . . . . . 3.1. Przestrzeń produkcyjna i funkcja produkcji . 3.2. Substytucyjność i komplementarność czynników produkcji . 3.3. Finansowe i technologiczne aspekty działalności przedsiębiorstwa . . 3.4. Przedsiębiorstwo działające w warunkach konkurencji doskonałej – strategia . 3.5. Przedsiębiorstwo działające w warunkach konkurencji doskonałej – strategia . 3.6. Przedsiębiorstwo działające w warunkach monopolu – strategia długookre- . 3.7. Przedsiębiorstwo działające w warunkach monopolu – strategia krótkookre- . krótkookresowa . sowa . sowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 17 18 24 35 43 61 73 77 78 79 81 82 89 100 108 108 109 113 114 117 120 124 139 155 166 5 Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podstawowe pojęcia i zagadnienia . . Pytania . . Zadania . . . . . Rozdział 4. Racjonalność wyborów dokonywanych przez zbiorowość producen- tów przy określonej egzogenicznie funkcji popytu na produkt . . 4.1. Przedsiębiorstwo działające w warunkach konkurencji doskonałej – ustalanie . . optymalnego poziomu produkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . produktu i wielkości produkcji czne na dwóch różnych rynkach . Podstawowe pojęcia i zagadnienia . . Pytania . . Zadania . . . 4.4. Konkurencja ilościowa i cenowa w warunkach duopolu . . . . . . . . 4.4.1. Model duopolu i równowaga w modelu duopolu Cournota . . 4.4.2. Model duopolu i równowaga w modelu duopolu Stackelberga . . 4.4.3. Analiza porównawcza modeli duopolu Cournota i Stackelberga . . 4.4.4. Model duopolu i równowaga w modelu duopolu Bertranda . . . . . . . . 4.2. Przedsiębiorstwo monopolistyczne – ustalanie optymalnego poziomu ceny . . 4.3. Dyskryminacja cenowa dokonywana przez przedsiębiorstwo monopolisty- . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 5. Racjonalność wyborów dokonywanych przez zbiorowości producen- . . tów i konsumentów . . 5.1. Statyczny model rynku z egzogenicznymi funkcjami popytu i podaży . . . 5.2. Dynamiczny model rynku dwóch produktów z egzogenicznymi funkcjami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Statyczny model Arrowa-Debreu-McKenziego . . 5.4. Dynamiczny model Arrowa-Debreu-McKenziego . . Podstawowe pojęcia i zagadnienia . . Pytania . . . . . Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . Zakończenie . . Aneks matematyczny . . . . . . . . . . . . A.1. Elementy logiki i teorii zbiorów . . A.2. Algebra liniowa . . . A.3. Analiza matematyczna . . . A.4. Równania różnicowe i różniczkowe . . . . Bibliografia . Słowniczek . . Indeks pojęć . popytu i podaży . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 180 181 185 186 197 207 218 219 228 235 243 251 252 253 259 259 263 267 275 283 284 284 287 291 291 293 294 306 309 311 325 6 Ważniejsze oznaczenia ∀ ∃ ∃1 ∃(cid:62)1 ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ a, x ∈ R1 A, X a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn ∼ x ∼ y A, X + + (cid:31) x (cid:31) y (cid:37) x (cid:37) y – – – – kwantyfikator ogólny – „dla każdego” kwantyfikator szczegółowy – „istnieje” kwantyfikator szczegółowy – „istnieje dokładnie jeden” kwantyfikator szczegółowy – „istnieje co najmniej jeden” negacja – „nieprawda, że” koniunkcja – „i” alternatywa – „lub” implikacja – „to” równoważność – „wtedy i tylko wtedy” liczby, skalary zbiory – – – – – – – – wektor parametrów – wektor zmiennych – – wektor x jest indyferentny wobec wektora y – macierze (o wymiarach m × n) o m wierszach relacja indyferencji (obojętności) i n kolumnach relacja silnej preferencji – – wektor x jest silnie preferowany nad wektorem y – – wektor x jest (słabo) preferowany nad relacja słabej preferencji R1 R1 + int R1 + Rn = R1 × R1 × . . . × R1 – – – – wektorem y zbiór liczb rzeczywistych zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych zbiór liczb rzeczywistych dodatnich przestrzeń n-wymiarowa 7 Ważniejsze oznaczenia – nieujemny orthant (podprzestrzeń) przestrzeni Rn – – – – – – – – –  – – wnętrze przestrzeni Rn + – – – funkcja dziedzina funkcji (zbiór argumentów funkcji) przeciwdziedzina funkcji (zbiór wartości funkcji) skalarna funkcja jednej zmiennej zmienna niezależna (argument funkcji) zmienna zależna (wartość funkcji) skalarna funkcja dwóch zmiennych zmienne niezależne (argumenty funkcji) pochodna pierwszego rzędu (stopnia) dla funkcji y = f(x) pochodna drugiego rzędu (stopnia) funkcji y = f(x) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (stopnia) funkcji y = f(x1, x2) względem zmiennej xi, i = 1, 2 pochodne cząstkowe drugiego rzędu (stopnia) dla funkcji y = f(x1, x2) hesjan, symetryczna macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji y = f(x1, x2) – wartość pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie ¯x – wartość pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji dwóch zmiennych w punkcie ¯x = (¯x1, ¯x2) iloczyn skalarny dwóch wektorów p, x ∈ R2 – + – wyznacznik macierzy A – metryka euklidesowa – metryka nieeuklidesowa – – norma euklidesowa norma nieeuklidesowa + = {x ∈ Rn|x › 0} ⊂ Rn Rn + ⊂ Rn + int Rn f: X → Y X Y y = f(x) x y y = f(x1, x2) x1, x2 dx, y0, f0(x) dy dx2 , y00, f00(x) d2y , ∂f(x1,x2) ∂y ∂xi ∂xi ∂2f(x1,x2) ∂xi∂xj , i, j = 1, 2 H(x1, x2) = df(x) dx ∂f(x1,x2) ∂xi ∂x2 i ∂x2 1 , ∂2(x1,x2) ∂2f(x1,x2) ∂x2∂x1  ∂2f(x1,x2) (cid:12)(cid:12)x=¯x (cid:12)(cid:12)x=¯x 2P (cid:18) 2P (cid:18) 2P (cid:0)x1 (cid:8)(cid:12)(cid:12)x1 (cid:19) 1 2 dE(x1, x2) = i=1 dNE(x1, x2) = max i=1,2 kxkE = kxkNE = max (xi)2 {|xi|} i=1 i=1,2 hp, xi = pixi det(A) lub |A| i=1 ∂2(x1,x2) ∂x1∂x2 ∂2(x1,x2) ∂x2 2 (cid:1)2(cid:19) 1 (cid:12)(cid:12)(cid:9) 2 i i i − x2 i − x2 8 Wprowadzenie Rozsądek jest rzeczą najsprawiedliwiej rozdzieloną na świecie: każdy bowiem mniema, iż jest weń tak dobrze zaopatrzony, że nawet ci, których najtrudniej zadowolić w innych sprawach, nie zwykli pożądać go więcej, niż posiadają. René Descartes (Kartezjusz), Rozprawa o metodzie właściwego kierowania rozumem i poszukiwania prawdy w naukach. Ekonomia jest dziedziną wiedzy o racjonalnych sposobach wykorzystania zasobów przez jednostkę lub społeczeństwo w celu wytwarzania dóbr i usług oraz ich podziału między jednostki i grupy tworzące w danym czasie określone społeczeństwo. Termin „ekonomia” został po raz pierwszy użyty przez Ksenofonta. Według niektórych pochodzi on od greckich słów: oκoς (oikos) – dom, gospodarstwo domo- we i νoµoς (nomos) – prawo, reguła, i oznacza zasady prowadzenia gospodarstwa domowego. Według innych słowo „ekonomia” jest połączeniem słów oikos – dom, gospodarstwo domowe i nomeus – człowiek, który nim zarządza, kieruje. Tym samym pojęcia oikonomeo i oikonomikos należy wiązać z zarządzaniem lub kierowa- niem gospodarstwem domowym. Współczesny sposób rozumienia ekonomii uległ znacznemu rozszerzeniu. Stało się tak dlatego, że od czasów starożytnej Grecji niezmiernie wzrósł zasób doświad- czeń i wiedzy o sposobach i efektach prowadzenia działalności gospodarczej przez różnych aktorów procesów gospodarowania: jednostki, gospodarstwa domowe, grupy społeczne, społeczeństwa, a także cywilizacje, podlegających różnorodnym procesom ewolucji w takich sferach, jak: technologia, organizacja, zarządzanie, informacja, komunikacja, instytucje, polityka gospodarcza. Istnieje wiele różnych kryteriów klasyfikacji obszarów wiedzy ekonomicznej. Jednym z nich jest podział ekonomii ze względu na rodzaj podmiotu, z punktu widzenia którego prowadzona jest zarówno analiza procesów gospodarowania, jak i procesy gospodarowania. 9 Wprowadzenie Z takiego punktu widzenia w ramach ekonomii wyróżnia się: 1) mikroekonomię, której przedmiotem są procesy gospodarowania, w których głównymi podmiotami są ściśle określone jednostki występujące w różnych rolach: konsumenci, producenci, rentierzy, pracownicy, pracodawcy, handlowcy, rolnicy, gospodarstwa domowe, itd., nazywane agentami gospodarczymi, podmiotami gospodarczymi lub jednostkami gospodarującymi, 2) mezoekonomię1, której obszarem analizy są procesy gospodarowania przez podmioty gospodarcze działające w ramach wyodrębnionych sektorów lub działów gospodarki, 3) makroekonomię, której przedmiotem są procesy gospodarowania zachodzące w gospodarce rozpatrywanej jako całość. Specjaliści z zakresu mikroekonomii zajmują się badaniem działań indywidual- nych konsumentów (gospodarstw domowych), producentów (przedsiębiorców, przedsiębiorstw) i analizą rynków. W badaniach mikroekonomicznych – w odróżnieniu od makroekonomii – go- spodarkę danego kraju bądź regionu traktuje się jako zbiór wyodrębnionych podmiotów, nie zaś jako jeden organizm. W wiodącym obecnie nurcie ekono- mii neoklasycznej spotykamy często matematyczne modele zachowań zbiorów podmiotów lub agentów gospodarczych: konsumentów, producentów, instytucji publicznych i prywatnych itd. tów), doskonała), Do podstawowych obszarów tematycznych mikroekonomii należą: • teoria popytu (wyborów dokonywanych przez konsumentów), • teoria podaży (wyborów dokonywanych przez producentów), • teoria wymiany (wyborów dokonywanych przez konsumentów i producen- • struktury rynku (monopol, duopol, oligopol, konkurencja doskonała), • formy działalności gospodarczej (konkurencja doskonała, konkurencja nie- • równowaga cząstkowa lub ogólna na rynkach towarów konsumpcyjnych, • rola instytucji publicznych (rząd, administracja publiczna) i niepublicznych (stowarzyszenia, administracja niepubliczna) w procesach racjonalnych wyborów dokonywanych przez pojedynczych agentów gospodarczych, czynników produkcji, produktów pośrednich i końcowych, w określonym otoczeniu gospodarczym, technologicznym i społecznym, • ryzyko i niepewność w działaniach gospodarczych. Do zasadniczych celów mikroekonomii należy zaliczyć: • analizę i przewidywanie zachowań agentów gospodarczych działających • analizę i przewidywanie interakcji społecznych występujących między agen- • analizę efektów tych interakcji z punktu widzenia instytucji odpowiedzialnych za ich organizację lub z punktu widzenia wyników mechanizmów interakcji, które mają mniej formalny charakter aniżeli sama wymiana. tami gospodarczymi, będących wynikiem ich zachowań, Specjaliści w zakresie makroekonomii zajmują się badaniem zachowań zbioro- wości konsumentów i producentów. Posługują się oni wielkościami zagregowanymi dotyczącymi całej gospodarki w celu poznania zjawisk, mechanizmów i procesów gospodarczych zachodzących w gospodarce, traktowanej jako całość. 1 Wielu ekonomistów posługuje się jedynie pojęciami „mikroekonomia” i „makroekonomia”. 10 Wprowadzenie Przedmiotem analiz makroekonomicznych jest przede wszystkim tworzenie i podział dochodu narodowego, a także zagadnienia związane między innymi z inflacją, bezrobociem, inwestycjami, bilansem płatniczym i handlowym, polityką pieniężną banku centralnego oraz różnymi rodzajami polityki realizowanej przez państwo, które pozostają w związku z polityką gospodarczą prowadzoną w ramach różnych ugrupowań integracyjnych, a ogólnie w skali całego świata (globalizacja procesów gospodarowania). W makroekonomii bada się gospodarkę (narodową lub światową) jako ogół zależności występujących między najważniejszymi agregatami gospodarczymi, takimi jak: łączne (globalne) popyt lub podaż produktów i usług, inflacja, poziom zatrudnienia, bezrobocie, wielkość konsumpcji i inwestycji, dochody i wydatki budżetu państwa. W ramach makroekonomii określa się związki przyczynowo-skutkowe między zjawiskami gospodarczymi, a także prognozuje tendencje (opracowuje się scena- riusze) rozwojowe całego systemu gospodarczego. W efekcie tworzy się podstawy teoretyczne i formułuje przesłanki polityki państwa przede wszystkim w zakre- sie skutecznego osiągania celów gospodarczych, takich jak: wzrost gospodarczy, stabilny poziom cen, równowaga bilansów zagranicznych. Ze względu na rozległy zakres makroekonomii i globalne uwarunkowania zależności gospodarczych teorie makroekonomiczne muszą uwzględniać różne rodzaje polityki państwa: wewnętrzną, zagraniczną, obronną, fiskalną, monetarną danego kraju lub ugrupowań integracyjnych zbiorów krajów (Unia Europejska, strefa euro). Mikroekonomia jest dziedziną wiedzy ekonomicznej, która obfituje w pod- ręczniki napisane przez wybitnych ekonomistów o uznanej pozycji naukowej i zawodowej na świecie2. Jest ona jednocześnie tą dziedziną, od której wszyscy ekonomiści rozpoczynają swoją edukację ekonomiczną na poziomie akademickim. Na polskim rynku wydawniczym przeważają obecnie podręczniki, których autorami są ekonomiści zagraniczni. Do tej grupy należy zaliczyć bez wątpienia opracowania: D. Begg, R. Dornbusch, S. Fischer, Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2007; R. Frank, Mikroekonomia jakiej jeszcze nie było, Gdańskie Wydawnictwo Psycho- logiczne, Gdańsk 2007; G.N. Mankiw, M.P. Taylor, Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2009; J.-Ch. Rochet, X. Freixas, Mikroekonomia bankowa, Wydawnictwo CeDeWu Centrum Doradztwa i Wydawnictw, Warszawa 2007; H.R. Varian, Mikroekonomia. Kurs średni – ujęcie nowoczesne, PWN, Warszawa 1995, z których każde jest bez wąt- pienia bardzo użyteczne i zarazem nieco monumentalne w zestawieniu z liczbą godzin, jaką przeznacza się również na uczelniach ekonomicznych na studiowanie mikroekonomii. Począwszy od lat dziewięćdziesiątych XX wieku w naszym kraju pojawiły się także podręczniki do mikroekonomii autorstwa polskich ekonomistów. Warto po- dać przykłady tych, z których korzystały kolejne pokolenia studentów3: E. Czarny, 2 Klasycznym podręcznikiem do mikroekonomii jest znakomita praca jednego z najwybitniejszych ekonomistów francuskich Edmunda Malinvaud, Leçons de théorie microéconomique, Dunod, Paris 1969, która doczekała się wielu zmienianych i rozszerzanych wydań. Przykładem bardzo cenionego pod- ręcznika, niestety mniej znanego w Polsce, jest: D.M. Kreps, A Course in Microeconomic Theory, Princeton University Press, 1990. 3 Większość wymienionych podręczników polskich autorów to kolejne wydania podręczników akademickich z lat dziewięćdziesiątych XX stulecia. 11 Wprowadzenie E. Nojszewska, Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2000; E. Czarny, Mikroekonomia, PWE, Warszawa 2007; A. Nowak, K. Ryć, Z. Skrzypczak, Mikroekonomia, Wydaw- nictwo WPiSZ im. L. Koźmińskiego, Warszawa 1998; M. Rekowski, Mikroekonomia, Wydawnictwo AE w Poznaniu, Poznań 20054. Treść podręczników polskich autorów na ogół jest dostosowana do czasu, jaki przeznacza się na wykład i ćwiczenia z mikroekonomii. W odróżnieniu od pod- ręczników autorów zagranicznych, w których można znaleźć liczne przykłady odnoszące się do rzeczywistości gospodarczej, w podręcznikach polskich autorów trudniej o niebanalne przykłady dotyczące specyfiki polskich realiów gospodar- czych, związanych chociażby z procesami głębokiej transformacji zachodzącymi w ostatnim dwudziestoleciu w sferze kryteriów i zasad racjonalnego działania poszczególnych podmiotów mikroekonomicznych, w zmieniającym się otoczeniu instytucjonalnym i społecznym. Warto również podkreślić, że większość podręczników zagranicznych dostęp- nych w Polsce odnosi się do realiów gospodarczych Stanów Zjednoczonych lub Wielkiej Brytanii. Można by sądzić, że w czasach postępującej globalizacji tego rodzaju przykłady mają walor ogólności. Bez wątpienia takie odwołania mają okre- śloną wartość poznawczą. Nie zawsze jednak są trafne z punktu widzenia Europy kontynentalnej i Polski, które podlegają innym regułom funkcjonowania niż Stany Zjednoczone czy Wielka Brytania. Niniejszy podręcznik powstał na podstawie wykładu z mikroekonomii prowa- dzonego przez autora dla studentów I roku kierunku Informatyka i Ekonometria, na Wydziale Informatyki i Gospodarki Elektronicznej Uniwersytetu Ekonomicz- nego w Poznaniu. Ponieważ wykład ten rozpoczyna cykl kształcenia w zakresie teorii ekonomii, jego treść jest mocno osadzona w tradycyjnym – neoklasycznym – nurcie mikroekonomii. Jego wyróżnikiem, na tle większości dostępnych podręczni- ków akademickich, jest to, że w nieco większym stopniu nawiązuje on do wiedzy z zakresu analizy matematycznej, a także do podstaw ekonomii matematycznej. Język matematyczny, jak każdy rodzaj języka, wymaga znajomości ściśle okreś- lonych pojęć (słownictwo), reguł posługiwania się nimi (gramatyka), zdolności do komunikowania się w tym języku (komunikacja) i wreszcie kreatywności (twórczość). Umiejętność sprawnego posługiwania się językiem matematycznym powinna być jedną z podstawowych cech dobrze wykształconego ekonomisty. Tym bardziej, że mimo pewnych ograniczeń wynikających ze stosowania matematyki w ekonomii, nikt już dzisiaj nie powinien kwestionować jej użyteczności z punktu widzenia opisu zjawisk i procesów ekonomicznych, a także formułowania i rozwią- zywania problemów ekonomicznych. Po to jednak, aby ją posiąść, należy możliwie wcześnie zacząć formułować intuicję i wiedzę ekonomiczną w języku matematycz- nym, a postępując w taki sposób – można właściwie rozpoznać granice wiedzy, które wyznacza jakość i rodzaj języka, jakim się posługujemy w poznawaniu i opi- sie rzeczywistości gospodarczej, w tym języka matematyki. Ważną pozycją uzupełniającą do wykładu z mikroekonomii powinno być dzieło Kartezjusza Rozprawa o metodzie właściwego kierowania rozumem i poszukiwania prawdy w naukach. 4 Ważną rolę w edukacji mikroekonomicznej w Polsce odegrał także podręcznik: S. Estrin, D. Laidler, Wstęp do mikroekonomii, Gebethner i Ska, Warszawa 1991. Jego rozszerzeniem jest współ- czesne wydanie opracowania: S. Estrin, D. Laidler, M. Dietrich, Microeconomics, Prentice Hall, 2008. 12 Wprowadzenie czyć: Każdy student ekonomii i zarządzania powinien mieć zdolność do obserwa- cji i analizowania otaczającej go rzeczywistości społeczno-gospodarczej. Wobec powszechnego dostępu do informacji, co ułatwia Internet, należy zwrócić uwagę na podmiotowość każdego młodego człowieka w procesie wypracowywania in- dywidualnej metody właściwego kierowania rozumem i poszukiwania prawdy o otaczającej go rzeczywistości, także w nauce. Jednym z elementów tego procesu powinno być wyposażenie studenta ekonomii i zarządzania w zdolność do abs- trakcyjnego myślenia i posługiwania się konstrukcjami formalnymi, które powinny być jednak konfrontowane z posiadaną przez niego wiedzą i intuicją. W podręczniku podjęto próbę harmonijnego połączenia elementarnej wiedzy z zakresu tradycyjnej mikroekonomii, algebry liniowej oraz analizy matematycznej5. Do zasadniczych celów realizowanych w niniejszym opracowaniu należy zali- • wyposażenie Czytelnika w wiedzę o fundamentalnych kategoriach mikro- ekonomicznych oraz zasadach wnioskowania przy wykorzystaniu podstawowych pojęć z zakresu algebry liniowej i analizy matematycznej, • przygotowanie i zachęcenie Czytelnika do studiowania monografii i arty- kułów z zakresu teorii ekonomii, korzystających z aparatu pojęciowego bardziej zaawansowanych dziedzin matematyki aniżeli algebra liniowa lub analiza mate- matyczna, • zapoznanie Czytelnika z zasadami prowadzenia analizy dedukcyjnej na • zwrócenie uwagi Czytelnika na warunkowy i ograniczony układem zało- żeń charakter wniosków wyprowadzanych na podstawie określonych scenariuszy zachowania się pojedynczych konsumentów, producentów, zbiorowości konsu- mentów i producentów, • przedstawienie fundamentalnego dorobku teoretycznego mikroekonomii w kategoriach elementów teorii popytu, teorii produkcji, teorii równowagi cząstko- wej i teorii ogólnej równowagi konkurencyjnej, • zarysowanie najistotniejszych cech współczesnej mikroekonomii oraz wska- podstawie przyjętego układu założeń, zanie prawdopodobnych kierunków jej dalszego rozwoju. Podręcznik składa się z wprowadzenia, pięciu rozdziałów, zakończenia, spisu literatury, aneksu matematycznego, słowniczka oraz indeksu rzeczowego. Każdy rozdział kończy się wykazem kluczowych pojęć i problemów oraz zestawem pytań i zadań do samodzielnego rozwiązania. W rozdziale 1 podjęto problematykę opisu racjonalnego zachowania pojedyn- czego konsumenta. Przedmiotem prowadzonych w nim rozważań są w szcze- gólności: relacja preferencji konsumenta, funkcja użyteczności jako liczbowa charakterystyka relacji preferencji konsumenta, funkcja popytu Marshalla jako roz- wiązanie optymalne zadania maksymalizacji użyteczności konsumpcji, funkcja popytu Hicksa jako rozwiązanie optymalne zadania minimalizacji wydatków kon- sumenta, związki między funkcjami popytu Hicksa i Marshalla oraz substytucyjne 5 W celu uzyskania odpowiedniej prostoty i przejrzystości wykładu w podręczniku ograniczo- no się do analizy przypadków, gdy przestrzenie towarów i przestrzenie czynników produkcji są przestrzeniami metrycznymi R2 +, a zbiory konsumentów, producentów lub rynków są co najwyżej dwuelementowe. Tego rodzaju uproszczenie stwarza możliwość stosunkowo prostego uogólnienia prowadzonych rozważań na przestrzenie metryczne Rn +, n 2 oraz na zbiorowości konsumentów, producentów i rynków liczących dowolną, ale ograniczoną liczbę podmiotów. 13 Wprowadzenie i dochodowe efekty zmian cen towarów omawiane na podstawie układu równań J. Słuckiego. Rozważania te prowadzone są przy założeniu, że ograniczona podaż towarów nie jest wiążąca dla konsumenta podejmującego decyzję o wyborze opty- malnego koszyka towarów. Założenie to jest uchylane w zamieszczonych na końcu rozdziału zadaniach. W rozdziale 2 rozpatrywany jest problem podejmowania racjonalnych decy- zji przez zbiorowość konsumentów. Na przykładzie prostego modelu wymiany i statycznego modelu Arrowa-Hurwicza przedstawiono w nim ideę stanu równo- wagi w sensie Walrasa. Uzupełnieniem prowadzonych w tym rozdziale rozważań jest omówienie wybranych zagadnień związanych z dynamicznym modelem Ar- rowa-Hurwicza w wersji dyskretnej i ciągłej, w szczególności problem globalnej asymptotycznej stabilności stanu równowagi walrasowskiej. W rozpatrywanych modelach równowagi konkurencyjnej ograniczona podaż towarów jest wiążąca dla konsumentów (handlowców) dokonujących wyborów optymalnych koszyków towarów, utożsamianych z funkcjami popytu Marshalla. Rozdział 3 poświęcony jest opisowi racjonalnych zachowań pojedynczego producenta. Przedmiotem bardziej szczegółowych rozważań są: przestrzeń pro- dukcyjna, funkcja produkcji jako zbiór technologicznie efektywnych procesów produkcyjnych, a także opis racjonalnych decyzji podejmowanych przez przedsię- biorstwa na podstawie kryterium maksymalizacji zysku lub minimalizacji kosztów wytworzenia określonej liczby jednostek produktu w warunkach konkurencji do- skonałej lub monopolu, bez ograniczeń albo z ograniczeniami na zasoby czynników produkcji pozostających do dyspozycji każdego przedsiębiorstwa. W przypadku przedsiębiorstw dokonujących racjonalnych wyborów w warunkach konkuren- cji doskonałej charakterystyka optymalnych decyzji została rozszerzona o analizę ich wrażliwości na zmiany opisujących je parametrów. W rozpatrywanych mode- lach przedsiębiorstw popyt na produkt jest ograniczony, ale nie jest ograniczeniem wiążącym dla przedsiębiorstw podejmujących decyzje o optymalnej podaży pro- duktów. Rozdział 4 dotyczy racjonalnych decyzji podejmowanych przez pojedynczych producentów w warunkach konkurencji doskonałej, monopolu lub duopolu z określonymi egzogenicznie funkcjami popytu. Rozpatruje się w nim następujące problemy: ustalanie wielkości produkcji przez przedsiębiorstwo działające w wa- runkach konkurencji doskonałej przy określonej egzogenicznie funkcji popytu na produkt, ustalanie ceny produktu i wielkości produkcji przez przedsiębiorstwo monopolistyczne z egzogeniczną funkcją popytu na wytwarzany przez monopoli- stę produkt oraz dyskryminację cen przez monopolistę podejmującego działalność sprzedaży jednego produktu na dwóch różnych rynkach. Podjęto w nim także kwestie konkurencji ilościowej w modelach duopolu Cournota, Stackelberga albo konkurencji cenowej w modelu duopolu Bertranda. W centrum uwagi znajdują się problemy równowagi cząstkowej przedsiębiorstwa działającego w warunkach konkurencji doskonałej, monopolu lub duopolu, wrażliwość optymalnych wartości zmiennych na zmiany parametrów modeli oraz analiza porównawcza rozpatrywa- nych struktur rynku. Modele rynków rozpatrywane w tym rozdziale charakteryzują się tym, że producenci podejmują decyzje o optymalnej podaży produktów wtedy, gdy popyt na nie jest ograniczony i opisany określonymi egzogenicznie funkcjami popytu właściwymi dla każdego rynku. 14 Wprowadzenie W rozdziale 5 dokonano opisu i analizy racjonalnych zachowań zbiorowo- ści konsumentów i producentów. Prowadzone w nim rozważania opierają się na dwóch odmiennych typach modeli. Pierwszym z nich są statyczne i dynamiczne modele rynku towarów z egzogenicznie określonymi funkcjami popytu i podaży produktów, drugim – statyczne i dynamiczne modele rynku towarów z endogenicz- nie określonymi funkcjami popytu i podaży produktów, znane w literaturze jako modele równowagi ogólnej Arrowa-Debreu-McKenziego. Ze względu na istotną rolę czasu w teorii ekonomii wyróżnione typy modeli dynamicznych przedstawia- ne są w wersji dyskretnej (czas jest zmienną dyskretną) lub w wersji ciągłej (czas jest zmienną ciągłą). W centrum uwagi leży pojęcie równowagi ogólnej w sensie Walrasa. W szczególności rozpatruje się problem istnienia, jednoznaczności i asymp- totycznie globalnej stabilności stanów równowagi walrasowskiej. Rozdział ten jest swoistym zwieńczeniem treści całego podręcznika. Rozpatrywane są w nim modele równowagi ogólnej, w których popyt i podaż towarów są ograniczone, a w konse- kwencji – wiążące dla zbiorowości konsumentów i producentów, przy czym są one określone za pomocą egzogenicznych lub endogenicznych funkcji popytu i podaży produktów. Tak określony zakres tematyczny podręcznika wpisuje się w tradycyjne ujęcie mikroekonomii, które jest syntezą dokonaną w ramach neoklasycznej ekono- mii matematycznej, dziewiętnastowiecznego nurtu marginalistycznego oraz teorii równowagi ogólnej Léona Walrasa i Vilfredo Pareto. Za prekursorów tradycyjnej mikroekonomii uważa się powszechnie laureatów Nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii Paula Samuelsona (1970) i Johna R. Hicksa (1972). W „Zakończeniu” podręcznika przedstawiono wiele ocen dotyczących trady- cyjnego ujęcia mikroekonomii, dokonano charakterystyki współczesnej mikro- ekonomii oraz wskazano prawdopodobne kierunki jej dalszego rozwoju daleko wykraczające poza ramy tradycyjnej mikroekonomii. Oddając w ręce Czytelnika drugie wydanie podręcznika dziękuję Wydawnic- twu C.H. Beck w Warszawie za jego publikację. Uwzględniłem w nim nieliczne, ale bardzo ważne uwagi prof. dr. hab. Tomasza Żylicza z Uniwersytetu Warszawskiego. Składam też podziękowania prof. dr hab. Tomaszowi Tokarskiemu z Uniwersyte- tu Jagiellońskiego w Krakowie za niezwykle rzetelną recenzję wydawniczą. Dr. Krzysztofowi Cichemu, mgr. Michałowi Burzyńskiemu. mgr Ilonie Nawrot, mgr Karolinie Sobczak, którzy prowadzili ćwiczenia do moich wykładów z mikroeko- nomii oraz studentom I roku licencjackich studiów stacjonarnych, na Wydziale Informatyki i Gospodarki Elektronicznej na Uniwersytecie Ekonomicznym w Pozna- niu, uczestniczącym w zajęciach z mikroekonomii w latach 2010/2011 i 2011/2012, dziękuję bardzo za wzorową i owocną współpracę. Mam nadzieję, że zachodzące zmiany w programach kształcenia w polskich uczelniach ekonomicznych stworzą zapotrzebowanie na nowe podręczniki do mikroekonomii – na poziomie zaawansowanym, w których matematyka nie będzie traktowana jako balast lub swoisty ornament. Poznań, czerwiec 2012 r. Krzysztof Malaga Rozdział 1 Racjonalność wyborów dokonywanych przez pojedynczych konsumentów Przedmiotem naszych rozważań w całym podręczniku jest człowiek lub zbioro- wości ludzi, którzy mogą występować w różnych rolach społecznych: pracowników, producentów, pracodawców, posiadaczy zasobów materialnych i niematerialnych, rentierów lub konsumentów. Koncentracja uwagi na jednostce wpisuje się w logikę indywidualizmu meto- dologicznego, która osadza się na przekonaniu, że aby zrozumieć rzeczywistość społeczną, należy skupić uwagę na jednostce, a nie na społeczeństwie jako całości. Społeczeństwo jest bowiem wynikiem działań poszczególnych ludzi, podlegającym różnorodnym przekształceniom, które są rezultatem tychże działań. Indywidu- alizm metodologiczny jest typowy dla tradycyjnej mikroekonomii, a ogólniej – dla nurtu neoklasycznego. Jest on przeciwstawiany holizmowi, który sprowadza się do przekonania, że społeczeństwo nie jest prostą sumą tworzących je jednostek, a cechy społeczeństwa wywierają znaczny wpływ na zachowania i działania po- szczególnych jednostek. Elementarny charakter prowadzonej przez nas analizy powoduje, że nie bę- dziemy wchodzić w interesującą dyskusję z zakresu antropologii filozoficznej nad tym kiedy i dlaczego jednostkę można określić mianem Homo oeconomicus lub Ho- mo socialis. O jednostce zakładać będziemy jedynie, że należy ona bez wątpienia do grupy Homo sapiens1. Nasze rozważania będziemy prowadzili w kategoriach analizy działań repre- zentatywnej jednostki, gdyż nie będziemy starali się identyfikować różnorodnych zachowań i działań poszczególnych jednostek. Koncentracja uwagi na jednostce, w przypadku tego podręcznika, nie jest bynajmniej wyrazem przekonania o wyż- szości indywidualizmu ekonomicznego nad holizmem. Uważamy, że oba podejścia są komplementarne, jeżeli nie traktuje się ich w sposób doktrynalny, nadając jedne- mu z nim przesadne znaczenie. Rozpoczniemy naszą analizę od opisu racjonalnych wyborów dokonywanych przez pojedynczych konsumentów2. Wybór będziemy utożsamiać z decyzją. O wy- 1 Syntetyczne wyjaśnienie tych i innych pojęć podano w słowniczku pojęć załączonym na końcu podręcznika. 2 Ściślej rzecz biorąc: reprezentatywnego konsumenta, którego zachowania i działania mają walor ogólności i przenoszone są na zachowania zbiorowości konsumentów. 17 1. Racjonalność wyborów dokonywanych przez pojedynczych konsumentów borze dokonywanym przez pojedynczego konsumenta będziemy mówili, że jest on decyzją racjonalną, gdy jest on dokonywany na podstawie wyodrębnionego (na ogół pojedynczego) kryterium oraz gdy konsument uświadamia sobie warunki ograniczające dokonanie racjonalnego, a tym samym optymalnego wyboru3. 1.1. Pojęcia wstępne Dla prostoty analizy zajmiemy się racjonalnymi wyborami4 dokonywanymi przez pojedynczego konsumenta na rynku dwóch towarów konsumpcyjnych5 oznaczanych symbolem i = 1, 2. Wprowadźmy podstawowe pojęcia, które wyznaczą ramy analizy prowadzonej przez nas w dwóch pierwszych rozdziałach. Df. 1.1. Koszykiem towarów konsumpcyjnych nazywamy wektor: x = (x1, x2) ∈ R2 +, w którym i-ta składowa xi › 0, fizycznych, nieujemną ilość i-tego towaru w koszyku towarów x. i = 1, 2 oznacza wyrażoną w jednostkach Df. 1.2. Przestrzenią towarów konsumpcyjnych nazywamy zbiór wszystkich + wraz z określoną na nim dostępnych na rynku koszyków towarów X = R2 metryką6: 2X i=1 (cid:1)2 i − x2 i (cid:0)x1 (cid:8)(cid:12)(cid:12)x1 i − x2 i 2 ! 1 (cid:16)(cid:0)x1 (cid:12)(cid:12)(cid:9) = max(cid:8)(cid:12)(cid:12)x1 1 − x2 = 1 (cid:1)2 +(cid:0)x1 (cid:12)(cid:12) ;(cid:12)(cid:12)x1 1 − x2 1 2 (cid:1)2(cid:17) 1 (cid:12)(cid:12)(cid:9) 2 − x2 2 2 − x2 2 dE(x1, x2) = lub dNE(x1, x2) = max i=1, 2 będącą miarą odległości między dwoma koszykami towarów7. Df. 1.3. Iloczynem kartezjańskim określonym na przestrzeni towarów X = R2 + nazywamy zbiór: X × X =(cid:8)(cid:0)x1, x2(cid:1) ∈ X × X(cid:12)(cid:12)x1 ∈ X, x2 ∈ X(cid:9) , (1.1) (1.2) (1.3) 3 Wybór racjonalny to decyzja podejmowana na podstawie subiektywnego kryterium wyboru, w warunkach ograniczających ten wybór. 4 Zakładamy przy tym, że wybór najbardziej racjonalny jest tożsamy z decyzją optymalną. Nato- miast dowolny wybór spełniający warunki ograniczające, zwany decyzją dopuszczalną, niekoniecznie musi być wyborem najbardziej racjonalnym. Z prowadzonych dalej analiz wynika, że zbiór decyzji optymalnych nie musi być zbiorem jednoelementowym, w szczególnych przypadkach może być zbio- rem nieskończonym. 5 Prowadzone przez nas rozważania bez trudu można uogólnić na przypadek rynku, na którym występuje dowolnie duża, ale skończona liczba towarów konsumpcyjnych. 6 Pojęcie metryki zostało zdefiniowane w aneksie matematycznym df. A.15. 7 Pierwsza z metryk jest metryką euklidesową. Nie ma ona zastosowania do pomiaru odległości (zróżnicowania) koszyków towarów, w których ilości towarów wyrażone są w różnych jednostkach. Wszyscy wiemy, że nie można „dodawać do siebie psów i kotów”, a ogólnie wielkości wyrażanych w różnych jednostkach miary. Druga z metryk, którą dla uproszczenia będziemy nazywać metryką nieeuklidesową, nie stwarza problemów związanych z wymiarami towarów. 18 1.1. Pojęcia wstępne wszystkich uporządkowanych par koszyków towarów, w których oba koszyki towarów (pierwszy i drugi w parze) należą do przestrzeni towarów. Df. 1.5. Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór: Df. 1.4. Relacją (słabej) preferencji konsumenta nazywamy zbiór: (1.4) wszystkich uporządkowanych par koszyków towarów, w których koszyk pierwszy jest niegorszy (słabo preferowany) od koszyka drugiego. P =(cid:8)(cid:0)x1, x2(cid:1) ∈ X × X(cid:12)(cid:12)x1 (cid:37) x2(cid:9) ⊂ X × X Ps =(cid:8)(cid:0)x1, x2(cid:1) ∈ X × X(cid:12)(cid:12)x1 (cid:31) x2(cid:9) ⊂ X × X, I =(cid:8)(cid:0)x1, x2(cid:1) ∈ X × X(cid:12)(cid:12)x1 ∼ x2(cid:9) ⊂ X × X, (1.5) wszystkich uporządkowanych par koszyków towarów, w których koszyk pierwszy jest lepszy (silnie preferowany) od koszyka drugiego. Df. 1.6. Relacją indyferencji (obojętności) konsumenta nazywamy zbiór: (1.6) wszystkich uporządkowanych par koszyków towarów, w których koszyk pierwszy jest tak samo dobry (indyferentny) jak koszyk drugi. Uwaga 1.1. P , Ps, I ⊂ X × X – co oznacza, że relacje: słabej preferencji, silnej preferencji i indyferencji są pod- zbiorami iloczynu kartezjańskiego X × X. Uwaga 1.2. (1.7) – co oznacza, że relacja słabej preferencji jest sumą relacji silnej preferencji i relacji indyferencji. P = Ps ∪ I ⊂ X × X Df. 1.7. Relacja (słabej) preferencji konsumenta P jest relacją pełnego prepo- rządku8, co oznacza, że jest ona relacją zupełną i przechodnią: (zupełność), ∀x1, x2 ∈ X = R2 ∀x1, x2, x3 ∈ X = R2 + x1 (cid:37) x2 ∨ x2 (cid:37) x1 + x1 (cid:37) x2 ∧ x2 (cid:37) x3 ⇒ x1 (cid:37) x3 (1.8) (1.9) Zupełność oznacza, że konsument zapytany o swoje preferencje w odniesieniu do dwóch różnych koszyków towarów zawsze potrafi określić, że pierwszy jest niegorszy od drugiego lub drugi jest niegorszy od pierwszego. Innymi słowy, potrafi też wskazać silnie preferowany przez niego koszyk lub stwierdzić, że oba są tak samo dobre (indyferentne). (przechodniość). Przechodniość oznacza, że konsument potrafi uporządkować koszyki z punktu widzenia swoich preferencji. Założenie 1.1. Załóżmy, że przy danych cenach towarów p = (p1, p2) ∈ int R2 + + podaż towarów jest ograniczona, ale oraz dochodzie konsumenta9 I ∈ int R1 zawsze przewyższa popyt zgłaszany przez konsumenta na każdy towar10. 8 W aneksie matematycznym podano syntetyczne informacje o podstawowych typach relacji pre- ferencji. 9 W tym miejscu nie określamy źródła dochodu. 10 Ściślej rzecz biorąc, jest ona dostatecznie duża (zob. uwaga 1.5). 19
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Mikroekonomia. Oswajanie z matematyką
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: