Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00124 007813 15712804 na godz. na dobę w sumie
Ogólna Teoria Względności - ebook/pdf
Ogólna Teoria Względności - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 252
Wydawca: Self Publishing Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-272-3515-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> inne
Porównaj ceny (książka, ebook (-8%), audiobook).

Ogólna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na których wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.

Ogólna Teoria Względności jest drugą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:

• Szczególna Teoria Względności

• Twórcy Teorii Względności

Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w trzeciej części tryptyku.

 

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Zbigniew Osiak OGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI 1 2 Zbigniew Osiak OGÓLҭA TEORIA WZGLĘDҭOŚCI ZE SZCZEGÓLҭYM UWZGLĘDҭIEҭIEM RACHUҭKU TEҭSOROWEGO Matematyka powinna być służącą, a nie królową. Arielowi, mojemu synowi poświęcam 3 © Copyright by Zbigniew Osiak Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji zabronione bez pisemnej zgody autora. Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowej Małgorzata Osiak Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej Rafał Pudło Wydawnictwo: Self Publishing ISBN: 978-83-272-3515-2 e-mail: zbigniew.osiak@live.com 4 WSTĘP Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę. Ogólna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na których wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów. Ogólna Teoria Względności jest drugą częścią tryptyku, pozostałe dwie to: • Szczególna Teoria Względności • Twórcy Teorii Względności Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w trzeciej części tryptyku. Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew Nikołajewicz Landau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi- wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanie istoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru. Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat. Zbigniew Osiak Wrocław, wrzesień 2004 5 SPIS TREŚCI STROҭA TYTUŁOWA STROҭA PRAW AUTORSKICH WSTĘP POLE GRAWITACYJҭE – TEORIA ҭEWTOҭA 15 1. Równania pola grawitacyjnego 15 • Wektor natężenia pola grawitacyjnego 15 • Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 15 • Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 16 • Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E 16 • Związek między natężeniem a potencjałem 16 • Równanie Poissona i Laplace’a 17 • Prawo Newtona 17 • Zapis prawa Newtona w postaci wektorowej 17 2. Równania ruchu punktu materialnego w zewnętrznym polu grawitacyjnym 18 3. Pole grawitacyjne punktowej masy 18 • Natężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18 • Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punkto- wego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18 • Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18 4. Pole grawitacyjne układu punktów materialnych, zasada superpozycji 19 • Zasada superpozycji natężeń 19 • Zasada superpozycji potencjałów 19 5. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola grawitacyjnego układu punktów material- nych 19 • Rozwinięcie multipolowe potencjału 19 • Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 20 • Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 21 • Tensor momentu kwadrupolowego 21 • Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności 22 6. Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj- nym 23 • Energia potencjalna punktowej masy w zewnętrznym polu grawitacyjnym 23 • Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj- nym 23 7. Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania między punktami materialnymi 25 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych 25 • Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu punktów material- nych 26 • Energia potencjalna ciągłego rozkładu mas 27 6 8. Energia pola grawitacyjnego 27 9. Równanie toru w centralnym polu grawitacyjnym 28 10. Prawa Keplera 31 • Pierwsze prawo Keplera 31 • Drugie prawo Keplera 31 • Trzecie prawo Keplera 31 11. Prędkości kosmiczne 32 • Pierwsza prędkość kosmiczna w przypadku orbity kołowej 32 • Druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) w przypadku orbity liniowej 32 • Prędkości na dowolnych orbitach 32 • Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w przypadku wirującej planety 33 12. Swobodny spadek i grawitacyjne zapadanie 34 • Cząstka swobodnie spadająca ze skończonej odległości na powierzchnię znajdującą się w odległości r od centrum źródła pola grawitacyjnego 34 • Grawitacyjne zapadanie 34 13. Siły pływowe 35 • Siły pływowe 35 • Siły pływowe rozciągające 35 • Siły pływowe ściskające 35 OGÓLҭA ZASADA WZGLĘDҭOŚCI 36 1. Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36 • Podstawowe postulaty szczególnej teorii względności 36 • Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36 • Struktura tensora metrycznego 38 2. Czasoprzestrzeń 39 • Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy inercjalne 39 • Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy nieinercjalne 40 • Zakrzywiona czasoprzestrzeń Riemanna, układy lokalne 41 • Czas własny w ogólnej teorii względności 42 • Odległość przestrzenna w ogólnej teorii względności 42 • Jakie warunki musi spełniać tensor metryczny aby mógł określać metrykę realnej cza- soprzestrzeni? 43 3. Zapisywanie równań w postaci ogólnie kowariantnej 44 • Zasady zapisywania równań w postaci ogólnie kowariantnej 44 • Podstawowa forma metryczna 45 • Iloczyn skalarny dwóch wektorów 45 • Długość wektora 45 • Czteroprędkość 46 • Czteroprzyspieszenie 46 • Równanie bilansu wielkości skalarnej 47 4. Równania ruchu cząstki w ogólnej teorii względności 48 • Czterowymiarowa prędkość 48 • Czterowymiarowe przyspieszenie 48 • Czterowymiarowe równania ruchu cząstki próbnej 48 • Swobodny ruch cząstki próbnej 50 5. ҭieinercjalne układy odniesienia 51 • Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia 51 • Układ ze stałym przyspieszeniem 51 7 • Układ obracający się 53 • Układ drgający 55 6. Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej 57 • Relatywistyczne równanie bilansu masy hydrodynamicznej w inercjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 57 • Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii cieczy nielepkiej w inercjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 58 • Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej w dowolnym układzie współrzędnych 60 7. Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego 61 • Pył bezciśnieniowy 61 • Równanie bilansu masy pyłu bezciśnieniowego w inercjalnym układzie ortonormal- nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 61 • Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w iner- cjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 62 • Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w dowolnym układzie współrzędnych 63 8. Równania Maxwella w ogólnej teorii względności 64 • Czterowektor gęstości prądu 64 • Tensory pola elektromagnetycznego 64 • Jednorodne równania Maxwella 65 • Niejednorodne równania Maxwella 66 • Zmodyfikowane równania Maxwella w postaci trójwymiarowej 67 9. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68 • Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w inercjalnym układzie or- tonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 68 • Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w dowolnym układzie współrzędnych 68 • Ślad tensora pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68 POLE GRAWITACYJҭE – TEORIA EIҭSTEIҭA 69 1. Równania ogólnej teorii względności 69 • Podstawowe (główne) idee i postulaty 69 • Tensor pędu-energii 70  Tensor pędu-energii dla cieczy nielepkiej 70  Tensor pędu-energii dla pyłu bezciśnieniowego 70  Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 70 • Tensor krzywizny Einsteina 70 • Równania pola grawitacyjnego (Równania metryki czasoprzestrzeni) 71  Równania pola w postaci kowariantnej 71  Równania pola w postaci konttrawariantnej 71  Równania pola w postaci mieszanej 71 • Skalar krzywizny 72 • Zasada zachowania pędu i energii w postaci mieszanej 73 • Zasada zachowania pędu i energii w postaci kontrawariantnej 73 • Zasada zachowania pędu i energii w postaci kowariantnej 74 • Równania pola grawitacyjnego a zasady zachowania pędu i energii 75 • Równania ruchu w płaskiej czasoprzestrzeni 77 • Równania ruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni 77 2. Przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 78 • Tensor krzywizny słabego pola grawitacyjnego 78 8 • Równania stacjonarnego słabego pola grawitacyjnego 79 • Równania ruchu w przypadku słabego stacjonarnego pola grawitacyjnego 81 • Wpływ potencjału grawitacyjnego na odległość przestrzenną dwóch zdarzeń 82 • Wpływ potencjału grawitacyjnego na odstęp czasu między dwoma zdarzeniami 82 • Przesunięcie linii spektralnych w polu grawitacyjnym 83 3. Dokładne rozwiązanie Schwarzschilda 84 • Próżniowe (zewnętrzne) rozwiązanie Schwarzschilda 84 • Równanie orbity 87 • Obrót orbity 88 • Zakrzywienie toru promieni świetlnych w polu grawitacyjnym 90 • Metryka Schwarzschilda jako metryka zakrzywionej czasoprzestrzeni 91 • Promień Schwarzschilda i czarne dziury 93 • Minimalna średnia gęstość czarnej dziury 93 • Radialne przyspieszenie grawitacyjne swobodnego spadku odpowiadające metryce Schwarzschilda 94 • Fizyczna (przeskalowana) składowa radialna przyspieszenia grawitacyjnego swobodnego spadku 95 • Wartość radialnego przyspieszenia grawitacyjnego swobodnego spadku 95 • Współrzędne Kruskala-Szekeresa 96 • Rozwiązanie Schwarzschilda a przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 97 • Swobodny spadek na wirującą planetę 98 • Przykład: Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w płaszczyźnie równikowej 102 • Przykład: Ogólna postać w zmiennych (t, r, θ , ϕ ) równań ruchu swobodnej cząstki próbnej w polu grawitacyjnym wirującej planety 102 4. Rozwiązanie Weyla 104 • Metryka Weyla 104 5. Rozwiązanie Kerra 105 • Metryka Kerra 105 6. Fale grawitacyjne 106 • Równania niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnego w próżni są równaniami falo- wymi 106 • Cechowanie TT 107 • Fale grawitacyjne są falami poprzecznymi 108 • Równania niestacjonarnego słabego pola poruszających się ciał 109 • Emisja fal grawitacyjnych 113 • Przykład 114 7. Tensor momentu kwadrupolowego 115 • Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 115 • Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 115 • Elipsoida 115 • Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu mas rozmieszczonych ze stałą gęstością objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych, który stanowią osie eli- psoidy 116 8. Model Wszechświata Einsteina: „Materia bez ruchu” 119 • Trójwymiarowa hipersfera zanurzona w czterowymiarowej płaskiej przestrzeni Eukli- desowej jako trójwymiarowa przestrzeń o stałej krzywiźnie Riemanna 119 • Metryka modelu Wszechświata Einsteina 120 • Składowe tensora Ricciego 120 • Skalar krzywizny 120 9 • Składowe tensora Einsteina 120 • Tensor pędu energii 120 • Równania pola 120 • Równania pola z członem kosmologicznym 121 • Warunki wynikające z równań bilansu pędu i energii jakie musi spełniać człon kos- mologiczny jako dodatkowy człon w równaniach pola 121 • Metryka Einsteina we współrzędnych sferycznych 121 9. Model Wszechświata de Sittera: „Ruch bez materii” 122 • Rozwiązanie de Sittera 122 10. Model Wszechświata Friedmana 123 • Podstawowe założenia 123 • Podstawowa forma metryczna Friedmana-Lemaître-Robertsona-Walkera w układzie kartezjańskim 123 • Składowe kowariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 123 • Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 123 • Składowe mieszanego tensora metrycznego F-L-R-W 123 • Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 124 • Symbole Christoffela drugiego rodzaju 124 • Składowe tensora Ricciego 125 • Skalar krzywizny 126 • Składowe tensora Einsteina 127 • Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 127 • Równania pola 127 • Równania pola wyrażone przez stałą Hubble’a 128 • Równania bilansu pędu i energii 128 • Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 129 • Analiza modelu 130 • Analiza modelu w przypadku różnej od zera stałej kosmologicznej 131 • Prawo Hubble’a 132 • Metryka F-L-R-W we współrzędnych sferycznych 133 11. Prosty model rozszerzającej się czasoprzestrzeni 134 • Podstawowe założenia 134 • Podstawowa forma metryczna 134 • Składowe kowariantnego tensora metrycznego 134 • Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego 134 • Składowe mieszanego tensora metrycznego 134 • Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 135 • Symbole Christoffela drugiego rodzaju 135 • Składowe tensora Ricciego 135 • Skalar krzywizny 135 • Składowe tensora Einsteina 136 • Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 136 • Równania pola 136 • Prawa zachowania 137 • Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 137 • Niezerowe składowe mieszanego tensora krzywizny 138 • Analiza modelu 138 • Prawo Hubble’a 139 12. Model wirującego Wszechświata Gödla 140 • Rozwiązanie Gödla 140 10 • Metryka Gödla we współrzędnych cylindrycznych 140 ҭIEZBĘDҭIK MATEMATYCZҭY 142 1. Macierze 142 • Podstawowe definicje 142 • Wyznacznik macierzy 142 • Dodawanie macierzy 143 • Mnożenie macierzy 143 • Macierz transponowana 143 • Macierz symetryczna 143 • Macierz odwrotna 143 • Równanie charakterystyczne, wartości własne i wektory własne macierzy 144 • Transformacje ortogonalne 145 2. Algebraiczne formy kwadratowe 147 • Forma kwadratowa 147 • Macierz formy kwadratowej 147 • Rząd formy kwadratowej 147 • Dodatnio określone formy kwadratowe 147 • Kryteria dla dodatnio określonych form kwadratowych 147 • Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej (diagonalnej) 147 • Sygnatura formy kwadratowej 147 • Prawo bezwładności formy kwadratowej 147 • Niezmienniki liniowych przekształceń ortogonalnych formy kwadratowej 148 3. Liniowe przekształcenia ortogonalne i różniczkowe formy kwadratowe w teorii względności 148 • Czasoprzestrzeń 148 • Transformacja przeprowadzająca formę metryczną urojoną w rzeczywistą 148 4. Prostoliniowe układy współrzędnych 149 • Dualny (sprzężony) układ współrzędnych 149 • Algorytm konstrukcji bazy dualnej (sprzężonej) 150 • Transformacje wektorów bazowych 152 • Współrzędne kontrawariantne i kowariantne 154 • Iloczyn skalarny dwóch wektorów 155 • Długość wektora 155 • Iloczyn skalarny jako niezmiennik dowolnej transformacji liniowej 156 5. Tensory 157 • Wektory kontrawariantne i kowariantne jako tensory pierwszego rzędu 157 • Tensory kontrawariantne, kowariantne i mieszane drugiego rzędu 158 • Tensory g-kontrawariantne i d-kowariantne 159 • Delta Kroneckera jako tensor 160 6. Tensor metryczny 161 • Kowariantny tensor metryczny 161 • Kontrawariantny tensor metryczny 161 • Własności tensorów metrycznych 162 • Podstawowa forma metryczna (Kwadrat elementu liniowego) 163 • Liniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych sprowadzające podstawową for- mę metryczną do postaci diagonalnej 166 7. Współrzędne krzywoliniowe 167 • Współrzędne krzywoliniowe 167 11 • Lokalne układy współrzędnych związane ze współrzędnymi krzywoliniowymi 167 • Układy współrzędnych ze zmienną bazą 168 • Różniczka promienia wodzącego 168 • Kwadrat różniczki promienia wodzącego 168 • Druga różniczka promienia wodzącego 168 • Ograniczenia dotyczące operacji wykonywanych na tensorach w układzie współrzęd- nych o zmiennej bazie 169 • Przykład: Iloczyn skalarny 169 • Wyznaczanie tensora metrycznego 169 • Przykład: Współrzędne sferyczne 170 • Współrzędne sferyczne w przypadku trójwymiarowym 172 • Ortogonalne układy współrzędnych krzywoliniowych 174 • Fizyczne (prawdziwe) wartości składowych 174 8. Algebra tensorów 177 • Dodawanie tensorów 177 • Mnożenie tensorów 177 • Zwężanie (kontrakcja) tensorów 177 • Obniżanie i podnoszenie wskaźników 178 • Zamiana składowych kontrawariantnych na kowariantne i vice versa 179 • Operacja symetryzowania 180 • Operacja alternowania 180 9. Analiza tensorów 181 • Symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju 181 • Kontrakcja symboli Christoffela drugiego rodzaju 182 • Własności transformacyjne symboli Christoffela pierwszego rodzaju 183 • Własności transformacyjne symboli Christoffela drugiego rodzaju 183 • Przykład: Druga różniczka promienia wodzącego w trójwymiarowym lokalnym ukła- dzie odpowiadającym współrzędnym sferycznym 185 • Przesunięcie równoległe wektora 186 • Różnica wektorów określonych wzdłuż zadanej linii 186 • Pochodna absolutna wektora kontrawariantnego zadanego wzdłuż linii 187 • Pochodna absolutna wektora kowariantnego zadanego wzdłuż linii 188 • Pochodna kowariantna i kontrawariantna wektora 189 • Pochodna kowariantna tensora drugiego rzędu 189 • Przykład: Pochodne tensorów metrycznych 189 • Dywergencja wektora kontrawariantnego 190 • Dywergencja wektora kowariantnego 190 • Dywergencja tensora kontrawariantnego drugiego rzędu 191 • Dywergencja antysymetrycznego (skośniesymetrycznego) tensora kontrawariantnego drugiego rzędu 191 • Dywergencja tensora kowariantnego drugiego rzędu 191 • Dywergencja tensora mieszanego drugiego rzędu 192 • Dywergencja symetrycznego mieszanego tensora drugiego rzędu 192 • Związki między dywergencjami tensorów drugiego rzędu 193 • Gradient funkcji skalarnej 193 • Laplasjan funkcji skalarnej 194 • Rotacja jako kowariantny tensor antysymetryczny drugiego rzędu 194 • Twierdzenie Gaussa 194 • Pochodna kowariantna dowolnego tensora 195 12 • Pochodna kontrawariantna dowolnego tensora 196 • Pochodna kowariantna (kontrawariantna) sumy i iloczynu tensorów 199 • Pochodne wyższych rzędów 199 • Dywergencja tensora metrycznego 200 • Dalsze własności tensora metrycznego 200 10. Przestrzeń Riemanna 201 • Płaskie przestrzenie z metryką 201 • Przestrzeń Riemanna jako przestrzeń zakrzywiona z metryką 201 • Kowariantny tensor metryczny i kowariantne wektory bazowe 202 • Kontrawariantny tensor metryczny 202 • Lokalny układ współrzędnych i styczna przestrzeń 202 • Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych 203 • Iloczyn skalarny wektorów kowariantnych 203 • Rzeczywista wartość wektora kontrawariantnego 203 • Rzeczywista wartość wektora kowariantnego 203 • Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów 203 • Operacje na tensorach w przestrzeni Riemanna 203 • Równania geodetyki 204 • Geodetyka zerowa 204 11. Tensor krzywizny 205 • Mieszany tensor krzywizny Grossmanna czwartego rzędu 205 • Własności tensora krzywizny Grossmanna 206 • Kowariantny tensor krzywizny Riemanna-Christoffela czwartego rzędu 206 • Własności tensora krzywizny Riemanna-Christoffela 206 • Podstawowe kryterium zakrzywienia przestrzeni 207 • Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kontrawariantnego 207 • Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kowariantnego 207 • Kowariantny tensor krzywizny Ricciego drugiego rzędu 208 • Własności tensora Ricciego 208 • Mieszany tensor krzywizny Einsteina 209 • Kontrawariantny tensor krzywizny Einsteina 210 • Kowariantny tensor krzywizny Einsteina 210 • Konforemne przekształcenie metryki 211 • Kowariantny tensor krzywizny konforemnej Weyla 211 • Własności tensora krzywizny konforemnej Weyla 212 • Mieszany tensor krzywizny konforemnej Weyla 212 • Twierdzenia o płaskości i zakrzywieniu przestrzeni 213 • Równania dewiacji geodezyjnej 213 12. Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik, dwu-, trój- i cztero-składnikowe symbole Ricciego, symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju, składowe tensorów krzywizny 214 • Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik 214 • Niezerowe dwuskładnikowe, trójskładnikowe i czteroskładnikowe symbole Ricciego 214 • Jawna postać symboli Christoffetla pierwszego rodzaju 215 • Jawna postać symboli Christoffetla drugiego rodzaju 216 • Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego 218 • Niezależne składowe mieszanego tensora krzywizny Grosssmanna 220 • Jawna postać niezerowych składowych mieszanego tensora krzywizny Grossmanna 221 13 • Niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny Riemanna- Christoffela 227 • Niezerowe niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny wyrażone przez składowe mieszanego tensora krzywizny 228 • Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe mieszanego ten- sora Grossmanna 229 • Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe kowariantnego tensora Riemanna-Christoffela 230 • Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik dla metryki stacjo- narnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych 231 • Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero- wych składowych przestrzenno-czasowych 232 • Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero- wych składowych przestrzenno-czasowych 233 • Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki stacjonarnej o ze- rowych składowych przestrzenno-czasowych 234 • Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki diagonalnej 235 • Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki diagonalnej 236 • Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej 237 • Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej (składowe mieszane) 238 • Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla stacjonarnej metryki diago- nalnej 239 • Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla stacjonarnej metryki diagonal- nej 240 • Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia- gonalnej 241 • Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia- gonalnej (składowe mieszane) 242 • Symbole Christoffela drugiego rodzaju i składowe tensora Ricciego odpowiadające rozwiązaniu osiowo-symetrycznemu Weyla 243 • Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny odpowiadających modelowi Wszechświata Friedmana dla przypadku k = 1 244 • Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny odpowiadających prostemu modelowi rozszerzającej się czasoprzestrzeni 246 Bibliografia 248 Dodatek 250 • Oryginalne wyniki 250 • Propozycje nowych nazw 250 14 POLE GRAWITACYJҭE TEORIA ҭEWTOҭA 1 RÓWҭAҭIA POLA GRAWITACYJҭEGO • Wektor natężenia pola grawitacyjnego Pole grawitacyjne to przestrzeń, w której na spoczywające i poruszające się ciała działają siły proporcjonalne do mas tych ciał. ҭatężeniem pola grawitacyjnego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F, działa- jącej ze strony pola na umieszczone w tym punkcie odpowiednio małe ciało, do masy m tego ciała. E = F m Natężenie pola grawitacyjnego jest wektorem. Jednostką natężenia jest niuton na kilogram. [ ] E = 1N 1kg . Znajomość wektorów natężenia w każdym punkcie pola grawitacyjnego pozwala na obliczenie siły działającej na znajdujące się w polu ciało o masie m. F m= E Stacjonarnym (stałym) polem grawitacyjnym nazywamy takie pole grawitacyjne, którego wektory natężeń są stałe w czasie. Jednorodnym polem grawitacyjnym nazywamy takie pole grawitacyjne, którego wektory natężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym punkcie pola. • Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) Strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą jest proporcjonalny do sumy mas ciał otoczonych przez tę powierzchnię. SE d ⋅ π−= G4 ρ dV ∫∫∫ V =Φ E ∫∫ S =Φ E dSE ⋅ ∫∫ S π−= mG4 ∑ i π−= GM4 i EΦ = strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą S Strumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest ujemny, gdy wektor ma różną od zera składową, skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłą do dane- go elementu powierzchni. 2 ρ = gęstość objętościowa masy M = całkowita masa ciał znajdujących się w obszarze V = stała grawitacyjna ,6G Nm ⋅ 10 672 − 2 kg = − 11 15 POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA • Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) ρ dV G4 ⋅ SE d Prawo Gaussa ∫∫ ∫∫∫ π−= S Twierdzenie Gaussa ∫∫ SE ∫∫∫ div E = d ⋅ V S V dV div E dV ∫∫∫ V π−= G4 ρ dV ∫∫∫ V ρπ−= divE G4 • Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E Stacjonarne pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lub potencjalnym, czyli po- lem w którym praca, wykonywana przez siły pola przy przesuwaniu cząstki o masie m wzdłuż krzywej zamkniętej, jest równa zeru. Tak więc praca wykonywana przez siły pola przy przesu- waniu cząstki z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położenia tych punktów, a nie zależy od toru po którym przesuwana była cząstka. Stacjonarne pole wektora natężenia można opisać skalarem zwanym potencjałem grawitacyjnym. Różnica potencjałów grawitacyjnych między punktami A i B jest równa stosunkowi pracy BAW → , którą wykonują siły pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki z punktu A do punktu B, do masy m tej cząstki. =ϕ−ϕ A B W → BA m [ ] =ϕ 1J 1kg Aϕ w danym punkcie A pola grawitacyjnego nazywamy sto- Potencjałem grawitacyjnym sunek pracy, jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczaniu cząstki z danego punktu A do punktu B w którym z założenia potencjał jest równy zeru, do masy m tej cząstki. =ϕ−ϕ A B W BA → m , B =ϕ 0 UWAGA Najczęściej przyjmuje się cjałów. 0=ϕ w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica poten- W =→ BA ( ϕ−ϕ A )B lF d ⋅ = 0 ∫ l m B W BA → lF d ⋅ = ∫ E A m= F Twierdzenie Stokesa ∫ SE lE d ∫∫ rot = d ⋅ ⋅ l S ⋅ lE d ∫ l rot =E = 0 0 Dla stacjonarnego pola grawitacyjnego cyrku- lacja wektora E wzdłuż dowolnej drogi zamk- niętej oraz rotacja wektora E w każdym punk- cie są równe zeru. • Związek między natężeniem a potencjałem ∂E ∂ t rot grad = 0 , rot =E 0 E −= grad ϕ =ϕ 0 16 POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA • Równanie Poissona i Laplace’a 0 = ∂E ∂ t ϕ −= grad E ρπ−= divE G4 α=α AA A div div 2 div grad 2 ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z =∆ + + + 2 2 2 2 2 ϕ∆=ϕ∇=ϕ grad α ∆ = operator Laplace’a, laplasjan ρπ=ϕ∆ G4 Równanie Poissona W pustej przestrzeni poza obszarem źródłowej masy prawa strona równania Poissona jest równa zeru. 0=ϕ∆ Równanie Laplace’a • Prawo ҭewtona Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się punkto- wa masa M, mamy: S 2r4S π= ∫∫ ⋅ SE d ∫∫ S E mF = E=E SE d ⋅ −= π r4E 2 π−= GM4 E = GM 2r F = GMm 2r , F=F Każde dwa punktowe ciała o masach M i m znajdujące się w odległości r od siebie przy- ciągają się wzajemnie siłą o wartości F wprost proporcjonalnej do iloczynu ich mas oraz od- wrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległoś- ci między nimi. • Zapis prawa ҭewtona w postaci wektorowej m1 r2 r1 0 m2 m1 m2 F 12 −= mGm 1 2 r 12 2 ⋅ r 12 r 12 r 2 1m , 2m = masy przyciągających się punktowych ciał = odległość między punktami 1 i 2 = 12r = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2 12r r 12 1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowied- nio do punku 1 i 2 12F = siła z jaką ciało o masie F 12 1m przyciąga ciało o masie −= r 21 −= −= F 21 2m , , r 21 r 12 r 2 r 1 r 1 − 17 POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA 2 RÓWҭAҭIA RUCHU PUҭKTU MATERIALҭEGO W ZEWҭĘTRZҭYM POLU GRAWITACYJҭYM 2 d iner dt E r 2 , µ = mF 2 xd iner dt 2 µ , µ = EmF grav µ W dowolnym polu grawitacyjnym: r 2 2 d dt =− E 0 , 2 xd µ 2 dt − µ E = 0 E −= grad ϕ , E −= µ ϕ∂ ∂ x µ F = m : 0 = m grav = F ∂E ∂ t x1 = , x = + r j i y m = iner m x grav x3 = x 2 = , + + e x x 11 y = k z z e 22 + x e 33 W stacjonarnym polu grawitacyjnym: r 2 2 d dt + grad =ϕ 0 , 2 xd µ 2 dt + ϕ∂ ∂ x µ = 0 3 POLE GRAWITACYJҭE PUҭKTOWEJ MASY • ҭatężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M E = F = , F m GMm 2r E = F m , F −= GMm 2 r r r E = GM 2r E −= GM 2 r r r M = masa punktowego źródła r = promień wodzący zaczepiony w źródle • Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punk- towego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił W =→ BA ⋅ rF d −= ∫ − 2 r dr −= r r B ⋅ rF d ∫ GMm r A 2 r − 1 W =→ BA GMm ⋅    1 r B − 1 r A    dr Ar = odległość punktu A od źródłowej masy M Br = odległość punktu B od źródłowej masy M • Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M =ϕ−ϕ A B ∞=Br , W =→ BA W → BA m B =ϕ 0   GMm  1 r B − 1 r A    −=ϕ A GM r A Potencjał pola grawitacyjnego dla dowolnego rozkładu mas: −=ϕ G ∫∫∫ ρ r V dV 18 POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA 4 POLE GRAWITACYJҭE UKŁADU PUҭKTÓW MATERIALҭYCH, ZASADA SUPERPOZYCJI • Zasada superpozycji natężeń Wektor natężenia E pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów material- nych o masach Mi, równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczegól- nych punktów. E = N ∑ = 1i E i −= G N ∑ = 1i M i 2 r i ⋅ r i r i ir = promień wodzący zaczepiony w i-tym punkcie materialnym o masie iM • Zasada superpozycji potencjałów Potencjał ϕ pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów materialnych o ma- sach Mi, równy jest sumie potencjałów iϕ pochodzących od poszczególnych punktów. =ϕ N ∑ = 1i −=ϕ i G N ∑ = 1i i M r i 5 ROZWIҭIĘCIE MULTIPOLOWE POTEҭCJAŁU POLA GRWITACYJҭEGO UKŁADU PUҭKTÓW MATERIALҭYCH • Rozwinięcie multipolowe potencjału Potencjał układu punktów materialnych w dużej odległości od tych punktów można przed- stawić w postaci szeregu +ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ 0 1 2 3 K −= GK 1 R 0 − 1 GK 2 R − GK 3 R 2 − GK 4 R 3 + K zwanym rozwinięciem multipolowym. Punkt, w którym znajduje się masa Mi (x , y , z ) i i i Ri 0 ri R 19 (x, y, z) Punkt, w którym wyznaczamy potencjał POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA ∑−=ϕ G i i = M r i 1 1 + 1n R r i ( P n cos ( cos P0 ∞ n i = 0n α )i ( cos PR n ∑ )i α = wielomian Legendre’a stopnia n ) 1 ) =α =α ) =α ( cos ( cos cos , , α P 2 P1 ( 3 1 2 2 cos −α )1 −=ϕ G + 1n R ∞ ∑∑ PRM n n i i ( cos α )i i = 0n −=ϕ G R ∑ i M i − G 2 R ∑ i RM i i cos −α i G 3 R ⋅ 1 2 ⋅ ∑ i ( 3RM 2 i i 2 cos ) K−−α 1 i ∑−=ϕ 0 M i = człon monopolowy −=ϕ 1 RM i i cos α i = człon dipolowy i ∑ i 1 2 ⋅ ⋅ G R G 2 R G 3 R ∑= i −=ϕ 2 ( 3RM 2 i i 2 cos −α i ) 1 = człon kwadrupolowy ∑ i K 0 M = całkowita masa układu i K 1 = ∑ i RM i i cos α i , K 2 1 ⋅= 2 ∑ i ( 3RM 2 i i 2 cos −α i ) 1 • Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału MG∑ i R i i cos α i −=ϕ 1 cos =α i 2 R RR ⋅ RR i i −=ϕ 1 G 3 R    ∑ i M i RR ⋅ i   Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt, którego promień wodzą- cy SR dany jest równaniem df = R S i ∑ M R ∑ M i i i i . Jeżeli początek układu współrzędnych umieścić w środku masy układu punktów material- nych będących źródłem pola grawitacyjnego, to człon dipolowy w rozwinięciu potencjału sta- je się równy zeru, ponieważ wtedy suma momentów mas jest równa zeru M = 0 . ∑ R i i i 20 POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA • Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału −=ϕ 2 G 3 R ⋅ 1 2 ⋅ ∑ i ( 3RM 2 i i 2 cos −α i )1 R 2 i = xx i µ 2 cos =α i µν δ i ν i xxxx µ µ 2 RR i ν 2 i x1 = , i x = , 1 x x i x 2 = , y x = y i 2 i ν 2 i R   ( 3    x3 = z x = , z i 3 i 2 cos ) =−α 1 i xx i µ i ν ν xx3 2 µ R     δ− µν     , =δµν 1   0  ν=µ⇔ ν≠µ⇔ −=ϕ 2 G 3 R ⋅ 1 2 ⋅ ∑∑∑ µ ν i xxM i µ i i ν     ν xx3 2 µ R δ− µν     d µν = ∑ i xxM i µ i i ν = tensor momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych −=ϕ 2 G 3 R ⋅ 1 2 ⋅ ∑∑ µ ν d µν xx3 νµ 2 R     δ− µν     xx i µ i ν ν xx3 2 µ R     δ− µν   =  1 3 ( xx3 i µ i ν − R δ 2 i µν ν xx3 2 µ R  )    δ− µν     −=ϕ 2 G 3 R ⋅ 1 6 ⋅ ∑∑∑ µ ν i ( xx3M i µ i i ν − R 2 i δ µν ν xx3 2 µ R  )    δ− µν     D µν = ∑ i ( xx3M i µ i i ν − R 2 i δ µν ) = tensor momentu kwadrupolowego −=ϕ 2 G 3 R ⋅ 1 6 ⋅ ∑∑ µ ν D µν xx3 νµ 2 R     δ− µν     • Tensor momentu kwadrupolowego Symetryczny tensor drugiego rzędu d µν = ∑ i xxM i µ i i ν jest jedną z dwu postaci tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych bę- dących źródłem pola grawitacyjnego, tworzy go dziewięć składowych w tym sześć niezależ- nych. d xx = d xy = ∑ i d yx 2 ,xM i i d = yy = ∑ i ,yxM i i i ∑ i d 2 ,yM i i d = zz ∑ i zM i 2 i = d zx = xz ∑ i ,zxM i i i d = d zy = yz zyM i i i ∑ i 21 POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA −=ϕ 2 G 3 R ⋅ 1 6 ⋅ ∑∑ µ ν D µν xx3 νµ 2 R     δ− µν     D µν = ∑ i ( xx3M i µ i i ν − R 2 i δ µν ) µνD jest inną postacią tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych będą- cych źródłem pola grawitacyjnego. A oto jego składowe: = = ) ) ) i x2M ( ( ( z2M y2M i i i ∑ ∑ ∑ i i 2 i − y 2 i − z 2 i 2 i − x 2 i − z 2 i 2 i − x 2 i − y 2 i ) ) ) D xx = D yy = D zz = D xy = i ∑ ∑ ∑ i i D yx D xz = D D yz = D zx zy i i i y3M ( x3M ( ( z3M ∑ ∑ ∑ = = = i i R 2 i = x 2 i + y 2 i i + z 2 i 2 i − R 2 i 2 i − R 2 i 2 i − R 2 i = yxM3 i i i zxM3 i i zyM3 i i i i Tensor µνD ma 5 niezależnych składo- wych ponieważ jest tensorem symet- rycznym D µν = D νµ a suma jego składowych diagonalnych jest równa zeru D + D yy + D zz xx = 0 . • Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności Tensor momentu bezwładności układu punktów materialnych względem początku układu współrzędnych z definicji dany jest przez I µν df =∑ i ( RM i 2 i −δ µν xx i µ )i ν , R 2 i = 3 )∑ ( x i λ 2 =λ 1 I 11 = ∑ i I 12 = I 21 ( x M i [ 2 ) i 2 ( x + ) ]2i 3 , I 22 = ∑ i ( x M i [ ) 2i 1 ( x + ) ]2i 3 , I 33 = ∑ i ( x M i [ ) 2i 1 ( x i 2 + ) ]2 , ∑−= i xxM i 1 i i 2 , I 13 = I 31 ∑−= i xxM i 1 i i 3 , I 23 = I 32 ∑−= i xxM i 2 i i 3 , lub I xx = ∑ i ( y M i 2 i + z )2 i , I yy ( x M i 2 i + z )2 i , I zz = ∑ i ( x M i 2 i + y )2 i , = ∑ i I xy = I yx ∑−= i yxM i i , I xz i = I zx zxM i i , I yz i = I zy ∑−= i zyM i i . i ( x i 2 2 ) ( x + ) ] 2i 3 ∑= RM2 i i 2 i , co ułatwia znalezienie ∑−= ) 2i 1 + i ( x M2 i [ Mamy też I 11 + I 22 + I 33 = poszukiwanej relacji. D µν −= I3 µν + ( I 11 + I 22 + I 33 ) µν δ d µν −= I µν + 1 2 ( I 11 + I 22 + I 33 ) µν δ 22
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Ogólna Teoria Względności
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: