Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00450 009628 16975107 na godz. na dobę w sumie
Podstawowe metody całkowania - ebook/pdf
Podstawowe metody całkowania - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 41
Wydawca: Self Publishing Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-932417-0-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Starałem się w jasny sposób pokazać podstawowe metody obliczania całek nieoznaczonych.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Podstawowe metody cakowania 12 Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy od stopnia wielo- mianu w mianowniku, to z twierdzenia o dzieleniu z resztą wielomianów: W2(x) dx = Z (Q(x) + Z f (x)dx = Z W1(x) Wiemy jak policzyć R Q(x)dx, teraz zajmiemy się R R(x) st(R(x)) st(W2(x)). R(x) W2(x) )dx = Z Q(x)dx +Z R(x) W2(x) dx. W2(x) dx, gdzie stopień 3.2 Całkowanie przez ułamki proste Metoda całkowania przez ułamki proste jest tylko dla całkowania funkcji wy- miernych, których wielomian w liczniku ma mniejszy stopień od wielomianu w mianowniku. W dalszej części będziemy rozważać tylko takie przypadki. Uwaga. Jeżeli w licznik jest pochodną mianownika to: Z f ′(x) f (x) dx = ln|f (x)| + C. Definicja 3.5. Ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie postaci: (ax+b)k , gdzie k ∈ N oraz (ax2+bx+c)l , gdzie ∆ 0 i l ∈ N . Ax+B A Algorytm całkowania przez ułamki proste: W1(x) W2(x)dx R 1. Wyznaczamy miejsca zerowe wielomianu W2(x) 2. Zapisujemy, że: W2(x) = (x − x1)n1(x − x2)n2...(x − xk)nk(a1x2 + b1x + c1)m1 (a2x2+b2x+c2)m2...(alx2+blx+cl)ml, gdzie x1, x2, ..., xk są pierwiastkami wielomianu W2(x) oraz wszystkie trójmiany kwadratowe mają ujemne wyróżniki. 2 3. Rozkładamy każdy czynnik w tym iloczynie na ułamki proste wedle za- sady: 1 (x−x1)n1 = A1 x−x1 1 oraz + A2 (x−x1)2 + ... + (a1x2+b1x+c1)m1 = C1x+D1 a1x2+b1x+c1 An1 (x−x1)n1 + C2x+D2 (a1x2+b1x+c1)2 + . . . + Cm1 x+Dm1 (a1x2+b1x+c1)m1 . 4. Wyznaczamy wszystkie nieznane stałe W1(x) = W2(x)[ A1 x−x1 Cm1 C2x+D2 An1 ... + (x−x1)n1 + ... + C1x+D1 a1x2+b1x+c1 + (a1x2+b1x+c1)2 + ... + + A2 x+Dm1 (a1x2+b1x+c1)m1 ] (x−x1)2 + 2Wyróżnik trójmianu kwadratowego ax2 + bx + c wyraża się wzorem ∆ = b2 − 4ac Podstawowe metody cakowania 13 5. Całkę R W1(x) R ( A1 x−x1 Cm1 x+Dm1 (a1x2+b1x+c1)m1 )dx W2(x) dx liczymy z całki sumy + A2 (x−x1)2 + ... + (x−x1)n1 + ... + C1x+D1 An1 a1x2+b1x+c1 + C2x+D2 (a1x2+b1x+c1)2 + ...+ Spostrzeżenia: (a) Ponieważ, każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych to, n (cid:173) k (b) Jeżeli wielomian W2(x) ma dokładnie n pierwiastków rzeczywistych, to R W1(x) W2(x) dx = A1 ln|x − x1| + A2 ln|x − x2| + ... + An ln|x − xn| + C (c) Przy wyznaczaniu stałych porównywanie wielomianów czasami jest kło- potliwe. Można wtedy podstawiać kolejne pierwiastki W2(x). Nie ko- niecznie będą to pierwiastki rzeczywiste. Wyrażenia postaci (ax2+bx+c)l , gdzie ∆ 0 i l ∈ N mają tylko pierwiastki zespolone. Ax+B (d) Po rozkładzie na ułamki proste wyrażenia postaci całkujemy ze wzoru: A (ax+b)k , gdzie k ∈ N 1 (ax+b)k = 1 a(1−k)(ax+b)k 1 + C, dla k 6= 1 − R (e) Wyrażenia postaci Ax+B (ax2+bx+c)l , gdzie ∆ 0 i l ∈ N dla l = 1 wyrażają (f) Całkę R dt dt (1+t2)l obliczmy ze wzoru rekurencyjnego (1+t2)l = arctan t + C R t 1 + 2l−3 2(l−1)(1+t2)l − 2l−2 R dt (1+t2)l − 1 , dla a 6= 0. Gdzie R dt 1+t2 = 1 1 x2−5x+6 dx x−3 /(x − 2)(x − 3) Przykład 3.6. R x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 3 x−2 + B x2−5x+6 = A 1 = A(x − 3) + B(x − 2), stąd A + B = 0 i −3A − 2B = 1. Mnożąc pierwsze równanie przez 2 i dodając stronami: −A = 1 ⇒ A = −1 ⇒ B = 1. x2−5x+6 dx = R ( −1 R x−2 + 1 1 x−3 )dx = − ln|x − 2| + ln|x − 3| + C = ln| x−3 x−2| + C. się wzorem: R Ax+B ax2+bx+c dx = A R (ax2+bx+c)l dx = Ax+B ∆ 0 oraz t = Dla l 1 stosujemy wzór . x+ b 2a ∆ 4a2 q − 2a ln|ax2 + bx + c| + 2aB−Ab −∆ arctan a√ A 1 + 2aB−bA 2a(1−l)(ax2+bx+c)l 4a2 )l − − 2al+1( − ∆ x+ b 2a ∆ 4a2 + C, dla a 6= 0. q − (1+t2)l , dla a 6= 0, 2 R dt 1 Podstawowe metody cakowania 14 3x2 3x2 −5x+2 −5x+2 x3−2x2+3x−6 dx Przykład 3.7. R Rozwiązujemy równanie x3 − 2x2 + 3x − 6 = 0 x2(x − 2) + 3(x − 2) = (x2 + 3)(x − 2) = 0. Jedynym pierwiastkiem jest x = 2, dlatego x3−2x2+3x−6 = 3x2 rozkładając na ułamki proste 3x2 (x−2)(x2+3) = Ax+B 3x2 − 5x + 2 = (Ax + B)(x − 2) + C(x2 + 3) 3x2 − 5x + 2 = Ax2 + Bx − 2Ax − 2B + Cx2 + 3C 3x2 − 5x + 2 = x2(A + C) + (B − 2A)x + −2B + 3C. Porównujemy współczynniki −5x+2 (x−2)(x2+3) x2+3 + C x−2 /(x − 2)(x2 + 3) −5x+2 A + C = 3 B − 2A = −5 −2B + 3C = 2 Z drugiego równania B = 2A − 5, otrzymujemy   ( A + C = 3 −4A + 10 + 3C = 2 Z pierwszego równania C = 3 − A, po podstawieniu −4A + 9 − 3A = −8, czyli −7A = −17. Zatem 14 ln|x2 + 3| − 1 7√3 arctan x √3 +   x2+3 dx + R x− 1 7 17 7 A = 17 7 C = 4 7 B = − 1 x−2 dx = 17 4 7 7 3x2 −5x+2 x3−2x2+3x−6 dx = R R 7 ln|x − 2| + C. 4 3.3 Zadania Zadanie 1. Wyznaczyć stopnie wielomianów: a) W1(x) = x2 + x6 − 12x9 b) W2(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 c) W3(x) = x2 + x + x5 − 12x8 + 32x + 7 d) W4(x) = P12 n=0(n + 1)xn Podstawowe metody cakowania 15 Zadanie 2. Podzielić wielimian W1(x) przez W2(x) a) W1(x) = 5x3 + 2x + 1, W2(x) = x − 3 b) W1(x) = 2x8 + 13x6 − x5 + 15x4 − 5x3 − 2x + 1, W2(x) = 2x5 + 3x3 − x2 Zadanie 3. Podzielić na ułamki proste a) 4x3+x2 −4x x4−5x2+4 b) 1 x4−81 c) 8x4+9x2+x+2 4x5+4x3+x Zadanie 4. Obliczyć całki 1 1 2x−3 x4−81 dx (x+3)(x+2) dx a) R b) R c) R (x+3)(x−2) dx d) R x5+x4+3x3+x2 x4−1 −2 dx Rozdział 4 Część 4 4.1 Całkowanie funkcji niewymiernych 4.1.1 Całkowanie funkcji zawierających pierwiastki wy- rażenia liniowego Definicja 4.1. Mówimy, że m i n są względnie pierwsze jeżeli ich największy wspólny dzielnik wynosi 1. Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją zmiennej x postaci m liczbami naturalnymi względnie pierwszymi to wykonujemy postawienie: n , gdzie m, n są gdzie k jest wspólnym mianownikiem ułamków postaci m sprowadza całką niewymierną do całki wymiernej. n . To podstawienie x = tk, Przykład 4.2. R 3√x 6√x5 dx x+ Funkcja podcałkowa jest funkcją zmiennej x ków 1 Podstawiamy x = t6, 6 wynosi k = 6. dx = 6t5dt. t7 3 i 5 3√x 6√x5 dx = R x+ R 1 3 i x 5 6 . Wspólny mianownik ułam- t2 t6+t5·6t5dt = 6R t5(t+1) dt = 6R t2 t+1 dt. Teraz liczymy całkę przez ułamki proste. t2 t t+1 dt). t+1 t+1 = t − t 6R t2 t+1 dt = 6(R tdt −R t+1 dt = R t+1−1 R t Przy czym ostatnia całka t+1 dt = R (1 − 1 t+1 )dt = t − ln|t + 1|. 16 Podstawowe metody cakowania 17 Ostateczny wynik 3√x 6√x5 dx = 6( 1 x+ R 2 t2 − t + ln|t + 1| + C), gdzie x = t6. Jeżeli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x oraz potęg dwu- mianów ax + b, potęg funkcji postaci ax + b cx + d , gdzie ad − bc 6= 0 o wykładnikach postaci m ax + b = tk, ax+b n sprowadzają całkę do całki z funkcji wymiernych. m cx+d = tk, gdzie k jest wspólnym mianownikiem ułamków postaci n to podstawienia 2 jest k = 6. xdx xdx −1 √x+1 3 i 1 dx = 6t5dt. −1) 3√x+1− Wspólnym mianownikiem ułamków 1 Podstawiamy x + 1 = t6, Przykład 4.3. R √x+1 = R t6 1−t dt = 6R t3(t3+1)(t3 R 3√x+1− = 6R t3(t6 = 6R t3(t3+1)(t−1)(t2+t+1) = −6R t8 + t7 + t6 + t5 + t4 + t3)dt = − 1 6 − 6 = − 2 t2−t3·6t5dt = 6R t5(t6 1−t 2 − 4 t2(1−t) dt 3 (x + 1) 3 (x + 1) −1) −1) 1−t dt 4 3 dt = −6R t3(t3 + 1)(t2 + t + 1)dt 7 t7 − t6 − 6 3 t8 − 6 6 − 3 3 − 6 2 (x + 1) 3 t9 − 4 5 (x + 1) 7 (x + 1) 7 5 2 t4 + C 5 t5 − 3 3 + C. 2 4.1.2 Podstawienie Euler’a Podstawienia Eulera stosuje się w całkowaniu trójmianu kwadratowego R √ax2 + bx + cdx oraz R dx √ax2+bx+c . Pierwsze podstawienie Euler’a −c b−2t√a Przyjmujemy √ax2 + bx + c = x√a + t Stąd ax2 + bx + c = ax2 + 2xt√ax + t2 bx + c = 2xt√a + t2 x(b − 2t√a) = t2 − c x = t2 dx = 2t(b−2t√a)+2√a(t2 (b−2t√a)2 Natomiast √ax2 + bx + c = x√a + t = √a t2 R √ax2 + bx + cdx = R (√a t2 b−2t√a + t) · 2tb−2t2√a (b−2t√a)2 dt 2t√a +t · 2tb−2t2√a (b−2t√a)2 dt √ax2+bx+c = R R = 2tb−4t2√a+2t2√a a w drugim przypadku 1 √a t2 b − (b−2t√a)2 = 2tb−2t2√a (b−2t√a)2 −c b−2t√a + t −c) −c c − dx Obie całki są całkami wymiernymi i dają się obliczyć przez ułamki proste.
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Podstawowe metody całkowania
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: