Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00728 010517 11034277 na godz. na dobę w sumie
Projektowanie i analiza algorytmów - książka
Projektowanie i analiza algorytmów - książka
Autor: , , Liczba stron: 488
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 83-7197-770-0 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> programowanie >> techniki programowania
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).
Badanie algorytmów leży w samym sercu nauk komputerowych. W ostatnich latach dokonano znaczących postępów w tej dziedzinie. Opracowano m.in. wiele efektywniejszych algorytmów (szybkie przekształcenie Fouriera), odkryto także istnienie pewnych naturalnych zadań, dla których wszystkie algorytmy są nieefektywne. Wyniki te powodują wzrost zainteresowania badaniami algorytmów, co przyczynia się do intensywnego rozwoju tej dziedziny wiedzy.

Książka jest podręcznikiem wstępnego kursu projektowania i analizy algorytmów. Autorzy położyli nacisk raczej na prezentacji najważniejszych idei i przystępności wykładu, niż na szczegółach realizacji i sztuczkach programistycznych. Autorzy przedstawiają na ogół nieformalne, intuicyjne objaśnienia zamiast długich i pracochłonnych dowodów. Książka nie wymaga żadnego szczególnego przygotowania z zakresu matematyki, czy języków programowania. Pożądana jest jednak pewna dojrzałość w stosowaniu pojęć matematycznych, ogólne obycie w językach programowania wysokiego poziomu, takich jak FORTRAN lub ALGOL, a także podstawowa znajomość algebry liniowej.

W książce omówiono m.in.:

Ważnym uzupełnieniem treści książki są ćwiczenia o zróżnicowanych poziomach trudności. 'Projektowanie i analiza algorytmów' to doskonały podręcznik dla studentów informatyki i kierunków pokrewnych, a także wspaniała pomoc dla osób prowadzących wykłady i ćwiczenia na tych kierunkach.
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

IDZ DO IDZ DO PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ SPIS TREĎCI SPIS TREĎCI KATALOG KSI¥¯EK KATALOG KSI¥¯EK KATALOG ONLINE KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK TWÓJ KOSZYK DODAJ DO KOSZYKA DODAJ DO KOSZYKA CENNIK I INFORMACJE CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWOĎCIACH O NOWOĎCIACH ZAMÓW CENNIK ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA CZYTELNIA FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE Wydawnictwo Helion ul. Chopina 6 44-100 Gliwice tel. (32)230-98-63 e-mail: helion@helion.pl Projektowanie i analiza algorytmów Autorzy: Alfred V. Aho, John E. Hopcroft, Jeffrey D. Ullman T³umaczenie: Wojciech Derechowski ISBN: 83-7197-770-0 Tytu³ orygina³u: The Design and Analysis of Computer Algorithms Format: B5, stron: 488 Badanie algorytmów le¿y w samym sercu nauk komputerowych. W ostatnich latach dokonano znacz¹cych postêpów w tej dziedzinie. Opracowano m.in. wiele efektywniejszych algorytmów (szybkie przekszta³cenie Fouriera), odkryto tak¿e istnienie pewnych naturalnych zadañ, dla których wszystkie algorytmy s¹ nieefektywne. Wyniki te powoduj¹ wzrost zainteresowania badaniami algorytmów, co przyczynia siê do intensywnego rozwoju tej dziedziny wiedzy. Ksi¹¿ka jest podrêcznikiem wstêpnego kursu projektowania i analizy algorytmów. Autorzy po³o¿yli nacisk raczej na prezentacji najwa¿niejszych idei i przystêpnoġci wyk³adu, ni¿ na szczegó³ach realizacji i sztuczkach programistycznych. Autorzy przedstawiaj¹ na ogó³ nieformalne, intuicyjne objaġnienia zamiast d³ugich i pracoch³onnych dowodów. Ksi¹¿ka nie wymaga ¿adnego szczególnego przygotowania z zakresu matematyki, czy jêzyków programowania. Po¿¹dana jest jednak pewna dojrza³oġæ w stosowaniu pojêæ matematycznych, ogólne obycie w jêzykach programowania wysokiego poziomu, takich jak FORTRAN lub ALGOL, a tak¿e podstawowa znajomoġæ algebry liniowej. W ksi¹¿ce omówiono m.in.: • Podstawowe pojêcia i modele (w tym maszynê Turniga) • Najwa¿niejsze struktury danych, rekurencjê, programowanie dynamiczne • Algorytmy sortowania, operacje na zbiorach, drzewach i grafach • Szybkie przekszta³cenie Fouriera z zastosowaniami • Algorytmy arytmetyczne, operacje na wielomianach • Algorytmy dopasowania wzorców • Problemy NP-zupe³ne • Dolne ograniczenia z³o¿onoġci obliczeniowej Wa¿nym uzupe³nieniem treġci ksi¹¿ki s¹ æwiczenia o zró¿nicowanych poziomach trudnoġci. „Projektowanie i analiza algorytmów” to doskona³y podrêcznik dla studentów informatyki i kierunków pokrewnych, a tak¿e wspania³a pomoc dla osób prowadz¹cych wyk³ady i æwiczenia na tych kierunkach. Spis treści Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Modele obliczania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Algorytmy i ich złożoność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Maszyny o dostępie swobodnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Złożoność obliczeniowa programów RAM . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Model z zapamiętanym programem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5 Abstrakcje RAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6 Pierwotny model obliczania: maszyna Turinga . . . . . . . . . . . . . 34 1.7 Związek pomiędzy maszyną Turinga i modelem RAM . . . . . . . . 39 1.8 Pidgin ALGOL — język wysokiego poziomu . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Projektowanie efektywnych algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1 Struktury danych: listy, kolejki i stosy . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2 Reprezentacje zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 Grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 Drzewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 Rekurencja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 Dziel i zwyciężaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.7 Zrównoważenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.8 Programowanie dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.9 Zakończenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3. Sortowanie i statystyka pozycyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1 Problem sortowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.2 Sortowanie pozycyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.3 Sortowanie przez porównania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4 Heapsort — algorytm sortowania przez O(n log n) porównań . . . . 96 3.5 Quicksort — algorytm sortowania w czasie oczekiwanym O(n log n) 101 3.6 Statystyka pozycyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.7 Czas oczekiwany dla statystyki pozycyjnej . . . . . . . . . . . . . . . 108 4. Struktury danych dla zadań operujących na zbiorach . . . . . . . 117 4.1 Operacje pierwotne na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2 Haszowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 Poszukiwanie binarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4 Drzewa poszukiwań binarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5 Optymalne drzewa poszukiwań binarnych . . . . . . . . . . . . . . . 128 4 Spis treści 4.6 Prosty algorytm sumy zbiorów rozłącznych . . . . . . . . . . . . . . 132 4.7 Struktury drzew dla problemu UNION-FIND . . . . . . . . . . . . . 136 4.8 Zastosowania i rozszerzenia algorytmu UNION-FIND . . . . . . . . . 146 4.9 Schematy z drzewami zrównoważonymi . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.10 Słowniki i kolejki priorytetowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.11 Kopce złączane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.12 Kolejki konkatenowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.13 Podział . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.14 Podsumowanie rozdziału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5. Algorytmy na grafach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.1 Drzewa rozpinające o minimalnym koszcie . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.2 Przeszukiwanie w głąb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.3 Dwuspójność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.4 Przeszukiwanie w głąb grafu skierowanego . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.5 Spójność silna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.6 Problemy znajdowania ścieżek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.7 Algorytm przechodniego domknięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.8 Algorytm najkrótszych ścieżek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.9 Problemy ścieżek i mnożenie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.10 Problemy jednego źródła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.11 Dominatory w acyklicznym grafie skierowanym . . . . . . . . . . . . 218 6. Mnożenie macierzy i pokrewne operacje . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.1 Podstawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 6.2 Algorytm Strassena mnożenia macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6.3 Odwracanie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.4 Rozkład LUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.5 Zastosowania rozkładu LUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.6 Mnożenie macierzy zero-jedynkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7. Szybkie przekształcenie Fouriera z zastosowaniami . . . . . . . . 263 7.1 Dyskretna transformata Fouriera i transformata odwrotna . . . . . . 264 7.2 Algorytm szybkiego przekształcenia Fouriera . . . . . . . . . . . . . 268 7.3 FFT z operacjami na bitach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7.4 Iloczyny wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.5 Mnożenie liczb całkowitych według algorytm Sch¨onhagego–Strassena 282 8. Arytmetyka na liczbach całkowitych i wielomianach . . . . . . . . 289 8.1 Podobieństwo między liczbami całkowitymi i wielomianami . . . . . 290 8.2 Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.3 Mnożenie i dzielenie wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 8.4 Arytmetyka modularna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 8.5 Arytmetyka modularna na wielomianach i wartości wielomianów . . 304 8.6 Chińskie zliczanie reszt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.7 Chińskie zliczanie reszt i interpolacja wielomianów . . . . . . . . . . 310 8.8 Największy wspólny dzielnik i algorytm Euklidesa . . . . . . . . . . 312 Spis treści 5 8.9 Asympotycznie szybki algorytm GCD dla wielomianów . . . . . . . . 315 8.10 Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . 320 8.11 Chińskie zliczanie reszt — raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.12 Wielomiany rzadkie 9. Algorytmy dopasowania wzorców . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 . . . . . . . . . . . . . . 329 9.1 Automaty skończone i wyrażenia regularne 9.2 Rozpoznawanie wzorców przez wyrażenia regularne . . . . . . . . . . 338 9.3 Rozpoznawanie podnapisów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.4 Dwukierunkowe deterministyczne automaty ze stosem . . . . . . . . 347 9.5 Drzewa pozycji i indentyfikatory podnapisowe . . . . . . . . . . . . . 358 10. Problemy NP-zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.1 Niedeterministyczne maszyny Turinga . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 10.2 Klasy P i N P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 10.3 Języki i problemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 10.4 NP-zupełność problemu spełnialności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 10.5 Inne problemy NP-zupełne 10.6 Problemy o wielomianowej złożoności pamięciowej . . . . . . . . . . 406 11. Problemy niełatwe na podstawie dowodu . . . . . . . . . . . . . . . 417 11.1 Hierarchie złożoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 11.2 Hierarchia pamięciowa dla deterministycznych maszyn Turinga . . . 418 11.3 Problem wymagający wykładniczego czasu i pamięci . . . . . . . . . 421 11.4 Problem nieelementarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 12. Ograniczenia dolne liczby operacji arytmetycznych . . . . . . . . 439 12.1 Ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 12.2 Kod liniowy — raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 12.3 Macierzowe formułowanie problemów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 12.4 Ograniczenie dolne liczby mnożeń zależne od liczby wierszy . . . . . 443 12.5 Ograniczenie dolne liczby mnożeń zależne od liczby kolumn . . . . . 445 12.6 Ograniczenie dolne liczby mnożeń zależne od liczby wierszy i kolumn 450 12.7 Nastawianie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 Rozdział 1. Modele obliczania Jak, mając dany problem, znajdziemy efektywny algorytm rozwiązania? Gdy zna- leźliśmy algorytm, jak mamy porównać ten algorytm z innymi algorytmami, które rozwiązują ten sam problem? Jak powinniśmy oceniać jakość algorytmu? Pytania tego rodzaju są ciekawe zarówno dla programisty, jak i dla uczonego o teoretycz- nym nastawieniu do nauk komputerowych. W książce rozpatrujemy różne kierunki badań, które usiłują odpowiedzieć na takie pytania. W tym rozdziale rozważamy kilka modeli komputera — maszynę o dostępie swo- bodnym, maszynę z zapamiętanym programem i maszynę Turinga. Porównujemy je co do tego, jak odzwierciedają złożoność algorytmu i wyprowadzamy z nich kilka wyspecjalizowanych modeli obliczeń: liniowe programy arytmetyczne, obliczenia na bitach, obliczenia na wektorach bitów i drzewa decyzji. Wreszcie, w ostatnim punk- cie rozdziału wprowadzamy język do opisu algorytmów, zwany „Pidgin ALGOL”. 1.1. Algorytmy i ich złożoność Algorytmy mogą być oceniane na podstawie rozmaitych kryteriów. Najczęściej in- teresuje nas szybkość z jaką wzrastają czas lub pamięć potrzebne, by rozwiązać zadanie w coraz bardziej wymagających przypadkach. Zawsze będziemy przypisy- wać zadaniu liczbę całkowitą, zwaną rozmiarem zadania, która jest miarą wielkości danych. Na przykład rozmiarem zadania w przypadku mnożenia macierzy może być największy wymiar macierzy, które mamy pomnożyć. Rozmiarem zadania z grafem może być liczba krawędzi grafu. Wymagany przez algorytm czas wyrażony jako funkcja rozmiaru zadania zwany jest złożonością czasową algorytmu. Zachowanie się tej złożoności w granicy, gdy rozmiar zadania wzrasta, nazywa się asymptotyczną złożonością czasową. Podobnie można zdefiniować złożoność pamięciową i asymptotyczną złożoność pamięciową. Asymptotyczna złożoność algorytmu jest tym, co ostatecznie rozstrzyga o rozmia- rze zadań, które mogą być rozwiązane przez ten algorytm. Jeżeli algorytm prze- twarza dane o rozmiarze n w czasie cn2 dla pewnej stałej c, to mówimy, że czasowa złożoność tego algorytmu jest O(n2), czytaj „rzędu n2”. Ściślej, funkcja g(n) jest 12 Rozdział 1. Modele obliczania Algorytm Złożoność czasowa A1 A2 A3 A4 A5 n n log n n2 n3 2n Maksymalny rozmiar zadania 1 sek. 1000 140 31 10 9 1 min. 6 × 104 4893 244 39 15 1 godz. 3.6 × 106 2.0 × 105 1897 153 21 Rys. 1.1. Ograniczenia rozmiaru zadania spowodowane szybkoś- cią wzrostu złożoności O(f(n)), jeżeli istnieje stała c taka, że g(n) (cid:2) cf(n) dla wszystkich nieujemnych wartości n prócz pewnego skończonego (być może pustego) zbioru tych wartości. Można by przypuszczać, że ogromny wzrost szybkości obliczeń dzięki powstaniu maszyn cyfrowych obecnej generacji zmniejszy znaczenie efektywnych algorytmów. Jest jednak odwrotnie. Skoro komputery stają się szybsze i możemy przetwarzać coraz większe zadania, to o wzroście rozmiaru zadania, jaki można osiągnąć przez wzrost szybkości komputera, rozstrzyga złożoność algorytmu. Załóżmy, że mamy pięć algorytmów A1 − A5 o podanych złożonościach czasowych: Algorytm Złożoność czasowa A1 A2 A3 A4 A5 n log n (1) n n2 n3 2n Złożoność czasowa jest tu liczbą jednostek czasu potrzebnych do przetworzenia da- nych rozmiaru n. Zakładając, że jednostka czasu jest równa jednej milisekundzie, algorytm A1 może przetworzyć w ciągu jednej sekundy dane o rozmiarze 1000, na- tomiast algorytm A5 dane o rozmiarze co najwyżej 9. Rysunek 1.1 podaje rozmiary zadań, które mogą być rozwiązane przez każdy z tych pięciu algorytmów w ciągu jednej sekundy, jednej minuty i jednej godziny. Przypuśćmy, że następna generacja komputerów będzie dziesięć razy szybsza niż obecna. Rysunek 1.2 pokazuje wzrost rozmiaru zadania, jakie można rozwiązać dzięki temu wzrostowi prędkości. Zauważmy, że z algorytmem A5 dziesięciokrotny wzrost prędkości zwiększa tylko o trzy rozmiar zadania, które można rozwiązać, natomiast z algorytmem A3 ten rozmiar wzrasta więcej niż trzykrotnie. Zamiast wzrostu szybkości rozważmy skutek użycia bardziej efektywnego algoryt- mu. Popatrzmy raz jeszcze na rys. 1.1. Biorąc jedną minutę za podstawę porów- 1O ile nie zaznaczono inaczej, wszystkie logarytmy w tej książce mają podstawę 2. 1.1. Algorytmy i ich złożoność 13 Algorytm Złożoność czasowa Maksymalny rozmiar zadania przed przyspieszeniem Maksymalny rozmiar zadania po przyspieszeniu A1 A2 A3 A4 A5 n n log n n2 n3 2n s1 s2 s3 s4 s5 10s1 około 10s2 dla dużych s2 3.16s3 2.15s4 s5 + 3.3 Rys. 1.2. Skutek dziesięciokrotnego przyspieszenia nania, można przez zastąpienie algorytmu A4 algorytmem A3 rozwiązać zadanie sześciokrotnie większe, a przez zastąpienie algorytmu A4 algorytmem A2, zada- nie 125 razy większe. Wyniki te są znacznie bardziej przekonujące niż dwukrotna poprawa osiągnięta przez dziesięciokrotny wzrost szybkości. Jeżeli za podstawę po- równania weźniemy godzinę, rożnice są jeszcze bardziej istotne. Wnioskujemy, że asymptotyczna złożoność algorytmu jest ważną miarą jakości algorytmu, miarą, która stanie się jeszcze ważniejsza w przyszłości, gdy szybkość obliczeń wzrośnie. Mimo uwagi, którą poświęcamy temu, jak rośnie rząd wielkości, powinniśmy zdawać sobie sprawę, że algorytm o gwałtownym tempie wzrostu może mieć mniejszą stałą proporcjonalności niż algorytm o niższym. W takim przypadku szybko rosnący algorytm może być lepszy dla małych zadań, a może nawet dla wszystkich zadań, które mają rozmiar, jaki nas interesuje. Przypuśćmy na przykład, że złożonościami czasowymi algorytmów A1, A2, A3, A4 i A5 są 1000n, 100n log n, 10n2, n3 i 2n. Wtedy A5 będzie najlepszy dla zadań o rozmiarze 2 (cid:2) n (cid:2) 9, A3 dla 10 (cid:2) n (cid:2) 58, A2 dla 59 (cid:2) n (cid:2) 1024, a A1 dla zadań o rozmiarze większym niż 1024. Nim w rozważaniu algorytmów i ich złożoności pójdziemy dalej, musimy opisać model maszyny liczącej, która je wykonuje i określić, co rozumiemy przez krok w obliczeniach. Niestety nie istnieje model obliczeń, który pasowałby do wszyst- kich sytuacji. Jedną z głównych trudności jest długość słów maszynowych. Jeżeli na przykład założy się, że w słowie maszynowym można umieścić liczbę całkowitą dowolnej wielkości, całe zadanie można zakodować w postaci jednej liczby całkowi- tej w jednym słowie. Jeżeli założy się, że słowo maszynowe jest skończone, trzeba rozważyć trudność zapamiętania dowolnie dużych liczb i inne problemy pomija- ne, gdy zadania mają umiarkowany rozmiar. Dla problemu musimy wybrać model, który będzie odzwierciedlać czas obliczeń w rzeczywistym komputerze. W następnych punktach tego rozdziału omówimy kilka podstawowych modeli ma- szyn liczących, przede wszystkim maszynę o dostępie swobodnym, maszynę o do- stępie swobodnym z zapamiętanym programem i maszynę Turinga. Te trzy modele są równoważne pod względem mocy obliczeniowej, lecz nie szybkości. 14 Rozdział 1. Modele obliczania Formalne modele obliczeń wzięły się głównie z pragnienia, by wydobyć na jaw istotną trudność obliczeniową różnych problemów. Chcemy podać dowody dolnych ograniczeń czasu obliczeń. Aby wykazać, że nie istnieje algorytm, który wykonuje dane zadanie w czasie krótszym niż pewien czas, potrzebujemy ścisłej i w wie- lu punktach bardzo sztywnej definicji tego, czym jest algorytm. Przykład takiej definicji stanowią maszyny Turinga (p. 1.6.). W opisach i objaśnieniach algorytmów przyda się nam zapis prostszy i bardziej jasny niż program dla maszyny o dostępie swobodnym, maszyna z zapamiętanym programem, czy maszyna Turinga. Z tego powodu wprowadzimy język wysokiego poziomu, zwany Pidgin ALGOL. W całej książce opisujemy algorytmy w tym ję- zyku. Ale żeby rozumieć złożoność obliczeniową algorytmu opisanego przez Pidgin ALGOL, musimy pokazać, jak Pidgin ALGOL zależy od modeli bardziej formal- nych. Zrobimy to w ostatnim punkcie tego rozdziału. 1.2. Maszyny o dostępie swobodnym Maszyna (RAM, od random access machine) jest modelem komputera o jednym akumulatorze i instrukcjach, którym nie wolno się modyfikować. Maszyna RAM składa się z taśmy wejściowej tylko do czytania, taśmy wyjściowej tylko do pisania, programu oraz pamięci (rys. 1.3). Taśma wejściowa jest ciągiem klatek, z których każda zawiera liczbę całkowitą (być może ujemną). Ilekroć z ta- śmy wejściowej czytany jest symbol, głowica taśmy wejściowej przesuwa się o jedną klatkę w prawo. Wyjściem jest taśma tylko do pisania, podzielona na klatki, które początkowo są puste. Gdy wykonywana jest instrukcja pisania, w klatce znajdującej się na taśmie wyjściowej pod głowicą taśmy wyjściowej drukowana jest liczba całko- wita i głowica taśmy wyjściowej przesuwana jest na prawo. Gdy symbol wyjściowy zostanie zapisany, nie można go zmienić. Pamięć składa się z ciągu rejestrów r0, r1, . . . , ri, . . . , z których każdy może prze- chowywać liczbę całkowitą dowolnej wielkości. Na liczbę rejestrów, które mogą być użyte, nie nakładamy żadnego ograniczenia górnego. Abstrakcja tego rodzaju jest poprawna, w przypadkach gdy: 1. rozmiar zadania jest na tyle mały, że mieści się ono w pamięci komputera, oraz 2. liczby całkowite, użyte do obliczeń, są na tyle małe, że mieszczą się w poje- dynczych słowach maszynowych. Program dla maszyny RAM nie jest przechowywany w pamięci. A więc zakładamy, że program ten nie modyfikuje sam siebie. Program jest jedynie ciągiem instrukcji z (nieobowiązkowymi) etykietami. Ścisłe określenie instrukcji używanych w pro- gramie nie jest zbyt ważne, dopóki są podobne do instrukcji spotykanych w rze- czywistych komputerach. Zakładamy instrukcje arytmetyczne, instrukcje wejścia- wyjścia, instrukcje adresowania pośredniego (przykładowo w indeksowaniu do ta- 1.2. Maszyny o dostępie swobodnym 15 Rys. 1.3. Maszyna o dostępie swobodnym blic) i instrukcje rozgałęzienia (branching).2 Wszelkie obliczenia wykonywane są w rejestrze r0, zwanym akumulatorem, który, jak wszystkie pozostałe rejestry pa- mięci, może pomieścić dowolną liczbę całkowitą. Przykład zbioru instrukcji dla maszyny RAM przedstawia rysunek 1.4. Każda instrukcja składa się z dwóch czę- ści — kodu operacji i adresu. W zasadzie możemy uzupełnić ten zbiór o dowolne inne, znane z rzeczywistych komputerów instrukcje, takie jak operacje logiczne czy operacje na znakach, nie zmieniając przy tym rzędu złożoności zadań. Czytelnik wedle swego uznania mo- że uważać zbiór instrukcji za uzupełniony w ten sposób. Operandum może mieć postać: 1. = i, co oznacza samą liczbę całkowitą i, 2. nieujemnej liczby całkowitej i, co oznacza zawartość rejestru i, 3. ∗i, co oznacza adresowanie pośrednie. A mianowicie, operandum jest zawar- tością rejestru j, gdzie j jest liczbą całkowitą, która znajduje się w rejestrze i. Jeżeli j 0, to maszyna ulega zatrzymaniu. 2Oprócz instrukcji warunkowych (Jump on Greater than Zero, Jump on Zero, jak czytam JGTZ i JZERO), repertuar zawiera JUMP; por. rys. 1.5 (str. 17) — przyp. tłum. 16 Rozdział 1. Modele obliczania Kod operacji 1. LOAD 2. STORE 3. ADD 4. SUB 5. MULT 6. DIV 7. READ 8. WRITE JUMP 9. JGTZ 10. 11. JZERO 12. HALT Adres operandum operandum operandum operandum operandum operandum operandum operandum etykieta etykieta etykieta Rys. 1.4. Tablica instrukcji RAM Instrukcje te powinny być dobrze znane każdemu, kto programował asembler. Może- my teraz zdefiniować sens programu P za pomocą dwóch wielkości: przekształcenia c określonego na zbiorze nieujemnych liczb całkowitych o wartościach w zbiorze liczb całkowitych i „licznika lokalizacji”, który ustala następną instrukcję do wy- konania. Funkcja c jest mapą pamięci; c(i) jest to liczba całkowita umieszczona w rejestrze i (zawartość rejestru i). Początkowo c(i) = 0 dla każdego i (cid:5) 0, licznik lokalizacji jest nastawiony na pierw- szą instrukcję P , a taśma wyjściowa jest pusta. Po wykonaniu k-tej instrukcji P licznik lokalizacji jest automatycznie nastawiany na k + 1 (tj. na następną instruk- cję), chyba że k-tą instrukcją jest JUMP, HALT, JGTZ lub JZERO. Aby określić sens instrukcji, definiujemy v(a), wartość operandum a następująco: v(= i) = i, v(i) = c(i), v(∗i) = c(c(i)). Tabela na rysuku 1.5 definiuje sens każdej instrukcji z rysunku 1.4. Instrukcje nie- zdefiniowane, takie jak STORE = i, można uważać za równoważne HALT. Podobnie zatrzymuje maszynę dzielenie przez zero. Podczas wykonywania każdej z pierwszych ośmiu instrukcji licznik lokalizacji jest zwiększany o 1. Instrukcje są wykonywane w porządku, w którym występują w pro- gramie, aż do napotkania instrukcji JUMP, HALT, JGTZ przy zawartości akumu- latora większej od zera, lub JZERO, przy zawartości akumulatora równej zero. Ogólnie program RAM definiuje przekształcenie taśm wejściowych w taśmy wyj- ściowe. Skoro nie dla wszystkich taśm wejściowych program może się zatrzymać, przekształcenie jest częściowe (czyli może być nieokreślone dla pewnych danych 1.2. Maszyny o dostępie swobodnym 17 Instrukcja 1. LOAD a 2. STORE i STORE ∗i 3. ADD a 4. SUB a 5. MULT a 6. DIV a 7. READ i READ ∗i 8. WRITE a 9. 10. JUMP b JGTZ b 11. JZERO b Sens c(0) ← v(a) c(i) ← c(0) c(c(i)) ← c(0) c(0) ← c(0) + v(a) c(0) ← c(0) − v(a) c(0) ← c(0) × v(a) c(0) ← (cid:7) c(0)/v(a)(cid:8) (3) c(i) ← bieżący symbol na wejściu. c(c(i)) ← bieżący symbol na wejściu. Głowica taśmy wejścio- wej przesuwa się o jedną klatkę w prawo w obu przypadkach. v(a) jest drukowane w klatce, która na taśmie wyjściowej jest obecnie pod głowicą. Następnie głowica taśmy wyjściowej przesuwana jest o jedną klatkę w prawo. Licznik lokalizacji jest nastawiany na instrukcję z etykietą b. Licznik lokalizacji jest nastawiany na instrukcję z etykietą b, jeżeli c(0) 0; w przeciwnym razie licznik lokalizacji jest nastawiany na następną instrukcję. Licznik lokalizacji jest nastawiany na instrukcję z etykietą b, jeżeli c(0) = 0; w przeciwnym razie licznik lokalizacji jest nastawiany na następną instrukcję. Wykonanie ustaje. 12. HALT 3W tej książce (cid:1) x(cid:2) (ceiling x ) oznacza najmniejszą liczbę całkowitą, większą lub równą x, zaś (cid:3) x (cid:4) (floor lub część całkowita x ) oznacza największą liczbę całkowitą, mniejszą lub równą x. Rys. 1.5. Sens instrukcji RAM. Operandum a jest tu = i, i, lub ∗i wejściowych). Przekształcenie to można interpretować na różne sposoby. Dwiema istotnymi interpretacjami są funkcja, bądź język. Przypuśćmy, że program P zawsze czyta n liczb całkowitych z taśmy wejściowej i pisze co najwyżej jedną liczbę całkowitą na taśmie wyjściowej. Jeżeli x1, x2, . . . , xn są liczbami całkowitymi w pierwszych n klatkach taśmy wejściowej a P zapisuje y w pierwszej klatce taśmy wyjściowej i zatrzymuje się, to mówimy, że P oblicza funk- cję f(x1, x2, . . . , xn) = y. Łatwo udowodnić, że RAM, jak każdy inny realistyczny model komputera, oblicza jedynie funkcje częściowo rekurencyjne. Otóż dla każdej częściowo rekurencyjnej funkcji f możemy zdefiniować program RAM, który obli- cza f, i dla każdego programu RAM, równoważną funkcję częściowo rekurencyjną (patrz Davis [ 1958 ] lub Rogers [ 1967 ] odnośnie funkcji rekurencyjnych). Program RAM można interpretować także jako akceptor języka. Alfabetem jest skończony zbiór symboli, a językiem zbiór napisów nad pewnym alfabetem. Sym- bole alfabetu mogą być reprezentowane przez liczby całkowite 1, 2, . . . , k dla pewne- go k. Maszyna RAM może akceptować język w następujący sposób. Umieszczamy 18 Rozdział 1. Modele obliczania begin read r1; if r1 (cid:2) 0 then write 0 else begin r2 ← r1; r3 ← r1 − 1; while r3 0 do begin r2 ← r2 ∗ r1; r3 ← r3 − 1 end; write r2 end end Rys. 1.6. Program dla nn w Pidgin ALGOLu napis wejściowy s = a1a2 ··· an na taśmie wejściowej: symbol a1 w pierwszej klat- ce, symbol a2 w drugiej, itd. Symbol 0, którego użyjemy jako znacznika końca, umieszczamy w klatce (n + 1), by oznaczyć koniec napisu wejściowego. Napis wejściowy s jest akceptowany przez program P maszyny RAM, jeżeli P czyta cały napis s i znacznik końca, pisze 1 w pierwszej klatce taśmy wyjściowej i zatrzy- muje się. Język akceptowany przez P jest zbiorem akceptowanych napisów wejścio- wych. Dla napisów wejściowych, które nie należą do języka akceptowanego przez P , P może drukować na taśmie wyjściowej symbol inny niż 1 i zatrzymywać się albo nawet nie zatrzymywać się. Łatwo udowodnić, że język jest akceptowany przez program RAM wtedy i tylko wtedy, gdy jest rekurencyjnie przeliczalny. Język jest akceptowany przez zatrzymującą się dla wszystkich danych maszynę RAM wtedy i tylko wtedy, gdy jest językiem rekurencyjnym (odnośnie języków rekurencyjnych i rekurencyjnie przeliczalnych, patrz Hopcroft i Ullman [ 1969 ]). Rozważmy dwa przykłady programów RAM. Pierwszy definiuje funkcję, drugi ak- ceptuje język. Przykład 1.1. Rozważmy funkcję f(n) daną wzorem: nn, gdy liczba całkowita n (cid:5) 1, w przeciwnym razie. f(n) = 0 Napisany w języku Pidgin ALGOL program, który oblicza f(n) mnożąc n samo przez siebie (n − 1) razy, podaje rys. 1.6.4 Odpowiedni program RAM to rys. 1.7. Zmienne r1, r2 i r3 leżą w rejestrach 1, 2 i 3. Nie robimy pewnych oczywistych (cid:1) usprawnień, więc odpowiedniość między rysunkami 1.6 i 1.7 będzie jasna. 4Patrz punkt 1.8. w sprawie opisu języka Pidgin ALGOL. 1.2. Maszyny o dostępie swobodnym 19 pos: while: continue: Program RAM 1 READ 1 LOAD JGTZ pos WRITE =0 endif JUMP LOAD 1 STORE 2 1 LOAD SUB =1 STORE 3 3 LOAD continue JGTZ JUMP endwhile 2 LOAD MULT 1 STORE 2 LOAD 3 SUB =1 STORE 3 JUMP while       endwhile: WRITE 2 endif: HALT Odpowiednie instrukcje Pidgin ALGOLu read r1 if r1 (cid:2) 0 then write 0 r2 ← r1 r3 ← r1 − 1 while r3 0 do r2 ← r2 ∗ r1 r3 ← r3 − 1 write r2 Rys. 1.7. Program RAM dla nn begin d ← 0; read x; while x (cid:10)= 0 do begin if x (cid:10)= 1 then d ← d − 1 else d ← d + 1; read x end; if d = 0 then write 1 end Rys. 1.8. Rozpoznawanie napisów z równą liczbą jedynek i dwójek Przykład 1.2. Rozważmy program RAM, który akceptuje złożony ze wszystkich napisów o tej samej liczbie jedynek i dwójek język nad alfabetem wejściowym {1, 2}. Program ten wczytuje każdy symbol wejściowy do rejestru 1, a w rejestrze 2 utrzy- 20 Rozdział 1. Modele obliczania Program RAM =0 while: LOAD STORE 2 1 READ LOAD 1 JZERO endwhile 1 LOAD SUB =1 JZERO one LOAD SUB STORE 2 JUMP LOAD ADD STORE 2 1 READ JUMP while 2 endwhile: LOAD endif 2 =1 2 =1 one: endif: output: JZERO output HALT WRITE =1 HALT       Odpowiednie instrukcje Pidgin ALGOLu d ← 0 read x while x (cid:10)= 0 do if x (cid:10)= 1 then d ← d − 1 else d ← d + 1 read x if d = 0 then write 1 Rys. 1.9. Program RAM odpowiadający algorytmowi z rysunku 1.8 muje różnicę d pomiędzy liczbą jedynek i dwójek widzianych dotychczas. Po na- potkaniu znacznika końca 0 sprawdza, czy różnica d jest równa zero i jeżeli tak jest, drukuje 1 i zatrzymuje się. Zakładamy, że 0, 1 i 2 są wszystkimi możliwymi symbolami wejściowymi. Program z rysunku 1.8 zawiera istotne szczegóły tego algorytmu. Równoważny (cid:1) program RAM podaje rys. 1.9; x leży w rejestrze 1, a d w rejestrze 2. 1.3. Złożoność obliczeniowa programów RAM Dwie ważne miary algorytmu to jego złożoność czasowa i pamięciowa w funkcji roz- miaru danych. Jeżeli za złożoność, dla pewnego rozmiaru danch, wziąć złożoność maksymalną dla wszystkich danych tego rozmiaru, to złożoność tę nazywa się zło- żonością najgorszego przypadku. Jeżeli za złożoność wziąć „średnią” złożoność dla wszystkich danych pewnego rozmiaru, tę złożoność nazywana się złożonością ocze- kiwaną. Złożoność oczekiwana algorytmu jest zwykle trudniejsza do oszacowania 1.3. Złożoność obliczeniowa programów RAM 21 niż złożoność najgorszego przypadku. Konieczne jest jakieś założenie o rozkładzie danych, a założenia zgodne z rzeczywistością na ogół nie są łatwe (tractable) ma- tematycznie. Położymy nacisk na złożoność najgorszego przypadku, ponieważ jest łatwiejsza do potraktowania i ma uniwersalne zastosowanie. Jednakże należy pa- miętać, że algorytm o najlepszej złożoności najgorszego przypadku niekoniecznie musi mieć najlepszą złożoność oczekiwaną. Złożoność czasowa najgorszego przypadku (bądź po prostu złożoność czasowa) pro- gramu RAM jest funkcją f(n), która dla wszystkich danych rozmiaru n jest maksi- mum sumy opisującej „czas” zużywany przez każdą wykonywaną instrukcję. Ocze- kiwana złożoność czasowa jest średnią dla wszystkich danych rozmiaru n tej samej sumy. Odnośnie pamięci definiujemy podobne terminy, gdy za „«czas» zużywa- ny przez każdą wykonywaną instrukcję” podstawiamy „«pamięć» zużywaną przez każdy wykorzystywany rejestr”. Aby ściśle określić złożoność czasową i pamięciową, musimy określić czas wymagany dla wykonania każdej instrukcji RAM i pamięć zajmowaną przez każdy rejestr. Rozważymy dwa takie kryteria kosztu dla programów RAM. Według kryterium kosztu zuniformizowanego każda instrukcja RAM wymaga jednej jednostki czasu, a każdy rejestr, jednej jednostki pamięci. O ile nie zaznaczymy inaczej, złożoność programu RAM będzie mierzona według kryterium kosztu zuniformizowanego. Druga definicja, niejednokroć bardziej realistyczna, uwzględnia skończoną długość rzeczywistego słowa pamięciowego i nazywana jest kryterium kosztu logarytmicz- nego. Niech l(i) będzie następującą funkcją logarytmiczną dla liczb całkowitych: (cid:7) log | i|(cid:8) + 1, 1, i (cid:10)= 0 i = 0 l(i) = Tabela na rysunku 1.10 przedstawia koszt logarytmiczny t(a) dla trzech możli- wych postaci operandum a. Rysunek 1.11 przedstawia czas wymagany przez każdą z instrukcji. W tym koszcie uwzględniony jest fakt, że reprezentacja liczby całkowitej n w reje- strze wymaga (cid:7) log n(cid:8) + 1 bitów. Rejestry, jak pamiętamy, mogą zawierać dowolnie duże liczby całkowite. Kryterium kosztu logarytmicznego opiera się na grubym założeniu, że koszt wyko- nania instrukcji jest proporcjonalny do długości operandów tych instrukcji. Roz- ważmy na przykład koszt instrukcji ADD ∗i. Po pierwsze musimy ustalić koszt Operandum a Koszt t(a) = i i ∗i l(i) l(i) + l(c(i)) l(i) + l(c(i)) + l(c(c(i))) Rys. 1.10. Logarytmiczny koszt operandum 22 Rozdział 1. Modele obliczania Instrukcja 1. LOAD a 2. STORE i STORE ∗i 3. ADD a 4. SUB a 5. MULT a 6. DIV a 7. READ i READ ∗i 8. WRITE a 9. 10. 11. 12. HALT JUMP b JGTZ b JZERO b Koszt t(a) l(c(0)) + l(i) l(c(0)) + l(i) + l(c(i)) l(c(0)) + t(a) l(c(0)) + t(a) l(c(0)) + t(a) l(c(0)) + t(a) l(input) + l(i) l(input) + l(i) + l(c(i)) t(a) 1 l(c(0)) l(c(0)) 1 Rys. 1.11. Logarytmiczny koszt instrukcji RAM, gdzie t(a) jest kosztem operandum a, zaś b ozna- cza etykietę dekodowania operandum reprezentowanego przez adres. Aby rozpoznać liczbę cał- kowitą i, trzeba czasu l(i). Następnie, aby odczytać c(i), zawartość rejestru i, oraz odszukać rejestr c(i) potrzeba czasu l(c(i)). Wreszcie, czytanie zawartości rejestru c(i) kosztuje l(c(c(i))). Skoro instrukcja ADD ∗i dodaje liczbę całkowitą c(c(i)) do c(0), liczby całkowitej w akumulatorze, widzimy, że realistycznym kosztem, jaki należy przypisać instrukcji ADD ∗i, jest l(c(0)) + l(i) + l(c(i)) + l(c(c(i))). Logarytmiczną złożoność pamięciową programu RAM definiujemy jako sumę l(xi) po wszystkich rejestrach z akumulatorem włącznie, gdzie xi jest liczbą całkowitą o największej wielkości, umieszczoną w rejestrze i w dowolnej chwili obliczeń. Jest rzeczą jasną, że dany program może mieć całkowicie różne złożoności czaso- we zależnie od tego, czy użyje się kosztu zuniformizowanego, czy logarytmicznego. Jeżeli założenie, że każdą liczbę napotkaną w czasie obliczeń można umieścić w jed- nym słowie maszynowym, jest realistyczne, to właściwa jest funkcja kosztu zuni- formizowanego. W przeciwnym razie dla realistycznej analizy złożoności bardziej właściwy może być koszt logarytmiczny. Obliczmy złożoność czasową i pamięciową programu RAM, który wylicza wartości nn w przykładzie 1.1. Złożoność czasowa tego programu jest zdominowana przez pętlę z instrukcją MULT. Za i-tym razem, gdy wykonywana jest istrukcja MULT, akumulator zawiera ni, a rejestr 2 zawiera n. Wszystkich wykonywanych instrukcji MULT jest n − 1. Zgodnie z kryterium kosztu zuniformizowanego każda z instruk- cji MULT kosztuje jedną jednostkę czasu, stąd na wykonanie wszystkich instrukcji MULT zużywany jest czas O(n). Zgodnie z kryterium kosztu logarytmicznego kosz- 1.4. Model z zapamiętanym programem 23 tem wykonania i-tej instrukcji MULT jest l(ni) + l(n) (cid:14) (i + 1) log n i wobec tego kosztem wszystkich instrukcji MULT jest: n−1(cid:8) (i + 1) log n, i=1 który jest O(n2 log n). Złożoność pamięciową dyktują liczby całkowite, umieszczone w rejestrach od 0 do 3. Zgodnie z kosztem zuniformizowanym złożoność pamięciowa jest po prostu O(1). Zgodnie z kosztem logarytmicznym złożoność pamięciowa jest O(n log n), gdyż największą liczbą całkowitą umieszczoną w dowolnym z rejestrów jest nn, a l(nn) (cid:14) n log n. Wobec tego dla programu z przykładu 1.1 mamy następujące złożoności: Koszt zuniformizowany Złożoność czasowa Złożoność pamięciowa O(n) O(1) Koszt logarytmiczny O(n2 log n) O(n log n) Koszt zuniformizowany jest dla tego programu realistyczny tylko wtedy, gdy poje- dyncze słowo maszynowe może pomieścić liczbę całkowitą tak dużą, jak nn. Jeżeli liczba nn jest większa od tego, co można pomieścić w jednym słowie maszynowym, to nawet logarytmiczna złożoność czasowa jest nieco nierealistyczna, gdyż zakła- da, że dwie liczby całkowite, i oraz j, mogą być pomnożone przez siebie w czasie O(l(i)) + l(j)), a nie wiadomo dotychczas, czy tak jest. Dla programu RAM z przykładu 1.2, przy założeniu, że n jest długością napisu wejściowego, złożoności czasowe i pamięciowe są następujące: Koszt Koszt zuniformizowany logarytmiczny Złożoność czasowa Złożoność pamięciowa O(n) O(1) O(n log n) O(log n) Jeżeli n jest większe od tego, co można pomieścić w jednym słowie maszynowym, to koszt logarytmiczny dla tego programu jest dość realistyczny. 1.4. Model z zapamiętanym programem Ponieważ program RAM nie jest przechowywany w pamięci maszyny, nie może modyfikować sam siebie. Teraz rozważymy inny model komputera, tzw. maszynę o dostępie swobodnym z zapamiętanym programem (RASP, od random access stored program), która jest podobna do maszyny RAM z tym, że program jest w pamięci i może modyfikować sam siebie. 24 Rozdział 1. Modele obliczania Instrukcja Kodowanie Instrukcja Kodowanie LOAD LOAD STORE ADD ADD SUB SUB MULT MULT i = i i i = i i = i i = i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 DIV i = i DIV READ i WRITE i WRITE = i JUMP i JGTZ i JZERO i HALT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Rys. 1.12. Kody dla instrukcji RASP Zbiór instrukcji RASP jest identyczny ze zbiorem instrukcji RAM prócz tego, że adresowanie pośrednie nie jest dozwolone, gdyż nie jest potrzebne. Jak zobaczymy, RASP może symulować adresowanie pośrednie przez modyfikacje instrukcji w czasie wykonania programu. Ogólna struktura maszyny RASP jest także podobna do struktury RAM, ale za- kłada się, że program RASP leży w rejestrach pamięci. Każda instrukcja RASP zajmuje dwa kolejne rejestry. Pierwszy z nich zawiera kod operacji; drugi — ad- res. Jeżeli adres jest w postaci = i, to pierwszy rejestr będzie kodować także fakt, że operandum jest literałem, a drugi rejestr będzie zawierać i. Do kodowania in- strukcji służą liczby całkowite. Rysunek 1.12 pokazuje jeden z możliwych sposobów kodowania. Na przykład instrukcja LOAD=32 zostanie zapamiętana za pomocą 2 w jednym rejestrze i 32 w następnym. Podobnie jak w przypadku RAM, stan RASP może być reprezentowany przez: 1. mapę pamięci c, gdzie c(i) dla i (cid:5) 0 jest zawartością rejestru i, oraz 2. licznik lokalizacji, wskazujący na pierwszy z dwóch kolejnych rejestrów pa- mięci, z których ma być pobrana bieżąca instrukcja. Licznik lokalizacji jest nastawiony początkowo na pewien zadany rejestr. Począt- kowa zawartość rejestrów pamięci to z reguły nie wszędzie 0, gdyż na początku do pamięci pobierany jest program. Na początku jednak wszystkie prócz skończonej liczby rejestrów pamięci i akumulator muszą zawierać 0 Po wykonaniu każdej in- strukcji licznik lokalizacji jest zwiększany o 2, z wyjątkiem przypadków JUMP i, JGTZ i (gdy akumulator jest dodatni), lub JZERO i (gdy akumulator zawiera 0), w których licznik lokalizacji jest nastawiany na i. Skutek każdej z instrukcji jest taki sam jak odpowiedniej instrukcji RAM. Złożoność czasową programu RASP można zdefiniować bardzo podobnie, jak złożo- ność czasową programu RAM. Możemy użyć bądź kryterium kosztu zuniformizowa- nego, bądź logarytmicznego. Kosztem w tym ostatnim przypadku musimy jednak obciążyć nie tylko operandum, lecz także dostęp do samej instrukcji. Kosztem tego 1.4. Model z zapamiętanym programem 25 dostępu jest l(LC), gdzie LC oznacza zawartość licznika lokalizacji. Na przykład kosztem wykonania instrukcji ADD = i, umieszczonej w rejestrach j oraz j + 1, jest l(j) + l(c(0)) + l(i)5. Kosztem instrukcji ADD i, umieszczonej w rejestrach j oraz j + 1, jest l(j) + l(c(0)) + l(i) + l(c(i)). Ciekawe jest pytanie, co różni złożoność programu RAM i odpowiedniego programu RASP. Odpowiedź nie jest zaskakująca. Dowolne przekształcenie wejścia na wyjście, które może być wykonane w czasie T (n) przez jeden model, może być wykonane przez drugi w czasie kT (n) dla pewnej stałej k, bez względu na to, czy weźmie się koszt zuniformizowany, czy logarytmiczny. Podobnie pamięć wykorzystywana przez te modele różni się tylko o stały czynnik przy obu miarach kosztu. Dwa twierdzenia wyrażają te zależności w sposób formalny. Obydwu dowodzi się, pokazując algorytmy, na mocy których RAM może symulować RASP i odwrotnie. Twierdzenie 1.1. Jeżeli koszt instrukcji jest zuniformizowany lub logaryt- miczny, to istnieje taka stała k, że dla każdego programu RAM o złożono- ści czasowej T (n) istnieje równoważny program RASP o złożoności czasowej kT (n). Dowód. Pokazujemy, jak symulować program RAM P przez program RASP. Re- jestr 1 RASP będzie służyć do tymczasowego przechowywania zawartości akumu- latora RAM. Z programu P skonstruujemy program RASP PS, który będzie zaj- mować następne r− 1 rejestrów RASP. Stała r jest zdeterminowana przez program RAM P . Zawartość rejestru i RAM, i (cid:5) 1, będzie przechowywana w rejestrze r + i RASP, więc w programie RASP wszystkie odniesienia do pamięci mają adresy o r większe od odpowiednich odniesień w programie RAM. Każda instrukcja RAM w P , niewymagająca adresowania pośredniego, jest kodowa- na bezpośrednio w postaci identycznej instrukcji RASP (z odpowiednio zwiększo- nymi adresami odniesień do pamięci). Każda instrukcja RAM w P , wymagajająca adresowania pośredniego, jest przekształcana w sekwencję sześciu instrukcji RASP, która symuluje adresowanie pośrednie przez modyfikację instrukcji. Aby objaśnić symulację adresowania pośredniego powinien wystarczyć przykład. By symulować instrukcję RAM SUB ∗i, gdzie i jest liczbą całkowitą dodatnią, tworzymy sekwencję instrukcji RASP, która: 1. umieszcza tymczasowo zawartość akumulatora w rejestrze 1, 2. pobiera zawartość rejestru r+i do akumulatora (rejestr r+i RASP odpowiada rejestrowi i RAM), 3. dodaje r do akumulatora, 4. umieszcza liczbę obliczoną w kroku 3. w polu adresu instrukcji SUB, 5. przywraca zawartość akumulatora z tymczasowego rejestru 1, i wreszcie 6. używa instrukcji SUB stworzonej w kroku 4., by wykonać odejmowanie. 5Można by doliczyć koszt czytania rejestru j + 1, ale ten koszt nie może różnić się bardzo od l(j). W tym rozdziale mamy na uwadze nie czynniki stałe, lecz raczej szybkość wzrostu funkcji. Zatem l(j) + l(j + 1) jest „w przybliżeniu” l(j) z dokładnością co najwyżej do czynnika 3. 26 Rozdział 1. Modele obliczania Rejestr 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 Zawartość       3 1 1 r + i 5 r 3 111 1 1 6 − Sens STORE 1 LOAD r + i ADD = r STORE 111 LOAD SUB 1 b gdzie b jest zawartością rejestru i RAM Rys. 1.13. Symulacja SUB ∗i przez RASP Rejestr RASP Instrukcja j j + 2 j + 4 j + 6 j + 8 j + 10 1 STORE r + 1 LOAD ADD = r STORE j + 11 LOAD 1 − SUB Koszt l(j) + l(1) + l(c(0)) l(j + 2) + l(r + i) + l(c(i)) l(j + 4) + l(c(i)) + l(r) l(j + 6) + l(j + 11) + l(c(i) + r) l(j + 8) + l(1) + l(c(0)) l(j + 10) + l(c(i) + r) + l(c(0)) +l(c(c(i))) Rys. 1.14. Koszt instrukcji RASP Na przykład, stosując kodowanie instrukcji RASP podane na rysunku 1.12, i za- kładając, że sekwencja instrukcji RASP zaczyna się w rejestrze 100, możemy sy- mulować SUB ∗i za pomocą sekwencji pokazanej na rysunku 1.13. Przesunięcie r można określić, gdy znana jest liczba instrukcji w programie RASP PS. Stwierdzamy, że każda instrukcja RAM wymaga co najwyżej sześciu instrukcji RASP, zatem według kryterium kosztu zuniformizowanego złożonością czasową programu RASP jest co najwyżej 6T (n). (Zauważmy, że miara ta jest niezależ- na od sposobu, w jaki określa się „wielkość” danych.) Według kryterium kosztu logarytmicznego stwierdzamy, że każda instrukcja RAM I należąca do P jest symulowana przez sekwencję S jednej lub sześciu instrukcji RASP w PS. Możemy pokazać, iż istnieje taka stała k zależna od P , że koszt instrukcji należących do S jest nie większy niż k razy koszt instrukcji I. Na przykład instrukcja RAM SUB ∗i ma koszt: M = l(c(0)) + l(i) + l(c(i)) + l(c(c(i))). 1.4. Model z zapamiętanym programem 27 Sekwencja S, która symuluje tę instrukcję RAM, jest pokazana na rysunku 1.14. c(0), c(i), oraz c(c(i)) na rysunku 1.14 odnoszą się do zawartości rejestrów RAM. Ponieważ PS zajmuje rejestry RASP od 2 do r, mamy j (cid:2) r−11. Ponadto l(x+y) (cid:2) l(x) + l(y), więc koszt S jest na pewno mniejszy niż: 2l(1) + 4M + 11l(r) (6 + 11l(r))M. Wobec tego wnioskujemy, że istnieje stała k = 6 + 11l(r) taka, że jeżeli P ma (cid:1) złożoność czasową T (n), to PS ma złożoność czasową co najwyżej kT (n). Twierdzenie 1.2. Jeżeli koszt instrukcji jest zuniformizowany lub logaryt- miczny, to istnieje taka stała k, że dla każdego programu RASP o złożoności czasowej T (n) istnieje równoważny program RAM o złożoności czasowej co najwyżej kT (n). Dowód. Program RAM, który skonstruujemy, by symulować RASP, będzie używać adresowania pośredniego, żeby dekodować i symulować instrukcje RASP umiesz- czone w pamięci RAM. Pewne rejestry RAM będą mieć specjalne przeznaczenie: rejestr 1 — używany w adresowaniu pośrednim, rejestr 2 — licznik lokalizacji RASP, rejestr 3 — pamięć do przechowywania akumulatora RASP. Rejestr i RASP będzie umieszczony w rejestrze i + 3 RAM dla i (cid:5) 1. RAM rozpoczyna pracę z programem RASP o skończonej długości, który jest umieszczony w pamięci, poczynając od rejestru 4. Rejestr 2 — licznik lokaliza- cji, zawiera 4; rejestry 1 i 3 zawierają 0. Program RAM tworzy pętla symulacji, która zaczyna się od przeczytania (za pomocą instrukcji RAM LOAD ∗2) instruk- cji RASP, dekodowania tej instrukcji i rozgałęzienia do jednego z 18 zestawów instrukcji, z których każdy służy do obsługi jednego typu instrukcji RASP. W razie niepoprawnego kodu operacji, RAM, jak i RASP zatrzymają się. Operacje dekodowania i rozgałęzienia są jasne; jako model może służyć przykład 1.2 (chociaż tam dekodowany symbol był czytany z wejścia, a tu jest czytany z pa- mięci). Podamy przykład instrukcji RAM, które symulują instrukcję 6 RASP, tj. SUB i. Program ten, pokazany na rysunku 1.15, ulega wywołaniu, gdy c(c(2)) = 6, a więc gdy licznik lokalizacji wskazuje na rejestr, który zawiera 6, czyli kod SUB. Pomijamy dalsze szczegóły budowy programu RAM. Jako ćwiczenie pozostawiamy dowód faktu, że według kryterium kosztu zuniformizowanego lub logarytmicznego, złożoność czasowa programu RAM jest co najwyżej pewną stałą w iloczynie ze (cid:1) złożonością czasową RASP. Z twierdzeń 1.1 i 1.2 wynika, że gdy chodzi o złożoność czasową (a także pa- mięciową, co pozostawiamy jako ćwiczenie) modele RAM i RASP są równoważne z dokładnością do czynnika stałego, tj. rząd ich złożoności jest ten sam dla tego samego algorytmu. Spośród tych dwóch modeli na ogół wykorzystujemy w książce model RAM, gdyż jest on nieco prostszy. 28 LOAD ADD STORE LOAD ADD STORE LOAD SUB STORE LOAD ADD STORE JUMP     2 =1 2 ∗2 =3 1 3 ∗1 3 2 =1 2 a Rozdział 1. Modele obliczania Zwiększ licznik lokalizacji o 1, tak aby wskazywał na rejestr, który zawiera operandum i instrukcji SUB i. Pobierz i do akumulatora, dodaj 3, wynik umieść w rejestrze 1. Pobierz zawartość akumulatora RASP z rejestru 3. Odejmij zawartość rejestru i+3, wynik umieść z powrotem w rejestrze 3. Zwiększ licznik lokalizacji znów o 1, tak by wskazywał teraz na następną instrukcję RASP. Powróć na początek pętli symulacji (nazwany tutaj „a”). Rys. 1.15. Symulacja SUB i przez RAM 1.5. Abstrakcje RAM W wielu sytuacjach nie są potrzebne tak skomplikowane modele obliczeń jak RAM i RASP. Wobec tego liczne modele definiuje się przez abstrakcję pewnych własności RAM, zaniedbując inne. Uzasadnieniem dla takich modeli jest fakt, że zaniedby- wane instrukcje stanowią co najwyżej stały ułamek kosztu każdego efektywnego algorytu, rozwiązującego problemy, do których model jest stosowany. i. Program liniowy Pierwszym rozważanym przez nas modelem jest liniowy program (stright-line pro- gram). W wielu problemach wystarczy skupić uwagę na klasie programów RAM, gdzie instrukcje rozgałęzienia są używame tylko do powtarzania jakiejś sekwencji instrukcji pewną ilość razy, proporcjonalną do n — rozmiaru danych. W tym przy- padku dla każdego rozmiaru n można program „rozwinąć”, powielając odpowiednią ilość razy instrukcje, które mają być powtarzane. Daje to sekwencję liniowych (wol- nych od pętli) i zapewne coraz dłuższych programów, po jednym dla każdego n. Przykład 1.3. Rozważmy mnożenie dwóch macierzy wymiaru n× n o elementach ze zbioru liczb całkowitych. Zwykle można oczekiwać nie bez racji, że liczba powtó- rzeń pętli w programie RAM będzie niezależna od wielkosci elementów macierzy. Warto więc założyć dla uproszczenia, że dozwolone są tylko pętle z instrukcjami testu, w których wchodzi w grę wyłącznie n, rozmiar zadania. Oczywisty algorytm mnożenia macierzy zawiera pętle, które muszą być na przykład wykonane dokład- nie n razy, gdyż wymaga instrukcji rozgałęzienia, które porównują indeks z n. (cid:1) Dzięki rozwinięciu programu do postaci liniowej obywamy się bez instrukcji roz- gałęzienia. Uzasadnienie czerpiemy stąd, że w wielu zadaniach nie więcej niż stały 1.5. Abstrakcje RAM 29 ułamek kosztu programu RAM jest przeznaczony na instrukcje rozgałęzienia, ste- rujące pętlami. Podobnie często możemy założyć, że instrukcje wejścia tworzą tylko stały ułamek kosztu programu i wykluczyć je, zakładając, że skończony zbiór wejść, wymagany przy pewnym n, znajduje się w pamięci, gdy program rozpoczyna pracę. Skutki adresowania pośredniego można oszacować przy ustalonym n, o ile rejestry, służące do adresowania pośredniego, zawierają wartości zależne tylko od n, a nie od wartości zmiennych wejściowych. Wobec tego zakładamy, że nasze programy liniowe są pozbawione adresowania pośredniego. Ponadto skoro każdy z programów liniowych może zawierać odniesienia tylko do skończonej liczby rejestrów pamięci, wygodnie jest nazwać rejestry wykorzystywane przez program. Rejestry podlegają wobec tego raczej odnosieniom przez adresy symboliczne (symbole lub napisy złożone z liter), niż przez liczby całkowite. Z repertuaru RAM po usunięciu wymagań co do READ, JUMP, JGTZ i JZE- RO pozostają nam LOAD, STORE, WRITE, HALT i operacje arytmetyczne. Nie potrzebujemy HALT, gdyż koniec programu musi oznaczać zatrzymanie. Możemy obyć się bez WRITE, wyróżniając pewne adresy symboliczne jako zmienne wyjścio- we; informacją wyjścia programu są wartości tych zmiennych w chwili zakończenia. Możemy wreszcie włączyć LOAD i STORE do operacji arytmetycznych, zastępując sekwencje, takie jak: przez c ← a+b. Cały repertuar instrukcji programu liniowego jest więc następujący: LOAD a ADD b STORE c x ← y + z x ← y − z z ← y ∗ z z ← y/z x ← i gdzie x, y i z są adresami symbolicznymi (czyli zmiennymi), a i jest stałą. Łatwo zauważyć, że dowolna sekwencja LOAD, STORE i operacji arytmetycznych na akumulatorze może być zastąpiona pewną sekwencją pięciu powyższych instrukcji. Programowi liniowemu są przyporządkowane dwa wyróżnione zbiory zmiennych: jego wejścia i wyjścia. Funkcja obliczana przez program liniowy jest zbiorem warto- ści zmiennych wyjściowych (w zadanym porządku), wyrażanych względem wartości zmiennych wejściowych. Przykład 1.4. Rozważmy obliczanie wielomianu: p(x) = anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 Zmiennymi wejściowymi są współczynniki a0, a1, . . . , an i symbol x. Zmienną wyj- ściową jest p. Według reguły Hornera p(x) obliczamy jako: 30 Rozdział 1. Modele obliczania n = 1 t ← a1 ∗ x p ← t + a0 n = 2 t ← a2 ∗ x t ← t + a1 t ← t ∗ x p ← t + a0 n = 3 t ← a3 ∗ x t ← t + a2 t ← t ∗ x t ← t + a1 t ← t ∗ x p ← t + a0 Rys. 1.16. Programy liniowe, odpowiadające regule Hornera 1. a1x + a0 2. (a2x + a1)x + a0 3. ((a3x + a2)x + a1)x + a0 dla dla dla n = 1, n = 2, n = 3. Wyrażeniom tym odpowiadają programy liniowe z rysunku. 1.16. Reguła Hornera dla dowolnego n powinna być jasna. Dla każdego n mamy program liniowy o 2n krokach, który oblicza wielomian n-tego stopnia. W rozdziale 12. pokażemy, że aby obliczyć wartość wielomianu n-tego stopnia, gdy współczynniki są dane jako wejście, konieczne jest n mnożeń i n dodawań. Reguła Hornera jest optymalna (cid:1) według modelu programu liniowego. Według modelu programu liniowego obliczeń złożonością czasową ciągu programów jest liczba kroków n-tego programu jako funkcja n. Reguła Hornera na przykład daje ciąg o złożoności czasowej 2n. Zauważmy, że mierzenie złożoności czasowej to tyle, co mierzenie liczby operacji arytmetycznych. Złożonością pamięciową ciągu programów jest liczba wymienionych zmiennych także jako funkcja n. Programy z przykładu 1.4 mają złożoność pamięciową n + 4. Definicja. Gdy chodzi o model programu liniowego, mówimy, że problem ma złożoność czasową lub pamięciową OA(f(n)), jeżeli istnieje ciąg progra- mów, którego złożoność czasowa lub pamięciowa sięga co najwyżej cf(n) dla pewnej stałej c. (Zapis OA(f(n)) oznacza „rząd f(n) kroków, gdy modelem jest programu liniowy”. Wskaźnik A oznacza „arytmetyczny”, co jest główną cechą kodu liniowego.) Obliczanie wartości wielomianu ma złożoność czasową OA(n), jak i pamięciową OA(n). ii. Obliczenia na bitach Model programu liniowego opiera się oczywiście na funkcji kosztu zuniformizowane- go. Jak wspomnieliśmy, koszt ten jest właściwy, gdy wszystkie obliczane wielkości są „rozsądne”. Istnieje prosta modyfikacja modelu programu liniowego, która jest odbiciem funkcji kosztu logarytmicznego. Model ten, nazywamy przez nas oblicza- niami na bitach, jest zasadniczo taki sam jak kod liniowy za wyjątkiem tego, że: 1. zakładamy, że wszystkie zmienne mają wartość 0 lub 1, tj. są bitami. 1.5. Abstrakcje RAM 31 Rys. 1.17. (a)Program dodawania na bitach, (b) równoważny układ logiczny 2. używamy operacji logicznych, a nie arytmetycznych.6 Piszemy ∧ dla i, ∨ dla lub, ⊕ dla rozłącznego lub i ¬ dla nie. Zgodnie z modelem bitowym operacje arytmetyczne na liczbach całkowitych i i j wymagają przynajmniej l(i)+l(j) kroków, co jest odbiciem logarytmicznego kosztu operandów. Faktycznie, mnożenie i dzielenie według najlepszych znanych algoryt- mów wymaga wiecej niż l(i) + l(j) kroków, by pomnożyć lub podzielić i przez j. Na oznaczenie rzędu wielkości w modelu obliczeń na bitach stosujemy OB. Model bitowy przydaje się, gdy chcemy mówić o podstawowych operacjach, jak opera- cje arytmetyczne, które są pierwotne w innych modelach. Na przykład w modelu programu liniowego mnożenie dwóch n-bitowych liczb całkowitych jest do wyko- nania w OA(1) kroku, natomiast w modelu bitowym najlepszy znany wynik to OB(n log n log log n) kroków. 6Stąd zbiór instrukcji RAM musi zawierać te operacje. 32 Rozdział 1. Modele obliczania Innym zastosowaniem modelu bitowego są układy logiczne. Programy liniowe z bi- towymi wejściami i operacjami odpowiadają wzajemnie jednoznacznie logiczno- kombinatorycznym układom do obliczania układów funkcji boolowskich. Liczba kroków programu jest liczbą elemetów logicznych układu. Przykład 1.5. Rysunek 1.17(a) przedstawia program dodawania dwóch dwubito- wych liczb [ a1a0 ] i [ b1b0 ]. Zmiennymi wyjściowymi są c2, c1 i c0, takie że [ a1a0 ] + [ b1b0 ] = [ c2c1c0 ]. Program liniowy z rysunku 1.17(a) oblicza: c0 = a0 ⊕ b0, c1 = ((a0 ∧ b0) ⊕ a1) ⊕ b1, c2 = ((a0 ∧ b0) ∧ (a1 ∨ b1)) ∨ (a1 ∧ b1). Rys. 1.17(b) przedstawia odpowiedni układ logiczny. Dowód, że dodawanie dwu n-bitowych liczb można wykonać w OB(n) krokach zostawiamy jako ćwiczenie. (cid:1) iii. Operacje na wektorach bitowych Zamiast ograniczać wartość zmienej do 0 lub 1, można pójść w przeciwnym kie- runku i pozwolić, by zmienne przybierały jako wartość dowolny wektor bitów. Fak- tycznie, wektory bitów o danej długości odpowiadają w oczywisty sposób liczbom całkowitym, więc nie wykraczamy istotnie poza model RAM, tj. w razie potrzeby wciąż zakładamy nieograniczoną wielkość rejestrów. Jednakże, jak zobaczymy w tych kilku algorytmach, w których stosowany jest mo- del z wektorami bitów, długość używanych wektorów znacznie przewyższa liczbę bitów potrzebnych do przedstawienia wielkości zadania. Wielkość liczb całkowitych używanych w algorytmie będzie na ogół tego samego rzędu co wielkość zadania. Na przykład, rozwiązując problemy dróg w grafie o 100 wierzchołkach, można by za- stosować wektory bitów o długości 100 do wskazywania, czy istnieje droga z danego wierzchołka v do każdego z wierzchołków grafu; tzn. w wektorze dla wierzchołka v na i-tej pozycji jest 1 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje droga z v do vi. W przy- padku tego samego problemu można używać także liczb całkowitych (przykładowo do liczenia i indeksowania) i będą one mieć wielkość zapewne rzędu 100. Stąd dla liczb całkowitych będzie potrzebne 7 bitów, podczas gdy dla wektorów 100. Różnica nie musi być jednak aż tak znaczna, ponieważ większość komputerów wy- konuje operacje logiczne na wektorach bitów o długości pełnego słowa w cyklu jednej instrukcji. Zatem wektory bitów o długości 100 mogą podlegać manipula- cjom w trzech lub czterech krokach, w porównaniu z jednym krokiem dla liczb całkowitych. Niemniej wyniki na temat czasowej i pamięciowej złożoności algoryt- mów dla modelu z wektorami bitów należy brać cum grano salis, gdyż wielkość zadania, przy której model ten staje się nierealistyczny jest znacznie mniejsza, niż dla modelu RAM i modelu kodu liniowego. Na oznaczenie rzędu wielkości w modelu z wektorami bitowymi stosujemy OBV. 1.5. Abstrakcje RAM 33 iv. Drzewa decyzji Rozważyliśmy trzy abstrakcje RAM, które zaniedbywały instrukcje rozgałęzienia i obejmowały tylko kroki związane z obliczaniem. Istnieją pewne problemy, w któ- rych można realistycznie uznać liczbę instrukcji rozgałęzienia za podstawową miarę złożoności. W sortowaniu na przykład, wyjścia są identyczne z wejściami, wyjąwszy uporządkowanie. Rozsądnie jest więc rozważyć model, w którym wszystkie kroki są rozgałęzieniami od dwóch ramionach, i polegają na porównaniu dwóch wielkości. Częstą reprezentacją programu z rozgałęzieniami jest drzewo binarne7, zwane drze- wem decyzji. Każdy wewnętrzny wierzchołek reprezentuje decyzję. Test reprezen- towany przez korzeń jest wykonywany jako pierwszy, po czym zależnie od wyniku „sterowanie” przechodzi do jednego z synów. Ogólnie, sterowanie tak długo prze- chodzi od wierzchołka do jednego z synów, przy czym wybór zależy zawsze od testu na wierzchołku, aż dotrze do liścia. Wynik jest dostępny na tym liściu. Przykład 1.6. Rys. 1.18 pokazuje drzewo decyzji dla programu, który sortuje trzy liczby a, b i c. Testy wskazują owale wokół porównań na wierzchołkach; sterowanie przechodzi na lewo, jeżeli test daje odpowiedź „tak”, i na prawo, jeżeli „nie”. (cid:1) Złożonością czasową drzewa decyzji jest jego wysokość jako funkcja rozmiaru zada- nia. Zwykle chcemy oszacować maksimum liczby porównań, które trzeba wykonać, by dojść z korzenia do liścia. Zakładając model drzewa decyzji (porównań), ozna- czamy rząd wielkości przez OC. Liczba wierzchołków może być znacznie większa od wysokości drzewa. Na przykład drzewo decyzji, które sortuje n liczb, musi mieć przynajmniej n! liści, lecz wystarczy, że ma wysokość około n log n. Rys. 1.18. Drzewo decyzji 7W sprawie definicji dotyczących drzew patrz punkt 2.4. 34 Rozdział 1. Modele obliczania 1.6. Pierwotny model obliczania: maszyna Turinga By udowodnić, że dana funkcja wymaga pewnego minimum czasu, potrzebujemy modelu, który jest równie ogólny, lecz bardziej pierwotny od rozpatrzonych. Reper- tuar instrukcji ma być jak najbardziej ograniczony, jednak model nie tylko musi obliczać to wszystko, co oblicza RAM, lecz czynić to niemal równie szybko. Według definicji, której użyjemy, „niemal” oznacza „równoważność wielomianową”. Definicja. Mówimy, że funkcje f1(n) i f2(n) są równoważne wielomianowo, jeżeli istnieją wielomiany p1(x) i p2(x) takie, że dla wszystkich wartości n, f1(n) (cid:2) p1(f2(n)) i f2(n) (cid:2) p2(f1(n)). Przykład 1.7. Funkcje f1(n) = 2n2 i f2(n) = n5 są równoważne wielomianowo; niech na przykład p1(x) = 2x, skoro 2n2 (cid:2) 2n5, i p2(x) = x3, skoro n5 (cid:2) (2n2)3. Natomiast n2 i 2n nie są równoważne wielomianowo, gdyż nie istnieje wielomian p(x), taki że dla każdego n, p(n2) (cid:5) 2n. (cid:1) Obecnie jedynym zakresem, w którym do dowodu dolnych ograniczeń złożono- ści obliczeniowej możemy użyć ogólnych modeli, takich jak maszyna Turinga, jest „wyższy zakres”. Na przykład w rozdziale 11. pokażemy, że pewne problemy wy- magają wykładniczego czasu i pamięci. (f(n) jest funkcją wykładniczą, jeżeli ist- nieją stałe c1 0, k1 1, c2 0 i k2 1 takie, że c1kn 2 dla 1 wszystkich, prócz skończonej liczby wartości n.) W wykładniczym zakresie funkcje wielomianowo równoważne są zasadniczo tożsame, gdyż dowolna funkcja, która jest równoważna wielomianowo z funkcją wykładniczą, jest funkcją wykładniczą. (cid:2) f(n) (cid:2) c2kn Jest więc powód, by używać pierwotnego modelu, w którym złożoność czasowa problemów jest równoważna wielomianowo ich złożoności w modelu RAM. Mo- del, którego używamy — maszyna Turinga z wieloma taśmami — może wymagać czasu8 ([ f(n) ]4), lecz nie więcej, aby wykonać to, co RAM z funkcją kosztu loga- rytmicznego wykonuje w czasie f(n). Złożoność czasowa z użyciem modelu RAM i maszyny Turinga będzie równoważna wielomianowo. Definicja. Maszynę Turinga z wieloma taśmami (TM) przedstawia rys. 1.19. Składa się ona z pewnej liczby k nieskończończonych w prawo taśm. Każda taśma jest podzielona na komórki, a każda z nich zawiera jeden symbol spo- śród skończonej liczby symboli taśm. Jedna komórka na każdej taśmie jest czytana przez
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Projektowanie i analiza algorytmów
Autor:
, ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: