Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00649 010380 16905519 na godz. na dobę w sumie
Rachunek prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych - ebook/pdf
Rachunek prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych - ebook/pdf
Autor: , Liczba stron: 145
Wydawca: C. H. Beck Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-255-2436-4 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> inne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Właściwe zrozumienie rachunku prawdopodobieństwa jest potrzebne osobom, które chcą stosować bardziej zaawansowane narzędzia statystyki matematycznej, przetwarzać i analizować wyniki badań i eksperymentów, dochodzić do właściwych wniosków na podstawie niepełnych danych, zarządzać ryzykiem bądź prognozować przyszły rozwój wypadków.

Jest wiele doskonałych książek z rachunku prawdopodobieństwa, jednak zazwyczaj wymagają one od czytelnika sprawnego warsztatu oraz „zacięcia” matematycznego, które nie zawsze są dane studentom na kierunkach ekonomicznych, rolniczych czy medycznych. Ta publikacja jest inna.

Wieloletnie doświadczenie dydaktyczne w pracy ze studentami Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie, pozwoliło Autorkom na stworzenie podręcznika z rachunku prawdopodobieństwa dla szerokiego grona odbiorców. Włożyły one wiele starań, aby przedstawić kompletny kurs rachunku prawdopodobieństwa w sposób uporządkowany, przejrzysty i co najważniejsze – zrozumiały dla osób bez zaawansowanego przygotowania matematycznego. Stało się to możliwe dzięki ograniczeniu do minimum hermetycznego języka matematyki wszędzie tam, gdzie było to możliwe oraz bogatemu zilustrowaniu zagadnień teoretycznych przykładami z praktyki.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Rachunek Rachunek prawdopodobieƒstwa prawdopodobieƒstwa dla studentów dla studentów studiów ekonomicznych studiów ekonomicznych Sabina Denkowska Monika Papie˝ Rachunek prawdopodobieƒstwa dla studentów studiów ekonomicznych Rachunek prawdopodobieƒstwa dla studentów studiów ekonomicznych Sabina Denkowska Monika Papie˝ WYDAWNICTWO C.H. BECK WARSZAWA 2011 Wydawca: Dorota Ostrowska-Furmanek Redakcja merytoryczna: Dorota Ostrowska-Furmanek Recenzenci: prof. dr hab. Michaș Kolupa, prof. dr hab. Wșodzimierz Szkutnik Projekt okșadki i stron tytușowych: Maryna Wiśniewska Ilustracja na okșadce: c(cid:13)MarkEvans/iStockphoto Publikacja doĄnansowana przez Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Seria: Metody ilościowe Zșo ono programem TEX c(cid:13) Wydawnictwo C.H. Beck 2011 Wydawnictwo C.H. Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, 00-203 Warszawa Skșad i șamanie: Wydawnictwo C.H. Beck Druk i oprawa: P.W.P. Interdruk, Warszawa ISBN 978-83-255-2133-2 ISBN e-book 978-83-255-2436-4 Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Zdarzenia losowe . . 1.2. Prawdopodobieństwo . . 2.1. Zmienna losowa i jej dystrybuanta . . . 2.2. Zmienna losowa typu skokowego . 2.3. Zmienna losowa typu ciągșego . . . . 2.4. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej 2.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania . Wstęp . . Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo . . . . Rozdziaș 2. Zmienna losowa jednowymiarowa . . . . . . . . 1.2.1. Aksjomatyczna deĄnicja prawdopodobieństwa . 1.2.2. Inne deĄnicje prawdopodobieństwa . . . . . . . . 1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezale noś_ zdarzeń . . 1.4. Prawdopodobieństwo cașkowite i twierdzenie Bayesa . . . 1.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . . . . Rozdziaș 3. Rozkșady zmiennej losowej jednowymiarowej . . 3.1. Wybrane rozkșady zmiennej losowej typu skokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Rozkșady brzegowe zmiennych losowych skokowych . 3.1.1. Rozkșad jednopunktowy . . 3.1.2. Rozkșad dwupunktowy (zero-jedynkowy) . . 3.1.3. Rozkșad dwumianowy (Bernoulliego) . . 3.1.4. Rozkșad Poissona . . . . 3.1.5. Rozkșad hipergeometryczny . 3.1.6. Rozkșad geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Wybrane rozkșady typu ciągșego . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Rozkșad jednostajny (prostokątny) . 3.2.2. Rozkșad normalny (rozkșad Gaussa˛LaplaceŠa) 3.2.3. Rozkșad wykșadniczy . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Dwuwymiarowa zmienna losowa typu skokowego . . . . 4.1. Funkcje zmiennej losowej typu skokowego . 4.2. Funkcje zmiennej losowej typu ciągșego . . . . 4.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania Rozdziaș 5. Dwuwymiarowa zmienna losowa . . . 3.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania . Rozdziaș 4. Funkcje zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 9 10 11 12 13 15 17 20 20 22 27 30 37 42 42 42 42 43 46 50 50 51 51 54 59 61 65 65 67 70 72 72 73 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdziaș 6. Regresja I i II rodzaju . . . 5.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . 6.1. Regresja I rodzaju . 6.2. Regresja II rodzaju . . 6.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . Rozdziaș 7. Dwuwymiarowy rozkșad normalny . . 5.4.1. Momenty zwykșe i momenty centralne . 5.4.2. Wspóșczynnik korelacji . . 5.4.3. Charakterystyki rozkșadów warunkowych . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Określenie dwuwymiarowego rozkșadu normalnego . 7.2. Wșasności dwuwymiarowego rozkșadu normalnego . 7.3. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Dwuwymiarowa zmienna losowa ciągșa . momenty i funkcja charakterystyczna . . 8.1. Funkcja tworząca prawdopodobieństwa 8.2. Funkcja tworząca momenty . . 8.3. Funkcja charakterystyczna . . 8.4. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . 5.2.1. Rozkșady brzegowe zmiennych losowych ciągșych . . 5.2.2. Rozkșady warunkowe zmiennych losowych ciągșych . . 5.3. Niezale noś_ zmiennych losowych . 5.4. Charakterystyki liczbowe dwuwymiarowej zmiennej losowej . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Rozkșady warunkowe zmiennych losowych typu skokowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdziaș 8. Funkcja tworząca prawdopodobieństwa, funkcja tworząca . . . . . . . . . . Rozdziaș 9. Nierównoś_ Czebyszewa, prawo wielkich liczb i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Integralne twierdzenia graniczne . . 9.3.2. Lokalne twierdzenia graniczne . . 9.4. Zadania do samodzielnego rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Odpowiedzi do zadań . . . . . . . . . . . . . graniczne . . 9.1. Nierównoś_ Czebyszewa . . 9.2. Prawo wielkich liczb Bernoulliego . 9.3. Twierdzenia graniczne . Rozdziaș 1 . Rozdziaș 2 . Rozdziaș 3 . Rozdziaș 4 . Rozdziaș 5 . Rozdziaș 6 . Rozdziaș 7 . Rozdziaș 8 . Rozdziaș 9 . . . . Tablice BibliograĄa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spis treści . . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 . 79 . 81 . 82 . 84 . 88 . 88 . 90 . 92 . 94 . 98 . . 98 . 101 . 105 . 107 . 107 . 108 . 109 . 111 . 111 . 112 . 114 . 117 . 120 . 120 . 122 . 123 . 123 . 127 . 128 . 130 . 130 . 130 . 132 . 134 . 134 . 137 . 137 . 138 . 138 . 139 . 143 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa na Uniwersytecie Ekonomicznym w Krako- wie jest wykșadany jako przedmiot obowiązkowy na kierunku Informatyka i Ekonometria oraz na kierunku unikatowym Analityka gospodarcza. Elemen- ty rachunku prawdopodobieństwa pojawiają się równie na innych kierunkach studiów w ramach przedmiotu statystyka matematyczna oraz wnioskowanie sta- tystyczne, bowiem jednym z gșównych zadań rachunku prawdopodobieństwa jest wprowadzenie w zagadnienia dotyczące teorii estymacji i weryĄkacji hipotez statystycznych. Od kilkunastu lat prowadzimy zajęcia z rachunku prawdopodobieństwa na naszej Uczelni. Niestety, mimo dostępności polecanych przez nas wie- lu świetnych pozycji wydawniczych, studenci od lat sygnalizowali brak podręcznika napisanego językiem przystępnym dla studentów studiów eko- nomicznych, prezentującego teorię ilustrowaną przykșadami, które nawią- zują do praktyki ekonomicznej. Dostępna literatura jest skierowana przede wszystkim do studentów studiów matematycznych i technicznych, stąd po- sșuguje się hermetycznym językiem matematyki, natomiast przykșady są dalekie od praktycznych zastosowań ekonomicznych. Elementy rachunku prawdopodobieństwa mo na spotka_ równie w podręcznikach akademic- kich dotyczących statystyki matematycznej, jednak materiaș dotyczący rachunku prawdopodobieństwa w nich zawarty jest zazwyczaj zbyt okrojony, aby stanowi_ podstawę dla prowadzenia niezale nego wykșadu z rachun- ku prawdopodobieństwa. Skșonișo nas to do podjęcia próby wprowadzenia w sposób prosty i przystępny poję_ z rachunku prawdopodobieństwa, ilu- strując ich zastosowanie w licznych przykșadach. Zawartoś_ merytoryczna tego podręcznika akademickiego jest zgodna z treściami ksztașcenia za- wartymi w standardach ksztașcenia na kierunku Informatyka i Ekonometria oraz standardach ksztașcenia na kierunku Analityka gospodarcza. Podręcz- nik zawiera równie zadania do samodzielnego rozwiązania, co ma sșu y_ ugruntowaniu zdobytej wiedzy. Na końcu zamieszczono odpowiedzi do zadań. Podręcznik ten mo e sșu y_ studentom równie jako przekrojowe repetytorium z rachunku prawdopodobieństwa, m.in. dla przedmiotu metody aktuarialne. 7 Wstęp Skșadamy podziękowanie na ręce recenzentów: prof. Michașa Kolupy i prof. Wșodzimierza Szkutnika za trafne uwagi, które przyczynișy się do poprawy ksztaștu tej pracy. Serdecznie dziękujemy pani dr Alinie Karskiej za wiele cennych uwag, wskazówek i uwa ną korektę tekstu. Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1. Zdarzenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa to dziaș matematyki zajmujący się zdarzeniami, jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Doświadczenie nazywamy losowym, je eli mo na je powtarza_ wielokrotnie w tych samych warunkach, a wyniku doświadczenia nie potraĄmy z góry przewidzie_. Pierwsze znane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa dotyczyșy gier hazardowych, w szczególności gry w kości. Mimo e gra znana byșa ju w staro yt- ności, pierwsze teoretyczne zainteresowanie tą grą przejawiali dopiero matematycy francuscy Pierre de Fermat i Blaise Pascal w XVII wieku. Podstawowymi poję- ciami rachunku prawdopodobieństwa są: przestrzeń zdarzeń elementarnych z jej elementami, doświadczenie oraz zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo zajścia określonego zdarzenia. Pojęciem pierwotnym, czyli niedeĄniowalnym w teorii prawdopodobień- stwa, jest zdarzenie elementarne. Intuicyjnie mo emy powiedzie_, e zdarzenia elementarne są to najprostsze wyniki doświadczenia losowego czy obserwacji. Zdarzenia elementarne oznaczamy mașą grecką literą ω. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych związanych z danym doświadcze- niem losowym nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy wielką grecką literą Ω. Ze względu na liczbę elementów przestrzenie zdarzeń elementarnych mo na podzieli_ na skończone, przeliczalne1 lub nieprzeliczalne. Przykșad 1.1. 1) Rzut kostką. Przestrzeń zdarzeń jest skończona i skșada się z 6 zdarzeń elementar- nych: Ω = ¶ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6♦, gdzie ωi oznacza wyrzucenie i-oczek. 2) Rzut monetą do chwili pojawienia się orșa. Ω = ¶ω1, ω2, . . . , ωi, . . .♦, gdzie ωi oznacza, e dopiero w i-tym rzucie wypadș orzeș (w pierwszych i ˛ 1 rzutach wypa- , O dșy reszki). Zdarzenie elementarne ωi mo emy zapisa_ jako ciąg , R, R, . . . R | } 1 Mówimy, e zbiór jest przeliczalny, gdy jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. i−1 {z 9 Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo w którym dopiero po i−1 reszkach R pojawia się orzeș O. Mo liwych wyników jest nieskończenie wiele i dadzą się ustawi_ w ciąg, a tzn. e jest ich przeliczalnie wiele. 3) Spóźnienie (w minutach) studenta na 45-minutowe _wiczenia z rachunku prawdo- podobieństwa. Ω = (0 min; 45 min] ˛ nieprzeliczalna przestrzeń zdarzeń elemen- tarnych. Je eli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest co najwy ej przeliczalna (skończona lub przeliczalna), to ka dy podzbiór Ω nazywamy zdarzeniem losowym (w skrócie: zdarzeniem). Zdarzenia losowe oznaczamy wielkimi literami: A, B, C, . . . i mówimy, e zaszșo zdarzenie A, gdy w wyniku doświadczenia losowego wybrano w prze- strzeni Ω element ω nale ący do zbioru A. Przykșad 1.2. Doświadczenie losowe polega na rzucie monetą. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem dwuelementowym zșo onym ze zdarzeń elementarnych po- legających na wypadnięciu orșa ωO lub reszki ωR. Dla zbioru Ω = ¶ωO, ωR♦ mo emy wyró ni_ następujące zdarzenia losowe: ˛ zdarzenie niemo liwe2, ∅ ˛ zdarzenie polegające na wypadnięciu reszki, A = ¶ωR♦ ˛ zdarzenie przeciwne3 do A, polegające na wypadnięciu orșa, A′ = ¶ωO♦ Ω = ¶ωO, ωR♦ ˛ zdarzenie pewne4, polegające na wypadnięciu orșa lub reszki. 2 6 = 62 Przykșad 1.3. Rzucamy dwiema kostkami. Przestrzeń zdarzeń Ω ma 36 = V ró nych zdarzeń elementarnych: Ω = ¶(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (6, 6)♦. Mo emy wyró ni_ 236 zdarzeń, bo tyle jest podzbiorów zbioru 36-elementowego. Je eli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to wówczas zdarzeniami losowymi są tylko te podzbiory, które tworzą pewną rodzinę podzbiorów nazywaną σ-ciașem. Rodzinę podzbiorów Z przestrzeni Ω nazywamy σ-ciașem, gdy speșnione są następujące warunki: 1) Ω ∈ Z; 2) A ∈ Z ⇒ A′ ∈ Z; 3) A1, A2, . . . An, . . . ∈ Z ⇒ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ∪ . . . . ∈ Z. Dowolny zbiór nale ący do Z nazywamy zdarzeniem losowym. Zdarzenia losowe są zbiorami, więc na zdarzeniach wykonuje się analogiczne dziașania jak na zbiorach i podlegają one prawom analogicznym do praw rachunku zbiorów: przemienności, șączności, rozdzielności oraz prawom de Morgana. 1.2. Prawdopodobieństwo Mo emy spotka_ wiele ró nych deĄnicji prawdopodobieństwa. Za najwa niejszą z nich uwa ana jest aksjomatyczna deĄnicja Koșmogorowa (oparta na teorii 2 Nie zachodzi ono przy adnym powtórzeniu danego doświadczenia. 3 Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (oznaczamy A′) to zdarzenie skșadające się z tych wszystkich zdarzeń elementarnych, które nie nale ą do zdarzenia A. 4 Zachodzi przy ka dym powtórzeniu danego doświadczenia. 10 1.2. Prawdopodobieństwo miary), która zapoczątkowașa nowoczesne matematyczne spojrzenie na teorię prawdopodobieństwa. 1.2.1. Aksjomatyczna deĄnicja prawdopodobieństwa W 1933 roku A. Koșmogorow sformușowaș aksjomaty, jakie musi speșnia_ funkcja, aby mo na ją byșo nazwa_ prawdopodobieństwem. Koșmogorow nie podaje wprost, jak liczy_ prawdopodobieństwa zdarzeń, a nawet pozwala prawdopodobieństwa zdarzeń określa_ ró nie, ale tak by speșnione byșy poni sze trzy warunki. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, a Z zbiorem zdarzeń losowych5 na Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję rzeczywistą P przyporządkowu- ∞ Pi=1 Ai(cid:19) = P (Ai) dla zdarzeń parami rozșącznych (Ai ∩ Aj = ∅, jącą ∀A ∈ Z P : A 7→ P (A) zgodnie z warunkami: 1) P (A) (cid:173) 0; 2) P (Ω) = 1; 3) P (cid:18) ∞ Si=1 i ̸= j). DeĄnicja aksjomatyczna nakșada pewne warunki formalne, jakie ma speș- nia_ przyporządkowanie prawdopodobieństw zdarzeniom. Dla danego zdarze- nia A liczba P (A) wyra ająca jego prawdopodobieństwo powinna by_ dobierana tak, aby przy niezale nych powtórzeniach doświadczenia, częstoś_ występowania tego zdarzenia zbli așa się do P (A) przy wzroście liczby doświadczeń. Prawdopodobieństwem zdarzenia A będziemy nazywali liczbę z przedzia- șu ⟨0, 1⟩ oznaczoną przez P (A) i przyporządkowaną temu zdarzeniu. Reasumując, mo na stwierdzi_, e z ka dym doświadczeniem losowym jest związana przestrzeń probabilistyczna danego doświadczenia, rozumiana jako taka trójka (Ω, Z, P ), e: Ω ̸= ∅, Z ˛ σ-ciașo na Ω, P ˛ funkcja prawdopodo- bieństwa zdeĄniowana powy ej. Trójka (Ω, Z, P ) stanowi matematyczny opis tego doświadczenia. Elementarne wșasności prawdopodobieństwa wynikające z deĄnicji aksjo- matycznej: 1) P (∅) = 0 ˛ prawdopodobieństwo zdarzenia niemo liwego równa się zero; 2) je eli zdarzenie A pociąga6 zdarzenie B (A ⊂ B) to 3) ∀A ∈ Z 0 ¬ P (A) ¬ 1; 4) je eli zdarzenie A pociąga zdarzenie B (A ⊂ B) to P (A) ¬ P (B); P (B − A) = P (B) − P (A); 5 Z ˛ σ ciașo określone na Ω. 6 Mówimy, e zdarzenie A pociąga zdarzenie B, gdy z zajścia zdarzenia A wynika zajście zdarzenia B. 11 Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 5) je eli zdarzenia losowe A1, A2, . . . , An są parami rozșączne to P (A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An) = P (A1) + P (A2) + ··· + P (An); 6) suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się jedności: P (A) + P (A′) = 1; 7) prawdopodobieństwo alternatywy dwóch dowolnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo ich koniunkcji: Prawdopodobieństwo alternatywy trzech dowolnych zdarzeń liczymy następująco: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B); P (A ∪ B ∪ C) = = P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C). 1.2.2. Inne deĄnicje prawdopodobieństwa Klasyczną „deĄnicję° prawdopodobieństwa podaș po raz pierwszy P.S. de La- place w roku 1812. DeĄnicja klasyczna pozwala oblicza_ prawdopodobieństwo w prostych przypadkach, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest skończo- na, a wszystkie zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne. W praktyce często spotykamy się z zagadnieniami, gdzie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne i wówczas prawdopodobieństwo dowolnego zdarze- nia A mo na wyrazi_ wzorem: P (A) = A Ω , gdzie: A ˛ moc zbioru A, Ω ˛ liczba wszystkich zdarzeń elementarnych. Przykșad 1.4. Obliczy_ prawdopodobieństwo tego, e ˛ losując z talii 52 kart jedną kar- tę ˛ wylosujemy asa lub karo? Rozwiązanie Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu asa, a K zdarzenie polegające na wylosowaniu karo. Wówczas A ∪ K jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu asa lub karo. Korzystając z deĄnicji klasycznej oraz wșasności 7 ˛ dotyczącej sumy dwóch dowolnych zdarzeń losowych, otrzymujemy: 4 52 Prawdopodobieństwo wylosowania asa lub karo wynosi 4 13 . P (A ∪ K) = P (A) + P (K) − P (A ∩ K) = + 13 52 − 1 52 = 4 13 . Podsumujmy wspomniane wcześniej wady klasycznej deĄnicji prawdopodo- bieństwa: przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω musi by_ skończona, a wszystkie 12 1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezale noś_ zdarzeń zdarzenia elementarne jednakowo prawdopodobne. Zauwa my równie pewną nie- konsekwencję, polegającą na u yciu w deĄnicji sșowa deĄniowanego ˛ w deĄnicji prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne mają by_ jednakowo prawdopodobne. Geometryczna deĄnicja prawdopodobieństwa wymaga znajomości miary zbiorów, którymi się posșuguje. Przykșad 1.5. W koșo o promieniu r wpisano kwadrat. We wnętrzu koșa pojawia się losowo punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, e punkt pojawi się we wnętrzu kwadratu. Rozwiązanie Niech: Ω ˛ przestrzeń wyników ˛ punkt w kole o promieniu r, A ˛ zdarzenie polegające na tym, e losowo wybrany punkt pojawi się we wnętrzu Zauwa my, e bok kwadratu wpisanego w koșo o promieniu r wynosi √2r. Wów- kwadratu. czas: P (A) = pole zbioru A pole zbioru Ω = (cid:0)√2r(cid:1)2 πr2 = 2 π ≈ 0,64. U podstaw częstościowej deĄnicji prawdopodobieństwa le y pojęcie liczeb- ności względnej, czyli częstości, którą obliczamy jako iloraz liczby doświadczeń, w których zrealizowașo się zdarzenie losowe i liczby wykonanych doświadczeń. DeĄnicja częstościowa jest szczególnie u yteczna w praktyce, kiedy obserwuje- my, e częstości występowania zdarzeń losowych w dșugich seriach doświadczeń są obdarzone pewną regularnością. Je eli warunki, w których jest realizowane doświadczenie, pozostają niezmienione, to częstoś_ mo na wykorzysta_ jako ocenę prawdopodobieństwa P (A), a przybli enie to jest tym lepsze, im większa jest liczba wykonanych doświadczeń. Przyjmuje się więc, e prawdopodobień- stwo jest teoretycznym odpowiednikiem pojęcia częstości. Na przykșad, poniewa częstoś_ urodzin dziewczynki wynosi w przybli eniu 0,483, przyjmujemy, e prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki jest w przybli eniu równe 0,483. 1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezale noś_ zdarzeń Niech A, B będą zdarzeniami losowymi określonymi na tej samej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, przy czym P (B) 0. Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, e zaszșo zdarzenie B, nazywamy liczbę P (A♣B) określoną następująco: P (A♣B) = P (A ∩ B) P (B) . (1.1) 13 Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Z wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika wzór na prawdopodo- bieństwo koniunkcji dwóch dowolnych zdarzeń A, B: P (A ∩ B) = P (B)P (A♣B), gdzie zakșadamy, e P (B) 0, lub analogicznie: (1.2) P (A ∩ B) = P (A)P (B♣A), gdzie zakșadamy, e P (A) 0. Przykșad 1.6. W urnie znajdują się 3 kule biașe i 4 czarne. Jakie jest prawdopodobień- stwo wylosowania dwóch kul biașych, przy zașo eniu e losujemy z urny dwa razy i po pierwszym losowaniu kula nie zostaje zwrócona do urny? Rozwiązanie Wprowadźmy następujące oznaczenia: B1 ˛ zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli biașej w pierwszym losowaniu, B2 ˛ zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli biașej w drugim losowaniu. Korzystając z wzoru na koniunkcję dwóch dowolnych zdarzeń (1.2), otrzymujemy: P (B1 ∩ B2) = P (B1)P (B2♣B1) = 3 7 · 2 6 = 1 7 . Dwa zdarzenia losowe A, B nazywamy zdarzeniami niezale nymi, gdy: P (A ∩ B) = P (A)P (B). (1.3) Twierdzenie 1.1. Przy zașo eniu, e P (A) 0, P (B) 0, warunek P (A♣B) = = P (A) i P (B♣A) = P (B) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby zdarzenia A, B byșy niezale ne. Przykșad 1.7. Prawdopodobieństwo wygrania w jednej loterii wynosi 0,3. Prawdopo- dobieństwo wygrania w drugiej loterii wynosi 0,2. Ile wynosi prawdopodobieństwo wygrania w obu loteriach? Rozwiązanie Niech Ai oznacza zdarzenie losowe polegające na wygraniu w i-tej loterii (i = 1,2). Poniewa zdarzenia A1 i A2 są niezale ne, ze wzoru (1.3) otrzymujemy: P (A1 ∩ A2) = P (A1)P (A2) = 0,06. Przykșad 1.8. Sprawdźmy, czy w jednokrotnym rzucie kostką zdarzenia A, B są nieza- le ne, gdzie: A ˛ oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu liczby oczek nie większej od 2, B ˛ oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu parzystej liczy oczek. 14 1.4. Prawdopodobieństwo cașkowite i twierdzenie Bayesa Rozwiązanie Niech Ω = ¶ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6♦, gdzie ωi ˛ zdarzenie elementarne polegające na wypadnięciu i oczek. Wówczas: A = ¶ω1, ω2♦, B = ¶ω2, ω4, ω6♦, czyli P (A) = czyli P (B) = 1 3 , 1 2 , 1 6 = P (A)P (B). A ∩ B = ¶ω2♦ ⇒ P (A ∩ B) = Zdarzenia A i B są niezale ne. W przypadku większej liczby zdarzeń losowych sytuacja jest bardziej zșo ona, gdy rozró niamy dwa rodzaje niezale ności: niezale noś_ zespoșową i niezale - noś_ parami. Mówimy, e zdarzenia A1, A2, . . . , Ak są niezale ne (zespoșowo lub wzajemnie niezale ne), gdy prawdopodobieństwo șącznego zajścia dowol- nych m ró nych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń, dla ka dego m 6 k. Natomiast zdarzenia losowe A1, A2, . . . , Ak są niezale ne parami, gdy: ∀i ̸= j P (Ai ∩ Aj) = P (Ai)P (Aj) (i, j = 1, . . . , k). Z tego wynika, e trzy zdarzenia losowe A1, A2, A3 są niezale ne (zespoșowo), gdy speșnione są następujące warunki: P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2)P (A3) oraz P (A1 ∩ A2) = P (A1)P (A2); P (A1 ∩ A3) = P (A1)P (A3); P (A2 ∩ A3) = P (A2)P (A3). Zauwa my, e z niezale ności zespoșowej wynika niezale noś_ parami. Zwró_my równie uwagę na to, e wykluczanie7 i niezale noś_ to są dwa ró ne pojęcia8. 1.4. Prawdopodobieństwo cașkowite i twierdzenie Bayesa Mówimy, e zdarzenia losowe A1, A2, . . . , Ak tworzą ukșad zupeșny (cașkowity) zdarzeń, gdy: ˛ parami się wykluczają: ∀i ̸= j Ai ∩ Aj = ∅, ˛ ich suma jest zdarzeniem pewnym: A1 ∪ . . . ∪ Ak = Ω. Twierdzenie 1.2 (o prawdopodobieństwie całkowitym). Niech B bę- dzie dowolnym zdarzeniem losowym określonym na przestrzeni zdarzeń Ω, 7 Zdarzenia A i B wykluczają się, je eli A ∩ B = ∅, czyli dla zdarzeń wykluczających się zachodzi P (A ∪ B) = P (A) + P (B). 8 Zauwa my, e zdarzenia wykluczające się A, B mogą by_ niezale ne (gdy P (A) = 0 lub P (B) = 0) lub zale ne (gdy P (A) 0 i P (B) 0). Natomiast zdarzenia niezale ne A, B mogą się wyklucza_ (np. gdy A = ∅) lub mie_ niepustą częś_ wspólną (patrz: przykșad 1.8). 15 Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo A1, A2, . . . , Ak ˛ takimi zdarzeniami losowymi określonymi na przestrzeni zda- rzeń Ω tworzącymi ukșad zupeșny zdarzeń, e: ∀i ∈ ¶1, . . . , k♦ P (Ai) 0, to wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia B wyra a się następującym wzorem: P (B) = P (B♣A1)P (A1) + P (B♣A2)P (A2) + ··· + P (B♣Ak)P (Ak). Wzór (1.4) jest nazywany wzorem na prawdopodobieństwo cașkowite. (1.4) Twierdzenie o prawdopodobieństwie cașkowitym (zupeșnym) jest często ilustrowane za pomocą tzw. drzew stochastycznych (rys. 1.1). Twierdzenie 1.3 (twierdzenie Bayesa). Je eli zdarzenia A1, A2, . . . , Ak tworzą ukșad zupeșny zdarzeń oraz P (B) 0, to prawdopodobieństwa warunko- we P (Ar♣B) (r = 1, . . . , k) wyra ają się wzorami: P (Ar♣B) = P (B♣Ar)P (Ar) P (B) = k P (B♣Ar)P (Ar) Pi=1 P (B♣Ai)P (Ai) . (1.5) Wzór (1.5) nazywamy wzorem Bayesa. Pozwala on wyznaczy_ prawdopodobień- stwo zajścia jednego ze zdarzeń, np. Ar (r = 1, . . . , k), jeśli zaszșo zdarzenie B. Prawdopodobieństwo P (Ar♣B) nazywamy prawdopodobieństwem a poste- riori („po fakcie° lub „w następstwie faktu°), gdy opisuje prawdopodobieństwo zrealizowania się zdarzenia Ar dopiero po wystąpieniu zdarzenia B, a prawdopo- dobieństwa P (Ar) nazywamy prawdopodobieństwami a priori („z góry°). Twierdzenie Bayesa stosujemy gșównie wtedy, gdy znamy wynik doświad- czenia i pytamy o jego przebieg. Rysunek 1.1. Drzewo stochastyczne Przykșad 1.9. Agencja nieruchomości „Mój dom° chce sprzeda_ nieruchomoś_. Sza- cuje, e nieruchomoś_ ta zostanie sprzedana w ciągu póș roku z prawdopodobień- stwem 0,8, je eli banki zșagodzą warunki przyznawania kredytów, oraz z prawdopodo- bieństwem 0,3, je eli dotychczasowa polityka kredytowa banków nie ulegnie zmianie. Ekonomiści twierdzą, e jest 40 szans na zmianę polityki kredytowej banków w naj- bli szym póșroczu. Jakie jest prawdopodobieństwo, e nieruchomoś_ zostanie sprzedana w ciągu tego okresu? 16 1.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania Rozwiązanie Oznaczmy: R ˛ zdarzenie losowe polegające na zșagodzeniu polityki kredytowej banków, S ˛ zdarzenie losowe polegające na sprzedaniu nieruchomości w ciągu póș roku. Zdarzenia R i R′ tworzą ukșad zupeșny zdarzeń. Prawdopodobieństwo, e nieruchomoś_ zostanie sprzedana w ciągu tego okresu, liczymy z wzoru (1.4): P (S) = P (S♣R)P (R) + P (S♣R′)P (R′) = 0,8 · 0,4 + 0,3 · 0,6 = 0,5. Prawdopodobieństwo, e nieruchomoś_ zostanie sprzedana w ciągu póș roku wynosi 0,5. Przykșad 1.10. Zauwa ono, e jedna na 1000 osób zapada na „dziwną° infekcję wiru- sową X. Lekarze dysponują testem rozpoznającym ten wirus w organizmie z prawdopo- dobieństwem 0,99. W pozostașych przypadkach wirus nie zostaje rozpoznany. Z drugiej strony, zdarza się z prawdopodobieństwem 0,002, e test ten daje fașszywy wynik pozytywny, czyli „wykryje° wirus w organizmie, w którym nie występuje. Test daș wynik pozytywny. Jakie jest prawdopodobieństwo, e osoba, u której test daș wynik pozytywny, jest rzeczywiście zara ona wirusem? Rozwiązanie Wprowadźmy oznaczenia: I W ˛ zdarzenie losowe polegające na wykryciu wirusa w organizmie przez test (co jest ˛ zdarzenie losowe polegające na zachorowaniu na infekcję wirusową typu X, równowa ne temu, e test daș wynik pozytywny). Prawdopodobieństwo P (I♣W ), e osoba, u której test daș wynik pozytywny, jest rzeczy- wiście chora, obliczamy z wzoru Bayesa (1.5): P (I♣W ) = P (W♣I)P (I) P (W ) = P (W♣I)P (I) P (W♣I)P (I) + P (W♣I ′)P (I ′) . Wiadomo, e P (I) = 0,001. Wykrycie wirusa w organizmie przez ten test wcale nie musi oznacza_, e wirus jest w organizmie. Prawdopodobieństwo, e test wykryș wirus u osoby chorej na tą infekcję wynosi P (W♣I) = 0,99. Z kolei u osoby niezainfekowanej prawdopodobieństwo, e test da fașszywy wynik pozytywny, wynosi: P (W♣I ′) = 0,002. Podstawiając do wzoru, otrzymujemy: P (I♣W ) = = 0,33. 0,99 · 0,001 0,99 · 0,001 + 0,002 · 0,999 Prawdopodobieństwo, e osoba, u której test daș wynik pozytywny, jest rzeczywiście za- ra ona wirusem, wynosi 0,33. Oznacza to, e zaledwie 1/3 osób z pozytywnym wynikiem testu jest rzeczywiście zainfekowana. 1.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1.1. Wykaza_, e dla n-elementowej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω mo emy wyró ni_ 2n zdarzeń losowych. 1.2. Prawdopodobieństwo, e do konsumenta dotrze reklama telewizyjna pew- nego produktu, wynosi 0,1, natomiast prawdopodobieństwo, e zauwa y on 17 Rozdziaș 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo billboard reklamowy na ulicy, 0,2. Oba te zdarzenia uwa amy za niezale - ne. Jakie jest prawdopodobieństwo, e do konsumenta dotrze przynajmniej jedna forma reklamy? 1.3. Prawdopodobieństwo, e w najbli szym miesiącu zdro eje baweșna, wy- nosi 0,5, a prawdopodobieństwo, e zdro eje zbo e, wynosi 0,2. Wiadomo ponadto, e w 10 przypadków obie ceny ˛ baweșny i zbo a ˛ idą w górę. Czy ceny baweșny i zbo a są niezale ne? 1.4. Badając wyniki spisu powszechnego analitycy GUS stwierdzili nieprawi- dșowości w 10 wszystkich ankiet. Nieprawidșowości takie mogą powsta_ wskutek pomyșki lub celowego dziașania. Je eli wiadomo, e prawdopo- dobieństwo pojawienia się nieprawidșowości na skutek niezamierzonej pomyșki jest równe 0,05, to jaki procent ankietowanych celowo sfașszowaș swoje dane? 1.5. Pisarz chce, aby korekta jego ksią ki dotarșa do wydawnictwa najpóźniej do jutra do godziny 8:00 rano. »eby zwiększy_ szanse dotarcia ksią ki na czas, przekazaș trzy egzemplarze korekty, korzystając z usșug trzech Ąrm świad- czących usșugi kurierskie. Pierwsza Ąrma jest znana z tego, e wywiązuje się z dostarczania przesyșek na czas w 90 , druga w 88 , a trzecia w 91 przypadków. Jakie jest prawdopodobieństwo, e przynajmniej jeden egzem- plarz korekty jego ksią ki dotrze do wydawnictwa w wymaganym czasie? 1.6. Rzucono dwiema kostkami do gry. Czy zdarzenie „wyrzucenie liczby oczek, których iloczyn jest podzielny przez 3°, oraz „wyrzucenie liczby oczek, których suma jest parzysta°, są zdarzeniami niezale nymi? 1.7. Firma stara się o kontrakt w dwóch spóșkach A i B. Dyrektor Ąrmy szacuje prawdopodobieństwo zawarcia kontraktu ze spóșką A na 0,40. Uwa a te , e gdyby Ąrma zawarșa kontrakt ze spóșką A, to szansa zawarcia kontraktu ze spóșką B wynosișaby, a 95 . Jakie jest prawdopodobieństwo, e Ąrma zawrze oba kontrakty? 1.8. Wykaza_, e je eli dwa zdarzenia A i B są niezale ne, to wtedy niezale ne są zdarzenia im przeciwne: A′ i B ′. 1.9. Badanie w 800 Ąrmach bran y spo ywczej pokazașo, e 40 Ąrm prze- prowadza analizę skuteczności promocji, 60 Ąrm dokonuje analizy wize- runku Ąrmy na rynku, a 30 Ąrm prowadzi oba rodzaje analiz. Określamy zdarzenia losowe A i B następująco: A ˛ Ąrma analizuje skutecznoś_ pro- mocji, B ˛ Ąrma dokonuje analizy wizerunku Ąrmy na rynku. Poda_ nastę- pujące prawdopodobieństwa: P (A), P (B), P (A∪B), P (A∩B), P (A♣B). 1.10. Niech Ω = ¶ω1, ω2, ω3, ω4♦ będzie przestrzenią zdarzeń elementar- nych pewnego doświadczenia. Zakșadając, e zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, zbada_, czy zdarzenia A = ¶ω1, ω4♦, B = ¶ω2, ω4♦, C = ¶ω3, ω4♦ są: ˛ niezale ne parami, ˛ niezale ne (zespoșowo). 18 1.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1.11. Z przeprowadzonych badań wynika, e 80 kobiet i 45 mę czyzn ogląda w telewizji programy typu „reality show°. Z grupy zșo onej z 1500 kobiet i 2000 mę czyzn wybrano losowo jedna osobę. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, e wybrana osoba ogląda programy typu „reality show°? b) Okazașo się, e wylosowana osoba ogląda programy typu „reality show°. Jakie jest prawdopodobieństwo, e jest to mę czyzna? 1.12. Asystent prowadzący _wiczenia z rachunku prawdopodobieństwa wie z do- świadczenia, e prawdopodobieństwo uzyskania zaliczenia przez studenta pracującego systematycznie na _wiczeniach jest równe 0,9, podczas gdy dla niesystematycznego studenta wynosi 0,15. Wiadomo, e 70 studen- tów w grupie pracuje systematycznie. a) Jaki procent studentów otrzyma zaliczenie? b) Po sesji spotykamy studenta, który uzyskaș zaliczenie. Jakie jest praw- dopodobieństwo, e pracowaș systematycznie? 1.13. Wysyșany jest sygnaș binarny 0 lub 1. Prawdopodobieństwo wysșania sy- gnașu 0 wynosi 0,4, natomiast sygnașu 1 wynosi 0,6. Prawdopodobieństwa znieksztașcenia sygnașów wynoszą odpowiednio: dla sygnașu 0 prawdo- podobieństwo 0,02, dla sygnașu 1 prawdopodobieństwo 0,01. Wiadomo, e sygnaș zostaș znieksztașcony. Jakie jest prawdopodobieństwo, e byș to sygnaș 0? 1.14. Wiadomo, e 65 mę czyzn i 50 kobiet nie zdaje egzaminu na prawo jazdy za pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdașa egzaminu. Zakșadając, e zdających mę czyzn byșo trzy razy więcej ni kobiet, obliczy_ prawdopodobieństwo tego, e wybraną osobą jest kobieta. 1.15. Firma ochrony mienia „Spokój° zainstalowașa w domu pana Karola insta- lację alarmową poșączoną z siedzibą Ąrmy. Przy próbie wșamania alarm ten zadziașa w 95 przypadków. Mo e się jednak zdarzy_ i tak, e alarm wșączy się wtedy, gdy nie ma adnego zagro enia. Prawdopodobieństwo takiego fașszywego alarmu jest mașe i wynosi 0,02. Biorąc pod uwagę poziom zamo ności pana Karola oraz lokalizację jego domu, prawdopodo- bieństwo wșamania oszacowano na 0,004. Jakie jest prawdopodobieństwo, e gdy wșączy się alarm, naprawdę istnieje zagro enie? Rozdziaș 2. Zmienna losowa jednowymiarowa 2.1. Zmienna losowa i jej dystrybuanta Elementarne wyniki doświadczeń losowych często nie są liczbami. Na przy- kșad w jednokrotnym rzucie monetą otrzymujemy orșa lub reszkę. Zdarzeniom elementarnym mo na jednak zawsze przyporządkowa_ liczby i zazwyczaj takie przyporządkowanie ma sens merytoryczny. W celu ujednolicenia rozwa ań dotyczących ró nych przestrzeni zdarzeń elementarnych dokonuje się przeksztașcenia przestrzeni Ω w zbiór liczb rzeczy- wistych R i zamiast analizowa_ zdarzenia elementarne o ró nych interpretacjach praktycznych, odwzorowujemy je na liczby i zyskujemy mo liwoś_ liczbowego opisu w przypadku dowolnej przestrzeni zdarzeń elementarnych. Niech (Ω, Z, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Funkcję X odwzorowującą Ω w R nazywamy zmienną losową, gdy dla ka dego x ∈ R zbiór ¶ω ∈ Ω: X(ω) x♦ ∈ Z (czyli jest zdarzeniem losowym). W przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest co najwy ej przeliczalna, ka da funkcja X: Ω → R jest zmienną losową. Wartoś_ zmiennej losowej dla konkretnego zdarzenia elementarnego zazwy- czaj nazywa się jej realizacją. Zmienne losowe oznaczamy du ymi literami z końca alfabetu șacińskiego X, Y , Z itp., natomiast ich wartości (realizacje) mașymi literami x, y, z itp. Pojęcie zmiennej losowej jest kluczowym pojęciem rachunku prawdopodo- bieństwa przede wszystkim dlatego, e pozwala przejś_ od modelu probabilistycz- nego (Ω, Z, P ) do typowych poję_ matematycznych, jakimi są liczby i funkcje. Przykșad 2.1. Zorganizowano loterię. W loterii wypuszczono 5 losów ponumerowanych od 1 do 5. Na los z numerem 1 pada gșówna wygrana 10 zș, na losy z numerami 2, 3 wygrana jest po 1 zș, a wyciągnięcie pozostașych losów oznacza, e musimy zapșaci_ po 2 zș. Zașó my, e wyciągnięcie ka dego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest postaci: Ω = ¶ω1, ω2, ω3, ω4, ω5♦, gdzie ωi oznacza zdarzenie elementarne polegające na wylosowaniu losu o numerze i. Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona, więc ka dy podzbiór Ω jest zdarzeniem loso- 20
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Rachunek prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: