Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00237 003948 12916032 na godz. na dobę w sumie
Scales of Banach Spaces, Theory of Interpolation and their Applications - ebook/pdf
Scales of Banach Spaces, Theory of Interpolation and their Applications - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 108
Wydawca: Uniwersytet Śląski Język publikacji: polski
ISBN: 978-8-3801-2525-4 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-17%), audiobook).

Celem niniejszej monografii jest omówienie teorii skal przestrzeni Banacha oraz teorii interpolacji wraz z podaniem przykładów ich zastosowań.

W pierwszej kolejności opisano teoretyczne podstawy teorii interpolacji. Podano  definicje oraz podstawowe twierdzenia dotyczące konstrukcji przestrzeni interpolacyjnych (interpolacja rzeczywista i zespolona).

Druga, główna, część monografii przedstawia definicję potęg ułamkowych operatorów, w szczególności dodatnich operatorów sektorialnych. Zaprezentowano także ich zastosowanie do konstrukcji skal przestrzeni Banacha, które jako główny obiekt badań są przykładem przestrzeni interpolacyjnych. W pracy zamieszczono również charakteryzację skal przestrzeni Banacha, która służy jako podstawa teoretyczna do opisu zastosowań tej teorii.

W trzeciej części pokazano wykorzystanie podanej wcześniej teorii do badania „zachowań” operatorów na różnych poziomach skali. Udowodniono twierdzenia dotyczące operatorów domkniętych oraz operatorów sektorialnych. Następnie opisano konkretne równania cząstkowe, w rozwiązywaniu których można zastosować wspomnianą teorię.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Scales of Banach Spaces, Theory of Interpolation and their Applications To Natalia NR 2957 Łukasz Dawidowski Scales of Banach Spaces, Theory of Interpolation and their Applications Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012 Redaktor serii: Matematyka Tomasz Dłotko Recenzent Paweł Strzelecki Contents Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chapter 1 Fractional powers of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Interpolation spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Spaces Dσ p 2.2. Definition of interpolation spaces S(p, θ, X; p, θ − 1, Y ) . . . . . . . . . . 23 2.3. Complex interpolation space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Another definition of interpolation spaces; Real interpolation space . . . 27 2.4.1. The K-method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2. The trace method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3. The Reiteration Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.4. Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chapter 3 Infinitesimal generators of semi-groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Infinitesimal generators of bounded semi-groups . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . 36 3.2. Infinitesimal generators of bounded analytic semi-groups Chapter 4 Scales of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1. Inductive Limits and Projective Limits of Sequences of Banach Spaces . . 40 4.2. Regular Spaces and Hyper-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chapter 5 Examples of scales of Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Chapter 6 Sectorial Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1. Examples of Sectorial Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6 Chapter 7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Contents Chapter 8 The abstract Cauchy problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.1. Examples and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Appendix A Theory of distributions and the Fourier transform . . . . . . . . . . . 99 A.1. Theory of distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 A.2. The Fourier transform of rapidly decreasing functions . . . . . . . . . . . 100 A.3. The Fourier transform of tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . 101 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Streszczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Rez(cid:24)me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Preface The task of this book is to present the theory of the scales of Banach spaces and the role they play in the modern theory of Partial Differential Equations. Some parts of the theory of interpolation are analysed here too. The book gathers the results of previous investigations on this subject, completed with the new ones. The present study is directed to the mathematics students finishing al- ready their university career, mathematicians and other people interested in mathematical science. To understand it, the basic knowledge from the fields such as a course on functional analysis containing the basics of Sobolev spaces and integral calculus in Banach spaces are required. Every reader should also be familiar with the theory of distributions and the Fourier transform, but the elementary theorems related to both of them can be found in Appendix A. The book is divided into three parts. The first one introduces the reader into the theory of the interpolation spaces, gives its brief description and presents the basic properties of interpolation spaces. As the precursors of the theory of interpolation we can consider M. Riesz and O. Thorin, who in the thirties proved the theorem of the interpolation of the spaces Lp(Ω). In 1939 the generalization of these results was published by J. Marcinkiewicz. After the Second World War the theory was inves- tigated by i.a. A. Zygmund, A.P. Calderón, E. Gagliardo and J.L. Lions along with J. Petree, who perceived the interpolation spaces as traces for variants of Sobolev spaces. The more complete description of the theory of interpolation spaces can be found i.a. in the monographs of H. Triebel, L. Tartar and A. Lunardi. The aim of the second, main part of the book, is to present the con- struction of the scale of the Banach spaces, generated by such an operator A : D(A) ⊆ X → X of the type (ω, M ) that 0 ∈ ρ(A). In this part we 8 Preface can find the description which contains the characterization of the scale of Banach spaces and the scale of dual spaces. The object of the last part is to show the applications of the theory given before in specific problems. We introduce the class of sectorial operators, which were widely considered i.a. by T. Kato, H. Tanabe and D. Henry, H. Amann, A. Lunardi. The connection of this class with the operators of the type (ω, M ) is analysed here too. It is also possible to find in this part some properties of the scale of Banach spaces, defined for sectorial operators. Finally, we deal with the investigation of the existence and smoothness of the solutions of some Cauchy’s problems, considered on different spaces on the scale of Banach spaces. The structure of the book is as follows: Chapter 1: introduces the definition of fractional powers of operator and describes their basic properties. Chapter 2: first deals with the spaces Dσ p and describes their properties and shows that they coincide with some interpolation spaces. Next, the classical approach to the theory of interpolation spaces is given and differ- ent methods of introducing these interpolation spaces, e.g. K-method and trace method of real interpolation and complex method of interpolation are presented. In this chapter can also be found the definition of the operator of the type (ω, M (θ)). Chapter 3: this short chapter gives the characterization of the domains of fractional powers of operator through infinitesimal generators of bounded semi-groups or bounded analytic semi-groups. Chapter 4: this crucial chapter contains two sections. The first one considers inductive limits and projective limits of sequences of Banach spaces and their properties. The second one shows construction of the scale of Banach spaces for the linear operator of the type (ω, M (θ)), which resolvent set contains 0. Next the characterization of the scale of Banach spaces is discussed. Chapter 5: the aim of this chapter is to introduce a few examples of the scales of the Banach spaces. One of the examples leads to definition of the fractional Sobolev spaces, which are useful spaces considered in the theory of Partial Differential Equations. Chapter 6: presents sectorial operators, describes their properties and gives some basic examples of such operators. Chapter 7: is devoted to some applications of the theories given before. At the beginning we consider the operators defined on different levels of the scale, that is to say for the operator A : D(A) ⊆ X → X we consider its 9 Preface restrictions or extensions A|X z for the spaces in the scale (X z)z∈R, generated by this operator. We show that if the operator A is closed or sectorial then all the operators A|X z are also closed or sectorial. Next we present the theorem which shows that under certain assumptions the scales of the Banach spaces can be achieved by using the method of complex interpolation spaces. Finally we will give the examples that justify the consideration of the spaces with fractional exponents on the scale. Chapter 8: deals with the Cauchy’s problem (cid:26) ut + Au = F (u), t 0, u(0) = u0. We consider the local X z-solutions as well as their existence and uniqueness. Next we reveal a few examples of Cauchy’s problems for which we search the local X z-solutions. Appendix A: contains basic facts referring to the theory of distributions and Fourier transform. Acknowledgments. I would like to express my deepest gratitude to Professor Tomasz Dłotko for his patience, help, the time spent correcting this book and the inspiration he gave me when I was writing it. I sincerely appreciate the comments on my work made by the listeners of the Seminar of the Department of Differential Equations. I am also greatly indebted to Professor Paweł Strzelecki whose valuable remarks significantly improved the manuscript. Finally, I am grateful to the Institute of Mathematics at the University of Silesia for the financial support. Lastly, but above all, I thank my wife for her patience, support and help. ŁukaszDawidowskiSkaleprzestrzeniBanacha,teoriainterpolacjiwrazzzastosowaniamiStreszczenieCelemniniejszejmonografiijestomówienieteoriiskalprzestrzeniBanachaorazteoriiinterpo-lacjiwrazzpodaniemprzykładówichzastosowań.Pracaskładasięztrzechczęści:dwiepierwszeopisująteorięzastosowanąnastępniewczęścitrzeciej,wktórejzanalizowanesąprzykładyjejużycia.Wpierwszejkolejnościopisanoteoretycznepodstawyteoriiinterpolacji.Podanodefinicjeorazpodstawowetwierdzeniadotyczącekonstrukcjiprzestrzeniinterpolacyjnych(interpolacjarzeczy-wistaizespolona).Druga,główna,częśćmonografiiprzedstawiadefinicjępotęgułamkowychoperatorów,wszczególnościdodatnichoperatorówsektorialnych.ZaprezentowanotakżeichzastosowaniedokonstrukcjiskalprzestrzeniBanacha,którejakogłównyobiektbadańsąprzykłademprzestrzeniinterpolacyjnych.WpracyzamieszczonorównieżcharakteryzacjęskalprzestrzeniBanacha,którasłużyjakopodstawateoretycznadoopisuzastosowańtejteorii.Wtrzeciejczęściomówionozastosowaniepodanejwcześniejteoriidobadania„zachowań”operatorównaróżnychpoziomachskali.Udowodnionotwierdzeniadotycząceoperatorówdo-mkniętychorazoperatorówsektorialnych.Gwarantująone,podpewnymizałożeniami,posiadanietychwłaściwościprzezoperatoryrozważanenadowolnychpoziomachskali.Następnieopisanokonkretnerównaniacząstkowe,wrozwiązywaniuktórychmożnazastosowaćwspomnianąteorię.PodaneprzykładydotycząszukaniarozwiązańowiększejregularnościpewnychrównańdrugiegorzęduzwarunkamibrzegowymitypuDirichletaorazrozwiązywanianieliniowegorównaniaLa-place’anapodstawieteoriiHenry’ego,któradotyczyrównańznieliniowościąspełniającąwarunekLipschitzanapodzbiorachograniczonych.LukaxDavidovskiXkalaBanahovihprostranstv.TeoriinterpolciiieeprimenenieRezmeCel~nastowemonografiivlecrassmotrenieteoriixkalybanahovyhprostranstv,ataketeoriiinterpolciinardusprivedieniemprimerovihispol~zovani.Rabotasostoitiztrehqaste:dvepervyeiznihopisyvatteori,vostrebovannuzatemvtret~eqasti,vkotoroanalizirucprimeryeeprimeneni.Vpervuoqered~opisyvacteoretiqeskieosnovaniteoriiinterpolcii.Privodcdefinicii,atakeosnovnyeutverdeni,kasawieskonstrukciiinterpolcionnovoprostranstva(racional~naikompleksnainterpolci).Vovtoro,glavnoqastimonografii,predstavlenadefinicidrobnyhstepeneoperatorov,vosobennostipoloitel~nyhsektorial~nyhoperatorov.Pokazanotakeihprimenenievoblastikonstrukciixkalybanahovyhprostranstv,kotoryevkaqestveglavnogopredmetaissledovanivlcillstracieinterpolcionnyhprostranstv.Krometogo,vrabotedanaharakteristikaxkalybanahovyhprostranstv,kotorosluitteoretiqeskimosnovaniemdlopisaniispol~zovani`etoteorii.Tret~qast~proeciruetpredstavlennuteorinaissledovanie povedeni operatorovnaraznyhurovnhxkaly.Dokazanyteoremy,kasawieszamknutyhisektorial~nyhoperatorov.Onigarantirut,sopredelennymiogovorkami,naliqieosobennosteoperatorovnalbyhurovnhxkaly.Daleeopisanykonkretnyeqastiqnyeuravneni,prirexeniikotoryhmonoispol~zovat~upomnututeori.Privedennyeprimerykasacpoiskarexenisbol~xeregulrnost~otdel~nyhuravnenivtorogopordkasgraniqnymiuslovimitipaDirihle,atakerexeniislinenogouravneniLaplasanaosnovaniiteoriiGenri,kotorakasaecuravnenisnelinenost~,vypolnweuslovieLipxicanaograniqennyhpodsistemah. Redaktor: Barbara Todos-Burny Projektant okładki: Beata Łojan Redaktor techniczny: Barbara Arenhövel Skład i łamanie: Łukasz Dawidowski, Beata Łojan Copyright © 2012 by Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Wszelkie prawa zastrzeżone ISSN 0208-6336 ISBN 978-83-226-2112-7 (wersja drukowana) ISBN 978-83-8012-525-4 (wersja elektroniczna) Wydawca Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego ul. Bankowa 12B, 40-007 Katowice www.wydawnictwo.us.edu.pl e-mail: wydawus@us.edu.pl Wydanie I. Ark. druk. 6,75. Ark. wyd. 7,0. Papier offset. kl. III, 90 g Cena 10 zł (+ VAT) Druk i oprawa: PPHU TOTEM s.c. M. Rejnowski, J. Zamiara ul. Jacewska 89, 88-100 Inowrocław
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Scales of Banach Spaces, Theory of Interpolation and their Applications
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: