Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00538 010306 10709648 na godz. na dobę w sumie
Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych - ebook/pdf
Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 287
Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-8-3796-9520-1 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> poradniki >> ekonomia
Porównaj ceny (książka, ebook (-22%), audiobook).
Monografia poświęcona jest parametrycznym i nieparametrycznym procedurom estymacji wykorzystującym statystyki pozycyjne. Opracowane metody mają istotne znaczenie w sytuacjach, gdy klasyczne parametry i ich estymatory nie mogą być stosowane. Opisano charakterystyki funkcyjne, w tym rozkłady graniczne statystyk pozycyjnych, metody szacowania parametrów funkcji gęstości zmiennych losowych, estymatory parametrów pozycyjnych, takich jak kwantyle oraz dominanta i metody estymacji wykorzystywane w analizach zjawisk ekstremalnych. Oprócz znanych procedur estymacji przedstawione zostały nowe propozycje, które w określonych sytuacjach stanowią lepsze narzędzia analiz statystycznych. Otrzymane wyniki badań własności estymatorów wskazują na praktyczne zastosowania analizowanych procedur, w szczególności autorskich modyfikacji. Podano również przykłady zastosowań statystyk pozycyjnych w takich obszarach badań ekonomicznych, jak analizy dochodów i wydatków gospodarstw domowych, estymacja miar ryzyka rynkowego i ubezpieczeniowego oraz statystyczna kontrola jakości. 
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz – Uniwersytet Łódzki, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Metod Statystycznych, 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r. nr 41/43 RECENZENT Wojciech Zieliński REDAKTOR WYDAWNICTWA UŁ Iwona Gos SKŁAD KOMPUTEROWY Barbara Lebioda PROJEKT OKŁADKI Stämpfli Polska Sp. z o.o. Zdjęcie na okładce: © shutterstock.com © Copyright by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2015 Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie I. W.06340.13.0.H ISBN 978-83-7969-519-5 (wersja papierowa) 978-83-7969-520-1 (wersja elektoniczna) Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl tel. (42) 665 58 63, faks (42) 665 58 62 SPIS TREŚCI Wprowadzenie .......................................................................................................................... 7 1. Statystyki pozycyjne i ich własności ................................................................................... 13 1.1. Uwagi wstępne................................................................................................................ 13 1.2. Podstawowe statystyki pozycyjne ................................................................................... 13 1.3. Charakterystyki liczbowe i funkcyjne statystyk pozycyjnych......................................... 19 1.4. Graniczne rozkłady statystyk pozycyjnych ..................................................................... 33 1.5. Uwagi końcowe............................................................................................................... 55 2. Metody estymacji oparte na statystykach pozycyjnych .................................................... 57 2.1. Uwagi wstępne................................................................................................................ 57 2.2. Metoda kwantyli.............................................................................................................. 58 2.3. Kwantylowa metoda najmniejszych kwadratów ............................................................. 68 2.4. Modyfikacje kwantylowej metody najmniejszych kwadratów........................................ 69 2.4.1. Kwantylowa metoda najmniejszych kwadratów z uciętą liczbą kwantyli ............. 70 2.4.2. Medianowo-kwantylowa metoda najmniejszych kwadratów ................................ 74 2.5. Metoda momentów ważonych prawdopodobieństwami.................................................. 75 2.6. Zmodyfikowana metoda momentów ważonych prawdopodobieństwami ............................ 84 2.7. Bayesowskie metody estymacji....................................................................................... 89 2.8. Bootstrapowe metody estymacji...................................................................................... 93 2.9. Uwagi końcowe............................................................................................................... 98 3. Analiza własności opartych na statystykach pozycyjnych estymatorów parametrów wybranych rozkładów......................................................................................................... 99 3.1. Uwagi wstępne................................................................................................................ 99 3.2. Badania własności estymatorów otrzymanych metodą kwantyli..................................... 100 3.3. Symulacyjne badania własności estymatorów otrzymanych kwantylową metodą najmniej- szych kwadratów z uciętą liczbą kwantyli ...................................................................... 120 3.4. Symulacyjne badania własności estymatorów uzyskanych medianowo-kwantylową metodą najmniejszych kwadratów............................................................................................... 132 3.5. Symulacyjne badania własności estymatorów otrzymanych metodami momentów ważo- nych prawdopodobieństwami ......................................................................................... 133 3.6. Analiza porównawcza własności wybranych estymatorów............................................. 138 3.7. Zastosowanie procedur estymacji opartych na statystykach pozycyjnych w badaniach eko- nomicznych ................................................................................................................... 143 3.8. Uwagi końcowe............................................................................................................... 144 6 Spis treści 4. Procedury estymacji parametrów pozycyjnych zmiennej losowej i ich zastosowania.... 147 4.1. Uwagi wstępne................................................................................................................ 147 4.2. Estymatory kwantyli ....................................................................................................... 148 4.3. Klasyczne metody wyznaczania przedziałów ufności dla kwantyli ................................ 156 4.4. Bayesowska estymacja kwantyli ..................................................................................... 163 4.5. Bootstrapowe procedury estymacji kwantyli................................................................... 168 4.6. Estymacja dominanty ...................................................................................................... 173 4.7. Przykłady zastosowań estymatorów parametrów pozycyjnych....................................... 178 4.7.1. Szacowanie miar ubóstwa i bogactwa w analizach dochodów ludności ............... 178 4.7.2. Estymacja miar ryzyka rynkowego....................................................................... 184 4.7.3. Konstrukcja kart kontrolnych z wykorzystaniem estymatorów mediany............. 192 4.8. Uwagi końcowe.................................................................................................................... 195 5. Statystyki pozycyjne w analizach zdarzeń ekstremalnych ................................................. 197 5.1. Uwagi wstępne................................................................................................................ 197 5.2. Estymacja parametrów uogólnionych rozkładów statystyk ekstremalnych..................... 198 5.3. Semiparametryczne metody szacowania indeksu ekstremalnego.................................... 201 5.4. Estymacja ogona rozkładu zmiennej losowej i jej zastosowanie..................................... 207 5.5. Bootstrapowa estymacja kwantyli wykorzystująca oszacowanie ogona rozkładu zmiennej losowej............................................................................................................................ 216 5.6. Zastosowanie statystyk ekstremalnych w wybranych procedurach estymacji................. 219 5.6.1. Szacowanie ryzyka ekstremalnego........................................................................ 219 5.6.2. Konstrukcja kart kontrolnych w oparciu o statystyki ekstremalne................................. 223 5.7. Uwagi końcowe............................................................................................................... 226 6. Wybrane empiryczne zastosowania statystyk pozycyjnych w badaniach ekonomicznych ... 227 6.1. Uwagi wstępne................................................................................................................ 227 6.2. Zastosowanie statystyk pozycyjnych w analizach dochodów i wydatków ludności.............. 228 6.3. Zastosowanie kwantyli z próby do estymacji miar ryzyka na rynku finansowym........... 234 6.4. Zastosowanie metod estymacji opartych na statystykach pozycyjnych na rynku ubezpie- czeniowym...................................................................................................................... 242 6.5. Wykorzystanie statystyk pozycyjnych w ocenie działalności przedsiębiorstw ............... 248 6.6. Uwagi końcowe............................................................................................................... 251 Zakończenie ............................................................................................................................... 253 Order statistics in estimation procedures and their applications in economic research (Summary) ................................................................................................................................. 259 Aneks. Charakterystyki funkcyjne i liczbowe wybranych rozkładów.................................. 263 Wybrane oznaczenia ................................................................................................................. 275 Literatura................................................................................................................................... 279 Od Redakcji............................................................................................................................... 287 WPROWADZENIE We współczesnych badaniach ekonomicznych, będących podstawą podej- mowania decyzji na różnych poziomach – przedsiębiorstwa, regionu czy też kraju – zauważa się wzrost zapotrzebowania na metody statystyczne. Odgrywają one rolę w procesach zbierania informacji, ich analizowania i interpretowania, a także udostępniania otrzymanych wyników. Ze względu na złożoność i różno- rodność gromadzonych obserwacji metody statystyczne oparte na klasycznych parametrach i ich estymatorach, wykorzystywane do analizy zjawisk ekono- micznych, nie zawsze pozwalają na przeprowadzenie pogłębionych analiz i sformułowanie prawidłowych wniosków. Brak momentów zwykłych i central- nych odpowiednich rzędów analizowanych zmiennych losowych, z którymi utożsamiane są badane cechy statystyczne, jak również występowanie obserwa- cji nietypowych utrudnia wnioskowanie statystyczne klasycznymi metodami. W takich przypadkach mogą być przydatne procedury oparte na statystykach pozycyjnych. Statystyki pozycyjne stanowią grupę statystyk wyznaczanych na podstawie uporządkowanych prób losowych. Znajdują one zastosowanie w konstrukcji estymatorów parametrów zmiennych losowych wykorzystywanych w procedu- rach parametrycznej i nieparametrycznej estymacji oraz przy weryfikacji hipotez statystycznych. Do podstawowych statystyk pozycyjnych zalicza się kwantyle z próby, w tym medianę, statystyki ekstremalne, tj. maksimum i minimum, oraz dominantę z próby. Medianę z próby stosuje się do szacowania wartości średniej, gdy roz- kład populacji jest asymetryczny bądź charakteryzuje się tzw. grubymi ogonami. Jest ona znacznie stabilniejsza niż średnia arytmetyczna, która jest bardzo wraż- liwa na wartości ekstremalne. Kwantyle rozkładu empirycznego używa się do pomiarów ryzyka rynkowego, finansowego i operacyjnego. Miary oparte na statystykach pozycyjnych stosowane są także w analizach dochodów oraz anali- zach zjawisk bardzo rzadko występujących, których pojawienie się powoduje duże straty finansowe. Oszacowanie wielkości tych strat możliwe jest przy uży- ciu statystyk ekstremalnych, ich rozkładów dokładnych lub granicznych. Staty- styki pozycyjne i ich funkcje wykorzystywane są również w statystycznej kon- troli jakości do tworzenia kart kontrolnych stosowanych w monitorowaniu 8 Wprowadzenie i regulacji procesu produkcyjnego oraz w wielu innych analizach dotyczących różnorodnych problemów ekonomicznych. Głównym celem rozprawy jest przedstawienie metod estymacji parametrów rozkładu populacji wykorzystujących statystyki pozycyjne oraz propozycji ich modyfikacji wraz z zaprezentowaniem wyników przeprowadzonych analiz wła- sności estymatorów stanowiących wskazówki w praktycznych zastosowaniach. W rozważaniach uwzględnione jest klasyczne ujęcie procedur estymacji oraz podejście nieklasyczne – bayesowskie i bootstrapowe, zarówno parametryczne, jak i nieparametryczne. Aby zrealizować tak sformułowany cel główny, określono cele szczegóło- we, do których należą:  analiza własności statystyk pozycyjnych, w szczególności ich rozkładów dla wybranych klas rozkładów zmiennych losowych;  prezentacja metod opartych na statystykach pozycyjnych wykorzystywa- nych do szacowania parametrów rozkładów zmiennych losowych oraz analiza ich własności;  propozycje modyfikacji procedur szacowania parametrów rozkładu zmien- nej losowej, prowadzące do otrzymania estymatorów o mniejszych obciążeniach i mniejszych błędach średniokwadratowych;  porównanie rozważanych metod dla wybranych klas rozkładów zmien- nych losowych oraz sformułowanie wniosków dotyczących ich efektywności;  prezentacja parametrycznych i nieparametrycznych metod estymacji kwantyli, w tym mediany;  analiza wybranych metod estymacji stosowanych w badaniach zjawisk ekstremalnych, w szczególności metod wykorzystujących oszacowania ogonów rozkładów rozważanych zmiennych;  wskazanie obszarów zastosowań rozważanych procedur statystycznych opartych na kwantylach w badaniach ekonomicznych. Weryfikacji poddano następujące hipotezy badawcze:  zastosowanie metody kwantyli z odpowiednio dobranymi rangami stoso- wanych statystyk pozycyjnych umożliwia uzyskanie estymatorów nieobciążo- nych lub asymptotycznie nieobciążonych o małych błędach średniokwadratowych;  modyfikacje kwantylowej metody najmniejszych kwadratów prowadzą do otrzymania estymatorów parametrów rozkładów populacji o mniejszych ob- ciążeniach i błędach średniokwadratowych niż estymatory uzyskane kwantylową metodą najmniejszych kwadratów oraz metodą kwantyli;  modyfikacja metody momentów ważonych prawdopodobieństwami, pole- gająca na zastosowaniu dystrybuanty empirycznej typu level crossing, pozwala otrzymać estymatory o lepszych własnościach w stosunku do estymatorów Wprowadzenie 9 uzyskanych metodą momentów ważonych prawdopodobieństwami z klasyczną dystrybuantą empiryczną;  procedury nieparametrycznej estymacji bootstrapowej umożliwiają uzy- skanie przedziałów ufności pokrywających wartość szacowanego parametru z prawdopodobieństwem w przybliżeniu równym ustalonemu współczynnikowi ufności o dokładności większej niż nieparametryczne metody klasyczne. Praca składa się z sześciu rozdziałów, w których omówiono zagadnienia metodologiczne związane z procedurami estymacji opartymi na kwantylach z próby oraz podano przykłady ich zastosowań. W rozdziale pierwszym przedstawiono statystyki pozycyjne i ich matema- tyczne funkcje. Zaprezentowano, znane z literatury przedmiotu, podstawowe twierdzenia dotyczące ich charakterystyk liczbowych, funkcyjnych, w tym roz- kładów granicznych, uzupełniając je twierdzeniami dotyczącymi własności sta- tystyk pozycyjnych wyznaczanych w oparciu o ciągi zmiennych losowych o wybranych rozkładach. Są one niezbędne do konstrukcji estymatorów przed- stawionych w dalszej części pracy. W rozdziale drugim omówiono metody estymacji punktowej parametrów rozkładu zmiennej losowej, wykorzystujące statystyki pozycyjne. Prezentowane w literaturze metody: kwantyli (por. J. Bartoszewicz [1996]), kwantylowa meto- da najmniejszych kwadratów (por. E. Castillo i in. [2004]), metoda momentów ważonych prawdopodobieństwami (por. J. A. Greenwood i in. [1979]), bootstra- powa (por. B. Efron, R. J. M. Tibshirani [1993]), uzupełnione są autorskimi propozycjami ich modyfikacji pozwalającymi uzyskać estymatory o mniejszym obciążeniu i mniejszej wariancji. Dwie proponowane metody stanowią modyfi- kacje kwantylowej metody najmniejszych kwadratów, a trzecia – metody mo- mentów ważonych prawdopodobieństwami. Pierwsza z nich polega na pominię- ciu w estymacji kwantylową metodą najmniejszych kwadratów ustalonej liczby k skrajnych kwantyli z próby, natomiast druga na wyznaczeniu estymatorów kwantylową metodą najmniejszych kwadratów z pominięciem różnej liczby skrajnych kwantyli, a następnie wyznaczeniu mediany z otrzymanych oszaco- wań. Inna propozycja modyfikacji dotyczy wykorzystania dystrybuanty empi- rycznej level crossing w metodzie momentów ważonych prawdopodobieństwa- mi. Ponadto w rozdziale tym prezentowane są metody estymacji bayesowskiej konstruowane przy ustalonym rozkładzie a priori szacowanego parametru i usta- lonej funkcji straty. Liniowa funkcja straty sprawia, że estymatorami szacowa- nych parametrów są kwantyle rozkładu a posteriori, czyli pewne funkcje statystyk pozycyjnych. W metodach bootstrapowych, omówionych w jednym z podroz- działów, istotne znaczenie mają kwantyle rozkładów bootstrapowych stosowane do konstrukcji przedziałów ufności. W rozdziale trzecim przedstawiono wyniki badań własnych dotyczących własności metod estymacji opartych na statystykach pozycyjnych, ze szczególnym 10 Wprowadzenie uwzględnieniem autorskich propozycji. W przypadku rozważanych metod nie zawsze możliwe jest analityczne zbadanie obciążeń i błędów średniokwadrato- wych otrzymanych estymatorów, dlatego stosowano metody Monte Carlo. Dzię- ki dostępnemu oprogramowaniu komputerowemu, szybkim procesorom istnieje możliwość wykonania tak dużej liczby powtórzeń analizowanych procedur, że wyniki badań symulacyjnych są praktycznie identyczne z wynikami obliczeń analitycznych. Przeprowadzone badania pozwalają ocenić własności rozpatry- wanych metod dla wybranych klas rozkładów populacji, porównać je oraz sformułować wnioski dotyczące ich efektywności i praktycznego zastosowania. W kolejnym rozdziale pracy zaprezentowano wykorzystanie statystyk pozy- cyjnych w estymacji parametrów pozycyjnych rozkładu zmiennej losowej, czyli kwantyli i dominanty. Problematyce estymacji punktowej i przedziałowej, pa- rametrycznej oraz nieparametrycznej kwantyli rozkładu badanej zmiennej, w szczególności parametru położenia – mediany, poświęconych jest wiele prac R. Zielińskiego (m.in. [2001], [2003], [2005a]) oraz W. Zielińskiego (np. [2008], [2009]). Oprócz klasycznych metod estymacji, w rozdziale tym przeanalizowano również wybrane bayesowskie i bootstrapowe metody szacowania parametrów pozycyjnych. Rozważano także metody szacowania dominanty, wykorzystujące statystyki pozycyjne (por. np. D. R. Bickel [2002], A. Sokołowski [2013], J. Wywiał [2000b]). W ostatnich podrozdziałach przedstawiono zastosowanie rozważanych estymatorów kwantyli, w tym własnych propozycji do konstrukcji estymatorów miar stosowanych w badaniach ekonomicznych. W rozdziale piątym omówiono metody estymacji wykorzystywane w anali- zach zjawisk ekstremalnych, rzadko występujących, których źródłem są załama- nia na rynkach finansowych, katastrofy czy też nietypowe warunki pogodowe. Podobnie jak w przypadku estymacji kwantyli, do estymacji parametrów rozkładu statystyk ekstremalnych mogą być stosowane parametryczne i nieparametryczne metody prezentowane w literaturze (por. m.in. R. A. Davis, S. T. Resnick [1984], A. L. M. Dekkers i in. [1989], B. M. Hill [1975], J. R. M. Hosting i in. [1985], J. Pickands [1975]) oraz proponowane w rozdziale drugim zmodyfiko- wane metody estymacji. Istotnym zagadnieniem jest szacowanie indeksu eks- tremalnego – parametru określającego kształt rozkładu statystyk ekstremalnych. Jego wartość związana jest z klasą rozkładu populacji. Gdy rozkład populacji charakteryzuje się grubymi (ciężkimi) ogonami, to jego wartość jest dodatnia, gdy cienkimi (lekkimi) ogonami – indeks wynosi zero, natomiast dla rozkładów o krótkich ogonach (ograniczonym przedziale wartości) przyjmuje on wartość ujemną. Ma to znaczenie przy wykrywaniu wartości nietypowych, rzadko występu- jących, przy obliczaniu prawdopodobieństw zajścia zdarzeń ekstremalnych oraz szacowaniu wielkości pojawiających się katastrof, przy ustalonym prawdopodo- bieństwie ich wystąpienia. Ponadto podano przykłady wykorzystania statystyk Wprowadzenie 11 ekstremalnych i ich funkcji do określania miar stosowanych w analizach eko- nomicznych, w tym finansowych. W rozdziale szóstym zaprezentowano empiryczne przykłady zastosowań metod estymacji opartych na statystykach pozycyjnych rozważanych w pracy. Ograniczono się do wspomnianych już wcześniej trzech obszarów badań ekono- micznych: analizy dochodów, bogactwa i ubóstwa, statystycznej kontroli jakości oraz zarządzania ryzykiem, tzw. zwykłym i ekstremalnym, a także wskazano możliwość ich wykorzystania w ubezpieczeniach majątkowych. Na podstawie rzeczywistych danych statystycznych pochodzących z Głównego Urzędu Staty- stycznego, jednostki kontrolującej jakość w przedsiębiorstwie produkującym urządzenia gospodarstwa domowego, publikowanych indeksów polskiej i amerykańskiej giełdy papierów wartościowych oraz danych dotyczących ubez- pieczeń komunikacyjnych pochodzących z pewnego zakładu ubezpieczeń zapre- zentowano zastosowanie wybranych metod. W zamieszczonym aneksie przedstawiono podstawowe charakterystyki funkcyjne i liczbowe rozkładów zmiennych losowych rozważanych w pracy. W niniejszej monografii zaprezentowano zarówno znane z literatury proce- dury estymacji, jak i własne propozycje. W poszczególnych rozdziałach mono- grafii przedstawiano rezultaty analitycznych rozważań oraz badań symulacyj- nych przeprowadzonych w oparciu o samodzielnie przygotowane programy napisane w środowisku Gauss i Mathematica. Pragnę serdecznie podziękować Recenzentowi – Panu Profesorowi zw. dr. hab. Wojciechowi Zielińskiemu – za cenne uwagi i sugestie, które wpłynęły na poprawę jakości publikacji. 1. STATYSTYKI POZYCYJNE I ICH WŁASNOŚCI 1.1. Uwagi wstępne Statystyki pozycyjne, zwane również porządkowymi, definiuje się na pod- stawie prób losowych uporządkowanych w sposób niemalejący lub nierosnący. W rozdziale przedstawiono pojęcia i własności podstawowych statystyk po- zycyjnych, do których należą kwantyle z próby, w szczególności mediana, kwartyle, decyle i percentyle z próby, statystyki ekstremalne oraz dominanta z próby. Po- nadto rozważano statystyki będące funkcjami statystyk porządkowych, wyko- rzystywane w estymacji parametrów położenia i zróżnicowania. Dla wybranych klas rozkładów sformułowano twierdzenia określające funkcje gęstości, dystrybuanty oraz charakterystyki liczbowe statystyk pozycyj- nych. Analizowano również rozkłady graniczne statystyk ekstremalnych, wyko- rzystywanych w badaniach zjawisk nietypowych. Wyboru rozpatrywanych rozkładów dokonano na podstawie analizy rozkładów mających praktyczne za- stosowanie w badaniach społeczno-ekonomicznych. W szczególności rozważano rozkłady zmiennych losowych, które nie mają momentów centralnych pierwsze- go i drugiego rzędu. Wykorzystanie zatem we wnioskowaniu statystycznym takich estymatorów, jak średnia arytmetyczna czy wariancja jest niemożliwe. Przedstawione statystyki pozycyjne oraz ich funkcje stosowane są w esty- macji parametrów rozkładów zmiennych losowych występujących w badaniach ekonomicznych oraz do szacowania różnego rodzaju miar definiowanych w oparciu o kwantyle rozkładów. 1.2. Podstawowe statystyki pozycyjne XX , 1 , ..., 2 nX Niech o rozkładzie określonym za pomocą dystrybuanty F, wartości, natomiast tych wartości. x n ( ) n ( ) x n ) ( )1( n ) ( )2( x , będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych – ciągiem ich – uporządkowanym niemalejąco ciągiem xx , 1 ..., ..., nx , , 2 14 Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji Statystyka pozycyjna jest funkcją wektora losowego  zdefi- niowaną w następujący sposób (por. np. M. Fisz [1967, s. 389–390], C. Domań- ski i in. [1998, s. 176]). XX nX ..., , , 2 1 Definicja 1.2.1. Statystyką pozycyjną ( ( kX ,) n ) gdzie nazywa- my zmienną losową, której wartościami są k-te co do wielkości wartości realiza- cji, losowego  XX , Liczbę k nazywamy rangą statystyki pozycyjnej uporządkowanego w , stanowiącego próbę losową, czyli wartości niemalejący, wektora natomiast wielkość sposób , , 21 nX kx ..., ..., .) n ) , n k ( ( , 2 1  ,n kX   k określamy jako rangę względną tej statystyki. n Statystyki pozycyjne zwane są również statystykami porządkowymi (por. J. Bartoszewicz [1996, s. 68]). We wnioskowaniu statystycznym wykorzystuje się statystyki wyznaczane w oparciu o n-elementową próbę prostą, którą stanowi ciąg niezależnych zmien- Za pomocą nych losowych statystyk pozycyjnych definiuje się kwantyle z próby, w szczególności medianę, kwartyle, decyle i percentyle z próby. , czyli wektor losowy  XX XX nX nX ..., ..., . , , , , 1 2 1 2 Definicja 1.2.2. Kwantylem rzędu p, gdzie ),1,0(p z n-elementowej próby prostej XX , 1 , ..., 2 nX nazywamy statystykę postaci: X np ;        X   n  np  , gdy np X   n   np   1  , gdy np  N ,  N , (1.2.1) gdzie [np] oznacza część całkowitą liczby np, natomiast N jest zbiorem liczb naturalnych. Kwantyl rzędu nazywany jest me- dianą. Ze względu na symetrię często definiuje się medianę w poniższy sposób (por. R. Zieliński [2011, s. 33]). z próby losowej 5,0p XX nX ..., , , 1 2 Definicja 1.2.3. Medianą Me z n-elementowej próby prostej XX , 1 , ..., 2 nX nazywamy statystykę określoną wzorem:
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: