Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00205 005942 13603998 na godz. na dobę w sumie
Symetria w fizyce materii - ebook/pdf
Symetria w fizyce materii - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 412
Wydawca: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego Język publikacji: polski
ISBN: 9788323525868 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> popularnonaukowe >> matematyka, fizyka, astronomia
Porównaj ceny (książka, ebook (-16%), audiobook).
Autor wprowadza Czytelnika w podstawowe pojęcia teorii grup języka, którym posługują się badacze fizyki cząsteczek oraz fizyki ciała stałego. Pierwsza część książki poświęcona jest ogólnym właściwościom izometrii w dwóch i trzech wymiarach, przekształceniom symetrii obiektów płaskich i przestrzennych oraz najprostszym zastosowaniom właściwości symetrii do zagadnień fizycznych; pojawia się tu także pojęcie grupy przekształceń. W części drugiej Autor omawia ogólne właściwości macierzy izometrii w dwóch i trzech wymiarach, macierze przekształceń symetrii w dwóch i trzech wymiarach oraz proste przykłady ich zastosowań fizycznych, a także pojęcie reprezentacji macierzowej grupy symetrii. W trzeciej części wprowadzono pojęcie reprezentacji macierzowej grupy na prostym przykładzie fal stojących na membranie kwadratowej; omówiono też inne przykłady reprezentacji grup oraz proste ich zastosowania do zagadnień mechaniki klasycznej i mechaniki kwantowej. Książka napisana jest jasnym, klarownym językiem i opatrzona licznymi ilustracjami, szczegółowo przedstawiającymi omawiane zagadnienia. Na stronie http://www.wuw.pl/product-pol-5998 Czytelnik znajdzie cykl prezentacji ściśle powiązanych z poruszanymi w niej problemami. Symetria w fizyce materii to lektura uzupełniająca dla studentów pierwszych lat uniwersyteckich wydziałów fizyki i chemii oraz niektórych wydziałów politechnik (elektronika, technologia materiałowa). Pierwsza część książki może być przydatna licealistom uczestniczącym w zajęciach kół fizycznych i ich nauczycielom, a także uczestnikom olimpiady fizycznej. Introduction of the language used by the particle physics and solid state physics researchers into the basic concepts of group theory. The author discussed the general properties of isometry and isometry matrices in two and three dimensions, and presented the simple examples of their applications to physics problems. He also introduced the concept of matrix group representation into description of the classical mechanics and quantum mechanics issues.
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

1. Izometrie w dwóch wymiarach 1.1. Wstęp Kiedy w języku potocznym mówimy, że jakiś obiekt jest symetryczny, myślimy zwykle o symetrii1 odbicia zwierciadlanego. Taką symetrię ma wiele kwiatów, na przykład fi ołek, o czym wspominaliśmy już we wstępie (rys. 1.1). Rys. 1.1. Fiołek ma symetrię zwierciadlaną względem płaszczyzny pionowej Rys. 1.2. Trójkąt równoramienny ma symetrię zwierciadlaną względem linii pionowej W przypadku dzieł architektury czy kwiatów symetria ta nie jest idealna. Jeżeli przyjrzeć się portalowi katedry, zobaczymy, że fi gury świętych po prawej stronie nie są idealnym odbiciem posągów ze strony lewej (rys. 1.3). Podobne różnice występują w przypadku realnego kwiatu czy ludzkiej twarzy. My takie różnice będziemy zaniedby- wać i myśleć o symetriach idealnych, takich jak symetrie fi gur matematycznych. Symetrię odbiciową ma na przykład trójkąt równora- mienny (rys. 1.2). Rys. 1.3. Symetria portalu katedry nie jest idealna 1 Symetria po grecku oznacza dosłownie współmierność; sym – współ, metron – miara. 22 1. Izometrie w dwóch wymiarach 1.2. Izometrie w dwóch wymiarach w geometrii elementarnej Defi nicja izometrii W geometrii elementarnej omawia się przekształcenia fi gur płaskich zwane izometriami2 (patrz np. [5]). Z defi nicji są to przekształcenia, które zachowują odległości pomiędzy punktami fi gury. Na przykład po przekształceniu trójkąta uzyskujemy trójkąt przystający (rys. 1.4). Przekształcenia tego typu mogą być dwóch rodzajów: 1) Zachowują orientację płaszczyzny, jak przekształcenie trójkąta ABC w trójkąt A B C . W obu tych trójkątach obiegi wskazane przez strzałki są zgodne z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. 2) Zmieniają orientację płaszczyzny, jak przekształcenie trójkąta ABC w trój- kąt A B C . W tym ostatnim trójkącie strzałki wskazują obieg przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara. B A(cid:99)(cid:99) (cid:74) A C (cid:74) C(cid:99) B(cid:99) B(cid:99)(cid:99)(cid:99) Rys. 1.4. Dwa rodzaje izometrii C(cid:99)(cid:99) –(cid:74) A(cid:99)(cid:99)(cid:99) Ponieważ izometrie przekształcają fi gury w fi gury do nich przystające, w przypadku wielokątów zachowują nie tylko długości boków, ale i wartości bezwzględne kątów pomiędzy nimi. 1) Jeżeli orientacja przestrzeni jest zachowana, kąty pozostają niezmienione. 2) Jeżeli orientacja przestrzeni zostaje odwrócona, kąty zmieniają znaki. Podstawowe typy izometrii W dwóch wymiarach wyróżniamy trzy podstawowe rodzaje izometrii: 1) przesunięcia3, 2) obroty, 3) odbicia zwierciadlane4, 4) wspomnimy także o inwersji wzglę- dem punktu. Przypomnijmy je krótko po kolei. P Rys. 1.5. Przesunięcie P(cid:99) 2 Nazwa pochodzi z greki: izos – równy, metron – miara. 3 Przesunięcie nazywamy też translacją; łacińskie translatio – przeniesienie. 4 Symetrię odbiciową w dwóch wymiarach nazywa się także symetrią osiową. 1.2. Izometrie w dwóch wymiarach w geometrii elementarnej 23 Przesunięcie Przesunięcie polega na tym, że każdy punkt przekształconej fi gury został przemieszczony w tym samym kierunku, z tym samym zwrotem i o tę samą odle- głość. Przedstawia to rysunek 1.5. Obrazem punktu P jest punkt P , przesunięty o odcinek wskazany strzałką. W tej książce przesunięciami praktycznie nie będziemy się zajmować. Będziemy się ograniczać niemal wyłącznie do izometrii zachowujących co naj- mniej jeden ustalony punkt w przestrzeni, czyli do izometrii punktowych. Jeżeli w dalszym ciągu książki będziemy używać nazwy „izometria” bez dodat- kowego objaśnienia, będziemy myśleć o przekształceniach tego rodzaju. Obrót Obrotem względem punktu O o kąt α nazywamy przekształcenie, które punk- towi P przypisuje punkt P (rys. 1.6) – P leży na prostej OP , która z prostą OP tworzy kat α. Przyjmuje się kon- wencję, że kąt α jest dodatni, jeżeli obrót zachodzi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. – długość odcinka OP jest równa długości odcinka OP. Rys. 1.6. Obrót P(cid:99) P (cid:65) O P(cid:99) P O L Rys. 1.7. Odbicie zwierciadlane W tej książce na oznaczenie obrotu o kąt α używać będziemy symbolu C(α). 2(cid:155) n , gdzie n jest liczba naturalną, używać będziemy Jeżeli następuje obrót o kąt oznaczenia Cn. Zauważmy, że dowolny obrót w płaszczyźnie możemy interpretować jako obrót względem osi do tej płaszczyzny prostopadłej. Inna jest sytuacja w przy- padku obrotów w przestrzeni, które mogą być dokonywane względem osi zorien- towanych dowolnie. Powrócimy do tej sprawy w podrozdziale 4.1. Odbicie zwierciadlane Odbiciem zwierciadlanym fi gury względem linii L nazywamy przekształcenie, które punktowi P przypisuje punkt P (rys. 1.7): − P leży na prostej przechodzącej przez punkt P i prostopadłej do linii L. Prosta ta przecina prostą L w punkcie O. − Długość odcinka OP jest równa długości odcinka OP. Odbicie zwierciadlane będziemy oznaczać symbolem σ. 24 1. Izometrie w dwóch wymiarach Odbicia mogą być dokonywane względem dowolnie zorientowanej linii L. Aby to doprecyzować, będziemy podawać wersor prostopadły do tej linii: s . Będziemy więc używać w zasadzie oznacz enia σ( )s . Notacja taka jest jednak dość uciążliwa. Jeżeli będziemy mieli do czynienia na raz tylko z kilku róż- nymi odbiciami, będziemy je po prostu numerować, pisząc: σ1, σ2, ... (patrz np. podrozdział 2.1). Inwersja Inwersją5 fi gury względem punktu O nazywamy przekształcenie, które punk- towi P przypisuje punkt P (rys. 1.8a): – P leży na prostej przechodzącej przez punkt P i punkt O. – długość odcinka OP jest równa długości odcinka OP. Inwersję będziemy oznaczać symbolem i. a) P b) P O P(cid:99)(cid:99) O P(cid:99)(cid:99) Rys. 1.8. a) Inwersja. b) Inwersja w dwóch wymiarach jest równoważna obrotowi o 180° Z rysunku 1.8b widać, że w dwóch wymiarach inwersja jest tożsamościowo równa obrotowi o kąt 180°, czyli o π. Inaczej jest w trzech wymiarach. Wrócimy do tej sprawy w podrozdziale 4.1. „Do kompletu” wprowadza się jeszcze pojęcie tożsamości, która odpowiada przekształceniu fi gury w samą siebie. Tożsamość będziemy oznaczać symbolem e. Tożsamość 1.3. Składanie izometrii Złożenie dwóch izometrii jest też izometrią, bo każda z operacji składowych zachowuje odległości pomiędzy punktami fi gury. Przypuśćmy, ze najpierw doko- naliśmy izometrii a, a potem izometrii b. Złożenie tych dwóch przekształceń symetrii daje w wyniku izometrię c. Zapisujemy to: c = ba. (1.1) 5 Nazwa pochodzi z łaciny: inversio – odwrócenie. Przekształcenie to nazywa się także syme- trią środkową. W geometrii wprowadza się poza tym inwersję względem okręgu (patrz np. [20]). Tego typu przekształcenie nie jest izometrią, nie będziemy się nim zajmować. 1.3. Składanie izometrii 25 Zgodnie z przyjętą ogólnie konwencją pierw- sza operacja zapisana jest po prawej, a druga po lewej. Wygoda takiego zapisu wyjaśni się w dal- szym ciągu książki. Można oczywiście podobnie składać więcej niż dwie izometrie, co wielokrotnie będziemy robić w dalszym ciągu książki. Jeżeli składamy ze sobą kilka identycznych izometrii, używamy symboli analogicznych do zwykłego potęgowania: aaa = a3 itp. aa = a2, (cid:66) (cid:65) O Rys. 1.9. Złożenie dwóch obrotów (1.2) (1.3) Złożenie kilku obrotów 1) Złożenie dwóch obrotów względem punktu, odpowiednio o kąty α i β, jest także obrotem: o kąt równy sumie kątów, czyli o α + β. Przedstawia to rysunek 1.9. 2) Złożenie obrotów o kąty α i β = – α jest operacją tożsamościową e. 3) n-krotnie powtórzony obrót o 1 formację tożsamościową. Zatem n kąta pełnego daje kąt pełny, czyli trans- (Cn)n = e. (1.4) Złożenie dwóch odbić zwierciadlanych Rozpatrzmy złożenie dwóch odbić zwierciadlanych: σ1 względem linii L1 i σ2 względem linii L2. Linie L1 i L2 tworzą ze sobą kąt γ. Złożenie to jest obrotem o kąt 2γ. Przedstawia to rysunek 1.10. Na rysunku tym kąt pomiędzy liniami odbić jest równy γ  =  α  +  β. Trójkąty PQO i  P QO są przystające. Przystające są także trójkąty P Q O i P Q O. Z  rysunku widać, że punkt P został obrócony względem punktu O o kąt  2α + 2β = 2γ. Zatem P L1 (cid:65) O Q (cid:65) (cid:66) (cid:66) P(cid:99) Q(cid:99) L2 P(cid:99)(cid:99) Rys. 1.10. Złożenie dwóch odbić σ2σ1 = C(2γ). (1.5) Dwukrotne powtórzenie tego samego odbicia daje operację tożsamościową e, czyli (1.6) Wynika to też ze wzoru (1.5): Jeżeli kąt γ pomiędzy liniami L1 i L2 jest równy zeru, to i  2γ  =  0, a obrót o kąt zerowy jest toż- samością. σσ = σ2 = e. 26 1. Izometrie w dwóch wymiarach Złożenie izometrii nie zawsze jest przemienne Operacja złożenia izometrii na ogół nie jest przemienna, czyli może zachodzić ba ≠ ab. (1.7) Nie jest na ogół przemienne składanie dwóch odbić zwierciadlanych (rys. 1.11). Na rysunku tym kąt między liniami L1 i L2 jest równy γ (por. rys. 1.10). L2 (cid:99)(cid:99) P(cid:99)(cid:99) P(cid:99) (cid:99) L1 L2 P (cid:99) P(cid:99) L1 P Rys. 1.11. Składanie odbić zwierciadlanych nie jest na ogół przemienne (cid:99)(cid:99) P(cid:99)(cid:99) a) wykonanie najpierw odbicia względem linii L1, a potem względem linii L2 daje obrót o kąt +2γ σ2σ1 = C(2γ), (1.8) b) wykonanie najpierw odbicia względem linii L2, a potem względem linii L1 daje obrót o kąt –2γ σ1σ2 = C(–2γ). (1.9) Przemienne jest natomiast złożenie odbić względem dwóch linii prostopad- (cid:155) . Wtedy 2γ = π, a obrót o + π jest równoważny obrotowi łych, czyli dla kąta γ = 2 o –π (rys. 1.12). P(cid:99) P(cid:99)(cid:99) P P(cid:99)(cid:99) P P(cid:99) Rys. 1.12. Składanie odbić względem linii prostopadłych jest przemienne Złożenie obrotu o kąt α i odbicia zwierciadlanego także zależy od kolejności wykonania tych operacji (rys. 1.13). 1.3. Składanie izometrii 27 P(cid:99)(cid:99) (cid:99)(cid:99) P(cid:99) (cid:99) P P(cid:99) (cid:99) P(cid:99)(cid:99) (cid:99)(cid:99) P O O Rys. 1.13. Złożenie obrotu i odbicia zwierciadlanego nie jest na ogół przemienne Przemienne jest natomiast złożenie odbicia i obrotu o kąt π (rys. 1.14). P(cid:99) P O O P P(cid:99)(cid:99) P(cid:99) P(cid:99)(cid:99) Rys. 1.14. Złożenie obrotu o kąt π i odbicia zwierciadlanego jest przemienne Omówione cechy przemienności składania izometrii będą miały istotne znaczenie na przykład przy omawianiu symetrii prostokąta czy rombu (podroz- dział 2.8). Izometrie odwrotne Do każdej izometrii a można dobrać izometrię b, która złożona z izometrią a daje tożsamość. Taką izometrię nazywamy izometrią odwrotną do a i ozna- czamy symbolem a–1. Zapisujemy to: 1) Izometrią odwrotną do obrotu o kąt α jest obrót o kąt –α: a–1a = aa–1 = e. C(α)–1 = C(–α). (1.10) (1.11) 2) Obrót o kąt π jest równoważny obrotowi o kąt –π. Zatem izometrią odwrotną do obrotu o kąt π, czyli C2 = i jest też obrót o kąt π, czyli C2 = i: (1.12) 2 = e, C2 3) Izometrią odwrotną do odbicia σ jest to samo odbicie σ, bo σσ = e. i2 = e. (1.13) 28 1. Izometrie w dwóch wymiarach 1.4. Wynik złożenia izometrii w dwóch wymiarach Zarówno obroty wokół określonego punktu O, jak i odbicia względem linii przechodzących przez ten punkt zachowują odległości punktów od punktu O. Zatem przekształcają okrąg o środku w O w samego siebie. Można więc wybrać dwa punkty przekształcanej fi gury A i B, które znajdują się na okręgu tego rodzaju. Po dokonaniu dowolnej liczby przekształceń uzyska się parę punktów fi gury przekształconej, które są obrazami punktów A i B. Punkty te leżą na tym samym okręgu, co punkty A i B. Są przy tym tylko dwie możliwości (rys. 1.15): 1) Orientacja nowych punktów A1, B1 jest względem okręgu identyczna jak punktów A i B. Wtedy parę punktów A, B można przekształcić w A1, B1 jednym obrotem. 2) Orientacja nowych punktów A2, B2 jest względem okręgu przeciwna niż punktów A i B. Wtedy parę punktów A, B można przekształcić w A2, B2 jednym odbiciem. Zatem wynik dowolnej liczby punktowych operacji symetrii w dwóch wymia- rach da się przedstawić jako jedna operacja tego rodzaju. B2 A2 B A O B1 A1 Rys. 1.15. Wynik przekształceń symetrii. Szczegóły w tekście 1.5. Izometrie sprzężone Wprowadzenie Niektóre z rozważanych przez nas operacji symetrii są do siebie „podobne”. Czujemy, że na przykład: dem linii L1, – odbicie zwierciadlane względem linii L2 jest „podobne” do odbicia wzglę- – obrót o kąt 90° jest „podobny” do obrotu o –90° itp. Spróbujmy sformułować to bardziej precyzyjnie. PRZYKŁAD 1 Jeżeli chcemy w dwóch wymiarach dokonać odbicia jakiejś fi gury względem linii L2 (pozioma strzałka), możemy to zrobić w sposób bardziej skomplikowany (rys. 1.16): 1.5. Izometrie sprzężone 29 L2 P P1 L2 P L2 L2 P1 L1 P2 L1 P2 L1 P3 L1 P3 Rys. 1.16. Odbicie względem osi 2 jako złożenie trzech operacji 1) Najpierw obrócić fi gurę o kąt –90°, czyli dokonać transformacji jest transformacją odwrotną względem C4 (łuk w prawo). 4C , która 3 2) Następnie odbić fi gurę względem linii L1 (pionowa strzałka). 3) Na końcu obrócić uzyskaną fi gurę o kąt +90°, czyli dokonać transformacji C4 (łuk w lewo). PRZYKŁAD 2 Podobnie obrócić fi gurę o –90° możemy następująco (rys. 1.17): L O P P2 L P L P2 L O P1 P3 P3 P1 Rys. 1.17. Obrót o –90° jako złożenie trzech operacji 1) Odbić ją względem osi L (pozioma strzałka w lewo). 2) Obrócić o kąt +90° (łuk). 3) Ponownie odbić względem osi L (pozioma strzałka w prawo). Izometrie sprzężone Jeżeli izometria c da się przedstawić przez izometrie a i b w postaci mówimy, że izometrie c i a są sprzężone. c = bab–1, (1.14) Zgodnie z tą defi nicją sprzężone są ze sobą na przykład: – odbicie względem osi L1 i odbicie względem osi L2 z przykładu 1, – obrót o +90° i –90° z przykładu 2. 30 1. Izometrie w dwóch wymiarach Uogólniając rozważania z przykładów 1 i 2, można wykazać, że: 1) Wszystkie odbicia zwierciadlane sprzężone są ze sobą. 2) Sprzężone są obroty o kąty α i –α. Izometria jest sprzężona sama ze sobą Zgodnie z podaną defi nicją każda izometria jest sprzężona sama ze sobą. 1) Przykład trywialny. Jeżeli wybrać we wzorze b = a, wtedy c = bab–1 = aaa–1 = a(aa–1) = a. 2) Przykład mądrzejszy. Rozpatrzmy wybór: a jest obrotem w płaszczyźnie o kąt α, b jest obrotem o kąt β. Wtedy złożenie (1.14) odpowiada obro- towi o kąt φ = – β + α + β = α. Do problemu operacji sprzężonych będziemy powracać w przyszłości wie- lokrotnie. Na przykład będziemy omawiać klasy elementów sprzężonych, kiedy zajmiemy się bardziej szczegółowo grupami symetrii (np. podrozdział 2.11). 1.6. Przekształcanie wektora Do tej pory omawialiśmy problem izometrii zupełnie ogólnie. Teraz zastosu- jemy te rozważania do transformacji wektorów. Rozpatrzmy pewien wektor x o początku w punkcie O. Punkt ten zachowują rozważane izometrie. Pod wpły- wem izometrii a wektor x przejdzie w inny wektor y . Napiszemy to formalnie:  y a . ˆ x (1.15) Symbolem aˆ oznaczyliśmy operator przekształcający pierwszy z wektorów w drugi. Ponieważ operacja przekształcenia jest izometrią, wartość wektora y jest taka sama jak wartość wektora x . Natomiast kierunek i zwrot są na ogół inne. Transformacja wektora przy odbiciu Rozpatrzmy teraz wektor y , który stanowi odbicie wektora x względem linii L (rys. 1.18). L –s(sx)(cid:111)(cid:111)(cid:111) P(cid:99) –s(sx)(cid:111)(cid:111)(cid:111) P y(cid:111) x(cid:111) s(cid:111)O s(sx)(cid:111)(cid:111)(cid:111) Rys. 1.18. Odbicie wektora względem linii L 1.6. Przekształcanie wektora 31 jest do tej linii prostopadły. Z rysunku widać, że Wersor s )sx s  Możemy zauważyć, że (  Oznaczmy ją symbolem x postaci  y  x   ) sx s 2(   . (1.16) jest składową wektora x prostopadłą do linii L. . Wzór (1.16) można wtedy zapisać w równoważnej  y  x   2  x (1.17) jest prostopadły do linii L, od której następuje odbicie. . Są jednak dwie możliwości wyboru takiego wersora: Z defi nicji wersor s 1) Pierwsza jak na rysunku 1.18. Wersor s  2) Druga z wersorem s    , czyli zwróconym w lewo. Wybór zwrotu wersora nie wpływa jednak na wektor y (1.16). W znajdującym się w nim iloczynie wersor s  s jest zwrócony w prawo. , określony wzorem występuje dwukrotnie. Transformacja wektora przy obrocie Rozpatrzmy teraz obrót o kąt α (rys. 1.19). Pod wpływem takiego obrotu wektor x przechodzi w wektor y . p(cid:111) y(cid:111) (cid:111) sin(cid:65)(cid:152)p (cid:65) (cid:111) cos(cid:65)(cid:152)x x(cid:111) Rys. 1.19. Obrót wektora o kąt α. Szczegóły w tekście Wprowadźmy jeszcze pomocniczy wektor p – ma taką samą długość jak wektor x – jest do wektora x , który prostopadły i ma taki zwrot, że kąt obrotu od x , do p jest dodatni. Z rysunku widać, że zachodzi związek  cos  y   x   sin    p . (1.18) Dygresja W zasadzie prowadzimy na razie rozważania w dwóch wymiarach. Dopuść- prostopadły do moglibyśmy my jednak na moment wymiar trzeci i wprowadźmy wersor r rozważanej płaszczyzny i zwrócony przed kartkę. Wtedy wektor p zapisać w postaci iloczynu wektorowego   x r . Wrócimy do tego zapisu w podrozdziale 4.7. (1.19)    p 32 1. Izometrie w dwóch wymiarach 1.7. Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym dwóch wektorów w i v nazywamy skalar określony wzorem (1.20) gdzie w i v oznaczają odpowiednio wartości wektorów, a φ kąt pomiędzy nimi. Pamiętamy, że cosinus jest funkcją parzystą: cos(–φ) = cosφ.   φ, wv wv  cos  Ponieważ izometrie zachowują długości odcinków i wartości bezwzględne kątów, zachowują także wynik iloczynu skalarnego (rys. 1.20). (cid:74) (cid:74) (cid:74) (cid:74) (cid:74) –(cid:74) v(cid:111) (cid:74) (cid:74) (cid:74) w(cid:111) Rys. 1.20. Iloczyn skalarny pary wektorów przekształconych przez izometrię jest taki sam, jak iloczyn skalarny wektorów wyjściowych Możemy to zapisać w formie (patrz też wzór (1.15)): ( ˆ a   ˆ )( a w v )   wv . (1.21) 1.8. Przekształcanie funkcji Na zakończenie tego rozdziału rozpatrzmy jeszcze pewną funkcję dwóch zmiennych (1.22) określoną na rozważanej płaszczyźnie. Pod wpływem operacji a funkcja ta przej- dzie w na ogół nową funkcję (rys. 1.21)  a ˆ ( ) f x (1.23)  ( ) g x  ( ) f x 2)x ( f x 1 , .  x2 x2 (cid:111) (cid:111) g(x) = a f (x) (cid:154) x2 Rys. 1.21. Przekształcenie funkcji pod wpływem obrotu. Szczegóły w tekście x1 f (x)(cid:111) (cid:74) (cid:74)(cid:74) x1 f (x)(cid:111) x(cid:111) y = a–1 x(cid:111)(cid:154)(cid:111) x1 1.8. Przekształcanie funkcji 33 łający teraz na funkcję funkcja jest funkcją Podobnie jak w podrozdziale 1.6 symbolem ˆa oznaczyliśmy operator, dzia- . Rysunek 1.21 przedstawia to dla obrotu. Nowa obróconą o kąt α, na rysunku równy 75°. f x ( ) ( )g x w punkcie x , gdzie wektor y ma taką war- jest wektorem f x ( ) f x ( ) ( )g x obróconym o kąt –α (na rysunku 1.21 o kąt –75°). Zauważmy na tym rysunku, że nowa funkcja w punkcie y tość, jaką miała stara funkcja x  y Ogólnie możemy to zapisać w formie: ˆ a  1ˆ x  ( ) g x  ( ) f x  x 1 ) . ˆ a   f ( a . (1.24) (1.25) W rozdziale 4 uogólnimy nasze dotychczasowe rozważania na przypadek trzech wymiarów. PRZYKŁAD f x Zastosujmy te ogólne wzory do szczególnego przypadku, kiedy funkcja ( ) postać gdzie n jest wersorem, a F(x) funkcją jedynie wartości wektora x że F(x) przechodzi w siebie pod wpływem dowolnej izometrii a.  ( ) nxF x  ( ) f x  , ma (1.26) . Oznacza to, Jako przykład funkcji o postaci (1.26) mogą służyć (ograniczone do dwóch wymiarów): 1) Funkcja opisująca potencjał dipola (cid:71) (cid:71) p x e x 3 (cid:71) ( ) V x 1 4 (cid:155)(cid:304) (cid:32) 0 (cid:71)(cid:75) nx (cid:32) p e 4 (cid:155)(cid:304) 0 , 3 x gdzie  p e  np e jest momentem dipolowym. 2) Funkcja falowa stanu 2p atomu wodoru (bez czasu, rys. 1.22): (cid:71) ( ) x (cid:32) (cid:92) 2 p 1 4 2 (cid:155) (cid:71)(cid:71) nx aa 3 B B (cid:16) x a B 2 e (cid:71)(cid:71) nx (cid:32) 1 4 2 (cid:155) a 5 B (cid:16) x a B 2 e . (1.27) (1.28) a) b) c) (cid:111)an (cid:65) n(cid:111) Rys. 1.22. Obrót funkcji elektronowej p atomu wodoru 34 1. Izometrie w dwóch wymiarach wersora n Z rysunku 1.22 widać, że obrócenie takiej funkcji sprowadza się do obrócenia o kąt α. Wykażmy to jednak „naukowo”, korzystając ze wzoru (1.15). 1) Dla funkcji o postaci (1.26) i izometrii a mamy  n  ( ) g x  ( ) f x  ) x F  n  x  x ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a   f ( )   1  1  ( 1  ( ) 1  ( ˆ a  ) ( ) x F x . (1.29) Skorzystaliśmy z tego, że funkcja F(x) przechodzi w siebie pod wpływem dowolnej izomerii a, czyli 2) Stwierdziliśmy w poprzednim podrozdziale, że dla dowolnych wektorów i v w i dowolnej izometrii a zachowany jest iloczyn skalarny, czyli zacho-     a ˆ 1ˆ( )( a . Zastosujmy tę równość do iloczynu skalarnego ) w v wv x , dzi     kładąc w n v i a 1ˆ( x  ( ) F x  n F ˆ a  ( ) . ) a 1ˆ x :  ˆ ( a n 1   x )  ( ˆ a )( ˆ ˆ aa 1  )  ( ˆ a  n  x   ) n x . Stąd  ( ) g x  ( ) f x ˆ a   f ( ˆ a 1   x )  ( ˆ a   ) ( ) n xF x . Jak oczekiwaliśmy – przekształcenie funkcji (1.26) sprowadza się do prze- kształcenia wersora  n . (1.30) (1.31)
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Symetria w fizyce materii
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: