Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
02245 045576 15675695 na godz. na dobę w sumie
Szczególna Teoria Względności - ebook/pdf
Szczególna Teoria Względności - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 150
Wydawca: Self Publishing Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-272-3464-3 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> inne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Szczególna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na których wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.

Szczególna Teoria Względności jest pierwszą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:

• Ogólna Teoria Względności

• Twórcy Teorii Względności

Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w trzeciej części tryptyku.

 

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Zbigniew Osiak SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI 2 Zbigniew Osiak SZCZEGÓLҭA TEORIA WZGLĘDҭOŚCI MECHAҭIKA RELATYWISTYCZҭA POLE ELEKTROMAGҭETYCZҭE Matematyka powinna być służącą, a nie królową. Joli, mojej żonie poświęcam 3 © Copyright by Zbigniew Osiak Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacji zabronione bez pisemnej zgody autora. Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowej Małgorzata Osiak Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej Rafał Pudło Wydawnictwo: Self Publishing ISBN: 978-83-272-3464-3 e-mail: zbigniew.osiak@live.com 4 WSTĘP Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę. Szczególna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na któ- rych wykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mam nadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów. Szczególna Teoria Względności jest pierwszą częścią tryptyku, pozostałe dwie to: • Ogólna Teoria Względności • Twórcy Teorii Względności Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się w trzeciej części tryptyku. Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew Nikołajewicz Landau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi- wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanie istoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru. Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat. Zbigniew Osiak Wrocław, wrzesień 2004 5 SPIS TREŚCI STROҭA TYTUŁOWA STROҭA PRAW AUTORSKICH WSTĘP MECHAҭIKA RELATYWISTYCZҭA 1. Postulaty Einsteina 12 • Postulaty Einsteina 12 • Kowariantność (współzmienniczość) równań względem transformacji Lorentza 12 • Inwariantność prędkości światła w próżni względem transformacji Lorentza 12 2. Transformacje Lorentza 13 • Szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych 13 • Przestrzeń Minkowskiego 14 • Przekształcenia Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni 14 • Własności znakowe kwadratu odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń 15 3. Macierz transformacji Lorentza 16 • Macierz transformacji Lorentza 16 • Macierz odwrotnego przekształcenia Lorentza 17 4. Podstawowe wnioski wynikające z transformacji Lorentza 18 • Równoczesność zdarzeń i następstwo czasowe 18 • Dylatacja czasu 19 • Kontrakcja (skrócenie) długości 19 • Podstawowy eksperyment szczególnej teorii względności 20 5. Czas własny 21 • Czas własny 21 6. Grupa Lorentza 22 • Grupa Lorentza 22 • Szczególne transformacje Lorentza 23 • Obroty trójwymiarowe 23 • Inwersje osi współrzędnych przestrzennych 24 • Odwrócenie (inwersja) czasu 24 • Przekształcenie tożsamościowe 24 • Grupy Poincaré i Lorentza jako grupy Liego 24 7. Transformacje Lorentza czterowektora 28 • Czterowektory 28 • Transformacja Lorentza czterowektora 28 • Kwadrat modułu czterowektora jako niezmiennik 28 • Odwrotna transformacja Lorentza czterowektora 29 • Iloczyn skalarny dwóch czterowektorów jako niezmiennik 29 6 8. Transformacje Lorentza czterotensora drugiego rzędu 30 • Czterotensory drugiego rzędu 30 • Transformacja Lorentza czterotensora drugiego rzędu 30 • Odwrotna transformacja Lorentza czterotensora drugiego rzędu 32 • Ślad tensora jako niezmiennik 33 • Wyznacznik tensora jako niezmiennik 34 9. Czterogradient, czterodywergencja i dalambercjan 34 • Czterogradient 34 • Czterodywergencja 35 • Czterodywergencja jako niezmiennik 35 • Dalambercjan 35 10. Czterowektory położenia, prędkości, przyspieszenia i pędu 36 • Czterowektor położenia 36 • Czterowektor prędkości 36 • Kwadrat modułu czterowektora prędkości 37 • Relatywistyczna transformacja prędkości 37 • Relatywistyczne składanie prędkości równoległych 38 • Doświadczenie Fizeau 38 • Czterowektor przyspieszenia 39 • Relatywistyczna transformacja przyspieszenia 40 • Czteroprędkość i czteroprzyspieszenie w układzie własnym cząstki 41 • Czterowektory prędkości i przyspieszenia cząstki są ortogonalne 41 • Czterowektor pędu 42 • Prędkość i przyspieszenie jako pochodne promienia wodzącego względem długości przedziału czasoprzestrzennego 43 11. Dynamika relatywistyczna 44 • Czterowymiarowe relatywistyczne równania ruchu, siła Minkowskiego 44 • Czwarta składowa czterowektora siły Minkowskiego 44 • Trójwymiarowe relatywistyczne równania ruchu Minkowskiego 45 • Trójwymiarowe „relatywistyczne” równania ruchu Plancka 45 • Energia kinetyczna, całkowita i spoczynkowa w mechanice relatywistycznej 46 • Relatywistyczna transformacja siły 47 • Składowe czterowektora siły wyrażone przez składowe trójwymiarowych wektorów prędkości i przyspieszenia 47 • Czterowekor pędu-energii 48 • Kwadrat modułu czterowektora pędu-energii, związek między energią i pędem 48 • Transformacja czterowektora pędu-energii 48 • Funkcja Lagrange’a punktu materialnego 49 • Funkcja Hamiltona punktu materialnego 49 • Kanoniczne równania ruchu Hamiltona 49 12. Diagram czasoprzestrzenny 50 • Diagram czasoprzestrzenny 50 13. Uwagi końcowe 52 • Niefortunna nazwa 52 • Układ inercjalny 52 • Transformacje Lorentza a transformacje Galileusza 52 7 POLE ELEKTROMAGҭETYCZҭE W OŚRODKACH SPOCZYWAJĄCYCH 1. Równania pola elektromagnetycznego dla wektorów E, D, B, H – równania Maxwella 53 • Równania Maxwella w postaci lokalnej (różniczkowej) 53 • Równania Maxwella w postaci globalnej (całkowej) 54 • Pełny układ równań pola elektromagnetycznego we współrzędnych kartezjańskich 55 2. Równania materiałowe 56 • Równania materiałowe dla ośrodków izotropowych nie zawierających ferroelektry- ków, ferromagnetyków i magnesów stałych 56 • Równania materiałowe dla ośrodków anizotropowych 56 3. Warunki graniczne 57 4. Równania ruchu – siła Lorentza 57 5. Równania bilansu 58 • Lokalne równanie bilansu gęstości objętościowej wielkości skalarnej 58 • Nierelatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości skalarnej 59 • Relatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości skalarnej 59 • Nierelatywistyczne lokalne równanie bilansu wielkości wektorowej 60 • Nierelatywistyczne globalne równanie bilansu wielkości wektorowej 60 6. Równanie bilansu ładunku – równanie ciągłości 61 • Równanie bilansu ładunku w postaci lokalnej 61 • Równanie bilansu ładunku w postaci globalnej 61 7. Równanie bilansu energii pola elektrycznego, wektor Poyntinga 62 • Równanie bilansu energii w postaci lokalnej 62 • Równanie bilansu energii w postaci globalnej 62 • Interpretacje 62 8. Tensor naprężeń 64 • Definicja naprężenia 64 • Tensor naprężeń 64 9. Warunki gwarantujące równoważność sił objętościowych i powierzchniowych 69 • Siły objętościowe 69 • Siły powierzchniowe 69 • Twierdzenie Gaussa-Greena 69 • Równoważność sił objętościowych i powierzchniowych działających w polu elektro- magnetycznym na ładunki, prądy, dielektryki i magnetyki 69 • Warunki równoważności sił objętościowych i powierzchniowych 70 • Warunki gwarantujące równość sil objętościowych i powierzchniowych 70 • Warunki gwarantujące równość momentów sil objętościowych i sił naprężeń powierz- chniowych 71 10. Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego, tensor naprężeń Maxwella 72 • Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego w postaci lokalnej 72 • Tensor naprężeń Maxwella pola elektromagnetycznego 73 • Równanie bilansu pędu pola elektromagnetycznego w postaci globalnej 73 • Interpretacje 74 11. ҭaprężenia działające w polu elektrycznym 75 • Stacjonarne pole elektryczne 75 • Naprężenie działające w stacjonarnym polu elektrycznym na element powierzchni o kierunku normalnej zewnętrznej 75 8 12. ҭaprężenia działające w polu magnetycznym 76 • Stacjonarne pole magnetyczne 76 • Naprężenie działające w stacjonarnym polu magnetycznym na element powierzchni o kierunku normalnej zewnętrznej 77 13. Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego 78 • Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego w postaci lokalnej 78 • Tensor momentu pędu pola elektromagnetycznego drugiego rzędu 79 • Równanie bilansu momentu pędu pola elektromagnetycznego w postaci globalnej 79 • Interpretacje 79 • Tensor momentu pędu pola elektromagnetycznego trzeciego rzędu 80 14. Równania pola elektromagnetycznego w ośrodkach jednorodnych dla potencjałów skalarnego i wektorowego 81 • Potencjał skalarny i wektorowy 81 • ρ−=ϕ→ρ= 81 div D 1 ε  • rot jH += D ∂ t ∂ →  A µ−= j 82 • Po co to wszystko? 83 15. Równanie falowe (ogólna postać) 84 • Równanie falowe dla wektora E 84 • Równanie falowe dla wektora H 84 16. Równanie falowe pola elektromagnetycznego dla próżni i ośrodków jednorodnych, nie pochłaniających i nieprzewodzących 85 17. Fala płaska spolaryzowana liniowo o dowolnym kształcie impulsu jako jedno z roz- wiązań równania falowego 86 • Fala płaska 86 • Fala spolaryzowana liniowo 86 • Równanie fali płaskiej spolaryzowanej liniowo 86 18. Prostopadłość wektorów natężenia pola elektrycznego i indukcji magnetycznej do kierunku rozchodzenia się płaskiej fali spolaryzowanej liniowo o dowolnym kształcie impulsu 88 19. Prostopadłość wektora indukcji magnetycznej B do wektora natężenia pola elektry- cznego płaskiej fali elektromagnetycznej spolaryzowanej liniowo o dowolnym kształ- cie impulsu 89 20. Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych w jednorodnym ośrodku przewodzącym, równanie telegrafistów (telegraficzne) 91 POLE ELEKTROMAGҭETYCZҭE W OŚRODKACH PORUSZAJĄCYCH SIĘ 1. Równania pola elektromagnetycznego w próżni dla czterowektora potencjału 92 • Czterowektor potencjału 92 • Czterowektor gęstości prądu 92 • Dodatkowy warunek Lorenza dla czterowektora potencjału 93 • Równania Maxwella dla czterowektora potencjału 93 • Równanie ciągłości 94 • Po co to wszystko? 94 2. Równania Maxwella w postaci tensorowej 95 • Jednorodne Maxwella w postaci tensorowej 95 • Niejednorodne równania Maxwella w postaci tensorowej 96 9 • Równania Maxwella i siła Lorentza wyrażone przez tensor Fµν 97 • Równania Maxwella wyrażone przez tensor Dµν 97 • Składowe tensora Fµν wyrażone przez składowe czterowektora potencjału 98 • Wyniki 98 • Równania Maxwella dla próżni 99 3. Transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H pola elektromagnetycznego 100 • Transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H 100 • Odwrotna transformacja Lorentza dla wektorów E, B, D i H 101 • Wyniki 102 • Przykład pól elektrycznego i magnetycznego równoległych w obu układach współ- rzędnych 103 • Przykład pól elektrycznego i magnetycznego równoległych w układzie K i nierówno- ległych w układzie K’ 103 4. Składowe wektorów E, B, D, H prostopadłe i równoległe do wektora prędkości V 104 • Wyniki 105 5. ҭiezmienniki transformacji Lorentza 106 • Niezmienniki transformacji Lorentza wektorów E, B, D i H 106 • Wnioski wynikające z transformacji Lorentza i jej niezmienników 107 6. Pole ładunku poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym 111 • Wektor natężenia pola elektrycznego poruszającego się ładunku 111 • Składowe równoległa i prostopadła wektora natężenia pola elektrycznego poruszające- go się ładunku 112 • Pole magnetycznego poruszającego się ładunku 112 • Prawo Biota-Savarta 113 7. Wzajemne oddziaływanie dwóch poruszających się ładunków 113 8. Równania materiałowe dla poruszających się ośrodków 114 • Równania materiałowe dla poruszających się ośrodków, równania Minkowskiego 114 • Równania materiałowe Minkowskiego w czterowymiarowej postaci tensorowej 115 9. Prawo Ohma dla poruszających się ośrodków 116 • Prawo Ohma dla poruszających się ośrodków 116 • Różniczkowe (lokalne) prawo Ohma w czterowymiarowej postaci tensorowej 116 10. Warunki graniczne dla poruszających się ośrodków 117 • Przypadek granicy prostopadłej do prędkości 117 • Przypadek ogólny 118 11. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego 120 • Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 120 • Własności tensora pędu-energii w próżni 121 • Transformacja Lorentza wybranych składowych tensora pędu-energii w próżni 122 • Równania łączące czterowektor gęstości siły, czterowektor gęstości prądu i jeden z tensorów pola elektromagnetycznego 123 • Składowe tensora pędu-energii wyrażone przez składowe tensorów Fµν i Hµν 124 • Macierz pędu-energii pola elektromagnetycznego w ośrodku 125 • Problemy związane z konstrukcją tensora pędu-energii w ośrodku 126 • Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w ośrodku 127 • Własności tensora pędu-energii w ośrodku 128 • Transformacja Lorentza wybranych składowych tensora pędu-energii w ośrodku 129 • Czterowektor gęstości siły w ośrodku 130 10 12. Częstotliwość i kierunek rozchodzenia się płaskiej fali elektromagnetycznej wzglę- dem różnych obserwatorów inercjalnych 131 • Faza fali jako niezmiennik 131 • Efekt Dopplera 131 • Aberracja 132 Bibliografia 133 Dodatek 135 11 MECHAҭIKA RELATYWISTYCZҭA 1 POSTULATY EIҭSTEIҭA • Postulaty Einsteina • Definicje wielkości fizycznych oraz prawa fizyki można tak sformułować, aby ich ogólne postacie były takie same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. • Wartość prędkości fal elektromagnetycznych (światła) w próżni jest we wszystkich inercjalnych układach odniesienia taka sama. Postulaty Einsteina są równoważne założeniu, że wszystkie równania fizyki w inercjal- nych układach odniesienia powinny być kowariantne (współzmiennicze) względem transfor- macji (przekształceń) Lorentza. x − Vt =′ x 2 V 2 c − 1 =′ y y =′ z z =′ t − t Vx 2 c − 1 2 V 2 c y 0 t t 0 0 x x 0 0 0 0 x x 0 0 =′= =′= y y 0 0 ′= ′= y y 0 0 z z 0 0 ′= ′= z z 0 0 x =′= t t 0 0 y′ y 0 0 V = (V,0,0) x′ 0′ 0 z z′ • Kowariantność (współzmienniczość) równań względem transformacji Lorentza Równania są współzmiennicze (kowariantne) względem transformacji Lorentza, jeżeli poddane tej transformacji nie zmieniają swojej postaci. Równanie zapisane w postaci kowa- riantnej względem transformacji Lorentza ma jednakową postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia pomimo, że wartości danej wielkości fizycznej mogą być różne w róż- nych układach odniesienia. Niezmiennikiem (inwariantem) transformacji Lorentza nazywamy funkcję skalarną zacho- wującą tę samą wartość, gdy w miejsce starych zmiennych podstawimy nowe zmienne. • Inwariantność prędkości światła w próżni względem transformacji Lorentza Stałość wartości prędkości światła w próżni oznacza istnienie granicznej (nieprzekraczal- nej) wartości prędkości rozchodzenia się sygnałów. Czoło fali elektromagnetycznej w próżni opisywane jest w układzie nieprimowanym i pri- mowanym odpowiednio równaniami: x 2 + 2 y + 2 z = 22 tc oraz x 12 2 =′+′+′ 2 2 y z 2 2 tc ′ MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 2 TRAҭSFORMACJE LOREҭTZA 2 2 2 2 2 x x y 2 tc • Szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych Stałość wartości prędkości światła w próżni w dwóch inercjalnych układach odniesienia primowanym i nieprimowanym oznacza, że: x −′+′+′ 2 z = ,x 1 ′=′ ,x 1 2 x 3 x x 2 2 + z =′ 2 + − = = = ,x y ,x ict 2 3 ′=′ ′=′ ,x y z ,x tic 2 3 2 2 2 2 2 + + + x x x x x 4 3 2 1 4 x x Znajdziemy transformację liniową gwarantującą prawdziwość powyższego równania. x =′+′+′+′ 2 1 x ′=′ x 4 22 tc x 4 + + + + xa 13 3 xa 23 xa 33 xa 43 3 3 3 + + + + xa 14 4 xa 24 xa 34 xa 44 4 4 4        xa 12 2 xa 22 2 2 2 xa 32 xa 42 x 2 3 x xa 14 4 1 1 31 21 xa xa 11 1 xa + + + + 1 =′ 2 =′ x 3 + xa 11 x xa 41 x 1 2 x 3 =′ 1 =′ 2 =′ 3 =′ 4 x x x x x x =′ 1 =′ 2 =′ 3 =′ 4        a a 12 22 = = a 13 a 33 = = a 1 = a 23 = a 24 = a 31 = a 32 = a 34 = a 42 = a 43 = 0 21 + xa x Wyznaczymy teraz współczynniki xa 44 41 1 4 x x =′+′+′+′ 2 1 =′+′+′+′ 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 4 2 4 x x x x x x ( xa 1 ( + a 11 2 11 + 2 a 41 xa 14 ) 2 x 1 11a , ) 2 4 + 14a , 41a , 44a 2 2 + + + x x 2 3 ( 2 2 2 + + x a 44 3 2 badanej transformacji. ( xa 41 2 + a 14 ) 2 4 ( aa 2 11 xa 44 2 + 4 + ) x + 14 1 x aa 41 44 ) xx 1 4 a a 2 + 11 2 + 44 aa 11 a 1 2 = 41 2 = a 14 + aa 41 1 14      a 2 11 a 14 a 11 = 0 44 2 = a 44 −= a ,0 −= a1 = 41 a 2 41 iBa 11 0 44 −= a1 2 14      a 11 = a 44 = a 14 −= a 41 = 2 1 − B1 iB − B1 2 x 2 2 =′+′+′+′ 2 1 x Znaleziona transformacja nazywana jest szczególną transformacją Lorentza. 2 3 2 4 + + + x x x x x x 2 1 2 3 2 2 2 4 x =′ 1 x x =′ 2 =′ 3 x x x =′ 4 1 − B1 x 1 + 2 iB − B1 2 x 4 2 3 − iB − B1 2 x 1 + 1 − B1 2 x 4 x =′ 1 const = V dx 1 dt ii −= 1 13 ′ xd 1 dt 0 = = 1 − B1 2 dx 1 dt + iB − B1 2 dx 4 dt 1 − B1 2 V + iB − B1 2 ic V c = B MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 1 2 = = = x ,y x ,x • Przestrzeń Minkowskiego x ict są współrzędnymi kartezjańskimi punktu (zdarzenia) w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego (czasoprzestrzeni), w której kwadrat róż- niczki urojonej odległości między dwoma dowolnie bliskimi punktami dany jest przez ( ds x ,z dx dx dx dx dx dx ( dx ) µ ∑∑ ∑ + + = + = = = g ) ( ( ) ) ( ) ) ( µν 2 2 2 2 , 2 2 µ ν 4 4 4 4 2 3 1 3 4 =µ 1 =µ 1 =ν 1 g =µν 0001 0010 0100 1000             , µνg jest tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego o składowych: g 11 g 12 g g 13 , 1 g = = = = = = = = g g g g . 0 = = = = = = = = g g g g g g g 24 32 34 43 42 21 22 33 44 41 14 23 31 • Przekształcenia Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni x + iBx 1 ) 4 x x x x ( Γ=′ 1 =′ x 2 =′ x 3 3 Γ=′ 4 ( 2 x 4 − iBx )1 x x x x 1 2 3 4 1 x ( −′Γ= ′= x 2 ′= x 3 ( +′Γ= x 4 xiB ) ′ 4 xiB )1 ′ 1 2 − − df − 1 B df = Vc , ) 2 ( 2 −=Γ cV1 )0 ,0 ,V=V ( = prędkość układu primowanego względem układu nieprimowanego = = x ,y x x ,x 3 2 1 ′=′ ′=′ x ,y x ,x x 1 2 = = − Vt Vt iicc = = x ,z ict 4 ′=′ ′ =′ x ,z tic 3 4 ) ( − 1 = ict iVc iVc ii −= 1 iBx , = x − − 1 1 4 4 Kwadrat urojonej odległości między dwoma punktami (zdarzeniami) w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego jest niezmiennikiem transformacji Lorentza ) ( ∆ s =′∆′∆′ µν =∆∆ ( ′∆ x µ ( ∆ x ′∆= s ) 2 = = ) x g x x g x ( ) µν 2 2 . 2 µ µ µ ν ν 4 4 4 4 ∑ =µ 1 ∑∑ =µ 1 =ν 1 ∑∑ =µ 1 =ν 1 ∑ =µ 1 Transformacje Lorentza nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni: g ′= g µν . µν DOWÓD 4 1 2 1 ( ∆+∆Γ=′∆ x x iB ∆=′∆ x ∆=′∆ x 3 ( ∆−∆Γ=′∆ x x iB x x x x 3 2 4 4 )1 ( B1 − 2 ) 1 = 2 Γ ) ( =′∆ ) s 2 ( ′∆ x µ 2 ) 4 ∑ =µ 1 ′∆+′∆= x 2 x 1 2 ) ( ( 2 ) ( ′∆+′∆+ x 4 x ( ) 3 2 2 ) = 1 2 2 2 ∆+∆Γ= x iB ( ( ∆= x ( ∆= x ( ∆= x x 1 ) ( 2 Γ−Γ ( ) 2 Γ B1 ) ( ∆+ x − 1 2 2 1 2 2 ) 4 B ) 2 2 2 ( ∆+ x ) ( ∆+ x ( ) ∆+ x ) ( ∆+ x 2 3 2 2 2 2 2 ( ) ∆+ x ( ) ∆+ x ) ( ∆+ x ( ∆+ x 3 2 3 4 ) 2 2 2 3 2 ) iB ∆−∆Γ+ x ( ) 2 ∆+ x ( ) ∆+ x 4 ( ∑ ∆ x ( x 4 ) ( 2 Γ−Γ ( 2 Γ B1 ) 1 B ) )2 ( ∆= s = = − 4 2 µ 2 4 2 2 2 ) 2 ) ) = = 2 =µ 1 14 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA • Własności znakowe kwadratu odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń 2 ∆−∆+∆+∆=∆+∆+∆+∆=∆ t x x x x x x x c s 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 1 2 1 2 , x 4 = ict , i −= 1 2s∆ = kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń (forma metryczna) ∆+∆+∆ x x 2 c ∆ = kwadrat odległości czasowej dwóch zdarzeń = kwadrat odległości przestrzennej dwóch zdarzeń 2 1 t x 2 3 2 2 2 Dwa zdarzenia mogą pozostawać w związku przyczynowo skutkowym wtedy i tylko wte- dy, gdy odległość przestrzenna między nimi jest nie większa od ich odległości czasowej. s2 ∆ 0 Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest ujemny, jeżeli kwadrat odległości , przestrzennej tych zdarzeń jest mniejszy od kwadratu ich odległości czasowej. Jeżeli 0 to między dwoma zdarzeniami mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie t∆ światło zdążyło przebyć odległość przestrzenną między tymi zdarzeniami. UWAGA Jeżeli , to s∆ jest urojone. s2 ∆ s2 ∆ 0 s2 =∆ 0 Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest zerem, jeżeli kwadrat odległości , to przestrzennej tych zdarzeń jest równy kwadratowi ich odległości czasowej. Jeżeli między dwoma zdarzeniami mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie dt światło zdążyło jeszcze przebyć odległość przestrzenną między tymi zdarzeniami. UWAGA Przypadek opisuje rozchodzenie się światła. s2 =∆ s2 =∆ 0 0 s2 ∆ 0 Kwadrat odległości czasoprzestrzennej dwóch zdarzeń jest dodatni, jeżeli kwadrat odległości , przestrzennej tych zdarzeń jest większy od kwadratu ich odległości czasowej. Jeżeli 0 to między dwoma zdarzeniami nie mógł nastąpić związek przyczynowo skutkowy, czyli w czasie UWAGA Jeżeli t∆ światło nie zdążyło przebyć odległości przestrzennej między tymi zdarzeniami. , to s∆ jest rzeczywiste. s2 ∆ s2 ∆ 0 UWAGA U różnych autorów spotykamy różne definicje różniczkowej formy kwadratowej. ds , , dx dx dx ict 0 2 2 1 dx = = dx −= 2 1 dx + + 2 1 2 2 + + 2 2 dx − 2 2 dx dx − 2 3 dx 2 3 + − 2 3 2 4 dx + 2 0 dx , 2 0 x 4 = x 0 = ct x 0 = ds2 ≤ ds2 ≤ 0 ds2 ≥ 0 , ct , 2 ds 2 ds , My wybraliśmy pierwszą z nich. 15 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 3 MACIERZ TRAҭSFORMACJI LOREҭTZA • Macierz transformacji Lorentza x x x x =′ 1 =′ 2 =′ 3 =′ 4 x µ =′ 1 xa 1 11 xa 21 xa 31 xa 41 1 1 + + + + xa 12 2 xa 22 xa 32 xa 42 2 2 2 + xa 13 3 + xa 23 + xa 33 + xa 43 3 3 3 + xa 14 4 + xa 24 + xa 34 + xa 44 4 4 4 x x x x 2 1 +Γ=′ x0 1 =′ + x1 2 2 =′ + x0 3 2 +Γ−=′ x 4 x x0 x0 1 iB 1 1 x0 x0 x1 + + + x0 2 3 3 3 + 4 iB x0 x0 Γ+ + + x0 3 x 4 4 Γ+ x 4 4 ∑ =ν 1 xa µν ν , a µν = ′∂ x µ ∂ x ν , df =Γ ( 2 cV1 − − 2 1 − ) 2 , B df = − 1 Vc a =µν Γ 0 0 iB Γ−       Γ iB00 01 0 10 0 Γ 00       TWIERDZEҭIE Transformacje Lorentza są transformacjami ortogonalnymi. 4 x DOWÓD Transformacje ortogonalne µ ∑ =′ spełniają następujące warunki (warunki ortogonalności) 4 ∑ aa ( =µ ,xa µν ν 1,2,3,4 δ= =ν 1 ) αβ αλ βλ , =α 1 ==δ 11 1 ==δ 22 1 ==δ 33 1 ==δ 44 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 aa α 1 α 1 = aa 11 11 + aa 21 21 + aa 31 31 + , aa 41 41 aa α 2 α 2 = aa 12 12 + aa 22 22 + aa 32 32 + , aa 42 42 aa α 3 α 3 = aa 13 13 + aa 23 23 + aa 33 33 + , aa 43 43 aa α 4 α 4 = aa 14 14 + aa 24 24 + aa 34 34 + . aa 44 44 Suma kwadratów elementów każdej kolumny równa się 1. Ten warunek ortogonalności macierz transformacji Lorentza spełnia, ponieważ B 2 2 Γ=Γ 2 ( B1 − 2 ) 2 =ΓΓ= 2 − , 1 0 2 2 2 + +Γ 0 2 2 + + 1 0 0 + + 0 ) 2 +Γ 0 ( iB 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ) , 1 ( −Γ=Γ−+ + 0 + + iB = = Γ=Γ+ , 1 2 0 2 0 2 2 ( B1 − 2 ) 2 =ΓΓ= 2 − , 1 16 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA aa α 1 α 2 = aa 11 12 + aa 21 22 + aa 31 + , aa 41 42 32 aa α 1 α 3 = aa 11 13 + aa 21 23 + aa 31 + , aa 41 43 33 aa α 1 α 4 = aa 11 14 + aa 21 24 + aa 31 + , aa 41 44 34 aa α 2 α 3 = aa 12 13 + aa 22 23 + aa 32 + , aa 42 43 33 aa α 2 α 4 = aa 12 14 + aa 22 24 + aa 32 + , aa 42 44 34 aa α 3 α 4 = aa 13 14 + aa 23 24 + aa 33 + . aa 43 44 34 ==δ=δ 12 0 21 ==δ=δ 13 0 31 ==δ=δ 14 0 41 ==δ=δ 23 0 32 ==δ=δ 24 0 42 ==δ=δ 34 0 43 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =α 1 Suma iloczynów odpowiednich elementów dwóch kolumn równa się zeru. Te warunki ortogonalności macierz transformacji Lorentza również spełnia, co bardzo łatwo sprawdzić. =⋅Γ−+⋅+⋅+⋅Γ M 00100 iB 0 0 ( ) TWIERDZEҭIE Wyznacznik macierzy przekształceń Lorentza jest równy jedności. DOWÓD adet µν = Γ 0 0 iB Γ− Γ iB00 0 01 0 10 Γ 00 ( −= + 11 ) 1 Γ 001 0 10 Γ 00 ( −+ + 41 ) 1 iB Γ 0 0 B Γ− 01 10 00 2 −Γ= B 2 2 =Γ 1 Transformacje ortogonalne, których wyznacznik jest równy 1, oznaczają obroty układu. Szczególna transformacja Lorentza opisuje obroty w płaszczyźnie . 1xx 4 • Macierz odwrotnego przekształcenia Lorentza 4 ) ) 4 x x a =µ ( =µν 1,2,3,4 1,2,3,4 ,xa ν µν ′ ,xc µν ν ( =µ Γ 0 0 iB Γ iB00 01 0 10 0 Γ 00 Dla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy przestawionej. µ ∑ =′ =ν 1      Γ−  ′∂ x µ ∂ x ν ′∂ x µ ∂ x µ ∑ = =ν 1 Γ   0   0  Γ iB  ∂ x µ ′∂ x ν ∂ x µ ′∂ x ν 00 01 10 00 iB 0 0 Γ ∂ x ν ′∂ x µ ′∂ x ν ∂ x Γ−             =µν Ta µν , a Tc µν , c df = = a = c df = c µν c µν a µν = a µν = µν νµ = νµ = = = µν µ ν c 17 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 4 PODSTAWOWE WҭIOSKI WYҭIKAJĄCE Z TRAҭSFORMACJI LOREҭTZA • Równoczesność zdarzeń i następstwo czasowe − )Vt ( x Γ=′ x y =′ y z =′ z −Γ=′ t 2− ( t ( 2cV1 )xVc ) 2 − − − 2 1 =Γ t Γ=′−′ 2 t 1 [ ( t 2 − t 1 ) − Vc − 2 ( x 2 ]1 ) − x 1 t    t 2 x ⇒ = = ′=′ t 1 2 WҭIOSEK I t 1 x Dwa zdarzenia 1 i 2 równoczesne w układzie nieprimowanym ( t )2 również w układzie primowanym ( ′=′ t 1 nieprimowanym w tym samym punkcie ( x t 2 )2 1 będą równoczesne wtedy i tylko wtedy, gdy zaszły one w układzie = x . t 1 = )2    t 2 x ⇒ = WҭIOSEK II t 1 x Następstwo czasowe dwóch zdarzeń 1 i 2 nie ulega zmianie ( wtedy, gdy zaszły one w układzie nieprimowanym w tym samym punkcie ( ′ ′ t 1 2 t ,t 2 t t 1 1 2 )2 ′ ′ t wtedy i tylko 1 = x x . )2 1 WҭIOSEK III t t t 2 1 [ ( ) − tΓ 1 2 ⇓ ( ) − = t tc 1 2 − − 2 Vc ( x 2 − x 1 − 1 Vc ( x 2 − x 1 ) ] ) = 0        ⇒ t ′=′ t 2 1 WҭIOSEK IV t t 1 2 2 − t t − 1 ) 0 x − − ] ) Vc Vc ( x ⇒ ′ ′ t 2 1 ( x ) t        )  2 1 [ ( ) − tΓ 1 2 ⇓ ( ) − tc t 2 1 ( = :cV tc )1 Jeżeli odległość między dwoma punktami ( w układzie nieprimowanym jest mniejsza niż droga przebyta przez światło w przedziale czasu ( w układzie nieprimowanym, to w układzie primowanym ( , co oznacza, że nie uległo zmianie następstwo czaso- we (chwila późniejsza w układzie nieprimowanym jest również późniejsza w układzie primowanym). ) 0 ′−′ 2 − x 2 1 ( x ) 0 x − − − − x x t t t t 2 1 1 2 1 2 1 2 18 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 1 2 2 t − 2 t t − 1 ( 0 x − x ] ) Vc ⇒ ′ ′ t 2 1        )  WҭIOSEK V t 1 [ ( ) Γ − − t 1 2 ⇓ ( ) − t c Vc t 2 1 ( = :cV t c Jeżeli odległość między dwoma punktami ( )1 w układzie nieprimowanym jest większa niż droga przebyta przez światło w przedziale czasu ( t w układzie nieprimowanym, to w układzie primowanym ( , co oznacza, że uległo zmianie następstwo czasowe (chwila późniejsza w układzie nieprimowanym jest chwilą wcześniejszą w układzie primowa- nym). ) 0 ′−′ 2 ( x ) − t − 2 ( ) 0 x 1 x x − − − t x x ) t t 2 1 1 2 2 1 1 2 • Dylatacja czasu )tVx ′ x y z t ( +′Γ= ′= y ′= z ( +′Γ= t ( 2cV1 =Γ 1 Γ − − 2 )xVc ′ ) 2 − − 2 1 ) +′−′Γ=− t t 1 2 1 [ ( t − 2 Vc ( x ]1 ) ′−′ x 2 Zegar primowany spoczywa względem układu primo- wanego ( poruszając się z prędkością V względem układu nieprimowanego. =′−′ 2 )0 x x 1 ) =′−′ 2 t 1 ( t 2 − t 1 )( 2 cV1 − − 1 2 ) 2 ( t ) ′−′ 2 t 1 ( t 2 − )1 t t 2 ( t t ′−′ t 2 1 = przedział czasu zmierzony zegarem spoczywającym względem układu primowa- nego ( x )2 ′=′ x 1 , czyli przedział czasu zmierzony w układzie własnym zegara 1 t t − = przedział czasu zmierzony zegarami znajdującymi się w układzie laboratoryjnym 2 (nieprimowanym) w miejscach określonych przez współrzędne przestrzenne roz- ważanych zdarzeń Przedział czasu, upływającego między dwoma zdarzeniami, zmierzony w układzie labora- toryjnym w miejscach określonych przez współrzędne przestrzenne rozważanych zdarzeń jest większy niż przedział czasu zmierzony w układzie własnym w miejscu zachodzenia tych zda- rzeń. Opisane zjawisko nazywane jest dylatacją czasu. • Kontrakcja (skrócenie) długości Pręt równoległy do osi x porusza się z prędkością V względem układu nieprimowanego, jednocześnie spoczywając względem układu primowanego. Obserwator w układzie nieprimo- wanym dokonuje pomiaru współrzędnych końców pręta w tym samym czasie (t1 = t2). − )Vt ( x Γ=′ x y =′ y z =′ z −Γ=′ t 2− ( t ( 2cV1 )xVc ) 2 − − − 2 1 =Γ x x [ ( Γ=′−′ 2 x 1 x 2 − x 1 ) − ( t V 2 − ]1 ) t =′−′ 2 x 1 t = 1 t 2 ( x 2 − )( 2 cV1 x 1 − − 2 19 1 − ) 2 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA x ′−′ x 2 1 x − 2 1 x = długość pręta spoczywającego względem układu primowanego zmierzona przez obserwatora spoczywającego względem tego układu = długość pręta poruszającego się względem układu nieprimowanego zmierzona przez obserwatora spoczywającego względem tego układu, pomiar współrzędnych końców pręta obserwator dokonał w tym samym czasie, ) ′−′ 2 t = 1 )1 x − x x ( t 2 2 ( x Długość pręta poruszającego się względem obserwatora jest mniejsza od długości pręta spoczywającego względem obserwatora. Zjawisko to nazywane jest kontrakcją długości. • Podstawowy eksperyment szczególnej teorii względności y z y′ y V x′ A B xA xB x z′ Źródło światła znajduje się w punkcie A układu nieprimowanego. W chwili At impuls świetlny, który dotarł do punktu B w chwili Bt układu nieprimowanego dokonał pomiaru wartości prędkości światła jako wysłało . Obserwator nieruchomy względem c = x t B B − − A . x t A Obserwator nieruchomy względem układu primowanego również zmierzył wartość pręd- kości, korzystając z analogicznego wzoru Porównamy oba wyniki, wykorzystując transformacje Lorentza. =′ c x t ′−′ x B A ′−′ t B A . c =′ x t ′−′ x B A ′−′ t B A = x B − B − t A x A − t ( t V B ( − 2 x − Vc − t − B A x ) A ) = x =′ A x =′ B t t t =′ A t =′ B A − 2 2 B − − Vt x A 2 − cV1 − Vt x B 2 − cV1 − cVx A − 2 − cV1 − cVx B − 2 − cV1 A B − 2 2 − 2 2 = x t B B − − A ⋅ x t A − − Vc ) A ( t V x − 2 t − B − x B A ( − x B − t A B t = ) x A x t B B − − A = c x t A A = c x t A =′ c x t ′−′ x B A ′−′ t B A = x t B B − − 20 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 5 CZAS WŁASҭY • Czas własny Czasem własnym nazywamy różniczkę lub odstęp czasu, między dwoma zdarzeniami za- chodzącymi w tym samym miejscu w układzie primowanym (układzie własnym), zmierzonego zegarem znajdującym się w tym miejscu. 2 ds = 4 ∑ dx 2 µ = 4 ∑ xd =′ 2 µ 2 sd ′ =µ 1 =′ xd 2 =′ 1 xd =′ 3 0 =µ 1 xd 4 ∑ =′ 2 4 xd =µ 1 xd =′ 2 4 dx dx 2 µ + 2 4 1    x 4 = ict 2 2 tdci =′ 2 2 2 ci dt v 2 = dx dx 2 1 + 2 dx 2 2 dx 4 =′ x 4 dx − + 2 3 dx    ′ tic , 2 2 + dx 1 2 2 c dt 2 3 dx + 2 dx 2 2 dt 2 ,    + 1 2 1 i2 + 2 −= 2 dx 3 1    td =′ 2 2 dt 1 −    2 2 v c    df =′=τ d td 2 cv1dt − − 2 τd = czas własny, d ′=τ td dt Odstęp czasu między dwoma zdarzeniami jest krótszy w układzie własnym niż w układzie laboratoryjnym: ∆ ′∆ t t . = przedział czasu zmierzony zegarem w układzie własnym (primowanym) t′∆=∆τ t∆ = przedział czasu zmierzony zegarami w układzie laboratoryjnym (nieprimowanym), znajdującymi się w miejscach określonych przez współrzędne rozpatrywanych zdarzeń Relacje podane niżej przydadzą się w dalszych rozważaniach. 2 ds = ds = 4 µ∑ dx 2 =µ 1 4 µ∑ dx 2 =µ 1 = xd =′ 2 4 2 2 tdci =′ 2 2 2 ci dt 2 ( 2 cv1 − − 2 ) = dx 2 4 ( 2 cv1 − − 2 ) = 2 2 τ dci 2 = xd =′ 4 icd t =′ icdt 2 cv1 − − 2 = dx 4 2 cv1 − − 2 = icd τ d =τ 2 cv1dt − − 2 = dt γ = ds ic , =γ 1 2cv1 − − 2 21 MECHANIKA RELATYWISTYCZNA 6 GRUPA LOREҭTZA • Grupa Lorentza Niepusty zbiór G nieosobliwych przekształceń liniowych reprezentowanych przez ich ma- cierze stanowi grupę, gdy 1. ∈⋅ 1−A = macierz odwrotna macierzy A E = macierz jednostkowa ∈ ⋅ ( ) GBA, GCB,A, =⋅ ∧ ) GBA ∧ ( )CBACBA −∨∧ ∨∧ ∈ AAEEA ⋅=⋅ AA GAGA = = = ( − 1 − 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∈ ∈ 1 EAA GEGA ∈ ∈ 2. 3. 4. TWIERDZEҭIE Liniowe transformacje ortogonalne tworzą grupę. TWIERDZEҭIE Dla macierzy ortogonalnej macierz odwrotna jest równa macierzy transponowanej. TWIERDZEҭIE Wyznaczniki macierzy ortogonalnych są równe 1± . TWIERDZEҭIE ) = det det det ( A A B B × 44 × 44 × 44 × 44 ⋅ ⋅ 4 µ µν x b + xa Poszukamy liniowych transformacji =′ ∑ które nie zmieniają metryki czasoprzestrzeni 4 ∑ µ =′ ∑ dx xd =ν 1 2 µ , µ ν 2 4 ? =µ 1 =µ 1 xd =′ µ xd =′ µ 4 ∑ =µ 1 xd 2 µ =′ 4 4 4 ∑∑∑ =µ 1 =β 1 4 ∑ =α 1 4 ∑ =β 1 a dx α µα a dx β µβ        xd 2 µ =′ aa µα dx dx β α µβ 4 4 ∑∑ =α 1 =β 1 aa µα dx dx β α µβ δ= αβ µβ (warunek ortogonalności) =α 1 4 ∑ aa µα =µ 1 4 ∑ =µ 1 xd 2 µ =′ 4 ∑ =µ 1 dx 2 µ b =µ 0 Liniowe transformacje jednorodne ( ) nie zmieniające metryki czasoprzestrzeni są transformacjami ortogonalnymi, tworzą więc grupę zwaną grupą Lorentza. Należą do niej między innymi szczególne transformacje Lorentza o dwóch zmiennych, obroty trójwymiaro- we, inwersje osi współrzędnych przestrzennych, odwrócenie czasu, przekształcenie tożsamo- ściowe oraz ich złożenia, a także transformacje odwrotne do wymienionych. Grupa liniowych transformacji niejednorodnych ( ) nazywana jest grupą Poincaré. 0 ∨ µ b ≠µ 22
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Szczególna Teoria Względności
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: