Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00178 005949 14495073 na godz. na dobę w sumie
Szeregi Fouriera - ebook/pdf
Szeregi Fouriera - ebook/pdf
Autor: , Liczba stron: 53
Wydawca: Self Publishing Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-272-4089-7 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-8%), audiobook).

Opisana w niniejszej książce teoria szeregów Fouriera znajduje obecnie zastosowanie w różnorodnych dziedzinach nauki. Fourierowska metoda rozdzielania zmiennych jest jednym z najszerzej wykorzystywanych sposobów rozwiązywania równań o pochodnych cząstkowych. Jej zastosowanie zostało przedstawione dla równania przewodnictwa cieplnego oraz równania falowego na przykładzie drgań struny ograniczonej.

Nie zabrakło również wiadomości teoretycznych, które stopniowo wprowadzają Czytelnika w tematykę szeregów Fouriera. Ponadto, przedstawioną w książce teorię wzbogacono dużą liczbą przykładów ilustrujących omawiane zagadnienia.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Kamila Kowalska, Radosław Tomala Szeregi Fouriera 3 Rozwiązywanie równań różniczkowych cząst- kowych W niniejszym rozdziale została przedstawiona metoda Fouriera, zwaną również metodą rozdzielania zmiennych, która jest wykorzystywana do rozwiązywania równań o pochodnych cząstkowych. Jej użycie zostało zilustrowane dla równa- nia przewodnictwa cieplnego oraz równania falowego na przykładzie drgań struny zamocowanej na końcach. 3.1 Równanie przewodnictwa cieplnego Równanie przewodnictwa w pręcie ma postać (3.1) ∂u ∂t = a2 ∂2u ∂x2 , gdzie niewiadomą jest funkcja u(x, t). Funkcja u(x, t) przedstawia temperaturę pręta w punkcie x w chwili czasu t. Dodatkowo zakładamy, że funkcja u spełnia warunek początkowy u(x, 0) = f(x), gdzie f(x) jest funkcją daną określającą rozkład temperatury w chwili początko- wej t0 = 0. Jeżeli pręt ma długość l, to oprócz warunku początkowego nakładane są jesz- cze warunki brzegowe na końcach pręta. Najczęściej spotykane warunki brzegowe mają postać I) Jeżeli końce pręta są utrzymywane w stałej temperaturze, to u(0, t) = A lub u(l, t) = B. II) Jeżeli końce są izolowane, to (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)x=0 ∂u ∂x = 0 i (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)x=l ∂u ∂x = 0. 27 Kamila Kowalska, Radosław Tomala Szeregi Fouriera III) Jeżeli na końcach pręta następuje wypromieniowanie ciepła, to = h (u|x=0 − u0) i ∂u ∂x = −h (u|x=l − u1) , (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)x=0 ∂u ∂x (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)x=l gdzie h jest stałym współczynnikiem promieniowania, natomiast u0 - oznacza temperaturę otoczenia w punkcie x = 0, u1 - jest temperaturą otoczenia w punkcie x = l. Zakładamy, że pręt jest izolowany i przez jego powierzchnię boczną nie prze- pływa ciepło. Stosując metodę Fouriera rozwiążemy poniższe zagadnienie. Wyznaczyć temperaturę pręta o długości l, którego oba końce są utrzymywane w temperaturze 0, a temperatura początkowa wynosi (3.2) u(x, 0) = f(x). Rozwiązanie Z treści zagadnienia mamy, że warunki brzegowe są postaci (3.3) u(0, t) = 0 u(l, t) = 0. Metoda Fouriera polega na tym, że poszukujemy rozwiązań u(x, t) równania ∂u ∂t = a2 ∂2u ∂x2 w postaci iloczynu funkcji zmiennej x i funkcji zmiennej t (3.4) u(x, t) = X(x) · T (t) spełniających warunki brzegowe i nierównych tożsamościowo zeru. Podstawiając (3.4) do równania (3.1) otrzymujemy (3.5) X(x) · T 0(t) = a2X00(x) · T (t). 28 Kamila Kowalska, Radosław Tomala Szeregi Fouriera Rozdzielając zmienne, mamy (3.6) T 0(t) T (t) a2 = X00(x) · 1 X(x) . Zauważmy, że po lewej stronie równania (3.6) występuje funkcja, która zależy tylko od zmiennej t, a po prawej stronie funkcja zależna wyłącznie od zmiennej x. Równość (3.6) może zachodzić wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje te są równe pewnej stałej. Niech ta stała wynosi k. Wtedy otrzymujemy równania (3.7) 1 a2 · T 0(t) T (t) = k i X00(x) X(x) = k, z których wynikają dwa równania zwyczajne (3.8) (3.9) X00(x) − k · X(x) = 0 T 0(t) − ka2 · T (t) = 0. Najpierw zajmiemy się pierwszym z równań (3.8). Równanie to ze względu na warunki brzegowe u(0, t) = 0 i u(l, t) = 0 spełnia warunki X(0) = 0 i X(l) = 0. Stąd wniosek, że funkcja X(x) jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwy- czajnego z warunkami brzegowymi X00(x) − k · X(x) = 0 X(0) = X(l) = 0. Oczywiście takie rozwiązania istnieją dla dowolnej stałej k. Interesują nas takie wartości k, dla których mamy rozwiązania nietrywialne. Na podstawie rozwiązania przedstawionego we wstępie niniejszej książki otrzy- mujemy trzy następujące przypadki, które należy rozważyć w celu wyznaczenia wartości własnych powyższego zagadnienia: I) Jeżeli k 0, to rozwiązaniem równania (3.8) jest funkcja postaci √ X(x) = C1 · e kx + C2 · e−√ kx. 29 Kamila Kowalska, Radosław Tomala Szeregi Fouriera Z warunków brzegowych X(0) = X(l) = 0 mamy √ kl + C2 · e−√ C1 + C2 = 0 kl = 0. C1 · e A zatem C1 = C2 = 0, stąd X(x) ≡ 0 i u(x, t) = 0. Jak widać rozwiązanie to ma charakter trywialny i nie spełnia warunku początkowego u(x, 0) = f(x). II) Jeżeli k = 0, to rozwiązanie równania (3.8) jest postaci X(x) = C1 + C2x. Z warunków brzegowych otrzymujemy C1 = 0 C1 + C2l = 0. Zatem C1 = C2 = 0, stąd X(x) ≡ 0. Jest to niemożliwe ze względu na warunki początkowe. III) Załóżmy, że k 0. Wówczas liczbę k można zapisać k = −λ2, gdzie λ 0. Rozwiązanie ogólne równania (3.8) jest postaci X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx. Uwzględniając warunki brzegowe otrzymujemy C1 = 0 C1 cos λl + C2 sin λl = 0. Zatem C1 = 0. Wtedy C2 musi być różne od 0, by funkcja X(x) = sin λx była nietrywialnym rozwiązaniem równania (3.8). Jest to możliwe tylko wtedy, gdy sin λl = 0. 30 Kamila Kowalska, Radosław Tomala Szeregi Fouriera Wówczas czyli λnl = nπ, (3.10) λn = nπ l , dla n = 1, 2, ... . Zatem dla (3.10) istnieje ciąg niezerowych rozwiązań (3.11) Xn(x) = C2n sin nπx l . Liczby λn są wartościami własnymi rozważanego zagadnienia. Zajmiemy się teraz drugim równaniem (3.9) z k = −λ2. Ma ono postać T 0(t) + λ2a2 · T (t) = 0. Rozwiązanie powyższego równania dla λ = λn jest postaci Tn(t) = C3n · exp −a2n2π2 l2 ! t , gdzie C3n ∈ R są dowolnymi stałymi. Przyjmując bn = C3n · C2n otrzymujemy −a2n2π2 un(x, t) = bn · exp ! t sin nπx l . l2 Aby otrzymać rozwiązanie spełniające również warunki początkowe, należy skonstruować szereg (3.12) u(x, t) = ∞X n=1 un(x, t) = ∞X n=1 bn · exp −a2n2π2 l2 ! t sin nπx l . Trzeba tak dobrać stałą bn, aby funkcja u(x, t) spełniała warunek początkowy (3.2). 31 Kamila Kowalska, Radosław Tomala Szeregi Fouriera Przyjmując w równości (3.12) t = 0 i uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy f(x) = u(x, 0) = ∞X n=1 bn sin nπx l . Ponieważ w powyższym szeregu występuje tylko sinus, zatem są to rozwinięcia funkcji nieparzystych. Natomiast argumentem sinusa jest nπx , więc przedłużamy l funkcję f(x) nieparzyście na przedział h−l, li. Funkcja nieparzysta i rozwijalna w szereg Fouriera w przedziale h−l, li wyraża się wzorem gdzie dla n = 1, 2, ... . f(x) = lZ 0 2 l bn = ∞X n=1 bn sin nπx l , f(x) sin nπx l dx, Zatem rozwiązaniem powyższego zagadnienia spełniającego warunek począt- kowy (3.2) i brzegowy (3.3) jest szereg postaci (3.13) u(x, t) = ∞X n=1 bn · exp −a2n2π2 l2 ! t sin nπx l , gdzie bn jest współczynnikiem określonym wzorem lZ 0 bn = 2 l f(x) sin nπx l dx. Następnie przejdziemy do zagadnienia równania falowego na przykładzie stru- ny ograniczonej. 32
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Szeregi Fouriera
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: