Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00443 007856 11235427 na godz. na dobę w sumie
Teoria ciał uporządkowanych - ebook/pdf
Teoria ciał uporządkowanych - ebook/pdf
Autor: , Liczba stron: 376
Wydawca: Uniwersytet Śląski Język publikacji: polski
ISBN: 978-8-3801-2201-7 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> chemia
Porównaj ceny (książka, ebook (-21%), audiobook).

Podstawy teorii ciał uporządkowanych stworzone zostały przez Emila Artina i Ottona Schreiera w 1927 roku, w odpowiedzi na problem znany jako 17. problem Hilberta. Z biegiem czasu teoria ta stała się katalizatorem rozwoju kilku działów matematyki. Powstaje rzeczywista geometria algebraiczna, teoria form kwadratowych uzyskuje nowe narzędzia badań, a ciała uporządkowane pojawiają się w teorii modeli.

Niniejszy podręcznik zapoznaje Czytelnika z podstawami oraz głównymi, w tym również najnowszymi, zastosowaniami teorii ciał uporządkowanych. Materiał w nim zawarty pozwala głębiej zrozumieć te zagadnienia matematyczne, które odwołują się do własności uporządkowanego ciała liczb rzeczywistych. W polskiej literaturze matematycznej dotychczas nie było opracowania o takim charakterze. Dziesięć głównych rozdziałów uzupełnionych zostało dwoma dodatkami, aby prezentowany materiał był kompletny i spójny. Każdy rozdział kończy się zadaniami, które pozwolą Czytelnikowi sprawdzić i pogłębić zrozumienie przeczytanego materiału.

Podręcznik przeznaczony jest dla studentów kierunków ścisłych, doktorantów oraz pracowników naukowych pragnących zapoznać się z podstawami algebry rzeczywistej.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

MIECZYS£AW KULA ANDRZEJ S£ADEK A I R O E T UPORZ¥DKOWANYCH Cena 42 z³ (+VAT) M . K u l a · A . S ³ a d e k · T e o r i a c i a ³ u p o r z ¹ d k o w a n y c h ISSN 1644-0552 ISBN 978-83-8012-201-7 Wydawnictwo Uniwersytetu Œl¹skiego Katowice 2013 Teoria ciał uporządkowanych i NR 145 i Mieczysław Kula, Andrzej Sładek Teoria ciał uporządkowanych Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2013 i Redaktor serii: Matematyka Tomasz Dłotko Recenzenci Edmund Puczyłowski Daniel Simson i Spis treści Wstęp 9 1. Ciała formalnie rzeczywiste 15 1.1. Porządki ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2. Porządki ciała szeregów formalnych . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Praporządki, twierdzenia Artina–Schreiera . . . . . . . . . . 23 1.4. Sygnatury, oszacowanie liczby porządków . . . . . . . . . . . 27 1.5. Wachlarze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6. Przedłużenia porządków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7. Półporządki ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2. Formy kwadratowe 51 2.1. Funkcjonały dwuliniowe i formy kwadratowe . . . . . . . . . 51 2.2. Formy kwadratowe nad dowolnymi ciałami . . . . . . . . . . 56 2.3. Formy Pfistera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4. Formy śladu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.5. Formy kwadratowe nad ciałami formalnie rzeczywistymi . . . 75 2.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3. Ciała rzeczywiście domknięte 85 3.1. Charakteryzacja ciał rzeczywiście domkniętych . . . . . . . . 85 3.2. Formy śladu nad ciałami formalnie rzeczywistymi . . . . . . 91 3.3. Jednoznaczność rzeczywistego domknięcia . . . . . . . . . . . 93 3.4. Elementarne twierdzenia analizy matematycznej . . . . . . . 98 3.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4. Ciała uporządkowane 107 4.1. Gęstość i archimedesowość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2. Ciało funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3. Ciągłe domknięcie ciała uporządkowanego . . . . . . . . . . . 120 4.4. Podciała ciała liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . 132 i 6 Spis treści 4.5. Twierdzenie aproksymacyjne dla norm . . . . . . . . . . . . . 137 4.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5. Przestrzeń porządków ciała formalnie rzeczywistego 143 5.1. Topologia przestrzeni porządków . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2. Przestrzeń sygnatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5.3. Praporządki spełniające SAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.4. Przykłady ciał spełniających SAP . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6. Pierścienie waluacyjne, waluacje i punkty 167 6.1. Podpierścienie wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.2. Podstawowe pojęcia teorii waluacji . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.3. Przykłady waluacji, pierścieni waluacyjnych oraz punktów . 178 6.4. Ranga waluacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.5. Topologia waluacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.6. Twierdzenia aproksymacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.7. Rozszerzenia pierścieni waluacyjnych . . . . . . . . . . . . . . 195 6.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7. Pierścienie waluacyjne w ciałach formalnie rzeczywistych 203 7.1. Pierścienie waluacyjne formalnie rzeczywiste . . . . . . . . . 203 7.2. Pierścienie henselowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3. Topologia porządkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.4. Punkty rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.5. Lokalizacja praporządków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.6. Półporządki i pierścienie waluacyjne . . . . . . . . . . . . . . 238 7.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8. Wokół 17. problemu Hilberta 249 8.1. Punkty ciał funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.2. 17. problem Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 8.3. Twierdzenie o dodatniości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 8.4. Formy ternarne stopnia 4. oraz twierdzenie Hilberta . . . . . 269 8.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 9. Specjalne klasy ciał 279 9.1. Ciała euklidesowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 9.2. Ciała pitagorejskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 9.3. Ciała superrzeczywiste oraz superpitagorejskie . . . . . . . . 293 9.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 i Spis treści 7 10. Geometryczne własności ciał uporządkowanych 299 10.1. Twierdzenie spektralne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2. Uogólnione przestrzenie euklidesowe . . . . . . . . . . . . . 306 10.3. Praporządki spełniające warunek Pascha . . . . . . . . . . . 323 10.4. Ciała spełniające SAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 10.5. Twierdzenie Rolle’a dla wielomianów i funkcji wymiernych . 333 10.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Dodatek 343 D.1. Grupy abelowe uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 D.2. Ciało liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 D.3. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Bibliografia Spis oznaczeń Skorowidz 365 365 367 i Wstęp Ciało uporządkowane jest strukturą algebraiczną, która w jednym schemacie ujmuje wspólne cechy zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb rzeczywistych. Obserwując rozwój intelektualny małego dziecka, można zauważyć, że zdolność porównywania liczb pojawia się niemal równocześnie z kształ- towaniem samego pojęcia liczby. Początkowo są to liczby naturalne, ale w dalszych etapach edukacji pojawiają się liczby całkowite, wymierne, rze- czywiste; temu rozszerzaniu pojęcia liczby towarzyszy rozwój umiejętności wykonywania operacji arytmetycznych oraz porównywania liczb. W ten spo- sób powstaje intuicyjne pojęcie struktury algebraicznej, którą jest zbiór liczb wymiernych lub rzeczywistych z działaniami dodawania i mnożenia wraz z dodatkowo określoną relacją liniowego porządku, zgodną z działaniami. O ile na elementarnym poziomie uporządkowanie zbioru liczb służy jedy- nie do porównywania cech rzeczy wyrażonych liczbami, o tyle w kolejnych etapach edukacji matematycznej uświadamiamy sobie, że bez uporządkowa- nia ciała liczb rzeczywistych R niemożliwe byłoby stworzenie np. podstaw rachunku różniczkowego i całkowego funkcji rzeczywistych ani stosowanie metod matematycznych w innych dziedzinach nauki oraz technice. Zatem relacja liniowego porządku, na pozór niealgebraiczna, „uszlachetnia” struk- turę algebraiczną ciała. Ta obserwacja w naturalny sposób prowadzi do po- wstania idei uporządkowanej struktury algebraicznej. Niniejszy podręcznik ma odpowiedzieć na pytanie, kiedy i na ile sposobów można uporządkować dowolne ciało i jaki wpływ na własności ciała ma fakt istnienia porząd- ków. Warto zauważyć, że w polskiej literaturze matematycznej ten temat praktycznie nie występuje. Impulsem do powstania teorii ciał uporządkowanych było zapewne py- tanie, jakie zadał David Hilbert na słynnym Kongresie w Paryżu w 1900 roku, a znane jako 17. problem Hilberta. Zapytał on mianowicie, czy nie- ujemnie określony wielomian f ∈ R[X1, ..., Xn] jest sumą kwadratów funk- cji wymiernych z ciała R(X1, ..., Xn). Pozytywnej odpowiedzi udzielił Emil Artin (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 100–115), korzystając z opublikowanej w tym samym numerze czasopisma wspólnej pracy z Otto- i 10 Wstęp nem Schreierem, zawierającej podstawy teorii ciał uporządkowanych. O teo- rii przez nich stworzonej Nicolas Bourbaki w książce zatytułowanej ´El´ements d’histoire des math´ematiques napisał, że „jednym z najdonioślejszych jej re- zultatów jest niewątpliwie odkrycie, że istnienie relacji porządkującej nad ciałem związane jest z własnościami czysto algebraicznymi tego ciała”. Fun- damentalne dla tej teorii jest twierdzenie, które mówi, że ciało można upo- rządkować wtedy i tylko wtedy, gdy jest formalnie rzeczywiste, co oznacza, że zero nie jest sumą kwadratów niezerowych elementów tego ciała. Opie- rając sie na doświadczeniu wyniesionym z obcowania z ciałem uporząd- kowanym R, trudno się domyślić, jakie ciekawe własności mogą pojawić się w przypadku dowolnych ciał uporządkowanych. Ciało R jest uporządkowane tylko na jeden i to ciągły sposób, jest rozszerzeniem archimedesowym ciała liczb wymiernych, które jest w nim gęste. Jest to raczej wyjątkowy przypa- dek. Ogólnie, ciało może być uporządkowane na wiele, nawet nieprzeliczalnie wiele sposobów, podczas gdy samo jest przeliczalne. Może również zawierać elementy większe od wszystkich liczb wymiernych czy też odcinki rozłączne z podciałem liczb wymiernych. Drugie ważne twierdzenie Artina i Schreiera mówi, że element ciała jest dodatni w każdym porządku tego ciała wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą kwadratów elementów tego ciała. Twierdzenie to stanowi właśnie jeden z ważnych argumentów w rozwiązaniu 17. proble- mu Hilberta. Teoria stworzona przez Artina i Schreiera stała się katalizatorem rozwoju wielu działów matematyki. Wystarczy wspomnieć, że z geometrii algebra- icznej wyodrębniła się rzeczywista geometria algebraiczna, a teoria form kwadratowych nad dowolnymi ciałami zyskała nowe narzędzia do badania zachowania się tych form. Pewne ciała uporządkowane, tzw. ciała rzeczywi- ście domknięte, pojawiły się również w teorii modeli w kontekście zasady Tarskiego, która mówi, że ciała rzeczywiście domknięte są elementarnie rów- noważne z ciałem liczb rzeczywistych. Podręcznik składa się z dziesięciu rozdziałów uzupełnionych dwoma do- datkami. Rozpoczynamy, oczywiście, od podstawowych pojęć i przykładów oraz dowodów dwóch wspomnianych wcześniej twierdzeń Artina i Schreiera, zawartych w rozdziale pierwszym, w którym Czytelnik znajdzie także m.in. dyskusję zachowania się porządków ciał przy rozszerzeniach ciał. Wspomnieliśmy już o wpływie teorii ciał uporządkowanych na teorię form kwadratowych nad tymi ciałami. Rozdział drugi przypomina podsta- wowe fakty dotyczące teorii form kwadratowych i kończy się omówieniem tej części teorii, która dotyczy form kwadratowych nad ciałami formalnie rzeczywistymi. i Wstęp 11 Podobne do ciała R pod pewnymi względami są tzw. ciała rzeczywiście domknięte, które jak R są ciałami formalnie rzeczywistymi o kowymiarze 2 w swoim algebraicznym domknięciu. Rozdział trzeci podaje charakteryza- cję takich ciał. Pokazujemy w nim istnienie i jednoznaczność rzeczywistego domknięcia ciała uporządkowanego, które jest odpowiednikiem algebraicz- nego domknięcia w teorii ciał formalnie rzeczywistych. Podobieństwo ciał rzeczywiście domkniętych do ciała R wyraża się również w tym, że pewne elementarne twierdzenia analizy matematycznej, przedstawione w podroz- dziale 3.4, są prawdziwe nad tymi ciałami. Różne porządki ciała, a jak wspomnieliśmy ciało może mieć ich wiele, mogą implikować różne własności. Pojęcia takie, jak: gęstość, archimedeso- wość czy wypukłość, odnoszą się do zbioru uporządkowanego. Te własności w ciałach z ustalonym porządkiem (tzn. ciałach uporządkowanych) dysku- towane są w rozdziale czwartym. Za ich pomocą scharakteryzować można zarówno podciała ciała R, jak i samo ciało R. Jedna ze znanych konstrukcji ciała liczb rzeczywistych wykorzystuje przekroje Dedekinda ciała liczb wy- miernych. Oczywiście, pojęcie przekroju Dedekinda ma sens w dowolnym ciele uporządkowanym, jednak zachowanie tych przekrojów może w istotny sposób różnić się od ich zachowania w ciele liczb wymiernych. Mimo to, konstrukcję ciała R za pomocą przekrojów można naśladować w przypadku dowolnego ciała z ustalonym porządkiem, uzyskując tzw. ciągłe domknię- cie tego ciała. Mówiąc ogólnie, konstrukcja ta „zalepia dziury” między kla- są dolną i górną pewnych przekrojów Dedekinda, które to w przypadku ciała liczb wymiernych odpowiadają liczbom rzeczywistym. W przypadku ciała rzeczywiście domkniętego przekroje Dedekinda tego ciała wyznaczają wszystkie porządki ciała funkcji wymiernych nad tym ciałem. W zbiorze porządków ciała formalnie rzeczywistego można wprowadzić topologię, która czyni z tego zbioru przestrzeń boolowską. Rozdział piąty poświęcony jest aspektom topologicznym zbioru porządków. Ze względu na interesujący związek własności algebraicznych ciała z własnościami topolo- gicznymi jego przestrzeni porządków wyróżniamy klasę ciał spełniających SAP (Strong Approximation Property). Inne charakteryzacje tej klasy za- warte są w dalszych rozdziałach. Czynimy tu również ważne przygotowania do tego, aby w ostatnim rozdziale pokazać, że każda przestrzeń topologiczna boolowska jest homeomorficzna z przestrzenią porządków pewnego ciała. Podpierścień wypukły ciała z ustalonym porządkiem okazuje się pier- ścieniem waluacyjnym, a waluacja wyznaczona przez taki pierścień stanowi nadzwyczaj skuteczne narzędzie do badania własności ciała. Rozdział szó- sty zawiera podstawowe informacje z teorii waluacji nad dowolnymi ciała- mi, podczas gdy rozdział następny dotyczy ściśle teorii waluacji nad ciała- i 12 Wstęp mi formalnie rzeczywistymi. Przedmiotem rozważań są tu waluacje zgodne z porządkiem, tj. takie, które są odwzorowaniami nierosnącymi w grupę wartości tej waluacji. Część rozdziału siódmego poświęcona jest pierście- niom waluacyjnym, których ciała reszt są podciałami ciała R. Kanoniczne odwzorowania w ciała reszt wyznaczone przez te pierścienie waluacyjne, nazywane punktami rzeczywistymi, tworzą przestrzeń ilorazową przestrzeni topologicznej wszystkich porządków ciała. Punkty rzeczywiste będą odgrywały ważną rolę w rozdziale ósmym, w którym zajmiemy się podaniem rozwiązania 17. problemu Hilberta i przedstawimy uogólnienia tego problemu, polegającego na tym, że zamiast wielomianów nieujemnie określonych na całej dziedzinie, rozważać będzie- my wielomiany nieujemnie określone na pewnych podzbiorach dziedziny ich określoności. W rozdziale tym przedstawimy też nieco słabszą wersję twier- dzenia Hilberta dotyczącego nieujemnie określonych form ternarnych stop- nia 4. Oryginalne twierdzenie mówi, że każda taka forma jest sumą kwa- dratów trzech form kwadratowych i jego dowód jest stosunkowo trudny. Pokażemy jedynie w miarę elementarny dowód pochodzący od Albrechta Pfistera faktu, że taka forma jest sumą co najwyżej czterech kwadratów form kwadratowych. W ciele R zbiór elementów niezerowych dzieli się na te, które są kwa- dratami i te, które są minus kwadratami. Ciało formalnie rzeczywiste o ta- kiej własności nazywane jest ciałem euklidesowym. Fakt, że dla dowolnych a, b ∈ R równanie a2 + b2 = x2 ma rozwiązanie w oczywisty sposób kojarzy się z twierdzeniem Pitagorasa, stąd ciało, które ma taką własność nazywa- ne jest ciałem pitagorejskim. Rozdział dziewiąty poświęcony jest opisowi pewnych szczególnych klas ciał formalnie rzeczywistych, w tym również ciał euklidesowych i pitagorejskich. Twierdzenie spektralne dla endomorfizmów samosprzężonych, pewne wła- sności przestrzeni euklidesowych, twierdzenie Rolle’a niezmiennie przywołu- ją na myśl rozważania nad ciałem R, chociaż ich sformułowanie jest możliwe nad dowolnym ciałem uporządkowanym, z tym jednak, że takie uogólnienia nie zawsze są prawdziwe. W ostatnim rozdziale zajmujemy się charakteryza- cją tych ciał, dla których twierdzenie spektralne czy też twierdzenie Rolle’a są spełnione. Tu Czytelnik znajdzie też charakteryzację takich ciał, które w geometrii afinicznej dopuszczają aksjomat Pascha. Porządek ciała jest równocześnie porządkiem grupy addytywnej tego cia- ła. Celowe zatem w wielu miejscach jest wykorzystywanie gotowych faktów z teorii grup uporządkowanych. Dla wygody Czytelnika zamieściliśmy do- datek D.1, w którym zawarte zostały potrzebne fakty dotyczące abelowych grup uporządkowanych. W całym podręczniku ciało R wielokrotnie wystę- i Wstęp 13 puje jako przykład. Chociaż własności tego ciała takie, jak archimedeso- wość czy też ciągłość, są powszechnie znane z podstawowego kursu analizy matematycznej, to jednak wydaje nam się, że tutaj powinny być szczegó- łowo uzasadnione. Z tego też względu dołączyliśmy dodatek D.2, w którym przeprowadzona jest konstrukcja ciała R i udowodnione są wszystkie jego własności służące jako ilustracje w podawanych wcześniej przykładach. Każdy z rozdziałów kończy się zadaniami, co pozwoli Czytelnikowi spraw- dzić i pogłębić zrozumienie przeczytanego materiału. Podręcznik ma zapoznać studentów kierunków ścisłych oraz pracowni- ków naukowych z podstawami algebry rzeczywistej. Dobierając prezento- wany w nim materiał, dołożyliśmy starań, aby był on możliwie kompletny i spójny, tak aby znajomość kursowych wiadomości z algebry i algebry linio- wej była wystarczająca do jego lektury. W niewielu przypadkach odsyłamy Czytelnika do pozycji, w których można znaleźć dowody twierdzeń, na ja- kie powołujemy się w naszej argumentacji. Aby Czytelnik mógł poszerzyć zaprezentowane przez nas wiadomości, dołączyliśmy wykaz literatury uzu- pełniającej, gdzie znajdzie też bardziej szczegółowe dane bibliograficzne. Pragniemy podziękować recenzentom Profesorowi Edmundowi Puczy- łowskiemu i Profesorowi Danielowi Simsonowi za życzliwe opinie i cenne uwagi, które pomogły usunąć wiele usterek zawartych w pierwotnym tek- ście podręcznika. i Spis oznaczeń 15 (K, ) K∗ 16 K∗2 16 K∗/K∗2 P K∗2 K∗/P K∗2 16 18 18 28 26 28 21 26 28 X (K/P K∗2) 26 P∞ 20 P−∞ 20 K(X) 20 K((X)) P+ 23 P− 23 T [x] 24 X (K/T ) X (K) sgnP | x |P SgnY dim 52 ∼= 53 rz 53 ⊥ 53 ha1, . . . , aniK 53 ha1, . . . , ani 53 ⊥ 54 ⊗ 54 k × ϕ 54 54 ϕk aϕ 54 det 55 H 56 DKϕ 56 Dϕ 56 hha1, . . . , anii 63 i 71 70 71 71 ∼= 66 AM 66 ⊗K 66 trA 68 TrA,α [A, α]K 70 [A, α] 70 SylK(f, g) SylK(f) Syla K(f) sgnP 77 K 85 (D, G) 109 (D(a), G[a]) (D[a], G(a)) D−∞(L/K) G−∞(L/K) G∞(L/K) D∞(L/K) D(K) 110 D0(K) 110 Dn(K) 110 Dg(K) 110 ωL/K(D, G) ωL/K[α) ωL/K(α] ωL/K 111 Pa+ Pa− Pf +,Q 119 Pf−,Q 119 || · ||P 137 144 HT (a) HT (K) 144 H(K)(a) 144 119 119 111 111 109 109 110 110 110 110 111 366 Spis oznaczeń 226 228 T ∧ S 206 ˆS 206 T A 206 225 λP MK 226 Ord(λ) Hol(K) 250 K n Pn,d 270 270 Σn,d 282 Kkd 286 Kpd ’ 307 ◦ 309 sqrP 310 || · || 310 −→ 317 L(A, B) 343 (a, b) [a, b] 343 convA(C) 346 G[A] 317 344 167 167 168 rl 149 conv(K,P )(A) convK(A) ht(K) 168 ht(K/F ) MA 169 169 κ(A) A∗ 169 169 AP Γv 174 λA 175 ΓA 175 175 Av Mv 175 176 Aλ Mλ 176 183 Ap Spec(A) e(B/A) f(B/A) e(v/w) f(v/w) T 206 184 196 197 197 197 i Skorowidz aksjomat odkładania wersja afiniczna, 318 wersja wektorowa, 308 ciąg Pascha, 319 Pascha słaby, 319 algebra, 66 baza, 66 rozdzielcza, 71 wymiar, 66 baza Harrisona, 144 ortogonalna (prostopadła), 53 przestrzeni topologicznej, 143 ciało euklidesowe, 279 formalnie rzeczywiste, 17 funkcyjne, 250 gęste w rozszerzeniu, 107 kwadratowo domknięte, 280 liczb rzeczywistych, 355 paschowskie, 323 pitagorejskie, 279 reszt, 176 rzeczywiście domknięte, 85 spełniające SAP, 156 twierdzenie Rolle’a, 333, 340 WAP, 158 superpitagorejskie, 293 superrzeczywiste, 293 szeregów formalnych, 21 i T -półuporządkowane, 38 uporządkowane, 15 w sposób ciągły, 120 Cauchy’ego, 353 Sturma, 102 uogólniony, 101 zbieżny do zera, 353 ciągłe domknięcie ciała, 120 ciężar przestrzeni topologicznej, 143 czysta podforma, 65 długość łańcucha, 149 domknięcie euklidesowe ciała, 284 kwadratowe ciała, 282 pitagorejskie ciała, 286 rzeczywiste ciała, 90 dopełnienie ortogonalne, 55 element całkowity, 178 dwustronnie sztywny, 47 T -sztywny, 47 nieskończenie duży, 107 mały, 108 przedstawialny przez formę, 56 rozdzielający zbiory, 156 sztywny, 25 T -sztywny, 25 totalnie dodatni, 27 ujemny, 27 368 endomorfizm diagonalizowalny, 300 ortogonalnie, 302 ortonormalnie, 302 samosprzężony, 299 forma binarna, 57 hiperboliczna, 56 izotropowa, 56 słabo, 328 kwadratowa, 52 nieizotropowa, 56 nieokreślona, 76 całkowicie, 76 określona dodatnio, 76 ujemnie, 76 Pfistera, 63 Sylvestera, 72 śladu rozszerzenia ciał, 72 algebry, 70 uniwersalna, 57 formuły Witta, 78 formy 2-połączone, 61 podobne, 62 połączone, 61 funkcjonał kwadratowy, 52 funkcjonał dwuliniowy euklidesowy, 309 nieokreślony, 76 całkowicie, 76 określony dodatnio , 76 ujemnie, 76 symetryczny, 51 grupa A-podzielna, 346 klas kwadratów, 18 klas sum kwadratów, 18 n-podzielna, 346 Skorowidz podzielna, 346 nieparzyście, 346 uporządkowana, 344 wartości waluacji, 174 grupy uporządkowane izomorficzne, 348 homomorfizm grup niemalejący, 348 ideał M- wypukły, 262 iloczyn tensorowy form kwadratowych, 54 przestrzeni dwuliniowych, 54 indeks rozgałęzienia, 196 Witta formy, 62 izomorfizm algebr, 66 kostka Cantora, 144 kryterium separacyjne, 234 liczba Pitagorasa, 257 rzeczywista dodatnia, 355 ujemna, 355 lokalizacja wachlarza, 236 macierz diagonalizowalna, 301 ortogonalnie, 303 formy kwadratowej, 52 funkcjonału dwuliniowego, 52 macierze kongruentne, 52 moduł kwadratowy, 261 archimedesowy, 266 monomorfizm grup rosnący, 348 nierówność trójkąta, 314 norma, 137 wektora, 310 standardowa, 312 normy niezależne, 137 równoważne, 311 odcinek, 319, 343 i Skorowidz otoczka A-podzielna grupy, 347 wypukła, 167, 344 pełny układ otoczeń, 187 pierścienie waluacyjne niezależne, 189 zależne, 190 pierścień 2-henselowski, 220 całkowicie domknięty, 178 henselowski, 214 rzeczywisty holomorficzny, 228 waluacyjny, 170, 173 całkowicie zgodny z praporząd- kiem, 204 formalnie rzeczywisty, 205 mocno zgodny z półporządkiem, 241 zgodny z porządkiem, 204 zgodny z półporządkiem, 241 zgodny z praporządkiem, 204 płaszczyzna hiperboliczna, 56 podbaza Harrisona, 144 przestrzeni topologicznej, 143 podciało archimedesowo nasycone, 170 ciała uporządkowanego, 18, 107 gęste, 107 podgrupa gęsta w grupie, 242 podpierścień wypukły, 168 podzbiór wypukły, 167, 344 polaryzacja funkcjonału dwuliniowe- go, 52 porządek, 17 addytywny, 310 archimedesowy nad podciałem, 108 indukowany, 18 leksykograficzny, 345 liniowy, 343 Positivstellensatz, 264 półpierścień, 32 generowany przez podzbiór, 32 półporządek, 38 archimedesowy nad podciałem, 239 369 praporządek, 24 spełniający SAP, 156 warunek Pascha, 323 przedłużenie porządku, 18 przedział domknięty, 343 otwarty, 343 przekrój Dedekinda, 109 główny, 110 klasa dolna, 109 górna, 109 nietrywialny, 109 normalny, 109 trywialny, 109 właściwy, 109 przestrzenie dwuliniowe izometryczne (izomor- ficzne), 53 kwadratowe izometryczne (izomor- ficzne), 53 przestrzeń dwuliniowa, 52 nieosobliwa, 55 euklidesowa uogólniona, 313 afiniczna, 318 kwadratowa, 52 topologiczna boolowska, 143 całkowicie niespójna, 143 Hausdorffa, 143 normalna, 143 zerowymiarowa, 143 zwarta, 143 punkt, 175 formalnie rzeczywisty, 205 zgodny z porządkami, 212 położony między punktami, 318 rzeczywisty, 225 zgodny z porządkiem, 225 trywialny, 179 punkty niezależne, 190 równoważne, 177 zależne, 190 i 370 radykał przestrzeni dwuliniowej, 55 ranga ciała, 168 grupy uporządkowanej, 348 łańcuchowa praporządku, 149 pierścienia waluacyjnego, 186 punktu, 186 rozszerzenia ciała, 168 waluacji, 186 relacja jednakowej długości wektorów, 307 prostopadłości, 307 rozszerzenie archimedesowe, 108 ciała skalarów, 56 uporządkowanego, 18, 107 pierścienia waluacyjnego, 195 formy kwadratowej, 53 funkcjonału dwuliniowego, 53 rząd stopień ciała funkcyjnego, 250 rozszerzenia ciała reszt, 197 suma ortogonalna form kwadratowych, 54 przestrzeni dwuliniowych, 54 wewnętrzna, 54 sygnatura formy kwadratowej, 77 funkcjonału dwuliniowego, 77 względem porządku, 28 zbioru porządków, 28 ślad elementu, 68 T -półporządek, 38 T -półporządek częściowy, 42 topologia porządkowa, 223 waluacyjna, 188 twierdzenie aproksymacyjne dla norm, 138 Skorowidz dla waluacji, 191 Artina, 255 Artina-Langa, 252 Artina-Schreiera I, 26 Artina-Schreiera II, 27 Baera–Krulla, 210 Darboux, 99 Lagrange’a, 100 o bezwładności, 76 o dodatniości, 264 o homomorfizmie grup uporząd- kowanych, 349 o normalności, 148 o oddzielaniu, 155 o osiach głównych, 305 Rolle’a, 100 spektralne, 305 Tsena-Langa, 255 Weiertrassa, 99 Witta o rozkładzie, 62 Witta o skracaniu, 55 uzupełnienie ortogonalne, 55 wachlarz, 30 lokalizacja, 236 trywialny, 30 waluacja, 174 całkowicie zgodna z praporząd- kiem, 204 dyskretna, 187 formalnie rzeczywista, 205 mocno zgodna z półporządkiem, 241 p-adyczna, 179 trywialna, 179 zgodna z porządkiem, 204 z półporządkiem, 241 z praporządkiem, 204 waluacje niezależne, 190 równoważne, 177 zależne, 190 i Skorowidz wariacja znaków, 102 wartość bezwzględna, 28, 41, 347 wektor izotropowy, 53 wektory prostopadłe, 53 skierowane przeciwnie, 313 zgodnie, 313 wielomian pierwotny, 214 własność osi głównych, 303 wymiar formy kwadratowej, 52 Krulla, 186 wysokość rozszerzenia ciała, 168 371 ciała, 168 waluacji, 186 wyznacznik przestrzeni dwuliniowej, 55 zanurzenie ciał rosnące, 21 zachowujące porządek, 21 zasada lokalno-globalna Pfistera, 79 zasada transferu Tarskiego, 253 zbiory uporządkowane podobne, 343 zbiór elementów dodatnich, 16, 38 semialgebraiczny, 258 i Redaktor Barbara Todos-Burny Projektant okładki Przemysław Koprowski Skład i łamanie Mieczysław Kula Andrzej Sładek Copyright © 2013 by Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Wszelkie prawa zastrzeżone ISSN 1644-0552 ISBN 978-83-226-2148-6 (wersja drukowana) ISBN 978-83-8012-201-7 (wersja elektroniczna) Wydawca Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego ul. Bankowa 12B, 40-007 Katowice www.wydawnictwo.us.edu.pl e-mail: wydawus@us.edu.pl Wydanie I. Ark. druk. 23,5. Ark. wyd. 27,0 Papier offset. kl. III, 90 g Cena 42 zł (+VAT) Druk i oprawa: PPHU TOTEM s.c. M. Rejnowski, J. Zamiara ul. Jacewska 89, 88-100 Inowrocław MIECZYS£AW KULA ANDRZEJ S£ADEK A I R O E T UPORZ¥DKOWANYCH Cena 42 z³ (+VAT) M . K u l a · A . S ³ a d e k · T e o r i a c i a ³ u p o r z ¹ d k o w a n y c h ISSN 1644-0552 ISBN 978-83-8012-201-7 Wydawnictwo Uniwersytetu Œl¹skiego Katowice 2013
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Teoria ciał uporządkowanych
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: