Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00441 009323 10484608 na godz. na dobę w sumie
Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II - książka
Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II - książka
Autor: , , Liczba stron: 304
Wydawca: Helion Język publikacji: polski
ISBN: 83-246-0401-4 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> książki okołoszkolne
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Kompendium wiedzy na temat sygnałów i metod ich przetwarzania

Teoria sygnałów to jedna z fundamentalnych dziedzin wiedzy technicznej. Jej znajomość jest niezbędna nie tylko projektantom urządzeń elektronicznych, ale również automatykom, informatykom, elektrotechnikom i specjalistom od telekomunikacji. Rozwój techniki cyfrowej zrewolucjonizował metody przetwarzania sygnałów, lecz podstawy tych mechanizmów są niezmienne -- nadal wykorzystywane są transformaty Fouriera i Laplace'a, klasyczne algorytmy modulacji oraz reguły projektowania urządzeń.

Książka 'Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II' to kolejne wydanie publikacji poświęconej sygnałom i ich przetwarzaniu. Zawiera zbiór najważniejszych informacji związanych z przekształcaniem i modulowaniem sygnałów metodami analogowymi i cyfrowymi oraz projektowaniem filtrów aktywnych i pasywnych. Każdy jej rozdział stanowi osobny wykład uzupełniony przykładami i zadaniami do samodzielnego rozwiązania, który można przeczytać bez odwoływania się do pozostałych wykładów.

Opanuj podstawy technologii cyfrowej.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

IDZ DO IDZ DO PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ PRZYK£ADOWY ROZDZIA£ SPIS TREŒCI SPIS TREŒCI KATALOG KSI¥¯EK KATALOG KSI¥¯EK KATALOG ONLINE KATALOG ONLINE ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG TWÓJ KOSZYK TWÓJ KOSZYK DODAJ DO KOSZYKA DODAJ DO KOSZYKA CENNIK I INFORMACJE CENNIK I INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE ZAMÓW INFORMACJE O NOWOŒCIACH O NOWOŒCIACH ZAMÓW CENNIK ZAMÓW CENNIK CZYTELNIA CZYTELNIA FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE Wydawnictwo Helion ul. Chopina 6 44-100 Gliwice tel. (32)230-98-63 e-mail: helion@helion.pl Teoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II poprawione i uzupe³nione Autorzy: Jacek Izydorczyk, Grzegorz P³onka, Grzegorz Tyma ISBN: 83-246-0401-4 Format: B5, stron: 304 Kompendium wiedzy na temat sygna³ów i metod ich przetwarzania (cid:129) Modulacja sygna³ów (cid:129) Transformaty Fouriera i Laplace’a (cid:129) Filtry analogowe i cyfrowe Teoria sygna³ów to jedna z fundamentalnych dziedzin wiedzy technicznej. Jej znajomoœæ jest niezbêdna nie tylko projektantom urz¹dzeñ elektronicznych, ale równie¿ automatykom, informatykom, elektrotechnikom i specjalistom od telekomunikacji. Rozwój techniki cyfrowej zrewolucjonizowa³ metody przetwarzania sygna³ów, lecz podstawy tych mechanizmów s¹ niezmienne — nadal wykorzystywane s¹ transformaty Fouriera i Laplace’a, klasyczne algorytmy modulacji oraz regu³y projektowania urz¹dzeñ. Ksi¹¿ka „Teoria sygna³ów. Wstêp. Wydanie II” to kolejne wydanie publikacji poœwiêconej sygna³om i ich przetwarzaniu. Zawiera zbiór najwa¿niejszych informacji zwi¹zanych z przekszta³caniem i modulowaniem sygna³ów metodami analogowymi i cyfrowymi oraz projektowaniem filtrów aktywnych i pasywnych. Ka¿dy jej rozdzia³ stanowi osobny wyk³ad uzupe³niony przyk³adami i zadaniami do samodzielnego rozwi¹zania, który mo¿na przeczytaæ bez odwo³ywania siê do pozosta³ych wyk³adów. (cid:129) Szeregi i transformaty Fouriera (cid:129) Modulacja sygna³ów (cid:129) Przekszta³cenie Laplace’a (cid:129) Projektowanie filtrów analogowych (cid:129) Sygna³y dyskretne i cyfrowe (cid:129) Modulacja impulsowa (cid:129) Dyskretna transformata Fouriera (cid:129) Liniowe uk³ady cyfrowe (cid:129) Projektowanie filtrów cyfrowych Opanuj podstawy technologii cyfrowej Spis treści Rozdział 1. Szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Wst ˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definicja rozwini ˛ecia w szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Warunki Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Wybrane własno´sci szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stan ustalony w obwodach liniowych z wymuszeniami okresowymi 1.5. . . . . . . . . . Przykłady zastosowa ´n szeregów Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. 1.8. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 2. Transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Definicja przekształcenia Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Wybrane własno´sci przekształcenia Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. G ˛esto´s´c widmowa sygnału na wyj´sciu układu liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. 2.6. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 3. Modulacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Wst ˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modulacja w pa´smie podstawowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Modulacja sygnału sinusoidalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Modulacja amplitudowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Modulacja k ˛atowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Modulacja kwadraturowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przemiana cz˛estotliwo´sci 3.4. 3.5. 9 9 10 16 18 20 22 26 26 31 31 33 34 39 39 48 49 49 50 51 51 58 60 64 65 66 6 Spis treści Przekształcenie Laplace’a Rozdział 4. Przekształcenie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 67 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2. Odwrotna transformacja Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1. Wzór Riemanna-Mellina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.2. Funkcje wymierne, residua i rozkład na ułamki proste . . . . . . . . . . . . 4.3. Własno´sci przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Liniowo´s´c transformaty 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Transformata pochodnej sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . 81 4.3.2. Transformata całki sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3.3. 82 4.3.4. Granica sygnału w zerze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pochodna transformaty sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . 82 4.3.5. 4.3.6. Opó´znienie sygnału L -transformowalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Przesuni ˛ecie argumentu obrazu L -transformowalnego . . . . . . . . . . . 83 4.3.7. 83 Transformata sygnału okresowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.8. Transformata splotu sygnałów L -transformowalnych . . . . . . . . . . . . 84 4.3.9. 84 Zastosowanie przekształcenia Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Równania ró˙zniczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4.1. Równania ró˙zniczkowe cz ˛astkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4.2. 90 4.4.3. Równania całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.5. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.5.1. Odpowied´z impulsowa układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Badanie stabilno´sci układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.5.3. Transmitancja operatorowa a transmitancja symboliczna . . . . . . . . . . 100 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6. 4.7. 4.4. 5.3. Rozdział 5. Filtry analogowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1. Filtr idealny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2. Aproksymacja charakterystyki amplitudowej filtru idealnego . . . . . . . . . . . . . 108 Filtr Butterwortha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2.1. Aproksymacja Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.2. Przekształcenia cz˛estotliwo´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.3. Synteza pasywnych filtrów LC o charakterystyce Butterwortha i Czebyszewa . . . . 132 5.3.1. Obwód ła ´ncuchowy otwarty na ko ´ncu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3.2. Obci ˛a˙zony obwód ła ´ncuchowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.3.3. Wzory dla syntezy filtrów Butterwortha — symetryczny obwód ła ´ncuchowy 143 5.3.4. Wzory dla syntezy filtrów Butterwortha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.3.5. Wzory dla syntezy filtrów Czebyszewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Przekształcenia cz˛estotliwo´sci raz jeszcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.3.6. 5.3.7. Kilka słów o projektowaniu filtrów pasywnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Synteza filtrów aktywnych RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4.1. Idealny wzmacniacz operacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.4.2. Kaskadowy filtr aktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Równoległy filtr aktywny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4.3. 5.4.4. Transmitancje rz˛edu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.4.5. Układy z wielokrotnym sprz˛e˙zeniem zwrotnym . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.5. Charakterystyka opó´znienia grupowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.5.1. Opó´znienie grupowe filtru o stałych skupionych . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4. 5.5.2. Wyrównywanie charakterystyki fazowej filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.5.3. Meandry przyczynowo´sci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.6. 5.7. Spis treści 7 Rozdział 6. Modulacja impulsowa, sygnały dyskretne i cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . 175 6.1. Transformata Fouriera dystrybucji delta Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Transformaty Fouriera funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . 175 Transformata Fouriera skoku jednostkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Transformata Fouriera całki sygnału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Transformata Fouriera szeregu impulsów Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Transformata Fouriera funkcji okresowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Reguła sumacyjna Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.1.6. Sygnał o ograniczonym pa´smie cz˛estotliwo´sci i sygnał o ograniczonym czasie trwania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.2.1. Nierówno´s´c Schwartza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 6.2.2. Własno´sci sygnałów o ograniczonym czasie trwania . . . . . . . . . . . . . 184 6.2.3. Własno´sci sygnałów o ograniczonym pa´smie cz˛estotliwo´sci . . . . . . . . . 185 Sygnał dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3.1. Modulacja impulsowa — sygnał dyskretny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3.2. Widmo sygnału dyskretnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.3.3. Odtwarzanie sygnału analogowego na podstawie sygnału dyskretnego . . 191 6.3.4. Twierdzenie Kotelnikowa-Shannona-Nyquista . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.3.5. Wpływ kształtu sygnałów próbkuj ˛acych na widmo sygnału zmodulowanego 195 6.3.6. Decymacja i interpolacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.3.7. Dowód twierdzenia o próbkowaniu bez teorii dystrybucji . . . . . . . . . . 198 6.3.8. Próbkowanie sygnałów pasmowych — obwiednia sygnału . . . . . . . . . . 200 Sygnał cyfrowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Stałoprzecinkowy, binarny format zapisu liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.4.1. 6.4.2. Zmiennoprzecinkowy, binarny format zapisu liczb . . . . . . . . . . . . . . 207 Podział kanału w dziedzinie czasu (TDM — time division multiplexing) 6.4.3. . 209 Szumy kwantowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.4.4. Przetwarzanie ∆Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.4.5. 6.4.6. Wzór Shannona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. Rozdział 7. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.1. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Sygnał dyskretny o sko ´nczonym czasie trwania i jego widmo . . . . . . . . 227 7.1.1. 7.1.2. Dyskretna transformacja Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.1.3. Własno´sci DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Szybki algorytm obliczania dyskretnej transformaty Fouriera (FFT) . . . . . . . . . 240 Algorytm FFT z podziałem w dziedzinie czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.2.1. Algorytm FFT z podziałem w dziedzinie cz˛estotliwo´sci . . . . . . . . . . . . 242 7.2.2. 7.2.3. O dodawaniu i mno˙zeniu liczb przez komputery . . . . . . . . . . . . . . . 244 Przykłady zastosowa ´n DFT poza cyfrowym przetwarzaniem sygnałów . . . 249 7.2.4. 7.3. Algorytm ´swiergotowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.2. 7.4. 7.5. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Rozdział 8. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.1. Wst ˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.2. Definicja transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.3. Transformacja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 8.4. Transformacja Z sygnału przyczynowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.5. Transformacja sygnału stabilnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 8.6. Własno´sci transformacji Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Zwi ˛azek z transformacj ˛a Fouriera 8.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 8.8. 8.9. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Rozdział 9. Liniowe układy dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.1. Wst ˛ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.2. Równania ró˙znicowe i równania stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 9.3. Odpowied´z impulsowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9.4. Transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.5. 276 9.6. Charakterystyka cz˛estotliwo´sciowa a zera i bieguny transmitancji . . . . . . . . . . 276 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 9.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 9.8. Przyczynowo´s´c i stabilno´s´c układów cyfrowych a obszar zbie˙zno´sci transmitancji 10.1. Filtry SOI Rozdział 10. Filtry cyfrowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.1.1. Metoda okien czasowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 10.2. Filtry NOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.3. Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.2.1. Projektowanie filtrów NOI Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Transformacja Fouriera Grzegorz Tyma 2 2.1. De(cid:28)nicja przekształcenia Fouriera Spróbujmy znale´z´c wzory na transformacj ˛e Fouriera sygnałów aperiodycznych, korzy- staj ˛ac z wyników otrzymanych dla szeregów Fouriera. Pomysł jest nast ˛epuj ˛acy: niech analizowany sygnał aperiodyczny zostanie na chwil ˛e zamieniony na okresowy przez jego powielenie z okresem T . Dla takiego sygnału potrafimy znale´z´c rozwini ˛ecie. Na- st ˛epnie sprawdzimy, jak b ˛ed ˛a si ˛e zachowywały współczynniki rozwini ˛ecia w przypad- ku, gdy z okresem b ˛edziemy zd ˛a˙za´c do niesko ´nczono´sci. Zabieg ten spowoduje, i˙z nasz sztucznie powielony, okresowy przebieg znów zamieni si ˛e w sygnał aperiodyczny. Rozpatrzmy przypadek sygnału okresowego, którego rozwini ˛ecie zostało znalezione w przykładzie 1.8, w rozdziale po´swi ˛econym szeregom Fouriera. Sygnał ten, o okre- sie T , mo˙ze by´c opisany wzorem ( x(t) = |t| T1 , 1, gdy 0, gdy T1 |t| T /2. Znalezione współczynniki rozwini ˛ecia maj ˛a posta´c ck = 2 sin(kω0T1) kω0T , gdzie ω0 = 2π T . Zdefiniujmy now ˛a wielko´s´c w postaci T ck = 2 sin(ωT1) ω flflflflω=kω0 i nazwijmy funkcj ˛e stoj ˛ac ˛a po prawej stronie równo´sci obwiedni ˛a. Współczynniki roz- wini ˛ecia mog ˛a by´c traktowane jako próbki obwiedni pobierane w równych odst ˛epach (2.1) (2.2) (2.3) 32 2. Transformacja Fouriera (rysunek 2.1). Dla ustalonej warto´sci T1 obwiednia jest niezale˙zna od T . Wraz ze wzro- stem T malej ˛a odst ˛epy pomi ˛edzy pobieranymi próbkami obwiedni. W granicznym przypadku, gdy T d ˛a˙zy do niesko ´nczono´sci, sygnał okresowy staje si ˛e sygnałem ape- riodycznym, a próbki T ck tworz ˛a obwiedni ˛e. Rysunek 2.1. Obwiednia T ck i próbki pobierane z niej z okresem próbkowania (a) T = 4T1 i (b) T = 8T1 Oznaczmy sztucznie utworzony sygnał okresowy przez x1(t) (rysunek 2.2). Mo˙zemy dla niego napisa´c znane wzory rozwini ˛ecia w szereg Fouriera: x1(t) = ∞X Z T /2 k=−∞ ck = 1 T ck ejkω0t , (2.4a) (2.4b) gdzie ω0 = 2π/T . Sygnał okresowy x1(t) powstał przez powielenie z okresem T sygnału x(t), zatem x1(t) = x(t) dla |t| T /2, ponadto x(t) = 0 poza tym przedziałem. Korzysta- j ˛ac z tych informacji mo˙zemy poprzedni wzór zapisa´c w postaci x1(t) e −T /2 −jkω0t dt , Z ∞ Z T /2 −T /2 ck = 1 T x(t) e −jkω0t dt = 1 T −∞ x(t) e −jkω0t dt . (2.5) Rysunek 2.2. Sygnał aperiodyczny x(t) i sztucznie utworzony sygnał okresowy x1(t) wkTcwkTc14TT=×a)14TT=×a)18TT=×b)02w×04w×()xt1()xttt1T1T1T-1T-TT- 2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera 33 Zatem obwiedni ˛e X (jω) z T ck mo˙zna przedstawi´c jako −jωt dt . X (jω) =Z ∞ −∞ x(t) e Współczynniki rozwini ˛ecia wyliczamy: ck = 1 T X (jkω0). (2.6) (2.7) Korzystaj ˛ac z tego, otrzymujemy x1(t) = ∞X k=−∞ 1 T X (jkω0) ejkω0t = 1 2π ∞X k=−∞ X (jkω0) ejkω0t ω0 . (2.8) Gdy okres T d ˛a˙zy do niesko ´nczono´sci, to x1(t) d ˛a˙zy do x(t), a ω0 d ˛a˙zy do zera. W efek- cie w ostatnim wzorze x(t) zast ˛api x1(t), a po prawej stronie suma zostanie zast ˛apiona całk ˛a Ostatecznie otrzymali´smy par˛e wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera: x(t) = 1 2π Z ∞ −∞ X (jω) ejωt dω. X (jω) =Z ∞ Z ∞ −∞ x(t) e −∞ X (jω) ejωt dω. −jωt dt , x(t) = 1 2π (2.9) (2.10a) (2.10b) Funkcja po transformacji mo˙ze by´c zapisana we współrz˛ednych biegunowych: (2.11) Moduł X (ω) = |X (jω)| nosi nazw˛e g ˛esto´sci widmowej amplitudy, natomiast faza ϕ(ω) = arg£X (jω)⁄ nazywana jest g ˛esto´sci ˛a widmow ˛a fazy (cz˛esto zamiennie mówi si ˛e o wid- X (jω) = |X (jω)|ej arg[X (jω)] . mie amplitudowym i fazowym). Podane zostan ˛a teraz warunki, jakie musi spełnia´c funkcja x(t), aby mo˙zna było znale´z´c jej transformat ˛e Fouriera. 2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera Podobnie jak dla sygnałów okresowych podaje si ˛e trzy warunki, zwane warunkami Di- richleta, na istnienie transformacji Fouriera funkcji x(t). Warunek 1. Funkcja x(t) jest bezwzgl˛ednie całkowalna, tzn. Z ∞ −∞ |x(t)|dt ∞. (2.12) Warunek 2. Funkcja x(t) ma sko ´nczon ˛a liczb˛e maksimów i minimów w dowolnym sko ´nczonym przedziale. 34 2. Transformacja Fouriera Warunek 3. Funkcja x(t) ma sko ´nczon ˛a liczb˛e punktów nieci ˛agło´sci w dowolnym sko ´nczonym przedziale. Ponadto warto´sci funkcji w tych punktach musz ˛a by´c ogra- niczone. W kolejnym podrozdziale przedstawiono wybrane własno´sci przekształcenia Fouriera. 2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera Liniowość Je˙zeli to x(t) ˆ= X (jω) oraz y(t) ˆ= Y (jω), a x(t)+ b y(t) ˆ= a X (jω)+ b Y (jω). (2.13a) (2.13b) Dowód twierdzenia o liniowo´sci przekształcenia Fouriera jest łatwy i wynika wprost ze wzoru na proste przekształcenie Fouriera. Przesunięcie w czasie Je˙zeli x(t) ˆ= X (jω), to x(t − t0) ˆ= e −jωt0 X (jω). Udowodnijmy to. Wiemy, i˙z Z ∞ −∞ X (jω) ejωt dω. x(t) = 1 2π Wprowadzaj ˛ac przesuni ˛ecie w czasie, otrzymujemy x(t − t0) = 1 2π Dostajemy zatem Z ∞ −∞ X (jω) ejω(t−t0) dω = 1 F x(t − t0)“ = e 2π Z ∞ −∞ e −jωt0 X (jω). −jωt0 X (jω) ejωt dω. Warto zauwa˙zy´c, ˙ze przesuni ˛ecie oryginału powoduje zmian ˛e jedynie g ˛esto´sci widmo- wej fazy, natomiast bez zmiany pozostaje g ˛esto´s´c widmowa amplitudy. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości Je˙zeli x(t) ˆ= X (jω), to ejω0t x(t) ˆ= X [j(ω− ω0)]. Udowodnijmy to. Wiemy, i˙z (2.14) (2.15) (2.16) (2.17) (2.18) Wprowadzaj ˛ac przesuni ˛ecie w cz˛estotliwo´sci, otrzymujemy F−1 X [j(ω− ω0)]“ = 1 x(t) = 1 2π Z ∞ −∞ X (jω) ejωt dω. Z ∞ −∞ X [j(ω− ω0)] ejωt dω = Z ∞ −∞ X (v) ejv t dv = ejω0t x(t). 2π = ejω0t 2π 2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 35 Różniczkowanie i całkowanie oryginału Zró˙zniczkujmy wzór x(t) = 1 2π R ∞ −∞ X (jω) ejωt dω po czasie; w efekcie otrzymamy ˆ= jωX (jω) dx(t) dt (2.19) Twierdzenie powy˙zsze jest prawdziwe, gdy funkcja x(t) jest bezwzgl ˛ednie całkowalna w przedziale (−∞,+∞), ci ˛agła i d ˛a˙zy do zera dla t → ±∞ oraz ma prawie wsz˛edzie pochodn ˛a ˙x(t), która jest bezwzgl ˛ednie całkowalna w przedziale (−∞,+∞). Niestety wzór na transformat ˛e Fouriera całki nie jest tak prosty, jak w przypadku transformaty Laplace’a: Z t −∞ x(ζ) dζ ˆ= X (jω) + π X (0) δ(ω). Aby go udowodni´c, trzeba zauwa˙zy´c, ˙ze sygnał R t−∞ x(ζ) dζ jest splotem sygnału x(t) jω (2.20) z jedynk ˛a Heaviside’a 1(t) = ( 1 dla t ˚ 0, 0 dla t 0, i zastosowa´c twierdzenie o transformacie Fouriera splotu sygnałów1. Skalowanie w czasie i częstotliwości (podobieństwo) Je˙zeli x(t) ˆ= X (jω), to dla dowolnej stałej a 0 zachodzi Udowodnijmy to: ‰Z ∞ −∞ x(t − τ)y(τ) dτ F (cid:190) =Z ∞ •Z ∞ −∞ x(t − τ)y(τ) dτ −∞ y(τ)£Z ∞ =Z ∞ −∞ x(t − τ) e −∞ ‚ −jωt dt⁄dτ. −jωt dt = e 1 Wi ˛ecej o transformacie Fouriera jedynki Heaviside’a napisano w podrozdziale 6.1.2 na stronie 176. ¶ . x(at) ˆ= 1 a (cid:181) jω −jωt dt =Z ∞ X a −∞ x(τ) e (cid:181) jω ¶ a . −j ω a τ dτ a = 1 a X Dowód: F [x(at)] =Z ∞ −∞ x(at) e Twierdzenie o transformacie splotu Je˙zeli to y(t) ˆ= Y (jω), x(t) ˆ= X (jω) oraz Z ∞ −∞ x(t − τ)y(τ) dτ ˆ= X (jω)Y (jω). (2.21) (2.22) (2.23) (2.24a) (2.24b) (2.25) 36 2. Transformacja Fouriera (2.26) (2.27a) (2.27b) Wprowadzaj ˛ac now ˛a zmienn ˛a całkowania u = t−τ, mamy dt = du oraz t = u+τ, wobec tego ‰Z ∞ −∞ x(t − τ)y(τ)d τ F (cid:190) =Z ∞ =Z ∞ −∞ y(τ) −∞ y(τ) e •Z ∞ −∞ x(u) e −jωτ dτ −jω(u+τ) dt Z ∞ −∞ x(u) e ‚ −jωu du = X (jω)Y (jω). dτ = Wzór Parsevala Je˙zeli to Spróbujmy to wykaza´c: Z ∞ |x(t)|2 dt =Z ∞ Z ∞ −∞ −∞ x(t) Zmieniaj ˛ac kolejno´s´c całkowania, otrzymujemy −∞ x(t) x Z ∞ −∞ ∗ −∞ |x(t)|2 dt = 1 2π x(t) ˆ= X (jω), Z ∞ |X (jω)|2 dω. • 1 Z ∞ •Z ∞ (jω) (jω) X (jω) dω = 1 2π ‚ −jωt dt Z ∞ (t) dt =Z ∞ Z ∞ Z ∞ −∞ x(t) e −∞ X −∞ X ∗ ∗ 2π −∞ |x(t)|2 dt = 1 2π = 1 2π ‚ −jωt dω dt . (2.28) ∗ (jω) e dω = |X (jω)|2 dω. −∞ X Wzór Parsevala posiada interpretacj ˛e fizyczn ˛a. Warto´s´c całki R ∞ −∞|x(t)|2 dt mo˙ze by´c traktowana jako energia zamieniona na ciepło na oporniku 1 Ω przy przepływie pr ˛adu i = x(t) w niesko ´nczenie wielkim przedziale czasowym. Zgodnie ze wzorem Parsevala całka z kwadratu g ˛esto´sci widmowej amplitudy równie˙z przedstawia energi ˛e. Dlatego mówi si ˛e o rozkładzie energii w funkcji pulsacji, a wielko´s´c |X (jω)|2/(2π) nazywana jest g ˛esto´sci ˛a widmow ˛a energii2. −∞ Symetria dualna Podobie ´nstwo wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera poci ˛aga za so- b ˛a dualno´s´c oryginałów i ich obrazów. Zilustrujmy to przykładem. Znajd´zmy obraz dla sygnału czasowego b ˛ed ˛acego pojedynczym impulsem prostok ˛atnym, a nast ˛epnie znajd´zmy oryginał dla pojedynczego impulsu prostok ˛atnego w dziedzinie cz˛estotliwo- ´sci: |t| T1 , 1 dla 0 dla T1 |t| x2(t) = sin(ω0t) πt ˆ= X1(jω) = 2 sin(ωT1) ω ( ˆ= X2(jω) = 1 dla |ω| ω0 , 0 dla ω0 |ω|. (2.29a) (2.29b) ( x1(t) = 2 Je˙zeli całkowanie we wzorze (2.27b) odbywa si ˛e wzgl ˛edem cz˛estotliwo´sci f wyra˙zonej w hercach, a nie wzgl ˛edem pulsacji ω wyra˙zonej w radianach na sekund ˛e, to pomija si ˛e współczynnik 1/(2π). 2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 37 Odpowiednie pary (oryginał i transformata) przedstawiono na rysunku 2.3. Łatwo za- uwa˙zy´c symetri ˛e, jaka wyst ˛epuje w tych dwóch przekształceniach. B˛edzie ona wyst ˛e- powała tak˙ze w przypadku innych funkcji. Je˙zeli tylko we´zmiemy jedn ˛a funkcj ˛e i po- liczymy jej transformat ˛e, a nast ˛epnie oryginał potraktujemy jako obraz i zastosujemy do niego odwrotne przekształcenie, to otrzymane w ten sposób obraz i oryginał b ˛ed ˛a do siebie podobne. Mo˙zemy to zapisa´c w nast ˛epuj ˛acej postaci: x(t) ˆ= X (jω) ⇒ X (t) ˆ= 2πx(−ω). (2.30) Rysunek 2.3. Podobie ´nstwo oryginałów i obrazów Sprzężenie i symetria Je˙zeli to x(t) ˆ= X (jω), ∗ (t) ˆ= X x ∗ ∗ X (jω) =•Z ∞ (−jω) =Z ∞ X ∗ −∞ x(t) e ∗ −jωt dt (−jω). ‚∗ =Z ∞ −jωt dt = F x −∞ x ∗ (t)“. ∗ Mo˙zna to w prosty sposób udowodni´c. Obliczaj ˛ac warto´s´c sprz˛e˙zon ˛a X (jω), otrzymu- jemy (t) ejωt dt . (2.32) Zamieniaj ˛ac ω na −ω, uzyskujemy (t) e −∞ x (2.33) (t) = x(t), to na podstawie dwóch poprzednich wzorów ∗ Je´sli x(t) jest rzeczywiste i x łatwo pokaza´c, ˙ze X (−jω) = X ∗ (jω) oraz X ∗ (−jω) = X (jω). Je˙zeli przedstawimy X (jω) w postaci X (jω) = Re{X (jω)}+ j Im{X (jω)}, (2.31a) (2.31b) (2.34) (2.35) 1()Xjww12T1/Tp1T1T-t1()xt112()Xjw0w0w-w2()xt0/wp0/pwt 38 2. Transformacja Fouriera to korzystaj ˛ac ze wzoru (2.34) otrzymujemy nast ˛epuj ˛ace zale˙zno´sci (cały czas zakłada- my, ˙ze x(t) jest rzeczywiste): Re{X (jω)} = Re{X (−jω)}, Im{X (jω)} = −Im{X (−jω)}. (2.36) Ze wzorów tych wynika tak˙ze, ˙ze g ˛esto´s´c widmowa amplitudy jest funkcj ˛a parzyst ˛a, a g ˛esto´s´c widmowa fazy — funkcj ˛a nieparzyst ˛a. Wynik ten mo˙zna tak˙ze otrzyma´c w in- −jωt = cos(ωt)− j sin(ωt), to transformata Fouriera sygnału ny sposób. Je´sli zapiszemy e x(t) mo˙ze by´c zapisana w postaci gdzie F {x(t)} = X (jω) = X1(jω)− jX2(jω), X1(jω) =Z ∞ X2(jω) =Z ∞ −∞ x(t) cos(ωt) dt , −∞ x(t) sin(ωt) dt . (2.37) (2.38) Wida´c, ˙ze funkcja X1(jω) jest parzysta, za´s X2(jω) nieparzysta wzgl ˛edem ω. Zatem łatwo pokaza´c, i˙z g ˛esto´s´c widmowa amplitudy jest funkcj ˛a parzyst ˛a, a g ˛esto´s´c widmowa fazy funkcj ˛a nieparzyst ˛a wzgl ˛edem ω. W tabeli 2.1 zebrano niektóre własno´sci transformaty Fouriera. Natomiast w tabe- li 2.2 znalazły si ˛e wybrane pary transformat. Wyliczenia poszczególnych transformat Czytelnik mo˙ze znale´z´c w podrozdziale zawieraj ˛acym przykłady. Tabela 2.1. Własno´sci transformaty Fouriera Sygnał aperiodyczny Transformata Fouriera |x(t)|2 dt = 1 2π −∞ −∞ Własność Liniowo´s´c Przesuni ˛ecie w czasie Przesuni ˛ecie w cz˛estotliwo´sci Ró˙zniczkowanie oryginału Całkowanie oryginału Skalowanie w czasie i cz˛estotliwo´sci (podobie ´nstwo) Splot Wzór Parsevala x(t ), y(t ) a x(t)+ b y(t) x(t − t0) ejω0t x(t) dx(t) Z t dt −∞ x(ζ) dζ x(at) , a 0 Z ∞ −∞ x(t − τ) y(τ) dτ Z ∞ X (jω), Y (jω) a X (jω)+ b Y (jω) −jωt0 X (jω) e X [j(ω− ω0)] jω X (jω) jω a 1 a X X (jω) + π X (0) δ(ω) (cid:181) jω ¶ Z ∞ X (jω)Y (jω) |X (jω)|2 dω 2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego 39 Tabela 2.2. Wybrane pary transformat ∞X Oryginał k=−∞ck ejkω0t ejω0t cos(ω0t) sin(ω0t) x(t) = 1 δ(t) 1(t) δ(t − t0) sin(ω0t) ω0t −ω2 0t 2 −|ω0t| e e Obraz ∞X k=−∞ck δ(ω− kω0) 2π 2π δ(ω− ω0) π[δ(ω+ ω0)+ δ(ω− ω0)] jπ[δ(ω+ ω0)− δ(ω− ω0)] 2π δ(ω) 1 + π δ(ω) 1 jω −jωt0 e X (jω) = p π |ω0| exp 2|ω0| + ω2 ω2 0 (π/ω0 dla |ω| ω0 , (cid:181)− ω2 dla |ω| ω0 ¶ 0 4ω2 0 2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego Przedstawiaj ˛ac własno´sci przekształcenia Fouriera, pokazano, ˙ze splot dwóch sygna- łów równy jest iloczynowi transformat Fouriera tych sygnałów. Korzystaj ˛ac z tej wła- sno´sci, mo˙zemy poda´c zwi ˛azek pomi ˛edzy transformat ˛a Fouriera X (jω) sygnału na wej- ´sciu układu liniowego a transformat ˛a Fouriera Y (jω) sygnału wyj´sciowego. Dany jest on zale˙zno´sci ˛a (2.39) gdzie K (jω) = |K (jω)|ej arg[K (jω)] jest charakterystyk ˛a cz˛estotliwo´sciow ˛a obwodu. Zwi ˛azki pomi ˛edzy g ˛esto´sciami widmowymi amplitudy i fazy sygnału wej´sciowego i wyj´sciowe- go dane s ˛a wzorami Y (jω) = K (jω) X (jω), |Y (jω)| = |K (jω)||X (jω)|, arg[Y (jω)] = arg[K (jω)]+ arg[X (jω)]. (2.40a) (2.40b) 2.5. Przykłady Przykład 2.1 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera delty Diraca. 40 2. Transformacja Fouriera Rozwi ˛azanie. Korzystaj ˛ac z definicji prostego przekształcenia Fouriera, otrzymujemy Przykład 2.2 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera sygnału jednostkowego . . . . F {δ(t)} =Z ∞ −jωt dt = 1. −∞ δ(t) e ( 1(t) = 0, gdy −∞ t 0, 1, gdy ∞ t 0. F {x(t)} = 1 jω + π δ(ω). Rozwi ˛azanie. Niestety, w przypadku tej funkcji nie mo˙zemy skorzysta´c z twierdzenia o obrazie pochodnej, gdy˙z nie spełnia ona zało˙ze ´n. Wykorzystamy natomiast twier- dzenie o obrazie całki. Skok jednostkowy mo˙ze by´c przedstawiony jako całka z delty Diraca, tj. 1(t) =R t−∞ δ(ζ) dζ. W efekcie otrzymujemy Przykład 2.3 ...................................................................................... Znajd´z oryginał X (jω) = δ(ω). Rozwi ˛azanie. Korzystaj ˛ac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu- jemy Z ∞ −∞ δ(ω) ejωt dω = 1 . 2π x(t) = 1 2π Dzi ˛eki temu wynikowi mo˙zemy zapisa´c, jak wygl ˛ada transformata Fouriera warto´sci stałej: F {1} = 2π δ(ω). Przykład 2.4 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera sygnału okresowego x(t) maj ˛acego rozwini ˛ecie w wy- kładniczy szereg Fouriera. Rozwi ˛azanie. Sygnał x(t) posiada rozwini ˛ecie w szereg Fouriera, zatem x(t) = ∞X k=−∞ ck ejkω0t . Znajd´zmy transformat ˛e Fouriera tego sygnału. Skorzystamy w tym przypadku z twier- dzenia o przesuni ˛eciu obrazu3: F {x(t)} = F ∞X ck e k=−∞ −jkω0t“ = ∞X k=−∞ 2πck δ(ω− kω0). 3 Chodzi tu o przesuni ˛ecie obrazu funkcji w dziedzinie cz˛estotliwo´sci. 2.5. Przykłady 41 Przykład 2.5 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera funkcji x(t) = cos(ω0t). Rozwi ˛azanie. Zapiszmy funkcj ˛e x(t), korzystaj ˛ac ze wzorów Eulera: x(t) = cos(ω0t) = e −jω0t +ejω0t . 2 Korzystaj ˛ac teraz z twierdzenia o przesuni ˛eciu obrazu i wzoru na transformat ˛e warto´sci stałej, otrzymujemy ko ´ncowy wzór: F {cos(ω0t)} = π δ(ω+ ω0)+ π δ(ω− ω0). W tym miejscu warto przeanalizowa´c, jak wygl ˛ada g ˛esto´s´c widmowa funkcji typu y(t) = x(t) cos(ω0t), w przypadku gdy znamy obraz funkcji x(t). Łatwo pokaza´c, korzystaj ˛ac z twierdzenia o przesuni ˛eciu obrazu, ˙ze je˙zeli ‰ x(t) F {x(t)} = X (jω), (cid:190) = 1 to F {y(t)} = F e −jω0t + x(t) 2 ejω0t X [j(ω+ ω0)]+ 1 2 X [j(ω− ω0)]. Wi ˛ecej informacji na ten temat mo˙zna znale´z´c w rozdziale po´swi ˛econym modulacji.. 2 2 Przykład 2.6 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera funkcji x(t) = sin(ω0t). Rozwi ˛azanie. Zapiszmy funkcj ˛e x(t) w innej postaci: x(t) = sin(ω0t) = ejω0t −e −jω0t . 2j Korzystaj ˛ac teraz z twierdzenia o przesuni ˛eciu obrazu i wzoru na transformat ˛e warto´sci stałej, otrzymujemy ko ´ncowy wzór: F {sin(ω0t)} = πj δ(ω+ ω0)− πj δ(ω− ω0). . Przykład 2.7 ...................................................................................... Znajd´z oryginał dla X (jω) danego wzorem X (jω) = π ω0 [1(ω+ ω0)− 1(ω− ω0)]. Rozwi ˛azanie. Korzystaj ˛ac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu- jemy Z ω0 −ω0 πejωt ω0 x(t) = 1 2π flflflflω0 ejωt dω = 1 −ω0 2jt ω0 x(t) = sin(ω0t) . ω0t Zatem = 2j sin(ω0t) = sin(ω0t) 2jω0t ω0t . . 42 2. Transformacja Fouriera Przykład 2.8 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera sygnału przedstawionego na rysunku 2.4. Rysunek 2.4. Sygnał x(t) z przykładu 2.8 Rozwi ˛azanie. Mo˙zna oczywi´scie znale´z´c obraz zadanej funkcji, korzystaj ˛ac ze wzoru definiuj ˛acego to przekształcenie. Spróbujmy jednak ułatwi´c sobie troch ˛e doj´scie do rozwi ˛azania, wykorzystuj ˛ac twierdzenie o obrazie zró˙zniczkowanej funkcji. Zró˙znicz- kujmy dwukrotnie funkcj ˛e x(t). Zabieg ten został zilustrowany na rysunkach 2.5 i 2.6. Druga pochodna składa si ˛e z czterech impulsów Diraca. W prosty sposób mo˙zemy znale´z´c obraz drugiej pochodnej. F δ(t + a)− δ(t + b)− δ(t − b)+ δ(t − a)“ F { ¨x(t)} = A a − b = A a − b (ejωa −ejωb −e −jωb +e −jωa) = A a − b [cos(ωa)− cos(ωb)]. Rysunek 2.5. Pierwsza pochodna sygnału x(t) z przykładu 2.8 Rysunek 2.6. Druga pochodna sygnału x(t) z przykładu 2.8 Pami ˛etaj ˛ac, ˙ze otrzymujemy F { ¨x(t)} = (jω)2F {x(t)}, F {x(t)} = − 1 ω2 A a − b [cos(ωa)− cos(ωb)]. . tbaa-b-()xtAtbaa-b-/()Aab-/()Aab--()xt tbaa-b-/()Aab-/()Aab--/()Aab--/()Aab-()xt Przykład 2.9 ...................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera sygnału x(t) przedstawionego na rysunku 2.7. 2.5. Przykłady 43 Rysunek 2.7. Sygnał x(t) z przykładu 2.9 Rozwi ˛azanie. Zró˙zniczkujmy dwukrotnie funkcj ˛e x(t). Zabieg ten został zilustrowany na rysunku 2.8. Druga pochodna składa si ˛e z trzech impulsów Diraca. W prosty sposób mo˙zemy znale´z´c obraz drugiej pochodnej: F { ¨x(t)} = A ε = A ε F δ(t + ε)− 2δ(t)+ δ(t − ε)“ (ejωε−2+ e −jωε) = 2A ε [cos(ωε)− 1] = − 4A ε sin2 (cid:181) ωε ¶ 2 . Rysunek 2.8. Pierwsza i druga pochodna sygnału x(t) z przykładu 2.9 Pami ˛etaj ˛ac, ˙ze otrzymujemy F { ¨x(t)} = (jω)2F {x(t)}, F {x(t)} =(cid:181)− 1 ω2 ¶•− 4A ε (cid:181) ωε ¶‚ = 4A sin2 2 εω2 sin2 (cid:181) ωε ¶ 2 . . Przykład 2.10 .................................................................................... Oblicz oryginalny sygnał x(t), którego widmo przedstawione jest na rysunku 2.9. Rozwi ˛azanie. Korzystaj ˛ac z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, mo˙zemy zapisa´c Z ∞ −∞ X (jω) ejωt dω = Z 0 π 1 2A (2A+ ω) ejωt dω+ 1 2π −2A A x(t) = 1 2π = 1 2π Z 2A 0 (2A− ω) ejωt dω. π A 1 2A ()xtAtee-0()xt ()xt /Ae/Ae-ee-tee-/Ae/Ae2/Ae-t 44 2. Transformacja Fouriera Rysunek 2.9. Widmo sygnału x(t) z przykładu 2.10 Obliczmy warto´s´c pierwszej całki: (2A+ ω) ejωt dω = ‚0 +• ω jt ‚0 ejωt ejωt −2A −2A Z 0 ‰• 2A Z 2A ‰• 2A jt 0 I1 = 1 4A2 = 1 4A2 oraz drugiej: I2 = 1 4A2 = 1 4A2 (2A− ω) ejωt dω = ‚2A 0 +•−ω jt ejωt jt ejωt +• 1 t 2 ejωt ‚0 −2A (cid:190) = 1 4A2 • 2A jt ‚ + 1 t 2 (1− e −j2At ) −• 1 t 2 ejωt ‚2A 0 (cid:190) = 1 4A2 •−2A jt ‚ . − 1 t 2 (ej2At −1) −2A ‚2A 0 W efekcie otrzymujemy x(t) = I1 + I2 = = Zatem 1 4(At)2 (1− e −jAt +1− ejAt ) = 1 2(At)2 [sin2(At)+ cos2(At)− cos2(At)+ sin2(At)]. =• sin(At) At . x(t) = sin2(At) (At)2 1 2(At)2 [1− cos(2At)] = ‚2 . Przykład 2.11 .................................................................................... Okre´sli´c pulsacj ˛e graniczn ˛a idealnego filtru dolnoprzepustowego o wzmocnieniu w pa- ´smie przepuszczania równym 2, je˙zeli wiadomo, ˙ze po pobudzeniu sygnałem x(t) = 500 sin2(500t) (500t)2 energia sygnału na wej´sciu i wyj´sciu filtru jest taka sama. Rozwi ˛azanie. Na rysunku 2.10 przedstawiono g ˛esto´s´c widmow ˛a sygnału na wej´sciu filtru X (ω), wyj´sciu Y (ω) oraz charakterystyk ˛e cz˛estotliwo´sciow ˛a filtru K (ω). Obliczmy energi ˛e sygnału na wej´sciu filtru. Zgodnie ze wzorem Parsevala mo˙zemy zapisa´c Ex =Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ |x(t)|2 dt = 1 2π |X (ω)|2 dω. 0()Xjw/Apw2A2A- 2.5. Przykłady 45 Rysunek 2.10. G ˛esto´sci widmowe X (ω) i Y (ω) oraz charakterystyka cz˛estotliwo´sciowa filtru K (ω) W naszym przypadku (cid:181) • π −1000 (cid:181) Z 0 Ex = 1 Z 0 2π = π (cid:181) Z 0 • −1000 1+ ω ¶2 1000 1+ ω 1000 ¶‚2 dω = π • ¶‚2 Z 1000 (cid:181) • π + 1 3 ω3 106 dω+ 1 • 2π ω+ ω2 103 0 ¶‚2 dω = 1− ω ‚0 1000 −1000 = π103 3 . ‚0 + 1 3 ω3 106 = 4π −ωg (cid:181) ωg − ω2 g 103 ¶ . + 1 3 ω3 g 106 2 2π −ωg dω = 4π 1+ ω 1000 Energia sygnału na wyj´sciu filtru dana jest wzorem E y = 1 2π Zgodnie z warunkami zadania Ex = E y , zatem ω3 g 106 ωg − ω2 g 103 Rozwi ˛azuj ˛ac to równanie, otrzymujemy ω+ ω2 103 + 1 3 = 1 12 103 . . ωg ≈ 91,4 rad/s. Przykład 2.12 .................................................................................... Znajd´z transformat ˛e Fouriera sygnału x(t) = e −a|t| , a 0. Rozwi ˛azanie. Zgodnie z definicj ˛a prostego przekształcenia Fouriera mo˙zemy zapisa´c X (jω) =Z ∞ −a|t| e −∞ e −jωt dt =Z 0 −∞ eat e Zatem X (jω) = 1 a − jω et(a−jω) flflflfl0 −∞ − 1 a + jω e −t(a+jω) −jωt dt +Z ∞ flflflfl∞ a − jω = 1 0 0 −at e −jωt dt . e = 2a a2 + ω2 . . + 1 a + jω Przykład 2.13 .................................................................................... Wyznacz g ˛esto´s´c widmow ˛a impulsu prostok ˛atnego przedstawionego na rysunku 2.11: f (t) = A[1(t + ε)− 1(t − ε)]. 1000-gw-gw10000()Kw()Xww2p()Yw2pgw-gw0w 46 2. Transformacja Fouriera Rysunek 2.11. Sygnał f (t) z przykładu 2.13 oraz jego pierwsza pochodna Rozwi ˛azanie. Korzystaj ˛ac z twierdzenia o transformacie funkcji przesuni ˛etej w czasie, znajdujemy transformat ˛e Fouriera ˙f (t): F { ˙f (t)} = A[F {δ(t + ε)}− F {δ(t − ε)}] = A(ejωε−e −jωε). Równocze´snie na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej funkcji czasowej mamy F { ˙f (t)} = jωF (ω). Wobec tego W efekcie otrzymujemy jωF (ω) = A(ejωε−e −jωε). F (ω) = 2A(ejωε−e 2jω −jωε) = 2A ω sin(ωε). . Przykład 2.14 .................................................................................... Sygnał x(t) = (πt) −1 sin(100t) podano na dwa poł ˛aczone kaskadowo filtry, których cha- rakterystyki amplitudowe przedstawiono na rysunku 2.12, przy czym filtry te nie ob- ci ˛a˙zaj ˛a si ˛e wzajemnie. Oblicz energi ˛e sygnału y(t) na wyj´sciu układu. Rysunek 2.12. Charakterystyki amplitudowe filtrów z przykładu 2.14 Rozwi ˛azanie. Na rysunku 2.13 przedstawiono g ˛esto´sci widmowe sygnałów na wej´sciu i wyj´sciu układu. Korzystaj ˛ac ze wzoru Parsevala oraz uwzgl ˛edniaj ˛ac symetri ˛e g ˛esto´sci widmowej sygnału na wyj´sciu układu, mo˙zemy obliczy´c szukan ˛a energi ˛e: . Z 40 (cid:181) ω− 20 ¶2 20 20 E y = 8 1 2π Z 20 (cid:181) ω ¶2 0 20 dω = 80 3π . dω = 8 1 2π ()ftAee-tee-t()ft ()Atde+()Atde---100-60-206010020()AKww-100-60-206010020w1()BKw 2.5. Przykłady 47 Rysunek 2.13. G ˛esto´sci widmowe sygnałów wej´sciowego i wyj´sciowego w przykładzie 2.14 Przykład 2.15 .................................................................................... Sygnał x(t) = A cos(Ωt) sin(ω0t) , ω0t gdzie Ω = 300 rad/s, ω = 100 rad/s, A = 200, podano na wej´scie idealnego filtru górno- przepustowego o wzmocnieniu w pa´smie przepuszczania równym 2. • Oblicz i narysuj g ˛esto´s´c widmow ˛a sygnału x(t). • Wyznacz pulsacj ˛e graniczn ˛a filtru, je˙zeli wiadomo, ˙ze energia sygnału y(t) na wyj´sciu filtru stanowi 25 energii sygnału wej´sciowego. Rozwi ˛azanie. G ˛esto´s´c widmow ˛a sygnału x(t) przedstawiono na rysunku 2.14. Wyzna- czono j ˛a jako g ˛esto´s´c widmow ˛a sygnału cos(Ωt), zmodulowanego sygnałem Sa(ω0t)4. Analitycznie mo˙ze by´c ona zapisana w postaci X (jω) = π[1(ω+ 400)− 1(ω+ 200)+ 1(ω− 200)− 1(ω− 400)]. Rysunek 2.14. G ˛esto´s´c widmowa sygnału x(t) z przykładu 2.15 Energi ˛e sygnału x(t), zgodnie ze wzorem Parsevala, mo˙zemy obliczy´c: Z 400 200 (π)2 dω = 1 π (π)2 dω = 200π. Z −200 −400 Ex = 1 2π Z 400 200 (π)2 dω+ 1 2π Z 400 E y = 1 π ωg Natomiast energia sygnału y(t) wynosi 4 Sa(ω0t) = (ω0t) −1 sin(ω0t). (2π)2 dω = 4π(400− ωg). -100100w()Xw-100-60-202060100w()Yw1()Xw2p[]0Sa(t)Fww-400-300-200-1000100200300400 48 2. Transformacja Fouriera Zgodnie z warunkami zadania E y = 0,25Ex, zatem 4π(400− ωg) = 0,25· 200π Rozwi ˛azuj ˛ac to równanie, otrzymujemy ωg = 387,5 rad/s . 2.6. Literatura [1] M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, Pa ´nstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1991. [2] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwa Ko- munikacji i Ł ˛aczno´sci, Warszawa 1979. [3] A. V. Oppenheim, A. S. Willisky, Signals Systems, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey 1997. [4] A. Wojnar, Teoria sygnałów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1980.
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II
Autor:
, ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: