Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00522 007499 11067210 na godz. na dobę w sumie
Testy statystyczne w procesie podejmowania decyzji - ebook/pdf
Testy statystyczne w procesie podejmowania decyzji - ebook/pdf
Autor: , , , Liczba stron: 322
Wydawca: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Język publikacji: polski
ISBN: 978-8-3796-9763-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> poradniki >> zarządzanie projektami
Porównaj ceny (książka, ebook (-20%), audiobook).
Wiedza statystyczna jest cenna dla przedstawicieli wszystkich zawodów, ponieważ przed podjęciem działań należy najpierw stawiać pytania, a następnie uzyskiwać właściwe informacje. W dzisiejszym świecie istnieje potrzeba myślenia statystycznego. Jesteśmy otoczeni wyzwaniami różnorodnych banków danych, które wymagają coraz lepszych metod statystycznych, algorytmów, modeli systemów przetwarzania. Statystyka zajmuje się kolekcjonowaniem informacji liczbowych oraz ich analizą i interpretacją. Zawarte w książce metody pozwalają odpowiedzieć na pytanie, w jaki sposób te informacje liczbowe (dane), opisują nam populacje i zjawiska, których dotyczą. Odpowiedź zależy nie tylko od samych informacji, tzn. od obserwacji, ale również od wiedzy a priori. Ta wiedza jest formalizowana za pomocą założeń przy konstrukcji metod. Najczęściej rozróżniane są trzy podejścia oparte na różnych zasadach. Należą do nich: analiza danych, klasyczne wnioskowanie i teoria decyzji, analiza bayesowska. Autorzy opisują różne klasy testów statystycznych umożliwiające aplikację metod wnioskowania statystycznego w przypadkach, w których klasyczne procedury są niemożliwe do zastosowania lub wykorzystanie ich wiąże się z ryzykiem podjęcia błędnych decyzji. Procedury weryfikacji hipotez statystycznych uwzględniane w procesach podejmowania decyzji mogą zainteresować zarówno badaczy zjawisk ekonomicznych, socjologicznych i przyrodniczych, jak studentów kierunków społecznych, rolniczych, medycznych i technicznych. 
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

TESTY STATYSTYCZNE W PROCESIE PODEJMOWANIA DECYZJI TESTY STATYSTYCZNE W PROCESIE PODEJMOWANIA DECYZJI CZESŁAW DOMAŃSKI DOROTA PEKASIEWICZ ALEKSANDRA BASZCZYŃSKA ANNA WITASZCZYK Czesław Domański, Dorota Pekasiewicz, Aleksandra Baszczyńska, Anna Witaszczyk Uniwersytet Łódzki, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Katedra Metod Statystycznych 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r. nr 41/43 RECENZENT Mirosław Szreder REDAKTOR WYDAWNICTWA UŁ Iwona Gos SKŁAD KOMPUTEROWY AGENT PR PROJEKT OKŁADKI Stämpfli Polska Sp. z o.o. Zdjęcie na okładce: © Shutterstock.com Praca naukowa finansowana ze środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-2011/01/B/HS4/02746 © Copyright by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2014 Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie I. W.06577.14.0.K ISBN (wersja drukowana) 978-83-7969-358-0 ISBN (ebook) 978-83-7969-763-2 Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl tel. (42) 665 58 63, faks (42) 665 58 62 SPIS TREŚCI 1.1. Uwagi ogólne i podstawowe pojęcia 1.2. Weryfikacja hipotez statystycznych 1.3. Statystyczne problemy decyzyjne 1.4. Uwagi o testach statystycznych wykorzystujących próby z brakującą informacją Przedmowa 1. Testy statystyczne i decyzje statystyczne [Czesław Domański] 2. Wybrane klasyczne testy statystyczne [Czesław Domański] 3. 2.1. Uwagi wstępne 2.2. Testy dla jednej zmiennej 2.3. Testy dla dwóch i więcej zmiennych 2.4. Analiza wariancji (ANOVA) 2.5. Wielowymiarowa analiza wariancji (MANOVA) 2.6. Wybrane testy zgodności dla rozkładów dochodów Testy statystyczne w porównaniach wielokrotnych i modelach symulacyjnych [Czesław Domański] 3.1. Uwagi wstępne 3.2. Klasyfikacja porównań wielokrotnych 3.3. Wielokrotne procedury decyzyjne 3.4. Podejście Neymana-Pearsona 3.5. Porównania wielokrotne 3.6. Weryfikacja hipotez dla modeli symulacyjnych 4. Bayesowskie testy statystyczne [Dorota Pekasiewicz] 4.1. Uwagi wstępne 4.2. Idea konstrukcji testów bayesowskich 4.3. Rozkłady a priori parametrów zmiennych losowych i zasady ich określania 4.4. Testy bayesowskie przy niezależnym schemacie losowania próby 4.5. Bayesowska weryfikacja hipotez statystycznych przy zależnym schemacie losowa- nia próby 4.6. Analiza własności bayesowskich procedur testowych 4.7. Przykłady zastosowań testów bayesowskich 5. Bootstrapowe testy statystyczne [Dorota Pekasiewicz] 5.1. Uwagi wstępne 5.2. Istota konstrukcji bootstrapowych testów statystycznych 5.3. Nieparametryczne testy bootstrapowe 5.4. Parametryczne i semiparametryczne testy bootstrapowe 5.5. Testy bootstrapowe dla hipotez o wartościach średnich populacji 5.6. Analiza własności wybranych testów bootstrapowych 7 11 11 13 26 28 37 37 37 42 55 58 62 67 67 67 71 74 77 79 87 87 87 93 94 101 104 110 119 119 120 122 125 126 135 6 Spis treści 6. Sekwencyjne testy statystyczne [Dorota Pekasiewicz] 6.1. Uwagi wstępne 6.2. Idea konstrukcji ilorazowego testu sekwencyjnego 6.3. Ilorazowe testy sekwencyjne przy niezależnym schemacie losowania próby 6.4. Ilorazowe testy sekwencyjne dla schematów losowania próby innych niż losowanie niezależne 6.5. Nieparametryczne testy sekwencyjne 7.1. Uwagi wstępne 7.2. Metoda jądrowa 7.3. Jądrowe testy zgodności, niezależności i symetryczności 7.4. Jądrowe testy w analizie regresji 7.5. Jądrowe testy w badaniu obserwacji nietypowych 8.1. Uwagi wstępne 8.2. Macierze losowe i przekształcenie Stieltjesa 8.3. Wybrane twierdzenia graniczne dla macierzy losowych 8.4. Testy dla wektorów wartości oczekiwanych 8.5. Weryfikacja hipotez dotyczących macierzy kowariancji 8.6. Testy wielowymiarowej normalności 7. Testy statystyczne oparte na metodzie jądrowej [Aleksandra Baszczyńska] 8. Testy statystyczne dotyczące rozkładów wielowymiarowych [Anna Witaszczyk] 9. Testy statystyczne dla danych cenzurowanych [Aleksandra Baszczyńska] 10. Weryfikacja hipotez statystycznych dla szeregów czasowych [Czesław Domański] Zakończenie Statistical Tests in the Decision Making Process (Summary) Literatura Tablice statystyczne wybranych rozkładów prawdopodobieństwa Wybrane oznaczenia Indeks 9.1. Uwagi wstępne 9.2. Podstawowe pojęcia 9.3. Testy zgodności dla dwóch lub więcej populacji dla danych cenzurowanych 9.4. Testy zgodności z rozkładem teoretycznym dla danych cenzurowanych 9.5. Testy w analizie regresji dla danych cenzurowanych 10.1. Uwagi wstępne i podstawowe pojęcia 10.2. Testy pierwiastka jednostkowego 10.3. Testy szczytów 10.4. Weryfikacja parametrów modeli ARMA 10.5. Weryfikacja parametrów modeli VAR 141 141 141 148 160 165 171 171 171 176 187 198 205 205 205 212 217 224 236 245 245 245 249 255 258 263 263 265 268 277 282 289 291 293 299 313 317 PRZEDMOWA Ukazanie się książki Johna Graunta Naturalne i polityczne obserwacje poczy- nione na biuletynach śmiertelności w 1662 r. to moment, od którego zauważalny jest rozwój statystyki. Jednak rodowód statystyki, podobnie jak matematyki, sięga odległej starożytności. Już w XXXII w. p.n.e. plemię Ashipu, mieszkające między Eufratem a Tygrysem, zajmowało się udzielaniem konsultacji w zakresie ryzyka i niepewności oraz podejmowania trudnych decyzji. Statystyka została wyodrębniona w oddzielną dyscyplinę jako metoda wydo- bywania informacji z zaobserwowanych danych oraz jako logika podejmowania decyzji w warunkach niepewności. Wiedza statystyczna jest cenna dla przedstawicieli wszystkich zawodów. Wiele złożonych problemów naszego życia wyglądałoby prościej, gdyby przed podjęciem działań najpierw stawiać pytania, a następnie uzyskiwać właściwe informacje. Formułowanie pytań uważa się często za kłopotliwe, gdyż wymaga analizy, myślenia i precyzowania wniosków. Działania takie zabierają nam czas i energię. Mogą też prowadzić do niepożądanej dezorientacji i zdenerwowania. W wielu przypadkach, aby uniknąć takich sytuacji, opieramy się na mądrości in- nych lub działamy emocjonalnie, co może prowadzić do nieporozumień, złego wyboru momentu działania i pomyłek. Porady mogą być pomocne, ale raczej jako punkt odniesienia, a nie samowystarczalne podejście. W dzisiejszym świecie, jak nigdy wcześniej, istnieje potrzeba myślenia sta- tystycznego. Jesteśmy otoczeni wyzwaniami różnorodnych banków danych (cho- ciaż rzadko zgodnych z oczekiwaniami), które wymagają coraz lepszych metod statystycznych, algorytmów, modeli systemów przetwarzania. Statystyka zajmuje się kolekcjonowaniem informacji liczbowych oraz ich analizą i interpretacją. Prezentowane w opracowaniu metody pozwalają odpowie- dzieć na pytanie, co te informacje liczbowe, które traktujemy jako dane, mówią nam o populacji i o zjawiskach, których dotyczą. Odpowiedź zależeć będzie nie tylko od samych informacji, tzn. od obserwacji, ale również od wiedzy a priori. Ta wiedza jest formalizowana za pomocą założeń przy konstrukcji metod. Roz- różniane są najczęściej trzy podejścia oparte na różnych zasadach. Należą do nich: – analiza danych, – klasyczne wnioskowanie i teoria decyzji, – analiza bayesowska. 8 Przedmowa W pierwszym podejściu informacje statystyczne są analizowane jako dane, w istocie rzeczy bez żadnych dodatkowych założeń. Głównym celem jest ich obróbka i prezentacja graficzna lub tabelaryczna umożliwiająca wykrycie najważ- niejszych własności i wyjaśnienie struktur danych. W drugim podejściu obserwowane dane są traktowane jako wartości przyjęte przez zmienne losowe, dla których przyjmuje się, że mają pewien łączny rozkład P z klasy P. Często rozważane rozkłady indeksowane są parametrem θ lub Θ. W analizie bayesowskiej zakłada się dodatkowo, że sam parametr jest zmien- ną losową o pewnym znanym rozkładzie. Ten rozkład, zwany rozkładem a priori, zdefiniowany przed zapoznaniem się z danymi, jest modyfikowany za pomocą danych do rozkładu a posteriori parametru θ pod warunkiem zaobserwowanych danych. Rozkład a posteriori w pewnym sensie syntetyzuje to, co można powie- dzieć o parametrze θ na podstawie danych i wiedzy wstępnej a priori. Wspomniane trzy podejścia pozwalają na formułowanie coraz mocniejszych wniosków, a zarazem mniej pewnych założeń. Często pożądane jest korzystanie z kombinacji tych różnych podejść, np. planując badanie, uwzględnia się wybór li- czebności próby przy bardziej szczegółowych założeniach i przeprowadza analizę wyników przy słabszych, ale za to bardziej przekonujących założeniach. W nie- których zastosowaniach często pożyteczne jest formułowanie różnych modeli do danego problemu. Wówczas zgodność wniosków daje dodatkowy argument na rzecz poprawności analizy i odwrotnie, rozbieżności we wnioskach wskazują na konieczność dokładniejszego przyjrzenia się założeniom różnych modeli. Problemy statystyczne charakteryzują się tym, że mamy w nich do czy- nienia nie z pojedynczymi rozkładami prawdopodobieństwa, ale z rodzinami P = {Pθ: θ∈Θ} rozkładów określonych na pewnej wspólnej przestrzeni mierzal- nej (χ, A). Zasadniczym materiałem badań statystycznych jest zbiór wyników obserwa- cji, będących wartościami zmiennej losowej X, której rozkład Pθ jest przynajmniej częściowo znany. Przyjmujemy, że o parametrze θ wiemy tylko tyle, że należy on do pewnego zbioru Θ, zwanego przestrzenią parametrów. Potrzeba analizy statystycznej wynika z faktu, że rozkład zmiennej losowej X, a zatem pewne elementy sytuacji stanowiącej podstawę modelu matematycz- nego nie są znane, co powoduje trudności w wyborze najlepszego postępowania. Książka przedstawia w zwartej formie różne klasy testów statystycznych, które mogą być stosowane w procesie podejmowania decyzji dotyczących zja- wisk ekonomicznych, społecznych, demograficznych, technicznych i medycz- nych. Klasyczne procedury testowe prezentowane w literaturze przedmiotu nie zawsze można wykorzystać ze względu na założenia ich stosowalności. Dotyczyć to może niespełnienia określonych założeń o rozkładzie zmiennych losowych, z którymi utożsamiane są badane cechy statystyczne, braku dostatecznej liczby elementów próby lub też stosowanego w badaniu schematu losowania próby, od- miennego od losowania niezależnego. Przedmowa 9 Rozważane grupy testów charakteryzują się odmiennymi procedurami testo- wymi, np. przy zastosowaniu testów bayesowskich parametr rozkładu zmiennej losowej jest traktowany jako zmienna losowa, natomiast w testach sekwencyj- nych liczebność próby jest zmienną losową. W testach jądrowych można wyko- rzystywać różne funkcje jądra i parametry wygładzania, co wpływa w znacznym stopniu na rezultaty zastosowanej procedury, natomiast w testach bootstrapowych procedura wnioskowania jest oparta na tzw. próbach bootstrapowych. Oprócz rozważań teoretycznych zaprezentowane są również wyniki przeprowadzonych badań, dotyczących własności analizowanych procedur weryfikacji hipotez staty- stycznych wraz ze wskazaniem obszarów ich zastosowań. Praca składa się z dziesięciu rozdziałów. Punktem wyjścia do rozważań do- tyczących testów statystycznych opisywanych w dalszej części książki są trzy pierwsze rozdziały. Obejmują one zagadnienia związane z klasycznym i teorio- decyzyjnym podejściem do weryfikacji hipotez statystycznych. Związek między testami statystycznymi a podejmowaniem decyzji zaprezentowany jest w rozdzia- le pierwszym i trzecim. Rozdział drugi przedstawia wybrane klasyczne testy sta- tystyczne z uwzględnieniem warunków, które muszą być spełnione, by dany test mógł być stosowany w praktyce. W kolejnym rozdziale prezentowane są testy bayesowskie charakteryzu- jące się tym, że parametr rozkładu jest traktowany jako zmienna losowa o zna- nym rozkładzie a priori. Stosując je, podejmujemy decyzję o akceptacji hipote- zy o mniejszym ryzyku a posteriori, które wyznacza się na podstawie rozkładu a priori i ustalonej funkcji straty. Rozważane testy bayesowskie dotyczą weryfi- kacji hipotez statystycznych o parametrach rozkładu zmiennych losowych i wska- zują na możliwość zastosowania różnych schematów losowania próby. Testy bootstrapowe, którym poświęcony jest piąty rozdział książki, zasługują na uwagę, ponieważ nie wymagają informacji o klasie rozkładu badanej zmiennej losowej. Zastosowanie metod bootstrapowych do aproksymacji rozkładów staty- styk testowych pozwala na weryfikację hipotez o parametrach rozkładu populacji w oparciu o małe próby, co jest dużą zaletą tych metod. Testy sekwencyjne rozważane w rozdziale szóstym to kolejna grupa testów nieklasycznych. W testach tych liczebność próby jest zmienną losową. Sekwen- cyjne zwiększanie liczby elementów próby losowej pozwala podjąć decyzję o ak- ceptacji jednej z weryfikowanych hipotez z przyjętymi prawdopodobieństwami błędów I i II rodzaju. Zaletą stosowania testów należących do tej klasy jest nawet dwukrotnie mniejsza wartość oczekiwana liczebności próby niezbędnej do pod- jęcia decyzji w porównaniu z testami klasycznymi dla identycznych błędów I i II rodzaju, co wpływa na koszt przeprowadzanego badania statystycznego. W rozdziale siódmym przedmiotem rozważań jest klasa testów jądrowych. Metoda jądrowa, wywodząca się z estymacji funkcji gęstości, stanowi typowo nieparametryczne podejście w procedurach wnioskowania statystycznego. W roz- dziale tym rozważane są procedury weryfikacji hipotez dotyczących rozkładu 10 Przedmowa zmiennej losowej, w tym: normalności, zgodności dwóch i więcej rozkładów, hi- potez o postaci funkcji regresji i hipotez mówiących o niezależności zmiennych losowych. Rozdział ósmy poświęcony jest podejściu wielowymiarowemu w weryfikacji hipotez statystycznych. Analizie poddane są testy służące do weryfikacji hipotez o wektorach wartości oczekiwanych oraz hipotez dotyczących macierzy kowa- riancji, zarówno klasyczne, jak i konstruowane w oparciu o twierdzenia graniczne teorii macierzy losowych. Rozdział dziewiąty dotyczy procedur wnioskowania statystycznego stoso- wanych w sytuacji, gdy dane mają charakter przekrojowo-czasowy i brak jest informacji dla pewnych okresów lub momentów czasu. W rozdziale tym przed- stawione są najważniejsze klasy testów dla danych cenzurowanych, m.in. testy dotyczące zgodności rozkładów dwóch lub więcej populacji oraz testy zgodności rozkładu badanej populacji z rozkładem hipotetycznym. Specjalna grupa testów stosowanych w analizach szeregach czasowych jest przedmiotem rozważań w rozdziale dziesiątym, ze szczególnym uwzględnieniem analizy stacjonarności i niestacjonarności procesu stochastycznego oraz weryfika- cji parametrów modeli VAR i ARMA. Serdecznie dziękuję wszystkim tym, których życzliwe uwagi przyczyniły się do udoskonalenia tej książki, przede wszystkim Panu Profesorowi Mirosławowi Szrederowi za wnikliwą recenzję. Czesław Domański 1. TESTY STATYSTYCZNE I DECYZJE STATYSTYCZNE 1.1. Uwagi ogólne i podstawowe pojęcia Zasadniczym materiałem badań statystycznych jest zbiór wyników obserwa- cji. Obserwacje są podstawowym źródłem wiedzy o otaczającym świecie. Wie- dzę dotyczącą każdego zjawiska można „magazynować” w postaci modeli tego zjawiska. Modelem nazywamy sformalizowane ujęcie pewnej teorii lub sytuacji przyczynowej, o której zakładamy, że generuje obserwowane dane. Każdą analizę statystyczną pewnego rzeczywistego zjawiska musimy oprzeć na jego modelu matematycznym (tj. modelu wyrażonym w postaci zależności matematycznych), w którym uwzględniony został sposób pozyskania obserwa- cji. Dążyć należy do tego, aby stosowany model stanowił oszczędny opis natury. Oznacza to, że postać funkcyjna modelu powinna być prosta, a liczba jego para- metrów i składników – jak najmniejsza. Łatwo zauważyć, że nie istnieją modele doskonałe, czyli w idealny sposób odwzorowujące zachowanie modelowanego obiektu. Każda nowa obserwacja oraz analiza niezgodności modelu matematycznego i rzeczywistego obiektu pro- wadzą do nowych, bardziej dokładnych, modeli matematycznych. Jako główną przyczynę braku zgodności pomiędzy modelem a modelowanym zjawiskiem na- leży wymienić: 1) aktualny stan wiedzy o badanym zjawisku; 2) wysoki stopień zależności modelowanego zjawiska, który uniemożliwia zastosowanie modelu matematycznego ujmującego wszystkie cechy tego obiektu; 3) rozmaitość i zmienność wpływów środowiska, którym podlega obiekt, co sprawia, że modelowanie rzeczywistych przyczyn stanu obiektu staje się nie- możliwe; 4) barierą złożoności modelu bywa także koszt związany z jego wykorzysta- niem. Może się zdarzyć, że model prostszy, choć mniej dokładny, okaże się lep- szy, bowiem zysk związany z rezygnacją ze skomplikowanych pomiarów często przewyższa straty wynikające ze stosowania modelu mniej dokładnego. Modele matematyczne można podzielić na trzy klasy: modele determini- styczne, modele deterministyczne z prostymi wielkościami losowymi i modele stochastyczne. 12 Czesław Domański Modele deterministyczne – każda obserwacja jest tu wartością pewnej funk- cji parametrów tego modelu oraz funkcją takich wielkości, jak czas, położenie w przeszłości czy wielkość pewnego bodźca. Innymi słowy, model determini- styczny nie zawiera elementów losowych, a przyszłość systemu jest zdetermino- wana przez jego pozycję, prędkość itp. w pewnym ustalonym momencie. Modele deterministyczne z prostymi wielkościami losowymi – każda ob- serwacja jest pewną funkcją wielkości deterministycznych, a także wielkości lo- sowych, które są związane z błędami pomiarów, z obserwacjami, z wielkościami początkowymi oraz ze zmiennością próbkową. Przyjmuje się tu założenie o nie- zależności składników losowych różnych obserwacji. Modele stochastyczne – zbudowane na bazie pewnych zdarzeń losowych lub wielkości losowych. Takie modele pozwalają opisać zjawiska dynamiczne lub ewolucyjne: od schematu Bernoulliego (matematyczny model rzutu monetą) do procesu urodzin i śmierci (matematyczny model wielkości populacji biolo- gicznej). W modelach stochastycznych każda obserwacja może zależeć w pew- nym stopniu od obserwacji poprzedzających ją w czasie lub sąsiadujących z nią w przestrzeni. Punktem wyjścia w naszych rozważaniach będzie zawsze pewien element losowy X (zmienna losowa, skończony lub nieskończony ciąg zmiennych lo- sowych). Będziemy często nazywali go wynikiem eksperymentu, wynikiem pomiaru, wynikiem obserwacji lub po prostu obserwacją. Zbiór wszystkich wartości elementu losowego X jest przestrzenią próby oznaczoną przez χ. Prze- strzeń χ będzie zbiorem skończonym lub przeliczalnym, albo pewnym obszarem w skończenie wymiarowej przestrzeni Rn. Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych i niech ℵ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Trójkę uporządkowaną (Ω, ℵ, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną, gdzie P oznacza prawdopodobieństwo. Niech A będzie wyróżnionym σ-ciałem podzbiorów zbioru X ⊂ Rn, zaś X jest mierzalnym przekształceniem (Ω, ℵ) → (χ, A). Rozkład P X(A) = P(X −1(A)) jest miarą na przestrzeni (χ, A). W problemach statystycznych zakłada się, że rozkład P należy do pewnej określonej klasy rozkładów P na (χ, A). Znając tę klasę oraz mając dane wyniki obserwacji zmiennej losowej X, chcemy wysnuć poprawne wnioski o nieznanym rozkładzie. Wobec tego matematyczną podstawą badań sta- tystycznych jest przestrzeń mierzalna (χ, A) i rodzina rozkładów P. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, ℵ, P) odgrywa rolę pomocniczą. Sformułowanie: dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, ℵ, P), oznacza, że znany jest model probabili- styczny pewnego zjawiska lub doświadczenia, czyli wiemy, jakie są możliwe wyniki tego doświadczenia, jakie zdarzenia wyróżniamy oraz jakie prawdopo- dobieństwa tym zdarzeniom przypisujemy. Reasumując, wiedza a priori o przed- miocie badań jest sformułowana w postaci pewnych modeli probabilistycznych. Probabilistyka może wynikać z samego charakteru badanego zjawiska lub też być wprowadzana przez badacza. 1. Testy statystyczne i decyzje statystyczne 13 Zauważmy, że P = {Pθ: θ∈Θ} jest rodziną rozkładów prawdopodobieństwa na odpowiednim σ-ciele zdarzeń losowych w χ. Przestrzeń próby wraz z rodziną rozkładów P, tzn. obiekt: (χ,{Pθ: θ ∈ Θ}) (1.1) nazywamy modelem statystycznym (przestrzenią statystyczną), natomiast od- wzorowania z χ w Rk – statystykami lub k-wymiarowymi statystykami. Jeżeli X = (X1, X2, ..., Xn)T, przy czym X1, X2, ..., Xn są niezależnymi zmien- nymi losowymi o jednakowym rozkładzie, to będziemy stosować też oznaczenie: (χ,{Pθ: θ ∈ Θ})n, (1.2) w którym χ jest zbiorem wartości zmiennej losowej X (a więc każdej ze zmien- nych X1, X2, ..., Xn) oraz Pθ to rozkład tej zmiennej losowej. Używa się wtedy również terminologii: X1, X2, ..., Xn jest próbą z rozkładu Pθ lub próbą z populacji Pθ dla pewnego θ ∈ Θ. Będziemy zawsze zakładali, że jeżeli θ1 ≠ θ2, to Pθ1 ≠ Pθ2. Takie modele okre- śla się jako identyfikowalne: znając rozkład Pθ, znamy wartość parametru θ). Wprowadzenie parametru θ do rozważań ułatwia sformułowanie wielu proble- mów, a dopóki nie wprowadzamy ograniczeń na zbiór Θ, odbywa się to bez straty ogólności rozważań, bo każdą rodzinę P rozkładów prawdopodobieństwa może- my „sparametryzować”, przyjmując za parametr θ rozkładu P ten sam rozkład P. Modele statystyczne możemy podzielić na parametryczne i nieparametryczne. Parametryczny model statystyczny powstaje wówczas, gdy Θ jest prze- strzenią skończenie wymiarową. Nieparametrycznym modelem statystycznym nazywamy z kolei taki mo- del, w którym nie istnieje skończenie wymiarowa parametryzacja rodziny rozkła- dów prawdopodobieństwa, czyli parametryzacja za pomocą pewnego θ ∈ Θ ⊂ Rk, dla k ∈ N. 1.2. Weryfikacja hipotez statystycznych Przypomnijmy podstawowe pojęcia dotyczące weryfikacji hipotez statystycz- nych. Populacją generalną nazywamy zbiór elementów powiązanych ze sobą lo- gicznie i jednocześnie nieidentycznych ze względu na badaną cechę. Próba jest to podzbiór populacji podlegający bezpośrednio obserwacji w celu zbadania własności całej populacji. Próba losowa to taka próba, którą otrzymaliśmy w drodze losowania, tzn. jedynie przypadek decyduje o tym, który element populacji generalnej wejdzie do próby, a który nie. 14 Czesław Domański Innymi słowy, przez losowy dobór próby rozumiemy taki sposób pobierania próby, który spełnia dwa następujące warunki (por. np. Szreder [2004]): 1) każda jednostka populacji ma dodatnie i znane prawdopodobieństwo do- stania się do próby; 2) dla każdego zespołu jednostek populacji można ustalić prawdopodobień- stwo tego, że w całości znajdzie się on w próbie. Próbą prostą n-elementową nazywamy próbę wylosowaną z populacji w taki sposób, że przed jej pobraniem każdy podzbiór składający się z n-elemen- tów populacji będzie mieć jednakowe prawdopodobieństwo wylosowania. Rozkładem populacji nazywamy rozkład badanej zmiennej w tej populacji. Modelem matematycznym rozkładu populacji jest rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Odpowiednie prawdopodobień- stwa interpretujemy jako częstość względną występowania w populacji elemen- tów o określonych wartościach badanej cechy. Rozważamy jedynie badania częściowe, tzn. takie, które umożliwiają ocenę rozkładu populacji na podstawie pobieranej z niej próby statystycznej. Uwzględniając reprezentacyjny charakter próby, możemy uogólnić jej wyniki na całą populację, gdyż dopuszczamy jedy- nie losowy dobór próby. Losowość próby umożliwia bowiem otrzymywanie prób reprezentatywnych, tzn. charakteryzujących się rozkładem badanej zmiennej nie- istotnie różniącym się od rozkładu zbiorowości. Ponadto, daje podstawę do wnio- skowania o populacji na gruncie rachunku prawdopodobieństwa, pozwalającą ocenić dokładność wnioskowania. Próbę losową ze skończonych populacji otrzymuje się drogą odpowiednie- go losowania elementów tej populacji, natomiast z populacji nieskończonych, np. w badaniach przyrodniczych bądź technicznych, uzyskuje się drogą obserwa- cji niezależnych powtórzeń wykonywanych w określonych warunkach uwzględ- niających różne czynniki wpływające na wyniki eksperymentu. W przypadku populacji skończonych korzysta się często przy losowaniu elementów do próby z tablic liczb losowych bądź generatorów liczb losowych. W praktyce zasadniczym kryterium doboru próby są tzw. tablice liczb loso- wych. Zbudowane są one z kolumn i wierszy liczb dwu- cztero- lub sześciocy- frowych, występujących po sobie w sposób przypadkowy. Procedura korzystania z tych tablic polega na tym, że: 1) wszystkim elementom zbiorowości N-elementowej przyporządkowuje się numery od 1 do N; 2) poczynając od dowolnie wybranej liczby z tablic liczb losowych, otrzymu- jemy n numerów, tzn. tyle, ile elementów ma być wylosowanych do próby. Jeżeli raz odczytany numer uwzględnimy jeszcze tyle razy, ile razy natrafimy na niego przy dalszym czytaniu liczb losowych, to wówczas otrzymujemy próbę prostą. Postępowanie takie nazywamy losowaniem niezależnym lub ze zwracaniem. Przez losowanie lub wybór przypadkowy będziemy zawsze rozumieć loso- wanie zgodne z rozkładem jednostajnym. Stąd wynika, że skład próby jest przy- padkowy, a więc i wartości badanej cechy wylosowanych elementów są przy-
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Testy statystyczne w procesie podejmowania decyzji
Autor:
, , ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: