Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00175 005950 14495045 na godz. na dobę w sumie
Zastosowania pochodnej funkcji - ebook/pdf
Zastosowania pochodnej funkcji - ebook/pdf
Autor: Liczba stron: 39
Wydawca: Self Publishing Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-272-4109-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-8%), audiobook).

Przedstawiona w niniejszej książce analiza pochodnej funkcji znajduje zastosowanie w różnorodnych obszarach nauki. Najpopularniejszymi dziedzinami jej zastosowań (poza matematyką) są fizyka oraz ekonomia. W książce zostało zaprezentowane wykorzystanie pochodnej do badania przebiegu zmienności funkcji, jak również przykładowe zastosowania rachunku różniczkowego w wymienionych obszarach.

Nie zabrakło także wiadomości teoretycznych, które stopniowo wprowadzają Czytelnika w tematykę pochodnej funkcji. Ponadto, przedstawioną w książce teorię wzbogacono dużą liczbą przykładów ilustrujących prezentowane zagadnienia.

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Kamila Kowalska, Radosław Tomala Zastosowania pochodnej funkcji 3 Badanie przebiegu zmienności funkcji 3.1 Funkcje wypukłe i wklęsłe Definicja – funkcja wypukła (wklęsła) Funkcję określoną i ciągłą w przedziale A nazywamy wypukłą, jeśli dla dowolnych punktów x1 i x2 należących do przedziału A, nierówność: jest spełniona dla wszystkich liczb dodatnich p1 i p2, które spełniają warunek . Funkcję f nazywamy wklęsłą, jeśli spełniona jest nierówność przeciwna: . Warunek wypukłości (wklęsłości) funkcji Jeżeli funkcja f ma w punkcie a ciągłą drugą pochodną , to jest ona wypukła w punkcie a, gdy spełniony jest warunek , natomiast funkcja jest wklęsła, gdy . Dowód Istnienie ciągłej pochodnej implikuje istnienie skończonej pochodnej w pewnym otoczeniu punktu a. Wynika stąd, że pochodna funkcji f jest funkcją różniczkowalną, zatem i ciągłą w otoczeniu punktu a. Spełnione są zatem założenia twierdzenia Taylora dla funkcji f przy n=2. Rozważmy przypadek, gdy . Z ciągłości drugiej pochodnej w punkcie a wynika istnienie takiej , że dla Na mocy wzoru Taylora dla mamy: . 14 22112211xfpxfpxpxpf121pp22112211xfpxfpxpxpf f0 af0 afaf 0 af00 xfaax,aax, Kamila Kowalska, Radosław Tomala Zastosowania pochodnej funkcji , gdzie: . Ponieważ , więc dla . Stąd: dla , co oznacza, że funkcja jest wypukła w punkcie a. Jeżeli w powyższym twierdzeniu zachodzi ostra nierówność , wówczas mamy do czynienia ze ścisłą wypukłością (wklęsłością). Definicja – punkt przegięcia Punktem przegięcia wykresu funkcji f nazywamy punkt , jeżeli istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie P i przechodzi z jednej strony wykresu na drugą stronę to znaczy, jeśli istnieje taka , że: , dla , albo: , dla . Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia Niech funkcja f ma w punkcie a ciągłą drugą pochodną . Wówczas: (i) Jeżeli a jest punktem przegięcia funkcji f, to . (ii) Jeżeli i druga pochodna zmienia w punkcie a znak, to a jest punktem przegięcia funkcji f. 15 )( 2)()( )()()(2xcfaxafaxfafxfaaxacx,),(aacx,0)( 2)(2xcfaxax)()( )()()(xyafaxafxf),(),(aaaax0)( xf)0)( (xfafaP,0)( )()()()()( )()()()(afaxafxyxfafaxafxyxf),(),(aaxaax)( )()()()()( )()()()(afaxafxyxfafaxafxyxf),(),(aaxaax f0 af0 af f Kamila Kowalska, Radosław Tomala Zastosowania pochodnej funkcji Dowód Z założenia mamy, że jest ciągła w punkcie a. Z tego wynika, że w pewnym otoczeniu punktu a funkcje f i są ciągłe. Stosując wzór Taylora przy n=2 mamy: (1) , gdzie . Stąd i z równania stycznych otrzymujemy wzór: (2) Ad.(i) . Założenie, że a jest punktem przegięcia funkcji f oznacza, iż istnieje liczba , dla której zachodzi alternatywa: (*) (**) , dla , dla , dla , dla , ; , . Zakładamy, że zachodzi (*). Wówczas dla mamy: . Dzielimy obustronnie nierówność przez . Wówczas otrzymujemy: Punkt , i . . 16 f f)( 2)()( )()()(2xcfaxafaxafxfxacx,)( )()()( afaxafxy)( 2)()()(2xcfaxxyxf00)()(xyxf),(aax0)()(xyxf),(aax0)()(xyxf),(aax0)()(xyxf),(aax),(aax0)( 2)(2xcfax02)(2ax0)( xcfaaxacx,,acxxacxaxlim Kamila Kowalska, Radosław Tomala Zastosowania pochodnej funkcji Z ciągłości w punkcie a wynika, że: Jeżeli , to z (ii) wynika, że: . i . Mamy zatem , , a więc: . Z nierówności i wynika, że . Ad.(ii) Z (i) założenia mamy, że istnieje , dla której spełniona jest alternatywa dla dla i i dla dla . albo Rozważmy sytuację, która opisana jest w pierwszym członie alternatywy. Wówczas dla mamy: bo . Stąd i z (2) Natomiast dla : , więc . , , bo i . W rezultacie z (2) otrzymujemy . Wykazaliśmy, że punktem przegięcia funkcji jest punkt a. 17 f0)( lim)( xaxcfaf),(aax0)( 2)(2xcfax0)( xcfacxxacxaxlim0)( lim)( xaxcfaf0)( af0)( af0)( af00)( xf),(aax0)( xf),(aax0)( xf),(aax0)( xf),(aax),(aax0)( 2)(2xcfax),(),(aaaxcx0xyxfxyxf),(aax0)( 2)(2xcfaxaaxacx,,0xyxfxyxf Kamila Kowalska, Radosław Tomala Zastosowania pochodnej funkcji Warunki dostateczne istnienia punktu przegięcia Jeżeli funkcja f będzie n-krotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu a oraz: (a) (b) , , gdzie n jest liczbą nieparzystą, to jest punktem przegięcia wykresu funkcji f. Uwaga. Jeżeli n jest liczbą parzystą, to punkt nie jest punktem przegięcia wykresu funkcji. 3.2 Ekstrema funkcji Definicja – ekstremum lokalne Mówimy, że funkcja f określona w przedziale A osiąga w punkcie maksimum lokalne (minimum lokalne), jeżeli istnieje taka liczba że dla każdego spełniającego warunek , mamy: (1) ( ). Liczbę nazywamy maksimum lokalnym (minimum lokalnym) funkcji f. Jeżeli zamiast nierówności (1) spełniona jest nierówność: (2) ( ), to mówimy, że funkcja f osiąga w punkcie x0 właściwe maksimum (minimum) lokalne, natomiast nazywamy właściwym maksimum (minimum) lokalnym funkcji f. Maksima i minima funkcji nazywamy ekstremami funkcji. 18 0)(...)( )( )1(afafafn0)()(afnafaA,afaA,Ax00Ax||0xx)],([00xxx)()(0xfxf)()(0xfxf)(0xf0xx)()(0xfxf)()(0xfxf0xf Kamila Kowalska, Radosław Tomala Zastosowania pochodnej funkcji Warunek konieczny istnienia ekstremum Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja f określona w otoczeniu punktu x0 osiąga w tym punkcie swoje ekstremum lokalne i ma pochodną , to ta pochodna: . Dowód Z założenia wynika istnienie pochodnej . Skoro f osiąga w punkcie x0 ekstremum, na przykład maksimum lokalne, to istnieje taka, że dla mamy: Dla mamy , , . i Dla mamy , , i Stąd: . , , , , . . Przedstawiony wyżej warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji nie jest warunkiem dostatecznym. 19 f0)( 0xf)( )( )( 000xfxfxf0),(00xxx)()(0xfxf),(00xxx0xx00xx)()(0xfxf0)()(0xfxf0)()(00xxxfxf0)()(lim)( )( 00000xxxfxfxfxfxx),(00xxx0xx00xx)()(0xfxf0)()(0xfxf0)()(00xxxfxf0)()(lim)( )( 00000xxxfxfxfxfxx0)( 0xf
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Zastosowania pochodnej funkcji
Autor:

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: