Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00035 004188 12920624 na godz. na dobę w sumie
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa - ebook/pdf
Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa - ebook/pdf
Autor: , Liczba stron: 170
Wydawca: BEL Studio Język publikacji: polski
ISBN: 978-8-3779-8335-5 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> edukacja >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-20%), audiobook).
Zbiór zadań zawiera tematy z kolokwiów i egzaminów z rachunku prawdopodobieństwa na studiach dziennych w Szkole Głównej Handlowej. Pochodzące z lat 1996-2006 zadania zgrupowane są w pięciu rozdziałach obejmujących kolejno: własności prawdopodobieństwa, jednowymiarowe zmienne losowe, wielowymiarowe zmienne losowe, funkcje charakterystyczne i twierdzenia graniczne. Na końcu każdego rozdziału zamieszczone są pełne rozwiązania większości zadań. Same odpowiedzi podane są tylko w przypadku zadań, których sposób rozwiązywania jest analogiczny z podanym wcześniej pełnym rozwiązaniem.
Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

Przedmowa W Szkole Głównej Handlowej rachunek prawdopodobie´nstwa jest przedmiotem obowi ˛azkowym na kierunku Metody Ilo´sciowe w Ekonomii i Systemy Informa- cyjne oraz na kierunku Ekonomia, a tak˙ze na niektórych ´scie˙zkach innych kierun- ków studiów. W ostatnich latach cieszy si ˛e on coraz wi ˛ekszym zainteresowaniem studentów. Słuchacze wykładu mog ˛a korzysta´c mi ˛edzy innymi z napisanego przez jednego ze współautorów i wydanego przez Oficyn ˛e Wydawnicz ˛a SGH skryptu „Rachunek prawdopodobie´nstwa“ zawieraj ˛acego teori ˛e i przykładowe zadania oraz z dost ˛epnych za po´srednictwem Internetu zada´n z kolokwiów i egzaminów. Problemem, na który cz ˛esto zwracali uwag ˛e studenci, był brak rozwi ˛aza´n wspomnianych zada´n, co utrudniało im samodzieln ˛a nauk ˛e. Skłoniło nas to do opracowania rozwi ˛aza´n tematów z kolokwiów i egzaminów z lat 1996-2006. Zadania zostały podzielone na pi ˛e´c rozdziałów. Rozdział 1 zawiera zadania dotycz ˛ace poj ˛ecia prawdopodobie´nstwa i schematu Bernoulliego. W rozdziale 2 znalazły si ˛e zadania, w których bada si ˛e własno´sci jednowymiarowych zmiennych losowych, a w rozdziale 3 — dotycz ˛ace wielowymiarowych zmiennych losowych. Rozdział 4 po´swi ˛econy jest funkcjom charakterystycznym, a ostatni, rozdział 5 — twierdzeniom granicznym. Zdecydowana wi ˛ekszo´s´c zada´n zawiera pełne rozwi ˛aza- nia. Same odpowiedzi podane s ˛a tylko w przypadku zada´n, których sposób rozwi ˛azania jest analogiczny z podanym wcze´sniej. Stosowane oznaczenia i ter- minologia s ˛a zgodne z oznaczeniami i terminologi ˛a u˙zywan ˛a we wspomnianym powy˙zej skrypcie z rachunku prawdopodobie´nstwa. Dzi ˛ekujemy serdecznie pani dr Agnieszce Groniowskiej, która dokładnie prze- czytała pierwsz ˛a wersj ˛e niniejszego zbioru zada´n i sprawdziła rozwi ˛azania. Dzi ˛e- ki jej uwagom i sugestiom dokonali´smy wielu poprawek i usun ˛eli´smy zauwa˙zone bł ˛edy. Autorzy ROZDZIAŁ 1 Prawdopodobie´nstwo 1.1. Prawdopodobie´nstwo geometryczne dopodobie´nstwo zdarzenia: 4 x2 − 1 ≤ y ≤ x. 1.1. Z przedziału (cid:1)−2, 2(cid:3) wybrano losowo dwie liczby x i y. Obliczy´c praw- a) xy ≤ 1, b) xy ≤ 2, c) x2 − 1 ≤ y, d) 3 1.2. Wybieramy losowo dwie liczby x i y z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3). Obliczy´c praw- dopodobie´nstwo zdarzenia: a) 2x2 − 1 ≤ y ≤ −x, b) y2 ≤ x2y. 1.3. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybrano losowo dwie liczby a i b. a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze trójmian kwadratowy y = ax2 + 2bx + 1 nie ma rzeczywistych pierwiastków. b) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze pierwiastki równania ax2 + bx + 1 = 0 s ˛a rzeczywiste. 1.4. Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze pierwiastki równania x2 + bx + c = 0 s ˛a rzeczywiste, je´sli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału: a) (cid:1)−1, 1(cid:3), b) (cid:1)−2, 2(cid:3). 1.5. W zale˙zno´sci od warto´sci parametru a ∈ R obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze x + y ≤ a, je´sli liczby x i y wybrane zostały losowo z przedziału: a) (cid:1)−1, 2(cid:3), b) (cid:1)−2, 1(cid:3). warto´sci parametru a ∈ R wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia xy ≤ a. prawdopodobie´nstwo zdarzenia xy ≥ a jest wi ˛eksze od 1 2 ? prawdopodobie´nstwo zdarzenia xy ≤ a jest wi ˛eksze od 1 2 ? w zale˙zno´sci od warto´sci parametru a ∈ R, prawdopodobie´nstwo zdarzenia: 1.6. Z przedziału (cid:1)0, 1(cid:3) wybieramy losowo dwie liczby x i y. W zale˙zno´sci od a) xy ≤ a, b) xy ≥ a, c) x2y ≤ a, d) xy2 ≤ a, e) y ≤ x2 + a, √ f) y ≥ a + x. 1.7. Z przedziału (cid:1)0, 2(cid:3) wybieramy losowo dwie liczby x i y. W zale˙zno´sci od 1.8. Z przedziału (cid:1)0, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. Dla jakich a ∈ R 1.9. Z przedziału (cid:1)0, 2(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. Dla jakich a ∈ R 1.10. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybieramy losowo dwie liczby x i y. Wyznaczy´c, a) ax2 − y ≥ 0, b) ax2 − y ≤ 0. 1.11. Wybieramy losowo dwa punkty x i y z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3). Wyznaczy´c, a) ay ≤ x2 − 1, b) y ≥ a − x2. 1.12. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. W zale˙zno´sci a) y ≤ mx + 1, b) y ≤ m(x + 1). 1.13. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x, y. Dla jakich a) P (Am) ≥ 1 b) P (Am) ≤ 1 1.14. Z przedziału (cid:1)0, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. Niech Aa ozna- cza zdarzenie y ≤ a, gdzie a ∈ R. Obliczy´c, w zale˙zno´sci od warto´sci parametru a ∈ R, prawdopodobie´nstwo P (Aa ∪ B), gdzie B oznacza zdarzenie: 3 , gdzie Am oznacza zdarzenie |x − y| ≤ m, dla m ∈ R, 4 , gdzie Am oznacza zdarzenie |x + y| ≤ m, dla m ∈ R. w zale˙zno´sci od warto´sci parametru a ≥ 0 prawdopodobie´nstwo zdarzenia: od warto´sci parametru m ∈ R wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia: m ∈ R spełniony jest warunek: 10 1. Prawdopodobie´nstwo warto´sci parametru a ∈ R wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia: x − 1, √ x. a) y ≤ 1 b) y ≤ 1 1.15. Z przedziału (cid:1)0, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. Niech A oznacza zdarzenie losowe x + y ≤ 1, B — zdarzenie losowe y ≤ ax2, gdzie a ∈ R. Obliczy´c, w zale˙zno´sci od warto´sci parametru a, prawdopodobie´nstwo P (A ∪ B). 2 1.2. Własno´sci prawdopodobie´nstwa 11 od warto´sci parametru m ∈ R obliczy´c P (Am ∩ B), gdzie: 1.16. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. W zale˙zno´sci 2 x − 1 a) Am oznacza zdarzenie x + y ≤ m, B oznacza zdarzenie y ≤ 1 2 , 2 x − 1 b) Am oznacza zdarzenie y ≤ x + m, B oznacza zdarzenie y ≤ − 1 2 . 1.17. Z przedziału (0, 1) wybieramy losowo dwa punkty x i y. W zale˙zno´sci od warto´sci parametru m ∈ R wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia y ≤ m. 1.18. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. W zale˙zno´sci od warto´sci parametru a ∈ R wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia y ≥ a|x|. 1.19. Z przedziału (cid:1)−1, 1(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. Niech Am, gdzie m ∈ R, oznacza zdarzenie y ≤ x + m. W zale˙zno´sci od warto´sci parametru m ∈ R obliczy´c P (Am). 1.20. Z przedziału (cid:1)−2, 2(cid:3) wybieramy losowo dwa punkty x i y. Niech Am, gdzie m ∈ R, oznacza zdarzenie: y + x ≥ m. W zale˙zno´sci od warto´sci parametru m ∈ R obliczy´c P (Am). 1.21. Z obszaru D = wo punkt (x, y). Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze x + y ≤ 3. wo punkt (x, y). Obliczy´c prawdopodobie´nstwo zdarzenia, ˙ze x − 3y ≥ 0. 2 : 1 ≤ x ≤ e2 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 2 : 1 ≤ x ≤ e ∧ 0 ≤ y ≤ 2 1.22. Z obszaru D = wybieramy loso- wybieramy loso- (cid:2) (cid:2) x x (cid:1) (x, y) ∈ R (cid:1) (cid:1) (x, y) ∈ R (x, y) ∈ R (cid:2) 2 : 0 ≤ x ≤ π ∧ 0 ≤ y ≤ sin x x wybieramy lo- sowo punkt (x, y). 1.23. Z obszaru D = a) W zale˙zno´sci od warto´sci parametru t ∈ R obliczy´c P (x ≤ t). b) Dla jakich t ∈ R spełniony jest warunek P (x ≤ t) = 1 2 ? Odpowied´z uza- sadni´c. 1.2. Własno´sci prawdopodobie´nstwa 1.24. Wykaza´c, ˙ze je´sli zdarzenia losowe A, B spełniaj ˛a warunek A ⊂ B, to P (B − A) = P (B) − P (A) i P (A) ≤ P (B). 1.25. Wykaza´c, ˙ze je´sli zdarzenia losowe A i B s ˛a niezale˙zne, to niezale˙zne s ˛a równie˙z zdarzenia: (cid:1) a) A (cid:1) b) A i B, (cid:1) i B . 0 P (A) 1 oraz 0 P (B) 1. Zbada´c niezale˙zno´s´c zdarze´n losowych: 1.26. Niech A i B b ˛ed ˛a niezale˙znymi zdarzeniami a) C = A ∩ B i D = A − B, b) C = A − B i D = B − A. 1.27. Niech A, B b ˛ed ˛a niezale˙znymi zdarzeniami losowymi. Zbada´c nieza- losowymi takimi, ˙ze le˙zno´s´c zdarze´n C = A ∩ B i D = A ∪ B. 12 1. Prawdopodobie´nstwo 1 2 ˙ze (cid:3) (cid:4)i P (Ai) = P (A) = 1 dla i = 1, 2, 3. 2 , P (B) = 1 1.28. Dane s ˛a takie trzy ł ˛acznie niezale˙zne zdarzenia losowe A, B, C, 3 , P (C) = 1 4 . a) Obliczy´c P (A ∪ B ∪ C). b) Obliczy´c P ((A ∪ C) − B). 1.29. Dane s ˛a takie trzy ł ˛acznie niezale˙zne zdarzenia losowe A1, A2, A3, ˙ze a) Obliczy´c P (A1 ∪ A2 ∪ A3). b) Obliczy´c P ((A1 ∪ A2) − A3). 1.30. Niech A1, A2, A3, A4 b ˛ed ˛a ł ˛acznie niezale˙znymi zdarzeniami losowymi takimi, ˙ze P (Aj) = 1 a) P (A1 ∪ A2), b) P (A1 ∪ A2 ∪ A3), c) P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4). 1.31. Niech A1, A2, A3, A4 b ˛ed ˛a ł ˛acznie niezale˙znymi zdarzeniami losowymi takimi, ˙ze 0 P (Aj) 1 dla j = 1, 2, 3, 4. Zbada´c niezale˙zno´s´c zdarze´n C i D, gdzie: j+1 dla j = 1, 2, 3, 4. Obliczy´c: a) C = A1 − (A2 ∪ A3), D = A2 ∪ A3 ∪ A4, b) C = (A1 ∪ A2) − A3, D = A2 ∩ A3 ∩ A4. (cid:5) ∞(cid:6) An n=1 (cid:7) , je´sli (An) jest ci ˛agiem zdarze´n losowych parami 1.32. Obliczy´c P rozł ˛acznych takich, ˙ze: 4 i P (An ∪ An+1) = 5 a) P (A1) = 1 3 i P (An ∪ An+1) = 4 b) P (A1) = 1 (cid:7) 1.33. Niech (An) b ˛edzie ci ˛agiem parami rozł ˛acznych zdarze´n losowych. Obli- 4n+1 dla n ∈ N, 3n+1 dla n ∈ N. (cid:5) ∞(cid:6) n=1 (cid:3) (cid:3) (cid:4)n (cid:4)n czy´c P An oraz P (A1), je˙zeli: a) P (An ∪ An+1) = 7 b) P (An ∪ An+1) = 5 1.34. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnego wst ˛epuj ˛acego ci ˛agu zdarze´n losowych (An) dla n = 1, 2, ... . dla n = 1, 2, ... . n→∞ P (An+1 − An) = 0. spełniony jest warunek lim 3 4 2 3 16 9 1.35. Niech (An) b ˛edzie zst ˛epuj ˛acym ci ˛agiem zdarze´n losowych spełniaj ˛acych warunek lim n→∞ P (An) 0. Wykaza´c, ˙ze lim n→∞ P (An+1|An) = 1. 1.36. Niech (An) b ˛edzie wst ˛epuj ˛acym ci ˛agiem zdarze´n losowych takich, ˙ze n(n+1) , P (An|An+1) = 1 − 1 n2 dla n ∈ N. P (An+1 − An) = 1 (cid:5) ∞(cid:6) (cid:7) Obliczy´c P An . n=1
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa
Autor:
,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: