Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00268 005093 15197090 na godz. na dobę w sumie
e-Matematyka wspomagająca ekonomię - ebook/pdf
e-Matematyka wspomagająca ekonomię - ebook/pdf
Autor: , , Liczba stron: 499
Wydawca: C. H. Beck Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-255-5314-2 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> naukowe i akademickie >> matematyka
Porównaj ceny (książka, ebook (-5%), audiobook).

e-Matematyka wspomagająca ekonomię – innowacyjny podręcznik do nauki matematyki stosowanej ze wsparciem w środowisku powszechnie dostępnego taniego oprogramowania. Książka adresowana do studentów ekonomii, finansów i zarządzania.

[…] Poziom książki oceniam jako wysoki. Student (a także wykładowca) może znaleźć w podręczniku wiele informacji przydatnych w dalszych studiach, jak również przy rozwiązywaniu problemów praktycznych.  Dobre wykorzystanie książki może pozytywnie kształtować światopogląd studenta. Książka może być również bardzo dobrym przewodnikiem dla mniej doświadczonego wykładowcy poprzez wykorzystanie znajdujących się tam pewnych podpowiedzi dotyczących możliwości zastosowań w ekonomii omawianego aspektu matematycznego […]

[…] W związku z postępującą informatyzacją naszego życia potrzebna jest zmiana środków i celów kształcenia, uwzględniająca tę okoliczność. W szczególności pojawia się możliwość stosowania praktycznego w dydaktyce matematyki programów komputerowych. […] Te właśnie narzędzia są wielokrotnie wykorzystywane w recenzowanej pracy i pozwalają na zniesienie utrudnień związanych z procesem obliczeniowym.

Prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik

Katedra Badań Operacyjnych

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

e-Matematyka e-Matematyka wspomagajàca wspomagajàca ekonomi´ ekonomi´ Krzysztof Piasecki Marcin Anholcer Krzysztof Echaust e-mat_str 10/3/13 7:28 PM Page 1 e-Matematyka wspomagajàca ekonomi´ e-mat_str 10/3/13 7:28 PM Page 2 Autorzy: Krzysztof Piasecki wprowadzenie, 1; 2; 4; 5; 6; 7.1–7.3; 7.4*; 7.5; 8.1; 8.2; 9.2; 11*; 12.3*; 13.2*; 14; 15; 17; 19.1; 19,2; 19,3*; 22.1–22.5; 22.6*; 23 Marcin Anholcer 3; 7.6; 8.3; 9.1; 10; 11*; 20; 21 Krzysztof Echaust 7.4*; 12.1; 12.2; 12.3*; 12.4;12.5; 13.1; 13.2*; 13.3–13.9; 16; 18; 19,3*; 22.6* * wspó∏autorstwo e-mat_str 10/3/13 7:28 PM Page 3 e-Matematyka wspomagajàca ekonomi´ Krzysztof Piasecki Marcin Anholcer Krzysztof Echaust WYDAWNICTWO C.H. BECK WARSZAWA 2013 Wydawca: Dorota Ostrowska-Furmanek Redakcja merytoryczna: Krystyna Knap Recenzent: prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska Ilustracja na okładce: c(cid:13)MarkEvans/iStockphoto Seria: Metody ilościowe Złożono programem TEX c(cid:13) Wydawnictwo C.H. Beck 2013 Wydawnictwo C.H. Beck Sp. z o.o. ul. Bonifraterska 17, 00-203 Warszawa Skład i łamanie: Wydawnictwo C.H. Beck Druk i oprawa: Totem, Inowrocław ISBN 978-83-255-5313-5 e-book 978-83-255-5314-2 Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przedmowa . . . Wprowadzenie – implementacja języka WolframAlpha . . . . Rozdział 1. Logika matematyczna . . . . . . . . . . 1.1. Podstawy logiki . . . 1.2. Twierdzenia . . . . . 1.3. Reguły wnioskowania . . . 1.4. Funkcje zdaniowe . . . . 1.5. Równania i nierówności . . Rozdział 2. Wstęp do matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Algebra zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Produkt kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Tablice . . 2.6. Algebraiczne działania wielokrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Liczebność zbiorów skończenie elementowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Elementy kombinatoryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Relacje – istota, określenie i formy opisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Własności relacji . . . 4.3. Działania na relacjach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Funkcja w świetle teorii relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 10 10 16 19 20 25 31 31 39 41 44 46 47 49 51 56 56 60 63 70 75 75 78 80 83 86 86 89 93 98 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 . Rozdział 3. Grafy i digrafy . . . . . 3.1. Grafy . . . 3.2. Digrafy . . . 3.3. Podgrafy i spójność . . 3.4. Szczególne typy grafów i digrafów . . Rozdział 4. Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 5. Zastosowania relacji w ekonomii . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 6. Podstawy algebry liniowej . . . . . 5.1. Relacja równoważności 5.2. Relacje porządkujące . . 5.3. Optymalizacja . 6.1. Algebra macierzy . . 6.2. Przestrzeń wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. 9.1.2. 9.1.3. 9.1.4. 9.2. Model Leontiewa Rozdział 7. Instrumenty algebry liniowej 9.1. Programowanie liniowe . Rozdział 10. Zaawansowane zagadnienia algebry . . . . Rozdział 9. Zastosowania algebry liniowej w ekonomii . . . . . . . . . 115 7.1. Przekształcenia elementarne macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 . 7.2. Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.3. Macierz odwrotna . . 7.4. Określoność macierzy symetrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 . 7.5. Wyznacznik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Instrumentalne zastosowania wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.6. Rozdział 8. Układy warunków liniowych . . . . . 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 . . 8.1. Układy równań liniowych . 8.2. Układy nierówności liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 . 8.3. Zastosowania wyznacznika do rozwiązywania układów równań liniowych 168 . . . 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . 177 Zagadnienie optymalnego asortymentu produkcji Zagadnienie diety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Problem maksymalnego przepływu . . . . . . . . . . . . . . . 180 Problem przepływu o minimalnym koszcie . . . . . . . . . . . 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 . . 193 10.1. Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.2. Rozwiązywanie wybranych typów równań nieliniowych . . . . . . . . . 198 10.3. Układy równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Rozdział 11. Ciągi i szeregi liczbowe . . . . . . . . . . 209 . 11.1. Podstawowe własności i rodzaje ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.2. Granice ciągów . 11.3. Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 . . . . . . . . . . . . 225 12.1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12.2. Elementarne funkcje jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 . 12.3. Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 12.4. Ciągłość funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 12.5. Asymptoty funkcji . . . . . . 252 13.1. Podstawy rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 . 13.2. Różniczka funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 13.3. Reguła de l’Hospitala . . 13.4. Badanie monotoniczności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13.5. Badanie wypukłości funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 13.6. Poszukiwanie ekstremów lokalnych funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 267 13.7. Poszukiwanie punktów przegięcia funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . 272 13.8. Ekstrema globalne funkcji na przedziale domkniętym . . . . . . . . . . 273 13.9. Badanie przebiegu zmienności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 . . . . 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 14.1. Podstawy rachunku marginalnego . 14.2. Modele kosztu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 . 14.3. Zmienność cenowa popytu i podaży . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 . . . . Rozdział 12. Funkcja jednej zmiennej . . . Rozdział 13. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej . . . . Rozdział 14. Zastosowanie teorii funkcji jednej zmiennej w ekonomii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4. Zmienność dochodowa popytu . . 14.5. Analiza trendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 16. Analiza funkcji wielu zmiennych . . . . . Rozdział 17. Zastosowanie teorii funkcji wielu zmiennych w ekonomii Rozdział 15. Elementy matematyki finansowej . . . . . 15.1. Istota i podstawowe pojęcia matematyki finansowej . . 15.2. Wartość przyszła . . 15.3. Wartość bieżąca . . 15.4. Wartość bieżąca netto . . 15.5. Wewnętrzna stopa zwrotu . 15.6. Umarzanie kredytu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 . . 299 . . . . . . . . . . . 299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 . . 325 16.1. Funkcje wielu zmiennych – podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . 325 16.2. Pojęcie granicy i ciągłości funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . 329 16.3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . 330 16.4. Różniczka zupełna funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . 337 16.5. Funkcje uwikłane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 16.6. Badanie monotoniczności funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . 343 16.7. Badanie wypukłości funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . 344 16.8. Poszukiwanie ekstremów lokalnych funkcji wielu zmiennych . . . . . . 346 16.9. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . 349 . . . . 362 17.1. Modele ekonomiczne dane jako funkcja wielu zmiennych . . . . . . . . 362 17.2. Rachunek marginalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 17.3. Krzywe obojętności i substytucji . 373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 18.1.1. Całkowanie elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 18.1.2. Całkowanie przez podstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 . 18.1.3. Całkowanie przez części . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 18.2. Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 . 18.3. Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 18.4. Geometryczna interpretacja całki oznaczonej . . . . . . . . . . . . . . . 389 . . . . . . . . 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 . . . . . . . . . . 401 20.1. Wybrane typy równań i sposoby ich rozwiązywania . . . . . . . . . . . 401 Jednorodne liniowe równania różnicowe rzędu 1 . . . . . . . . 402 Jednorodne liniowe równania różnicowe rzędu 2 . . . . . . . . 402 Jednorodne liniowe równania różnicowe rzędu k . . . . . . . . 404 20.2. Zagadnienie początkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 20.3. Wybrane zastosowania równań różnicowych w ekonomii . . . . . . . . . 407 . . . . . . . . . 410 21.1. Wybrane typy równań i metody ich rozwiązywania . . . . . . . . . . . . 410 21.1.1. Równania o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . 411 21.1.2. Równania o podstawieniu liniowym . . . . . . . . . . . . . . . 412 . . Rozdział 21. Równania różniczkowe . Rozdział 19. Zastosowanie całek w ekonomii . . . . . . 19.1. Kapitalizacja ciągła . . . 19.2. Dyskonto procesu dochodów . . 19.3. Nadwyżka konsumenta i producenta Rozdział 20. Równania różnicowe . . . . Rozdział 18. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej 18.1. Całka nieoznaczona . 20.1.1. 20.1.2. 20.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Spis treści . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 22. Rachunek prawdopodobieństwa . . . . . 21.1.3. Równania jednorodne . . 21.2. Zagadnienie początkowe . 21.3. Wybrane zastosowania równań różniczkowych w ekonomii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 . . . . . . . 416 . . . 420 22.1. Prawdopodobieństwo – istota i ewolucja pojęcia . . . . . . . . . . . . . 420 22.2. Aksjomatyczna teoria prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . 426 22.3. Prawdopodobieństwo warunkowe – istota i pojęcie . . . . . . . . . . . . 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 22.4. Wnioskowanie bayesowskie . 22.5. Zmienna losowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 22.6. Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 22.6.1. Rozkład dwupunktowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 22.6.2. Rozkład dwumianowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 22.6.3. Rozkład geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 . 22.6.4. Rozkład Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 . . 22.6.5. Rozkład jednostajny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 . . 22.6.6. Rozkład prostokątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 . 22.6.7. Rozkład trójkątny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 22.6.8. Rozkład wykładniczy . . 22.6.9. Rozkład normalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 . . . 22.6.10. Rozkład logarytmiczno-normalny . . . . . . . . . . . . . . . . 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 . 22.6.11. Rozkład chi-kwadrat . . 22.6.12. Rozkład t-Studenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 . 22.6.13. Rozkład F Snedecora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 . . 22.6.14. Rozkład Cauchy’go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 . . . 22.6.15. Rozkład Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 22.6.16. Rozkład beta . . . . . . . . 470 23.1. Całkowanie metodą Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 23.2. Prawdopodobieństwo subiektywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 23.3. Probabilistyczny model decyzyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 . Rozdział 23. Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w ekonomii Bibliografia . . . Indeks rzeczowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Przedmowa W 1994 roku ukazał się zredagowany przeze mnie podręcznik „Matematyka wspomagająca zarządzanie”. Tytuł tej książki nawiązywał do głoszonej przez autorów tezy, że matematyka co prawda jest jedna, ale każdy z kierunków studiów ekonomicznych wymaga odrębnego wyboru nauczanych treści matematycznych. My nasz podręcznik dedykowaliśmy studentom kierunków studiów związanych z dyscypliną zarządzanie. Podręcznik ten do tej pory towarzyszył wykładom z matematyki przedstawia- nym początkowo jedynie studentom kierunku studiów zarządzanie. Stopniowo grono jego użytkowników poszerzyło się o słuchaczy kierunków studiów zwią- zanych z dyscyplinami ekonomia i finanse. Dzięki temu mogło się do tej pory ukazać sześć wydań tego podręcznika: dwa w prywatnym wydawnictwie Akade- mia i cztery w Wydawnictwie AE/UE w Poznaniu. Poszerzenie merytorycznego profilu osób korzystających z tego podręcznika skutkowało między innymi tym, że dawał się odczuć brak tych działów mate- matyki, które powinni znać przyszli ekonomiści i finansiści. Ta niedogodność zachęciła do przygotowania nowego, bardziej uniwersalnego podręcznika do na- uki matematyki. Prezentowany podręcznik jest dedykowany studentom kierunków ogólnoekonomicznych, finansowych i zarządczych. Z pełną premedytacją podręcznika tego nie adresujemy do studentów kierun- ków studiów typu „Informatyka i ekonometria”. Specyfika kształcenia na tych kierunkach wymusza podniesienie złożoności matematycznej przekazywanych treści nauczania do poziomu trudnego do zaakceptowania przez studentów po- zostałych kierunków ekonomicznych. Tak wysokie wymagania należy stawiać jedynie przed przyszłymi twórcami narzędzi formalnych stosowanych w ekono- mii. Tym, którzy te narzędzia będą jedynie stosowali, wystarczy mniejszy zasób wiedzy matematycznej. Z oczywistych względów książki tej nie adresujemy też do studentów to- waroznawstwa. Ten kierunek studiów wymaga całkowicie odmiennej wiedzy matematycznej nawiązującej do przyrodoznawstwa. Do rąk czytelników oddajemy książkę obszerną. Ta objętość wynika z za- miaru równoczesnego umieszczenia w niej treści odpowiadających odmiennym potrzebom poszczególnych kierunków studiów. Książka jest podręcznikiem adre- sowanym głównie do studentów studiów licencjackich kierunków związanych z dyscyplinami: ekonomia, zarządzanie i finanse. Część prezentowanych tre- 1 Przedmowa ści jest, zdaniem autorów, wspólna dla wszystkich wymienionych kierunków. Dodatkowo uwzględniono treści unikatowe dla poszczególnych kierunków. Wie- lokrotnie stawiamy też do wyboru rodzaj instrumentów formalnych służących do rozwiązania postawionych zagadnień. W oparciu o zaprezentowane tutaj treści można przygotować wiele różnych programów nauczania. Zadanie to pozostawia- my poszczególnym wykładowcom. Wszystko to powiększa grono odbiorców, do których jest adresowana książka. Głównym założeniem książki jest prezentacja matematyki jako języka opisu zagadnień ekonomicznych, zarządczych i finansowych. W tym celu wykład został pomyślany jako nierozerwalny splot dwóch wątków. Pierwszy z nich jest poświę- cony instrumentarium matematycznemu i porządkuje równocześnie sekwencje rozdziałów zgrupowanych wokół wybranych teorii matematycznych. Obszerny wątek aplikacyjny został wprowadzony w przekonaniu, że taka forma prezentacji instrumentarium matematycznego stanowi warunek konieczny dla pozytywnej percepcji proponowanych metod matematycznych. Omówienie możliwości zasto- sowań matematyki w ekonomii dostosowano do poziomu erudycji ekonomicznej studentów pierwszego roku. Identyczne idee przyświecały autorom podręcznika „Matematyka wspomagająca zarządzanie”. Dla podkreślenia faktu kontynuacji tej idei, tytuł prezentowanej książki w oczywisty sposób nawiązuje do tytułu tamtego podręcznika. Prezentowana książka nie jest jedynie prostym poszerzeniem treści nauczania. Na jej kształcie odcisnął swój znak także czas niosący w minionym dwudziesto- leciu wielkie zmiany. Od paru lat obserwujemy wyraźną zmianę profilu wykształcenia absolwentów szkół średnich. Autorzy nie mieli tutaj wyboru i musieli dostosować się do tych zmian. Dostrzec jednak można pewne pozytywne efekty zmiany profilu wykształcenia kandydatów na studia, gdyż dzięki tym zmianom nie musimy już przełamywać pewnych nawyków wynoszonych przez studentów ze szkoły średniej. Autorzy skwapliwie z tej możliwości skorzystali. Drugą ważną zmianą jest postępująca szybko informatyzacja naszego dnia powszedniego. Proces ten wymaga także zmiany środków i celów kształcenia matematycznego. I bynajmniej nie chodzi tutaj wcale o e-dydaktykę1. Wszyscy przywykliśmy już do poszukiwania potrzebnej wiedzy w Internecie. Robimy to także w odniesieniu do wiedzy matematycznej. Będzie to łatwiejsze, jeśli nasi studenci będą władać międzynarodowym językiem matematycznym. Stąd cały podręcznik został napisany w języku formalnym, stosowanym przez ogół korzystających z matematyki mieszkańców naszej planety. Dzięki temu treści zawarte w książce mogą być bezpośrednio rozszerzone o treści zawarte na platformach internetowych (np. Wikipedia). Postępująca informatyzacja dostarcza nam wszystkim łatwo dostępnych na- rzędzi informatycznych. W chwili obecnej dużym ułatwieniem w stosowaniu 1 ang. e-learning 2 Przedmowa matematyki jest możliwość posługiwania się właściwym oprogramowaniem ma- tematycznym. Nasza książka jest adresowana do takich studentów i absolwentów, którzy matematykę w ekonomii stosują jedynie sporadycznie. W tej sytuacji istotnym ograniczeniem możliwości wykorzystania tutaj wyspecjalizowanych pro- gramów komputerowych jest wysoka cena wielu z nich. W praktyce możliwości stosowania programów komputerowych ograniczają się do korzystania z arku- sza kalkulacyjnego EXCEL i otwartych portali typu „knowledge engine”. W tej sytuacji wszystkie treści matematyczne prezentowane w tej książce zostały zilu- strowane możliwościami zastosowania arkusza EXCEL i portalu WolframAlpha do rozwiązywania postawionych tam problemów. Portal WolframAlpha dostępny jest nawet na ekranach smartfonów. W książce przedstawiony jest język linearny matematyki pozwalający opisać problem matematyczny jedynie przy zastosowa- niu klawiatury QWERTY telefonu komórkowego. Informatyzacja obliczeń w praktyczny sposób zniosła wszystkie utrudnienia związane z wysoką złożonością analityczną i obliczeniową zadań matematyki. Poprawne skorzystanie z tych możliwości wymaga jednak opanowania innych umiejętności formalnych przedstawionych w podręczniku. W dydaktyce ma- tematyki należy przenieść nacisk z kształtowania kompetencji „wykonywanie skomplikowanych obliczeń” na rzecz kształtowania kompetencji „zarządzanie skomplikowanymi obliczeniami”. Nie ma większego zagrożenia dla poprawnych zastosowań matematyki, niż nieznająca matematyki osoba wykonująca biegle ob- liczenia. Doświadczenie podpowiada, że nigdy w takim wypadku nie wiadomo, czy poprawnie został zidentyfikowany model matematyczny służący rozwiąza- niu postawionego zadania i czy biegle przeprowadzone obliczenia odpowiadają wybranemu modelowi matematycznemu. Stąd w proponowanym podręczniku kształtowanie umiejętności kalkulacyjnych zostało ograniczone do przypadków prostych zadań, których rozwiązanie przybliży i pozwoli zrozumieć istotę proble- mu matematycznego. Pozostałe, bardziej skomplikowane obliczenia możemy już ze zrozumieniem wykonać na ekranach naszych urządzeń. Dlatego tytuł książki sygnalizuje, że rzecz będzie o e-matematyce. Wspomniana już łatwość wykonywania obliczeń rodzi potrzebę poprawnego zarządzania tymi obliczeniami. Z tej przyczyny duży nacisk w książce położono na: – doskonalenie umiejętności precyzyjnego formułowania i rozwiązywania problemów; skiego; – podstawowe reguły wnioskowania normatywnego i wnioskowania bayesow- – wnioskowanie dedukcyjne. Realizacja tych wszystkich celów dydaktycznych jest zorientowana na kształtowa- nie u studentów dwóch głównych kompetencji: – biegłego stosowania matematyki do rozwiązywania wszystkich zadań sta- wianych na innych przedmiotach z zakresu szeroko rozumianej ekonomii ilościowej; 3 Przedmowa – w trakcie pracy zespołowej zdolności komunikowania się z ekspertem stosu- jącym do rozwiązania postawionego problemu narzędzia matematyczne. Zaproponowana formuła e-matematyki jest próbą sprostania wyzwaniom stawianym przez zmieniające się otoczenie. Mnie udało się do tej pory przejść szlak od liczydła w szkole podstawowej poprzez suwak logarytmiczny i kręciołek2 na studiach aż do smartfona dzisiaj. Idąc tą drogą, zauważyłem jedno: Kolejne ułatwienia w stosowaniu matematyki wymagają coraz większej jej znajomości. Opublikowanie książki nie jest możliwe bez zaufania okazanego przez wydaw- cę. Pani redaktor Dorocie Ostrowskiej-Furmanek dziękuję za okazane zaufanie. Książkę oddaję w Państwa ręce Bnin, 24.03.2013 2 Kalkulator mechaniczny z napędem ręcznym Wprowadzenie – implementacja języka WolframAlpha Każdą spójną logicznie metodę zapisu problemów matematycznych w jednym wierszu nazywamy językiem linearnym matematyki. Portal WolframAlpha jest przykładem cybernetycznego poligloty, gdyż można się z nim kontaktować we wszystkich powszechnie znanych językach linearnych matematyki. Każdy z tych języków dokonuje interpretacji w sposób określony przez jego reguły interpreta- cyjne zgodne z uniwersalnymi regułami matematyki. Portal WolframAlpha jest bardzo tolerancyjny, gdyż dopuszcza komunikaty zapisane w języku łamanym, składającym się ze słów pochodzących z różnych języków linearnych. Przy inter- pretacji takich poleceń kieruje się własnym zestawem reguł interpretacyjnych i czasami zgłasza gotowość rozwiązania zadania innego niż zadania rozwiązywa- ne przez osobę użytkującą ten portal. Jedynym sposobem ominięcia tych trudności jest posługiwanie się językiem o sprawdzonych interpretacjach. Przyswojenie takiego języka przebiega normalną drogą i zawsze zaczyna się od posługiwania się prostym językiem składającym się z niewielu słów. Później, w miarę pod- noszenia swoich kwalifikacji matematycznych i językowych, każdy użytkownik WolframAlpha może ten język wzbogacać o dalsze słowa i zwroty. Taka jest natu- ralna kolej rzeczy przy nauce każdego języka. Poniżej została przedstawiona propozycja takiego języka. Jest to język w swej składni nawiązujący do języka stosowanego w programie Mathematica® . Wybór ten jest uzasadniony przypuszczeniem, że kolejnym etapem po korzystaniu z por- talu WolframAlpha jest stosowanie programu Mathematica® . Tak też przypuszcza właściciel portalu WolframAlpha będący równocześnie producentem programu Mathematica® . Ewolucja stosowanego języka rozpoczyna się na ogół od prostych modyfikacji. Wprowadzając te modyfikacje, trzeba pamiętać między innymi, że: W zaproponowanym języku zastępowanie dużych liter przez małe w ogólnym przypadku jest niedopuszczalne. W ułamku dziesiętnym część całkowitą od części ułamkowej oddziela kropka. Z drugiej strony, w pełni dopuszczalne jest zastosowanie następującej modyfi- kacji. Nawiasy kwadratowe [ ] zawsze mogą zostać zastąpione przez okrągłe ( ) i odwrotnie. 5 Wprowadzenie – implementacja języka WolframAlpha Symbole określające poszczególne działania arytmetyczne na dowolnych licz- bach zostały przedstawione w tabeli W.1. W arytmetyce rozpowszechniony jest zwyczaj pomijania znaku mnożenia pomiędzy mnożonymi zmiennymi. Kultywo- wanie tego zwyczaju w przypadku portalu WolframAlpha prowadzi czasami do trudności z identyfikacją zapisu działań arytmetycznych. Wynika stąd kolejne ograniczenie dla zaproponowanego języka. Nigdy nie pomijamy znaku mnożenia *. W przypadku stosowania dowolnego języka linearnego obowiązują wspólne reguły arytmetyki liczb. Określają one w jednoznaczny sposób kolejność działań arytmetycznych. Kolejność wykonywania działań arytmetycznych: 1) obliczanie wartości funkcji, 2) działania w nawiasach, 3) podnoszenie do potęgi, 4) mnożenia i dzielenia jako działania równorzędne, 5) dodawania i odejmowania jako działania równorzędne. W przypadku wielokrotnych działań równoważnych opisanych w punktach 3) i 4) wykonuje je się w kolejności od lewej do prawej. Kolejność ta ma istotne znaczenie w przypadku, kiedy pojawiają się dzielenia. W przypadku wielokrotnego potęgowania potęgujemy w kolejności od prawej do lewej. Przykład W.1. Poniższe polecenia wykonujemy w następujący sposób: (Cos[Pi]+3)ˆ2+2*3*4 (cos π + 3)2 + 2 · 3 · 4 = (−1 + 3)2 + 6 · 4 = 22 + 24 = 4 + 24 = 28, 2ˆ3ˆ4 234 = 281 = 2417851639229258349412352, 10/5*2 10 : 5 · 2 = 2 · 2 = 4. 2 W poniższej tabeli przedstawiono wszystkie te symbole i polecenia, które znajdu- ją zastosowanie przy rozwiązywaniu problemów matematycznych opisanych w tej książce. W pewnych sytuacjach, ze względu na złożoność opisu, musieliśmy się jedynie odwołać do odpowiednich stron podręcznika. Każde polecenie zapisu- jemy w linii poleceń przedstawionych na rysunku W.1 i zatwierdzamy poprzez naciśnięcie przycisku . Rysunek W.1. 6 Wprowadzenie – implementacja języka WolframAlpha Symbol/komenda || Przykład p||q Asymptotes[F[x]] Asymptotes[1/x] całka oznaczona int F[x]dx from a to b Tabela W.1. Znaczenie alternatywa asymptoty arcus tangens całka nieoznaczona cosinus cotangens digraf dodawanie liczb dodawanie macierzy druga pochodna druga pochodna druga pochodna w punkcie dziedzina funkcji dzielenie liczb funkcja wykładnicza graf granica granica lewostronna granica lewostronna granica prawostronna granica prawostronna Iloczyn skalarowy1 implikacja koniunkcja liczba Neppera liczba pi Atan[x] int F[x]dx Cos[x] Cot[x] str. 60 + + Atan[1] int (2x+xˆ(1/2))/xˆ2dx int xˆ2*Log[x]dx from 1 to E Cos[Pi/2] Cot[Pi/3] a+b ({1,2},{3,4})+ ({5,6},{7,8}) D[D[F[x],x],x] D[D[xˆ2+5*x,x],x] (F[x])’’ (xˆ2+5*x)’’ D[D[F[x],x],x] for x=a D[D[F[x],x],x] for x=3 Domain[F[x] ] Domain[Sqrt[x]] / Exp[x] str. 56 limF[x],x- c limF[x],x- c- limF[x],x- Inf limF[x],x- c+ a/b Exp[4] limxˆ2,x- 3 limxˆ2,x- 3- limxˆ2,x- Inf limxˆ2,x- 3+ limF[x],x- -Inf limxˆ2,x- -Inf (1,2)*(2,4) p= q p q * = E Pi Interpretacja przykładu p ∨ q R 2x+ eR arctg 1 √ x x2 x2 ln x dx dx 1 cos π 2 ctg π 3 (cid:20) 1 2 (cid:21) (cid:20) 5 6 (cid:21) a + b + 7 8 3 4 (x2 + 5 · x)00 (x2 + 5 · x)00 F 00(3) a : b e4 x2 lim x→3 x→3− x2 lim x→∞ x2 lim x2 lim x→3+ x→−∞ x2 lim (1; 2) ◦ (3; 4) p =⇒ q p ∧ q e π liniowa niezależność Linearindependence[ ] Linearindependence [(1,2), (3,4)] logarytm naturalny Log[x] Log[12] ln 12 1 Miałem to szczęście, że matematyki nauczyli mnie lwowscy profesorowie. Tłumaczyli nam zawsze, że właściwym dla języka polskiego jest słowo „skalarowy”. 7 Wprowadzenie – implementacja języka WolframAlpha logarytm z dowolną podstawą Log[a,x] Log[2,12] macierz str. 101 ({1,2,3},{4,5,6}) macierz jednostkowa IdentityMatrix[n] IdentityMatrix[2] macierz odwrotna Inverse[A] Inverse({1,2},{3,4}) macierz transponowana Transpose[A] Transpose[({1,2,3}, {4,5,6})] maksimum globalne Max F[x] from a to b Max xˆ2 from 1 to 2 Rowreduce[A] Rowreduce [({1,2,3},{4,5,6})] Roots[F[x]] Roots[Sqrt[x]] Min F[x] from a to b Min xˆ2 from 1 to 2 = * * str. 102 ! Inf - Sqrt[x] D[F[x],x] (F[x])’ D[F[x,…,z],x] a b a =b a*b ({1,2},{3,4})* ({5,6},{7,8}) 2*({1,2,3}, {4,5,6}) !p a-b Sqrt[x+6] D[xˆ2+5*x],x] (xˆ2+5*x)’ D[x*z*y, x] D[D[F[x,…,z],x],y] D[D[x*z*y, x],z] D[F[x],x] for x=a D[F[x],x] for x=3 area between y=F[x],y=G[x],..y=H[x] area between y=2*x,y=xˆ2 metoda eliminacji Gaussa-Jordana miejsca zerowe funkcji minimum globalne „mniejsze niż” „mniejsze równe niż” mnożenie liczb mnożenie macierzy mnożenie macierzy przez liczbę negacja nieskończoność odejmowanie liczb pierwiastek kwadratowy pochodna pochodna pochodna cząstkowa pochodna cząstkowa II rzędu pochodna w punkcie pole pomiędzy krzywymi 8 4 5 6 log212 (cid:21) (cid:20) 1 2 3 (cid:20) 1 0 (cid:21) (cid:21)−1 (cid:20) 1 2 (cid:20) 1 2 3 (cid:21)T 0 1 3 4 4 5 6 max 1‹x‹2 x2 x2 min 1‹x‹2 a b a ‹ b a · b (cid:21) (cid:20) 5 6 (cid:20) 1 2 (cid:21) (cid:20) 1 2 3 (cid:21) 3 4 7 8 · 2 · 4 5 6 ¬p ∞ a − b √ x + 6 (x2 + 5 · x)0 (x2 + 5 · x)0 ∂x (x · y · z) ∂z∂x (x · y · z) ∂2 ∂ F 0(3) Wprowadzenie – implementacja języka WolframAlpha potęgowanie liczb „równa się” równoważność „różne” rząd macierzy silnia sinus szereg symbol Newtona tangens tautologia wartość bezwzględna wartość bieżąca wartość bieżąca netto wartość funkcji wartość przyszła wektor wewnętrzna stopa zwrotu „większe niż” „większe równe niż” wykres funkcji wykres funkcji w przedziale wyraz ciągu wyznacznik macierzy ˆ = = != Rank[A] Fact[n] Sin[x] aˆb a=b p = q a!=b Rank[({1,2,3}, {4,5,6})] Fact[5] Sin[Pi/2] Sum[a(n),{n,m}] Sum[nˆ2,{n,5}] Bin[n,k] Tan[x] Bin[10,2] Tan[Pi/4] TautologyQ[ ] TautologyQ[p= !p] Abs[x] present value net present value F[x] future value str. 106 internal rate of return Plot F[x] Abs[x] str. 309 str. 312 Sin[x] str.301 (1,2,3) str. 317 a b a b Plot xˆ3 ab a = b p ⇐⇒ q a 6= b 5! sin π 2 n2 5P (cid:0) 10 (cid:1) n=1 2 tg π 4 str. 13 |x| sin x (1, 2, 3)T a b a › b Plot F[x] from a to b Plot xˆ3 from -1 to 2 a(n) Det[A] a(12) Det({1,2},{3,4}) det (cid:18)(cid:20) 1 2 a12 (cid:21)(cid:19) 3 4 zbiór wartości funkcji Range[F[x]] Range[Sqrt[x]] Dalszych inspiracji do doskonalenia zaproponowanego języka należy szukać przede wszystkim w podręcznikach programu Mathematica® . Rozdział 1. Logika matematyczna 1.1. Podstawy logiki Stwierdzeniem w logice nazywamy dowolne zdanie twierdzące opisujące właści- wości dowolnych, zdefiniowanych uprzednio, obiektów. Wynika z tego, że żadna definicja nie jest stwierdzeniem. Szczególnym przypadkiem stwierdzeń są stwier- dzenia porównujące liczby i zmienne. Stwierdzenia te nazywamy porównaniami ilościowymi. Najczęściej stosowane porównania ilościowe zostały przedstawione w tabeli 1.1. Tam też przedstawiono implementację WOLFRAM i implementację EXCEL tych porównań. Implementacje kolejnych istotnych z punktu widzenia matematyki stwierdzeń będą podane tam, gdzie te stwierdzenia zostaną opisane. Tabela 1.1. Porównania ilościowe i ich implementacje programowe Porównanie WOLFRAM EXCEL a = b a 6= b a b a › b a b a ‹ b Objaśnienie a jest równe b a jest różne od b a jest większe od b a jest większe równe b a jest mniejsze od b a jest mniejsze równe b a==b a!=b a b a =b a b a =b a=b a b a b a =b a b a =b Przykład 1.1. W tabeli 1.2 przedstawiono przykłady stwierdzeń. W przypadku porów- nań ilościowych opisano tam także implementację. 2 Zdaniem w logice nazywamy każde stwierdzenie, o którym można orzec, czy jest prawdziwe, czy też fałszywe. Sposób rozstrzygnięcia o prawdziwości lub fałszywości zdania stanowi przedmiot rozważań filozofii. Pośród wyrażeń języka potocznego zdaniami mogą być jedynie zdania oznajmujące (np.: „Jan lubi banany”, „Warszawa jest stolicą Islandii”). Nie są zdaniami pytania, polecenia, prośby czy też wyrażenia ustalające pewne normy (np.: „Należy jeść banany”). Zdaniami nie są też prognozy (np.: „Jutro będzie padał deszcz”) oraz definicje (np.: „Tydzień kalendarzowy to kolejne dni od poniedziałku do niedzieli”). 10 Tabela 1.2. Przykłady stwierdzeń i ich implementacje Pozycja Stwierdzenie WOLFRAM EXCEL 1.1. Podstawy logiki a) b) c) d) e) f) 3 = 4 x + 3 6= 5 2 + 5 4 6 › 10 3 ∈ {1; 2; 3; 4} Warszawa jest stolicą Islandii 3==4 x+3!=5 2+5 4 6 =10 3=4 x+3 5 2+5 4 6 =10 Każdemu ze zdań prawdziwych przypisujemy wartość logiczną PRAWDA. Każdemu ze zdań fałszywych przypisujemy wartość logiczną FAŁSZ. W dalszych rozważaniach wartość PRAWDA oznaczać będziemy za pomocą symbolu T, a wartość FAŁSZ za pomocą symbolu F. W wielu polskich podręcznikach matematyki wartość PRAWDA jest oznaczana za pomocą symbolu 1, a wartość FAŁSZ za pomocą symbolu 0. Jest to podejście różniące się od współ- czesnych międzynarodowych standardów dydaktycznych. Logika WOLFRAM Tabela 1.3. Implementacja programowa wartości logicznych Wartość logiczna EXCEL* PRAWDA PRAWDA FAŁSZ FAŁSZ *W arkuszu EXCEL wartość logiczną wybranych zdań moż- na ustalić, stosując podstawienie =P, gdzie symbol P ozna- cza oceniane zdanie. True False T F Przykład 1.2. Stwierdzenie b) z przykładu 1.1 nie jest zdaniem. Pozostałe stwierdzenia są zdaniami. Zdania a), d) i f) są fałszywe, a więc przypisujemy im wartość logiczną F. Zdania c) i e) są zdaniami prawdziwymi, a więc przypisujemy im wartość logiczną T. W arkuszu kalkulacyjnym EXCEL wartość logiczną trzech pierwszych zdań można usta- lić, stosując odpowiednio podstawienia: =3=4 =2+5 4 =6 =10. 2 W logice podstawą do rozważań są zdania proste mające określoną wartość logiczną. W logice matematycznej poszczególne zdania proste oznaczać bę- dziemy małymi literami, np.: p, q, r, s itp. Poszczególne zdania proste mogą być przekształcone lub połączone za pomocą spójników logicznych. Sposób tego prze- kształcenia może zostać opisany przy użyciu definicji właściwej lub definicji F–T. Uzyskane w ten sposób zdania nazywamy zdaniami złożonymi. Definicje F–T są jedynie równoważnym formalnym zapisem właściwej definicji. Definicje F–T zostały podane w tabeli 1.4. 11
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

e-Matematyka wspomagająca ekonomię
Autor:
, ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: