Cyfroteka.pl

klikaj i czytaj online

Cyfro
Czytomierz
00301 005643 14856719 na godz. na dobę w sumie
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla gimnazjum. Klasa 1 - książka
Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla gimnazjum. Klasa 1 - książka
Autor: , , , Liczba stron: 272
Wydawca: Helion Edukacja Język publikacji: polski
ISBN: 978-83-246-3979-3 Data wydania:
Lektor:
Kategoria: ebooki >> komputery i informatyka >> podręczniki szkolne >> matematyka europejczyka
Porównaj ceny (książka, ebook, audiobook).

Numer dopuszczenia: 574/1/2012


Dobre wyniki z matematyki

Zwykło się mówić, że 'matematyk zrobi to lepiej'. Niezbędny jest mu jednak do tego podręcznik Matematyka Europejczyka. Pozwoli on zarówno uczniom, jak i nauczycielom, bezboleśnie przebrnąć przez geometrycznie zawiły labirynt funkcji, wykresów i wyrażeń algebraicznych. Składa się z dziesięciu rozdziałów zawierających zadania utrwalające, testowe oraz przygotowujące do egzaminu gimnazjalnego. Wszystkie rozdziały zostały dodatkowo uzupełnione o zadania egzaminacyjne z lat ubiegłych, czyli milowy Krok do egzaminu. Podręcznik zawiera także przydatny skorowidz, tabelę ze wzorami oraz odpowiedzi do większości zadań, które pomagają w samodzielnej nauce.

Kompletny zestaw Matematyka Europejczyka. Klasa 1 stanowi podręcznik, trzy zeszyty ćwiczeń oraz zbiór zadań. Został on dodatkowo wzbogacony o płytę multimedialną pełną ciekawych zadań interaktywnych, animacji, łamigłówek, ciekawostek oraz wiedzy teoretycznej przedstawionej w formie wykładów.

Zestaw podręczników, zbiorów zadań i zeszytów ćwiczeń z serii Matematyka Europejczyka wydawnictwa Helion pozwala uczniom zdobywać wiedzę poprzez zabawę, a nauczycielom ułatwia przekazywanie nowego materiału w interesujący i niebanalny sposób.

Matematyka Europejczyka - to się liczy!

Znajdź podobne książki Ostatnio czytane w tej kategorii

Darmowy fragment publikacji:

• Kup książkę • Poleć książkę • Oceń książkę • Księgarnia internetowa • Lubię to! » Nasza społeczność Spis treści Odautorek(s.7) 1. Statystyka (s. 9) 1.1. WędrówkipokrajachUniiEuropejskiej. Wyszukiwanieiwykorzystywanieinformacji(s.10)   Zadaniautrwalające(s.14) 2. Liczby (s. 19)  Systemdziesiętny(s.20)  Zadaniautrwalające(s.21)  Działanianaliczbachnaturalnych(s.22)  Zadaniautrwalające(s.24)  Podzielnośćliczb(s.25)  Zadaniautrwalające(s.29)  Działaniapisemne(s.29)  Zadaniautrwalające(s.30)  Rzymskisystemzapisywanialiczb(s.32)  Zadaniautrwalające(s.34) 2.1. Liczbynaturalne(s.20)           2.2. Liczbycałkowite(s.35)  2.3. Ułamkizwykłe(s.42)  2.4. Ułamkidziesiętne(s.46)  Zadaniautrwalające(s.49)  2.5. Działanianaliczbach(s.51)   Zadaniautrwalające(s.55) 2.6. Krokdoegzaminu(s.58)  Zadaniautrwalające(s.39)  Zadaniautrwalające(s.44) 3. Figury płaskie (s. 65)  Zadaniautrwalające(s.67) 3.1. Podstawowepojęciageometriipłaskiej(s.66)  3.2. Prostopadłośćirównoległośćprostych(s.68)  3.3. Kąty(s.73)   Zadaniautrwalające(s.72)  Zadaniautrwalające(s.75) Spistreści 3  Zadaniautrwalające(s.90)  Zadaniautrwalające(s.95)  Zadaniautrwalające(s.98)  Zadaniautrwalające(s.92)  Zadaniautrwalające(s.94)  Zadaniautrwalające(s.79)  Zadaniautrwalające(s.85) 3.4. Trójkąty(s.76)  3.5. Przystawanietrójkątów(s.81)  3.6. Czworokąty(s.87)  3.7. Wielokąty.Wielokątyforemne(s.91)  3.8. Zamianajednostekdługości(s.93)  3.9. Obwódwielokąta(s.95)  3.10.Powiększanieizmniejszaniewielokątów(s.97)  3.11.Jednostkipola(s.99)  3.12.Polatrójkątów(s.102)  3.13.Polaczworokątów(s.104)  3.14.Polawielokątów(s.110)  3.15.Krokdoegzaminu(s.113)  Zadaniautrwalające(s.111)  Zadaniautrwalające(s.100)  Zadaniautrwalające(s.107)  Zadaniautrwalające(s.103) 4. Prostokątny układ współrzędnych (s. 119) 4.1. Współrzędnepunktu(s.120)   Zadaniautrwalające(s.123) 4.2. Figurywukładziewspółrzędnych(s.126)  4.3. Krokdoegzaminu(s.129)  Zadaniautrwalające(s.127) 5. Wielkości proporcjonalne (s. 133)  Zadaniautrwalające(s.135) 5.1. Proporcje(s.134)  5.2. Wielkościwprostproporcjonalne(s.136)  5.3. Wielkościodwrotnieproporcjonalne(s.139)  5.4. Krokdoegzaminu(s.143)  Zadaniautrwalające(s.137)  Zadaniautrwalające(s.141) 4 Spistreści 6. Procenty (s. 149)  Zadaniautrwalające(s.155)  Zadaniautrwalające(s.153) 6.1. Procentzliczby(s.150)  6.2. Obliczanieliczbynapodstawiejejprocentu(s.155)  6.3. Jakimprocentemjednejliczbyjestdruga–wiadomościuzupełniające(s.156)  6.4. Obliczeniaprocentowe.Promil(s.158)  6.5. Krokdoegzaminu(s.162)  Zadaniautrwalające(s.160)  Zadaniautrwalające(s.157) 7. Potęga o wykładniku naturalnym (s. 167)  Zadaniautrwalające(s.171) 7.1. Potęgowanieliczb(s.168)  7.2. Mnożenieidzieleniepotęgotejsamejpodstawie(s.172)  7.3. Mnożenieidzieleniepotęgotymsamymwykładniku(s.176)  7.4. Krokdoegzaminu(s.178)  Zadaniautrwalające(s.174)  Zadaniautrwalające(s.177) 8. Wyrażenia algebraiczne (s. 183)  Zadaniautrwalające(s.185)  Zadaniautrwalające(s.188) 8.1. Budowaniewyrażeńalgebraicznych(s.184)  8.2. Jednomiany(s.187)  8.3. Porządkowaniesumalgebraicznych(s.189)  8.4. Mnożeniesumalgebraicznychprzezjednomian(s.192)  8.5. Dzieleniesumalgebraicznychprzezjednomian–treścinadobowiązkowe(s.195)  8.6. Mnożeniesumalgebraicznych(s.198)  8.7. Krokdoegzaminu(s.200)  Zadaniautrwalające(s.199)  Zadaniautrwalające(s.194)  Zadaniautrwalające(s.191)  Zadaniautrwalające(s.197) 9. Równania (s. 205) 9.1. Budowanierównań(s.206)   Zadaniautrwalające(s.207) Spistreści 5  Zadaniautrwalające(s.209)  Zadaniautrwalające(s.215) 9.2. Liczbyspełniającerównanie(s.209)  9.3. Jakrozwiązaćrównanie(s.210)  9.4. Zadaniatekstowe(s.217)  9.5. Przekształcaniewzorów(s.220)  9.6. Krokdoegzaminu(s.222)  Zadaniautrwalające(s.219)  Zadaniautrwalające(s.221) 10. Graniastosłupy (s. 229)  Zadaniautrwalające(s.234) 10.1.Własnościgraniastosłupów(s.230)  10.2.Polepowierzchnicałkowitejgraniastosłupa(s.236)  10.3.Objętośćgraniastosłupa(s.239)  10.4.Krokdoegzaminu(s.243)  Zadaniautrwalające(s.237)  Zadaniautrwalające(s.241) Odpowiedzi (s. 251) Wzory występujące w podręczniku (s. 264) Własności działań na liczbach (s. 264) Własności potęgowania (s 265) Skorowidz (s. 266) 6 Spistreści 5. WIELKOŚCI PROPORCJONALNE Zadania utrwalające (s. 135) Zadania utrwalające (s. 137) 5.1. Proporcje (s. 134) 5.2. Wielkości wprost proporcjonalne (s. 136) 5.3. Wielkości odwrotnie proporcjonalne (s. 139) 5.4. Krok do egzaminu (s. 143) Zadania utrwalające (s. 141) Y zbiór zadań N O K I zeszyt ćwiczeń zadanie trudniejsze kalkulator 133 5.1. Proporcje Za cztery gałki lodów zapłaciłem 12 zł. Gdybym chciał kupić osiem gałek lodów, to ile bym zapłacił? Jeżeli kupiłeś cztery gałki i zapłaciłeś 12 zł, to znaczy, że jedna gałka kosztuje 3 zł. Wobec tego za osiem gałek lodów zapłacisz 24 zł. Znam inny sposób. Można wykorzystać proporcję, czyli równość dwóch ilorazów: , gdzie x to kwota, jaką zapłacisz za osiem gałek. Z tego zapisu wynika, że skoro mianownik zwiększył się dwukrotnie, to licznik też musi zwiększyć się dwukrotnie, czyli 12 · 2 = 24. Postępuję jak przy rozszerzaniu ułamków. = a b Proporcja to wyrażenie o postaci: c a : b = c : d d przy czym b, d są różne od zera. W proporcji równość dwóch ilorazów można zastąpić równością dwóch iloczynów. a ∙ d = b ∙ c Mówimy, że iloczyn wyrazów skrajnych (a i d) jest równy iloczynowi wyrazów środkowych (b i c). Przykład 5.1. Ile zapłacisz za 4 kilogramy jabłek, jeżeli kilogram jabłek kosztuje 2 zł? Z treści zadania wynika: 1 kg kosztuje 2 zł 4 kg kosztują x zł 2= 1 x 4 1, x — wyrazy skrajne 2, 4 — wyrazy środkowe Ponieważ iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, otrzymujemy wyrażenie: 1 ∙ x = 2 ∙ 4 x = 8 Wynika stąd, że za 4 kg jabłek zapłacę 8 zł. 134 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne Przykład 5.2. Ostatnie wakacje spędziłem u cioci w Berlinie. Z Warszawy do Ber- lina jest około 600 km. Jak długo trwała podróż z Warszawy do Berlina, jeżeli je- chaliśmy ze średnią prędkością 75 km/h? W ciągu 1 godziny samochód przejeżdża 75 km. Ile przejedzie w ciągu 2 godzin? 75 km + 75 km = 150 km Jak policzyć, ile samochód przejedzie w ciągu 3 godzin? 75 km + 75 km + 75 km = 225 km Jak policzyć, ile samochód przejedzie w ciągu 6 godzin? 75 km + 75 km + 75 km + 75 km + 75 km + 75 km = 450 km Ile zostało jeszcze do przejechania? 600 km − 450 km = 150 km, a 150 km samochód przejedzie w ciągu 2 godzin. Zatem 600 km samochód przejedzie w ciągu 8 godzin. To zadanie można także rozwiązać, stosując własności proporcji: 75x = 600 x = 600 : 75 x = 8 Podróż trwała 8 godzin. Zadania utrwalające 1 Znajdź brakujący wyraz proporcji. a. x 8 3 = 4 b. 5 7 35= x 2 Wyznacz brakujący wyraz proporcji. a. x 4 = , 1 5 5 b. 1 6 , = 4 2 x 3 Oblicz brakujący wyraz proporcji. a. 11 2 : := x 5 b. 5 2 7 4 2 3 5 = , : , d. 12 x = 96 104 c. 1 2 = x 32 c. 6 0 12 , = x 8 : x c. x : 2 2 9 = 4 1 2 : 2 2 9 4 Jeden bochenek chleba kosztuje 2,50 zł. Ile zapłacisz za 6 takich bochenków chleba? W rozwiązaniu zastosuj proporcję. 5 Za 3 kg jabłek zapłaciliśmy 4,80 zł. Ile zapłacimy za 8 kg takich jabłek? 6 Pani Ela wydała 180 zł na zakup 25 jednakowych podręczników. Ile takich sa- mych podręczników mogłaby kupić pani Ela za 720 zł? Rozwiąż to zadanie, stosując odpowiednią proporcję. 5.1. Proporcje 135 7 W 36 pudełkach znajduje się 4,5 kg cukierków. Ile kilogramów cukierków znaj- duje się w 24 takich pudełkach? 8 Za 30 dag cukierków zapłacono 6 zł. Ile trzeba zapłacić za 3 kg takich samych cu- kierków? 9 Aby przygotować sok pomarańczowy, należy zmieszać syrop i wodę w proporcji 1 : 2. 10 W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi 5 : 4. Ilu chłopców jest w tej klasie, jeżeli jest w niej 15 dziewcząt? Jeżeli potrafi sz, podaj dwa różne sposoby rozwiązania tego zadania. a. Ile wody znajduje się w 3 l soku? b. Ile syropu potrzeba do sporządzenia 450 ml soku? c. Ile wody należy zmieszać z 250 ml syropu? 5.2. Wielkości wprost proporcjonalne Upieczemy babeczki na kiermasz szkolny. Mam od babci świetny przepis. To jest przepis na 16 babeczek, a my musimy upiec ich dużo więcej! Jakie ilości poszczególnych składników musimy kupić, aby upiec 80 babeczek? Babeczki (16 sztuk) Składniki: 200 g masła 200 g cukru 3 jajka 200 g mąki pół łyżeczki proszku do pieczenia cukier wanilinowy Na 16 babeczek potrzebujemy 200 g mąki, to na 80 sztuk zużyjemy 1000 g, bo 80 to pięć razy więcej niż 16, zatem 200 5 1000 ⋅ = . Ile potrzebujemy jajek, cukru i masła? Proporcjonalnie więcej niż w przepisie babci. Proporcjonalnie to znaczy tyle samo razy. Jeżeli chcemy upiec pięć razy więcej ba- beczek, to musimy przygotować pięć razy więcej każdego ze składników. Przygotujmy: 15 jajek, 1000 g masła i 1000 g cukru, a także dwie i pół łyżeczki proszku do pieczenia oraz 5 opakowań cukru wanilinowego. 136 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne Ile produktów należałoby przygotować, aby upiec 560 takich babeczek — po jednej dla każdego ucznia naszej szkoły? Policzmy ilość potrzebnych produktów, korzystając z proporcji. Proporcja pozwalająca obliczyć potrzebną ilość masła, mąki i cukru wygląda na- stępująco: 16 200 = 560 m ⋅ : g ⋅ = m 560 200 ⋅ = m 112 000 = 112 000 16 = 7000 Korzystając z własności proporcji, otrzymujemy: 16 16 m m Musimy przygotować po 7 kg tych produktów, a ilości pozostałych należy w odpo- wiedni sposób obliczyć. Wielkościami wprost proporcjonalnymi nazywamy dwie wielkości a i b zmienia- jące się w taki sposób, że wzrost lub zmniejszanie się jednej powoduje wzrost lub zmniejszanie się drugiej tyle samo razy. Iloraz wielkości a i b jest stały. Zadania utrwalające 1 Czy podane wielkości są wprost proporcjonalne? Odpowiedź uzasadnij. a. Długość drogi przebytej przez samochód jadący ze stałą prędkością i czas przejazdu. b. Długość boku wielokąta foremnego i jego obwód. c. Czas przejazdu pociągu z Gdyni do Wrocławia i jego średnia prędkość. d. Wiek człowieka i jego wzrost. 2 Czy wielkości podane w tabelce są wprost proporcjonalne? 7 21 3 Wielkości a i b oraz c i d są proporcjonalne. Uzupełnij tabelkę. 10 45 5 22,5 13 40 4 12 b. a. 2 9 c d c d a b a b 5 3 240 8 8 5 18 36 a. 4 Samochód jedzie ze stałą prędkością 60 km/h. Jaką drogę przejedzie ten samo- chód w ciągu: b. a. 2 godzin b. 5 godzin c. 1 2 godziny d. 1,5 godziny 5.2. Wielkości wprost proporcjonalne 137 5 Ola zakupiła maszynę do pieczenia chleba. Najczęściej piecze chleb jasny. Oto przepis: 320 ml wody 20 g masła 1,5 łyżeczki soli 1,5 łyżeczki cukru 600 g mąki pszennej 1 kostka drożdży 1 jajko a. Przerysuj tabelę do zeszytu i uzupełnij ją zgodnie z podanym przepisem: objętość wody [ml] masa mąki [kg] masa masła [g] 960 1,5 10 b. Jedna łyżeczka zawiera około 2 g soli. Oblicz, ile mąki zużyto do wypieku chleba zgodnie z podanym przepisem, jeżeli zużyto 0,6 kg soli. 6 Kasia pomaga mamie przy robieniu przetwo- rów. Najbardziej lubi sałatkę szwedzką. a. Ile cukru należy przygotować do zaprawie- b. Do jakiej ilości ogórków trzeba przygoto- c. Jeżeli dla pewnej ilości ogórków zalewa za- wiera 3 szklanki oleju, to ile jest w tej zale- wie soli? nia 8 kg ogórków? wać 10 łyżek soli? Składniki sałatki szwedzkiej: 4 kg obranych ogórków gruntowych 6 zą bków czosnku (przeciśniętego  przez praskę) 1 szklanka cukru 1 niepełna szklanka octu 10   1 szklanka oleju 4 łyżki soli d. Ile należy dodać ząbków czosnku, jeżeli chcemy zaprawić 10 kg ogórków? 7 Samochód jadący z Poznania do Turynu porusza się ze średnią prędkością 90 km/h. a. Jaką drogę pokonał samochód po upływie 3 godzin? b. Ile czasu trwać będzie podróż, jeżeli do pokonania jest około 1400 km? c. Ile kosztować będzie podróż, jeżeli samochód spala 6 l na 100 km, a litr benzyny kosztuje 5,40 zł? 8 W hurtowni 1 kg jabłek kosztuje 1,80 zł. a. Oblicz, ile kosztuje 26 kg, a ile 1200 kg tych jabłek. b. Ile kilogramów jabłek można kupić za 100 zł, a ile za 10 000 zł? 138 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne 9 Łyżeczka cukru waży 5 g. Małgosia do jednego kubka herbaty dodaje dwie ły- żeczki cukru. a. Na ile kubków herbaty wystarczy Małgosi 0,5 kg cukru? b. Ile cukru potrzebuje Małgosia do słodzenia herbaty w kwietniu, jeśli dziennie wypija trzy kubki herbaty? b. Zamień na metry: 140 yd, 490 yd. 10 35 yd (jardów) to około 32 metry. a. Zamień na jardy: 320 m, 2 km. 11 Bartek zauważył, że jego szwajcarski zegarek spóźnia się 2 sekundy w ciągu 2 godzin. Po ilu godzinach spóźnienie będzie wynosiło 2 minuty? 12 Pompa odwadniająca poldery w Holandii w ciągu 5 mi- nut pompuje do kanału 450 litrów wody. Jak długo musi ona pracować, żeby przepompować 12 600 litrów wody? 13 Aby otrzymać 5 kg mąki, potrzeba 7 kg pszenicy. a. Jaką ilość mąki otrzymuje się z 280 kg pszenicy? b. Ile pszenicy potrzeba, by otrzymać 75 kg mąki? Polder to osuszony de- presyjny (położony poni- żej poziomu morza) teren przymorski lub nadrzeczny, odgrodzony wałami zabezpie- czającymi przed zalaniem. 5.3. Wielkości odwrotnie proporcjonalne Z biura turystycznego otrzymaliśmy ofertę dotyczącą przewozu naszej grupy do Barcelony. Cena przejazdu w obie strony to 180 euro od osoby, pod warunkiem że pojedzie grupa złożona z 50 osób. Jaka będzie cena, gdy grupa będzie mniej liczna? Koszt wynajmu autokaru to 9000 euro (180 ⋅ 50 = 9000). Zatem jeżeli pojedzie nas mniej, to cena będzie odpowiednio wyższa. Policzmy. Gdy będzie jechało 40 osób, to 9 A gdy pojedzie 30 osób, to 9 3 00 zapłaci za przewóz 300 euro. Dane umieszczam w tabelce. , czyli każdy zapłaci 225 euro. 000 , co oznacza, że każdy uczestnik wycieczki 000 225 4 0: = : 3 0 = Liczba uczestników Cena przejazdu 50 180 € 40 225 € 30 300 € 5.3. Wielkości odwrotnie proporcjonalne 139 Im więcej będzie uczestników, tym niższa będzie kwota, jaką zapłaci każdy z nich za przejazd. Takie wielkości, których iloczyn jest stały, noszą nazwę wielkości odwrotnie proporcjonalnych. Zatem liczba uczestników i kwota za przejazd są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi nazywamy dwie wielkości zmienia- jące się w taki sposób, że wzrost jednej powoduje zmniejszenie się drugiej tyle samo razy lub zmniejszanie się jednej powoduje wzrost drugiej tyle samo razy. Iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały. Pamiętasz, jak wczoraj drukowaliśmy gazetkę szkolną? Zajęło nam to 30 minut. Gdybyśmy mieli do dyspozycji jeszcze jedną taką samą drukarkę, drukowanie zajęłoby nam 15 minut. Czy gdyby były trzy takie same drukarki, to pracowałyby tylko 10 minut? Tak, ponieważ gdy jedna z wielkości rośnie (liczba drukarek), druga (czas drukowania) maleje tyle samo razy. Przykład 5.3. Wiedząc, że wielkości x oraz y są odwrotnie proporcjonalne, uzu- pełnij tabelkę. x y 4 15 12 2,4 6 Wielkości x oraz y są odwrotnie proporcjonalne, zatem ich iloczyny są stałe. = ⋅ 4 15 60 ⋅ = y 12 60 = y : 60 12 = y 5 = ⋅ 4 15 60 ⋅ = x 6 60 = x 60 6 : = x 10 12 4 15 5 10 6 = ⋅ 4 15 60 ⋅ = y 2 4 , 60 = y 60 2 4 : , = y 25 2,4 25 x y Przykład 5.4. W schronisku dla zwierząt zapas karmy wystarczy na 18 dni dla 15 kotów. Na ile dni wystarczyłoby karmy, gdyby w schronisku było 27 kotów, a dzienne porcje pozostałyby bez zmian? 140 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne Zapiszmy informacje w tabelce: Liczba kotów Liczba dni 15 18 27 ? Im więcej będzie kotów, tym szybciej skończy się karma, co oznacza, że wielkości te są odwrotnie proporcjonalne i ich iloczyn jest stały. 18 15 270 — liczba porcji dla 15 kotów na 18 dni 270 27 10 = — liczba dni, na które starczy 270 porcji dla 27 kotów = : ⋅ Przykład 5.5. Ciężarówka jadąca ze średnią prędkością 60 km/h przebywa pewną drogę w czasie 5,5 godziny. W jakim czasie przejedzie tę samą drogę samochód oso- bowy jadący ze średnią prędkością 75 km/h? Oba pojazdy pokonują tę samą drogę. Droga jest iloczynem prędkości i czasu. Pręd- kość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Niech x oznacza czas potrzebny do przejechania tej drogi przez samochód osobowy. 60 5 5 75 x Samochód osobowy pokona tę drogę w czasie 4,4 godziny, czyli 4 godzin i 24 minut. , 4 4 , ⋅ = = x ⋅ Zadania utrwalające 1 Czy podane wielkości są odwrotnie proporcjonalne? Odpowiedź uzasadnij. 2 Czy wielkości podane w tabelce są odwrotnie proporcjonalne? a. Czas przejazdu samochodu i jego prędkość. b. Długość boku wielokąta foremnego i jego pole. c. Liczba robotników i czas wykopania 1 km rowu. a b a b 6 2,5 80 3 5 12 20 7 2 5 c d c d 4 9 6 18 2 4,5 8 8 60 96 a. 3 Wielkości a i b oraz c i d są odwrotnie proporcjonalne. Uzupełnij tabelkę. b. a. 4 Pole prostokąta, którego jeden z boków ma długość 9 cm, jest równe polu prosto- kąta o wymiarach 13,5 cm × 8 cm. a. Oblicz długość drugiego boku prostokąta. b. Zaproponuj trzy inne prostokąty o tym samym polu, których długości boków b. wyrażają się liczbami całkowitymi. 5.3. Wielkości odwrotnie proporcjonalne 141 5 Sok rozlano do osiemnastu butelek, każdej o pojemności 0,5 litra. Do ilu butelek o pojemności 0,75 litra można przelać ten sok? 6 Na klasową zabawę walentynkową przygotowano po 2 ciastka dla każdego z dwudziestu siedmiu uczniów. W zabawie uczestniczyło tylko 18 uczniów. Po ile ciastek otrzymał każdy z nich? 7 Romek miał pomalować płot razem z trzema kolegami. Planowali wykonać tę pracę w ciągu 1,5 godziny. Jeden z kolegów nie przyszedł. O ile dłużej chłopcy malowali płot? 8 Basen w kształcie prostopadło- ścianu o wymiarach podanych na ry- sunku napełniany jest wodą płynącą z kranu z prędkością 125 litrów na minutę. Ile czasu potrzeba, aby napeł- nić basen wodą płynącą z hydrantu z prędkością 4 razy większą niż pręd- kość wody z kranu? 9 Dziesięciu robotników układa kostkę brukową na rynku w Wektorowie. Praca ta zajmie im 12 dni. W ciągu ilu dni wykonałoby tę samą pracę 15 robotników? 10 W czasie wakacji siedmiu malarzy pomalowało elewację szkoły w ciągu 15 dni roboczych. Ile czasu wykonywaliby tę samą pracę, gdyby było ich o czterech mniej? 11 Czterech monterów zarobiło po 1800 zł, wymieniając instalację gazową. Ile zaro- biłby każdy monter, jeżeli tę samą pracę wykonałaby dziewięcioosobowa ekipa? 1,2 m 25 m 12 m Zadania do rozwiązywania w grupie 1 Pewną pracę wykonało 12 robotników w czasie x dni. Ilu robotników należałoby jeszcze zatrudnić, aby praca została wykonana o 6 dni wcześniej? Czy zadanie ma tylko jedno rozwiązanie? Zaprezentujcie swoje pomysły. 2 Agata i Paweł są rodzeństwem. Agata sprząta mieszkanie w czasie 4 godzin, a Paweł sprząta to samo mieszkanie w czasie 5 godzin. a) Jak długo będą sprzątać to mieszkanie wspólnie? b) W jakim czasie musiałby sprzątać Paweł, aby wspólne sprzątanie zajęło jemu i siostrze mniej niż półtorej godziny? Przedstawcie strategię rozwiązania obu problemów. 3 12 szkutników, pracując dziennie po 6 godzin, zbudowało łódź w ciągu 20 dni. Zapłata za wykonaną pracę wynosi 9600 zł. 142 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne a. W ciągu ilu dni tę łódź zbudowałoby 18 szkutników pracujących po 8 godzin dziennie? Ile zarobiłby każdy z nich? b. Ile godzin dziennie musiałoby pracować 4 szkutników, aby zbudować łódź w ciągu 36 dni? c. Ilu szkutników wykona tę łódź w ciągu 24 dni, pracując po 10 godzin dziennie? d. Ile łodzi wykonałoby 9 szkutników, pracując przez 60 dni po 8 godzin dziennie? Ile zarobiłby każdy z nich? 5.4. Krok do egzaminu Zadania powtórzeniowe 1 Sprawdź, czy wielkości przedstawione w tabeli są wprost proporcjonalne. 11 44 2 Sprawdź, czy wielkości przedstawione w tabeli są odwrotnie proporcjonalne. 10 21 3,5 7,35 4 8,4 7 16 3 12 a b c g b. a. d w 6 72 9 72 12 72 a. 3 Podaj brakujący wyraz proporcji. t u 6 54 1,5 216 2,4 135 b. 1 4 ,= 7 c. x 1 4 , 5 4 7 f. x : a. x 6 d. 9 10 2 = 9 = x 7 60 104 = b. 15 x e. 3 9 10 : : = x = 1 56 10 , 5 2 8 : 35 4 W racji żywnościowej mężczyzny o wartości energetycznej 3200 kcal energia wynikająca ze spożycia tłuszczów powinna stanowić 0,3 racji. Oblicz, ile gramów tłuszczu powinien zjeść ten mężczyzna, jeśli 1 gram tłuszczu ma 9 kilokalorii? Wynik podaj z dokładnością do 1 g. 5 Odległość między Brukselą a Wenecją na mapie sporządzonej w skali 1 : 13 000 000 wy- nosi 10 cm. Jaka jest odległość rzeczywista między tymi miastami? 6 Jeżeli sekretarka przepisuje 12 stron tekstu w ciągu 72 minut, to ile czasu zajmie jej przepisanie 21 stron? 7 Leśnik, zakładając szkółkę, posadził 30-centymetrowe sosenki. Po upływie czterech lat osiągnęły one wysokość 120 cm. Jaką wysokość będą miały te sosny po 9 latach, jeżeli założymy, że roczny wzrost jest wielkością stałą? 5.4. Krok do egzaminu 143 8 Pięć dziewczynek przez 2 godziny wycinało kolorowe cyferki do dekoracji sali gimna- stycznej na święto matematyki. Ile czasu cyferki te wycinałoby osiem dziewczynek? 9 Mama robi powidła śliwkowe. Jeżeli powidła włoży do słoików o pojemności 0,8 litra, to będzie ich 24. Ile potrzebowałaby słoików o pojemności 0,3 litra, aby zmieścić w nich przygo- towane powidła? 10 Pięć drukarek laserowych drukowało ulotki reklamowe w czasie 1,5 godziny. Ile czasu drukowałoby te ulotki dwanaście takich samych drukarek? 11 Dwudziestu ośmiu robotników, pracując dziennie po 8 godzin, zbudowało dom w ciągu 225 dni. a. W ciągu ilu dni ten sam dom zbudowałoby 35 robotników pracujących po 7,5 godziny dziennie? 250 dni? b. Ile godzin dziennie musiałoby pracować 24 robotników, aby zbudować dom w ciągu c. Ilu robotników zbuduje ten dom w ciągu 32 dni, pracując po 7 godzin dziennie? Zadania z egzaminów 1 Ewa i Karol siedzą na huśtawce, która znajduje się w równowadze. Odległości dzieci od miejsca podparcia huśtawki podano na rysunku. Jeśli Ewa ma masę 25 kg, to masa Karola wynosi1: A. 45 kg C. 60 kg 2 Tabela przedstawia ceny kart wstępu na pływalnię. Czas pływania uwzględnia liczbę wejść oraz czas jednego pobytu na basenie. B. 50 kg D. 65 kg Numer karty Czas pływania Cena karty I 10 × 1 godz. 50 zł II 8 × 1,5 godz. 50 zł III 20 × 1 godz. 80 zł IV 15 × 1 godz. 70 zł B. II C. III Godzina pływania jest najtańsza przy zakupie karty 2: A. I 3 Most zbudowany jest z przęseł o długości 10 m każde. Przęsło pod wpływem wzrostu tem- peratury wydłuża się. Przyrost tego wydłużenia jest wprost proporcjonalny do przyrostu tem- peratury. Wartości przyrostu długości przęsła dla wybranych wartości przyrostu temperatury przedstawia poniższa tabela. Wpisz do tabeli brakującą wartość przyrostu długości przęsła3. przyrost temperatury Δt (°C) przyrost długości przęsła Δl (mm) D. IV 10 30 45 1 4,5 0 0 1 Egzamin, 2004. 2 Egzamin, 2004. 3 Egzamin, 2005 144 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne Piasek (kg) Wapno (kg) Cement (kg) 4 Aby przygotować suchą zaprawę do tynkowania ścian, należy zmieszać piasek, wapno i cement odpowiednio w stosunku 15 : 4 : 1. W którym wierszu tabeli podane są właściwe ilości składników potrzeb- nych do otrzymania 140 kg takiej zaprawy?4 A. I B. II C. III D. IV Informacje do zadań 5., 6. i 7.5 W tabeli przedstawiono średnie zużycie energii przez organizm zawodnika podczas uprawia- nia wybranych dyscyplin sportowych. Przyjmij, że zużycie energii jest wprost proporcjonalne do czasu treningu. 101 109 105 105 I  II III IV 32 24 28 56 8 7 7 14 Dyscyplina sportowa Siatkówka Pływanie Aerobik Piłka nożna Kolarstwo Czas treningu w minutach Średnie zużycie energii w kilokaloriach (kcal) 120 60 30 90 45 700 600 250 1050 450 C. 700 kcal B. 600 kcal B. pływanie 5 Ile energii zużywa organizm zawodnika podczas trwającego 1,5 godziny treningu siat- kówki? A. 525 kcal D. 1050 kcal 6 Organizm zawodnika podczas trwającego 60 minut treningu zużył 500 kcal. Którą dyscyplinę sportową trenował zawodnik? A. piłkę nożną 7 Podczas treningu piłki nożnej organizm zawodnika zużył 1400 kcal. Ile godzin trwał ten trening? A. 1,5 8 Wykres przedstawia zależność przebytej przez zawodnika drogi od czasu biegu. Jaką drogę przebywał zawodnik w ciągu każdej se- kundy? 6 A. 10 m C. 40 m B. 20 m D. 100 m C. kolarstwo D. aerobik C. 2,5 s (m) 100 80 60 B. 2 D. 3 4 Egzamin, 2006. 5 Egzamin, 2009 6 Egzamin, 2009 40 20 0 2 4 6 8 10 t (s) 5.4. Krok do egzaminu 145 masa czekolady na osobę [dag] 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 9 Przyjaciele kupili tabliczkę czekolady o masie 20 dag i postanowili podzielić ją między siebie, łamiąc ją na równe kawałki. Wykres przedstawia zależność między masą czekolady (y) przypadającą na każdą z osób a liczbą osób (x) dzielących tabliczkę czekolady. Jaką masę miałby jeden kawałek czekolady, gdyby tabliczkę podzielono między 8 osób?7 A. 20 dag C. 2,5 dag 10 Jedna duża sosna produkuje w ciągu doby 14,4 m3 tlenu. Człowiek zużywa 0,2 m3 tlenu na godzinę. Na ile godzin wy- starczy człowiekowi tlenu wytworzonego przez sosnę w ciągu doby?8 A. 2,88 11 Rodzina Adama podróżowała samochodem 8 godzin i pokonała w tym czasie 520 km drogi. a. Jaka jest wartość prędkości tego samochodu B. 4 dag D. 2 dag B. 7,20 wyrażona w kilometrach na godzinę? b. Uzupełnij tabelę dotyczącą podróży rodziny 0 1 2 3 4 5 liczba osób C. 28,80 D. 72 Czas [h] Droga [km] 162,5 3 325 7 Adama, przyjmując, że samochód poruszał się ruchem jednostajnym9. wynika równość: TEST − x 27= 1 Z proporcji 9 x 18 A. 9 ∙ 18 = x ∙ (27 − x) C. 9 ∙ x = 18 ∙ (27 − x) 2 Nieznany wyraz proporcji 4 3 5 , A. 0,07 B. 0,7 B. 9 ∙ (27 − x) = 18 ∙ x D. 9 ∙ x = x ∙ (27 − x) 0 8 ,= x jest równy: C. 0,9 D. 17,5 3 Wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi są: A. długość boku kwadratu i jego obwód; C. ilość zakupionego towaru i koszt zakupu; D. długości boków trójkąta i suma miar B. prędkość jazdy i czas przejazdu; jego kątów wewnętrznych. 7 Egzamin, 2009. 8 Egzamin próbny, Gdańsk 2002. 9 Informator. 146 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne D. 1 h B. 84 zł C. 15,50 zł D. 31,92 zł B. 35 minut C. 0,25 h B. 4 kosiarki C. 6 kosiarek D. 3 kosiarki B. 6 cukierków C. 8 cukierków D. 12 cukierków 4 Jeżeli za 7 soków pomarańczowych zapłacono 26,60 zł, to 12 takich soków kosztuje: A. 45,60 zł 5 Jeżeli pomiędzy sześcioro dzieci rozdzielimy cukierki, to każde z nich otrzyma po osiem cukierków. Jeżeli tę samą liczbę cukierków podzielimy pomiędzy czworo dzieci, to każde otrzyma: A. 4 cukierki 6 Samochód jadący na trasie wyścigu Paryż – Dakar porusza się ze średnią prędkoś- cią 132 km/h. Na pokonanie 55 km rajdowiec potrzebuje: A. 25 minut 7 Dwie kosiarki koszą trawę na skwerze w czasie 6 godzin. Ile kosiarek potrzeba, aby trawę na tym skwerze skosić w czasie 4 godzin? A. 12 kosiarek 8 Pociąg TGW jadący na trasie Paryż – Monachium porusza się z prędkością 135 km/h. Podróż trwa 6 godzin. Aby czas podróży został skrócony do 4 godzin, po- ciąg powinien poruszać się z prędkością: D. 200 km/h A. 90 km/h B. 202,5 km/h 9 Rozcieńczamy sok malinowy, mieszając go z wodą w stosunku 1 : 4. Aby otrzymać 2 litry napoju, musimy zużyć: D. 1,5 litra wody A. 0,5 litra soku 10 Paulina i Adam dostali od dziadków 240 zł. W jakim stosunku podzielili między siebie te pieniądze, jeżeli jedno z nich otrzymało 90 zł? A. 3 : 5 11 W 200 g roztworu jest 20 g soli. Ile wody potrzeba do przygotowania 5 kg takiej samej so- lanki? 12 Klasa IIG chciała jechać na trzydniowy biwak i z zebranych pieniędzy przeznaczyła 1080 zł na wyżywienie. O ile zmalałaby dzienna stawka żywieniowa dla grupy, gdyby pobyt wydłużono do pięciu dni? 13 Skuter wodny w ciągu 80 minut jazdy zużywa 3,2 litra benzyny. Ile benzyny zużyje w ciągu 2,5 godziny jazdy? C. 0,4 litra soku B. 2 litry wody C. 25 m/s B. 4 : 8 C. 1 : 2 D. 2 : 3 5.4. Krok do egzaminu 147 148 Rozdział 5. Wielkości proporcjonalne Skorowidz A algebra, 184 ar, 99 arabski system zapisywania liczb, 33 B Brahmagupta, 35 Bürgi, Jost, 46 C cechy podzielności, 27 cechy przystawania trójkątów, 82 cyfry babilońskie, 32 dziesiątek, 20 jedności, 20 rzymskie, 33 setek, 20 czworokąty, 87 podział, 87 pole, 104 przekątne, 88 suma miar kątów wewnętrznych, 87 wklęsłe, 87 właściwości, 89 wypukłe, 87 czynnik, 22 D deltoid, 89 pole, 104 depresja, 40 Descartes, René, 122 długość, jednostki, 93 dodawanie, 22 działania liczb całkowitych, 36 pisemne, 29 ułamków dziesiętnych, 47 ułamków zwykłych, 43 dodawanie, 22, 29, 36 dzielenie, 22, 30, 37 kolejność obliczeń, 23, 24 liczby całkowite, 36 liczby naturalne, 22 mnożenie, 22, 30, 37 odejmowanie, 22, 30, 36 pisemne, 29 ułamki dziesiętne, 47, 48 ułamki zwykłe, 43, 44 dzielenie, 22 liczb całkowitych, 37 pisemne, 30 potęg o tej samej podstawie, 172, 173, 265 potęg o tym samym wykładniku, 176, 265 ułamków dziesiętnych, 48 ułamków zwykłych, 44 dzielna, 22 dzielnik, 22 dziesiątkowy system pozycyjny, 20 E Eratostenes, 26 Euklides, 67 Euler, Leonhard, 233, 234 G gęstość dróg, 16 graniastosłupy, 230, 231 objętość, 239, 240, 264 pochyłe, 232 pole powierzchni, 236, 237, 264 prawidłowe, 232 proste, 231, 232, 233 wysokość, 232 H hektar, 99 I iloczyn, 22 iloraz, 22 informacje, wyszukiwanie, 10 J jednomiany, 187, 188 podobne, 189 K Kartezjusz, 122 kąty, 73 naprzemianległe, 74, 75 odpowiadające, 74, 75 ostre, 73 pełne, 73 półpełne, 73 proste, 73 przyległe, 74 przystające, 81 rozwarte, 73 266 Skorowidz wierzchołkowe, 74 wklęsłe, 73 zerowe, 73 konstrukcja prosta prostopadła, 70 prosta równoległa, 68, 69 trójkąt o bokach a, b i kącie α, 83 trójkąt o bokach długości a, b, c, 82 trójkąt o boku a i kątach α i β, 84 kreska ułamkowa, 42 kwadrat, 89 jednostkowy, 99 obwód, 95 pole, 104, 264 L liczby obliczanie na podstawie procentu, 155 odwrotne względem siebie, 44 pierwsze, 25 podzielność, 25 potęgowanie, 168 ujemne, 35 wielokrotności, 26 własności działań, 264 zaokrąglanie, 52, 53 złożone, 25 liczby całkowite, 35, 36 działania, 36 liczby naturalne, 20 działania, 22 licznik, 42 Ł łączność, 22, 264 M Magini, Giovanni Antonio, 46 mianownik, 42 mila angielska, 94 mila morska, 94 mnożenie, 22 liczb całkowitych, 37 pisemne, 30 potęg o tej samej podstawie, 172, 173, 265 potęg o tym samym wykładniku, 176, 265 ułamków dziesiętnych, 47 ułamków zwykłych, 43 N najmniejsza wspólna wielokrotność, 28 największy wspólny dzielnik, 28 NWD, Patrz największy wspólny dzielnik NWW, Patrz najmniejsza wspólna  wielokrotność graniastosłup, 239, 240, 264 prostopadłościan, 240 sześcian, 240 O objętość obwód kwadrat, 95 ośmiokąt, 95 pięciokąt, 95 prostokąt, 95 trójkąt, 95 odcinek, 66 długość, 66 przystający, 81 odejmowanie, 22 liczb całkowitych, 36 pisemne, 30 ułamków dziesiętnych, 47 ułamków zwykłych, 43 odjemna, 22 odjemnik, 22 odwrotnie proporcjonalne wielkości, 139, 140 ośmiokąt, 92 obwód, 95 P pięciokąt, 91, 92 obwód, 95 pole, 104 podstawa potęgi, 169 podzielność liczb, 25 polder, 139 pole czworokąt, 104 deltoid, 104 jednostki, 99 kwadrat, 104, 264 pięciokąt, 104 prostokąt, 264 romb, 104, 264 równoległobok, 104, 264 trapez, 104, 264 trójkąt, 102, 264 wielokąt, 99, 110 potęgi, 168, 169 dzielenie, 172, 173, 176, 265 iloczyn, 177 iloraz, 177 mnożenie, 172, 173, 176, 265 potęgowanie, 173, 265 półprosta, 66 Skorowidz 267 prawa rozdzielności, 23, 264 prawo przemienności, 22, 264 procenty, 150 promil, 158, 159 proporcje, 134 proste, 66 prostopadłe, 68 równoległe, 68 prostokąt, 89 obwód, 95 pole, 264 prostokątny układ współrzędnych, 121 prostopadłościan, 231 objętość, 240 przekątna, 88 przemienność, 22, 264 punkty, 66 współliniowe, 66 współrzędne, 120 R redukcja wyrazów podobnych, 190 romb, 89 pole, 104, 264 rozdzielność, 23, 264 rozszerzanie ułamków, 43 rozwiązanie równania, 209 równania, 206, 209 rozwiązanie, 209, 210, 214 równoważne, 210 równoległobok, 89 pole, 104, 264 różnica, 22 rzymski system zapisywania liczb, 32, 33, 34 S siedmiokąt, 91 sito Eratostenesa, 26 skala, 97 składnik, 22 skracanie ułamków, 43 Snell, Willebrord, 46 suma, 22 suma algebraiczna, 190 dzielenie przez jednomian, 195, 196 mnożenie, 198 mnożenie przez jednomian, 192 porządkowanie, 189 system dziesiętny, 20 systemy zapisywania liczb arabski, 33 rzymski, 32, 33, 34 sześcian, 231 jednostkowy, 240 objętość, 240 Ś średnia arytmetyczna, 12, 264 T trapez, 88, 89 pole, 104, 264 prostokątny, 88 równoramienny, 88 trapezoid, 88 trójkąty, 76, 77 cechy przystawania, 82 kąty wewnętrzne, 77, 78 kąty zewnętrzne, 77 obwód, 95 ostrokątne, 78 pole, 102, 264 prostokątne, 78 przystające, 81, 82 rozwartokątne, 78 równoboczne, 78, 81 równoramienne, 78 różnoboczne, 78 wysokość, 79, 102 U układ współrzędnych, 121 figury, 126 osie, 122 ułamki dziesiętne, 46 dodawanie, 47 dzielenie, 48 mnożenie, 47 odejmowanie, 47 okresowe, 52 porównywanie, 48 zapis w postaci ułamka zwykłego, 47 ułamki zwykłe, 42 dodawanie, 43 dzielenie, 44 mnożenie, 43 niewłaściwe, 43 odejmowanie, 43 porównywanie, 43 prawdziwe, Patrz ułamki zwykłe proste proste, 42 rozszerzanie, 43 skracanie, 43 właściwe, 43 zamiana na ułamki dziesiętne, 51 zapis w postaci dziesiętnej, 46 268 Skorowidz W wartość bezwzględna, 37 wielkości odwrotnie proporcjonalne, 139, 140 wielkości wprost proporcjonalne, 136, 137 wielokąty, 91 foremne, 91, 92 obwód, 95 pole, 99, 110 powiększanie, 97 przystające, 82 zmniejszanie, 97 wielokrotność, 26 wielościany, 231 wprost proporcjonalne wielkości, 136, 137 współczynnik liczbowy, 188 współrzędne punktu, 120 wykładnik potęgi, 169 wyrażenia algebraiczne, 184 obliczanie, 185 wyrażenia arytmetyczne, 184 wzory, przekształcanie, 220 Z zaokrąglanie liczb, 52, 53 Skorowidz 269
Pobierz darmowy fragment (pdf)

Gdzie kupić całą publikację:

Matematyka Europejczyka. Podręcznik dla gimnazjum. Klasa 1
Autor:
, , ,

Opinie na temat publikacji:


Inne popularne pozycje z tej kategorii:


Czytaj również:


Prowadzisz stronę lub blog? Wstaw link do fragmentu tej książki i współpracuj z Cyfroteką: