Darmowy fragment publikacji:
Kompendium
wiedzy dla
gimnazjalisty
Matematyka
Tekst: Anna Augustyn
Konsultacja merytoryczna: Katarzyna Kabzińska
Ilustracje: Maciej Maćkowiak
Redakcja: Elżbieta Wójcik
Korekta: Natalia Kawałko
Projekt layoutu i okładki: Joanna Królak
Skład i przygotowanie do druku: Daniel Potęga
Copyright © SBM Sp. z o.o., Warszawa 2014
Copyright for the illustrations by SBM Sp. z o.o., 2014
Wydanie I
Wydrukowano w Polsce
Wydawnictwo SBM Sp. z o.o.
ul. Sułkowskiego 2/2
01-602 Warszawa
Część I – Liczby Spis treści
Wstęp � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 5
Recenzja � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 6
1� Liczby � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 7
Liczby całkowite � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 9
Liczby wymierne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 14
Wyrażenia arytmetyczne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22
Ułamki dziesiętne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 23
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 28
2� Procenty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 31
Podstawowe wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 32
Działania na procentach � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 32
Praktyczne zastosowanie procentów � � � � � � � � � � � � � � 36
3� Potęgi i pierwiastki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 39
Potęgi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 40
Pierwiastki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 46
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 52
4� Wyrażenia algebraiczne � � � � � � � � � � � � � 55
Podstawowe pojęcia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 56
Wzory skróconego mnożenia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 64
Przekształcanie wzorów � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 67
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 71
5� Równania, nierówności,
układy równań � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 73
Równania � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 74
Nierówności � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 83
Układy równań � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 92
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � 103
3
Część I – Liczby 6� Funkcje � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 105
Układ współrzędnych � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 106
Funkcja liniowa i pojęcia z nią związane � � � � � � 112
Własności funkcji � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 117
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � 124
7� Figury płaskie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 125
Proste, półproste, odcinki � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 126
Kąty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 132
Wielokąty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 138
Trójkąty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 144
Czworokąty � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 158
Koło i okrąg � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 168
Figury podobne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 185
Symetria � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 189
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � 198
8� Bryły � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 201
Graniastosłupy proste � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 202
Ostrosłupy � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 212
Walec � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 220
Stożek � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 224
Kula � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 228
Test sprawdzający wiadomości � � � � � � � � � � � � � � � � � � 230
9� Statystyka � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 232
Odczytywanie danych statystycznych � � � � � � � � � � � 233
Średnia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 235
Mediana � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 236
Moda � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 238
10� Przykładowe zadania
egzaminacyjne � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 240
Odpowiedzi do zadań � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 242
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Wstęp
Wstęp
Drogi Gimnazjalisto! Kompendium, które trzymasz w rękach, będzie
dla Ciebie pomocą w przygotowaniu do egzaminu gimnazjalnego i po-
zwoli Ci usystematyzować wiedzę, którą nabyłeś w trakcie nauki w gim-
nazjum. Aby ułatwić Ci powtarzanie wiedzy, kompendium podzielono
na rozdziały i podrozdziały. Dzięki temu będziesz mógł szybko zna-
leźć interesujące Cię zagadnienie. Na początku każdego rozdziału za-
mieszczono teorię i wzory, które są niezbędne do rozwiązywania zadań.
W kompendium znajdziesz wiele przykładów, dzięki którym będziesz
miał możliwość rzetelnego przygotowania się nie tylko do czekającego
Cię egzaminu gimnazjalnego, lecz także do sprawdzianu z matematyki.
Na końcu każdego rozdziału znajduje się test powtórzeniowy. Po samo-
dzielnym rozwiązaniu testu będziesz mógł sprawdzić poprawność swo-
ich odpowiedzi, korzystając z klucza znajdującego się na końcu kom-
pendium.
Mam nadzieję, że lektura kompendium zachęci Cię do poszerzania swo-
jej wiedzy, a książka będzie Ci towarzyszyła podczas przygotowań do
egzaminu gimnazjalnego.
Autorka
5
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Recenzja
Matematyka jest przedmiotem, którego uczymy się w zasadzie od zawsze, ale
jest również dziedziną nauki, która przestaje być zrozumiała i łatwa, gdy prze-
oczymy jakiś fragment materiału na naszej ścieżce edukacyjnej. Dlatego w ta-
kich sytuacjach sięgamy po rzetelne repetytoria.
Kompendium wiedzy dla gimnazjalisty. Matematyka Anny Augustyn jest bar-
dzo dobrą książką zarówno dla gimnazjalistów, jak i licealistów. Jej układ jest
bardzo przejrzysty. Materiał obowiązujący w gimnazjum jest podzielony na
dziewięć działów, a każdy z nich na kilka podrozdziałów, zagadnienia, defini-
cje i twierdzenia oraz test sprawdzający.
Warto zaznaczyć, że w poszczególnych częściach znajdują się treści wykra-
czające poza podstawę programową, m.in. wzory skróconego mnożenia, roz-
wiązywanie nierówności, usuwanie niewymierności z zastosowaniem wzorów
skróconego mnożenia, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym opartych
na tym samym łuku.
Teoria bardzo często jest objaśniana na przykładach i wsparta czytelnymi
i dobrze opisanymi rysunkami. Natomiast po każdym temacie znajdują się
zadania, które umożliwiają czytelnikowi sprawdzenie jego wiedzy. Bardzo
przystępnie przedstawiono dość trudne tematy dotyczące funkcji oraz geome-
trii przestrzennej. Poświęcono im sporo uwagi, a opracowanie jest ciekawe,
poparte wieloma przejrzyście opisanymi przykładami. Zdecydowanie mocną
stroną tej publikacji jest powtórka z geometrii. W podsumowaniu tego działu
zebrano w tabeli wszystkie wzory wraz z potrzebnymi objaśnieniami.
Forma większości zadań jest zgodna ze standardami obowiązującymi na egza-
minie gimnazjalnym. Kompendium zawiera optymalną liczbę wyróżnień, co
sprawia, że istotne informacje dość szybko utrwalają się w pamięci uczniów.
Kompendium wiedzy dla gimnazjalisty. Matematyka jest dowodem na to, że
można napisać ciekawą, zrozumiałą i przydatną wielu uczniom książkę, dzięki
której powtórzą oni i poukładają zdobytą wiedzę. Publikacja ta powinna zwró-
cić uwagę uczniów i nauczycieli zarówno szkół gimnazjalnych, jaki i ponad-
gimnazjalnych.
recenzja: Katarzyna Kabzińska
6
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Część 1
Liczby
• Liczby całkowite
• Liczby wymierne
• Wyrażenia arytmetyczne
• Ułamki dziesiętne
• Test sprawdzający wiadomości
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby 1� Liczby
Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … }
W zbiorze liczb naturalnych rozróżniamy liczby parzyste i nieparzyste.
Liczby parzyste to te liczby, które są podzielne przez 2.
Przykłady:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 itd.
Pozostałe liczby to liczby nieparzyste.
Przykłady:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 itd.
W zbiorze liczb naturalnych znajdują się również liczby pierwsze i liczby zło-
żone.
Liczby pierwsze to wszystkie te, które dzielą się tylko przez 1 i przez samą
siebie.
Przykłady:
2, 3 , 5, 7, 11
8
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Liczby złożone to wszystkie te, które mają więcej niż 2 dzielniki.
Przykłady:
4, 6, 12, 15
R
C
N
...
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
...
1�1� Liczby całkowite
Zapamiętaj!
Zero i 1 nie są liczbami pierwszymi ani złożonymi.
Liczby przeciwne leżą po przeciwnych stronach 0 na
osi liczbowej, w takiej samej odległości od 0.
Zbiór liczb całkowitych tworzą liczby naturalne i liczby do nich przeciwne.
Zbiór liczb całkowitych przyjęło się oznaczać literą C lub Z.
Tak więc
C = { …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Przykłady:
–1, 1, 5, –7, 12, –8
9
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Podział liczb całkowitych
Liczby całkowite dzielimy na liczby całkowite dodatnie C+ oraz liczby całko-
wite ujemne C–.
Zapamiętaj!
Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani liczbą ujemną.
Liczby całkowite dodatnie: C+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Liczby całkowite ujemne: C– = {–1, –2, –3, –4, –5 ,–6, …}
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględna liczby a określa odległość liczby a od zera na osi liczbowej.
Wartość bezwzględna jest zawsze liczbą nieujemną.
|a|
0
Przykłady:
|7| = 7
|–2| = 2
|– 2 | = 2
|0| = 0
|– 1
2 | = 1
2
Humor z zeszytów szkolnych:
▶ Doklasyweszłodwóchchłopców:
jedenwysoki,jedenniskiijeden
średni.
10
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Działania na liczbach całkowitych
Dodawanie liczb całkowitych
▶ Jeżeli mamy dodać do siebie dwie liczby całkowite o takich samych zna-
kach, to na początku dodajemy do siebie wartości bezwzględne tych liczb,
a do wyniku dopisujemy taki sam znak, jaki mają te dwie liczby.
▶ Jeżeli mamy dodać dwie liczby całkowite o różnych znakach, to od większej
wartości bezwzględnej odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną i do wy-
niku dopisujemy znak tej liczby, której wartość bezwzględna jest większa.
Przykłady:
–5 + 12 = 7
–100 + (–5) = –105
–100 + 20 = –80
35 + (–35) = 0
Odejmowanie liczb całkowitych
▶ Aby odjąć jedną liczbę całkowitą od drugiej, zamieniamy odejmowanie na
dodawanie, a następnie korzystamy ze znajomości zasad dodawania liczb
całkowitych o takich samych znakach lub o różnych znakach.
Przykłady:
–7 – 12 = –7 + (–12) = –19
54 –144 = 54 + (–144) = –90
–8 – (–12) = –8 + 12 = 4
Zapamiętaj!
Odjąć liczbę to znaczy to samo co dodać liczbę
przeciwną.
11
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Mnożenie liczb całkowitych
▶ Jeżeli mnożymy dwie liczby całkowite różne od zera o takich samych zna-
kach, to wynik jest liczbą dodatnią.
▶ Jeżeli mnożymy dwie liczby całkowite różne od zera o różnych znakach, to
wynik jest liczbą ujemną.
▶ Jeżeli mnożymy zero przez dowolną liczbę całkowitą, to wynik jest zerem.
Przykłady:
–2 · (–24) = 48
8 · (–9) = –72
0 · (–11) = 0
Dzielenie liczb całkowitych
▶ Jeżeli dzielimy dwie liczby całkowite (różne od zera) o takich samych zna-
kach, to wynik jest liczbą dodatnią.
▶ Jeżeli dzielimy dwie liczby całkowite (różne od zera) o różnych znakach, to
wynik jest liczbą ujemną.
▶ Jeżeli dzielimy zero przez dowolną liczbę całkowitą różną od zera, to wynik
jest zerem.
Przykłady:
121 : (–11) = –11
–144 : (–2) = 72
0 : (–18) = 0
Zapamiętaj!
Kolejność wykonywania działań:
1. Działania w nawiasach
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
3. Mnożenie i dzielenie
4. Dodawanie i odejmowanie
12
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Przykładowe zadania
Zadanie 1
Zaznacz na osi liczbowej następujące
liczby całkowite:
a) –1, –2, –3, –4, –5
b) 1, 2, 3, 4, 5
Co możesz powiedzieć o odległości
od 0 liczb wzajemnie przeciwnych?
Zadanie 2
Wykonaj dodawanie:
a) –5 + 24 =
b) 1 + 50 =
c) –11 + 10 + 7 =
d) –12 + 0 + 27 =
Zadanie 3
Wykonaj odejmowanie:
a) –11 – 40 =
b) –70 – 12 =
c) –144 – 36 =
d) 9 – 150 – 140 =
e) 160 – 4 – 28 =
Zadanie 4
Wykonaj mnożenie:
a) –22 · 5 =
b) –17 · (–4) =
c) –18 · 18 · (–2) =
d) –2 · (–2) · (–2) · (–10) =
Zadanie 5
Wykonaj dzielenie:
a) –144 : (–12) =
b) –621 : 3 =
c) 324 : 18 =
d) –200 : (–8) =
Zadanie 6
Oblicz:
a) –2 · (–1 + 120) + 1 =
b) [25 – 5 –(–7 + 14)] : 2 =
Zadanie 7
Oceń prawdziwość zdań:
a) Suma 2 liczb ujemnych jest liczbą
P/F
b) Działania w nawiasach wykonujemy
P/F
na samym końcu obliczeń.
ujemną.
13
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby 1�2� Liczby wymierne
p
Liczby wymierne to takie, które możemy przedstawić w postaci ułamka
q ,
gdzie p i q Є C oraz q ≠ 0. Każda liczba całkowita jest liczbą wymierną,
ponieważ każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka:
p
q
Przykłady liczb wymiernych:
3
5 , 1
2 , 2 1
2
2 , –2 1
= 5
2
= – 5
2 , 2
1
= 2, 14
1
= 14, – 18
2
= –9, 0
= 0
5
Zbiór liczb wymiernych dzieli się na zbiór liczb wymiernych dodatnich oraz
zbiór liczb wymiernych ujemnych.
Każda liczba wymierna może posiadać rozwinięcie dziesiętne skończone lub
nieskończone okresowe.
Przykład rozwinięcia dziesiętnego skończonego: 1
2
= 0,5
Przykład rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego okresowego: 1
3
= 0,333(3)
Działania na liczbach wymiernych
Skracanie ułamków
Ułamki zwykłe przedstawione w postaci p
i mianownik ułamka przez tę samą liczbę różną od zera.
q możemy skracać, dzieląc licznik
dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 2
dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 5
= 1
2
= 1
2
2
4
5
10
14
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 4
= 2
3
8
12
Rozszerzanie ułamków
Aby rozszerzyć ułamek zwykły, mnożymy licznik i mianownik tego ułamka
przez tę samą liczbę różną od zera.
mnożymy licznik i mianownik przez 5
mnożymy licznik i mianownik przez 2
1
= 5
10
2
– 2
= – 4
6
3
= 4
2
100
50
Porównywanie ułamków
▶ Aby porównać ułamki o takich samych mianownikach, porównujemy ich
mnożymy licznik i mianownik przez 2
liczniki. Ten ułamek jest większy, którego licznik jest większy.
Przykłady:
2
5 , bo 3 2
4
12 , bo 1 4
3
5
1
12
Humor z zeszytów szkolnych:
▶ Gdymnożymyułamekdziesiętny
przez10,toprzesuwamyprzecinek
wstronęokna.Akiedygodzielimy
przez10,towstronędrzwi.
15
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby ▶ Aby porównać ułamki o różnych mianownikach i różnych licznikach, nale-
ży sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika i porównać je.
Przykład:
1
☐ 3
20
5
= 4
1
5
4
20
20 rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez 4
3
20 , bo 4 3
▶ Aby porównać ułamki o takich samych licznikach i różnych mianowni-
kach, należy porównać ich mianowniki. Ten ułamek jest większy, którego
mianownik jest mniejszy.
Przykłady:
3
3
5
1
12
7 , bo 5 7
1
5 , bo 5 12
Dodawanie ułamków
Aby dodać do siebie dwa ułamki o różnych mianownikach, sprowadzamy te
ułamki do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy do siebie liczniki
ułamków, pozostawiając mianownik bez zmian.
16
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Przykład:
+ 1
3
1
2
wspólny mianownik dla 2 i 3 to 6 (6 jest podzielne przez 2 i 3)
+ 2
6
= 5
6
= 3+2
6
= 3
6
mnożymy przez 3, ponieważ 2 · 3 = 6
+ 1
1
2
3
ułamek 1
2
ułamek 1
mnożymy przez 2, ponieważ 3 · 2 = 6
3
Odejmowanie ułamków
Aby odjąć od siebie dwa ułamki o różnych mianownikach, doprowadzamy te
ułamki do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy od siebie liczniki
ułamków, pozostawiając mianownik bez zmian.
Przykład:
– 1
3
1
2
Postępujemy analogicznie, jak w przypadku dodawania, zastępując znak
+ znakiem –.
1
2
2 1
3
– 1
3
– 3 1
5
– 2
= 3
= 1
6
6
6
15 – 3 3
= 2 5
15
= 2 5
15
– 2 18
15
= – 13
15
17
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Zapamiętaj!
Przy dodawaniu i odejmowaniu liczb mieszanych
najpierw dodajemy lub odejmujemy całości,
a następnie ułamki. Jeżeli jest taka potrzeba, to
najpierw zamieniamy całości na ułamki, a następnie
dodajemy lub odejmujemy całości i dopiero potem
ułamki.
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć przez siebie dwa ułamki zwykłe, mnożymy licznik ułamka
przez licznik, a mianownik przez mianownik. Mnożąc liczby mieszane, zamie-
niamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a następnie postępujemy tak
samo jak przy mnożeniu ułamków zwykłych. Jeżeli chcemy pomnożyć ułamek
zwykły przez liczbę, to mnożymy licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik
pozostawiamy bez zmian.
Przykłady:
2
3
2 1
2
· 4
7
2
= 2
15
= 5 1
2 8
· 1
5
· 1
8
= 8
7
= 2 1
3 5
· 1
= 5
2
8
= 1 1
7
= 5
16
Przy mnożeniu ułamków możemy ułatwić sobie zadanie, skracając ułamki
metodą „na krzyż”. Metoda ta polega na skróceniu licznika pierwszego ułamka
z mianownikiem drugiego ułamka oraz licznika drugiego ułamka z mianow-
nikiem pierwszego ułamka.
18
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Przykłady:
10
16
· 4
5
= 2 1
4 1
= 2
4
= 1
2
35
40
· 10
70
= 1 1
4 2
= 1
8
Dzielenie ułamków
Podzielić przez ułamek, tzn. pomnożyć przez jego odwrotność.
Aby podzielić ułamek a
przez odwrotność ułamka c
b, c, d są różne od zera.
b przez ułamek c
d , czyli d
c .
d , należy pomnożyć ułamek a
b
Przykłady:
2
3
17
26
: 4
5
: 34
13
= 2
· 5
= 5
3
4
6
· 13
= 17
26
34
= 1
4
Aby podzielić przez siebie liczby mieszane, zamieniamy je najpierw na ułamki
niewłaściwe.
Przykład:
2 1
5
: 3 1
3
11
=
5
: 10
3
= 11
5
· 3
10
= 33
50
19
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Przykładowe zadania
Zadanie 1
Dodaj do siebie ułamki:
a)
b)
=
+ 7
9
+ 3
21
45
12
100
200
=
c) 2 1
7
d) 4 1
2
+ 4 5
8
+ 21 3
5
=
=
=
4
6
7
11
– 3
24
– 4
121
=
Zadanie 2
Wykonaj odejmowanie:
=
– 4
a) 27 3
5
10
– 2 1
b) 4 5
=
8
7
Mojeobliczenia
c)
d)
20
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Zadanie 3
Wykonaj mnożenie:
· 2 1
2
=
a)
b)
1
3
3
7
· 4
5
· 2 1
5
=
· 15 1
2 =
c) 3 1
3
d) 14 1
2
· 4 2
7
· 36
58
=
Zadanie 4
Oblicz:
=
a) 7 1
3
b) 2
17 :
: 3
7
24
9
=
Zadanie 5
Oceń prawdziwość zdań:
=
: 4 1
4
=
c) 2 1
7
d) 5 : 1
8
Ułamek 8
Ułamki 2
10 jest ułamkiem nieskracalnym.
10 i 1
5
są równe.
P/F
P/F
Podzielić liczbę przez ułamek 1
5
to znaczy pomnożyć tę liczbę przez 5. P/F
Mojeobliczenia
21
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby 1�3� Wyrażenia arytmetyczne
Wyrażenia arytmetyczne to liczby połączone znakami działań. W wyrażeniach
arytmetycznych mogą występować nawiasy.
Średnia arytmetyczna
Aby policzyć średnią arytmetyczną, dodajemy do siebie wszystkie liczby, a na-
stępnie sumę dzielimy przez ilość tych liczb.
Przykład:
Średnią dla liczb 5, 6, 3, 1 wyzna-
czamy w następujący sposób:
5+6+3+1
4
= 15
4 =3 3
4
Możemy obliczyć wartość wyrażenia arytmetycznego, wykonując działania
według kolejności wykonywania działań.
Zapamiętaj!
Kolejność wykonywania działań:
1. Działania w nawiasach
2. Potęgowanie lub pierwiastkowanie
3. Mnożenie lub dzielenie
4. Dodawanie lub odejmowanie
22
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Przykładowe zadania
Zadanie 1
Wyznacz średnią arytmetyczną liczb: 21, 19, 121, 45.
Zadanie 2
Oblicz:
a) 2,5 ∙ 4 1
2
– 5 17
20
: 0,9 =
2,4 : 0,4 2,6
4 1,4
b)
: 3 3
8
=
1�4� Ułamki dziesiętne
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, które w mianowniku mają 10, 100, 1000,
10 000…
Przykłady:
0,4; 0,25; 0,07; 1,42
Ułamki dziesiętne można zapisać bez użycia kreski ułamkowej.
= 0,7
7
10
Wyrażenia dwumianowe
Dzięki ułamkom dziesiętnym można zapisać wyrażenia dwumianowe, używa-
jąc jednej jednostki.
Humor z zeszytów szkolnych:
▶ PierwszyczłowieknaZieminieczuł
sięsamotny,bonieumiałliczyć.
23
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby Przykłady:
1 kg 75 dag:
1 + 0,75 = 1,75 (kg)
10 zł 50 gr:
10 + 0,5 = 10,5 (zł)
12 km 725 m:
12 + 0,725 = 12,725 (km)
Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych do liczb całkowitych
Jeżeli pierwsza cyfra, którą odrzucamy, jest mniejsza od 5, to stosujemy przy-
bliżenie z dołu, czyli usuwamy tę cyfrę wraz ze wszystkimi innymi cyframi,
które występują po niej.
Jeżeli pierwsza cyfra, którą odrzucamy, jest większa od 4, to stosujemy przybli-
żenie z góry, czyli do ostatniej cyfry jaką zostawiamy, dodajemy 1.
Przykłady:
4,2
99,8
10,4
4, bo 2 5
100, bo 8 4
10, bo 4 5
Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych z dokładnością do 2 miejsc po przecinku.
1,468
0,099
1,111
1,47, bo 8 4
0,10, bo 9 4
1,11, bo 1 5
Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych z dokładnością do 1 miejsca po przecinku.
1,468
0,099
1,5, bo 6 4
0,1, bo 9 4
24
Kompendium wiedzy gimnazjalisty. MatematykaCzęść I – Liczby
Pobierz darmowy fragment (pdf)
