Darmowy fragment publikacji:
• Kup książkę
• Poleć książkę
• Oceń książkę
• Księgarnia internetowa
• Lubię to! » Nasza społeczność
Spis treści
Od autorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1. Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1 .1 . Ogólna postać wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Równość wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
*1 .2 . Działania w zbiorze wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dodawanie i odejmowanie wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Mnożenie wielomianu przez wielomian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
*1 .3 . Dzielenie wielomianu przez dwumian ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 .4 . Rozkład wielomianu na czynniki (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Rozkład wielomianu stopnia drugiego na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
*1 .5 . Rozkład wielomianu na czynniki (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Grupowanie wyrazów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Stosowanie wzorów skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1 .6 . Równania wielomianowe (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
*1 .7 . Równania wielomianowe (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
*1 .8 . Nierówności wielomianowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1 .9 . Spoza podstawy programowej
— wykresy funkcji wielomianowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1 .10 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Temat badawczy: przybliżone rozwiązywanie równań wielomianowych . . . 38
1 .11 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Wyrażenia wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
*2 .1 . Wyrażenia wymierne i działania na nich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Dziedzina wyrażenia wymiernego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Upraszczanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 .2 . Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 .3 . Wykres proporcjonalności odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 .4 . Równania wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Spis treści
3
Poleć książkęKup książkę
*2 .5 . Nierówności wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2 .6 . Spoza podstawy programowej — funkcja homograficzna . . . . . . 60
2 .7 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 .8 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej . . 69
3 .1 . Funkcja wykładnicza i jej wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
*3 .2 . Funkcja logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 .3 . Spoza podstawy programowej — skala logarytmiczna . . . . . . . . . 80
3 .4 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 .5 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4. Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 .1 . Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
w trójkącie prostokątnym — powtórzenie wiadomości . . . . . . . . 88
4 .2 . Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 〈0°, 180°〉 . . 89
Znaki funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi . . . . . . . . . . 92
Wzory redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
*4 .3 . Miary kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
*4 .4 . Funkcje trygonometryczne kątów płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Znaki funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
*4 .5 . Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . . . . . 101
Okresowość funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
*4 .6 . Wzory redukcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
*4 .7 . Wykresy funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Wykres funkcji f (x) = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Własności funkcji f (x) = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Wykres funkcji f (x) = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Własności funkcji f (x) = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Wykres funkcji f (x) = tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Własności funkcji f (x) = tg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4
Spis treści
Poleć książkęKup książkę
*4.8. Rozwiązywanie niektórych równań
i nierówności sposobem grafi cznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
*4.9. Podstawowe tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Sinus i cosinus sumy i różnicy kątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Sinus i cosinus podwojonego kąta oraz jedynka trygonometryczna . . . . . . 123
Suma i różnica sinusów i cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
*4.10. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Rozwiązywanie równań metodą wprowadzenia
pomocniczej niewiadomej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem podstawowych tożsamości . . . . 126
Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych
metodą wprowadzenia pomocniczej niewiadomej . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.11. Spoza podstawy programowej — harmoniki . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.12. Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.13. Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5. Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1. Pojęcie ciągu liczbowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
*5.2. Ciągi określone wzorem rekurencyjnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
*5.3. Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4. Ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5. Suma wyrazów ciągu arytmetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6. Ciąg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7. Suma n wyrazów ciągu geometrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
*5.8. Szereg geometryczny zbieżny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.9. Spoza podstawy programowej
— zasada indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.10. Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.11. Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6. Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.1. Kąty w okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2. Okręgi styczne i styczne do okręgów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Spis treści
5
Poleć książkęKup książkę
6 .3 . Trójkąty i czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . 181
Trójkąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
*Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
*6 .4 . Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . 186
Zastosowania twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów
do rozwiązywania trójkątów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
*6 .5 . Jednokładność i podobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6 .6 . Spoza podstawy programowej — obrót figury . . . . . . . . . . . . . . . 197
6 .7 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6 .8 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7 .1 . Punkt i odcinek w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
*7 .2 . Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Wektor i działania na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Współrzędne wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7 .3 . Prosta w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7 .4 . Wzajemne położenie prostych w układzie współrzędnych . . . . . . 223
*7 .5 . Własności prostych wyrażonych równaniami ogólnymi . . . . . . . . 227
*7 .6 . Interpretacja graficzna nierówności liniowych
w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
*7 .7 . Okrąg i koło w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7 .8 . Symetria osiowa i symetria środkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7 .9 . Spoza podstawy programowej — iloczyn skalarny wektorów . . . 239
7 .10 . Z zastosowań matematyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Temat badawczy nr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Temat badawczy nr 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7 .11 . Prosto do matury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Odpowiedzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Wzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Źródła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6
Spis treści
Poleć książkęKup książkę 3.
WYKRES I ZASTOSOWANIA
FUNKCJI WYKŁADNICZEJ
I LOGARYTMICZNEJ
Wiele zjawisk w przyrodzie można opisać za pomocą modelu wy-
kładniczego. Są to między innymi:
• promieniotwórczość naturalna,
• wzrost bądź spadek liczebności populacji,
• stygnięcie ciał.
Poleć książkęKup książkę 3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres
W pierwszej klasie omawialiśmy potęgi o wykładniku wymiernym. Nie będziemy dokład-
nie definiować potęgi o wykładniku niewymiernym. Oprzemy się tylko na stwierdzeniu,
xa dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby rzeczywistej x jest jednoznacznie
że liczba
określona.
Przykład 1.
Rozpatrzmy potęgę
23 .
Opis
Rozpatrzmy kolejne przybliżenia
dziesiętne liczby 2 z niedomiarem
(
w w w w w
1
i nadmiarem (
′
,
2
,
4
′
w w w w w
1
)
′ .
,
5
)
′
3
′
4
,
,
,
,
,
,
,
5
2
3
3w ,
1w′,
2w′,
5w , …
1w ,
4w′,
13w ,
13w′ ,
23w ,
23w′ ,
33w ,
33w′ ,
43w ,
43w′ ,
2w ,
4w ,
5w′, … są wy-
Ponieważ liczby
3w′,
oraz
mierne, to umiemy policzyć wartości
53w , …
potęg
53w′ …
oraz
23 z niedo-
Kolejne przybliżenia liczby
miarem są coraz większe, a kolejne przy-
bliżenia tej liczby z nadmiarem są coraz
mniejsze.
Różnice kolejnych przybliżeń są liczbami
coraz bliższymi zera.
Można wykazać, że istnieje dokładnie
jedna liczba α zawarta między liczbami
3w i 3w′, gdzie w i w′ są dowolnymi licz-
′
w
bami wymiernymi takimi, że w
.
2
2
3
4
2
3
=
=
=
=
=
=
1,4 0,1 1,5
=
1,41 0,01 1,42
1,414 0,001 1,415
1,4142 0,0001 1,4143
1,41421 0,00001 1,41422
+
+
+
+
+
1,4
1,41
1,414
1,4142
1,41421
Rozwiązanie
′ =
w
w
1
1
=
w
w
=
w
w
=
w
w
=
w
w
5
Znane nam są liczby:
1,4142
1,43 ,
,
3
1,4143
1,53 ,
,
3
1,41421
3
1,41422
3
1,414
,
3
1,415
,
3
1,413
,
1,423
,
, …
, …
=
=
=
5
4
1,4
3
1,5
3
1,41
3
1,42
3
1,414
3
1,415
3
1,4142
3
1,4143
3
1,41421
3
1,41422
3
...
...
1,5
1,4
≈
−
0,5406
3
3
1,41
1,42
−
≈
0,052
3
3
1,414
1,415
−
≈
0,0052
3
3
1,4142
1,4143
−
≈
0,0005
3
3
1,41421
1,41422
−
≈
3
3
0,00005
Liczba ta jest oznaczona symbolem
23 .
Można wykazać, że własności działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym są takie
same jak w przypadku potęg o wykładniku wymiernym.
70
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę Pewna rozrastająca się populacja bakterii co dzień podwaja swą wielkość i po pewnym czasie li-
czy 2 miliony bakterii.
Wykres takiej funkcji wygląda następująco:
Niech y0 oznacza liczbę bakterii w chwili
początkowej. Możemy zapisać, że po
pierwszym dniu liczba bakterii będzie
wynosiła 2 0y , po dwóch dniach 22
0y ,
po trzech dniach 23
0y itd.
Zatem liczbę bakterii po x dniach można
) =
(
wyrazić wzorem y x
1= , tzn. gdy populację
przypadku, gdy y0
zapoczątkowała jedna bakteria, wzór ten ma
(
postać y x
⋅0 2 . W szczególnym
y
x
) = 2 .
x
y
1
O
1
Rozważania z powyższego przykładu można uogólnić (patrz przykład 2.).
Przykład 2.
(
y x = , gdzie x jest liczbą rzeczywistą. Wykonajmy częściową tabelę
Dana jest funkcja
wartości funkcji dla tych argumentów, dla których te wartości łatwo obliczyć, i naszkicujmy
jej wykres.
) 2x
x
y =
2x
3−
1
8
2−
1
4
1−
1
2
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
) 2x
(
y x = jest rosnąca i dla
x
Widzimy, że funkcja
0
wzrost wartości funkcji jest bardzo szybki. Mówimy, że
funkcja ta ma wzrost typu wykładniczego, a wykres tej
funkcji jest krzywą wykładniczą. Zauważmy, że jeśli pod-
stawę 2 zastąpimy inną liczbą większą od 1, to ogólny
kształt wykresu funkcji nie zmieni się.
y
2
1
1O
x
x
3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres
71
Poleć książkęKup książkę Przykład 3.
Dana jest funkcja (
y x
)
x
=
1
2
dla rzeczywistego argumentu x. Sporządźmy tabelę wybra-
nych wartości funkcji i naszkicujmy jej wykres.
x
3−
2−
1−
y
x
=
1
2
8
4
2
0
1
1
1
2
2
1
4
3
1
8
4
1
16
Widzimy, że funkcja
(
y x
)
x
=
1
2
jest male-
jąca. Mówimy, że maleje ona w sposób wy-
kładniczy.
y
2
1
–1
O
x
x
a= ,
Funkcję określoną wzorem
(
f x
gdzie x ∈ oraz
Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych.
0a i
)
1a ≠ , nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie a.
Dla 0 a 1 funkcja wykładnicza jest malejąca (wykres czerwony).
Dla a 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca (wykres niebieski).
Definicja
Uwaga
) =
Zastrzeżenie a ≠ 1
jest konieczne, po-
nieważ dla a = 1
(
wzór y x
de-
fi niuje funkcję stałą
y x(
) = 1, której nie
zaliczamy do funkcji
wykładniczych.
ax
y
1
O
x
Wykresy funkcji y (x) = a x i
względem osi Oy.
(
y x
)
=
1 x
, gdzie a 0 i a ≠ 1, są do siebie symetryczne
a
72
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę Rozważmy kilka przykładów wykresów funkcji wykładniczych.
y
1
O
y = 2x
y = ( )x1
2
y = (1,1)x
y = (0,9)x
x
y
1
O
x
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest przedział (0, ∞).
Oś Ox nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji.
Funkcja wykładnicza przyjmuje każdą wartość dodatnią dokładnie jeden raz.
Wykres funkcji przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, 1).
Korzystając z wykresów funkcji wykładniczej
funkcji postaci
a −=
x c
postaci
+ , przesuwając wykres funkcji wzdłuż osi Oy o b jednostek, czy też
b
y
, przesuwając wykres funkcji równolegle do osi Ox o c jednostek.
, możemy rysować inne wykresy
=
a
y
x
x
a=
y
Jedną z najbardziej wiarygodnych metod obliczania wieku różnych przedmiotów czy
organizmów jest datowanie radiowęglowe. Metoda ta jest oparta na pomiarze proporcji mię-
dzy izotopem promieniotwórczym węgla 14C a izotopami trwałymi 12C i 13C. Opracował ją
Willard Libby ze swoim zespołem w 1949 roku. Libby otrzymał Nagrodę Nobla w dziedzinie
chemii w 1960 roku.
Wiadomo, że jeżeli substancja o masie N0 ma czas połowicznego rozpadu h, to masę pozostałą
po czasie t obliczamy według wzoru N N
0
=
t
h
.
1
2
Czas połowicznego rozpadu izotopu węgla 14C to około 5730 lat.
Dla przykładu rozważmy następującą sytuację: stwierdzono,
że masa izotopu węgla 14C w znalezionym przez archeologów
przedmiocie wynosi 80 masy wyjściowej. Sprawdźmy, sprzed
ilu lat pochodzi ten przedmiot.
Z treści zadania wiemy, że N
N
= 0 8 0
,
, zatem
, N N
0 8
0
=
0
, 0 8
, =
t
5730
1
2
t
t
5730
,
1
2
5730
log ,
0 8
=
log
1
2
, t =
5730
⋅
0 8
log ,
log ,
0 5
.
Znalezisko pochodzi więc sprzed około 1845 lat.
Czas (lata) Względna
ilość izotopu 14C
0
1
2
10
100
500
1000
2000
5000
10 000
50 000
100,00
99,99
99,98
99,88
98,80
94,14
88,62
78,54
54,67
29,89
0,24
3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres
73
Poleć książkęKup książkę Zadania
1 Sporządź szablon wykresu funkcji
a)
d)
g)
x
y =
2
−=
x
32
y
2x
y = −
x
2
+=
22x
−=
2 x
−
2
+
1
y =
y
y
b)
e)
h)
+
1
y = i posługując się nim, naszkicuj wykres funkcji:
c)
f)
i)
2x
−=
22x
y
3 2x
y = −
−
2 x
= −
y
2 Naszkicuj wykres funkcji:
a)
y =
2 x
b)
y =
2x
c)
y
x
−
1
=
1
2
d)
y
x
−
1
=
1
2
3 Wśród podanych wzorów znajdź takie, które przedstawiają funkcje równe:
(
f x
1
f x = +
3
)
x = ⋅
8 2x
(
f x
2
−=
2x
8 2x
(
(
)
)
)
f
4
3
3
+=
2x
x
2
8
)
f x =
5
(
f
6
(
)
x =
8x
)
f x =
7
(
2
2x
)
f x =
8
(
2 x
2
4 Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem
Oblicz a, gdy:
)3, 8
a)
13,
64
Q
=
(
3, 3 3
(
Q =
Q
=
1024
)
3, 27
Q =
Q =
Q =
4, 4
10,
d)
b)
e)
c)
f)
1
(
)
(
)
(
f x
5 Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funkcji
wykładniczej f, której wzór ma postać
a) Na podstawie zaznaczonego punktu na krzywej wy-
kładniczej znajdź wartość a.
b) Naszkicuj wykres funkcji g określonej wzorem
(
g x
) 1
− .
x
a= .
(
f x
=
)
)
6 Na rysunku obok przedstawiono
wykres funkcji f określonej wzorem
(
) 2x
f x = .
y
x
a=
należy punkt Q.
y
1
1O
y
1
O
x
1
x
74
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę Napisz wzór funkcji, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, wiedząc, że wy-
kres ten powstał przez przesunięcie wykresu funkcji f.
a)
b)
y
y
c)
O
1
1
y
O
1
–1
d)
x
x
1
O
y
1
O
1
1
7 Za pomocą czterech doświadczeń dokonano pomiaru pewnych wielkości t i V. Ist-
nieje przypuszczenie, że wielkości te można opisać za pomocą modelu matematycznego
, gdzie b i a są pewnymi sta-
wykorzystującego funkcję wykładniczą daną wzorem
łymi charakterystycznymi dla danego doświadczenia. Które wyniki pomiarów wykluczają
to przypuszczenie?
a)
0,5
5
10
1,024
5
0,032
0
0,001
= ⋅
V b a
t
1
2,5
t
V
0
10
b)
t
V
2
25 2
c)
t
V
0
2
x
x
4
600 2
8 Znajdź x, dla którego zachodzi równość:
a) 2
x =
32
e)
4
2
x =
1
256
b) 1
2
+
x
f)
4
x
=
4
c)
12
x =
2
12
d)
x
41
=
4
1
64
4
−=
1
4
x
g) 7
x =
1
9 Liczba bakterii pewnej kolonii powiększa się o 50 co godzinę. Jeśli kolonia ta
w południe liczyła 3 miliony, to podaj jej liczbę w przedziałach półgodzinnych od
1030 do 1400. Odpowiedź podaj z dokładnością do wartości całkowitej. Do obliczeń
można użyć kalkulatora.
3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres
75
Poleć książkęKup książkę 10 Pewna cząstka radioaktywna ma masę 50 gramów, a jej rozpad powoduje zmniejsze-
nie masy o 20 każdego roku. Podaj wzór na masę tej cząstki po t latach. Narysuj wykres
tej funkcji. Na podstawie wzoru i wykresu udziel odpowiedzi na poniższe pytania z do-
kładnością do pełnych miesięcy.
a) Kiedy masa tej cząstki wynosiła 70 gramów?
b) Kiedy masa tej cząstki będzie równa 32 gramy?
Do obliczeń można korzystać z kalkulatora.
*3.2. Funkcja logarytmiczna
Powróćmy do przykładu opisanego w poprzednim rozdziale. Za-
leżność liczby bakterii y (t) od czasu (wyrażonego w dniach), jaki
upłynął od momentu, gdy próbka zawierała jedną bakterię, została
opisana za pomocą funkcji określonej wzorem y (t) = 2t. Chcemy teraz
obliczyć, kiedy wartość populacji będzie wynosiła 2 miliony bakte-
rii. Szukamy takiego t, że 2t = 2000000. Z defi nicji logarytmu wy-
nika, że t = log22000000 ≈ 21. Jeżeli więc t oznacza czas (wyrażony
w dniach), jaki upłynął od momentu, w którym próbka zawierała
jedną bakterię, do momentu, gdy zawierała pewną liczbę x bakterii,
to otrzymujemy związek t = log2 x. Zatem jeśli chcemy obliczyć czas
t w zależności od liczby bakterii, to możemy obliczyć wartość funkcji
określonej wzorem t (x)= log2 x.
Możemy narysować wykres otrzymanej funkcji, przyjmując, że x ≥ 1.
t
1
O 1 2
x
Otrzymany wykres jest fragmentem wykresu
funkcji nazywanej funkcją logarytmiczną.
76
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę Z pierwszej klasy znamy pojęcie logarytmu.
Uwaga
Przykład 1.
x . Sporządźmy
Dana jest funkcja
tabelę wybranych wartości tej funkcji i naszkicujmy
jej wykres.
dla
log
=
0
x
y
2
0
a b
,
oraz
1a ≠ , to logarytmem
Jeżeli,
przy podstawie a z liczby b nazywamy taką
liczbę c, że
można napisać symbolicznie:
c
b= . Przy takich zastrzeżeniach
b
⇔ = .
ca
b
a
c
=
log
a
x
y
=
log
2
x
1
16
4−
1
8
1
4
1
2
3−
2−
1−
1
0
2
1
4
2
8
3
y
1
O
1
2
x
Przykład 2.
Dana jest funkcja
log
i naszkicujmy jej wykres.
=
y
x
dla
x . Sporządźmy tabelę wybranych wartości tej funkcji
0
1
2
y
x
y
=
log
x
1
2
1
8
3
1
4
2
1
2
1
1
0
2
4
8
1−
2−
3−
O
–1
1
2
x
)
=
loga
Funkcję określoną wzorem:
(
x
f x
,
x oraz
gdzie x ∈ i
stawie a.
Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
1a ≠ , nazywamy funkcją logarytmiczną o pod-
0a ,
0
Definicja
*3.2. Funkcja logarytmiczna
77
Poleć książkęKup książkę Dla 0 a 1 funkcja logarytmiczna jest malejąca (wykres czerwony).
Dla a 1 funkcja logarytmiczna jest rosnąca (wykres niebieski).
y
O
1
x
Wykresy funkcji
y
=
loga
x
i
y
=
log
1
a
są do siebie symetryczne względem osi Ox.
x
Oto kilka przykładów wykresów funkcji logarytmicznych:
y
O
1
y
y = log3x
y = log4x
x
O
1
x
x1
y = log
4
y = log
x1
3
Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest przedział (−∞, ∞).
Oś Oy nazywamy asymptotą pionową wykresu tej funkcji.
Funkcja logarytmiczna każdą wartość przyjmuje dokładnie jeden raz.
Wykres funkcji przecina oś Ox w punkcie o współrzędnych (1, 0).
Przesuwając wykres funkcji logarytmicznej
możemy rysować inne wykresy funkcji, np.:
1. funkcję
x b
=
y
loga
o b jednostek,
y
=
loga
x
wzdłuż osi układu współrzędnych,
+ rysujemy, przesuwając wykres funkcji
y
=
loga
x
wzdłuż osi Oy
2. funkcję
y
=
loga
(
x c
− rysujemy, przesuwając wykres funkcji
)
y
=
loga
x
wzdłuż osi Ox
o c jednostek.
78
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Rzeczywiście:
y
ax=
wtedy i tylko wtedy, gdy x
= log
ya
, przy założeniu, że a 0 i a ≠ 1 oraz y 0.
ya
) =
) = log
(
Funkcja x y
(
(
y x
. Jeżeli chcemy narysować wykres funkcji y x
zmienne x i y. Przekształceniem, w którym oś Ox przechodzi na oś Oy i odwrotnie, jest odbicie
symetryczne względem prostej y
jest funkcją zmiennej y i jej wykres pokrywa się z wykresem funkcji
, musimy zamienić rolami
) = log
x= .
xa
ax
Przedstawmy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji wykładniczej i odwrotnej
do niej logarytmicznej o tej samej podstawie a.
Wykres funkcji odwrotnej g do danej funkcji f jest symetryczny względem prostej o równaniu
y
x= .
1a wykresy nie mają punktów
Dla
wspólnych.
f(x) = ax
y = x
y
1
x
1O
g(x) = logax
1a wykresy przecinają się
Dla 0
w punkcie należącym do prostej y
x= .
y
1
y = x
O
1
f(x) = ax
x
g(x) = logax
Czy wykresy funkcji wykładniczej i odwrotnej do niej funkcji logarytmicznej o podstawie
0
mają punkty wspólne?
a
1
x
) =
Rozpatrzmy dwie funkcje:
) = log 1
(
f x
Można zauważyć, że dla x = 1
4
(
i g x
1
16
x
.
16
mamy f
1
4
=
g
1
4
=
1
2
oraz dla x = 1
2
mamy f
1
2
=
g
1
2
1
= .
4
Zatem wykresy tych funkcji przecinają się w punktach o współrzędnych 1
4
,
1
2
, 1
2
,
1
4
.
*3.2. Funkcja logarytmiczna
79
Poleć książkęKup książkę Zadania
1 Naszkicuj wykresy funkcji:
a)
y
=
log
2
x
b)
y
=
log
2
(
x
+
)
1
c)
y
= − +
1 log
x
2
d)
y
= −
1 log
x
2
2 Naszkicuj odpowiednie wykresy funkcji i korzystając z nich, podaj rozwiązania nie-
równości:
a)
x ≤
3
x
log
log
b)
c)
2
x ≥ −
1
log
3
3 Dla jakiej wartości k punkt P należy do wykresu funkcji
)
a)
(
1000, 3
P =
P =
P =
b)
c)
)8, 3
(
(
−
64, 3
d)
P =
)
e)
P =
1
3
(
)
125, 3
(
−
729, 6
)
1
2
(
f x
)
=
logk
x
?
4 Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji i zapisz ich dziedziny:
a)
log
log
b)
=
=
(
f x
(
f x
)
)
c)
2
x
(
=
log
2
x
+
)
2
d)
(
f x
(
f x
)
)
2
x
(
+
2
)
+
2
x
+
2
=
log
2
3.3. Spoza podstawy programowej
— skala logarytmiczna
Aby zobrazować, do czego może w praktyce służyć skala logarytmiczna, spójrzmy na po-
niższy opis.
Wiemy, że pewna wielkość y rośnie wraz ze wzrostem innej wielkości x szybciej niż li-
niowo. Nie wiemy jednak, czy y zależy od drugiej, czy może trzeciej potęgi x. Zapiszmy
więc
, gdzie stałe A oraz n są nieznanymi liczbami rzeczywistymi.
y Ax=
n
=
Ax
y
log
Po obustronnym zlogarytmowaniu otrzymujemy: log
+
x
A n
własności działań na logarytmach mamy: log
.
log
Zatem jeśli na obu osiach Ox i Oy umieścimy logarytmy odpowiednich wartości, to wy-
kresy jednomianów stopnia dodatniego, funkcji pierwiastkowej itp. staną się prostymi.
Wartości log A oraz n możemy odczytać z wykresu.
, a stąd na podstawie
log
=
y
n
Przykład 1.
Przyjrzyjmy się wynikom, jakie otrzymano w pewnym eksperymencie z wahadłem.
80
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę Długość wahadła (w metrach) l
Średni czas wahnięcia (w sekundach) t
0,6
1,54
1,0
2,03
1,4
2,39
1,8
2,67
2,2
2,97
Przedstawmy teraz wykres funkcji po zlogarytmowaniu.
t
=
n
n
=
kl
log
log
kl=
+
k n
, to log
t
Jeśli
Wynika z tego, że wykresem logt jako funkcji logl będzie
prosta o takim kącie nachylenia α, że tg
nα= . Przecina
ona oś logt w punkcie o rzędnej logk.
log
l
.
t
k
O
1
2
l
logl
logt
−
0,222
0,188
0,000
0,307
0,146
0,378
0,255
0,427
0,342
0,473
Tangens kąta nachylenia prostej do osi
odciętych liczymy, dzieląc stosunek
przyrostu wartości funkcji przez przy-
rost argumentów. Biorąc dane ze skraj-
nych kolumn tabeli, otrzymujemy:
log t
log k
=
n α
tg
=
0,473 0,188
0,222
−
(
− −
0,342
≈
0,5
.
)
–0,2
–0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
log l
Natomiast log k jest rzędną punktu prze-
cięcia wykresu funkcji z osią rzędnych, czyli log
t
nych doświadczalnych wynika, że badaną funkcję w przybliżeniu opisuje wzór
, a w konsekwencji k = 2 03,
0,307
k =
=
. Z da-
0,5
l
2,03
.
3.4. Z zastosowań matematyki
Temat badawczy nr 1
Opis ćwiczenia
Przeprowadzono pewien eksperyment, na podstawie którego określono, że liczba bakterii
w pewnej hodowli wzrasta każdego dnia. Wyniki badań przedstawiono w tabeli.
Czas [dni]
Liczba bakterii w przybliżeniu 100
0
1
200
2
400
3
800
5
4
1600 3200 6400 12 800
7
6
3.4. Z zastosowań matematyki
81
Poleć książkęKup książkę Ćwiczenie 1.
Ćwiczenie 1.
Ćwiczenie 1.
Ćwiczenie 1.
Ćwiczenie 1.
a) Znajdź wzór funkcji opisującej powyższą zależność.
b) Oblicz przybliżoną liczbę bakterii tej kolonii po 1,25 dnia oraz po 2,25 dnia.
c) Oblicz, w którym dniu liczba bakterii wynosiła 102 400.
d) Oszacuj, ile dni przed eksperymentem hodowla składała się z tylko jednej bakterii.
Temat badawczy nr 2
Opis ćwiczenia
Lekarstwa, które przyjmuje człowiek, są stopniowo eliminowane z organizmu. Przy-
bliżona ilość leku, jaka pozostaje w organizmie, zależy od wielkości dawki leku d
(mg) oraz czasu t (h) liczonego od momentu zażycia lekarstwa i wyraża się wzorem
( )
P t
, gdzie
t ≥ .
0
d= ⋅
(
)0,7 t
Ćwiczenie 2.
Ćwiczenie 2.
Ćwiczenie 2.
Ćwiczenie 2.
Ćwiczenie 2.
Ćwiczenie 2.
Załóżmy, że chory przyjął 20 mg leku.
a) Oszacuj, ile mg leku znajduje się w organizmie chorego po upływie 6 godzin od
momentu zażycia lekarstwa.
b) Wyznacz, ile procent zażytego leku organizm eliminuje w ciągu każdej godziny.
c) Oblicz, jaka najmniejsza liczba godzin musi upłynąć, aby w organizmie chorego
pozostało co najwyżej 0,56495 mg leku.
3.5. Prosto do matury
ZESTAW I (TESTOWY)
1 Który rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej
y
x
a=
dla
1a ?
A.
y
1
O
B.
y
1O
x
x
82
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę C.
y
1
O
D.
y
1
O
x
2 Który rysunek przedstawia wykres funkcji wykładniczej
A.
B.
y
y
x
y
x
a=
dla
1a ?
C.
1
O
y
1
O
x
x
D.
1O
y
1
O
x
x
(
f x
3 Rozważmy funkcje zadane wzorami
A. nie posiadają punktów wspólnych.
B. mają dokładnie jeden punkt wspólny.
C. mają dokładnie dwa punkty wspólne.
D. mają dokładnie pięć punktów wspólnych.
)
−=
45x
i
(
g x = . Wykresy tych funkcji:
) 2x
4 Gdy f jest funkcją wykładniczą określoną wzorem
(
f x
)
=
1
2
x
dla x ∈, to wykres
funkcji g określonej wzorem (
g x
naniu:
A.
y =
0
1y =
B.
)
= −
(
f x
) 3
+ nie ma punktów wspólnych z prostą o rów-
C.
y =
2
D.
y =
3
3.5. Prosto do matury
83
Poleć książkęKup książkę 2
x = . Jednym z rozwiązań tego równania jest liczba 2.
2x
5 Dane jest równanie
A. Równanie to nie ma innych rozwiązań.
B. Równanie to prócz rozwiązania
datnie.
C. Równanie to prócz rozwiązania
ujemne.
D. Równanie to prócz rozwiązania
x = ma jeszcze tylko jedno rozwiązanie, jest ono do-
2
x = ma jeszcze tylko jedno rozwiązanie, jest ono
2
x = ma jeszcze co najmniej dwa inne rozwiązania.
2
x
jest równa:
x=
4
C. 2
D. 3
B. 1
x
=
6 Liczba rozwiązań równania 2
A. 0
7 Równanie 1
2
A. nigdy nie ma rozwiązania.
B. może nie mieć rozwiązań.
C. zawsze ma jedno rozwiązanie.
D. może mieć dwa rozwiązania.
m
, gdzie m∈:
8 Jeżeli
1
44
3
5
⋅
8
A. 2
(
2
:
B. 15
16
3
)1
=
4x
, to x jest równe:
C. 16
15
D. 10
3
3
x
−
1
−
x
2
:
=
8
3
9
9 Równanie
A. ma dokładnie dwa rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C. jest sprzeczne.
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.
x
2
B.
x − dla
a
)
a∈ + ∞
− wynika, że:
2
a
10 Z nierówności
(
0,
A.
(
)0,1
(
a∈ + ∞
C.
1,
D. x ∈∅ dla a∈
x − dla
x − dla
a∈
2
2
)
t = i 6
5
11 Jeżeli 2
A. 12
1
3
9
12 Wyrażenie
A.
113−
⋅
3
B. 53
t = , to 12t wynosi:
2
B. 5
−
3
⋅
−
5
27
−
2
4
C. 10
D. 2
zapisane jako potęga o podstawie 3 ma postać:
C.
23
D.
53−
84
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę 13 Punkt
A.
y =
2x
P
= −
13,
8
B.
y
14 Do wykresu funkcji
y
należy do wykresu funkcji określonej wzorem:
=
x
1
2
−=
5 23
C.
y =
3x
D.
y
−=
3 x
x
należy punkt o współrzędnych:
A.
14,
27
B. (
)3,1
C. (
)
2, 1−
D. (
)1, 9
15 Wskaż funkcję rosnącą:
A.
(
f x
)
x
=
1
3
B.
(
f x
)
x
=
1
2
ZESTAW II (RACHUNKOWY)
C.
(
f x
) 2 x
−=
D.
(
f x
)
−
x
=
1
2
1 Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem
P =
. Oblicz a.
4, 256
(
)
(
y x
)
x
a=
należy punkt
2 Wykres funkcji wykładniczej określonej wzorem (
y x
którego druga współrzędna y wynosi 8
125
x
)
=
2
5
przechodzi przez punkt,
. Znajdź pierwszą współrzędną tego punktu.
3 Do wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem
Znajdź wartość tej funkcji dla
x = .
3
y
x
a=
należy punkt
P
= −
42,
9
.
(
f x = przesunięto względem osi Ox o 3 jed-
4 Wykres funkcji f określonej wzorem
nostki w lewo i względem osi Oy o 1 jednostkę w górę. Podaj wzór funkcji g, której wykres
otrzymano w wyniku tych przekształceń.
) 2x
5 W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji
(
g x
i
. Podaj rozwiązanie równania
(
g x
(
f x
log
=
=
x
)
)
)
.
2
6 W jednym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji
(
g x
i
. Podaj zbiór rozwiązań nierówności
(
g x
(
f x
log
≥
=
x
)
)
)
.
2
(
f x
)
=
log
(
f x
)
=
log
x
x
1
2
1
2
7 Wykres funkcji
dzi przez punkt (
+
6, 5− . Znajdź m i k.
log
(
f x
)
=
(
)
3
x m k
− , której dziedziną jest zbiór (
)
3,− + ∞ , przecho-
)
8 Wyznacz miejsca zerowe funkcji
(
f x
)
=
log
(
x
−
2
x
)3
.
3.5. Prosto do matury
85
Poleć książkęKup książkę 9 Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x oraz
0a prawdziwa jest nierówność
1
a−
0
.
x
x
+
−
1
a
10 Rozwiąż grafi cznie nierówność 1
2
x
≤
8
.
11 Rozwiąż grafi cznie nierówność 2
x
16
.
12 Znajdź współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji
(
f x
z osiami układu współrzędnych.
+
+
=
6
8
5
8
8
x
x
x
)
⋅
⋅
⋅
2
3
x
x
x
13 Znajdź współrzędne punktów przecięcia się wykresu funkcji
funkcji
(
g x
1
2
+
=
2
x
x
)
.
⋅
⋅
−
−
2
x
x
(
f x
)
−=
32 x
z wykresem
14 Naszkicuj wykres funkcji
(
f x
) 2 3 x
= +
−
.
15 Wiedząc, że 2
wynosi
2 3
− + − .
6 t
2
t
t = i 6
5
t = , i korzystając z własności funkcji wykładniczej, oblicz, ile
2
ZESTAW III (ZADANIA RÓŻNE)
)
,
5000 1 1 0 2
1 Populacja P pewnego miasta wzrasta zgodnie ze wzorem P
,
gdzie t ∈ oznacza liczbę lat po 1980 roku. Jaka będzie liczba mieszkańców tego
miasta po 2028 roku?
⋅(
=
,
t
2 Liczba N oznacza masę pierwiastka radioaktywnego po pełnych t latach roz-
padu (N0 jest masą początkową):
. Ile substancji zostanie z 2 gra-
mów po 7500 latach?
(
0 0,97
N N=
)0,0004
t
3 Przypuśćmy, że rząd zakłada, iż pensje wzrastają w tempie 4 na rok. Jeśli pen-
sje w pewnym szczególnym zawodzie są podnoszone raz na trzy lata, to o ile procent
powinny wzrastać, aby nadążyć za roczną średnią założoną przez rząd?
4 Obserwowana uprawa drożdży o objętości 2 cm3 podwaja swoją objętość co 30 minut.
Oblicz objętość uprawy drożdży po upływie jednej godziny oraz po upływie jednej doby.
Wskazówka
Aby rozwiązać zadanie, skorzystaj ze
wzoru zamieszczonego w ciekawostce
na stronie 73.
5 Jednym z wielu produktów reakcji jądrowej, w której
bierze udział uran, jest radioaktywny pluton, którego czas
połowicznego rozpadu wynosi 25 000 lat. Jeżeli pewna
ilość plutonu została zamknięta w betonie, to jaka jego
część pozostanie po 100 000 lat?
86
Rozdział 3. Wykres i zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej
Poleć książkęKup książkę SKOROWIDZ
(cid:20)A
aksjomat Peano, 161
asymptota pozioma, 73
C
ciąg arytmetyczny, 148
n-ty wyraz ciągu, 149
różnica ciągu, 148
suma n początkowych wyrazów ciągu, 151
suma wyrazów ciągu, 150
twierdzenie Dirichleta, 149
własność ciągu, 148
ciąg Fibonacciego, 140
ciąg geometryczny, 153
granica ciągu, 158
iloraz ciągu, 153
n-ty wyraz ciągu, 154
suma n wyrazów ciągu, 156
szereg geometryczny, 158
własność ciągu, 154
zbieżny, 159
ciąg liczbowy, 138
arytmetyczny, 148
Fibonacciego, 140
geometryczny, 153
granica ciągu stałego, 145
granice ciągów, 143
malejący, 140
niemalejący, 140
nierosnący, 140
nieskończony, 138
n-ty wyraz ciągu, 138
określanie ciągów, 139, 142
określony rekurencyjnie, 142
pojęcie ciągu, 138
rosnący, 140
rozbieżny, 146
skończony, 138
zbieżny do liczby, 144
zbieżny do zera, 144
cosinus, 90, 99
kofunkcja, 105
podwojonego kąta, 123
twierdzenie cosinusów, 187
cosinusoida, 109
własności, 110
cotangens, 105
czas połowicznego rozpadu, 73, 86
D
datowanie radiowęglowe, 73
czas połowicznego rozpadu, 73, 86
długość
odcinka, 208
promienia okręgu, 233
stycznej, 180
wektora, 212
dodawanie
wektorów, 212
wielomianów, 13
wyrażeń wymiernych, 48
drgania harmoniczne, 128
dwumian, 11
dziedzina
funkcji logarytmicznej, 77
funkcji wykładniczej, 72
funkcji wymiernej, 60
wyrażeń wymiernych, 46, 47
dzielenie wielomianu, 17
dzielenie z resztą, 17
dzielna, 17
dzielnik, 17
grupowanie wyrazów, 23
pierwiastek wielomianu, 19
reszta, 17, 19
rozkład na czynniki, 21
szczególne przypadki, 20
twierdzenie Bézouta, 19
wyłączanie wspólnego czynnika, 23
wzory skróconego mnożenia, 22, 24
dzielna, 17
dzielnik, 17
Skorowidz
279
Poleć książkęKup książkę F
figury
jednokładność, 194
obrót, 197
podobieństwo, 194
funkcja homograficzna, 60, 61
postać kanoniczna, 61
funkcja logarytmiczna, 76, 77
dziedzina, 77
logarytm, 77
malejąca, 78
rosnąca, 78
skala logarytmiczna, 80
tangens kąta nachylenia, 81
wykresy funkcji, 76, 78
zbiór wartości funkcji, 78
funkcja nieparzysta, 108, 111
funkcja odwrotna, 79
wykres, 79
funkcja parzysta, 110
funkcja wykładnicza, 70, 72
dziedzina, 72
krzywa wykładnicza, 71
malejąca, 72
potęgi o wykładniku wymiernym, 70
rosnąca, 71, 72
wykresy funkcji, 73
zbiór wartości funkcji, 73
funkcja wymierna, 60
dziedzina, 60
funkcja homograficzna, 61
funkcje trygonometryczne, 87
cosinus, 90, 99
koło trygonometryczne, 107
miary kąta, 94
mierzenie obrotów, 102
nierówności trygonometryczne, 112
okresowość funkcji, 103
określoność funkcji, 92
równania trygonometryczne, 112
sinus, 88, 90, 99
tangens, 90, 99
tożsamości trygonometryczne, 122
wartości funkcji, 107
wykresy funkcji, 107
wzory redukcyjne, 93, 104, 105
zależności trygonometryczne, 106
znaki funkcji, 92, 99
związki między funkcjami, 92
G
Gauss Carl Friedrich, 151
geometria, 207
gęstość ciała, 67
granice ciągów, 143
stałych, 145
twierdzenia o działaniach, 145
zbieżnych, 144
H
harmoniki, 128
drgania harmoniczne, 128
hiperbola, 55, 56
hipoteza Murraya, 136
I
iloczyn skalarny wektorów, 240
kąt między wektorami, 240
pola trójkątów, 241
środek odcinka, 242
twierdzenie cosinusów, 242
własności iloczynu, 240
indukcja matematyczna, 161
aksjomat Peano, 161
przejście indukcyjne, 162
sprawdzenie początkowe, 162
uogólniona zasada indukcji, 162
J
jednokładność, 193
figur, 194
odwrotna, 193
prosta, 193
skala jednokładności, 193
jednomiany, 10
dwóch zmiennych, 10
jednej zmiennej, 10
podobne, 11
stopnia czwartego, 10
stopnia drugiego, 10
stopnia pierwszego, 10
stopnia trzeciego, 10
stopnia zerowego, 10
K
kartezjański układ współrzędnych, 208
oś odciętych, 208
oś rzędnych, 208
280
Skorowidz
Poleć książkęKup książkę kąty
bifurkacji, 136
miary kąta, 94
między wektorami, 240
obrotu, 197
pełny, 95
półpełny, 95
prosty, 94, 95
środkowy, 172
wpisany, 172, 173, 177
zerowy, 95
rozwarty, 93
uogólniony, 102, 104
koło, 172
promień, 172
w układzie współrzędnych, 232
trygonometryczne, 107
L
logarytm, 77
funkcja logarytmiczna, 77
skala logarytmiczna, 80
M
miara łukowa, 95
kąt pełny, 95
kąt półpełny, 95
kąt prosty, 95
kąt zerowy, 95
radian, 95
miara stopniowa, 94
kąt prosty, 94
stopień, 94
miary kąta, 94
miara łukowa, 95
stopniowa, 94
zamiana jednostek, 96
mnożenie
wektorów, 239
wielomianów, 13
wyrażeń wymiernych, 48
moc urządzenia, 67
N
napięcie elektryczne, 67
natężenie prądu, 67
nierówności liniowe
gra„ czne rozwiązanie nierówności, 230
interpretacja gra„ czna, 229
z dwiema niewiadomymi, 230
nierówności trygonometryczne, 112
gra„ czne rozwiązanie nierówności, 115
rozwiązywanie metodą sprowadzania do
nierówności podstawowej, 127
nierówności wielomianowe, 32, 59
rozwiązanie nierówności, 32
sposób rozwiązywania, 32
wielomian zredukowany, 32
nierówności wymierne, 58
nierówność wielomianowa, 59
rozwiązywanie, 58
O
obrót „ gury, 197
kąt obrotu, 197
środek obrotu, 197
odcinek, 208
długość, 208
środek, 210
odejmowanie
wektorów, 213
wielomianów, 13
wyrażeń wymiernych, 48
okrąg, 172
czworokąty opisane na okręgu, 183, 184
czworokąty wpisane w okrąg, 183, 185
de„ nicja, 232
długość promienia okręgu, 233
kąt wpisany, 172
okręgi styczne do siebie, 178
promień, 172
prosta, 234
punkt styczności, 176
równanie okręgu w postaci kanonicznej, 232
równość odcinków stycznych, 177
styczna do okręgu, 176
trójkąty opisane na okręgu, 181
trójkąty wpisane w okrąg, 181
układ współrzędnych, 232
współrzędne środka okręgu, 233
opór elektryczny, 67
om, 67
oś
odciętych, 208
rzędnych, 208
P
Peano Giuseppe, 161
pierwiastek wielomianu, 19
pierwsze odkrycie Gaussa, 150
Skorowidz
281
Poleć książkęKup książkę planimetria, 171
jednokładność, 192
koło, 172
okrąg, 172
podobieństwo, 192
promień, 172
rozwiązywanie trójkątów, 189
płaszczyzna kartezjańska, 207
podobieństwo, 194
figur, 194
skala podobieństwa, 194
trójkątów, 195
prawa
odbicia światła, 134
Ohma, 67
Snella, Patrz prawo załamania światła
załamania światła, 134
promień, 172
proporcjonalność odwrotna, 53
hiperbola, 55, 56
wykres, 54
proporcjonalność prosta, 52
proste, 219
odległość punktu od prostej, 228
okrąg, 234
pokrywające się, 223
prostopadła do osi, 219
prostopadłe, 225, 227
przecinające się, 223
równanie kierunkowe prostej, 220
równanie ogólne prostej, 219
równoległa do osi, 219
równoległe, 224, 227
styczna do okręgu, 176
własności prostej, 227
współczynnik kierunkowy prostej, 220
wzajemne położenie prostych, 223
przekształcenia płaszczyzny, 236
geometryczne, 236
symetria osiowa, 237
symetrią środkowa, 238
tożsamościowe, 237
wzajemnie jednoznaczne, 236
punkt styczności, 176
R
radiany, 95
zamiana na stopnie, 96
reguła równoległoboku, 213
282
Skorowidz
rekurencja, 142
rozwiązywanie
nierówności liniowych, 230
nierówności trygonometrycznych, 115, 127
nierówności wielomianowych, 32
nierówności wymiernych, 58
równań trygonometrycznych, 112, 125, 126
równań wielomianowych, 29, 38
równań wymiernych, 57
trójkątów, 186, 188, 189
równania trygonometryczne, 112, 125
graficzne rozwiązanie równania, 112
odcięte punktów, 113
rozwiązywanie metodą wprowadzenia po-
mocniczej niewiadomej, 125
rozwiązywanie z wykorzystaniem podsta-
wowych tożsamości, 126
równania podstawowe, 112
równania wielomianowe, 26, 28
miejsca zerowe wielomianu, 29
przybliżone rozwiązywanie, 38
rozwiązanie równania, 29
rozwiązywanie, 29
równania wymierne, 56
mianownik wyrażenia wymiernego, 57
rozwiązywanie, 57
równanie kierunkowe prostej, 220
równanie ogólne prostej, 219
S
sinus, 90, 94, 99
kąta ostrego, 88
kofunkcja, 105
podwojonego kąta, 123
twierdzenie sinusów, 186
sinusoida, 108
własności, 108
skala
jednokładności, 193
logarytmiczna, 80
podobieństwa, 194
stopnie, 94
zamiana na radiany, 96
styczna do okręgu, 176, 177
długość stycznej, 180
równość odcinków stycznych, 177
symetria osiowa, 237
symetria środkowa, 238
Poleć książkęKup książkę szereg geometryczny, 158
suma szeregu, 158
zbieżny, 158, 159
Ś
środek ciężkości trójkąta, 205
T
tangens, 90, 99
kofunkcja, 105
tangensoida, 111
własności, 111
tożsamości trygonometryczne, 122
podwojonego kąta, 123
wzory redukcyjne, 122
wzór jedynkowy, 123
trójkąty
dwusieczne kąta, 181
jednokładny, 193
obliczanie pola, 241
obrót, 197
opisane na okręgu, 181
podobieństwo, 195
rozwiązywanie trójkątów, 186, 188, 189
symetralne boków, 181
środek ciężkości, 205
twierdzenie cosinusów, 187
twierdzenie Pitagorasa, 208
twierdzenie sinusów, 186
wpisane w okrąg, 181
trójmian kwadratowy niepełny, 11
twierdzenia
Bézouta, 19
cosinusów, 187, 242
Dirichleta, 149
Pitagorasa, 208
sinusów, 186
Talesa, 209
U
układ współrzędnych, 208
kartezjański, 208
koło, 232
nierówności liniowe, 229
odcinek, 208
okrąg, 232
oś odciętych, 208
oś rzędnych, 208
prosta, 219
symetria osiowa, 236
symetria środkowa, 236
wektory, 215
wzajemne położenie prostych, 223
ułamek algebraiczny, 46
W
wektory, 211
długość wektora, 212
dodawanie wektorów, 212
iloczyn skalarny wektorów, 240
iloczyn wektora i liczby, 214
kąt między wektorami, 240
mnożenie wektorów, 239
odejmowanie wektorów, 213
postać kanoniczna wektora, 215
prostopadłe wektory, 217, 240
przeciwny, 213
równoległe wektory, 217
równość wektorów, 212,
swobodny, 212, 214, 216
współrzędne wektorów, 215
zaczepiony, 211, 212
zerowy, 212
wielokąty równoważne, 199
wielomiany, 9
defi niowanie jako funkcje, 28
dodawanie wielomianów, 13
dwumian, 11
dzielenie przez dwumian, 17
dzielenie z resztą, 17
grupowanie wyrazów, 23
miejsca zerowe, 29
mnożenie wielomianów, 13
nierówności wielomianowe, 32, 59
odejmowanie wielomianów, 13
ogólna postać, 10
pierwiastek wielomianu, 19
podobne, 11
postać iloczynowa, 22
przykładowe wykresy, 10
reszta z dzielenia, 17, 19
rozkład na czynniki, 21
równania wielomianowe, 26, 28
równość wielomianów, 12
stopnia czwartego, 10
stopnia drugiego, 10
stopnia pierwszego, 10
stopnia trzeciego, 10
Skorowidz
283
Poleć książkęKup książkę dodawanie wyrażeń, 48
dziedzina, 46, 47
dzielenie wyrażeń, 48
funkcja homograficzna, 60, 61
funkcja wymierna, 60
mianownik wyrażenia, 57
mnożenie wyrażeń, 48
najprostszy wspólny mianownik, 49
nierówności wymierne, 58
odejmowanie wyrażeń, 48
proporcjonalność odwrotna, 53
proporcjonalność prosta, 52
rozszerzanie wyrażeń, 47
równania wymierne, 56
równe zero, 57
sens liczbowy, 47
ułamek algebraiczny, 46
upraszczanie wyrażeń, 47
wyrażenia algebraiczne, 46
wzory Gaussa, 242
wzory redukcyjne, 93, 104, 105
kąty rozwarte, 93
kąty uogólnione, 104
tożsamości trygonometryczne, 122
zależności trygonometryczne, 106
wyrażenia algebraiczne, 46
ułamek algebraiczny, 46
wyrażenia wymierne, 46
wzory Viète’a, 30
wzór trapezowy, 243
Z
zbieżność ciągu, 145
wielomiany
stopnia zerowego, 11
trójmian, 10, 11
twierdzenie Bézouta, 19
uporządkowany, 12
wykresy funkcji, 33, 36
wyłączanie wspólnego czynnika, 23
wyrazy wielomianu, 12
wzory skróconego mnożenia, 24
wzory Viète’a, 30
zerowy, 11
zredukowany, 32
cosinusoidy, 110
ciągu arytmetycznego, 150
ciągu geometrycznego, 154
iloczynu skalarnego wektorów, 240
sinusoidy, 108
tangensoidy, 111
własności
wspólny mianownik, 49
wykres funkcji odwrotnej, 79
wykres proporcjonalności odwrotnej, 54
hiperbola, 55, 56
wykresy funkcji logarytmicznej, 76, 78
wykresy funkcji trygonometrycznych, 107
cosinusoida, 109
koło trygonometryczne, 107
sinusoida, 108
tangensoida, 111
wykresy funkcji wielomianowej, 33, 36
przedziały, 33
szkicowanie wykresów, 37
wykresy funkcji wykładniczej, 73
wyrazy wielomianu, 12
284
Skorowidz
Poleć książkęKup książkę
Pobierz darmowy fragment (pdf)
