Darmowy fragment publikacji:
• Kup książkę
• Poleć książkę
• Oceń książkę
• Księgarnia internetowa
• Lubię to! » Nasza społeczność
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 ..Wielomiany. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Postać ogólna wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
*1.2. Działania w zbiorze wielomianów. Dzielenie wielomianu przez dwumian . . . . . . . 8
1.3. Rozkład wielomianu na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Równania i nierówności wielomianowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 ..Wyrażenia.wymierne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
*2.1. Działania na wyrażeniach wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Równania i nierówności wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 ..Wykres.i.zastosowania.funkcji.wykładniczej.i.logarytmicznej. . . . 27
3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
*3.2. Funkcja logarytmiczna i jej wykres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna w modelach matematycznych . . . . . 30
4 ..Funkcje.trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
— powtórzenie wiadomości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 00, 1800 . . . . . . . . . . . . . . . 39
*4.3. Miary kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
*4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
*4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne . . . . . . . . . 43
*4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań
i nierówności trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
*4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
*4.8. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 ..Ciągi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1. Pojęcie ciągu liczbowego i ciągi zapisane rekurencyjnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
*5.2. Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3. Ciąg arytmetyczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4. Ciąg geometryczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
*5.5. Szereg geometryczny zbieżny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 ..Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1. Kąty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2. Okręgi styczne i styczne do okręgów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3. Trójkąty i czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
*6.4. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
*6.5. Jednokładność i podobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Spis treści
3
Poleć książkęKup książkę 7 ..Geometria.na.płaszczyźnie.kartezjańskiej. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1. Punkt i odcinek w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
*7.2. Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3. Prosta i wzajemne położenie prostych w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . 82
*7.4. Własności prostych wyrażonych równaniami ogólnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
*7.5. Interpretacja graficzna nierówności liniowych w układzie współrzędnych . . . . . . 86
*7.6. Okrąg i koło w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.7. Symetria osiowa i środkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Odpowiedzi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.1. Postać ogólna wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
*1.2. Działania w zbiorze wielomianów. Dzielenie wielomianu przez dwumian . . . . . . 95
1.3. Rozkład wielomianu na czynniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.4. Równania i nierówności wielomianowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
*2.1. Działania na wyrażeniach wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2. Proporcjonalność odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.3. Równania i nierówności wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1. Funkcja wykładnicza i jej wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
*3.2. Funkcja logarytmiczna i jej wykres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna w modelach matematycznych . . . . 110
4.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
— powtórzenie wiadomości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 00, 1800 . . . . . . . . . . . . . . 112
*4.3. Miary kąta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
*4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
*4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne . . . . . . . . 115
*4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań
i nierówności trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
*4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
*4.8. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1. Pojęcie ciągu liczbowego i ciągi zapisane rekurencyjnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
*5.2. Granice ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3. Ciąg arytmetyczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4. Ciąg geometryczny i jego suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
*5.5. Szereg geometryczny zbieżny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1. Kąty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2. Okręgi styczne i styczne do okręgów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3. Trójkąty i czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
*6.4. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
*6.5. Jednokładność i podobieństwo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1. Punkt i odcinek w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
*7.2. Wektory na płaszczyźnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3. Prosta i wzajemne położenie prostych w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . 133
*7.4. Własności prostych wyrażonych równaniami ogólnymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
*7.5. Interpretacja graficzna nierówności liniowych w układzie współrzędnych . . . . . 134
*7.6. Okrąg i koło w układzie współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.7. Symetria osiowa i środkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4
Spis treści
Poleć książkęKup książkę 4.2. Funkcje trygonometryczne kąta
o mierze z przedziału 〈00, 1800〉
1 Podaj współrzędne czterech przykładowych punktów leżących na ramieniu końco-
wym kąta.
a)
b)
y
y
30°
O
c)
y
60°
O
e)
y
135°
O
d)
f)
x
x
x
45°
120°
150°
O
y
O
y
O
x
x
x
4.2. Funkcje trygonometryczne kąta o mierze z przedziału 00, 1800
39
Poleć książkęKup książkę 2 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, wiedząc, że punkt P leży
na końcowym jego ramieniu.
(
P =
a)
(
P = −
(
)3,1
(
)3,1
P = −
)3, 2
)2, 5
P =
d)
b)
e)
c)
f)
)
(
P =
1,10
1 , 5
P
= −
2
3 Wykonaj odpowiedni rysunek i uzasadnij, że punkt P należy do ramienia końco-
wego kąta α. Korzystając ze współrzędnych punktu P, wyznacz wartości funkcji trygo-
nometrycznych kąta α.
)
30α=
a)
4 3, 4
4 Korzystając z tablic matematycznych, oblicz wartości funkcji trygonometrycznych
kątów:
a) 100° b) 110°
c) 115° d) 170°
(
P = −
150α=
e) 178°
4 3, 4
P =
b)
° ,
°,
(
)
5 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że
π α π .
i
2
6 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc,
że
α= − i
cos
4
5
π α π .
2
sin
α=
1
10
7 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że tg
π α π .
i
2
8 Oblicz pole trójkąta o długościach boków 5 cm i 8 cm i kącie między nimi 120°.
9 Oblicz pole trójkąta równoramiennego, którego kąt przy podstawie ma miarę 15°,
a długość ramienia wynosi 4 cm.
2α= −
*4.3. Miary kąta
1 Jaką miarę łukową mają poniższe kąty o mierze stopniowej? Podaj wartość dokładną
i wartość przybliżoną.
36°, 100°, 150−
2 Jaką w przybliżeniu miarę stopniową mają poniższe kąty o mierze łukowej?
π
; 3
π−
5
7
; 0,3229 rad; 1,405 rad; 1,0462 rad
° , 1000°, 0,43° , 32 39′
; 2 rad; 9,42 rad
, 88 55′
− °
, 57 20′
−
−
°
°
40
4. Funkcje trygonometryczne
Poleć książkęKup książkę 3 Co jest większe:
czy sin1?
a) sin
π
6
d) sin3 czy sin4?
e)
cos
π
3
π czy cos6 ?
3
2
b) cos0,3 czy cos
?
c) tg1 czy tg1° ?
′′
°
°
°
b) 10 25′
c) 10 39 17′
4 Przedstaw poniższe kąty w postaci ułamka dziesiętnego.
a) 5 10′
d) 143 7 2′ ′′
5 Przedstaw poniższe kąty w postaci stopni, minut i sekund.
a) 210,78° b) 15,45°
6 Oblicz wartość wyrażeń:
a)
m
c) 30,81°
d) 110,5°
sin90
π+
cos
sin
b)
° −
n
+
°
−
3
2
tg2
1
π π π
tg
6
π π π
3
4
sin
tg
+
+
6
3
2
cos180
° +
2
tg
π
3
d) 2sin
π
3
−
5cos90
° +
4cos
π
4
−
3tg
π
6
c)
m
sin
π−
3cos
7 Znajdź wartość wyrażeń:
a)
sin
3
ππ
4
cos
2
b)
tg
3
ππ
3 sin
6
2
b) 150°
8 Długość promienia okręgu wynosi 36 cm. Oblicz długość łuku, na którym opiera się kąt
środkowy o mierze:
a) 3 radiany
9 W okręgu o promieniu 5 cm dany jest kąt środkowy o mierze 30°. Oblicz długość
łuku, na którym opiera się ten kąt.
10 W okręgu o promieniu 10 cm dany jest kąt środkowy o mierze
Oblicz długość łuku, na którym opiera się ten kąt.
radiana.
π
10
*4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich
1 Podaj współrzędne trzech przykładowych punktów leżących na ramieniu końco-
wym kąta.
a)
b)
y
y
–1
210°
O
–1
x
–1
225°
O
–1
x
*4.4. Funkcje trygonometryczne kątów płaskich
41
Poleć książkęKup książkę c)
y
–1
240°
O
–1
e)
y
315°
1
O
–1
d)
y
300°
1
O
–1
y
O
–1
330°
1
x
x
x
x
f)
2 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że punkt P leży na ramieniu
końcowym kąta α.
a)
b)
c)
)
P = − −
3, 1
)
−
3, 1
P =
(
(
d)
P = − −
3, 2
)
(
(
−
2, 5
P =
)
e)
)
(
P = − −
1, 10
1 , 5
P
−
=
2
f)
3 Wykonaj odpowiedni rysunek i uzasadnij, że punkt P należy do ramienia końco-
wego kąta α. Korzystając ze współrzędnych punktu P, wyznacz wartości funkcji trygo-
nometrycznych kąta α.
a)
330α=
210α=
−
4 3, 4
−
4 3, 4
P =
b)
°,
°,
(
P = −
)
(
)
4 Która wartość funkcji jest dodatnia, a która ujemna?
a)
sin
15
4
π
b) cos2
c)
tg
10
3
π
5 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że:
a) sin
π α π
,
0,3α= −
0,96α=
b) sin
,
π α π
2
π α π
3
2
c)
cos
1
ϕ= − ,
3
d) tg
β=
4,95
π β π
,
3
2
3
2
42
4. Funkcje trygonometryczne
Poleć książkęKup książkę 6 Napisz, w której ćwiartce układu współrzędnych położone jest ramię końcowe
kąta α, jeżeli:
a) sin
d) sin
g) sin
j) cos
0α , cos
0α , cos
0α , tg
0α , tg
0α , cos
0α , tg
0α , tg
0α , tg
0α , cos
0α , tg
0α , tg
0α , tg
0α
0α
0α
0α
0α
0α
0α
0α
0α
0α
0α
0α
b) sin
e) sin
h) sin
k) cos
c) sin
f) sin
i) cos
l) cos
7 Określ znak wyrażeń:
°
a) sin200 cos220
°
c) sin215 tg347
°⋅
°⋅
°
b) sin300 cos220
d) sin318 tg215 cos358
°⋅
°⋅
°⋅
°
8 Określ ćwiartkę, w której leży końcowe ramię kąta α, jeżeli:
a) sin
α= −
α= −
b) cos
c) sin
cos
sin
α
α
sinα α=
+
α α
sin
9 Wyznacz wartość wyrażenia 1 cos
α
−
1 cos
+
, jeśli
π α π
i
3
2
cos
α= −
12
13
.
*4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej
rzeczywistej. Wzory redukcyjne
1 Wyznacz wartości:
a) sin750°
2 Wyznacz wartości:
)
a) cos120°,
° ,
sin 120−
(
c) sin300°, cos330° ,
tg
(
b) sin780°
c)
sin 330−
(
)
°
d)
tg
(
315−
°
)
)
°
b) sin210°,
cos
(
225−
)
° , tg240°
(
tg
330−
135−
)
°
3 Oblicz wartości:
a)
sin
π
35
2
4 Oblicz wartości:
b)
cos
π
7
−
2
c)
cos
π
27
4
d)
tg
π
−
23
3
a)
sin
d)
sin
π
11
−
3
π
19
−
2
cos
π
17
6
)
(
cos 5π
b)
e)
c)
cos
f)
sin
π
7
−
4
π
23
3
*4.5. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. Wzory redukcyjne
43
Poleć książkęKup książkę 5 Oblicz wartość wyrażeń:
π
5
sin
2
π
cos8
π
5
π
6
cos
cos
x
x
+
cos3
π
b)
sin
−
+
π
2
sin
+
cos
π
5
−
(
)
−
x
cos
cos
π
−
2
−
x
π
2
π
3
sin4
−
π
a)
c)
sin
−
sin
cos
π
+
(
cos2
)
π
sin1,5
π
6 Uprość wyrażenie:
4
a
cos2
−
π
3
a
sin
sin
3
2
2
a b
3
3
a b
4
π
5
2
+
+
π
sin
2 2
a b
6
π
9
2
−
−
cos0 4
ab
3
cos
+
π
b
4
sin
ab
3
2
cos
−
π
b
3
cos15
π
π
2
.
7 Zredukuj do pierwszej ćwiartki następujące wartości funkcji:
a) sin140°
sin 250−
d)
b) cos113°
e) sin1000°
c) tg164°
)
°
(
8 Oblicz wartość wyrażeń:
a) sin
⋅
b) sin
⋅
α α α α α α
α α α α α α
cos2
cos2
cos3
cos3
sin3
sin3
sin2
sin2
cos
cos
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
dla α = 45°
dla α = 30°
9 Ile wynosi iloczyn tangensów obu kątów ostrych w dowolnym trójkącie prostokątnym?
*4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych.
Rozwiązywanie równań i nierówności
trygonometrycznych
1 Przekształcając wykres odpowiedniej funkcji, naszkicuj wykres funkcji f(x):
a)
(
f x
)
= −
cos
x
b)
(
f x
) 2 cos
= −
x
c)
(
f x
)
=
d)
(
f x
g)
(
f x
)
=
sin
x π
+
4
) 3sin
=
x
e)
(
f x
)
=
tg
(
−
x
)
f)
(
f x
)
=
h)
(
f x
)
=
2 sin
x
i)
(
f x
)
=
x π
−
cos
3
x π
−
tg
3
1sin
2
x
2 Korzystając z wykresu funkcji
a)
c)
∈ −
x
dla
x
sin
∈ −
x
x
sin
dla
π π
2 , 2
π π
2 , 2
= −
=
y
y
y
=
sin
x
44
4. Funkcje trygonometryczne
, naszkicuj wykres funkcji:
x
dla
∈ −
x
= −
1 sin
=
x
sin
x
dla
b)
d)
y
y
∈ −
π π
2 , 2
π π
2 , 2
Poleć książkęKup książkę °
x
x
x
x
x
0
−
°
cos
540
360
1080
° ≤ ≤
° ≤ ≤
° ≤ ≤
b) 720
° b) 180
=
x
=
x
=
x
° °
y
sin
°
° ≤ ≤ − ° b) 270
.
x
900
x
.
°
450
x
.
720
3 Narysuj odpowiedni fragment wykresu funkcji
−
° c) 540
a) 360
4 Narysuj odpowiedni fragment wykresu funkcji
a) 180
c) 360
5 Narysuj odpowiedni fragment wykresu funkcji
−
a) 180
c) 360
6 Używając tablic matematycznych dostępnych dla maturzystów i własności funkcji
trygonometrycznych, rozwiąż równania:
0,9976
a) sin
d) cos
0,3443
g) sin
0,0872
7 Rozwiąż równania w przedziale 0, 2π :
b) sin
0,7071
0,9816
e) tg
h) cos
0,5736
y
° ≤ ≤
y
tg
° ≤ ≤
0,3256
8,1443
0,9004
x =
x =
x = −
c) cos
f) tg
i) tg
x =
x =
x = −
x =
x =
x = −
° ≤ ≤
360
°
90
x
°
a)
sin
x =
2
2
b)
cos
1
x = −
2
c)
tg
x = −
1
3
8 Używając tablic matematycznych dostępnych dla maturzystów i wykresów funkcji
trygonometrycznych, znajdź rozwiązania równań należące do przedziału 0, 360° :
a) sin
6,3138
9 Rozwiąż równania:
d) tg
0,6018
0,0349
0,9945
c) cos
b) sin
x = −
x = −
x = −
x =
2
2
x π
+
c) sin 4
3
xπ
−
2
4
g) cos
=
0
x π
−
d) sin 3
3
= −
1
=
1
h) tg2
x = −
1
= −
1
2
k)
cos5
x = −
3
2
l)
tg
(
)
x π− +
= −
3
)
0, 2π :
c)
=
3
2
f)
cos
x
2
= −
4
2
x π
4
+
cos 3
15
=
3
1
=
=
f)
a)
b)
sin
cos
x =
sin3
i) tg
e) sin
3
2
xπ
−
2
xπ
−
2
8
2
x
= −
5
x
1
=
3
2
x π
−
cos 3
2
10 Rozwiąż równania w przedziale (
1
x =
a)
2
x π
2
5
3
2
x π
−
4
e)
x = −
d) tg
sin3
sin
sin
b)
j)
−
=
3
11 Rozwiąż nierówności:
a) cos
x −
0,5
b)
sin
x ≥
e) tg
1x
f)
−
3
≤
2
2
≤
1x
tg
x −
1
c) cos
g) 1
−
2
sin
x
2
2
2
2
d) sin
1x ≤
*4.6. Wykresy funkcji trygonometrycznych.
45
Poleć książkęKup książkę 12 Rozwiąż nierówności:
a)
d)
≤
x π
−
cos 3
3
x π
+
2
sin 12
2
2
b)
sin 4
3
2
e)
tg 7
x π
5
−
4
x π
2
−
3
≥
1
2
c)
cos 3
x π
+
12
−
1
2
−
3
f)
tg
(
xπ−
2
)
3
3
13 Wykaż, że równanie sin
14 Wykaż, że równanie sin
wtedy, gdy
15 Wykaż, że nierówność
p ≤
2
.
x
x
+
cos
−
cos
x
x
= jest sprzeczne.
= , gdzie p∈, ma rozwiązanie wtedy i tylko
2
p
sin
x
⋅
cos
x
nigdy nie zachodzi.
1
4
*4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne
° +
a) cos105
1 Oblicz bez użycia tablic matematycznych i kalkulatora wartość wyrażeń:
π
11
cos
12
π
11
12
π
11
12
°
e) tg22 30
π+
5
sin
12
tg67 30
cos75
sin15
°
d) cos15
sin
b)
° −
c)
°
f)
tg
+
°
′
′
π−
5
cos
12
π−
5
tg
12
)
tg 90 α° −
(
, jeśli
sin
α=
2
−
2
.
1
2
cos
α= − i
sin
β= oraz
, oblicz wartości wy-
+
c) 3
x
sin
2
π α π i
2
π β π
2
)
sin α β−
c)
π α π i
2
π β
π
3
2
(
d)
)
cos α β−
(
, oblicz wartości wy-
b)
)
sin α β−
(
c)
)
cos α β+
(
d)
)
cos α β−
(
2 Oblicz wartość wyrażenia
3 Oblicz wartości wyrażeń:
)
(
α= −
a)
cos 30 α° +
π α
−
, jeśli sin
3
)
, jeśli cos
tg α β−
b) sin
(
, jeśli cos
0,8α= −
c)
0,6α= −
i
0,75
i 90
180α°
°
i
π α π
3
2
π α π
3
2
4 Przedstaw w postaci iloczynu wyrażenia:
a) 1
2
b) 1 sinx
cos
−
+
x
1
3
2
3
b)
(
)
cos α β+
3
4
tg
i
8
17
sin
α=
β= oraz
5 Wiedząc, że
rażeń:
(
a)
)
sin α β+
6 Wiedząc, że
rażeń:
(
a)
)
sin α β+
46
4. Funkcje trygonometryczne
Poleć książkęKup książkę 7 Wyznacz wartość wyrażenia 1 4sin10 sin70
−
.
8 Doprowadź do postaci
a)
cos
π
x
π
x
sin
=
−
y
=
y A
b)
(
sin
=
y
d)
y
=
3 cos4
x
−
sin4
x
e)
y
=
=
y C
cos
π
x
2
3 cos
(
+
)
Dx β
=
y
c)
funkcje:
x
3sin2
+
cos2
x
cos
x
)
f)
y
=
sin
x
+
cos
x
°
°
°
2sin10
)
Bx α
+
oraz
π
−
x
sin
2
(
sin
−
−
x
2
2
4
3
9 Kąt α jest taki, że
10 Wykaż równości:
cos20 cos40 cos80
a)
°
°
c)
cos24
° +
cos48
° −
1
° =
8
° −
cos84
cos
α α+
sin
= . Oblicz wartość wyrażenia cos
sinα α−
.
b) tg9
° −
tg27
° −
tg63
° +
tg81
° =
4
cos12
1
° =
2
11 Wykaż, że jeśli α i β są kątami ostrymi, to
sin
(
)
α β
+
12 Udowodnij równość
cos
°
180
5
⋅
cos
°
360
5
1
= .
4
sin
α β
.
sin
+
13 Uprość wyrażenia:
α
a) 1 cos2
α
−
sin
b)
cos2
α α−
α
sin
cos
α
+
c) 1 cos2
α
−
1 cos2
α
+
−
d) 1 sin2
α
+
+
1 sin2
cos2
cos2
α
α
14 Wiedząc, że sinx m=
, oblicz cos2x .
15 Wykaż równość
+
1 2tg
x
cos2
x
+
2
−
tg
sin2
x
x
=
1
2
cos
.
x
16 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę-
pujące w nich wyrażenia mają sens.
a)
sin
2
α
=
2
α
tg
2
α
+
1
tg
b)
cos
2
α
=
1
α
+
1
2
tg
c)
sin
α α
=
cos
⋅
α
tg
2
α
+
1
tg
17 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę-
pujące w nich wyrażenia mają sens.
)
α
α
(
α
−
3 tg
2
−
1 3tg
α β
−
tg
α β
⋅
tg
tg
+
1 tg
2tg
−
1 tg
(
)
α β
α
2
α
b)
α
=
α
=
tg3
tg2
a)
c)
tg
tg
−
=
2
18 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę-
pujące w nich wyrażenia mają sens.
a)
sin
=
α
2tg
+
1 tg
α
2
α
2
2
b)
cos
=
α
−
1 tg
2
+
1 tg
2
α
2
α
2
c)
tg
=
α
2tg
−
1 tg
α
2
α
2
2
*4.7. Podstawowe tożsamości trygonometryczne
47
Poleć książkęKup książkę 19 Wykaż prawdziwość poniższych wzorów dla tych argumentów, dla których wystę-
pujące w nich wyrażenia mają sens.
a)
b)
−
3 4sin
4cos
cos3
sin3
α
−
(
α α
cos
(
α α
sin
)
α
=
=
)
3
2
2
20 Wykaż równość tg20 tg 40 tg60 tg80
°
°
°
° = .
3
Wskazówka
Skorzystaj z tego, że
°, 80
° =
40
° =
° −
60
20
60
° +
20
°.
21 Wykaż nierówność
sin36 sin54
°⋅
°
(
5
)
−
5 1
4π
.
Wskazówka
Zachodzą równości
2
sin 72
° =
2
cos 18
° =
5
.
5
+
8
22 Wykaż, że jeśli tg
tgnα
α α
+
tg
23 Wykaż, że sin
1
α
+
cos
α
tg
β=
, gdzie
0n , to
tg
2
(
)
α β
−
≤
(
n
)2
−
1
n
4
.
0
dla wszystkich α należących do dziedziny nierówności.
*4.8. Równania i nierówności trygonometryczne
c) sin
x
−
cos
x
= d)
0
sin
2
x
=
3sin cos
x
x
1 Rozwiąż równania:
= b)
a) 2cos
x +
2
0
sin2
x
=
2 Rozwiąż równanie
cos cos
2
2sin
x
1
)
x = .
2
= .
0
)
(
(
xπ
cos
sin
3 Rozwiąż równanie
4 Wykaż, że poniższe równania nie mają rozwiązań.
x
a) sin
x
tg
x
tg
x
sin3
=
b)
=
0
0
48
4. Funkcje trygonometryczne
Poleć książkęKup książkę 5 Rozwiąż równania:
a) cos2
2 3cos
+ =
x
x
b) (
cos
x
+
sin
c)
2sin cos
x
2
x
=
cos
x
d)
tg
x
−
sin
x
x
)
=
cos2
x
=
2
x
)(
−
1 sin
x
2sin
2
x
2cos
x
sin2
+
1 cos2
2
x
x
cos tg
x
x
=
0
−
f) 1 cos2
x
2sin
−
x
sin
2
sin
h)
2
x
=
cos
x
+
cos2
x
+
cos
x
+ =
1 0
b)
cos
x
−
π
2
3
=
cos
x
+
π
4
+
π
3
e)
sin
x
+
cos
x
=
1
sin
x
x
g) sin
x
sin
x
i) sin2
+
cos
−
cos
+
sin
x
x
x
= −
2
3
6 Rozwiąż równania:
a) cos
=
x
2
c) cos 2
x
cos
3
π
2
−
x
x
=
cos
7 Rozwiąż równania:
x
a) sin3
x
d) tg
x
sin3
x
sin
=
0
=
=
x
b) cos3
⋅
x
e)
sin3
cos
x
sin
x
=
1
2
⋅
c) cos
x
x
f) sin3
x
tg3
−
sin2
=
0
−
x
sin
x
=
0
8 Rozwiąż równania:
3tg
=
x
tg
a)
b)
x
d) 3sin
−
x
1 cos
=
x
3
2tg
x
−
e) sin
x
+
x
(
cos
+
+
)
3 1 tg
2sin cos
+
x
x
x
=
1
3
=
0
c) tg2
x
=
3tg
x
2
x
x
cos
2sin
= −
−
x
x
1x w przedziale 0, 2π .
2
1 cos
w przedziale 0, 2π .
2
⋅
x
x
sin
cos
2sin
0
9 Rozwiąż równanie
10 Rozwiąż nierówność
11 Rozwiąż nierówności:
x
a) sin
b) sin
12 Rozwiąż nierówność 1 cos
−
x
13 Rozwiąż nierówność cos2
x
cos
x
cos
(
x
cos
14 Rozwiąż nierówność
⋅
x
cos
x
≥
1
−
x
tg
dla
1
x
−
−
π
)
π
0
.
≥
x
c) sin
cos
°
x
dla 0
x
x
360
°.
sin
)
(
π∈
0,
.
15 Rozwiąż nierówności:
a) sin2
sin
x
x
b) sin
x
+
cos
x
0
c)
23tg
x − ≥
1 0
*4.8. Równania i nierówności trygonometryczne
49
Poleć książkęKup książkę 16 Udowodnij nierówność
°.
90β°
0
90γ°
° , 0
sin
(
)
α β γ
+ +
sin
α β γ
sin
sin
+
+
, jeśli 0
90α°
°,
17 Dla jakich wartości parametru m równanie
sin
=
α
2
m
2
m
−=
a
−
2
3
a
−
+
ma rozwiązania?
1
1
2
ma rozwiązania?
x
18 Dla jakich wartości parametru a równanie
sin
= .
19 Wyznacz sin2x z równania sin
x m
20 W ukadzie współrzędnych zaznacz zbiory punktów, których współrzędne
spełniają równania:
=
0
a)
y+
2
cos
y−
sin
(
cos 2
b)
=
+
1
x
x
x
)
(
)
Zadania testowe
° wynosi:
π
C. 11
9
220α=
1 Miara łukowa kąta
π
B. 11
A. 9
9
11
π
2 Miara stopniowa kąta 2
3
A. 100°
B. 120°
C. 140°
3 Ramię końcowe kąta α przechodzi przez punkt (
A. 2 5
5
C. 1
−
2
B. 2 5
5
wynosi:
−
D. π
)2,1−
D. 160°
. Ile jest równy cosα?
D. 1
2
cos
α= . Wartość wyrażenia
−
C. 9
16
jest równa:
2
1 sin α−
D. 9
16
4 Kąt α jest kątem ostrym i
A. 7
16
5 Jeżeli sin
0,8α=
A.
tg
α=
3
4
3
4
, to:
−
B. 7
16
πα
π
∈
,
2
3
α= −
4
B.
tg
oraz
6 Kąt α jest kątem ostrym i
⋅
B. 7 13
A. 7
120
6
sin
α=
7
13
50
4. Funkcje trygonometryczne
C. α= − 4
3
tg
D. α= 4
3
tg
. Wtedy tgα jest równy:
C.
7
2 30
D.
7
26 30
Poleć książkęKup książkę A.
cos
7 W trójkącie prostokątnym dane są długości
boków (zobacz rysunek). Wtedy:
9
11
2 10
11
9
11
11
2 10
D.
α=
α=
α=
α=
cos
sin
sin
C.
B.
α
9
11
2 10
8 Kąt α jest kątem ostrym i tg
30α
A.
30α=
B.
°
° C.
1α= . Wówczas:
45α=
°
D.
45α
°
9 Liczba tg30
° −
sin30
° jest równa:
A. 3 1−
B.
−
3
6
−
C. 3 1
6
−
D. 2 3 3
6
12
BC =
10 W trójkącie prostokątnym ABC odcinek AB jest przeciwprostokątną i
oraz
A. 12
13
. Wówczas sinus kąta ABC jest równy:
D. 13
12
C. 5
12
AB =
13
B. 5
13
sin 38
sin 52
2
2
11 Wartość wyrażenia
A. 1
2
B. 0
jest równa:
2
cos 38
cos 52
2
° +
° +
° −
1
° +
1
C. 1
−
2
D. 1
12 Jeżeli α, β, γ są kątami wewnętrznymi trójkąta, to:
(
)
α β
=
γ
sin
sin
A.
(
)
=
γ
α β
cos
cos
C.
)
(
α β
cos
(
)
α β
sin
γ
γ
sin
cos
B.
D.
+
+
+
+
=
=
= − w przedziale 0, 2π jest równa:
1
D. 3
x
−
cos
x
C. 2
ma w przedziale (
x
B. 1
=
cos
B. 1 rozwiązanie.
13 Liczba rozwiązań równania sin
A. 0
14 Równanie sin
A. 0 rozwiązań.
D. nieskończenie wiele rozwiązań.
15 Równanie sin
A.
x
B.
a∈ −
2, 2
+
x
16 Zbiór wartości funkcji
A. (
)2, 2−
B.
sin
x
−
=
x
cos
C. (
x
a
cos
a∈ −
1,1
(
)
f x
2, 2−
)
,ππ−
:
C. 2 rozwiązania.
)
(
a∈ −
jest równy:
)
−
2, 2
= ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy:
(
a∈ −
D.
2, 2
C.
)1,1
D.
−
2, 2
*4.8. Równania i nierówności trygonometryczne
51
Poleć książkęKup książkę 17 Dane są następujące stwierdzenia:
1.
dla 0
sin
sin
x
x
2
2.
sin
x
2
sin
x
dla 0
3.
sin
x
2
sin
x
dla
π
4.
sin
x
2
sin
x
dla
π
Prawdziwe są:
A. pierwsze i trzecie. B. pierwsze i czwarte. C. drugie i trzecie. D. drugie i czwarte.
x π
2
x π
3
2
x π
2
x π
3
2
18 Dane jest wyrażenie
. Stosując podstawienie
t
=
sin
x
+
+
1 sin
2
x
,
x
sin
+
1 sin
2
x
2
cos
x
otrzymasz wyrażenie jako funkcję zmiennej t w postaci:
A.
y
=
C.
y
=
(
1
+
(
1
+
2
t
4
)(
2
t
(
t
)(
t
2
2
(
1
4
t
2
−
−
)
t
t
6
)
−
1
4
−
t
6
2
t
2
+
)
1
+
)
1
B.
y
=
D.
y
=
(
1
+
(
1
+
t
2
(
−
1
)(
4
t
(
t
4
)(
2
t
t
t
4
2
)
t
6
2
t
−
2
+
)
1
2
)
−
1
−
t
6
2
+
)
1
x =
B. 0
19 Wartość wyrażenia
A. 1−
20 Prawdziwa jest równość:
A.
C.
=
sin
=
1
cos
4
cos
sin
sin
+
+
x
x
x
x
+
x
4
2
4
4
° +
cos10
cos20
° +
° +
cos30
C. 1.
+
cos180
°
jest równa:
D. 2
cos
2
x
4
B.
D.
sin
sin
4
4
x
x
−
+
cos
cos
4
2
x
−
2
cos
x
x
x
=
sin
= −
1
52
4. Funkcje trygonometryczne
Poleć książkęKup książkę
Pobierz darmowy fragment (pdf)
