Darmowy fragment publikacji:
Matematyka
Matematyka
Podr´cznik dla studentów
kierunków ekonomicznych
S∏awomir Dorosiewicz
Tomasz Michalski
Krystyna Twardowska
Matematyka
Podr´cznik dla studentów
kierunków ekonomicznych
Autorzy:
S∏awomir Dorosiewicz: rozdzia∏ 3, 4
Tomasz Michalski: rozdzia∏ 2
Krystyna Twardowska: rozdzia∏ 1, 5
Matematyka
Podr´cznik dla studentów
kierunków ekonomicznych
S∏awomir Dorosiewicz
Tomasz Michalski
Krystyna Twardowska
WYDAWNICTWO C.H. BECK
WARSZAWA 2008
Wydawca: Anna Chojnacka
Projekt okładki i stron tytułowych: Maryna Wiśniewska
Ilustracja na okładce: c(cid:2) iStockphoto.com/Mark Evans
Seria: Metody ilościowe
c(cid:2) Wydawnictwo C. H. Beck 2008
Wydawnictwo C. H. Beck, Sp. z o.o.
ul. Bonifraterska 17, 00–203 Warszawa
Skład i łamanie w systemie TEX: Wydawnictwo C. H. Beck
Druk i oprawa: Studio Spartan, Gdynia
ISBN 978-83-7483-957-0
Spis treści
Wstęp . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. .
IX
Rozdział 1. Pojęcia wstępne . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1.1. Zbiory liczbowe . . .
1.2. Elementy logiki
. . .
. . .
1.3. Elementy rachunku zbiorów . . .
. . .
. . .
1.4. Relacje .
. . . .
. . .
1.5. Odwzorowania . . . .
. . .
. . .
1.6. Równoliczność zbiorów . .
Zadania . . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
2.2. Algebra macierzy . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Rozdział 2. Algebra liniowa . . .
. . .
2.1. Przestrzeń liniowa . .
. . . .
. . . .
. . .
. . . .
. . . .
2.1.1. Definicje i podstawowe własności
2.1.2. Kombinacje liniowe wektorów .
2.1.3. Baza przestrzeni liniowej .
. . .
2.1.4. Charakterystyczne podzbiory przestrzeni liniowej
. . . .
. . .
. . . .
2.2.1. Podstawowe pojęcia
2.2.2. Operacje i działania na macierzach . .
. . . .
2.2.3. Rząd macierzy . . .
. . . .
2.3. Wyznacznik macierzy . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
2.5.1. Uwagi ogólne .
. . .
2.5.2. Metody rozwiązywania układów równań liniowych . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
2.3.1. Określenie wyznacznika .
. . .
2.3.2. Własności wyznaczników i ich wykorzystanie . .
. . .
. . .
. . .
2.4. Określoność macierzy . . .
2.5. Układy równań liniowych .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
Zadania . . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Rozdział 3. Funkcje jednej zmiennej .
3.1. Ciągi liczbowe . . . .
. . .
3.2. Szeregi liczbowe . . .
. . .
3.3. Funkcje. Granica i ciągłość . . .
. . .
. . .
3.3.1. Granice funkcji . . .
3.3.2. Ciągłość funkcji
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
V
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
1
1
4
8
13
15
19
20
23
23
23
27
30
33
36
37
42
50
55
55
63
68
71
71
76
87
. . 101
. . 101
. . 110
. . 113
. . 113
. . 116
Spis treści
. . .
3.4. Rachunek różniczkowy . .
. . .
. . .
3.4.1. Pochodna funkcji, jej obliczanie i podstawowe własności
. . .
3.4.2. Zastosowanie pochodnych do badania przebiegu zmienności funkcji
. . .
3.4.3. Zastosowanie pochodnych w ekonomii
3.4.4. Wzór Taylora i wzór Maclaurina
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
3.5. Rachunek całkowy . .
. . .
3.5.1. Całka nieoznaczona
3.5.2. Całka oznaczona . .
3.5.3. Całki niewłaściwe
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . 119
. . 119
. . 124
. . 132
. . 133
. . 136
. . 136
. . 141
. . 145
Zadania . . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 146
Rozdział 4. Funkcje wielu zmiennych . . .
. . .
4.1. Przestrzenie metryczne
. . .
. .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 155
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 155
4.2. Funkcje rzeczywiste wielu zmiennych. Granica i ciągłość . . .
. . . .
. . .
. . 160
4.3. Pochodne kierunkowe. Różniczkowalność funkcji
.
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 164
4.4. Pochodne wyższych rzędów . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 170
4.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 173
4.6. Ekstrema warunkowe . . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 176
4.7. Całki podwójne . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 183
Zadania . . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 188
Rozdział 5. Rachunek prawdopodobieństwa . . .
. . . .
5.1. Wprowadzenie . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 197
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 197
5.2. Kombinatoryka . . . .
. . .
5.2.1. Permutacje bez powtórzeń i z powtórzeniami . . .
. . .
5.2.2. Wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami
5.2.3. Kombinacje bez powtórzeń i z powtórzeniami
. .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
5.3. Zdarzenia losowe i przestrzeń prawdopodobieństwa . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
5.3.1. Pojęcie zdarzenia losowego . .
. . .
5.3.2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa . .
5.3.3. Prawdopodobieństwo geometryczne . .
. . .
. . .
5.3.4. Przestrzeń prawdopodobieństwa . . . .
. . .
5.3.5. Rozkład prawdopodobieństwa .
. . . .
. . .
5.3.6. Prawdopodobieństwo warunkowe . . .
5.3.7. Niezależność zdarzeń . . .
. . . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. .
5.4. Jednowymiarowe zmienne losowe
. . .
5.4.1. Definicja i własności . . .
. . .
. . .
5.4.2. Dyskretne zmienne losowe . . .
. . .
. . .
5.4.3. Zmienne losowe ciągłe . .
. . .
5.4.4. Funkcje zmiennej losowej
. . .
5.4.5. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych . .
5.4.6. Schemat Bernoulliego . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . . .
5.5. Wielowymiarowe zmienne losowe
. . . .
5.5.1. Definicje i własności . . .
5.5.2. Dwuwymiarowe zmienne losowe . . .
5.5.3. Niezależność zmiennych losowych . .
5.5.4. Kowariancja i korelacja
. . . .
5.5.5. Warunkowa wartość oczekiwana . . . .
. .
. . .
. . .
.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
VI
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . 198
. . 198
. . 202
. . 204
. . 205
. . 205
. . 206
. . 208
. . 209
. . 214
. . 216
. . 219
. . 220
. . 220
. . 222
. . 223
. . 227
. . 228
. . 232
. . 233
. . 233
. . 234
. . 242
. . 242
. . 247
Spis treści
5.6. Ciągi zmiennych losowych . . .
. . .
5.6.1. Typy zbieżności ciągów zmiennych losowych . . .
. . .
5.6.2. Prawa wielkich liczb . . .
. . . .
. . .
5.6.3. Centralne twierdzenia graniczne . . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Zadania . . .
. . .
. . . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . 248
. . 248
. . 252
. . 256
. . 261
Odpowiedzi
. .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 265
Literatura . . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 295
Indeks . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
. . .
. . 297
VII
Wstęp
Prezentowany podręcznik jest przeznaczony głównie dla studentów studiów ekonomicznych.
Uwzględniono w nim ostatnie zmiany, jakie zostały wprowadzone do programu studiów
w związku z tzw. studiami trójstopniowymi (studia licencjackie, magisterskie, doktoranckie).
Ograniczyliśmy się do niezbędnego minimum, pamiętając o głównym celu: użytkownik
tego podręcznika po jego lekturze powinien swobodnie posługiwać się podstawowymi poję-
ciami matematycznymi, które w tym podręczniku zaprezentowano. Co to znaczy swobodnie?
To znaczy, że nie jest naszym głównym celem, aby użytkownik tego podręcznika recytował
z pamięci formuły, definicje i twierdzenia podane na odpowiednich stronach, lecz to, aby
zrozumiał każde z omawianych i wprowadzonych pojęć.
Wiemy, że współczesna ekonomia sięga bardzo odważnie i szeroko do metod badaw-
czych wymagających swobodnego posługiwania się narzędziami, których dostarcza mate-
matyka. Aby można było powiedzieć, że zrealizowano proces wykształcenia ekonomisty,
obojętnie czy w jednostopniowym, dwustopniowym czy też trójstopniowym systemie kształ-
cenia, dobrze zrealizowany proces dydaktyczny powinien zapewnić zdobycie odpowiedniego
poziomu wiedzy matematycznej. Jak w każdej dziedzinie wiedzy, tak i w ekonomii każdy
ekonomista zanim przejdzie do wykorzystania tych narzędzi, powinien je dokładnie poznać
i zrozumieć i to jest głównym zadaniem naszego podręcznika. Jednocześnie pragniemy pod-
kreślić, iż przy doborze treści pamiętaliśmy o zastosowaniach ekonomicznych.
Na zakończenie jedna bardzo ważna uwaga. Każdy z rozdziałów książki stanowi odrębną
całość i każdy może być realizowany oddzielnie, ale w ustalonym porządku podrozdziałów.
Niewskazane jest więc pomijanie porządku podrozdziałów w rozdziale i przechodzenie do
następnych bez opanowania wiedzy z wcześniejszych – to właśnie systematyka pracy, której
wymaga matematyka i każda inna dziedzina wiedzy, jeśli ma skutkować wiedzą gruntowną.
Mamy nadzieję, że prezentowany podręcznik choć w części pomoże w realizacji tego
celu.
Warszawa, listopad 2008
Autorzy
IX
Rozdział 1. Pojęcia wstępne
Wstęp
Czytelnikom, którzy chcą się zapoznać z podstawowymi pojęciami matematycz-
nymi, proponujemy opanowanie następujących pojęć:
– podstawowe zbiory liczbowe, ich definicje i własności,
– elementarne pojęcia z logiki, takie jak zdanie, spójniki logiczne, tautologie,
funkcje zdaniowe, kwantyfikatory,
– rachunek na zbiorach,
– relacje różnych typów, w tym relacje równoważności i relacje porządkujące,
– podstawowe definicje oraz własności dotyczące odwzorowań zbiorów, czyli
funkcji,
– równoliczność zbiorów.
1.1. Zbiory liczbowe
tworzą zbiór liczb naturalnych N i nazywamy je liczba-
Liczby 1, 2, 3, . . .
mi naturalnymi. Liczby naturalne można wprowadzić w sposób aksjomatyczny,
przyjmując następujące pojęcia pierwotne:
• N, 1,
• „n jest następnikiem m”.
Do systemu aksjomatycznego zbioru liczb naturalnych należy zasada induk-
cji zupełnej (matematycznej). Można ją stosować w celu dowodzenia twierdzeń
dotyczących własności liczb naturalnych.
Aksjomat 1.1. Zasada indukcji zupełnej (Rasiowa, 2001, s. 31)
Niech w(n), n ∈ N, będzie pewną własnością liczby n oraz niech A = {n ∈ N :
w(n) jest spełnione}. Jeżeli
• istnieje liczba naturalna n0, taka że n0 ∈ A,
• każda liczba naturalna k (cid:2) n0 ma własność k ∈ A, to również k + 1 ∈ A,
to własność w zachodzi dla każdego k (cid:2) n0.
1
Rozdział 1. Pojęcia wstępne
Przykład 1.1.
Pokażemy, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi wzór
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
2
.
(1.1)
Sprawdzamy własność (1.1) dla n = 1:
1 =
1(1 + 1)
2
.
Zakładamy teraz, że (1.1) zachodzi dla n = k. Trzeba wykazać, że własność (1.1) jest
spełniona dla n = k + 1, czyli że
1 + 2 + ··· + k + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2
.
Istotnie, wstawiając po lewej stronie wzoru (1.1) n = k + 1, otrzymujemy:
1 + 2 + ··· + k + (k + 1) =
k (k + 1)
2
+ (k + 1) =
k (k + 1) + 2(k + 1)
=
k2 + 3k + 2
2
=
(k + 1) (k + 2)
2
2
.
Dalej, wstawiając n = k + 1 po prawej stronie wzoru (1.1), otrzymujemy:
(k + 1)(k + 2)
2
,
zatem lewa strona jest równa prawej stronie.
Rozszerzmy pojęcie zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb całkowitych,
który oznaczymy przez C. Liczby całkowite to liczby postaci . . .−3, −2, −1, 0, 1,
2, 3. . . W zbiorze tym jest wykonalne działanie odejmowania (odwrotne do do-
dawania), którego elementem neutralnym jest 0, tzn. a − a = 0. Liczbę −a
nazywamy liczbą przeciwną do a. W zbiorze liczb całkowitych możemy zde-
finiować działanie mnożenia, ale nie zawsze jest wykonalne działanie dzielenia,
które jest działaniem odwrotnym do mnożenia. Stąd konieczność rozszerzenia
zbioru liczb całkowitych do zbioru liczb wymiernych, który będziemy oznaczać
przez W.
Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę postaci:
w =
n
m
,
gdzie:
n – dowolna liczba całkowita,
m – dowolna liczba całkowita różna od zera.
2
1.1. Zbiory liczbowe
Potrzeba rozszerzenia zbioru liczb wymiernych wyniknęła z konieczności
wykonania działania pierwiastkowania liczb, np. obliczenia pierwiastka kwa-
dratowego z liczby 2. Stało się więc niezbędne wprowadzenie zbioru liczb
niewymiernych. Podamy teraz sposób zdefiniowania zbioru liczb niewymier-
nych, korzystając z tzw. teorii Dedekinda, której podstawą jest pojęcie przekroju
w zbiorze liczb wymiernych.
Definicja 1.1.
Podział zbioru liczb wymiernych W na dwa niepuste (tj. zawierające chociaż
po jednej liczbie) zbiory A i B nazywamy przekrojem, jeżeli:
1) każda liczba wymierna należy do jednego ze zbiorów A lub B,
2) każda liczba a ze zbioru A jest mniejsza od każdej liczby b ze zbioru B.
Zbiór A nazywamy dolną klasą przekroju, a zbiór B – górną klasą przekroju.
Przykład 1.2.
Załóżmy, że klasa A zawiera wszystkie liczby wymierne dodatnie a, dla których a2 2,
liczbę zero oraz wszystkie liczby wymierne ujemne. Niech klasa B zawiera wszystkie
liczby wymierne dodatnie, dla których b2 2. Otrzymaliśmy przekrój, w którym nie ma
największej liczby w klasie A ani najmniejszej liczby w klasie B. Udowodnimy tylko tę
pierwszą własność, gdyż drugą dowodzi się podobnie.
Niech a będzie dowolną liczbą dodatnią w klasie A, czyli a2 2. Pokażemy, że
można dobrać taką liczbę naturalną n, że
(cid:2)a +
1
n(cid:3)2
2,
zatem liczba a + 1
jest równoważna nierówności
n również będzie należała do klasy A. Istotnie, powyższa nierówność
skąd
Zauważmy, że
a zatem
a2 +
2a
n
+
1
n2
2,
2a
n
+
1
n2
2 − a2.
2a + 1
n
2a
n
+
1
n2
2 − a2,
2a + 1
n
2 − a2,
skąd dostajemy, że wystarczy przyjąć
n
2a + 1
2 − a2
.
Jest to zawsze możliwe na podstawie aksjomatu Archimedesa, który mówi, że dla każdej
liczby wymiernej c 0 istnieje liczba naturalna n większa od c. Zatem dla dowolnej
liczby dodatniej a w klasie A znajdziemy w tej samej klasie liczbę większą od a, czyli
w klasie A nie ma liczby największej. Podobnie w klasie B nie ma liczby najmniejszej.
3
Rozdział 1. Pojęcia wstępne
Liczba graniczna między tymi dwoma klasami musi więc być nowym obiektem mate-
matycznym – nazywamy go liczbą niewymierną. W naszym przykładzie nową liczbą
niewymierną jest √2.
Definicja zbioru liczb niewymiernych znajduje się w książkach G. M. Fich-
tenholz (2002, t. 1, s. 10–12) oraz W. Marzantowicz, P. Zarzycki (2006, s. 68).
Zbiór liczb niewymiernych oznaczymy przez NW.
W końcu zbiór liczb rzeczywistych R to taki zbiór, który zawiera zarówno
wszystkie liczby wymierne, jak i niewymierne. Metoda konstrukcji zbioru R
jest przedstawiona w książkach J. Cichoń (2003, s. 70) oraz G. M. Fichtenholz
(1976, t. 1, s. 10–12).
Definicja 1.2.
Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Wartością bezwzględną (modułem)
liczby a nazywamy liczbę |a|, taką że
a dla a (cid:2) 0,
−a dla a 0.
|a| = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Prawdziwe są następujące wzory dla dowolnej liczby rzeczywistej M:
|a| (cid:3) M wtedy i tylko wtedy, gdy − M (cid:3) a (cid:3) M,
|a| (cid:2) M wtedy i tylko wtedy, gdy a (cid:2) M lub a (cid:3) −M.
(1.2)
(1.3)
(1.4)
W dalszej części będziemy korzystać z symbolu sgn(a) oznaczającego znak
liczby a:
−1
0
dla a 0,
dla a = 0,
1
dla a 0.
sgn(a) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(1.5)
1.2. Elementy logiki
Jednym z zadań logiki matematycznej jest badanie związków pomiędzy zdania-
mi utworzonymi za pomocą spójników logicznych.
Definicja 1.3.
Przez zdanie rozumiemy wypowiedź oznajmującą, której na gruncie pewnej
dyscypliny wiedzy możemy przypisać ocenę prawdziwości (wtedy zdanie
ma wartość logiczną równą 1) lub możemy przypisać ocenę fałszu (wtedy
zdanie ma wartość logiczną równą 0).
Zdania będziemy oznaczać literami p, q, r, . . . Literę oznaczającą dowolne
zdanie nazywamy zmienną zdaniową.
4
1.2. Elementy logiki
Gdy zdanie p jest prawdziwe, czyli ma wartość logiczną równą 1, piszemy
w(p) = 1. Podobnie, gdy zdanie p jest fałszywe, czyli ma wartość logiczną
równą 0, piszemy w(p) = 0.
Ze zdań p, q, r, . . . możemy tworzyć zdania złożone za pomocą spój-
ników logicznych i nawiasów. Zdaniami złożonymi poprawnie zbudowanymi
nazywamy takie zdania, dla których możemy wyznaczyć wartość logiczną. Wy-
rażenia zbudowane tak jak zdania złożone, w których zamiast konkretnych zdań
występują zmienne zdaniowe, nazywamy schematami rachunku zdań lub for-
mułami rachunku zdań.
Spójniki logiczne definiujemy, podając wartość logiczną zdania złożonego
w zależności od wartości logicznych zdań prostych, z których jest ono zbudo-
wane. Mamy następujące podstawowe spójniki logiczne:
∼ – negacja (zaprzeczanie); ∼p czytamy nie p lub nieprawda, że p,
∧ – koniunkcja; p ∧ q czytamy p i q,
∨ – alternatywa; p ∨ q czytamy p lub q,
⇒ – implikacja (wynikanie); p ⇒ q czytamy jeśli p, to q,
⇔ – równoważność; p ⇔ q czytamy p wtedy i tylko wtedy, gdy q.
podajemy w tabelach 1.1 i 1.2.
Wartości logiczne powyższych spójników logicznych, tzn. ∼, ∧, ∨, ⇒, ⇔,
Tabela 1.1. Wartości logiczne negacji
p
1
0
∼p
0
1
Tabela 1.2. Wartości logiczne koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ∧ q
1
0
0
0
p ∨ q
1
1
1
0
p ⇒ q
1
0
1
1
p ⇔ q
1
0
0
1
Przykład 1.3.
Wyznacz wartość logiczną zdania: (p ∧ q) ∨ (∼r ⇒ q) dla p = 0, q = 1 oraz r = 1.
Mamy
w[(0 ∧ 1) ∨ (∼1 ⇒ 1)] = w[0 ∨ (0 ⇒ 1)] = w[0 ∨ 1] = 1.
Definicja 1.4.
Tautologia to taki schemat rachunku zdań, który przyjmuje wartość logicz-
ną równą 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne
zdaniowe występujące w tym schemacie zdaniowym.
5
Rozdział 1. Pojęcia wstępne
Twierdzenie 1.1.
Dla dowolnych zdań p, q, r następujące schematy zdaniowe są tautologiami:
a) p ∨ ∼p – prawo wyłączonego środka,
b) (p ∧ p) ⇔ p – idempotentność koniunkcji,
c) (p ∨ p) ⇔ p – idempotentność alternatywy,
d) ∼(p ∨ q) ⇔ ∼p ∧ ∼q – prawo de Morgana,
e) ∼(p ∧ q) ⇔ ∼p ∨ ∼q – prawo de Morgana,
f) (p ⇒ q) ⇔ (∼q ⇒∼p) – prawo transpozycji,
g) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q – prawo odrywania dla implikacji,
h) ∼(p ∧ ∼p) – prawo wyłączonej sprzeczności lub prawo niesprzeczności,
i) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) – prawo przechodniości implikacji.
Przykład 1.4.
Wykażemy, że prawo de Morgana (e) jest tautologią.
Budujemy tabelę, w której w ostatniej kolumnie umieszczamy otrzymane wartości
logiczne. Są to same 1, więc badany schemat zdaniowy jest tautologią.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p ∧ q
1
0
0
0
∼p
0
0
1
1
∼q
0
1
0
1
∼(p ∧ q)
0
1
1
1
(∼p) ∨ (∼q)
0
1
1
1
∼(p ∧ q) ⇔ (∼p) ∨ (∼q)
1
1
1
1
Przykład 1.5.
Wykażemy, że następujący schemat zdaniowy [(∼p)∨(∼q)] ⇔ [p ⇒ (∼q)] jest tautologią.
Budujemy tabelę, w której w ostatniej kolumnie umieszczamy otrzymane wartości
logiczne. Są to same 1, więc badany schemat zdaniowy jest tautologią.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
∼p
0
0
1
1
∼q
0
1
0
1
∼p ∨ ∼q
0
1
1
1
p ⇒ (∼q)
0
1
1
1
[(∼p) ∨ (∼q)] ⇔ [p ⇒ (∼q)]
1
1
1
1
Definicja 1.5.
Wyrażenie φ(x), w którym występuje jedna zmienna x i które staje się zda-
niem, gdy zamiast zmiennej x wstawiamy nazwę dowolnego elementu z nie-
pustego zbioru X, nazywamy funkcją zdaniową jednej zmiennej x ∈ X.
Funkcje zdaniowe zapisujemy w postaci
φ(x),
x ∈ X.
Funkcje zdaniowe można łączyć ze sobą za pomocą spójników logicznych
w tzw. złożone funkcje zdaniowe.
Zbiór takich elementów ze zbioru X, które spełniają daną funkcję zdaniową
(tzn. tych elementów x ∈ X, dla których zdanie φ(x) jest prawdziwe), zapisujemy
jako {x ∈ X : φ(x)}.
6
1.2. Elementy logiki
Przykład 1.6.
Następujące stwierdzenia są funkcjami zdaniowymi:
a) Liczba x jest większa od 3, x ∈ R; podstawiając np. x = 4 otrzymujemy zdanie
b) x2 − 4 0, x ∈ N; podstawiając np. x = 3, otrzymujemy zdanie prawdziwe, bo
9 4, a podstawiając np. x = 1 otrzymujemy zdanie fałszywe, bo zdanie 1 4 jest
fałszywe.
prawdziwe,
Definicja 1.6.
Jeżeli wszystkie elementy pewnego zbioru X spełniają funkcję zdaniową
φ(x), to piszemy
φ(x).
(cid:8)x∈X
(1.6)
Symbol (cid:8) czytamy dla każdego i nazywamy go kwantyfikatorem ogól-
nym.
Definicja 1.7.
Jeżeli niektóre elementy pewnego zbioru X spełniają funkcję zdaniową φ(x),
to piszemy
φ(x).
(cid:9)x∈X
(1.7)
Symbol (cid:9) czytamy istnieje i nazywamy go kwantyfikatorem szczegóło-
wym.
Przykład 1.7.
Zapis (cid:9)x∈R
x2 (cid:3) 0 czytamy istnieje liczba rzeczywista x taka, że x2 (cid:3) 0. Jest to zdanie
prawdziwe, bo np. liczba rzeczywista 0 spełnia tę nierówność.
O zmiennej występującej pod symbolem kwantyfikatora mówimy, że jest
związana z kwantyfikatorem. Jeżeli kwantyfikator dotyczy funkcji zdaniowej
wielu zmiennych, to zmienne niewystępujące pod symbolem kwantyfikatora na-
zywamy zmiennymi swobodnymi.
W poniższym twierdzeniu znajduje się kilka często wykorzystywanych praw
rachunku funkcyjnego, czyli praw stosowanych do funkcji zdaniowych poprze-
dzonych kwantyfikatorami.
Twierdzenie 1.2. (Kuratowski, 1977, s. 31–32)
Niech ϕ, ψ oznaczają funkcje zdaniowe określone na zbiorze X. Wtedy:
a) ∼ (cid:8)x∈X
ϕ (x) ⇔ (cid:9)x∈X
∼ ϕ (x),
7
Rozdział 1. Pojęcia wstępne
b) ∼ (cid:9)x∈X
c) (cid:8)x∈X
d) (cid:9)x∈X
e) (cid:8)x∈X
f) (cid:9)x∈X
ϕ (x) ⇔ (cid:8)x∈X
∼ ϕ (x),
(ψ (x) ∧ ϕ (x)) ⇔ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(cid:8)x∈X
(ψ (x) ∨ ϕ (x)) ⇔ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(cid:9)x∈X
(ψ (x) ∨ ϕ (x)) ⇐ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(cid:8)x∈X
(ψ (x) ∧ ϕ (x)) ⇒ ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(cid:9)x∈X
ψ (x) ∧(cid:8)x∈X
ψ (x) ∨(cid:9)x∈X
ψ (x) ∨(cid:8)x∈X
ψ (x) ∧(cid:9)x∈X
,
,
ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
ϕ (x)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
.
Definicja 1.8.
Załóżmy, że dane są niepuste zbiory X i Y . Funkcją zdaniową dwóch
zmiennych φ(x, y) dla x ∈ X, y ∈ Y nazywamy dowolne wyrażenie, które
staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennych x i y podstawimy dowolne
elementy zbiorów X i Y .
Przykład 1.8.
Wskażemy zbiór tych elementów (x, y), które spełniają funkcję zdaniową:
x + y = 3.
(cid:9)x∈R(cid:9)y∈R
Tę funkcję zdaniową spełniają wszystkie pary (x, y) liczb rzeczywistych, dla których
y = −x + 3, czyli wszystkie punkty wykresu prostej y = −x + 3 na płaszczyźnie.
1.3. Elementy rachunku zbiorów
Zbiory będziemy oznaczali dużymi literami A, B, C, . . . Zbiór niemający żad-
nych elementów to tzw. zbiór pusty. Oznaczamy go symbolem ∅. Zbiór skoń-
czony złożony z n elementów x1, x2, . . ., xn oznaczamy symbolem {x1, x2, . . ., xn}.
Definicja 1.9.
Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B (zbiór A nazywamy pod-
zbiorem zbioru B) co zapisujemy A ⊂ B, jeżeli dla każdego elementu x
zachodzi
x ∈ A ⇒ x ∈ B.
B
A
Znak ⊂ nazywamy inkluzją lub relacją zawierania.
8
1.3. Elementy rachunku zbiorów
Dwa zbiory A i B nazywamy równymi (co zapisujemy A = B) wtedy i tylko
wtedy, gdy x ∈ A ⇔ x ∈ B dla każdego elementu x. Inkluzja A ⊆ B oznacza,
że A ⊂ B lub A = B.
W dalszej części rozdziału przestrzenią X będziemy nazywać taki zbiór, do
którego należą wszystkie rozważane obiekty.
Definicja 1.10.
Sumą dwóch dowolnych zbiorów A, B ⊂ X nazywamy zbiór
A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
A
B
Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów A, B ⊂ X nazywamy zbiór
A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A
B
Różnicą zbiorów A, B ⊂ X nazywamy zbiór
A \ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x /∈ B}.
A
B
Dla dowolnych liczb a, b ∈ R wprowadźmy następujące oznaczenia:
• (cid:15)a, b(cid:16) = {x ∈ R : x (cid:2) a ∧ x (cid:3) b} – przedział domknięty,
• (a, b) = {x ∈ R : x a ∧ x b} – przedział otwarty,
• (a, b(cid:16) = {x ∈ R : x a ∧ x (cid:3) b} – przedział lewostronnie otwarty i prawo-
• (cid:15)a, b) = {x ∈ R : x (cid:2) a ∧ x b} – przedział prawostronnie otwarty i lewo-
stronnie domknięty,
stronnie domknięty.
Definicja 1.11.
Niech A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni X. Dopełnieniem zbioru
A do przestrzeni X nazywamy zbiór A′ = X \ A.
A
X \ A
Dopełnieniem zbioru A = {x ∈ X : φ(x)} jest zbiór A′ = {x ∈ X : ∼φ(x)}.
Przykład 1.9.
Niech A = (cid:15)2, 5(cid:16) i B = (3, 7(cid:16). Dla tych zbiorów obliczymy sumę, iloczyn, różnice oraz
dopełnienia do przestrzeni R.
9
Pobierz darmowy fragment (pdf)
