Darmowy fragment publikacji:
Opracowanie tablic:
Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska
Redaktor serii: Marek Jannasz
Ilustracje: Magdalena Wójcik
Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio
Projekt makiety i opracowanie graficzne: Kaja Mikoszewska
Tablice opracowano z wykorzystaniem materiałów z książki „Matematyka.
Korepetycje gimnazjalisty” autorstwa Adama Konstantynowicza,
Wydawnictwo Lingo, Warszawa 2016 r.
© Copyright by Wydawnictwo Lingo sp. j., Warszawa 2016
www.gimtestOK.pl
ISBN: 978-83-7892-374-9
(cid:42)(cid:52)(cid:35)(cid:47)(cid:1)(cid:88)(cid:90)(cid:69)(cid:66)(cid:79)(cid:74)(cid:66)(cid:1)(cid:70)(cid:77)(cid:70)(cid:76)(cid:85)(cid:83)(cid:80)(cid:79)(cid:74)(cid:68)(cid:91)(cid:79)(cid:70)(cid:72)(cid:80)(cid:27)(cid:1)(cid:26)(cid:24)(cid:25)(cid:14)(cid:25)(cid:20)(cid:14)(cid:24)(cid:25)(cid:26)(cid:19)(cid:14)(cid:21)(cid:24)(cid:23)(cid:14)(cid:17)
Skład i łamanie: Kaja Mikoszewska
3
Drodzy Gimnazjaliści!
Jeśli przygotowujecie się do klasówki, testu bądź egzaminu gimnazjalnego z matema-
tyki, wygodne i przejrzyste tablice pomogą wam uporządkować wiedzę i zrobić szybką
powtórkę. Zawierają one wszystkie istotne zagadnienia w pigułce, dzięki czemu będziecie
mogli w szybki i prosty sposób przypomnieć i utrwalić sobie najważniejsze informacje.
Zależało nam na tym, aby nauka z naszej książki była nie tylko pożyteczna, ale także
przyjemna – zadbaliśmy zarówno o dobór tematów, jak i o nowoczesny układ graficzny
z ilustracjami.
Wierzymy, że „Tablice gimnazjalisty” z serii OldSchool przydadzą się Wam na każdym
etapie nauki, a także że będą dla Was skuteczną pomocą do powtórki przed egzaminem
gimnazjalnym z matematyki.
Z życzeniami powodzenia
autorzy i redaktorzy Lingo
WWW.GIMTESTOK.PL
WSTĘP 4
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
Część 1. Podstawowe pojęcia
Co gimnazjalista musi wiedzieć i znać
Część 2. Liczby wymierne
Liczby naturalne i całkowite
Rzymski sposób zapisywania liczb
Liczby wymierne
Osie liczbowe
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 3. Potęgi i pierwiastki
Potęga o wykładniku naturalnym
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 4. Procenty
Procenty
Promile
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 5. Wyrażenia algebraiczne
Wyrażenia algebraiczne
Sumy algebraiczne
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 6. Równania
Równania
Metoda równań równoważnych
Równania w postaci proporcji
Zadania tekstowe
Układy równań
Metoda podstawiania
Metoda przeciwnych współczynników
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
7
8
27
28
30
31
40
42
45
46
48
50
53
54
56
58
61
62
64
67
71
72
73
74
75
76
77
78
80
STARA DOBRA SZKOŁA SPIS TREŚCI
5
Część 7. Wykresy funkcji
Układ współrzędnych
Funkcje
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 8. Statystyka opisowa
Przedstawianie danych tabelarycznie, za pomocą diagramów i wykresów
Średnia arytmetyczna i mediana zestawu danych
Proste doświadczenia losowe oraz prawdopodobieństwo zdarzeń
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 9. Figury płaskie
Podstawowe figury geometryczne
Kąty i ich własności
Wielokąty
Trójkąty
Czworokąty
Wielokąty foremne
Pola figur
Własności trójkątów prostokątnych
Figury przystające
Symetria względem prostej
Symetria względem punktu
Koło i okrąg
Figury podobne
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
Część 10. Bryły
Graniastosłupy proste
Ostrosłupy
Walec
Stożek
Kula
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
WWW.GIMTESTOK.PL
83
84
85
89
91
92
93
95
97
99
100
102
105
106
108
111
112
114
116
118
120
121
126
130
135
136
140
144
146
149
152
CZĘŚĆ 2.
28
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
RODZAJE LICZB
RODZAJ
liczby naturalne
ułamki zwykłe – iloraz dwóch liczb całkowitych,
z których dzielna jest licznikiem, dzielnik
mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak
dzielenia; mianownik musi być liczbą różną od 0
liczby wymierne – wszystkie liczby, które da się
przedstawić w postaci ułamka zwykłego, o liczniku
będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku
będącym liczbą całkowitą różną od 0
Liczby naturalne i całkowite
WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH
WŁASNOŚĆ
Liczby naturalne służą m.in. do numerowania i do
liczenia przedmiotów.
Do zapisywania liczb naturalnych używamy
dziesięciu znaków zwanych cyframi.
PRZYKŁAD
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11…
1
3
– 2
3, – 5
8, –1,3,
4, 17
0, 1
49 , 61
3, 9, 18,15
PRZYKŁAD
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, 11…
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Znaczenie cyfry w liczbie zależy od miejsca (pozycji),
na którym się znajduje, dlatego taki sposób zapisu
liczb nazywamy systemem pozycyjnym.
Liczby 243 i 342 zawierają
te same cyfry, ale nie są
równe.
Wśród liczb naturalnych istnieje liczba
najmniejsza.
Jest to liczba 0.
Nie istnieje natomiast liczba największa.
–
STARA DOBRA SZKOŁA 29
WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH
WŁASNOŚĆ
Liczby ujemne są mniejsze od 0.
• Liczby ujemne potrzebne są m. in. do
odczytywania temperatury w zimie albo
wielkości zadłużenia.
Liczby możemy przedstawiać na osi liczbowej, czyli
prostej, na której ustalono zwrot, obrano punkt
zerowy i ustalono jednostkę odległości.
• Liczby odpowiadające zaznaczonym punktom
na osi liczbowej nazywamy ich współrzędnymi.
Liczby –1 i 1, –2 i 2, –3 i 3 ... to pary liczb
przeciwnych.
• Parom liczb przeciwnych odpowiadają punkty
leżące na osi liczbowej po przeciwnych stronach
punktu zerowego i w tej samej odległości od
niego.
Podzbiorem liczb całkowitych są liczby naturalne.
Liczby naturalne i liczby do nich przeciwne to liczby
całkowite.
Każda liczba dodatnia jest zawsze większa
od każdej liczby ujemnej.
• Liczba 0 jest większa od każdej liczby ujemnej.
• Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta liczba,
która odpowiada punktowi leżącemu bliżej 0
na osi liczbowej.
PRZYKŁAD
–1, –2, –3, –4, ...
–1 0 1 2
–2 0 2
–1 0 1
0, 1, 2, 3…
oraz –1, –2, –3…
3 –1
0 –2
–1 –4
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 30
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
Rzymski sposób zapisywania liczb
WŁASNOŚCI RZYMSKIEGO SPOSOBU ZAPISYWANIA LICZB
Wygodny przy zapisie liczb naturalnych.
Nie można w nim zapisywać ułamków oraz wykonywać pisemnych działań
matematycznych.
Używany jest do: numeracji wieków, tomów, ksiąg, rozdziałów, imion panujących
władców, do zapisywania numerów szkół (np. liceów ogólnokształcących).
Do zapisu liczb w systemie rzymskim używa się siedmiu cyfr: I, V, X, L, C, D, M.
Jeżeli znak oznaczający mniejszą liczbę stoi po prawej stronie znaku oznaczającego
większą liczbę, to przy odczytywaniu stosujemy dodawanie, a jeśli po lewej stronie,
to odejmowanie.
Obok siebie zapisujemy co najwyżej trzy jednakowe znaki.
LICZBY W RÓŻNYCH ZAPISACH
ZAPIS RZYMSKI
I
V
X
L
C
D
M
XII
CXXXV
MDLXXIX
MMDCCCL
ZAPIS ARABSKI
1
5
10
50
100
500
1000
12
135
1579
2850
STARA DOBRA SZKOŁA Liczby wymierne
UŁAMKI ZWYKŁE
RODZAJ
właściwe
WŁASNOŚĆ
•
• są one mniejsze od 1
licznik jest mniejszy od mianownika
31
PRZYKŁAD
2
7
niewłaściwe
•
licznik jest większy od mianownika lub równy
mianownikowi
12
5 , 7
7
• są one większe od 1 lub równe 1
liczby
mieszane
•
liczba złożona z części całkowitej i ułamka
właściwego
5, 47
11
8, 91
2
OPERACJE NA UŁAMKACH
OPERACJA ZASADA
skracanie
czynność polegająca na podzieleniu jego
licznika i mianownika przez tę samą
liczbę różną od 0
PRZYKŁAD
24
36 = 24 : 12
36 : 12 = 2
3
2
3 = 2 · 4
3 · 4 = 8
12
rozszerzanie
porównanie
czynność polegająca na pomnożeniu
licznika i mianownika przez tę samą
liczbę różną od 0
zazwyczaj doprowadzamy ułamki do
ułamków o równych mianownikach lub
równych licznikach
4
51 10
5
6 1
73, bo 20
255 20
146
12 3
4, bo 10
12
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 32
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
DODAWANIE I ODEJMOWANIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH
UŁAMKI
o jednakowych
mianownikach
CZYNNOŚCI
należy dodać lub odjąć liczniki,
a mianownik pozostawić bez zmian
PRZYKŁAD
3
5 + 1
5; 9
5 = 4
11 – 3
11 = 6
11
o różnych
mianownikach
należy sprowadzić je do wspólnego
mianownika, następnie dodać
lub odjąć liczniki, a mianownik
pozostawić bez zmian
24 + 9
24 = 29
24 =
5
8 = 20
6 + 3
= 1 5
24
3 = 3
1
2 – 1
6 – 2
6 = 1
6
MNOŻENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH
ZASADA
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę
całkowitą, należy pomnożyć licznik tego
ułamka przez tę liczbę, a mianownik
pozostawić bez zmian.
PRZYKŁAD
3
4·15
5
1
15·
4
5
=
=
12
Iloczyn ułamków jest ułamkiem, którego
licznik jest iloczynem liczników, a mianownik
iloczynem mianowników.
8
15
·
5
36
=
1
2
8 · 5
15·36
9
3
2
= 27
Gdy czynnik jest liczbą mieszaną, zazwyczaj
zamieniamy tę liczbę na ułamek niewłaściwy
i wykonujemy mnożenie.
2
1
2
·
3
1
3
=
5
2
·
10
3
=
5
5·10
2·3
1
=
25
3
=
8
1
3
Mnożenie ułamków stosujemy na przykład
przy obliczaniu ułamka danej liczby.
3
4 liczby 60 = 3
4 · 60 = 45
Gdy iloczyn dwu liczb jest równy 1,
to mówimy, że jedna z nich jest
odwrotnością drugiej.
Odwrotnością ułamka a
gdzie a ≠ 0 i b ≠ 0.
b jest ułamek b
a,
odwrotnością liczby 9 jest liczba 1
9,
bo 9 · 1
9 = 1
odwrotnością liczby 5
7 jest liczba 1,4
STARA DOBRA SZKOŁA 33
DZIELENIE UŁAMKÓW ZWYKŁYCH
ZASADA
Aby podzielić ułamek przez ułamek,
mnożymy pierwszy ułamek przez
odwrotność drugiego.
PRZYKŁAD
7
8 : 3
8 · 4
4 = 7
3 = 7
6 = 11
6
Dzielenie ułamków wykorzystujemy
na przykład przy wyznaczaniu liczby
z danego jej ułamka.
liczba, której 4
12 : 4
5 = 15
5 wynosi 12, to:
UŁAMKI DZIESIĘTNE
WŁASNOŚĆ
Ułamki zwykłe, które w mianowniku mają 10, 100,
1000, …, nazywamy ułamkami dziesiętnymi.
Możemy je zapisać w postaci dziesiętnej, tzn. bez kreski
ułamkowej, z zastosowaniem przecinka oddzielającego część
całkowitą od części ułamkowej.
Jeżeli każdy ułamek zwykły traktujemy jako iloraz dwóch
liczb całkowitych, to możemy wykonać dzielenie licznika tego
ułamka przez jego mianownik. Wynikiem tego dzielenia jest
ułamek dziesiętny.
PRZYKŁAD
23
1000
23
1000 = 0,023
3
4 = 3 : 4 = 0,75
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych wykonujemy tak,
jak dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych.
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 34
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
DODAWANIE I ODEJMOWANIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
Proste rachunki wykonujemy w pamięci, a bardziej skomplikowane sposobem
pisemnym, pamiętając, aby wszystkie przecinki zapisać w jednej kolumnie.
1,357 + 24,9 + 0,67
10,2 – 3,81
,
1 3 5 7
,
0 0
4 9
,
0 6
7
0
9
,
2
6
7
2
2
+
1
_
,
2
0
,
8
3
,
36
0
1
9
MNOŻENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
ZASADA
Przy mnożeniu ułamka dziesiętnego przez
10, 100, 1000… przesuwamy przecinek
w tym ułamku w prawo odpowiednio
o jedno, dwa, trzy… miejsca,
PRZYKŁAD
3,241 · 100 = 324,1
Mnożąc ułamki dziesiętne sposobem
pisemnym, zapisujemy je tak,
jak w mnożeniu liczb naturalnych,
nie zwracając uwagi na położenie
przecinka, a w iloczynie oddzielamy
przecinkiem od prawej strony (od końca)
tyle cyfr, ile jest łącznie po przecinkach
w obu czynnikach.
15,23 · 3,6
·
4
5
+
1
2
3
319
5
9
2
4
6
8
5
,
,
,
3
6
8
8
STARA DOBRA SZKOŁA 35
DZIELENIE UŁAMKÓW DZIESIĘTNYCH
ZASADA
Przy dzieleniu ułamka dziesiętnego przez
10, 100, 1000… przesuwamy przecinek
w tym ułamku w lewo odpowiednio
o jedno, dwa, trzy… miejsca.
Dzieląc ułamek dziesiętny przez liczbę
naturalną, postępujemy tak samo, jak przy
dzieleniu liczb naturalnych, a przecinek
w ilorazie zapisujemy nad przecinkiem
dzielnej.
Przy dzieleniu liczby przez ułamek
dziesiętny należy przesunąć przecinek
w dzielnej i dzielniku o tyle miejsc,
aby dzielnik stał się liczbą naturalną,
a następnie wykonać to dzielenie.
PRZYKŁAD
50,2 : 1000 = 0,0502
:
4
_
9
83
3
6
2
_
2
,
,
6
4
4
4
0
25,6 : 0,25
_
2
2
1
5
5
_
_
0
6
6
5
1
1
2
0
0
0
0
0
,
4
:
2
5
0
0
0
Ułamki zwykłe o rozwinięciu dziesiętnym skończonym możemy zamieniać
na ułamki dziesiętne, rozszerzając lub skracając je tak, aby w mianowniku
była liczba 10, 100, 1000.
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 36
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
Rozwinięcia dziesiętne nieskończone, w których od pewnego miejsca
powtarza się cyfra lub grupa cyfr, nazywamy dziesiętnymi okresowymi.
Powtarzającą się cyfrę lub najkrótszą grupę cyfr nazywamy okresem
i zapisujemy go w nawiasie.
Rozwinięć dziesiętnych nieskończonych w praktyce używa się często
jako rozwinięć dziesiętnych ograniczonych do jednego lub kilku miejsc
po przecinku. Mówimy wtedy o przybliżeniu dziesiętnym z określoną
dokładnością, czyli o zaokrągleniu liczby do jednego, dwóch, trzech miejsc
po przecinku (czyli do części dziesiątych, setnych, tysięcznych itd.).
PRZYKŁADY ROZWINIĘCIA UŁAMKA ZWYKŁEGO
DZIESIĘTNE SKOŃCZONE
3
8
DZIESIĘTNE NIESKOŃCZONE
5
11
_
_
,
0
3
0
3
2
_
3
:
0
4
6
5
_
7
8
0
6
4
4
5
0
0
0
3
5 = 6
10; 27
300 = 9
100
_
_
,
0
5
0
5
4
_
4
:
0
4
6
5
_
5
...
5
4
1 1
0
5
5
4
_
0
4
6
5
0
5
5
0
0,24343… = 0,2(43)
STARA DOBRA SZKOŁA 37
ZAOKRĄGLANIE LICZB
ZASADA
Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr rozwinięcia
dziesiętnego jest mniejsza od 5, to ostatnią
zachowaną cyfrę zostawiamy bez zmian i podajemy
przybliżenie liczby z niedomiarem.
Jeżeli pierwsza z odrzucanych cyfr rozwinięcia
dziesiętnego jest większa lub równa 5, to ostatnią
zachowaną cyfrę powiększamy o 1 i podajemy
przybliżenie liczby z nadmiarem.
PRZYKŁAD
23,1483517 ≈ 23,148
23,1483517 ≈ 23,15
WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ ARYTMETYCZNYCH
WŁASNOŚĆ
przemienność dodawania
łączność dodawania
przemienność mnożenia
łączność mnożenia
rozdzielność mnożenia względem dodawania
WZÓR
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a · b = b · a
(a · b) · c = a · (b · c)
a · (b + c) = a · b + a · c
WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ ARYTMETYCZNYCH – ZAPAMIĘTAJ!
ZASADA
dodając 0, nie zmieniamy wartości wyrażenia
mnożąc przez 1, nie zmieniamy wartości wyrażenia
gdy jednym z czynników iloczynu jest 0, to iloczyn wynosi 0
WWW.GIMTESTOK.PL
WZÓR
a + 0 = a
a · 1 = a
a · 0 = 0
LICZBY WYMIERNE 38
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ
WŁASNOŚĆ
suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią
suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną
iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną
iloczyn dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą
dodatnią
iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną
iloraz dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią
PRZYKŁAD
3 + 5 = 8
(–3) + (–5) = –8
(–4) · 5 = –20
4 · (–5) = –20
4 · 5 = 20
(–4) · (–5) = 20
48 : (–6) = –8
(–48) : 6 = –8
48 : 6 = 8
(–48) : (–6) = 8
KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ ARYTMETYCZNYCH
– PRZYKŁADY
Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko dodawanie i odejmowanie albo tylko mnożenie
i dzielenie, to wykonujemy je w kolejności od lewej do prawej.
24 – 8 + 2 + 3 – 11 = 16 + 2 + 3 – 11 = 18 + 3 – 11 = 21 – 11 = 10
3 · 8 : 2 : 4 · 7 = 24 : 2 : 4 · 7 = 12 : 4 · 7 = 3 · 7 = 21
Gdy w wyrażeniu występuje dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie,
to najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie, a potem dodawanie i odejmowanie.
32 + 36 : 9 – 5 · 4 = 16
W wyrażeniach zawierających nawiasy najpierw wykonujemy działania w tych
nawiasach, które nie zawierają innych nawiasów.
2
5 · (6 – 20 : (4 + 1)) = 2
5 · (6 – 20 : 5) = 2
5 · (6 – 4) = 2
5 · 2 = 4
5
STARA DOBRA SZKOŁA 39
KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ ARYTMETYCZNYCH
– PRZYKŁADY
Zastępując znak dzielenia kreską ułamkową, traktujemy wyrażenia w liczniku
i mianowniku tak, jakby były ujęte w nawiasy.
15 : (–3) + 7
–2
= –5 + 7
–2 = 2
–2 = –1
Wykonując obliczenia, w których występują ułamki zwykłe i dziesiętne, możemy
ułamki dziesiętne zamieniać na ułamki zwykłe lub – o ile to możliwe – zamieniać
ułamki zwykłe na dziesiętne, a następnie wykonywać działania zgodnie
z kolejnością.
3 – (0,6 · 5
2
6 – 1,4) : (–2,7) = 2
3 – (0,5 – 1,4) : (–2,7) = 2
= 2
3 – 1
3 – (– 9
= 2
3 – ( 6
3 – (– 0,9) : (–2,7) = 2
3 = 1
3
6 – 1,4) : (–2,7) =
3 – (– 9
10) · (– 10
10) : (– 27
27) = 2
10 · 5
10) =
KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ NA LICZBACH DODATNICH
I UJEMNYCH – PRZYKŁADY
1.
wykonujemy działania w nawiasach
2.
mnożymy i dzielimy
dodajemy i odejmujemy
3.
–(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7 =
= 5 – 23 + 9 + 4 – 13 + 7 = 25 – 36 = –21
2) · 6 + 1
(– 1
= –3 – 4 – (–1 + 2) · (– 3
3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2
5) ] : (– 2
2) + 4 + 3 = –3 – 4 + 1,5 + 4 + 3 = 1,5
3) + 4 – 9 : (–3) =
Należy pamiętać o opuszczaniu niepotrzebnych nawiasów.
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 40
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
Osie liczbowe
Porównując liczby, często wykorzystujemy położenie na osi liczbowej
punktów o odpowiadających im współrzędnych.
–21
2 – 1
2 0 1 1,5 21
4
OSIE LICZBOWE – PRZYKŁADY
Odległość pomiędzy dwoma punktami leżącymi na osi liczbowej możemy obliczać,
odejmując ich współrzędne.
|AB| = 4 – (–3) = 7
A
7
3
4
B
–3 0 1 4
Na osi liczbowej możemy zaznaczać liczby oraz zbiory liczb. Jeżeli chcemy wśród
liczb podać te, które są np. większe od 4, to nie możemy wymienić ich wszystkich,
bo jest ich nieskończenie wiele. Zbiór ten zaznaczamy na osi liczbowej.
x 2
x 4
x ≥ 3
x ≤ –1
0 1 2
0 1 4
0 1 3
–1 0 1
STARA DOBRA SZKOŁA 41
ZAPAMIĘTAJ
Liczbami naturalnymi są liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
Liczbami całkowitymi są liczby: ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…
Liczby –1 i 1, 2 i –2, 3 i –3 to pary liczb przeciwnych.
Do zapisu liczb w systemie rzymskim używa się siedmiu cyfr:
I, V, X, L, C, D, M.
Poszczególne cyfry oznaczają:
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.
Skracaniem ułamka nazywamy czynność polegającą na podzieleniu jego licznika
i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0, np. 24
36 : 12 = 2
3.
Rozszerzanie ułamka to czynność polegająca na pomnożeniu licznika
i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0, np. 2
36 = 24 : 12
3 = 2 · 4
3 · 4 = 8
12.
Iloczyn ułamków jest ułamkiem, którego licznik jest iloczynem liczników,
a mianownik iloczynem mianowników.
Aby podzielić ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy ułamek przez
odwrotność drugiego.
Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, o liczniku
będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku będącym liczbą całkowitą różną
od 0, nazywamy liczbą wymierną.
Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie mnożymy i dzielimy,
a na końcu dodajemy i odejmujemy.
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 42
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
Rozwiązywanie zadań krok po kroku
NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK
KROK
treść zadania
OPIS
Przed wyjściem na wycieczkę uczniowie otrzymali paczki
składające się z tej samej liczby jabłek i tej samej liczby gruszek.
Do sporządzenia paczek zużyto 120 jabłek i 180 gruszek.
Zakładając, że owoców nie krojono, oblicz, ile najwięcej paczek
można było przygotować.
obliczenia
odpowiedź
I sposób:
Liczymy NWD (120, 180), rozkładając na czynniki pierwsze
obie liczby:
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5; 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5
Mnożymy powtarzające się liczby pierwsze:
NWD (120, 180) = 2 · 2 · 3 · 5 = 60
Obliczamy liczbę owoców w paczce:
120 : 60 = 2
180 : 60 = 3
II sposób:
Zakładamy, że w paczce było po jednym jabłku, zatem powinno
być 120 paczek, ale 180 gruszek nie dzieli się przez 120
bez dzielenia owoców.
Zakładamy, że w paczce były po dwa jabłka, zatem
120 : 2 = 60 paczek.
Sprawdzamy, czy 180 gruszek dzieli się przez 60 – tak,
bo 180 : 60 = 3.
Przygotowano 60 paczek, w których znalazły się po 3 gruszki
i po 2 jabłka.
STARA DOBRA SZKOŁA 43
PODZIELNOŚĆ LICZB
OPIS
KROK
Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14,
treść zadania
to jest podzielna przez 10.
Jeżeli liczba jest podzielna przez 15, to jest podzielna
przez 3 i przez 5.
Jeżeli liczba jest podzielna przez 14, to jest podzielna
przez 2 i przez 7.
Jeżeli liczba jest podzielna przez 2, 3, 5 i 7, to jest podzielna
przez 5 · 2 = 10.
rozwiązanie
PORÓWNYWANIE LICZB
KROK
treść zadania
7 + 1 : 11
7 + 1 : 11
7) = –3 – 14
OPIS
O ile liczba a jest mniejsza od liczby b, jeśli:
a = –3 – (11
6) oraz b = (0,3 – 1
Obliczamy liczbę a:
a = –3 – (11
7 + 6
= –3 – (8
Obliczamy liczbę b:
b = (0,3 – 1
= 0,05 · 1,4 = 0,07
Porównujemy:
b – a = 0,07 –(–5) = 0,07 + 5 = 5,07
Liczba a jest mniejsza od liczby b o 5,07.
7 + 1 · 6
7 = –3 – 2 = –5
obliczenia
odpowiedź
4) · [–4,2 – (–53
5)]?
6) = –3 – (8
7) =
4) · [–4,2 – (–53
5)] = (0,3 – 0,25) · (–4,2 + 5,6) =
WWW.GIMTESTOK.PL
LICZBY WYMIERNE 44
TABLICE GIMNAZJALISTY MATEMATYKA
notatki:
STARA DOBRA SZKOŁA
Pobierz darmowy fragment (pdf)
