Darmowy fragment publikacji:
ADAM KONSTANTYNOWICZ
ANNA KONSTANTYNOWICZ
ZBIÓR ZADAŃ
Redaktor serii: Marek Jannasz
Korekta: Marek Kowalik
Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio
Projekt makiety i opracowanie graficzne: Kaja Mikoszewska
© Copyright by Wydawnictwo Lingo sp. j., Warszawa 2015
www.cel-matura.pl
ISBN wydania elektronicznego: 978-83-7892-266-7
Skład i łamanie: Kaja Mikoszewska
SPIS TREŚCI
3
1. LICZBY RZECZYWISTE
2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
4. FUNKCJE
5. CIĄGI LICZBOWE
6. TRYGONOMETRIA
7. PLANIMETRIA
8. GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE
KARTEZJAŃSKIEJ
9. STEREOMETRIA
10. ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ
– TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA
I KOMBINATORYKA
7
27
35
63
103
119
137
173
203
235
4
Od roku szkolnego 2014/2015 obowiązuje nowa formuła egzaminu matural-
nego z matematyki odwołująca się do nowej podstawy programowej wprowa-
dzonej w roku szkolnym 2012/2013. Zbiór niniejszy zawiera zadania zgodne
z wyżej wymienioną podstawą i przeznaczony jest do przygotowania ucznia do
matury w zakresie podstawowym.
Nowa podstawa zakłada różny stopień opanowania wiadomości i umiejęt-
ności przez uczniów, zatem i zbiór zadań zawiera zadania o różnym poziomie
trudności. Są dobrane zgodnie z zasadą przystępności, poglądowości i stopnio-
wania trudności. Rozdziały w zbiorze i ich kolejność pokrywają się z działami
i ich kolejnością w podstawie programowej.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 5
W każdym rozdziale jest około połowa zadań zamkniętych, których roz-
wiązania nie ograniczają się do podania prawidłowej litery A, B, C lub D, ale
przedstawiają tok rozumowania, jakim powinien kierować się rozwiązujący.
Rozwiązania zadań otwartych dokładnie tłumaczą kolejność postępowania,
choć nie podają wszystkich możliwych sposobów.
Zbiór zadań jest doskonałym uzupełnieniem podręczników do matema-
tyki, może również służyć do samodzielnego powtórzenia materiału pod kątem
rodzajów zadań, które mogą pojawić się na egzaminie maturalnym. W nadziei,
że choć troszkę pomożemy zrozumieć matematykę i przybliżymy umiejętność
rozwiązywania zadań, życzymy powodzenia na maturze.
Z poważaniem
Autorzy
WSTĘP 6
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ LICZBY RZECZYWISTE 1. 8
Zadania
1
4√16
+
5√32
8
3√8 – (11
A. 3
4.
1. Liczba
2. Wartość ułamka
2)–1 jest równa
C. 4
3.
D. 9
16.
B. 16
9 .
· (3√3)2
1
3√9
27 : √81
wynosi
A. 0,2.
B. 2√3.
C. 1
3.
D. 9.
3. Wartość wyrażenia arytmetycznego 32 · 3√8
√8 : √2 wynosi
D. 27.
C. 25.
A. 22.
B. 24.
4. Wartość wyrażenia arytmetycznego 0,(3) + 0,(1)
0,(6) – 0,(1) wynosi
C. 0,(3).
D. 0,3.
A. 0,8.
B. 0,(8).
5. Po uproszczeniu 5√48 − 3√12 + √27 − √300 otrzymamy
D. 7√3.
C. 5√3.
B. 3√3.
A. √3.
6. Wykonując działania √20 + 2√45
3√80 – √500
, otrzymamy
A. √5.
B. 3√5.
C. 5√5.
D. 4.
7. Liczbą odwrotną do liczby 4– 3
2 · 8
2
3 : 16
2–2 · 32
4
5
1
4
jest
A. 16.
B. 24.
C. −24.
D. 1
16.
8. Liczbą przeciwną do liczby 9– 3
2 · 27
3–2
2
3
jest
A. −3−2.
B. 3−2.
C. −3.
D. 3.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 9
9. Prędkość światła w próżni (około 300 000 km/s) zapisana w notacji
wykładniczej wynosi
A. 300 · 103 km/s.
B. 30 · 104 km/s.
C. 3 · 105 km/s.
D. 0,3 · 106 km/s.
10. Wyznaczając q1 ze wzoru F = k · q1 · q2
r2
, otrzymamy
A. q1 = F · q2
k · r2 .
C. q1 = F · k
q2 · r2.
B. q1 = F · r2
k · q2
D. q1 = k · r2
F · q2
.
.
11. Liczba log550 – log510 jest równa
A. log540.
B. 1.
C. log5500.
D. 5.
12. Liczba 2log36 – log34 jest równa
A. log324.
B. 2log324.
C. 2.
D. 3.
13. Jeżeli log23 = a, to wartość wyrażenia log29 + log26 wynosi
A. 4a.
B. 3a + 1.
C. 2a + 1.
D. a – 2.
14. Błąd bezwzględny przybliżenia a = 3,2 liczby x = 3,215 wynosi
A. 0,2.
B. 0,02.
C. 0,015.
D. 0,01.
15. Błąd względny procentowy z dokładnością do 0,01 przybliżenia
a = 4 liczby x = 3,98 wynosi
A. 0,5 .
B. 0,02 .
C. 0,05 .
D. 1 .
16. Jeżeli A = 〈−2; 4〉 i B = (−1; 5〉, to błędnie wyznaczono przedział
A. A B = 〈−2; 5〉.
C. A – B = (−2; −1〉.
B. A B = (−1; 4〉.
D. B – A = (4; 5〉.
1. LICZBY RZECZYWISTE 10
17. Wybierz zapis przedstawiający zbiór rozwiązań nierówności
|x – 1| 3.
A. x 〈−2; 4〉.
C. x (−2; 4).
B. x (−∞; −2) (4; +∞).
D. x R.
18. Przedział 〈−4;1〉 jest zbiorem rozwiązań nierówności
A. |x – 4| 1.
C. |x – 1| 4.
B. |2x + 3| ⩽ 5.
D. |3x + 2| ⩾ 5.
19. Jeśli cenę pewnego towaru obniżono o 10 , a następnie podwyż-
szono o 5 , to znaczy, że po tych operacjach cena końcowa jest obni-
żona w stosunku do początkowej o
A. 5,5 .
B. 5 .
C. 4,5 .
D. 4 .
20. Wpłacając 1000 zł na lokatę terminową roczną oprocentowaną
3 w skali roku, z kwartalną kapitalizacją odsetek, po upłynięciu
terminu otrzymamy
A. 1030 zł.
C. 1000 · (1,03)4 zł.
B. 1120 zł.
D. 1000 · (1,0075)4 zł.
21. Uzasadnij, że dla n N liczba 2n2 + 11n + 5
n + 5
jest liczbą nieparzystą.
22. Wyznacz sumę liczb 2,8793 i 1,1205. Wynik zaokrąglij do trze-
ciego miejsca po przecinku. Oblicz błąd względny procentowy tego
przybliżenia.
23. Oblicz, jaką kwotę po upływie lokaty otrzyma klient wpłacający
50 000 zł do banku na 2 lata, jeżeli kapitalizacja odsetek jest dokony-
wana co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi 4 .
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 11
24. Telewidz oglądający memoriał Janusza Kusocińskiego oszacował
długość rzutu oszczepem naszego zawodnika na 81,5 m. Na tablicy
wyników wyświetlono 80,75 m. Ile wyniósł błąd względny procen-
towy popełniony przez telewidza?
25. Cena spodni po podwyżce o 10 i następnej o 20 wyniosła
349,80 zł. Jaka była cena tych spodni przed podwyżkami?
26. Cenę pewnego towaru zwiększono o 10 . O ile procent należy
obniżyć nową cenę, aby wróciła do pierwotnej?
27. Oblicz wartość liczbową wyrażenia 2x, wiedząc, że
x = 2log29 + 1
4log281 – 3log23.
28. Podaj współrzędne punktu A symetrycznego do punktu
B = (x, y) względem początku układu współrzędnych, wiedząc, że
x = 2−3 · 3−2
6−2 · 1
2
i y = 53log52.
29. Uzasadnij, że suma liczb 2125, 2126, 2127 jest podzielna przez 14.
30. Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych
powiększona o 4 jest podzielna przez 12.
31. Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzy-
stych pomniejszona o 2 jest podzielna przez 3.
32. Wskaż, która z liczb: a = √3√3√3 czy b = √9√9√9
4
4
4
jest większa i ile razy.
1. LICZBY RZECZYWISTE 12
33. Kurtka narciarska męska kosztuje 350 zł, a kurtka narciarska
damska 200 zł. O ile procent jest droższa kurtka męska od kurtki
damskiej?
34. Czy podwyżka ceny towaru najpierw o 15 , a następnie o 25 ,
będzie wynosiła tyle samo co podwyżka ceny tego samego towaru
o 40 ? Jeżeli nie, to która z nich jest bardziej opłacalna dla
sprzedającego?
35. Podczas doświadczenia na lekcji fizyki czas swobodnego spadku
ciała z pewnej wysokości został zmierzony jako 1,375 s. Uczeń zapisał
w zeszycie czas 1,4 s. Ile wynosił błąd względny przybliżenia dokona-
nego przez ucznia?
36. Oblicz, ile procent wynosi podatek VAT, jeżeli cena brutto jest
równa 3062,70 zł, a cena netto to 2490 zł.
37. Podatek VAT na materiały budowlane wynosi 8 . Ile zapłaci
klient za 2500 cegieł, jeżeli cena netto 1 cegły wynosi 66 gr?
38. Nad wejściem do sklepu z artykułami AGD umieszczony jest
napis: „Dzisiaj bez 23 VAT”. Ile złotych zaoszczędzi klient kupujący
lodówkę w cenie brutto 1230 zł?
39. Zmniejszamy długość boku a prostokąta o 10 oraz zwiększamy
długość boku b tego prostokąta o 20 . Wyznacz stosunek a
b, jeśli wia-
domo, że otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak o bokach dłu-
gości a i b.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 13
40. Zapisz wyrażenie
4 · (3√5)√5
81– 1
(1
9)–2: 27
w postaci 3k, gdzie k C.
41. Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór roz-
wiązań nierówności: 2x + 3 −8 i 3x − 2 ⩽ 6.
42. Dwaj bracia złożyli w banku po 20 000 zł każdy na roczne lokaty
terminowe oprocentowane 3 w skali roku. Pierwszy z nich na
lokatę z półroczną kapitalizacją odsetek, a drugi na lokatę z kwar-
talną kapitalizacją odsetek. Który z nich otrzyma po roku więcej
odsetek i o ile?
43. Prędkość rozchodzenia się dźwięku w stali wynosi 2,16 · 104 km/h.
Wyraź tę prędkość w metrach na sekundę, zapisując ją w notacji
wykładniczej.
44. Jaką liczbę atomów wodoru zawierają 3 mole, jeżeli wiadomo, że
1 mol zawiera 6,02 · 1023 cząsteczek, a 1 cząsteczka wodoru zawiera
2 atomy?
45. Ślimak winniczek porusza się z prędkością 3 · 10–3 km/h. Jaką
odległość w metrach pokona w ciągu kwadransa?
1. LICZBY RZECZYWISTE 14
Rozwiązania
1. Liczba
1
4√16
+
5√32
8
3√8 – (11
2)–1 jest równa D. 9
16.
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:
1
4√16
+
5√32
8
3√8 – (11
2)–1 =
3
2 + 1
1
4 = 9
4 = 4
16.
2 – 2
3
3
· (3√3)2
1
3√9
27 : √81
2. Wartość ułamka
wynosi C. 1
3.
· (3√3)2
1
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia: 3√9
27 : √81
9– 1
3 · 32
= 27 : 9
3 =
3– 2
3 · 32
3
3 = 1
3.
3. Wartość wyrażenia arytmetycznego 32 · 3√8
√8 : √2 wynosi C. 25.
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia: 32 · 3√8
√8 : √2 = 25 · 2
√8 : 2 = 26
2 = 25.
4. Wartość wyrażenia arytmetycznego 0,(3) + 0,(1)
0,(6) – 0,(1) wynosi A. 0,8.
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia: 0,(3) + 0,(1)
0,(6) – 0,(1) = 2
1
3 + 1
9 = 4
3 – 1
9
5 = 0,8.
5. Po uproszczeniu 5√48 − 3√12 + √27 − √300 otrzymamy D. 7√3.
Upraszczamy wyrażenie:
5√48 − 3√12 + √27 − √300 =
= 5√16 · 3 – 3√4 · 3 + √9 · 3 – √100 · 3 = 20√3 – 6√3 + 3√3 – 10√3 = 7√3.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 15
6. Wykonując działania √20 + 2√45
3√80 – √500
Wykonujemy działania:
, otrzymamy D. 4.
√20 + 2√45
3√80 – √500
= √4 · 5 + 2√9 · 5
3√16 · 5 – √100 · 5
= 2√5 + 6√5
12√5 – 10√5
= 8√5
2√5
= 4.
1
4
jest B. 24.
7. Liczbą odwrotną do liczby 4– 3
2 · 8
2
3 : 16
2–2 · 32
4
5
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:
2 · 8
4– 3
2
3 : 16
2–2 · 32
4
5
Liczbą odwrotną do liczby 1
= 2–3 · 22 : 21
2–2 · 24
= 2–2
22 = 2–4 = 1
16.
16 jest liczba 16, czyli 24.
1
4
8. Liczbą przeciwną do liczby 9– 3
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia: 9– 3
2 · 27
3–2
2
3
jest C. −3.
2 · 27
3–2
= 3–3 · 32
3–2
2
3
= 3–1
3–2 = 3.
Liczbą przeciwną do liczby 3 jest –3.
9. Prędkość światła w próżni (około 300 000 km/s) zapisana w notacji
wykładniczej wynosi C. 3 · 105 km/s.
300 000 km/s = 3 · 100 000 km/s = 3 · 105 km/s.
10. Wyznaczając q1 ze wzoru F = k · q1 · q2
r2
Przekształcamy wzór: F · r2 = k · q1 · q2, zatem q1 = F · r2
k · q2
.
, otrzymamy B. q1 = F · r2
k · q2
.
1. LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA 16
11. Liczba log550 – log510 jest równa B. 1.
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia: log550 – log510 = log5
50
10 = log55 = 1.
12. Liczba 2log36 – log34 jest równa C. 2.
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:
2log36 – log34 = log362 – log34 = log3
36
4 = log39 = 2.
13. Jeżeli log23 = a, to wartość wyrażenia log29 + log26 wynosi B. 3a + 1.
Zapisujemy wyrażenie w postaci: log29 + log26 = log232 + log23 · 2 =
= 2log23 + log23 + log22. Wstawiamy a w miejsce log23:
2a + a + 1 = 3a + 1.
14. Błąd bezwzględny przybliżenia a = 3,2 liczby x = 3,215 wynosi
C. 0,015.
Obliczamy błąd bezwzględny: |3,215 – 3,2| = |0,015| = 0,015.
15. Błąd względny procentowy z dokładnością do 0,01 przybliżenia
a = 4 liczby x = 3,98 wynosi A. 0,5 .
Obliczamy błąd względny procentowy:
3,98 · 100 = 200
|4 – 3,98|
|3,98| · 100 = 0,02
398 ≈ 0,5 .
16. Jeżeli A = 〈−2; 4〉 i B = (−1; 5〉, to błędnie wyznaczono przedział
C. A – B = (−2; −1〉.
Wyznaczamy różnicę przedziałów A i B: A – B = 〈−2; −1〉.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 17
17. Wybierz zapis przedstawiający zbiór rozwiązań nierówności
|x – 1| 3. B. x (−∞; −2) (4; +∞).
Rozwiązujemy nierówność:
x – 1 3 lub x – 1 –3
x 4 lub x –2
x (−∞; −2) (4; +∞).
18. Przedział 〈−4; 1〉 jest zbiorem rozwiązań nierówności
B. |2x + 3| ⩽ 5.
Rozwiązujemy nierówność:
|2x + 3| ⩽ 5
–5 ⩽ 2x + 3 ⩽ 5
–5 – 3 ⩽ 2x ⩽ 5 – 3
–8 ⩽ 2x ⩽ 2
–4 ⩽ x ⩽ 1
x 〈−4; 1〉.
19. Jeśli cenę pewnego towaru obniżono o 10 , a następnie podwyż-
szono o 5 , to znaczy, że po tych operacjach cena końcowa jest obni-
żona w stosunku do początkowej o A. 5,5 .
Oznaczamy cenę towaru jako x. Wtedy cena po obniżce wynosi 0,9x, a po pod-
wyżce wynosi 1,05 · 0,9x = 0,945x.
W stosunku do ceny początkowej końcowa cena towaru zmalała o 5,5 .
1. LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA 18
20. Wpłacając 1000 zł na lokatę terminową roczną oprocentowaną 3
w skali roku, z kwartalną kapitalizacją odsetek, po upłynięciu ter-
minu otrzymamy D. 1000 · (1,0075)4 zł.
Korzystając ze wzoru Kn = K · (1 + p
1000 · (1 + 0,75
100 )4 = 1000 · (1 + 0,0075)4 = 1000 · (1,0075)4.
100)n, otrzymujemy:
21. Uzasadnij, że dla n N liczba 2n2 + 11n + 5
Zapisując wyrażenie w liczniku w postaci iloczynowej, otrzymujemy:
2n2 + 11n + 5
n + 5
jest liczbą nieparzystą.
= 2(n + 5)(n + 1
2)
n + 5
= 2n + 1,
n + 5
co jest ogólną postacią liczby nieparzystej.
22. Wyznacz sumę liczb 2,8793 i 1,1205. Wynik zaokrąglij do trze-
ciego miejsca po przecinku. Oblicz błąd względny procentowy tego
przybliżenia.
2,8793 + 1,1205 = 3,9998 ≈ 4,000
|4,000 – 3,9998|
· 100 = 0,0002
3,9998 · 100 = 200
39998 ≈ 0,005 .
|3,9998|
23. Oblicz, jaką kwotę po upływie lokaty otrzyma klient wpłacający
50 000 zł do banku na 2 lata, jeżeli kapitalizacja odsetek jest dokony-
wana co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi 4 .
Korzystając ze wzoru Kn = K · (1 + p
50000 · (1 + 1
= 50000 · 1,083 = 54 150. Klient otrzyma 54 150 zł.
100)n, otrzymujemy:
100)8 = 50000 · (1 + 0,01)8 = 50000 · (1,01)8 =
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 19
24. Telewidz oglądający memoriał Janusza Kusocińskiego oszacował
długość rzutu oszczepem naszego zawodnika na 81,5 m. Na tablicy
wyników wyświetlono 80,75 m. Ile wyniósł błąd względny procen-
towy popełniony przez telewidza?
Obliczamy błąd względny procentowy:
|81,5 – 80,75|
|80,75|
· 100 = 0,75
80,75 · 100 = 7500
8075 ≈ 0,93 .
Błąd względny procentowy wyniósł około 0,93 .
25. Cena spodni po podwyżce o 10 i następnej o 20 wyniosła
349,80 zł. Jaka była cena tych spodni przed podwyżkami?
Oznaczamy cenę spodni przed podwyżkami jako x. Wówczas cenę spodni po
obu podwyżkach zapiszemy jako 1,2 · 1,1x. Zapisujemy równanie i rozwiązu-
jemy je:
1,2 · 1,1x = 349,80
1,32x = 349,8
x = 265
Cena spodni przed podwyżkami wynosiła 265 zł.
26. Cenę pewnego towaru zwiększono o 10 . O ile procent należy
obniżyć nową cenę, aby wróciła do pierwotnej?
Oznaczamy pierwotną cenę towaru jako x, a nową cenę jako y.
Otrzymujemy y = 1,1x, a po przekształceniu x = y
y – 10
11 y.
Nową cenę należy obniżyć o 9 1
11 .
11 y = 9 1
11 y. Zatem:
1,1 = 10
11 y = 1
11 y = 100
1. LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA 20
4log281 – 3log23.
27. Oblicz wartość liczbową wyrażenia 2x, wiedząc, że
x = 2log29 + 1
Zapisujemy x w prostszej postaci:
x = 2log29 + 1
4log281 – 3log23 = log292 + log2
Obliczamy wartość liczbową wyrażenia 2x.
2x = 2log29
4√81 – log233 = log2
2x = 9.
81 · 3
27 = log29.
28. Podaj współrzędne punktu A symetrycznego do punktu
B = (x, y) względem początku układu współrzędnych, wiedząc, że
x = 2−3 · 3−2
6−2 · 1
2
i y = 53log52.
Obliczamy współrzędne punktu B: x = 2−3 · 3−2
6−2 · 1
2
y = 53log52 = 5log58 = 8.
Zatem B = (1, 8). Punkt A jest symetryczny do punktu B = (1, 8) względem
początku układu współrzędnych, więc A = (–1, –8).
2−2 · 3−2 · 2−1 = 1
= 2−3 · 3−2
29. Uzasadnij, że suma liczb 2125, 2126, 2127 jest podzielna przez 14.
Zapisujemy sumę liczb 2125, 2126, 2127 w postaci iloczynu.
2125 + 2126 + 2127 = 2125(1 + 2 + 4) = 2125 · 7 = 2124 · 2 · 7 = 2124 · 14.
Zatem suma liczb 2125, 2126, 2127 jest podzielna przez 14.
30. Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych
powiększona o 4 jest podzielna przez 12.
Oznaczamy kolejne liczby parzyste jako 2n, 2n + 2, 2n + 4. Zatem:
(2n)2 + (2n + 2)2 + (2n + 4)2 + 4 = 4n2 + 4n2 + 8n + 4 + 4n2 + 16n + 16 + 4 =
= 12n2 + 24n + 24 = 12(n2 + 2n + 2).
Iloczyn dwóch liczb, z których jedna to 12, jest podzielny przez 12.
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 21
31. Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzy-
stych pomniejszona o 2 jest podzielna przez 3.
Oznaczamy kolejne liczby nieparzyste jako 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5.
Zatem:
(2n + 1)2 + (2n + 3)2 + (2n + 5)2 − 2 =
= 4n2 + 4n + 1 + 4n2 + 12n + 9 + 4n2 + 20n + 25 − 2 =
= 12n2 + 36n + 33 = 3(4n2 + 12n + 11).
Iloczyn dwóch liczb, z których jedna to 3, jest podzielny przez 3.
jest większa i ile razy.
4
4
16
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2 = √3√33
= √9√9 5
2 = √3 · 33
= √9 · 9 5
32. Wskaż, która z liczb: a = √3√3√3 czy b = √9√9√9
a = √3√3√3 = √3√3 · 3 1
= √9√9 · 9 1
b = √9√9√9
Zatem a b.
Obliczamy, ile razy liczba a jest większa od liczby b.
37
8 : 3 21
Liczba a jest większa 3 7
4 = √3 7
= √9 21
4 = 37
8.
= 9 21
32 razy od liczby b.
32 = 328 – 21
32 = 3 7
32.
64 = 3 21
32.
4
16
33. Kurtka narciarska męska kosztuje 350 zł, a kurtka narciarska
damska 200 zł. O ile procent jest droższa kurtka męska od kurtki
damskiej?
Obliczamy różnicę cen: 350 – 200 = 150.
Obliczamy, jakim procentem ceny 200 zł jest różnica wynosząca 150 zł:
150
200 · 100 = 75 .
Kurtka męska jest droższa od kurtki damskiej o 75 .
1. LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA 22
34. Czy podwyżka ceny towaru najpierw o 15 , a następnie
o 25 , będzie wynosiła tyle samo co podwyżka ceny tego samego
towaru o 40 ? Jeżeli nie, to która z nich jest bardziej opłacalna
dla sprzedającego?
Oznaczamy:
cenę towaru jako x, cenę towaru po podwyżce o 15 jako 1,15x,
cenę towaru po następnej podwyżce o 25 jako 1,25 · 1,15x, czyli 1,4375x,
a cenę towaru po podwyżce o 40 jako 1,4x.
Porównujemy obie ceny:
1,4375x 1,4x.
Zatem dwie kolejne podwyżki, o 15 , a następnie o 25 , są korzystniejsze
dla sprzedającego niż jednokrotna podwyżka o 40 .
35. Podczas doświadczenia na lekcji fizyki czas swobodnego spadku
ciała z pewnej wysokości został zmierzony jako 1,375 s. Uczeń zapisał
w zeszycie czas 1,4 s. Ile wynosił błąd względny przybliżenia dokona-
nego przez ucznia?
Obliczamy błąd względny przybliżenia:
|1,4 – 1,375|
= 0,025
1,375 = 25
|1,375|
1375 = 0,0(18) ≈ 0,02.
Błąd względny przybliżenia wynosił około 0,02.
36. Oblicz, ile procent wynosi podatek VAT, jeżeli cena brutto jest
równa 3062,70 zł, a cena netto to 2490 zł.
Obliczamy różnicę cen: 3062,70 – 2490 = 572,70 zł.
Obliczamy wartość procentową podatku VAT: 572,7
2490 · 100 = 23 .
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 23
37. Podatek VAT na materiały budowlane wynosi 8 . Ile zapłaci
klient za 2500 cegieł, jeżeli cena netto 1 cegły wynosi 66 gr?
Obliczamy wartość netto 2500 cegieł: 2500 · 0,66 = 1650 (zł).
Obliczamy wartość cegieł z uwzględnieniem podatku VAT:
1,08 · 1650 = 1782 (zł).
38. Nad wejściem do sklepu z artykułami AGD umieszczony jest
napis: „Dzisiaj bez 23 VAT”. Ile złotych zaoszczędzi klient kupujący
lodówkę w cenie brutto 1230 zł?
Oznaczamy cenę netto jako x, a cenę brutto jako 1,23x.
Zapisujemy równanie i rozwiązujemy je.
1,23x = 1230
x = 1000
Obliczamy wartość zaoszczędzonych pieniędzy:
1230 zł – 1000 zł = 230 zł.
Klient zaoszczędzi 230 zł.
39. Zmniejszamy długość boku a prostokąta o 10 oraz zwiększamy
długość boku b tego prostokąta o 20 . Wyznacz stosunek a
b, jeśli wia-
domo, że otrzymany prostokąt ma taki sam obwód jak o bokach dłu-
gości a i b.
Oznaczamy długości boków nowego prostokąta jako c = 0,9a oraz d = 1,2b.
Prostokąty mają równe obwody, więc 2(a + b) = 2(c + d), czyli
a + b = 0,9a + 1,2b. Zatem 0,1a = 0,2b.
Wyznaczamy stosunek a
b:
b = 0,2
a
0,1 = 2.
1. LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA 24
40. Zapisz wyrażenie
4 · (3√5)√5
81– 1
(1
9)–2: 27
4 · (3√5)√5
81– 1
Przekształcamy wyrażenie:
(1
9)–2: 27
w postaci 3k, gdzie k C.
(34)– 1
4 · 35
= 92 : 33
3–1 · 35
= 34 : 33
34
= 31
= 33.
41. Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór roz-
wiązań nierówności: 2x + 3 −8 i 3x − 2 ⩽ 6.
Rozwiązujemy nierówności.
2x + 3 −8
2x −11
x −51
2
Przedstawiamy zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej:
3x − 2 ⩽ 6
3x ⩽ 8
x ⩽ 22
3
i
i
i
-5
1
2
0
2
23
Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału:
x (−51
2; 22
3〉.
42. Dwaj bracia złożyli w banku po 20 000 zł każdy na roczne lokaty
terminowe oprocentowane 3 w skali roku. Pierwszy z nich na
lokatę z półroczną kapitalizacją odsetek, a drugi na lokatę z kwar-
talną kapitalizacją odsetek. Który z nich otrzyma po roku więcej
odsetek i o ile?
Obliczamy wartość po roku lokaty pierwszego brata:
20 000 · (1 + 1,5
100)2 = 20 000 · (1,015)2 = 20 604,50 (zł).
Obliczamy wartość po roku lokaty drugiego brata:
20000 · (1 + 0,75
100 )4 = 20000 · (1,0075)4 = 20606,78 (zł).
MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ 25
Obliczamy różnicę wartości lokat:
20606,78 – 20604,50 = 2,28 (zł).
Drugi brat otrzyma o 2,28 zł więcej odsetek.
43. Prędkość rozchodzenia się dźwięku w stali wynosi 2,16 · 104 km/h.
Wyraź tę prędkość w metrach na sekundę, zapisując ją w notacji
wykładniczej.
Wyrażamy prędkość w metrach na sekundę i zapisujemy ją w notacji wykład-
niczej:
2,16 · 104 km/h = 21 600 km/h = 21 600 · 1000 m
= 6000 m/s = 6 · 103 m/s.
216 000 m
36 s
3600 s
=
=
44. Jaką liczbę atomów wodoru zawierają 3 mole, jeżeli wiadomo, że
1 mol zawiera 6,02 · 1023 cząsteczek, a 1 cząsteczka wodoru zawiera
2 atomy?
Obliczamy liczbę atomów wodoru:
3 · 6,02 · 1023 · 2 = 3,612 · 1024 atomów.
45. Ślimak winniczek porusza się z prędkością 3 · 10–3 km/h. Jaką
odległość w metrach pokona w ciągu kwadransa?
Wyrażamy prędkość w m/min:
3 · 10–3 km/h = 3
km
h = 3000
60000
1000
20 m/min.
m
min = 1
Obliczamy drogę przebytą przez ślimaka:
1
20 · 15 = 3
4 (m).
1. LICZBY RZECZYWISTE ROZWIĄZANIA
Pobierz darmowy fragment (pdf)
