Darmowy fragment publikacji:
Matematyka w Excelu dla
szkó³ ġrednich.
Æwiczenia praktyczne.
Wydanie II
Autor: Andrzej Obecny
ISBN: 83-7197-857-X
Format: B5, stron: 140
Czy mo¿na zmusiæ Excela do rozwi¹zywania szkolnych zadañ matematycznych?
Okazuje siê, ¿e tak. Aby siê o tym przekonaæ, wystarczy siêgn¹æ po tê ksi¹¿kê. Stanowi
ona zbiór kilkudziesiêciu æwiczeñ z ró¿nych dzia³ów matematyki z zakresu szko³y
ġredniej. Autor przystêpnie wyjaġnia, jak za pomoc¹ popularnego arkusza
kalkulacyjnego znaleĥæ rozwi¹zanie zadañ matematycznych, w przypadku których
tradycyjne metody analityczne nie sprawdzaj¹ siê lub s¹ zbyt czasoch³onne.
Ka¿de z zaproponowanych przez autora æwiczeñ ma charakter uniwersalny i zachêca
do w³asnych poszukiwañ, a przy tym ich wykonanie nie zajmuje wiêcej ni¿ jedn¹
godzinê lekcyjn¹. Jest to zatem idealne narzêdzie nie tylko dla uczniów, ale i dla
nauczycieli matematyki i informatyki.
IDZ DO
IDZ DO
PRZYK£ADOWY ROZDZIA£
PRZYK£ADOWY ROZDZIA£
SPIS TREĎCI
SPIS TREĎCI
KATALOG KSI¥¯EK
KATALOG KSI¥¯EK
KATALOG ONLINE
KATALOG ONLINE
ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG
ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG
TWÓJ KOSZYK
TWÓJ KOSZYK
DODAJ DO KOSZYKA
DODAJ DO KOSZYKA
CENNIK I INFORMACJE
CENNIK I INFORMACJE
ZAMÓW INFORMACJE
ZAMÓW INFORMACJE
O NOWOĎCIACH
O NOWOĎCIACH
ZAMÓW CENNIK
ZAMÓW CENNIK
CZYTELNIA
CZYTELNIA
FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE
FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE
Wydawnictwo Helion
ul. Chopina 6
44-100 Gliwice
tel. (32)230-98-63
e-mail: helion@helion.pl
Spis treści
Zamiast wstępu — kilka pytań i odpowiedzi...................................................p...........................5
Rozdział 1. Wartości liczbowe wyrażeń ...................................................p.............................................................9
Rozdział 2.
Liczba pierwsza...................................................p..................................................................................... 14
Rozdział 3.
Liczba doskonała ...................................................p................................................................................ 20
Rozdział 4.
Liczba dwójkowa ...................................................p................................................................................. 25
Rozdział 5. Cechy podzielności liczby...................................................p.............................................................. 32
Rozdział 6. Najmniejsza wspólna wielokrotność oraz największy wspólny dzielnik................. 38
Rozdział 7. Układ dwóch równań liniowych...................................................p................................................... 41
Rozdział 8. Układ trzech równań liniowych...................................................p................................................... 50
Rozdział 9. Równanie o postaci a2+b2=c2...................................................p...................................................p..... 56
Rozdział 10. Ciągi i szeregi liczbowe...................................................p....................................................................61
Rozdział 11. Pole obszaru...................................................p...................................................p........................................67
Rozdział 12. Całka oznaczona...................................................p................................................................................... 72
Rozdział 13. Wykres funkcji y=f(x)...................................................p.........................................................................79
Rozdział 14. Miejsce zerowe funkcji y=f(x)...................................................p...................................................... 93
Rozdział 15. Ekstremum funkcji y=f(x) ...................................................p............................................................. 100
Rozdział 16. Wykres funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) ...................................................p.......................... 108
Rozdział 17. Równania i nierówności trygonometryczne ...................................................p.......................113
Rozdział 18. Układ równań i nierówności drugiego stopnia ...................................................p.................119
Rozdział 19. Rachunek zdań...................................................p...................................................p................................ 126
Rozdział 20. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka...................................................p................... 133
Rozdział 15.
Ekstremum funkcji y=f(x)
Wprowadzenie
Drugim ważnym elementem charakterystyki funkcji obok miejsc zerowych są ekstrema,
czyli maksima i minima. Przypomnijmy, że funkcja ma maksimum lokalne w punkcie x0
wewnątrz przedziału a; b , kiedy dla wszystkich wartości x z tego przedziału zachodzi
nierówność f(x) f(x0). Analogicznie określa się minimum lokalne funkcji.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby w punkcie x0 funkcja miała maksimum,
jest to, by pierwsza pochodna w tym punkcie była równa zero, zaś druga pochodna miała
wartość ujemną.
W naszych ćwiczeniach — podobnie jak w przypadku całki oznaczonej — wyznaczanie
ekstremów wykonany metodami przybliżonymi, bo do takich metod wykorzystać możemy
Excela.
W ćwiczeniach z tego rozdziału, dysponując wykresem funkcji, wyznaczymy najpierw
maksimum, a potem minimum funkcji. Każde z tych ekstremów obliczymy dwoma spo-
sobami, budując odpowiednie formuły oraz pisząc makżropolecenie.
Ćwiczenie 15.1.
Wyznacz maksimum lokalne funkcji f(x)=x3–5x2+4x+3, przyjmując, że w punkcie xmax
jest maksimum, z dopuszczalnym błędem ±0,01.
Sposób rozwiązania
Sposób, w jaki rozwiążemy to ćwiczenie, nie będzie się wiele różnił od sposobu wyznaczania
miejsc zerowych. Także tutaj rozpoczniemy od wykonania wykresu funkcji i na pod-
stawie jego analizy wyznaczymy przedziały liczbowe, w których znajdują się ekstrema.
Rozdział 15. (cid:1) Ekstremum funkcji y=f(x)
101
Sposób wykonania wykresu funkcji omówiono w ćwiczeniu 13.2. Jeżeli na podstawie
wykresu będzie można stwierdzić, że istnieją ekstrema, oszacujemy przedziały, w których
się one znajdują. Załóżmy, że takie przedziały poznaliśmy. By obliczyć maksimum,
wykonamy tabelę iksów i igreków. Następnie przyglądać się będziemy wartościom
funkcji w poszczególnych komórkach arkusza (rozpoczynając od lewej strony przedziału),
znajdując punkt (komórkę), w której wartości funkcji przestają rosnąć. Gdy go znajdziemy,
co musi się stać przy przyjętych przez nas założeniach, możemy punkt ten uznać za mak-
simum funkcji w zadanym przedziale.
Pamiętać musimy, że wyznaczony punkt xmax nie będzie prawdopodobnie rzeczywistym
maksimum, bowiem został wybrany spośród ograniczonej liczby punktów przedziału.
Przy podziale badanego odcinka na jeszcze mniejsze znajdzie się zapewne inny punkt
maksymalny xmax. Musimy więc uściślić nasze rozwiązanie o stwierdzenie, że wyzna-
czyliśmy maksimum z konkretnym dopuszczalnym błędem. Zatem w naszym ćwiczeniu,
aby spełnić warunki postawione w jego treści, musimy obliczać wartości funkcji w punktach
oddalonych od siebie co najwyżej o 0,01.
Rozwiązanie
1.
Sporządź wykres funkcji (na jego podstawie oszacujemyk przedziały, w których
znajdują się ekstrema).
Rysunek 15.1.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 15.1
Na podstawie rysunku możemy przyjąć, że maksimum leżyk między 0 a 1. Ponadto
w przedziale -1; 4 znajdują się jedyne ekstrema funkcjki na całej osi liczbowej,
co wynika z postaci funkcji.
2.
3.
Utwórz w pierwszym wierszu arkusza arytmetyczny ciąg kliczbowy, wypełniając
tabelę iksów.
Do komórki A1 nowego skoroszytu wpisz liczbę Ō. Następnie, wypełniając serią
danych, wprowadź do sąsiednich komórek ciąg liczbowy o kkroku 0,01 i wartości
końcowej 1.
W drugim wierszu wpisz formułę obliczającą wartości funkkcji dla poszczególnych
punktów z pierwszego wiersza.
Do komórki A2 wpisz formułę #@ #@
#
. Następnie przekopiuj ją
do komórek sąsiednich drugiego wiersza (aż do komórki ko adresie CW2).
102
Matematyka w Excelu dla szkół średnich. Ćwiczenia praktyczne
4.
Znajdź miejsce, w którym funkcja osiąga wartość najwiękskzą.
Rysunek 15.2.
Wygląd fragmentu
arkusza z rozwiązaniem
ćwiczenia 15.2
Ćwiczenie 15.2.
Napisz makropolecenie, wyznaczające maksimum lokalne funkcji f(x)=x3–5x2+4x+3,
przyjmując, że w punkcie xmax jest maksimum, z dopuszczalnym błędem ±0,01.
Sposób rozwiązania
Najpierw w nowym arkuszu do wybranych komórek wpiszemy określone wartości po-
czątkowe, którymi będą końce przedziału (zmienne C, D), dokładność (zmienna E) oraz
formuła obliczająca wartość funkcji w punkcie a (zmienna [). Makropolecenie będzie
się odwoływało do tych komórek, a niektóre z nich modyfkikowało.
Samo makro rozpoczniemy od wczytania tych komórek do podanych wyżej zmiennych
oraz przypisania szukanemu maksimum (zmienna OCZ) wartości zmiennej C. Następnie
utworzymy pętlę (instrukcja Q.QQR 9JKNG), w której na początek zmienną OCZ po-
większymy o przyjętą dokładność. Wartość tę wpiszemy do komórki E5 i odczytamy
wartość funkcji w tym nowym punkcie (zmienna ). Mając wartości funkcji w dwóch
sąsiednich punktach (y oraz z), sprawdzimy, która z nich jest większa. Jeżeli będzie nią y
(lub przynajmniej będzie ona równa z), będzie to oznaczać, że wartości funkcji przestały
rosnąć i znaleźliśmy maksimum. Gdy będzie odwrotnie, to wartość zmiennej podsta-
wimy do zmiennej [ i rozpoczniemy ponownie instrukcje zawarte w pętli. Oznaczać to
będzie, że rozpoczęliśmy porównywanie wartości funkcji w dwóch punktach przesuniętych
(względem poprzednich dwóch punktów) o wielkość przyjętej dokładności. Jeżeli zakła-
damy, że w zadanym przedziale a; b istnieje maksimum, to pętla musi się zakończyć,
zanim zmienna OCZ osiągnie wartość końca przedziału.
Rozwiązanie
1.
Rozmieść w arkuszu elementy tekstowe.
Wprowadź do nowego skoroszytu dane tekstowe zgodnie zk rysunkiem 15.3.
Rysunek 15.3.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 15.2
Rozdział 15. (cid:1) Ekstremum funkcji y=f(x)
103
2.
Utwórz nowe makropolecenie.
Naciśnij klawisze Alt+F8. Następnie w polu nazwa makra wpisz maksimum_lokalne,
po czym kliknij przycisk Utwórz.
3.
Wpisz makro maksimum_lokalne.
Uzupełnij procedurę kodem, zgodnie z poniższym tekstemk.
5WDOCZKOWOANQMCNPG
KOCDE[OCZ#U5KPING
C 4CPIG
F 8CNWG
D 4CPIG
H 8CNWG
E 4CPIG
I 8CNWG
[ 4CPIG
F 8CNWG
OCZ C
Q
OCZ OCZ
E
4CPIG
G 8CNWG OCZ
4CPIG
G 8CNWG
+H[ 6JGP
ZKV5WD
PF+H
[
.QQR9JKNGOCZ D
PF5WD
4.
Zamknij edytor Visual Basica i powróć do Arkusza1 Excela.
Użyj klawiszy Alt+Q.
5.
6.
7.
Wstaw do arkusza przycisk polecenia i przypisz do nkiego napisane makropolecenie.
Z paska narzędziowego Formularze wybierz Przycisk i umieść go na środku arkusza.
Następnie, gdy otworzy się okno z listą dostępnych makropoleceń, wskaż kliknięciem
makro maksimum_lokalne i zaakceptuj wybór przyciskiem OK.
Zmień domyślny tekst umieszczony na przycisku.
Ustaw kursor na przycisku i naciśnij prawy przycisk kmyszy, następnie wybierz opcję
Edytuj tekst i wpisz tekst maksimum lokalne.
Oblicz maksimum lokalne badanej funkcji.
Do komórek D5, F5 i G5 wpisz kolejno: , oraz . Następnie do komórki D6
wpisz formułę @ @
i przekopiuj jej zawartość do obszaru E6÷F6.
Na koniec uruchom makro, klikając przycisk maksimum lokalne.
Rysunek 15.4.
Rysunek pomocniczy
(przed uruchomieniem
makra) do ćwiczenia 15.2
104
Matematyka w Excelu dla szkół średnich. Ćwiczenia praktyczne
Rysunek 15.5.
Wygląd fragmentu
arkusza z rozwiązaniem
ćwiczenia 15.2
Ćwiczenie 15.3.
Wyznacz minimum lokalne funkcji f(x)=x2–9sin3x–2x–3, przyjmując, że w punkcie xmin
jest minimum, z dopuszczalnym błędem ±0,001.
Sposób rozwiązania
Minimum wyznaczymy w ten sam sposób, w jaki wyznaczyliśmy maksimum. Różnica
polegać będzie oczywiście tylko na tym, że tym razem szukać będziemy wartości naj-
mniejszej. Zadana jest większa dokładność, więc obliczenia przeprowadzimy w wierszach
arkusza (zabrakłoby nam kolumn przy tak dużej wymagankej dokładności).
Rozwiązanie
1.
Sporządź wykres funkcji (na jego podstawie oszacujemyk przedziały, w których
znajduje się minimum).
Rysunek 15.6.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 15.3
Na podstawie rysunku możemy przyjąć, że minimum leży kmiędzy 1 a 2.
2.
3.
Utwórz w kolumnie pierwszej arkusza arytmetyczny cikąg liczbowy, wypełniając
tabelę iksów.
W nowym, pustym skoroszycie do komórki A1 wpisz liczbę . Następnie,
wypełniając serią danych, wprowadź do sąsiednich komórek kciąg liczbowy o kroku
0,001 i wartości końcowej 2.
W kolumnie drugiej wpisz formułę obliczającą wartości fuknkcji dla poszczególnych
punktów z pierwszej kolumny.
Do komórki B1 wpisz formułę #@
5+0
# @ #. Następnie przekopiuj
ją do komórek sąsiednich drugiej kolumny (aż do komórkki o adresie B1001).
Rozdział 15. (cid:1) Ekstremum funkcji y=f(x)
105
4.
Znajdź miejsca, w których funkcja osiąga wartość najmniekjszą.
Rysunek 15.7.
Wygląd fragmentu
arkusza z rozwiązaniem
ćwiczenia 15.3
Ćwiczenie 15.4.
Napisz makropolecenie wyznaczające minimum lokalne funkcji f(x)=x2–9sin3x–2x–3,
przyjmując, że w punkcie xmin jest minimum, z dopuszczalnym błędem ±0,001.
Sposób rozwiązania
Rozwiązanie to nie będzie się różniło od tego, jakie przedstawiliśmy w przypadku szu-
kania maksimum lokalnego. W przedstawionym tam algorytmie należy jedynie wziąć
pod uwagę (i zmienić), że teraz szukamy wartości najmniejszej, jaką przyjmuje funkcja
w zadanym przedziale liczbowym a; b (patrz ćwiczeniek 15.2).
Rozwiązanie
1.
Rozmieść w arkuszu elementy tekstowe.
Wprowadź do nowego skoroszytu dane tekstowe zgodnie zk rysunkiem 15.8.
Rysunek 15.8.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 15.4
2.
Utwórz nowe makropolecenie.
Naciśnij klawisze Alt+F8. Następnie w polu nazwa makra wpisz minimum_lokalne,
po czym kliknij przycisk Utwórz.
3.
Wpisz makro minimum_lokalne.
Uzupełnij procedurę kodem, zgodnie z poniższym tekstemk.
5WDOKPKOWOANQMCNPG
KOCDE[OKP#U5KPING
C 4CPIG
F 8CNWG
[ 4CPIG
F 8CNWG
E 4CPIG
I 8CNWG
D 4CPIG
H 8CNWG
OKP C
Q
106
Matematyka w Excelu dla szkół średnich. Ćwiczenia praktyczne
OKP OKP
E
4CPIG
G 8CNWG OKP
4CPIG
G 8CNWG
+H[ 6JGP
ZKV5WD
PF+H
[
.QQR9JKNGOKP D
PF5WD
4.
5.
6.
7.
Zamknij edytor Visual Basica i powróć do Arkusza1 Excela.
Użyj klawiszy Alt+Q.
Wstaw do arkusza przycisk polecenia i przypisz do nkiego napisane makropolecenie.
Z paska narzędziowego Formularze wybierz Przycisk i umieść go na środku
arkusza. Następnie, gdy otworzy się okno z listą dostępknych makropoleceń, wskaż
kliknięciem makro minimum_lokalne i zaakceptuj wybór przyciskiem OK.
Zmień domyślny tekst umieszczony na przycisku.
Ustaw kursor na przycisku i naciśnij prawy przycisk kmyszy, następnie wybierz opcję
Edytuj tekst i wpisz tekst minimum lokalne.
Oblicz minimum lokalne badanej funkcji.
Do komórek D5, F5 i G5 wpisz kolejno: , oraz . Następnie do komórki D6
wpisz formułę @
5+0
@ i przekopiuj jej zawartość do obszaru
E6÷F6. Na koniec uruchom makro, klikając przycisk minimum klokalne.
Rysunek 15.9.
Rysunek pomocniczy
(przed uruchomieniem
makra) do ćwiczenia 15.4
Rysunek 15.10.
Wygląd fragmentu
arkusza z rozwiązaniem
ćwiczenia 15.4
Podsumowanie
Rozwiązanie za pomocą formuł uzyskuje się, jak się przekkonaliśmy, bardzo szybko. Trochę
więcej czasu poświęcić potrzeba na napisanie makra. W obu zaproponowanych sposobach
należy rozpocząć od określenia przedziałów, w których kznajdują się szukane ekstrema.
Rozdział 15. (cid:1) Ekstremum funkcji y=f(x)
107
W pierwszych dwóch ćwiczeniach mieliśmy do czynienia z wielomianem, więc z tego
faktu oraz z wykresu funkcji w przedziale 0; 1 wynikało, że istnieje maksimum lokalne
w tym przedziale. Uzyskane rozwiązanie musi być takie samo, jak przy zastosowaniu ra-
chunku pochodnych.
Obliczmy pierwszą pochodną i znajdźmy jej miejsca zerokwe:
)(
xf
=
3
x
2
5
x
−
4
x
;3
+
+
f
f
)(
x
2
3
x
10
x
−
+
;4
=
)(
x
0
−⇔=
2
3
x
10
x
4
=+
.0
I dalej:
=∆
b
2
−
4
ac
=
10
2
Zatem:
⋅−
434
=⋅
100
−
48
=
.52
x
1
=
∆+−
b
2
a
x
2
=
∆−−
b
2
a
=
=
10
+
52
6
≈
;87,2
10
−
52
6
≈
.46,0
W naszym przypadku interesuje nas x2. Obliczmy drugą pochodną i znak drugiej po-
chodnej w punkcie x2:
f
f
x
)(
6
x
;10
−
=
(
x
2
)
f
)46,0(
46,06
⋅=
10
−
=
76,2
10
−
−=
24,7
.0
=
Jak widać, uzyskany drogą algebraiczną wynik nie różni się od naszego rozwiązania
uzyskanego metodą przybliżoną. Rozwiązanie uzyskaliśmy po prostych rachunkach,
jednak ta sama metoda algebraiczna w przypadku ćwiczeń 15.3 i 15.4 nie będzie mogła
znaleźć zastosowania. W tych ćwiczeniach szukaliśmy maksimum funkcji f(x)= x2–
9sin3x–2x–3. Znalezienie miejsc zerowych pierwszej pochodnej będzie niemożliwe drogą
rachunkową!
Reasumując, okazuje się, że metoda przybliżona jest skuteczniejsza, jeśli chodzi o łatwość
znalezienia rozwiązania.
108
Matematyka w Excelu dla szkół średnich. Ćwiczenia praktyczne
Rozdział 16.
Wykres funkcji dwóch
zmiennych z=f(x,y)
Wprowadzenie
Funkcję dwóch zmiennych, której wykres niełatwo jest sobie wyobrazić, wykonać można
także w prosty sposób w arkuszu Excela. W jednym ćwiczeniu z tego rozdziału przygotu-
jemy taki arkusz, dzięki któremu można będzie obserwować, jak zmieniać się będzie
kształt wykresu funkcji dwóch zmiennych w zależności od zmian wartości jej argumentów.
Arkusz ten przygotujemy, używając formuł, a dodatkowo wstawimy w nim paski prze-
wijania, by łatwiej było obserwować zmiany wykresu.
Ćwiczenie 16.1.
Sporządź wykres funkcji f(x,y)=sin(x/a)cos(y/b) dla x, y ∈ –π; π , dla następujących
wartości parametrów a i b:
1.
2.
3.
a=1, b=1;
a=10, b=1;
a=2, b=2.
Sposób rozwiązania
Podobnie jak robiliśmy to w przypadku wykresu funkcji jednej zmiennej, tak i tu potrzebne
będzie tablicowanie funkcji.
Pobierz darmowy fragment (pdf)
